Prof.Dr.-Ing.habil.H.-J.Schlüter - Willkommen bei · PDF fileHöhere Schiffsfestigkeit ( Kurzskripten ) Prof.Dr.habil.H.-J.Schlüter Schiffstechnik FB 7/13 Uni-GH-Duisburg - 2.4 -

Kurzskripten zur SchiffsfestigkeitProf.Dr.-Ing.habil.H.-J.Schlüter

Gerhard-Mercator-Universität -GH Duisburg Fachbereich Maschinenbau

Institut für Schiffstechnik Duisburg (ISD)

Oktober 1999

nn n nn

unter Mitwirkung von: R. Mittelstaedt und R. Plum

Inhaltsverzeichnis1.Der ebene gekrümmte Stab

Berechnung stat.unbest.Systeme 1.7

2.Der dünnwandige prismatische Stab2.1 Koordinatensystem,Spannungen,Schnittgrößen 2.1

2.2 Wölbunbehinderte Torsion (Saint-Venant-Torsion) 2.3

offene Querschnitte 2.4

einzellig geschlossene Querschnitte 2.5

mehrzellig geschlossene Querschnitte 2.7

2.3 Wölbbehinderte Torsion (Wölbkrafttorsion) 2.10

Berechnung des Drehpoles 2.15

Berechnungsschritte 2.17

graphische Darstellung 2.18

2.4 Querkraftbiegung 2.20

Berechnung des Schubmittelpunktes 2.25

Berechnungsschritte 2.26


3.Balkentragwerke

3.1 Durchlaufträger auf starren Stützen 3.2

3.2 Durchlaufträger auf elastischen Stützen 3.7


Integraltabelle 3.11

3.3 Das ebene Rahmentragwerk 3.12


Integraltabellen 3.22

3.4 Der ebene Trägerrost 3.24

Tabelle der Nachgiebigkeiten 3.29


4.Die Scheibe (ebener Spannungszustand)

4.1 Darstellung in karthesischen Koordinaten 4.1

4.2 Darstellung in Polarkoordinaten 4.6

4.3 Beispiele 4.9

5.Die dünne Platte5.1 Darstellung in karthesischen Koordinaten 5.2

5.2 Darstellung in Polarkoordinaten 5.9

5.3 Beispiele 5.13

5.4 Die orthotrope Platte 5.19

Höhere Schiffsfestigkeit ( Kurzskripten ) Prof.Dr.habil.H.-J.Schlüter Schiffstechnik FB 7/13 Uni-GH-Duisburg

- 1.1 -

Höhere Stabstatik

1. Der ebene gekrümmte Stab Koordinaten, Krümmung, Krümmungsradius:

Äußere Belastung,Schnittgrößen:

x(s),y(s) - lokale Koordinaten des Stabquerschnitts Krümmung :

P(s) - Krümmungsmittelpunkt Krümmungsradius :

α(s) - Neigungswinkel der Tangente ( R>0,wenn Punkt P links

, R<0,wenn Punkt P rechts)

R =1

κ

L>0 , wenn Zugkraft pr ,ps - radiale bzw.tangentiale Streckenlast

M>0 , wenn Krümmung vergrößert wird m - Streckenmoment


κα

=d

ds

-1.2-

Gleichgewicht am infinitesimalen Stabelement:

dL

dsQ ps+ ⋅ = −κ

dQ

dsL− ⋅κ

dM

dsQ−

= − pr

= −m

dL

dsps= −

dQ

dspr= −

dM

dsQ m− = −

Sonderfall: κ=0 (gerader Stab,Wendepunkt)

Spannungen und Schnittgrößen:

L dAs

A

= ⋅∫σ( )

Q dAA

= ⋅∫τ( )

M y dAs

A

= ⋅ ⋅∫σ( )


S - Flächenschwerpunkt

τ - Schubspannung

σs - Normalspannung

- 1.3 -

Berechnung der Normalspannung σs :

Voraussetzungen:

- Gültigkeit der Bernoullischen Verformungshypothese

- Gültigkeit des Hookeschen Elastizitätsgesetzes

- Vernachlässigbarkeit der Querkontraktion

eZ L

M

R

Z LM

RA R M

RR

MAR

Z M LR

L eR

AR

Z

= −⋅ +

⋅ + + ⋅ ⋅⋅ = −

++( )

= = −+

( )

( ) ; :

10

122

Abstand der neutralen Faser y=e :

Spannungsverlauf:

Z Ixx= I y dAxx

A

= ⋅∫ 2

( )

σ sxx

L

A

M

Iy= + ⋅

σ s AL

M

R

M

Z

yyR

= ⋅ + + ⋅+

1

1( ) Z

yyR

dAA

=+

⋅∫2

1( )

-h1 ≤ y ≤ h2

,


Hinweis: Krümmung κ und Krümungsradius R sind vorzeichenbehaftet (Siehe Seite 1.1)

σo

AL

M

R= ⋅ +

1

σ o

M

Z

hh

R

+ ⋅+

2

21

σ o

M

Z

hh

R

− ⋅−

1

11

Sonderfall κ=0:

- 1.4 -

Formänderungsenergie:

WE G

dA dss

Al

= ⋅ + ⋅ ⋅∫∫12

2 2

( )( )( )

σ τ

h

R∠0 4, h=h1+h2 (Querschnittshöhe)

WEA

LM

Rds

Q

GAds

M

EIds

l Ql xxl

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅∫ ∫ ∫12

1 12

12

22 2

( ) ( ) ( )

( )

effektive Schubfläche AQ=αQA ( αQ - Schubkorrekturfaktor )

l- Stablänge

E- Elastizitätsmodul

G- Schubmodul

E = 2.(1+ν). G

ν - Querdehnungszahl


-1.5-

Berechnung der Schnittgrößen:

Gleichgewicht am finiten Stabelement

L s L Q p s dso o o o r

s

s

o

( ) cos( ) sin( ) ( ) sin( )/ / /= ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − ⋅ −∫α α α α α α

Q s L Q p s dso o o o r

s

s

o

( ) sin( ) cos( ) ( ) cos( )/ / /= ⋅ − + ⋅ − − ⋅ − ⋅ −∫α α α α α α

M s M L Q u m s ds p s u ds p s dso o o o o

s

s

r

s

s

s

s

s

o o o

( ) ( ) ( ) ( )/ / / / / / / /= + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅∫ ∫ ∫ν ν

− ⋅ − ⋅∫ p s dss

s

s

o

( ) cos( )/ / /α α

− ⋅ − ⋅∫ p s dss

s

s

o

( ) sin( )/ / /α α

α α= ( )s α αo os= ( ) α α/ /( )= s


-1.6-

Wenn Stabachsenkurve in kartesischen Koordinaten ξ=ξ (s) , η=η (s)

gegeben, gilt für die Hebel

uo o o o o= − ⋅ + − ⋅( ) cos ( ) sinξ ξ α η η α

ξ ξ/ /( )= s

Sonderfall:gerade Stabachse (κ=0)

L L p s dso s

s

s

o

= − ⋅ ⋅∫ ( )/ /

Q Q p s dso r

s

s

o

= − ⋅ ⋅∫ ( )/ /

M M m s ds Q s dso

s

s

s

s

o o

= − ⋅ + ⋅∫ ∫( ) ( )/ / / /

ν η η α ξ ξ αo o o o o= − ⋅ − − ⋅( ) cos ( ) sin

ν η η α ξ ξ α/ / / / /( ) cos ( ) sin= − ⋅ − − ⋅

u / / / / /( ) cos ( ) sin= − ⋅ + − ⋅ξ ξ α η η α

η ηo os= ( )ξ ξo os= ( )

η η/ /( )= s


-1.7-

Berechnung statisch unbestimmter Systeme (Kraftgrößenmethode)

Arbeitsetappen:

1) Wahl eines statisch bestimmten Hauptsystems.

2) Definition der statisch Unbestimmten X1,......,Xn

3) Berechnung der Schnittgrößen Lo , Qo , Mo im statisch bestimmten Hauptsystem

infolge der gegebenen äußeren Belastungen.

4) Berechnung der Schnittgrößen Li , Qi , Mi (i=1,......,n) im statisch bestimmten

Hauptsystem infolge der fiktiven Einheitsbelastung Xi=1

5) Berechnung der Nachgiebigkeitsmatrix D=(dij) i,j=1,...,n

und des Vektors d=(dio) i=1,..,n

(l) bedeutet Integration über das gesamte Tragwerk.

Hinweise:

- Die Nachgiebigkeitsmatrix D ist symmetrisch , d.h., dij=dji .

Es brauchen also nur 1/2 n(n+1) Matrixelemente berechnet zu werden.

- Die Nachgiebigkeitsmatrix D ist positiv - definit.

dEA

LM

RL

M

Rds

GAQ Q ds

EIM M dsij

l

ii

jj

Ql

i jxxl

i j= ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫1 1 1

( ) ( ) ( )

( )( )


i n

j n

==

1 2

0 1 2

, ,...,

, , ,...,

- 1.8 -

6) Berechnung der statisch Unbestimmten X1,........,Xn als Lösung des Gleichungssystems

mit dem Vektor x=(Xi) i=1,...,n .

Hinweis : Minuszeichen auf der rechten Seite des Gleichungssystems nicht vergessen!

7) Berechnung der Schnittgrößen L=L(s) , Q=Q(s) , M=M(s) für das n-fach statisch

unbestimmte System durch

Dx=-d

L s L s L s Xo ii

n

i( ) ( ) ( )= + ⋅=∑

1

Q s Q s Q s Xo ii

n

i( ) ( ) ( )= + ⋅=∑

1

M s M s M s Xo ii

n

i( ) ( ) ( )= + ⋅=∑

1

8) Durchführung von Rechenkontrollen

a) Gleichgewichtskontrollen

- Überprüfung des äußeren Gleichgewichtes

- Überprüfung des inneren Gleichgewichtes (Gleichgewicht in Knotenpunkten

und an Übergangsstellen, Stetigkeiten und Glattheit der Schnittgrößenverläufe)

b) Orthogonalitätskontrolle

Diese Bedingungen ergeben sich aus dem Gleichungssystem unter 6) durch

Einsetzen der Ergebnisse für L , Q , M aus 7) .

9) Berechnung der größten Beanspruchungen (Spannungen) des Tragwerks.

1 1 10

EAL

M

RL

M

Rds

GAQ Q ds

EIM M ds

l

ii

Ql

ixxl

i

( ) ( ) ( )

( )( )∫ ∫ ∫⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

i=1,2,...,n .


- 1.9 -

10) Eventuelle Berechnung von Verformungen in ausgewählten Punkten des

Tragwerkes mit Hilfe des Satzes von Castigliano.

Satz von Castigliano: Die partielle Ableitung der Formänderungsenergie W eines

linearen Systems nach der Einzelkraft FP(dem Einzelmoment MP) im Punkt P des

Systems ist gleich der Verschiebung VF des Punktes P in Richtung der Kraft FP ( dem

Verdrehwinkel ϕM des Punktes P in Richtung des Einzelmomentes MP).

VEA

LM

RL

M

Rds

GAQ Q ds

EIM M ds

EAL

M

RL

M

Rds

GAQ Q ds

EIM M ds

F

l

FF

Ql

Fxxl

F

M

l

MM

Ql

Mxxl

M

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

1 1 1

1 1 1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )( )

( )( )ϕ

LL

FFo

P

= ∂∂

,

LL

MMo

P

= ∂∂

,

QQ

FFo

P

= ∂∂

,

QQ

MMo

P

= ∂∂

,

MM

FFo

P

= ∂∂

MM

MMo

P

= ∂∂

Schnittgrößen im statisch bestimmten Hauptsystem infolge einer Einheits-

belastung FP=1 bzw. MP=1.


V

F

P

P

→

→- Verschiebungsvektor des Punktes P

- Einzelkraftvektor im Punkt P'

- 1.10 -

Wenn im betrachteten Punkt P keine Einzelkraft FP bzw.Einzelmoment MP gegeben ist,

dann ist dort eine Hilfskraft H bzw. ein Hilfsmoment H einzuführen. Es gilt dann:

VW

HHH

=→

lim0

∂∂

ϕ ∂∂H

H

W

H=

→lim

0bzw.

so daß

V

EAL

M

RL

M

Rds

GAQ Q ds

EIM M dsH

H l

HH

Ql

Hxxl

Hϕ ( )( )

( ) ( ) ( )

= ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫ ∫1 1 1

L Q MH H H, , sind die Schnittgrößen im statisch bestimmten Hauptsystem infolge der

fiktiven Einheitsbelastung H=1 .

,


- 2.1 -

2.Der dünnwandige prismatische Stab

2.1 Koordinatensystem,Spannungen,Schnittgrößen

S - Schwerpunkt der Querschnittsfläche(A)

D - Schubmittelpunkt (Drehpol)

A - Querschnittsfläche

Vox(z),Voy(z),Voz(Z) - Komponenten des Verschiebungsvektors für Punkt S (Stabachse)

Vz(s) - axiale Verschiebung eines Punktes auf der Profilmittellinie ( Verwölbung )

ϕ(z) - Drehwinkel des Querschnittes um die z - Achse

qx(z),qy(z),qz(z),mz(z) - Belastungskomponenten

σz,τs (ζ,s,z) - Normal-bzw. Schubspannung

α(s) - Winkel der Profiltangente mit der x-Achse

rD(ζ,s) - Abstand des Schubspannungvektors vom Punkt D

τo=τs(ζ=0) - Schubspannung auf der Profilmittellinie

- 2.2 -

L z dAz

A

( )( )

= ∫σ

Q z dAX s

A

( ) cos( )

= − ⋅ ⋅∫τ α

Q z dAY s

A

( ) sin( )

= ⋅ ⋅∫τ α

M z y dAX z

A

( )( )

= ⋅ ⋅∫σ

M z x dAY z

A

( )( )

= − ⋅ ⋅∫σ

M M MZD Z Z= +1 2

M z r dAZD s

A

D( )( )

= ⋅ ⋅∫τ

Längskraft

Querkräfte

Biegemomente

Torsionsmoment bezüglich des Schubmittelpunktes D

Mz1 - Anteil aus linearer Schubspannungsverteilung τ1 (von D un- abhängig)

Mz2 - Anteil aus konstanter Schubspannungsverteilung τo (auf D bezogen )

- 2.3 -

2.2Wölbunbehinderte Torsion ( Saint - Venant - Torsion )

Voraussetzungen (Hypothesen)

• Gültigkeit der Saint - Venantschen Verformungshypothese

( Querschnittsebene dreht sich wie eine starre Ebene um die z-Achse ;Verwölbung unabhängig von z )

• Keine Behinderung der axialen Verschiebung ( Verwölbung) Vz(s) eines Querschnittspunktes

• Verformungsänderungen über die Profildicke sind vernachlässigbar

• Das Torsionsmoment Mz ist unabhängig vom Bezugspunkt

• Mz(z)=const.

• linearer Schubspannungsverlauf über die Profildicke

Drillung, Verwölbung, Wölbfunktion, Sektorkoordinate

Drillung:

Verwölbung:

V s V oG

s ds r s dsz z o

o

s

D

o

s

( ) ( ) ( ) ( )= + ′ ⋅ ′ − ⋅ ′ ′∫ ∫1 τ ϑ

ϑ ϕ ϕ( ) ' ( ) .zd

dzz const= = =

ΩD(s) - normierte Wölbfunktion , G - Schubmodul

ΩD

l

s t s ds( ) ( )( )

⋅ ⋅ =∫ 0

ω D D

o

s

s r s ds( ) ( )= ′ ′∫Sektorkoordinate:

V dAz

A( )∫ = 0 bzw.

V s sz D( ) ( )= ⋅Ω ϑ

Normierungsbedingung :

• Normalspannung σ z x yQ Q≡ ≡ ≡0 0 0und Querkraftkomponenten ,


- 2.4 -

offene Querschnitte

τ o s( ) = 0

Ω Ω

Ω

D o D

o D

l

s s

As t s ds

( ) ( )

( ) ( )( )

= −

= ⋅ ⋅∫

ω

ω1

I t s dst

l

131

3= ⋅ ⋅∫η ( )

( )

M GIz t1 1= ϑ

τ11

1

( ) ( )maxsM

It sz

t

= ⋅

Ωo=ΩD(0)

l - Profillänge

(unabhängig von D)

Schubspannung auf der Profilmittellinie ist null.

(Mz2=0)

Torsionsträgheitsmoment ( Saint - Venant )

η - Korrekturfaktor ( Tabellenbuch )

GIt1 - Torsionssteifigkeit (Saint - Venant )

maximale Schubspannung

M Mz z1 =


- 2.5 -

Einzellige geschlossene Querschnitte

q(s)=τo(s).t(s) Schubfluß

q(s)=qo=const.

qM

Aoz

m

=⋅

2

2

IAds

t s

tm

2

24= ⋅

∫ ( )

M G Iz t2 2= ⋅ ⋅ϑ

(Gesamt-) Torsionsträgheitsmoment

( unabhängig von D )

τ

τ

ot

t

z

m

z

t

sI

I

M

A t s

sM

It s

( )( )

( ) ( )max

= ⋅⋅

⋅

= ⋅

2

1

21

1.Bredtsche Formel

2.Bredtsche Formel

(Bredtsches Torsionsträgheitsmoment)

Am - von der Zellenmittellinie eingeschlossene Fläche

MI

IM M

I

IMz

t

tz z

t

tz1

12

2= ⋅ = ⋅,

I I It t t= +1 2

M M M GIz z z t= + =1 2 ϑ

s

t(s)Zellenmittel-linie

Am

- Integration entlang der geschlossenen Zellenmittellinie∫


- 2.6 -

A t s ds

sI

A

ds

t ss

s s

At s s ds

Dt

m o

s

D

D o D

o D

= ⋅

=⋅

⋅ ′′

−

= +

= − ⋅ ⋅ ⋅

∫

∫

∫

( )

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

*

*

*

Ω

Ω Ω Ω

Ω Ω

2

2

1

ω

ΩD s( ) ≡ 0

r s t sAds

t

Dm( ) ( )⋅ ≡ ⋅

∫2

z.B.:Kreiszellen,Dreieckzellen,Quadratzellen,beliebige Polygonzellen konstanter Wand-

dicke,die einen Kreis einhüllen.

Bemerkung: Ein einzelliger geschlossener Querschnitt ist genau dann ein wölbfreier Querschnitt ( ) ,wenn gilt


- 2.7 -

Mehrzellige geschlossene Querschnitte

qi - Schubfluß für die i-te Zelle

qki = qk - qi Schubflußdifferenz in der gemeinsamen Zellenwand von Zelle k und Zelle i .

qik = - qki

qi > 0 , wenn Mz > 0 ( mathematisch positiver Umlaufsinn )

Verträglichkeitsbedingungen für die i-te Zelle:

ϑ ϑi const= = .

i=1,2,...,n

n - Anzahl der geschlossenen Zellen

a) Zellenreihe

Gleichung für die k-te Zelle:

k=1,2,....,n.

qq

Gkk=

2ϑ

− ⋅ + ⋅ − ⋅ =−−

++

∫ ∫ ∫qds

tq

ds

tq

ds

tAk

k

k

k

k

k

k1

1

1

1

q qo n= =+0 01,

Integration entlang der Mittellinie der gemeinsamen Wand von Zelle k und Zelle j (j=k-1 , k+1 )

Integration entlang der Mittellinie von Zelle k

Fläche , die von der Mittellinie der Zelle k eingeschlossen wird.

Wanddicke

j

k

kA

t s

∫

∫

( )

Bemerkung: Das lineare , inhomogene Gleichungssystem n-ter Ordnung zur Bestimmung von qk (k=1,..,n)

besitzt eine symmetrische , positiv-definite Tridiagonalmatrix als Koeffizientenmatrix .

bezogener Zellenschubfluß

q s

t sds G Ai i

i

( )( )

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅∫ 2 ϑ


- 2.8 -

b) Zelle mit beliebig angeordneten Nachbarzellen:

Gleichung für die k-te Zelle , die von m Zellen benachbart ist :

qds

tq

ds

tAk

k

ki

m

k

ki

i

⋅ − ⋅ =∫ ∑ ∫=1

k=1,2,...,n

k

ki

∫

∫

- Gesamtanzahl der Zellen

- Anzahl der der Zelle k benachbarten Zellen

- Integration entlang der Mittellinie von Zelle k

- Integration entlang der Mittellinie der gemeinsamen Wand von Zelle k und Zelle ki (i=1,...,m)

Bemerkung: Das linerare,inhomogene Gleichungssystem zur Bestimmung von qk (k=1,..,n) besitzt eine

symmetrische positiv-definite Koeffizientenmatrix.

n

m


- 2.9 -

Bredtsches Torsionsträgheitsmoment für n-zellige Querschnitte (n>1) :

I A qt kk

n

k21

4= ⋅ ⋅=

∑

Schubflüsse in den Zellenwänden :

qM

Iq

q q qM

Iq q

kz

tk

ki k iz

tk i

= ⋅ ⋅

= − = ⋅ ⋅ −( )

2

2

für Einzelwand

für gemeinsame Zellenwand

q s s t s

I I Io

t t t

( ) ( ) ( )= ⋅= +

τ

1 2

Normierte Wölbfunktion:

Ω Ω

Ω

D o D

o

s

o D

l o

s

l

s sq s

t sds

As t s ds t s

q s

t sds ds

( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( )

= − + ⋅ ′′

′

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ′′

′

⋅

∫

∫ ∫∫

ω

ω

2

12

- bedeutet Integration entlang der Mittellinie des gesamten n-zelligen Querschnittes.

Gleichgewichtsbedingung für die Schubflüsse in einem Knoten (Knotensatz ):

Die Summe der Schubflüsse im Knoten muß null sein.

qkk

m

=∑ =

1

0

( )l∫

τ

τ

oz

t

z

t

sM

I

q s

t s

sM

It s

( )( )( )

( ) ( )max

= ⋅ ⋅

= ⋅

2

1


-2.10-

2.3 Wölbbehinderte Torsion (Wölbkrafttorsion) Voraussetzungen (Hypothesen)

• Die Querschnittsebene dreht sich um den Drehpol D.

• Die Dehnung der Profilmittellinie ist vernachlässigbar klein (Profiltreue).

• Verformungsänderungen über die Profildicke sind vernachlässigbar klein.

• Die Schubverzerrung infolge der Wölbschubspannung τω ist vernachlässigbar klein.

• L=0 , Qx=0 , Qy=0 , Mx=0 , My=0 .

• Wölbnormalspannung σω und Wölbschubspannung τω sind konstant über die Profildicke.

Damit gilt :

• Drillung ϑ=ϑ(z)

• Verwölbung Vz(s,z)=ΩD(s). ϑ(z)

• normierte Wölbfunktion ΩD(s) wie unter Abschnitt 2.2.

Wölbschubfluß qω(s,z)=τω(s,z).t(s) :

σ ϑω ( , ) ( ) ( )*s z E s zD= ⋅ ⋅ ′Ω

q s z E S s K zDω ω ϑ( , ) ˜ ( ) ( )*= − ⋅ +[ ] ⋅ ′′

˜ ( ) ( ) ( )S s s t s dsD D

o

s

ω = ′ ⋅ ′ ⋅ ′∫ Ω

q o z E K zω ϑ( , ) ( )*= − ⋅ ⋅ ′′ Wölbschubfluß an der Stelle s=0.

EE* =

−1 2ν

Wölbnormalspannung σz=σω :

sektorielles statisches Moment an der Stelle s

bezogen auf den Drehpol D


-2.11-

Bestimmung der Konstanten K: a) offener Querschnitt

Wenn qω(o,z)=0 ist , gilt K=0 .

b) einzelliger geschlossener Querschnitt

Aus der Erfüllung der Verträglichkeitsbedingung

folgtq s

t sdsω ( )

( )∫ ⋅ = 0

KS s

t sds

ds

t sD= − ⋅∫ ∫

˜ ( )( ) ( )

ω

c) n - zelliger geschlossener Querschnitt (n>1)

Aus der Erfüllung der Verträglichkeitsbedingungen

für jede Zelle folgt ähnlich wie in Abschn.2.2 ein lineares inhomogenes Gleich-

ungssystem zur Bestimmun der n Konstanten Kk (k=1,2,...,n) der einzelnen Zellen-

schubflüsse:

q s

t sds

k

ω ( )( )

⋅ =∫ 0

Das Gesamttorsionsmoment MzD setzt sich zusammen aus dem vom Bezugspunkt

unabhängigen Saint-Venantschen Torsionsmoment Mt und dem auf den Drehpol D

bezogenen Wölbtorsionsmoment MωD.

M G I mit I I I aus Abschn

M q r ds

t t t t t

D D

l

= ⋅ ⋅ = +

= ⋅ ⋅∫ϑ

ω ω

1 2 2 2. .

( )

M M MzD t D= + ω

M z E I zD Dω ωω ϑ( ) ( )*= − ⋅ ⋅ ′′

I s t s dsD D

l

ωω = ⋅ ⋅∫ Ω( )

( ) ( )2

- Wölbsteifigkeit

- Saint-Venantsche Torsionssteifigkeit

sektorielles Trägheitsmoment bezogen auf

den Drehpol D

E I

G ID

t

* ⋅⋅

ωω

( k=1,2,...,n )

Kds

tK

ds

t

S s

t sds k nk

k

kii

m

ki

D

k

⋅ − ⋅ = − ⋅ =∫ ∑ ∫ ∫=1

1 2˜ ( )

( ) , , ,..., .ω


-2.12-

Differentialgleichung für die Verdrillung ϑ=ϑ(z) :

E I z GI z M zD t ZD* ( ) ( ) ( )⋅ ⋅ ′′ − = −ωω ϑ ϑ 0<z<L , L-Stablänge

Randbedingungen (z=0 , z=L ) :

a) eingespannter Rand :

b) gabelgelagerter Rand :

c) freier Rand :

Drehung des Querschnittes an der Stelle z :

ϕ ϕ ϑ( ) ( ) ( )z o z dzo

z

= + ′ ⋅ ′∫

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung für ϑ(z) :

ϑ(z)=ϑh(z)+ ϑp(z)

ϑ λ λ

ϑ λ λ

h

hz z

z a z a z

z b e b e

( ) cosh sinh

( )

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅ −

1 2

1 2

λωω

= ⋅⋅

G I

E It

D*

M z M const zM

G I

M z M m z zG I

M m z

zD o po

t

zD o o pt

o o

( ) . : ( )

( ) : ( ) ( )

= = =⋅

= + ⋅ =⋅

⋅ +

ϑ

ϑ 1

Berechnung der Konstanten a1,a2 bzw. b1.b2 mit Hilfe der vorgegebenen Randbedingungen.

G

Ev* ( )= ⋅ −1

21

ϑ ν ϕϑ σ ϕϑ σ

ω

ω

= = =′ = = =′ = =

0 0 0

0 0 0

0 0

( ) .

( ) .

( ).

z und

und


- 2.13 -

Beispiele

1) Der am linken Rand eingespannte Stab mit konstantem Torsionsmoment Mo

2) Der an beiden Rändern wölbbehinderte Stab mit konstantem Torsionsmoment Mo

ϑ νϕ

= ==

0 0

0

( )Z ϑ σω′ = =0 0( )

ϑ λλ

ϕ λ λλ λ

σ λλ λω

ωω

ωωω

( ) (cosh[ ( )]

cosh[ ])

( ) (sinh[ ] sinh[ ( )]

cosh[ ])

( , ) ( )sinh[ ( )]

cosh[ ]

( , )

zM

G I

L z

L

zM

G Iz

L L z

L

s zM

Is

L z

L

q s zM

I

o

t

o

t

o

DD

o

=⋅

⋅ − ⋅ −⋅

=⋅

⋅ − ⋅ − ⋅ −⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ ⋅

=

1

Ω

DDDS s K

L z

L⋅ + ⋅ ⋅ −

⋅( ˜ ( ) )

cosh[ ( )]cosh[ ]ω

λλ

0 ≤ ≤z L

ϑ νϕ

= ==

0 0

0

( )Z ϑ ν= =0 0( )Z

Setzt man anstatt L in die Formeln von Beispiel 1 die Größe L/2 ein , ergeben sich die

Formeln für Beispiel 2.

M z MZD o( )=

M z MZD o( )=

L

z Mo

L

z Mo


- 2.14 -

3) Der am linken Rand eingespannte Stab mit konstantem Streckenmoment mo.

ϑ νϕ

= ==

0 0

0

( )Zϑ σω′ = =0 0( )

0 ≤ ≤z L

ϑ λλ

λλ λ

ϕ λ λλ λ

λλ λ

σω

( ) (cosh[ ( )]

cosh[ ]sinh[ ]

cosh[ ])

( ) (sinh[ ] sinh[ ( )]

cosh[ ]cosh[ ]

cosh[ ])

(

zm L

G I

z

L

L z

L

z

L L

zm L

G Iz

z

L

L L z

L

z

L L

o

t

o

t

= ⋅⋅

⋅ − − ⋅ −⋅

+ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅⋅

⋅ −⋅

− ⋅ − ⋅ −⋅ ⋅

+ ⋅ −⋅ ⋅ ⋅

1

212

2

ss zm L

Is

L L

L z

L

z

L L

q s zm L

IS s K

L L z z

L

o

DD

o

DD

, ) ( ) (sinh[ ( )]

cosh[ ]cosh[ ]

cosh[ ])

( , ) ( ˜ ( ) )cosh[ ( )] sinh[ ]

cosh[

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ −⋅

+ ⋅ −⋅

+ ⋅⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅⋅ ⋅

2 1 1

ωω

ωωω

ω

λ λλ

λλ

λ λλ λ λ

λ

Ω

λλ ⋅ L]

4) Der an beiden Rändern wölbbehinderte Stab mit konstantem Streckenmoment mo.

ϑ νϕ

= ==

0 0

0

( )Z ϑ ν= =0 0( )Z

M z mL

zZD o( ) ( )= ⋅ −2

Die Formeln für ϑ (z),ϕ(z),σω(s,z) und qω(s,z) ergeben sich aus denen von Beispiel 3 ,

indem anstelle von L die Größe L/2 eingesetzt wird.

M z m L zZD o( ) ( )= ⋅ −


- 2.15 -

Berechnung des Drehpoles D

Transformation der Sektorkoordinate:

S (0,0) Querschnittsschwerpunkt

P(xP,yP) beliebiger Pol

D(xD,yD) Drehpol

Q( x(s),y(s) )

Qo(xo,yo)

ω ωD P D P o D P os s x x y s y y y x s x( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) )= − − ⋅ − + − ⋅ −

ω ωD D

o

S

P P

o

S

s r s ds s r s ds( ) ( ) , ( ) ( )= ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ ′∫ ∫

Ω Ω ΩD D D

o

S

D

l

s r ss

t sds mit s t s ds( ) [ ( )

( )( )

] ( ) ( )( )

= − ′ − ′′

⋅ ′ ⋅ ⋅ =∫ ∫0 0ψ

Ω Ω ΩP P Po

S

Pl

s r ss

t sds mit s t s ds( ) [ ( )

( )( )

] ( ) ( ) .( )

= − ∫ ′ − ′′

⋅ ′ ∫ ⋅ ⋅ =0 0ψ

ψ ( ) /

( )

s

bei offenem Querschnitt

Ads

tbei einzelligem Querschnitt

q s bei mehrzelligem Querschnitt

m= ⋅

⋅

∫

0

2

2

q s( ) - bezogener Schubfluß im mehrzelligen Querschnitt nach Abschn.2.2.

Normierte Wölbfunktion bezogen auf den Drehpol D :

Normierte Wölbfunktion bezogen auf den beliebigen Pol P :

Mit


- 2.16 -

Transformation der Wölbfunktion :

Ω ΩD P D P D Ps s x x y s y y x s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − ⋅ − − ⋅

Aus

folgt

und

S dAD D

A

ω = ⋅ =∫ Ω 0( )

I y dA I x dAyD D

A

xD D

A

ω ω= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ =∫ ∫Ω Ω0 0( ) ( )

, .

L dA M y dA M x dAA

x

A

y

A

= ⋅ = = ⋅ ⋅ = = − ⋅ ⋅ =∫ ∫ ∫σ σ σω ω ω0 0 0, ,( ) ( ) ( )

Die sektoriellen Deviationsmomente IωxD,IωyD bezüglich des Drehpols D sind null .

Daraus ergeben sich mit Hilfe obiger Transformationsbeziehung der Wölbfunktion die

beiden Gleichungen für die Koordinaten des Drehpols D :

x xI I I I

I I I

y yI I I I

I I I

D PyP yy xP xy

xx yy xy

D PyP xy xP xx

xx yy xy

− = −⋅ + ⋅

⋅ −

− =⋅ + ⋅

⋅ −

ω ω

ω ω

2

2

mit

und

I y dA I x dA I x y dAxx

A

yy

A

xy

A

= ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅∫ ∫ ∫2 2

( ) ( ) ( )

, ,

I x dA I y dAxP P

A

yP P

A

ω ω= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫Ω Ω( ) ( )

, .

( Normierungsbedingung für ΩD )

Ist das Koordinatensystem ein Hauptachsensystem ( Ixy=0 ) , dann wird

x xI

I

y yI

I

D PyP

xx

D PxP

yy

− = −

− =

ω

ω


- 2.17 -

Berechnungsschritte

1) Berechnung der Schwerpunktkoordinaten und der Flächenträgheitsmomente Ixx,Iyy,Ixy .

2) Berechnung der bezogenen Schubflüsse q(s) und des Bredtschen Torsionsträgheitsmomentes It2.

3) Ermittlung der normierten Wölbfunktion ΩP(s) bezüglich eines beliebigen (zweckmäßigen)

Poles P(xP,yP).

4) Berechnung der sektoriellen Deviationsmomente IωxP,IωyP .

5) Berechnung der Koordinaten xD,yD des Drehpols D.

6) Berechnung der normierten Wölbfunktion ΩD(s) bezüglich des Drehpols D mit Hilfe der Trans- formationsformel

7) Berechnung des sektoriellen Trägheitsmomentes IωωD

8) Berechnung des sektoriellen statischen Momentes für den offengeschnittenen Quer- schnitt. (statisch bestimmtes Hauptsystem)

9) Berechnung der Integrationskonstanten K für jeden Schnitt als Lösung eines Gleichungssystems.

10) Berechnung der Verdrillung ϑ(z) und des Torsionswinkels ϕ(z) als Lösung der gegebenen Rand- wertaufgabe.

11) Ermittlung der Bredtschen Schubspannung τo(s,z), der Wölbnormalspannung σω(s,z) und der

Wölbschubspannung τω(s,z) :

˜ ( )S sDω


Ω ΩD P D P D Ps s x x y s y y x s( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + − ⋅ − − ⋅

τ ϑ

σ ϑ

τ ϑ

ω

ωω

o

D

D

s zq s

t sG z

s z E s z

s z ES s

t sz

( , )( )( )

( )

( , ) ( ) ( )

( , )˜ ( )

( )( )

*

**

= ⋅ ⋅

= ⋅ ′

= − ⋅ ⋅ ′′

2

Ω ˜ ( ) ˜ ( )*S s S s KD Dω ω= +

- 2.18 -

Zusammenstellung der Spannungsanteile infolge Torsion

a) offener Querschnitt

1) Schubspannung aus wölbunbehinderter Torsion (Saint-Venant-Torsion)

2) Schubspannung aus Wölbbehinderung

3) Normalspannung aus Wölbbehinderung

τ11

= ± ⋅M

Itt

t

τ ϑω ω⋅ = − ⋅ + ⋅ ′′t E S KD* ( ˜ )

σ ϑω = ⋅ ⋅ ′E D* Ω

(Randspannung)

Linearer Spannungsverlauf über Dicke


- 2.19 -

b) einzelliger Querschnitt

1) Schubspannung aus wölbunbehinderter Torsion (Saint-Venant-Torsion)

2) Schubspannung aus Wölbbehinderung

3) Normalspannung aus Wölbbehinderung

τ τ τ

τ

τ

t o

t

t

ot

t

t

m

M

It Randspannung

tI

I

M

A

= +

= ± ⋅

⋅ = ⋅⋅

1

1

2

2

( )

τ ϑω ω⋅ = − ⋅ + ⋅ ′′t E S KD* ( ˜ )

σ ϑω = ⋅ ⋅ ′E D* Ω


- 2.20 -

2.4 Querkraftbiegung

Voraussetzungen (Hypothesen )

• Verformungsänderungen über die Profildicke sind vernachlässigbar klein.

• Die Dehnung der Profilmittellinie ist vernachlässigbar klein (Profiltreue).

• Gültigkeit der Bernoullischen Verformungshypothese . Das bedeutet,

- die Querschnittsebene bleibt bei der Biegeverformung eben,

- die Querschnittsebene bleibt bei der Biegung senkrecht zur verformten Stabachse

( Die Verformung infolge Querkraftschubspannungen ist vernachlässigbar klein.).

• Die Biegenormalspannung σB und die Querkraftschubspannung τQ sind konstant über die Profildicke.

• Die Querkraft greift im Schubmittelpunkt M an.

• Torsionsmoment MzD=0 , und somit Drehwinkel ϕ=0.

Schnittgrößen infolge der Biegenormalspannung σz=σB :

L z dA s z t s ds

M z y dA s z y s t s ds

M z x dA s z x s t s ds

B

A

B

l

x B

A

B

l

y B

A

B

l

( ) ( , ) ( )

( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( , ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

= ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

∫ ∫

σ σ

σ σ

σ σ

Schnittgrößen infolge Querkraftschubspannung τQ :

Q z dA s z t s s ds

Q z dA s z t s s ds

x Q

A

Q

l

y Q

A

Q

l

( ) cos ( , ) ( ) cos ( )

( ) sin ( , ) ( ) sin ( )

( ) ( )

( ) ( )

= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫ ∫

τ α τ α

τ α τ α


σΒ(s,z) − Biegenormalspannung

τQ(s,z) - Querkraftschubspannung

voz(s,z) - Axialverschiebung des Punktes S

vBx(s,z),vBy(s,z) - Durchbiegung der Stabachse in x-bzw.y-Richtung


S-Querschnittsflächenschwerpunkt (Stabachse)

M-Schubmittelpunkt

τQ M

A

r dA⋅ ⋅ =∫( )

0

sin

cos

α

α

=

= −

dy

dsdx

ds

- 2.21 -

dA t ds= ⋅

- 2.22 -

Axialverschiebung eines Querschnittspunktes P(x,y):

Zusammenhang zwischen Schnittgrößen und Biegeverformung:

Im Falle eines Hauptachsensystems (Ixy=0) gilt

Hinweis: Aufgrund der festgelegten Orientierung des Biegemomentes My steht in der

Gleichung für My ein Pluszeichen (My hat den gleichen Richtungssinn wie

die y-Achse).

Zusammenhang zwischen Biegenormalspannung und Schnittgrößen :

Im Falle eines Hauptachsensystems (Ixy=0 ) gilt

Gleichgewichtsbedingungen:

ν ν ν νzB oz Bx Bys z z z x s z y s( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= − ′ ⋅ − ′ ⋅

L z E A z

M z E I z I z

M z E I z I z

oz

x xy Bx xx By

y yy Bx xy By

( ) ( )

( ) [ ( ) ( )]

( ) [ ( ) ( )]

*

*

*

= ⋅ ⋅ ′

= ⋅ ⋅ ′′ − ⋅ ′′

= ⋅ ⋅ ′′ − ⋅ ′′

ν

ν ν

ν ν

M z E I z

M z E I z

x xx By

y yy Bx

( ) ( )

( ) ( )

*

*

= − ⋅ ⋅ ′′

= ⋅ ⋅ ′′

ν

ν

σ Bxy x xx y

xx yy xy

yy x xy y

xx yy xy

s zL z

A

I M z I M z

I I Ix s

I M z I M z

I I Iy s( , )

( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )= +

⋅ − ⋅⋅ −

⋅ +⋅ − ⋅

⋅ −⋅

2 2

σ By

yy

x

xx

s zL z

A

M z

Ix s

M z

Iy s( , )

( ) ( )( )

( )( )= − ⋅ + ⋅

I y dA I x dA I x y dAxx

A

yy

A

xy

A

= ⋅ = ⋅ = − ⋅ ⋅∫ ∫ ∫2 2

( ) ( ) ( )

, ,

Q z M z

Q z M z

x y

y x

( ) ( )

( ) ( )

= − ′

= + ′

Querkraftschubfluß qQ = τQ t :

q s z q o zI S s I S s

I I IQ z

I S s I S s

I I IQ zQ Q

xx y xy x

xx yy xyx

xy y yy x

xx yy xyy( , ) ( , )

˜ ( ) ˜ ( )( )

˜ ( ) ˜ ( )( )= −

⋅ + ⋅⋅ −

⋅ −⋅ + ⋅

⋅ −⋅

2 2


- 2.23 -

Im Falle eines Hauptachsensystems (Ixy=0) gilt

q s z q o zQ z

IS s

Q z

IS sQ Q

x

yyy

y

xxx( , ) ( , )

( ) ˜ ( )( ) ˜ ( )= − ⋅ − ⋅

˜ ( ) ( ) ( ) , ˜ ( ) ( ) ( ) .S s y s t s ds S s x s t s dsx

o

S

y

o

S

= ′ ⋅ ′ ⋅ ′ = ′ ⋅ ′ ⋅ ′∫ ∫

q q qQ Qx Qy= +

q s zQ z

IS s KQx

x

yyy y( , )

( )[ ˜ ( ) ]*= − ⋅ +

q s zQ z

IS s KQy

y

xxx x( , )

( )[ ˜ ( ) ]*= − ⋅ +

mit den Flächenmomenten an der Stelle s

Der Querkraftschubfluß wird zweckmäßigerweise zerlegt in die beiden Anteile

mit dem Schubfluß qQx infolge der Querkraft Qx

und dem Schubfluß qQy infolge der Querkraft Qy

wobei

Im Falle eines Hauptachsensystems (Ixy=0) gilt:

˜ ( )

˜ ( ) ˜ ( )

, ˜ ( )

˜ ( ) ˜ ( )* *S s

S sI

IS s

I

I I

S s

S sI

IS s

I

I I

x

xxy

yyy

xy

xx yy

y

yxy

xxx

xy

xx yy

=+ ⋅

−⋅

=+ ⋅

−⋅

1 12 2

˜ ( ) ˜ ( ) , ˜ ( ) ˜ ( ) .* *S s S s S s S sx x y y= =


- 2.24 -

Bestimmung der Konstanten Kx und Ky :


Wenn qQ(0,z)=0 ist , gilt Kx=0 und Ky=0

b) einzelliger geschlossener Querschnitt

Aus Erfüllung der Verträglichkeitsbedingung

folgt :

KS s

t sds

ds

t s

KS s

t sds

ds

t s

xx

yy

= − ⋅

= − ⋅

∫ ∫

∫ ∫

˜ ( )( )

/( )

˜ ( )

( )/

( )

*

*

Kds

tK

ds

t

S

tds

Kds

tK

ds

t

S

tds

xk

k

xki

kii

mx

k

yk

k

yki

kii

my

k

⋅ − ⋅∑ = − ⋅

⋅ − ⋅∑ = − ⋅

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

=

=

1

1

˜

˜

*

*

c) n - zelliger geschlossener Querschnitt (n>1)

Aus Erfüllung der Verträglichkeitsbedingungen

(k=1,2,...,n) für jede Zelle folgt ähnlich wie in Abschn.2.2 jeweils ein lineares

inhomogenes Gleichungssystem zur Bestimmung der Konstanten Kxk und Kyk

(k=1,2,...,n) der einzelnen Zellenschubflüsse:

Bemerkungen:

- Jede Zelle darf nur durch einen einzigen Schnitt geöffnet werden. Der Schnitt dient

als Integrationsanfang (s=0) der betrachteten Zelle. Der in diesem Schnitt vorhandene

Schubfluß ist bis auf den Faktor (-Qx/Iyy) bzw. (-Qy/Ixx) gleich der Konstanten Kyk bzw.Kxk

des Zellenflusses der betrachteten Zelle k.

- In jedem Knoten des Stabquerschnittes muß die Knotengleichgewichtsbedingung

(Knotensatz) erfüllt sein : Die Summe aller Schubflüsse in einem Knoten muß null sein.

(k=1,2,...,n)

q

tds und

q

tdsQx Qy∫ ∫⋅ = ⋅ =0 0

q

tds und

q

tdsQx Qy

k k∫ ∫⋅ = ⋅ =0 0


- 2.25 -

Berechnung des Schubmittelpunktes M:

Aus der Gleichheit des Momentes der Querkraft und des Momentes des von der Querkraft

erzeugten Schubflusses bezüglich eines beliebigen Momentenbezugspunktes P folgen die

Bestimmungsgleichungen für die Koordinaten des Schubmittelpunktes M zu

-bedeutet Integration über den gesamten Stabquerschnitt bei Einhaltung des festgelegten

Momentendrehsinnes.

Bemerkung: Mittels partieller Integration lassen sich obige Integrale so umformen , daß sie

sich durch die sektoriellen Deviationsmomente IωxP,IωyP darstellen lassen.

Es ergeben sich dann dieselben Formeln für die Koordinaten des Drehpoles D

und des Schubmittelpunktes M . D.h.,es gilt (xD,yD)=(xM,yM),

Drehpol D und Schubmittelpunkt M sind identisch.

x xI

S s K r s ds

y yI

S s K r s ds

M Pxx

x x P

l

M Pyy

y y P

l

− = − + ⋅ ⋅

− = + + ⋅ ⋅

∫

∫

1

1

( ˜ ( ) ) ( )

( ˜ ( ) ) ( )

*

( )

*

( )

( )l∫

xM xP S

yP

yM

yQy

Qx

P

qQ

x

M

rP


- 2.26 -

Berechnungsschritte

1) Berechnung der Koordinaten des Querschnittsflächenschwerpunktes S.

2) Berechnung von Ixx,Iyy,Ixy und von

3) Bestimmung der Konstanten Kx und Ky

4) Berechnung der Biegenormalspannung σB(s,z)

5) Berechnung der Querkraftschubflüsse qQx(s,z) , qQy(s,z) .

6) Berechnung der Koordinaten des Schubmittelpunktes M .

˜ ( ) , ˜ ( ) . ˜ *( ) , ˜ *( ).Sx s Sy s bzw Sx s Sy s


- 2.27 -

Zusammenstellung der Spannungsanteile infolge Querkraftbiegung


1) Normalspannung infolge Biegemoment Mx

2) Normalspannung infolge Biegemoment My

3) Schubspannung infolge Querkraft Qx

σ Bx

xx

M

Iy= ⋅

σ By

yy

M

Ix= − ⋅

qQ

IS K

q

t

Qxx

yyy y

QxQx

= − ⋅ +

=

( ˜ )*

τ

SMx

x

y+

+

+

- -

S

My

x

y

-

-

+

+

Sx

y++

+

MQx

parabol.


- 2.28 -

b) einzelliger Querschnitt

1) Normalspannung infolge Biegemoment Mx

2) Normalspannung infolge Biegemoment My

4) Schubspannung infolge Querkraft Qy

qQ

IS K

q

t

Qyy

xxx x

QyQy

= − ⋅ +

=

( ˜ )*

τ

σ Bx

xx

M

Iy= ⋅

σ By

yy

M

Ix= − ⋅

Sx

y

M

Qy

linear

parabol.

-

-+

+

-

SMx

x

y

-

+

+

-

+

-

S

My

x

y

-

+

+

-

+

-


- 2.29 -

3) Schubspannung infolge Querkraft Qx

4) Schubspannung infolge Querkraft Qy

qQ

IS K

q

t

Qxx

yyy y

QxQx

= − ⋅ +

=

( ˜ )*

τ

qQ

IS K

q

t

Qyy

xxx x

QyQy

= − ⋅ +

=

( ˜ )*

τ


- 3.1 -

3.Balkentragwerke

Voraussetzungen:

• Das Tragwerk ist kinematisch unverschieblich ( keine Starrkörperfreiheitsgrade ) sowie von

Größe und Art der Belastung unabhängig.

• Die Lasteinwirkung ist quasistatisch (Stoß- und Schwingungsbelastungen werden durch äqui-

valente statische Ersatzlasten berücksichtigt ).

• Das Material des Tragwerkes ist ideal elastisch.

• Die Verformung des Tragwerkes ist sehr klein im Vergleich zu den Querschnittsabmessungen

der Tragwerkselemente ( Theorie 1.Ordnung ).

• Die Berechnung erfolgt mit der Kraftgrößenmethode (siehe Seite 1.7).

Berechnung der statischen Unbestimmtheit:

N a s p g k r= + ⋅ − ⋅ −

a - Anzahl der Lagerreaktionen (Lagerkräfte , Lagermomente)

p - Anzahl der Schnittgrößen des Stabquerschnittes

s - Anzahl der Stäbe

g - Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen des Knotens

k -Gesamtzahl der Knoten (einschließlich der Lager)

r - Anzahl der Nebenbedingungen (z.B.Freiheitsgrade von Gelenken)

N>0 : N-fach statisch unbestimmtes Tragwerk

N=0 : statisch bestimmtes Tragwerk

ebene Balkentragwerke : p=3 , g=3

räumliche Balkentragwerke : p=6 , g=6

Bemerkung : Die Bedingung N≥0 ist notwendig aber nicht hinreichend für die kinematische

Unverschieblichkeit eines Tragwerkes.


- 3.2 -

3.1 Der Durchlaufträger auf starren Stützen

a=3+n , s=n , k=n+1 , r=0

1) Zweckmäßiges statisch bestimmtes Hauptsystem : Anordnung von Gelenken bezüglich des Biege-

momentes in den Stütz- und Lagerstellen.

2) Statische Unbekannte Xi (i=1,2,...,n) : Biegemomente in den Stütz- und Lagerstellen.

l l l l l l

JJJJJ J

AQ, AQAQAQ,AQAQ

q F

l l l l l l

zzzzz z

Xi

N=n


- 3.3 -

Q

ql

z für z l

Ffür z

l

Ffür

lz l

F in Feldmitte

o

oi

i i i

ii

ii i

=

⋅ − < <

< <

− < <

−− − −( )

( )

11 1 12

0

20

2

2 2

Qo

q lo i⋅ −1

2

− ⋅ −q lo i 1

2

F

2

− F

2

3) Schnittgrößen Qo , Mo ( Beispiel ) :

4) Schnittgrößen Qi , Mi :

qo ⋅ li −1

2

8

Mo

F ⋅ li

4

ParabelMo =

q2

⋅(li −1 − z ) ⋅ zi−1 für 0 ≤ ≤ li

F2

⋅zi für 0 ≤ ≤2

F2

⋅( − zi ) für2

≤ ≤

i−1

li

zi−1 −1

zi

zi

li

li li

− 1

il

1

li −1

Qi Qi =

1

lfür 0 < z < l

− 1

li

für 0 < zi< li

0 für sonst.

i −1

i −1 i −1

MiMi =

zi −1

li −1

für 0 ≤ ≤

1− zi

li

für 0 ≤ ≤

0 sonst.

zi −1 li −1

z lii


- 3.4 -

5) Nachgiebigkeitsmatrix D und Vektor d :

Vereinfachung: feldweise konstante Trägerquerschnitte.

dl

E J G A l

dl

E J

l

E J G A l G A l

dl

E J G A l

d sonst

d

i ii

i Q i i

iii

i

i

i Q i i Qi i

i ii

i Qi i

ij

i

,,

,

,

( )

−−

− − −

−

− − −

+

= ⋅⋅

−⋅ ⋅

= ⋅⋅

+⋅

+⋅ ⋅

+⋅ ⋅

= ⋅⋅

−⋅ ⋅

=

11

1 1 1

1

1 1 1

1

0

16

1

13

1 1

16

1

0

==⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅

⋅ − ⋅ ⋅− −

−

∫ ∫1 1

1 1 0 0

1

E J lz M z dz

E J ll z M z dz

i io

l

i ii o

li i

( ) ( ) ( )

i,j = 1,2,.....,n ( n-Anzahl der statisch unbestimmten Biegemomente )

Für die numerische Berechnung ist es vorteilhaft , eine Bezugslänge Lo und ein Bezugflächen-

trägheitsmoment Io einzuführen. Bei Vernachlässigung der Verformungen infolge der Quer-

kraft (schlanke Träger ) ergeben sich dann die Formeln

dI

J

l

L

dI

J

l

L

I

J

l

L

dI

J

l

L

d sonst

dI

J

l

LM d

I

J

l

i io

i

i

o

iio

i

i

o

o

i

i

o

i io

i

i

o

ij

io

i

i

oo

o

i

i

,

,

( )

( )

−−

−

−

−

+

−

−

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅

=

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅∫

11

1

1

1

1

01

1

0

1

16

13

16

0

ζ ζ ζLL

M do

o⋅ − ⋅ ⋅∫ ( ) ( )10

1

ζ ζ ζ

ζ =≤ ≤

≤ ≤

−

−− −

z

lfür z l erstes Integral

z

lfür z l zweites Integral

i

ii i

i

ii i

1

11 10

0

( )

( )


- 3.5 -

6) Gleichungssystem :

Gleichung für die Stützstelle i :

Die Nachgiebigkeitsmatrix ist eine symmetrische positiv-definite Tridiagonalmatrix.

d X d X d X di i i ii i i i i io, ,− − + +⋅ + ⋅ + ⋅ = −1 1 1 1

, ,

d d

d d

d d O

d d

d

X

X

X

X

Xn n n n

nn

n

n

11 12

22 23

33 34

1 1 1

1

2

3

1

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

− − − −

= −

⋅⋅⋅⋅⋅

−

d

d

d

d

dn

n

10

20

30

1 0

0

,

,

7) Schnittgrößen Q(z) , M(z) im i-ten Feld :

Q z Q zl

X X für z l

M z M zz

lX

z

lX für z l

i o ii

i i i i

i o ii

ii

i

ii i i

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + − < <

= + − ⋅ + ⋅ ≤ ≤

+

+

10

1 0

1

1

Dreimomentengleichung


Hinweise:

- Die Integrale lassen sich sehr einfach mit Hilfe von Integraltabellen berechnen (Siehe

Integraltabellen zum Durchlaufträger).

- Ist der Querschnitt des Durchlaufträgers konstant (Ji=Io=const. ,i=1,2,...,n) , dann sind die Formeln vom Flächenträgheitsmoment unabhängig .

- Wenn die Stütze i eine Symmetriestütze ist, gilt bei Ausnutzung der Symmetrie von

Tragwerk und Belastung mit

l l J J

dl

EJd

l

EJd

EJ lz M z dz

i i i i

i ii

ii i

i

iio

i io

li

= =

=⋅

=⋅

=⋅

⋅ ⋅ ⋅

− −

−−

−

−

− − −

−

∫

1 1

11

1

1

1 1 1 06 3

1 1

,

, , ( ), ,

symmetrisch

- 3.6 -

8) Durchbiegung v(z) im i-ten Feld :

Die Durchbiegung setzt sich zusammen aus der Durchbiegung vo(z) infolge der im Feld

wirkenden äußeren Belastung und den Durchbiegungen v1(z),v2(z) infolge der beiden sta-

tisch unbestimmten Biegemomente Xi , Xi+1 am statisch bestimmten Hauptsystem :

ν ν ν ν( ) ( ) ( ) ( ) ,z z z z z li o i i i i i= + + ≤ ≤1 2 0

ν ζ ζ ζ ζ

ν ζ ζ ζ ζ ζ

ν ζ ζ ζ ζ ζ

ζ

oi

i

i i

i

i i

i

F l

EJfür

Beispiel

X l

EJfür

X l

EJfür

z

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= ⋅⋅

⋅ ⋅ − ⋅ ≤ ≤

= ⋅⋅

⋅ ⋅ − ⋅ − ≤ ≤

= ⋅⋅

⋅ ⋅ − ⋅ + ≤ ≤

=

+

32

1

2

21

2

483 4 0

12

61 2 0 1

61 1 0 1

ii

il

v0(zi)

v1(zi)

v2(zi)

i+1

Xi+1

Xi

li

zi

li

2F

EJi

Bemerkungen:

- Die Stelle der größten Durchbiegung zi=zi** ergibt sich aus der Bedingung v'(zi**)=0 .

- Der Durchbiegungsanteil vo(zi) kann für die wichtigsten Lastarten den Biegelinientabellen ( Träger auf zwei Stützen ) entnommen werden .

- Der links- und rechtsseitige Biegewinkel in einer Stützstelle müssen gleich sein

(Rechenkontrolle!).


Qi+Qi

-

Ri

zi-1=li-1 zi=0

Ri=Qi+- Qi

-

Qi+

Qi-

=Q (zi=0)

=Q (zi-1=li-1)

Maximales Feldmoment

a) Bei Einzelkraft im Feld befindet sich das maximale Feldmoment an der Stelle des Kraftangriffes.

b) Bei Streckenlast im Feld ergibt sich die Stelle des maximalen Feldmomentes zi = zi

* aus der Bedingung Q(zi*) = 0 .

Stützkraft Ri an der i-ten Stützstelle :

M z M ziz l

ii i

( ) max ( ) :* =< <0

- 3.7 -

3.2 Der Durchlaufträger auf elastischen Stützen

1 2 i-1 i i+1 i+2 n n+1i-2l1 li-2 li-1 li li+1 ln

J1Ji-1 Ji Ji+1 Jnh2 hi-1 hi hi+1 hn

qo F

h1

h1

hn+1

hn+1

• Verwendetes statisch bestimmtes Hauptsystem : Anordung von Gelenken bezüglich

des Biegemomentes in den Stütz- und Lagerstellen.

• Statische Unbekannte Xi (i=1,2,..,n) : Biegemomente in den Stütz- und Lagerstellen .

• Schnittgrößen Qo,Mo (Beispiel) und Schnittgrößen Qi,Mi wie beim Durchlaufträger auf

starren Stützen.

• Nachgiebigkeitsmatrix D und Vektor d:

1 2 i-1 i i+1 i+2 n n+1i-2l1 li-2 li-1 li li+1

ln

znzi+1zizi-1zi-2

z1

dh

l l

dl

EJ lh

l lh

l l

dl

EJ

l

EJ

h

lh

i ii

i i

i ii

i ii

i ii

i i

iii

i

i

i

i

ii

,

, ( ) ( )

( )

−−

− −

−−

− −−

− − −

−

−

−

−

=⋅

= ⋅ − ⋅ + + ⋅ +

= ⋅ + + +

21

1 2

11

1 11

2 1 1

1

1

1

12

16

1 1 1 1 1

13

⋅⋅ + +

=⋅

− + + +

=⋅

=⋅

⋅ ⋅ ⋅

−

+

+−

++

++

+

− −

( )

( ) ( )

( )

,

,

1 1

61 1 1 1 1

1

1

2 12

11

11

21

1

1 1 0

l l

h

l

dl

EJ lh

l lh

l l

dh

l l

dEJ l

z M z dz

i i

i

i

i ii

i ii

i ii

i i

i ii

i i

ioi i

o

lii il

EJ ll z M z dz

h

lR h

l lR

h

lR

i

i ii

l

o

i

ii o i

i ii o

i

ii o

−

∫ ∫+⋅

⋅ − ⋅ ⋅ +

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅−

−−

−

++

1

0

1

11

1

11

1 1

( ) ( )

( ), , ,

hi - Nachgiebigkeit der i-ten Stütze


i=2,3,...,n

- 3.8 -


i

dl

EJh

lh h

dl

EJ l

h

lh

l l

dh

l l

dEJ l

l z M z dzh

lR

h

lR

i

l

o

=

=⋅

+ + +

=⋅

− + +

=⋅

=⋅

⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅∫

1

31

61 1 1

1

111

11 2 1 2

121

1 1

1

12

1 2

132

1 2

101 1

1

0

1

110

2

1

1

:

( )

( )

( ) ( )

)

2020

i n

dh

l l

dl

EJ lh

l l

h

l

dl

EJh

lh h

dEJ l

n nn

n n

n nn

n nn

n n

n

n

n nn

nn

nn n

nn n

= +

=⋅

=⋅

− ⋅ + +

=⋅

+ + ⋅ +

=⋅

+ −−

+−

+

+ + + +

+

1

61 1 1

31

1

1 11

11

1

1 1 1 2 1

1 0

:

( )

( )

,

,

,

,

)

⋅⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅∫ ++z M z dz

h

lR

h

lR

l

on

nn

n

nn

n

0

01

1 0( ) ,

mit der Stützkraft Rio der i-ten Stütze im statisch bestimmten Hauptsystem infolge der

gegebenen äußeren Belastung:

Die unterstrichenen Ausdrücke ergeben die Anteile , die aufgrund der Nachgiebigkeit

der Stützen hinzugekommen sind .

Für das gegebene Belastungsbeispiel gilt

Hinweis: Wenn die Stütze i eine Symmetriestütze ist, gilt bei Ausnutzung der Symmetrie

von Tragwerk und Belastung mit

R Q Qio io io= −+ − .

RF

q lio o i= + ⋅ ⋅ −212 1 .

l l J J h h h h

dh

l l

dl

EJ lh

l l

h

l

dl

i i i i i i i i

i ii

i i

i ii

i ii

i i

i

i

i i

= = = =

=⋅

=⋅

− ⋅ + + ⋅

=

− − + − + −

−−

− −

−−

− −−

− − −

1 1 1 1 2 2

21

1 2

11

1 11

2 1 161 1 1 2

, , ,

( )

,

,

,ii

i

i

i

i

i

ii i

l

oi

ii

i

ii

EJ

h

l

h

l

dEJ l

z M z dzh

lR

h

lR

i

−

−

−

− −

− −

−

−−

−

⋅+ + ⋅

=⋅

⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅−

∫

1

1

1

12

12

01 1 0

1

11 0

10

32

1 1

( ) , ,

- 3.9 -

d X d X d X d X d X di i i i i i i i i i i i i i i io, , , , ,− − − − + + + +⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = −2 2 1 1 1 1 2 2

5 - Momentengleichung

Die Nachgiebigkeitsmatrix ist eine symmetrische positiv-definite 5 - Diagonal - Matrix .

, , ,

, , ,

, ,

d d d

d d d

d d d

d d d

O

symmetrisch d d d

d d d

d d

d

n n n n n n

n n n n n n

n n n n

nn

11 12 13

22 23 24

33 34 35

44 45 46

3 3 3 2 3 1

2 2 2 1 2

1 1 1

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

− − − − − −

− − − − −

− − −

⋅⋅⋅⋅

= −

⋅⋅⋅⋅

−

−

−

−

X

X

X

X

X

X

X

X

d

d

d

d

d

dn

n

n

n

n

n

1

2

3

4

3

2

1

10

20

30

40

3 0,

−−

−

2 0

1 0

0

,

,

,

d

dn

n


• Gleichungsystem :

Gleichung für die Stützstelle i:

• Schnittgrößen Q(z) , M(z) im i-ten Feld :

Die Berechnung erfolgt wie in Abschn. 3.1 (Punkt 7) bei starren Stützen .

• Absenkung Vi der Stützstelle i :

Stützkraft

V h Ri i i= ⋅

R Rl

X Xl

X Xi ii

i ii

i i= + ⋅ − + ⋅ −−

− +01

1 1

1 1( ) ( )

- 3.10 -

• Durchbiegung v(z) im i-ten Feld :

Die Durchbiegung v(zi) setzt sich zusammen aus der Durchbiegung für den Träger

auf starren Stützen (Abschn.3.1,Punkt 8) und der Verschiebung v3(zi) infolge der

Absenkung der i-ten und (i+1) - ten Stützstelle :

Qualitativer Querkraft - und Biegemomentenverlauf beim Durchlaufträger

ν ν ν ν ν

ν ζ ζ ζ ζ

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) , .

z z z z z

mit

V Vz

l

i o i i i i

i ii

i

= + + +

= ⋅ − + ⋅ ≤ = ≤+

1 2 3

3 11 0 1

F

Q(z)

M(z)

F

li

v(zi)

i+1

Vi+1Vi

i

zi


Lastfall

F

z

a bl

Ro Ro+ -

q1

z

lRo Ro

+ -

q2

M z0 ( )F a

ll z

⋅ ⋅ −( )

0 ≤ ≤z a

z M z dzl

⋅ ⋅∫ 0

0

( ) 16

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +F a b l a( ) lq q

4

1 23607 8⋅ ⋅ + ⋅( )

( ) ( )l z M z dzl

− ⋅ ⋅∫ 0

0

16

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +F a b l b( )l

q q4

1 23608 7⋅ ⋅ + ⋅( )

ν ζ ζ( ) mitz

l0 1≤ = ≤

F b l

EJ

a

l

b

l

⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅ ⋅ +

−

22

61ζ ζ

l

EJq

q q

4

12

2 12 3

3601 15 1

7 7 3 3

⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + − +

− ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅

ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ζ

( ) [ ( )

( ) ( )]F a l

EJ

b

l

a

l

⋅ ⋅⋅

⋅ − ⋅ ⋅ +

− −

22

61 1 1( ) ( )ζ ζ

F b

lz

⋅ ⋅

a z l≤ ≤ 0 ≤ ≤z l

16

3 1 2 1⋅⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ ⋅ −

lq l q q l z z l z[ ( ) ( )] ( )

R0+ F

b

l⋅ l

q q6

2 1 2⋅ ⋅ +( )

R0− F

a

l⋅

lq q

621 2⋅ + ⋅( )

0 ≤ ≤ζ a

l

a

l≤ ≤ζ 1

-3.11-

Integraltabelle zum Durchlaufträger


- 3.12 -

3.3 Das ebenen Rahmentragwerk Empfehlungen für die Auswahl des statisch bestimmten Hauptsystems :

• möglichst einfache rechnerische Handhabung

• Ausnutzung der Symmetrie oder Asymmetrie von Tragwerk und äußerer Belastung

• möglichst gute Konditionierung der Nachgiebigkeitsmatrix (Diagonaldominanz) .

Erzeugung statisch bestimmter Hauptsysteme durch Einführung von

• Biegemomentgelenken ( Biegemoment ist statische Unbestimmte.Siehe Durchlaufträger Abschn.3.1)

• Querkraftgelenken (Querkraft ist statische Unbestimmte.Siehe Trägerrost Abschn.3.4 )

• Längskraftgelenken (Längskraft ist statische Unbestimmte )

• Schnitte auf der Symmetrieachse des Tragwerkes (Q=0 bzw. Q=F/2 bei symmetrischer äußerer

Belastung ; M=0 bzw. M=M*/2 bei asymmetrischer äußerer Belastung ). Es braucht dann nur

eine Tragwerkshälfte betrachtet zu werden.


- 3.13 -

Beispiel: Geschlossener Querspant

q1

J1J2

J4 J4

J2

J3

q2

q3q3l1

l 3l 2

1) Zweckmäßiges statisch bestimmtes Hauptsystem : Schnitte auf der Symmetrieachse des

Tragwerkes. Die Querkräfte in diesen Schnitten sind null ,da die äußere Belastung symme-

trisch ist.Somit verbleiben nur noch 4 statisch Unbestimmte (Biegemoment und Längskraft

in beiden Schnitten ).

a=6

s=6

k=6

r=0

N=a+3(s-k)-r

N=6

6-fach statisch

unbestimmt

l 3l 2

q3

l1

2

q1

X1

X3

X2

X4

z1z2

z4

z3

Schnittgrößenorientierung

Q Q

MM

L L

z

QQ

MM

L

z

Lq2


- 3.14 -

2) Schnittgrößen Lo,Qo,Mo:

Bereich LoQo Mo

0211≤ ≤zl 0 − ⋅q z1 1

− ⋅ ⋅ − ⋅+

⋅12 2

161

1 2 3

2 32

3ql q

l lz( )0 2 2≤ ≤z l − ⋅q

l1

1

2− ⋅

+⋅1

23

2 32

2q

l lz

− ⋅ ⋅12 1 1

2q z

0231≤ ≤zl

0 − ⋅q z2 3 − ⋅ ⋅12 2 3

2q z

0 4 3≤ ≤z l − + ⋅( )q ql

1 21

2− ⋅

+⋅ +1

23

2 32 4

2q

l ll z( ) − ⋅ + ⋅ − ⋅

+⋅ +1

2 2161 2

1 2 3

2 32 4

3( ) ( ) ( )q ql q

l ll z

l 3l 2

q3

l12

q1

z1z2

z4

z3

l12

q1

z4

l 2

q3 .

Qo(z4)

Lo(z4)Mo(z4)

q2

q2

z2 l2+l3

l12 q1

z2

q3 .Qo(z2)

Lo(z2)

Mo(z2)

q1

Lo(z1)

Mo(z1)

Qo(z1)

z1

q2

Lo(z3)

Mo(z3)

Qo(z3)

l2+l3

l2+z4

z3


- 3.15 -

--

Lo

−q1

⋅ l1

2

-

Qo

−1

2⋅ (l2 + l3 ) ⋅ q

3

− q2 ⋅ l12

−q

1 ⋅ l1

2

--

Mo

−1

2⋅ q

1⋅ (

l12

)2

−1

2⋅ q2

⋅( )2

− ⋅ + ⋅ − ⋅+

⋅12 2

161 2

1 2 3

2 32

3( ) ( )q ql q

l ll

− ⋅ + ⋅ − ⋅ ⋅ +12 2

161 2

1 23 2 3

2( ) ( ) ( )q ql

q l l

−1

2⋅ q

1⋅ (

l12

)2

−1

6⋅ q3

l2+ l3

⋅l2

3

− l1

2⋅(q1

+ q2)

l12


- 3.16 -

Bereich J L1 Q1 M1

0211≤ ≤zl

0 2 2≤ ≤z l

0231≤ ≤zl

0 4 3≤ ≤z l

L3 Q3 M3 L4 Q4 M4

J1 1 0 0

J2 0 -z2

J3

J4-(l2+z4)

0

0

-1

-1

0 0

L2 Q2 M2

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

0

0

-1

0

0

0

-z4

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

3) Schnittgrößen Li,Qi,Mi (i=1,2,3,4):

l 3l 2

z3

z1z2

z4

X1

X3

X4

X2l1

2


- 3.17 -

4) Nachgiebigkeitsmatrix D und Vektor d:

Es wird nur die Biegeverformungsenergie berücksichtigt (schlanke Balken).

Somit gilt

und

dM M

EJdz i jij

i j

l

=⋅

⋅ = =∫ 1 2 3 4 0 1 2 3 4, , , ; , , , ,( )

dEJ

z dzEJ

l z dzl

EJ

l l l

EJ

dEJ

z dzEJ

l z dzl

EJ

l l l

EJ

l l

l l

112

2

0 42

2 23

2

3 23

23

40

122 0 4

22

2

2

3 22

22

40

1 13 3

1 12 2

2 3

2 3

= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =⋅

+ + −⋅

= − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ = −⋅

− + −⋅

∫ ∫

∫ ∫

( )( )

( )( ) ==

= ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + =

= − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + =

= ⋅ + ⋅ + ⋅

∫

∫

∫ ∫ ∫

d

dEJ

z l z dzl

EJ

l ld

dEJ

l z dzl

EJl

ld

dEJ

dzEJ

dzEJ

dz

l

l

l l l

21

134

2

0

32

4

2 331

144

2

0

3

42

341

221 0

2

2 0 4 0

12 3

12

1 1 1

3

3

1 2 3

( ) ( )

( ) ( )

/

==⋅

+ +

= − ⋅ ⋅ = −⋅

=

= ⋅ = =

= ⋅ ⋅ =⋅

= − ⋅ ⋅ = −⋅

=

∫

∫

∫

∫

l

EJ

l

EJ

l

EJ

dEJ

z dzl

EJd

dEJ

dzl

EJd

dEJ

z dzl

EJ

dEJ

z dzl

EJd

d

l

l

l

l

1

1

2

2

3

4

234 0

32

432

244 0

3

442

334

2

0

33

4

344 0

32

443

2

12

1

13

12

3

3

3

3

44443 0

2

4 0

1

3

3

4

1 12

1 3

= ⋅ + ⋅ =⋅

+∫ ∫EJdz

EJdz

l

EJ

l

EJ

l l/

dEJ

ql q

l lz z dz

EJq q

l q

l ll z l z dz

dEJ

l

l

102

11

23

2 3

3

0

41 2

12

3

2 32

3

2

0

20

1 12 2

16

1 12 2

16

1

2

3

= ⋅ ⋅ ⋅

+ ⋅

+⋅

⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ +( ) ⋅

+ ⋅

+⋅ +( )

⋅ +( ) ⋅

= −

∫

∫

111

2

0

2

21

12

3

2 3

3

0

41 2

12

3

2 32

3

0

12

1 12 2

16

1 12 2

16

1 2

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

+⋅

⋅

− ⋅ ⋅ +( ) ⋅

+ ⋅

+⋅ +( )

⋅

∫ ∫q z dzEJ

ql q

l lz dz

EJq q

l q

l ll z dz

l l

l

/

33

∫


- 3.18 -

dEJ

q ql q

l ll z z dz

dEJ

q z dzEJ

q ql q

l l

l

l

304

1 21

23

2 32

3

0

403

22

0

2

41 2

12

3

2

1 12 2

16

1 12

1 12 2

16

3

1

= ⋅ ⋅ +( ) ⋅

+ ⋅

+⋅ +( )

⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +( ) ⋅

+ ⋅

+

∫

∫/

332

3

0

3

⋅ +( )

⋅∫ l z dz

l

5) Gleichungssystem

6) Schnittgrößen

7) Zahlenbeispiel

Mit Io=J4 und Kürzen von E ergibt sich das Gleichungssystem:

d d d d

d d d d

d d d d

d d d d

X

X

X

X

d

d

d

d

11 12 13 14

21 22 23 24

31 32 33 34

41 42 43 44

1

2

3

4

10

20

30

40

⋅

= −

L z L z L z X

Q z Q z Q z X

M z M z M z X

o i ii

o i ii

o i ii

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

= + ⋅

= + ⋅

= + ⋅

=

=

=

∑

∑

∑

1

4

1

4

1

4

77 20833 21 125 29 60417 14 875

21 125 20 5 6 125 3 5

29 60417 6 125 14 29167 6 125

14 875 3 5 6 125 12 5

5746 5615

1986 8932

2253 2216

1559 1068

1

2

3

4

, , , ,

, , , ,

, , , ,

, , , ,

,

,

,

,

− −− −

− −− −

⋅

=

−+−+

X

X

X

X

l m qkN

m

J

J

l m qkN

m

J

J

l m qkN

m

J

J

1 14

1

2 24

2

3 34

3

6 0 20 4

2 5 30 2

3 5 42 3

= = =

= = =

= = =

,

,

,


- 3.19 -

Das Gleichungssystem hat die Lösung :

X1= -43,08649 kN

X2= 34,46854 kNm

X3= -33,28134 kN

X4= 47,49658 kNm .

Die Schnittgrößenverläufe sind : l=l2+l3

Bereich L z Q z M z

zl

X q z q z X

z l q lq

lz X q

l q

lz X z X

zl

X

( ) ( ) ( )

02

12

012

12

12 2

16

02

11

1 1 1 1 12

2

2 2 1 13

22

1 11

23

23

1 2 2

31

3

≤ ≤ − ⋅ − ⋅ ⋅ +

≤ ≤ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅

− ⋅ ⋅ − ⋅ +

≤ ≤ −− ⋅ − ⋅ ⋅ +

≤ ≤ − +( ) ⋅ − ⋅ ⋅ +( ) − − − +( ) ⋅

− ⋅ ⋅ +( )

− +( )⋅ + − ⋅ +

q z q z X

z l q ql q

ll z X X q q

l q

ll z

l z X X z X

2 3 2 32

4

4 3 1 21 3

2 4

2

1 3 1 2

12

32 4

3

2 4 1 2 4 3

12

02

12

12 2

16

XX4-

L-Verlauf

-

Q-Verlauf

⋅


- 3.20 -

-55,

53 k

Nm

-20,03 kNm34

,47

kNm

11,58 kNm

M-Verlauf

-55,53 kNm

-53,55 kNm 44,5

0 kN

m1,39

4 m

1,30

2m2,

171

m

2,98

9 m 1.779 m

1,857 m

-87,

50 k

Nm

33,96 kNm

Hinweis: In den Tragwerksknoten muß das Momentengleichgewicht erfüllt sein (Rechenkontrolle!).

Trägerdimensionierung;


σ

σ

zul

zul

N

mmJ J

J J

J J

WM

cm

W cm

W cm

W cm

J cm nach GL

=

= ⋅= ⋅= ⋅

= =

===

⇒ =

150

3

3 2

3 4

370 2

370 2

583 3

357 0

14750

2

4 3

2 3

1 3

13

23

33

43

34

max,

,

,

,

( ) 40s=880mm

280 22

s=22mm

- 3.21 -

Höhere Schiffsfestigkeit ( K

urzskripten ) Prof.Dr.habil.H

.-J.Schlüter Schiffstechnik FB 7/13 U

ni-GH

-Duisburg

0 für z ≤a

1 für z > aKlammerfunktion: z − a 0 = , z − a 1 = 0 für z ≤a

z − a für z > a

lz

q1MA

QA

q2

MB

QB

A B

lz

A B

MA

QA

MB

QB

lza b

F

A BC

MA

QA

MB

QB

+QA QB +

-

QA

QB- QB-

QA

-

+

MA MBMC

MA MBMA MB

M*

Querkraft und Momentenverläufe

z*

Q z( )=QA

QB =QA

M z( )= MA +QA ⋅ z

MB = MA +QA ⋅l

Q z( )=QA − F z − a 0

QB =QA − F

M z( )= MA +QA ⋅ z− F z − a 1

MB = MA +QA ⋅l − F ⋅b

MC = MA +QA ⋅a

M z( ) = MA +QA ⋅ z− 1

2q1 + q2 − q1

3l⋅ z

⋅ z2

M* =M z*( )

MB = MA +QA ⋅l − 1

62q 2+ q1( )⋅l2

M(z)

Q(z)

z*= −q2 q1

q1 1+ 2 −( )QA2 l

−1

⋅l q2 ≠ q1bei

q2 q1

q2

Q z( ) =QA − q1 +q2 − q1

2l⋅ z

⋅ z

QB =QA −1

2q2 + q1( )⋅l , z *=

QA

q1

q2 = q1( )bei

- 3.22 -


lz

q1

M AQA

q2

lzM A

QA

1

2MA ⋅l 2 MA +QA ⋅l( )

+1

6QA ⋅l2 3 MA +2 QA ⋅l( )

−1

6F ⋅b2 3 MA +QA 3l − b( )[ ]

1

2MA ⋅l 2 MA +QA ⋅l( )

+1

6QA ⋅l2 3 MA +2 QA ⋅l( )

−1

120l3[5MA 3q1 +q2( )

+QA ⋅l 11q1 +4q2( )]

l

z

F

a bM A

QA

Tabelle zur Berechnung des Integrals EI dio = Mi ⋅M dz0

l

∫ 0

M0Mi

lzM A

QA

MjMi

lzM A

QA

Tabelle zur Berechnung des Integrals EI dij = Mi ⋅Mj dz0

l

∫

1

2MA ⋅l 2 MA +QA ⋅l( ) +

1

6QA ⋅l2 3MA +2 QA ⋅l( )

- 3.23 -


lz

q1

QA

q2

lz

QA

l

z

F

a bQA

Tabelle zur Berechnung des Integrals EI dio = Qi ⋅Q dz0

l

∫ 0

Q0Qi

QA QA ⋅ l − F ⋅ b( ) QA ⋅l QA −1

62 q1 +q2( )⋅ l

lz

QA

lz

QA

QjQi

QA ⋅QA ⋅l

Tabelle zur Berechnung des Integrals EI dij = Qi ⋅Q j dz0

l

∫

- 3.24 -

3.4 Der ebene Trägerrost

Vereinfachungen:

• Der einzelne Träger besitzt einen konstanten Querschnitt.

• Es wird nur die vertikale innere Kraft in einem Trägerrostknoten berücksichtigt.

• Es wird nur die Biegung um die horizontale Trägerachse berücksichtigt.

Statisches Hauptsystem : Trennung der Längs- und Querträger des Trägerrostes in den

Trägerrostknoten (Kreuzungspunkten) .

Statische Unbekannte : Vertikale innere Verbindungskraft in den Trägerrostknoten.

Beispiele :

1) Einfaches Trägerkreuz

2) Trägerrost mit einem Längsträger und drei Querträgern

q

11

2

1

q

1

2

1

X1

X1

q

1

1

2

2 3

q

1

1

2

2 3

3 4

X1 X2 X3

1 2 3

X1 X2 X3

3 4


- 3.25 -

3) Trägerrost mit zwei Längsträgern und drei Querträgern

2

13

X3

2

X2

5

X1

X5 X6

4

X4

6

1

F2

F1

3

X3

5

2

X2

4

5

X1

3

X5

X6

6

1

4

X4

q

3

5

2

4

5

F1

3

6

1

42

1

F2

q


- 3.26 -

q1

q2

f1

1

1

1

X1

X1

q1

q2

Verformungsbedingung in einem Kreuzungspunkt : Die Durchbiegungen der Träger in

einem Kreuzungspunkt müssen gleich sein.

Diese Verformungsbedingung liefert für jeden Kreuzungspunkt eine Gleichung. Man erhält für

einen Trägerrost mit n Kreuzungspunkten somit n Gleichungen zur Bestimmung der n statischen

Unbekannten Xi (i=1,2,...,n) .

Nachgiebigkeit dij(k) : Durchbiegung des Trägers k an der Stelle i infolge der Einheitslast an der

Stelle j.

Es gilt : dij(k)=dji

(k) i,j = 1,2,...,n

Nachgiebigkeit dio(k) : Durchbiegung des Trägers k an der Stelle i infolge der gegebenen äußeren

Belastung am Träger k.

Kreuzungspunktgleichungen (Beispiele ):

1) einfaches Trägerkreuz

d X d d X d f

oder d d X d d

Xd d

d d

Durchbiegung des Kreuzungspunktes

fd d d

111

1 101

112

1 102

1

111

112

1 102

101

110

210

1

111

112

111

110

211

2

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) (

( )

: ( )

:

⋅ + = ⋅ − + =

+ ⋅ = −

= −+

= ⋅ + )) ( )

( ) ( )

⋅+

d

d d10

1

111

112


- 3.27 -

Knoten d X d X d X d d X d f

Knoten d X d X d X d d X

1

2

111

1 121

2 131

3 101

112

1 102

1

211

1 221

2 231

3 201

223

2

: ( ) ( ) ( )

: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + = ⋅ + =

⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + = ⋅ ++ =

⋅ − + ⋅ − + ⋅ − + = ⋅ + =

−

d f

Knoten d X d X d X d d X d f

f f f Durchbiegung der Kreuzungspunkte

Gleichungssystem

d d d

d d d

d d d

203

2

311

1 321

2 331

3 301

334

3 304

3

1 2 3

11 12 13

21 22 23

31 32

3

1 2 3

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ): ( ) ( ) ( )

, , , ,

:

3333

1

2

3

1

2

3

11 111

112

12 121

13 131

1 101

102

21 12 22 221

223

23 231

⋅

=

= + = = = −

= = + =

X

X

X

d

d

d

d d d d d d d d d d

d d d d d d d

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , ,

, , ,,

, , ,

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

d d d

d d d d d d d d d d

2 201

203

31 13 32 23 33 331

334

3 301

304

= −

= = = + = −

2) Trägerrost mit einem Längsträger und drei Querträgern

q1

X3X

2X

1

1 2 3

q2

X3

X2

X1

1

2

3

q3

q4

3

4

21

1

2 3 4

Längsträger

Querträger


- 3.28 -

Gleichungssystem

d d d d

d d d d

d d d d

d d d d

d d d d

d d d d

X

X

X

X

X

X

d

:

11 12 13 14

21 22 23 25

31 32 33 36

41 44 45 46

52 54 55 56

63 64 65 66

1

2

3

4

5

6

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

⋅

=

11

2

3

4

5

6

11 111

113

12 121

13 131

14 143

1 101

103

21 12 22 221

224

23 231

d

d

d

d

d

d d d d d d d d d d d d

d d d d d d d

= + = = = = −

= = + =

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , dd d d d d


d d d d d d d d d d

25 254

2 201

204

31 13 32 23 33 331

335

36 365

3 301

305

41 14 44 442

443

45 452

46 462

4

= = −

= = = + = = −

= = + = = =

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

, , , ,

, , , , dd d



402

403

52 25 54 45 55 552

554

56 562

5 502

504

63 36 64 46 65 56 66 662

665

6 602

605

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

, , , ,

, , , ,

−

= = = + = = −

= = = = + = −

3)Trägerrost mit zwei Längsträgern und drei Querträgern

q1

X3X

2X

1

1 2 3

q3

X1

1

X4

43

42

1

5Längsträger

Querträger

q2

X6X

5X

4

4 5 6

q4

X2

2

X5

5

q5

X3

3

X6

6

Bemerkung: Der Biegemomentenverlauf in den einzelnen Trägern ergibt sich aus

der Überlagerung der Biegemomente infolge der am Träger angreifenden äußeren

Belastung und der statischen Unbekannten. Hierfür können die in den folgenden

Tabellen angegeben Biegemomente M(x) verwendet werden.


- 3.29 -

Tabelle der Nachgiebigkeiten dij(k):

EJxj L

xi

j1i 1

3 33 3

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ −

E J Lx L xj j( )

EJ

L

xi

j1

i

xj

1

123 2

32 2 2

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅[ ]

E J Lx L x L x L x xi j j j i( ) ( )

1

123

32 3

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

E J Lx L x L xj j j( ) ( )

EJ

L

j1

i

xi xj

1

62 2

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − −[ ]

E J Lx L x x L x xi j j j i( ) ( )

1

32 2

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ −

E J Lx L xj j( )

EJxj L

xi

j1

i 1

632

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ −

E Jx x xi j i( )

1

33

⋅ ⋅⋅

E Jxj

EJ

aL

x

F

b

16

3 232 2

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅[ ]

E J Lx L x L x L x xi j j j i( ) ( )

F b

La L L a x

⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅[ ]2

32( )

xEJ

aL

F

b

F b

E J Lx a L L a x

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅[ ]2

32 2

123 2( )

F b

LL

ax F x a

⋅ ⋅ + ⋅ − ⋅ −2

3 2( ) ( )

xEJ

aL

F

b

F b

E J Lx a L b x

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ + −[ ]6

2( )

F a

LL x

⋅ ⋅ −( )

xEJ

aL

F

bF

E Ja x a

632

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ −( ) 0

F a

E J LL x b L L b L x

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −[ ]2

32

63 2( ) ( ) ( )

F b

E J Lx a L L a x

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅[ ]2

32

63 2( )

F b

LL

ax

⋅ ⋅ + ⋅2

3 2( )

F a

Lb L L b L x

⋅ ⋅ − ⋅ + + ⋅ ⋅ −[ ]2

32( ) ( )

F a

E J LL x L L a L a L x

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − − ⋅ − ⋅ −[ ]12

3 33

2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )

F a

E J LL x b L a L x

⋅⋅ ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ ⋅ + − −[ ]6

2( ) ( ) ( )

F

E Jx a x

632

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ −( )

F b

Lx

⋅ ⋅

− ⋅ −F a x( )

a x L≤ ≤

0≤ ≤x a

Fall dij (xi≤xj) djj

Tabelle der Nachgiebigkeiten dio(k) und der Biegemomente M(x) :

Fall dio (x=xi) M(x)

a x L≤ ≤

0≤ ≤x a

a x L≤ ≤

0≤ ≤x a

a x L≤ ≤

0≤ ≤x a

a x L≤ ≤

0≤ ≤x a

a x L≤ ≤

0≤ ≤x a

a x L≤ ≤

0≤ ≤x a

a x L≤ ≤

0≤ ≤x a


- 3.30 -

Tabelle der Nachgiebigkeiten d(k)io und der Biegemomente M(x) :

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJL

x

q

EJx L x L x

4822

⋅⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅( ) ( )

q

EJx L x L L x x

242 2

⋅⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −( ) ( )

q

EJx L L x x

246 42 2 2

⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +( )

q

EJ Lx L x L x

12022 2

⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +( ) ( )

q

EJ Lx L x L L x x

12022 2 2

⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ +( ) ( )

q

EJ Lx L x L L x x

2403 6 22 2 2

⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅( ) ( )

q

EJ Lx L x L L x L x x

3607 7 3 33 2 2 3

⋅ ⋅⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ −( ) ( )

q

EJ Lx L L x L x x

12010 10 52 3 2 2 3

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −( )

q

EJ Lx L L x x

12020 102 3 2 3

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +( )

qx L x

83 4⋅ ⋅ ⋅ − ⋅( )

qx L x

2⋅ ⋅ −( )

− ⋅ −qL x

22( )

q

LL L x x

602 9 103 2 3

⋅⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅( )

q

Lx L x

303 52 2

⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅( )

q

Lx L L x x

12033 60 202 2

⋅⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅( )

q

Lx L x L x

6 ⋅⋅ ⋅ − ⋅ +( ) ( )

−⋅

⋅ −q

LL x

63( )

−⋅

⋅ − ⋅ ⋅ +q

LL x L x

622( ) ( )

q

EJx L x

242 2

⋅⋅ ⋅ −( )

qL x L x

1262⋅ − + ⋅ ⋅ −[ ]( )

Fall dio (x=xi) M(x)


- 3.31 -

3

5

2

4

5

3

6

1

42

1

L2

L2

L2

L1L1L1L1

JQJQ JQJL

JL

q q q

L2

L1

= 2

J

JL

Q

= 4

Zahlenbeispiel

q

X1

X1

13

46

JQ

Querträger:

q

X2

X2

2 5

Längsträger:

L2

L2 L

2

L2

L2 L

2

X1 X

2X

1

L1

L1

L1

L1

JL

1 2 3

1 2

3 5

Querträger:

4JQ

Aufgrund der doppelten Symmetrie von Trägerrost und Belastung brauchen nur die Kreuzungs-

punkte 1 und 2 betrachtet zu werden. Es gilt X1=X3=X4=X6 und X2=X5.

Knoten d X d X d X d d X d X f

Knoten d X d X d X d d

1

2

111

1 121

2 131

1 103

113

1 143

1 1

211

1 221

2 231

1 204

224

: ( ) ( ) ( )

: ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = + ⋅ + ⋅ =

⋅ − + ⋅ − + ⋅ − = + ⋅ XX d X f

d d

oder d d d d X d X d

d X d d d X d

2 254

2 2

231

211

111

131

113

143

1 121

2 103

211

1 221

224

254

2

12

12

+ ⋅ =

=

+ + + ⋅ + ⋅ = −

⋅ + ⋅ + + ⋅ = − ⋅

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

: ( )

( ) 20204( )


- 3.32 -

dL

E Jd

L

E Jd

L

E Jd

L

E J

dL

E Jd

L

E Jd

q L

E

L L L L

Q Q

111 1

3

121 1

3

131 1

3

221 1

3

113 2

3

143 2

3

103 2

4

964

16

13192

13

881

11162

16

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , ,

, ,

= ⋅⋅

= ⋅⋅

= ⋅⋅

= ⋅⋅

= ⋅⋅

= ⋅⋅

= ⋅ ⋅⋅⋅

= = =

⋅⋅

+ ⋅⋅

⋅ + ⋅⋅

⋅ = − ⋅ ⋅⋅

⋅⋅

⋅ + ⋅

J

d d d d d d

In die Kreuzungspunktgleichungen eingesetzt

L

E J

L

E JX

L

E JX

q L

E J

L

E JX

Q

L Q L Q

L

224

113

254

143

204

103

13

23

113

22

4

13

1

524

16

16

16

16

12

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ,

:

( )

(( )

:

[ ( ) ] ( )

[ (

13

16

112

6

54

112

13

23

22

4

13

2

1

31 2

2

1

32

12

1

⋅⋅

+ ⋅⋅

⋅ = − ⋅ ⋅⋅

⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ + = − ⋅ ⋅ ⋅

+ + ⋅ ⋅

L

E J

L

E JX

q L

E J

oder nach Multiplikation mitE J

L

J

J

L

LX X

J

J

L

Lq L

XJ

J

L

L

L Q Q

L

L

Q

L

Q

L

Q

)) ] ( )

,

32

2

1

32

2

1

12

4 2

⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= =

XJ

J

L

Lq L

FürJ

J

L

Lergibt sich die Lösung zu

L

Q

L

Q

X q L X q L1 2 2 20 935755 0 886132= − ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅, , ,

Nachgiebigkeiten:

Durchbiegung der Kreuzungspunkte (Probe!) :

f f f fL

E Jq L X

L

E JX X

q L

E J

f fL

E Jq L X

L

E JX X

Q L Q

Q L

1 3 4 62

3

2 113

1 22

4

2 52

3

2 213

1

6 654

0 06424466

6 3

= = = =⋅ ⋅

⋅ ⋅ + = −⋅ ⋅

⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅⋅ ⋅

= =⋅ ⋅

⋅ ⋅ + = −⋅ ⋅

⋅ +

( ) ( ) ,

( ) ( 222

4

0 1138686

) ,= ⋅ ⋅⋅ ⋅q L

E JQ


- 3.33 -

+0,3385.q.L22

2536

14

+0,1170.q.L22

+0,1170.q.L22

-0,5724.q.L22

-0,5724.q.L22

Längsträger

21

,

-0,06192.q.L22

-0,1261.q.L22

-0,1261.q.L22

46 -0,06192.q.L22

13

Querträger

53

,

-0,06308.q.L22

-0,04538.q.L22

-0,1592.q.L22

52

Querträger 4

-0,1592.q.L22

-0,04538.q.L22

+0,07962.q.L22

Biegem

omentenverlauf:

Höhere Schiffsfestigkeit ( K

urzskripten ) Prof.Dr.habil.H

.-J.Schlüter Schiffstechnik FB 7/13 U

ni-GH

-Duisburg

- 4.1 -

4.Die Scheibe (ebener Spannungszustand ) Voraussetzungen (Hypothesen)

• Die äußere Belastung erfolgt in der Scheibenebene.

• Die Scheibendicke h ist sehr klein im Vergleich zu den Abmessungen der Scheibe

in der Scheibenebene.

• h=const.

• Die Spannungs- und Verformungsänderungen über die Scheibendicke sind

vernachlässigbar klein .

• Die Verformungen und Deformationen sind sehr klein.

• Der Werkstoff ist homogen und isotrop.

• Es gilt das Hookesche Materialgesetz.

4.1 Darstellung in kartesischen Koordinaten

Spannungskomponenten

z

x

y

σxx

σxy

σyx

σyy

h σxy

Schnittflächen-normale

Spannungs-richtung

Normalspannungen : σxx=σxx(x,y) , σyy=σyy(x,y)Schubspannungen : σxy=σxy(x,y) , σyx=σyx(x,y)

h - Scheibendicke

− ≤ ≤hz

h

2 2


- 4.2 -

Verschiebungskomponenten , Deformationen , Verträglichkeitsbedingung

ε ∂∂

ε ∂∂

γ ∂∂

∂∂

xx

yy

xy

u

xv

y

u

y

v

x

=

=

= +

∂ ε∂

∂ ε∂

∂ γ∂ ∂

2

2

2

2

2xx yy xy

y x x y+ =

Dehnung in x-Richtung

Dehnung in y-Richtung

Verzerrung

Verträglichkeitsbedingung

der Deformationen

P

x

y

P'

v

v

u

u=u(x,y) Verschiebung des Punktes P in x-Richtung

v=v(x,y) Verschiebung des Punktes P in y-Richtung

Hookesches Materialgesetz

ε σ υ σ α

ε σ υ σ α

ε υ σ σ α

γ σ

xx xx yy

yy yy xx

zz xx yy

xy xy

ET

ET

ET

G

= ⋅ − ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅ + ⋅

= − ⋅ + + ⋅

= ⋅

1

1

1

( )

( )

( )

συ

ε υ ευ

α

συ

ε υ ευ

α

σ γ

xx xx yy

yy yy xx

xy xy

E ET

E ET

G

=−

⋅ + ⋅ −−

⋅ ⋅

=−

⋅ + ⋅ −−

⋅ ⋅

= ⋅

1 1

1 1

2

2

( )

( )

E - Elastizitätsmodul , υ - Querdehnungszahl (0<υ<1/2)

G - Schubmodul , α - linearer Wärmeausdehnungskoeffizient

T=T(x,y) - gegebenes Temperaturfeld

GE=

⋅ +2 1( )υ


- 4.3 -

Gleichgewichtsbedingungen im inneren Scheibenpunkt ( Differentialgleichungen für die Scheibenspannungen )

σ xx dy⋅

σyx ⋅ dx

σyy ⋅ dx

fx ⋅ dx ⋅dy

fy ⋅ dx ⋅ dy

(σyy +∂σ yy

∂y⋅ dy) ⋅ dx

(σyx +∂σ yx

∂y⋅dy) ⋅dx

(σxy +∂σ xy

∂x⋅ dx) ⋅dy

dx

dy

y

x

(σxx +∂σ xx

∂x⋅ dx) ⋅ dy

σ xy dy⋅

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂

∂σ∂σ σ

xx yxx

xy yyy

xy yx

x yf

x yf

+ = −

+ = −

=

f f x y

f f x yx x

y y

==

( , )

( , )gegebene Belastungskomponenten(Volumenkraft)

z.B. Gewicht , Zentriefugalkraft


- 4.4 -

Gleichgewichtsbedingungen im Scheibenrandpunkt ( Randbedingungen für die Scheibenspannungen)

y

x

px

py

Pdx

dy

Tangente imRandpunkt P

α

σyxdx

σxydy

dx

dy pxds

pyds

α

ds

σyydx

σxxdy

σ α σ ασ α σ α

xx yx x

xy yy y

p

p

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

sin cos

sin cos

σ ∂∂

σ ∂∂

σ ∂∂ ∂

xx

yy

xy

F

y

F

x

F

y x

=

=

= −

2

2

2

2

2

F=F(x,y) Airysche Spannungsfunktion

f fx y≡ ≡0 0,

Bemerkung : Dieser Ansatz erfüllt die Gleichgewichtsbedingungen im inneren Scheibenpunkt.

px=px(s) , py=py(s) Komponenten der gegeben Belastung auf dem Scheibenrand

Airysche Spannungsfunktion

Voraussetzungen :

Ansatz:


- 4.5 -

Differentialgleichung für F(x,y):

∆

∆∆

= +

= + ⋅ +

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2

2

2

2

4

4

4

2 2

4

42

x y

x x y y

Andere Schreibweise:

∆∆ ∆F E T= − ⋅ ⋅α

mit

Laplace-Differentialoperator in

kartesischen Koordinaten

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

α ∂∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

4

2

2

2

22F

x

F

x y

F

yE

T

x

T

y+ ⋅ + = − ⋅ ⋅ +


- 4.6 -

4.2 Darstellung in Polarkoordinaten

Spannungskomponenten

frfϕ

drr

dϕ

ϕ

σϕ r

σϕϕ

σrr

σr ϕ

x

y

Radialspannung σrr=σrr(r,ϕ)

Umfangsspannung σϕϕ=σϕϕ(r,ϕ)

Schubspannung σr ϕ=σr ϕ(r,ϕ)

σϕ r=σr ϕ

fr=fr(r,ϕ) , fϕ=fϕ(r,ϕ)

gegebene Belastungskomponeten(Volumenkräfte)

Verschiebungskomponenten , Deformationen

y

x

P'

v

vrvϕ

Pr

ϕ

Radialverschiebung vr=vr(r,ϕ)

Umfangsverschiebung vϕ=vϕ(r,ϕ)

Radialdehnung

Umfangsdehnung

Verzerrung

ε ∂ν∂

ε ν ∂ν∂ϕ

γ ∂ν∂ϕ

∂ν∂

ν

ϕϕϕ

ϕϕ ϕ

rrr

r

rr

r

r r

r r r

=

= + ⋅

= ⋅ + −

1

1


- 4.7 -


ε σ υ σ α

ε σ υ σ α

ε υ σ σ α

γ σ

ϕϕ

ϕϕ ϕϕ

ϕϕ

ϕ ϕ

rr rr

rr

zz rr

r r

ET

ET

ET

G

= ⋅ − ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅ + ⋅

= − ⋅ + + ⋅

= ⋅

1

1

1

( )

( )

( )

συ

ε υ ευ

α

συ

ε υ ευ

α

σ γ

ϕϕ

ϕϕ ϕϕ

ϕ ϕ

rr rr

rr

r r

E ET

E ET

G

=−

⋅ + ⋅ −−

⋅ ⋅

=−

⋅ + ⋅ −−

⋅ ⋅

= ⋅

1 1

1 1

2

2

( )

( )

∂σ∂

σ σ ∂σ∂ϕ

∂σ∂ϕ

σ ∂σ∂σ σ

ϕϕ ϕ

ϕϕ ϕ ϕϕ

ϕ ϕ

rr rr rr

r r

r r

r r rf

r r rf

+−

+ ⋅ = −

⋅ +⋅

+ = −

=

1

1 2

Gleichgewichtsbedingungen im inneren Scheibenpunkt

Bemerkung : Dieser Ansatz erfüllt die Gleichgewichtsbedingungen im inneren

Scheibenpunkt.

σ ∂∂

∂∂ϕ

σ ∂∂

σ ∂∂

∂∂ϕ

ϕϕ

ϕ

rr

r

r

F

r r

F

F

r

r r

F

= ⋅ + ⋅

=

= − ⋅ ⋅

1 1

1

2

2

2

2

2

( )

f fr j≡ ≡0 0, .

Airysche Spannungsfunktion F=F(r,ϕ)

Voraussetzung :

Ansatz :


- 4.8 -

Differentialgleichung für F(r,ϕ) :

Sonderfall : Rotationssymmetrischer Spannungszustand .

σrr=σrr(r) , σϕϕ=σϕϕ(r) , σrϕ= 0 .

Differentialgleichung für F=F(r) :

allgemeine Lösung :

1 1 1r

d

drr

d

dr r

d

drr

dF

drE

r

d

drr

dT

dr⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅[ [ ( )]] ( )α

F r Er

T r dr dr C r r C r C r C

r

dF

drE

rT r dr C r C

C

r

d F

drE T E

rT

rr

( ) ( ) ln ln

( ln )

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

= = − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

∫∫

∫

α

σ α

σ α αϕϕ

1

1 11 2 2

1

12

22

3 4

2 1 232

2

2 2 rr dr C r CC

r⋅ + ⋅ ⋅ + + ⋅ −∫ 1 2

322 3 2( ln )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ϕ

∂∂ ∂ϕ

∂∂ ∂ϕ

∂∂ϕ

α ∂∂

∂∂

∂∂ϕ

4

4

3

3 2

2

2 3 4

4

4 2

4

2 2

3

3

2 4

2

2

2

2 2

2

2

2 1 1 1 2

2 4 1 1

F

r r

F

r r

F

r r

F

r r

F

r

F

r

r

F

r r

FE

T

r r

T

r r

T

+ ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

− ⋅ + ⋅ = − ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅( ))

∆

∆∆

= + ⋅ + ⋅

= + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

∂∂

∂∂

∂∂ϕ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ϕ

∂∂ϕ ∂

∂∂ϕ ∂

∂∂ϕ

2

2 2

2

2

4

4

3

3 2

2

2 3 4

4

4 2

4

2 2 3

3

2 4

2

2

1 1

2 1 1 1 2 2 4

r r r r

r r r r r r r r r r r r r

Andere Schreibweise:

∆∆ ∆F E T= − ⋅ ⋅α

mit

Laplace-Differentialoperator in

Polarkoordinaten


- 4.9 -

4.3 Beispiele

1) Elementare Lösungen

a) Rechteckscheibe unter konstanter Zugspannung in Richtung der x-Achse :

b) Rechteckscheibe unter konstanter Schubspannung :

c) Rechteckscheibe unter reiner Biegung :

y

x

σ σb

bL

y

x

τo

τo

τo

τo

y

x

bb

σσ

− σ− σ

L

H=2b

F yo= ⋅σ2

2

σ ∂∂

σ

σ ∂∂

σ ∂∂ ∂

xx o

yy

xy

F

y

F

x

F

x y

= =

= =

= −⋅

=

2

2

2

2

2

0

0

F x yo= − ⋅ ⋅τ

σ σσ τ

xx yy

xy o

= =

=

0 0,

Fb

yo=⋅

⋅σ6

3

σ σ

σ σ

xxo

yy xy

by= ⋅

= =0 0,


, , ,

, , , , ,

u x yE

x v x yE

y

bei u vv

x

( )= ⋅ ( )= − ⋅

( ) = ( ) = ( ) =

σ υ σ

∂∂

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

, , ,

, , , , ,

u x yG

y v x y

bei u vv

x

( )= ⋅ ( )=

( ) = ( ) = ( ) =

τ

∂∂

0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

u x yE H

x L y v x yE H

y L x x

bei u v v L

, , ,

, , , , ,

( )= ⋅ −( )⋅ ( )= − − −( ) ⋅

( ) = ( ) = ( ) =

σ υ συ

0 0 221

0 0 0 0 0 0 0 0

Höhere Schiffsfestigkeit (Kurzskripten) Prof.Dr.habil.H.-J.Schlüter Schiffstechnik FB 7/13 Uni-GH-Duisburg

υ σ0

E⋅b

σ0

E⋅ L

tanα =τ0

G

σ0

4 E H⋅ L2 −υ H 2( )

υ σ0

E⋅b

αα

σ0

4 E H⋅L2

σ0

4 E H⋅ L2 −υ H 2( )

Verformungen der Rechteckscheiben

zu a)

zu b)

zu c)

- 4.10 -

- 4.11 -

2) Kragscheibe mit konstanter Streckenlast

Bemerkung: Obige Spannungsfunktion ergab sich aus der Kombination elementarer Einzellösungen.

y

x

po

bb

L

x b y b dy y dy

x L y b p

x L y b

xx

b

b

xx

b

b

xy

yy o xy

yy xy

= − ≤ ≤ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

≤ ≤ = = − =

≤ ≤ = − = =

− −∫ ∫0 0 0 0

0 0

0 0 0

, : , ,

, : ,

, : , .

σ σ σ

σ σσ σ

σ

σ

xxo o

yyo o

x yp

Hx y y H y

p

Hx y b y

x yp

Hy H H y

p

Hy b y b

( , ) ( ) ( )

( , ) ( ) (

= ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅

32 3 2

32 2 2

33 3 2

33 2 3

6 435

23 2

65

212

32

23 2 ))

( , ) ( ) ( )σ xyo ox y

p

Hx y H x

p

Hx b y= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ −3

2 23

2 2632

6

σ

σ

σ

xxo

yy

xyo

x yp

Hx y

x y

x yp

Hx b y

( , )

( , )

( , ) ( )

= ⋅ ⋅ ⋅

=

= ⋅ ⋅ ⋅ −

6

0

6

32

32 2

Balkentheorie :

Randbedingungen:

F x yp

Hx y y H x H x y H yo( , ) ( )= ⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅3

2 3 5 3 2 2 2 2 315

14

34

110

H b= ⋅2


- 4.12 -

Spannungsverläufe :

y

x

-0,2 -1 2,8 (3,0)

-0,51,5

-2,8 (-3,0)+0,2

Balken-theorie

σxx

po σyy

po

σxx

po

σxy

po

H

L=H

Bemerkungen :

• σyy ist von x unabhängig .

• σxx wächst mit (L/H)2 und σxy mit L/H in x=L.

• Die Einspannbedingung u(L,y)=0 , v(L,y)=0 für -b ≤ y ≤ b kann mit obiger

Spannungsfunktion nur näherungsweise erfüllt werden.



Verformungen :

- 4.13 -

nach Balkentheorie :

E

p0

⋅u x,y( )

L= −2

L

H

2

1− ξ 3( ) ⋅η

E

p0

⋅v(x)

L= −

1

2

L

H

3

⋅ 1 −ξ( )2⋅ ξ 2 + 2ξ + 3( ) −

6

5⋅

L

H⋅ 1 +υ( )⋅ 1 −ξ( )

Balkentheorie

Scheibentheorie

y

x

HL

=1

E

p0

⋅u(x,y)

L= −2

L

H

2

⋅ 1 −ξ 3( )⋅η −1

103 2 + 5υ( ) ⋅η + 5υ[ ] 1 −ξ( ) − 2 2 + υ( ) ⋅ξ ⋅η3

E

p0

⋅ v(x, y)

L= − 1

2

L

H

3

⋅ 1 −ξ( )2 ⋅ ξ 2 + 2ξ + 3( ) − 3

20⋅ L

H3 4 + 5υ( ) + 8 + 5υ( )⋅ ξ[ ]⋅ 1 −ξ( )

−1

2⋅H

L1+

3

105 + 2υ( ) ⋅η − 1+ 2υ( )⋅η3

⋅η − 3υ ⋅L

H⋅ξ 2 ⋅η2

0 ≤ ξ =x

L≤ 1 , −

1

2≤ η =

y

H≤

1

2

- 4.14 -

3) Kragscheibe mit Einzelkraft

y

x

bb

L

Fo(h)H=2b

x L b y b h dy F quadratisch in y

x L y b

xy

b

b

o xy xx

yy xy

= − ≤ ≤ ⋅ ⋅ = − =

≤ ≤ = ± = =−∫, : , ,

, : , .

σ σ σ

σ σ

0

0 0 0

σ

σ

σ

xxo

yy

xyo

x yF

JL x y

x y

x yF

Jb y

( , ) ( )

( , )

( , ) ( )

= ⋅ − ⋅

≡

= −⋅

⋅ −

0

22 2

Randbedingungen:

F x yF

Jx y b x y L yo( , ) ( )= ⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅1

612

16

3 2 3 Jh H= ⋅ 3

12


- 4.15 -


−3

2

x

y

+

-

L=H

H

6

-

-6

σxx

τ 0

σxy

τ 0

Spannungsverläufe :

Bemerkungen :

• Obige Spannungsfunktion ergab sich aus der Kombination elementarer

Einzellösungen.

• Die Spannungen stimmen überein mit denen aus der Balkentheorie.

• Die Einspannbedingungen u(0,y)=0 , v(0,y)=0 für -b ≤ y ≤ b kann mit

obiger Spannungsfunktion nur näherungsweise erfüllt werden.

στ

ξ η

στ

η

τ

xx

xy

L

H

F

h H

0

0

2

00

12 1

32

1 4

= −( ) ⋅

= − −( )

=⋅

0 112

12

≤ = ≤ − ≤ = ≤ξ ηx

L

y

H ,


Verformungen :

- 4.16 -

u =F0

EIL −

x

2

x +

1

31+

υ2

y2

⋅ y

bei u(0,0) = 0 , v(0,0) = 0 ,∂u

∂y(0,0) = 0

v = −F0

2EIL −

x

3

x 2 + 2 1 +υ( ) H

2

2

x +υ L − x( )y2

y

x

Balkentheorie

Scheibentheorie

HL

=1

u(x,y)=F0

EIL −

x

2

⋅ x ⋅ y

v (x, y) = −F0

2EIL −

x

3

x2 + 2 1 +υ( )⋅

H 2

5⋅ x

nach Balkentheorie :

- 4.17 -

4) Dreieckscheibe mit Dreieckslast

y

x

po

L

p(x)

y = −H

L⋅ x

Hp(x) = po ⋅

x

L

0 0 0

0 0 0

≤ ≤ = = − ⋅ =

≤ ≤ = − ⋅ + ⋅ = + ⋅ =

x L y px

L

x L yH

Lx

H

L

H

L

yy o xy

xy xx yy xy

, : ,

, : , .

σ σ

σ σ σ σ

σ

σ

σ

xx o

yy o

xy o

x y pL

H

x

L

y

H

x y px

Lx L

x y pL

H

y

H

H

Lx y

( , ) ( ) ( )

( , )

( , )

= ⋅ ⋅ + ⋅

= − ⋅ ≤ ≤

= − ⋅ ⋅ − ⋅ ≤ ≤

2 2

0

0

Randbedingungen:

F x y p Lx

L

x

L

y

H

y

Ho( , ) ( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

2 3 2 316

12

13

Bemerkungen : Die Einspannbedingungen u(L,y)=0 , v(L,y)=0 für -H ≤ y ≤ 0 kann mit

obiger Spannungsfunktion nur näherungsweise erfüllt werden.


- 4.18 -

Spannungsverläufe in x=L für -H ≤ y ≤ 0 .

H

y

po ⋅(L

H)2

− po ⋅(L

H)2

σxxσyy σxy

po ⋅L

H− po

Vergleichsspannung ( Hypothese der Gestaltänderungsenergie ) :

Mit obigen Spannungen ergibt sich

σ σ σ σ σ σv xx yy xx yy xy= + − ⋅ + ⋅2 2 23

σ v

op

L

H

L

H

x

L

L

H

L

H

x

L

y

H

L

H

L

H

y

H

= + +

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

⋅ ⋅ +

+ ⋅ + ⋅

⋅

2

2 4 2 2 2

2 2 2

1 2 1 2

3 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

BA

C 2

2

0

1,392

1,309

1,323

1,25

1,00

0,75

0,5

0,25

σv

po

σv/po=1,501,561

3

3

Linien konstanterVergleichsspannungen


- 4.19 -

5) Kreisbogenscheibe bei reiner Biegung

(h)

b

r

a

ϕ

α

Mo

Mo

Die Spannungen sind von ϕ unabhängig (rotationssymmetrischer Spannungszustand).

Randbedingungen :

r a

r b

a r b

a r bL h dr M h r dr

rr r

o

a

b

a

b

= ≤ ≤= ≤ ≤

= =

≤ ≤ =≤ ≤ =

= ⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫

,

,,

,

,,

0

00 0

00

ϕ αϕ α

σ σ

ϕϕ α

σ σ

ϕ

ϕϕ ϕϕ

F r C r r C r C r C( ) ln ln= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ +12

22

3 4

CM

h aD

CM

h ab a D

CM

hD

D

b

a

o

o

o

1 22

2 22 2

32

2 2 2 2

2 1

1 2

4

1 4

=⋅

⋅ ⋅ −

= −⋅

⋅ − + ⋅ ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅

= − − ⋅ ⋅

=

( ) /

[( ) ( ln ln )]/

ln /

( ) (ln )

η

η η

η η

η η η

η


- 4.20 -

σ η η

σ η η ηϕϕ

rro

o

rM

h a

r

b

r

a

b

rD

rM

h a

r

b

r

a

b

rD

( ) [ ln ln ( ) ln ]/

( ) [ ln ln ( ) ln ( )]/

= ⋅⋅

⋅ ⋅ − + ⋅

= ⋅⋅

⋅ ⋅ − − ⋅ + −

4

41

22 2

22 2 2

+

-

σ rr(r)

σϕϕ (r)

0,64 ⋅M o

h ⋅a2

4,92 ⋅M o

h ⋅ a2

η = =b

a2

− ⋅⋅

1 07 2,M

h ao

−7,76 ⋅

M o

h ⋅ a2

η = =b

a2


- 4.21 -

6) Kreisbogenscheibe bei Querkraftbiegung

Randbedingungen :

Bemerkung : Die Einspannbedingung vr(α,r)=0 für a≤r≤b kann mit obiger Spannungsfunktion

nur näherungsweise erfüllt werden. Es gilt aber vϕ(α,r)=0.

r a

r b

a r b h dr F

rr r

r o

a

b

= ≤ ≤= ≤ ≤

= =

≤ ≤ = = ⋅ ⋅ =∫

,

,,

, : ,

0

00 0

0 0

ϕ αϕ α

σ σ

ϕ σ σ

ϕ

ϕϕ ϕ

F r C ra b

ra b r r( , ) [ ( ) ln ] sinϕ ϕ= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅3

2 22 22

ϕ

(h)

b

r

aα

Fo

CF

h a bb

aa b

r Ca b

r

a b

rr

r Ca b

r

a b

rr

r Ca b

r

o

rr

r

=⋅

⋅+ ⋅ + −

= − ⋅ ⋅ + − ⋅ − ⋅

= − ⋅ ⋅ + + ⋅ − ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ +

21

2

2 3

2

2 2 2 2

2 2 2 2

3

2 2 2 2

3

2 2

( ) ln

( , ) ( ) sin

( , ) ( ) sin

( , ) (

σ ϕ ϕ

σ ϕ ϕ

σ ϕ

ϕϕ

ϕ −− ⋅ − ⋅a b

rr

2 2

3 ) cosϕ

0 ≤ ≤≤ ≤

ϕ αa r b


+

-

6,44 ⋅Fo

h ⋅a

−1,57 ⋅Fo

h ⋅ a

−12,88 ⋅Fo

h ⋅ a

σrr (r,π2

)

σϕϕ (r,π2

)

η =b

a= 2

1,57 ⋅Fo

h ⋅ aσr ϕ (r,0)

- 4.22 -


- 5.1 -

5. Die dünne Platte


• Die äußere Belastung erfolgt senkrecht zur Plattenebene.

• Die Plattendicke h ist sehr klein im Vergleich zu den Abmessungen der Platte in der Plat-

tenebene.

• h=const.

• Es gilt die Bernoullische Verformungshypothese.

• Die Deformationen sind sehr klein.

• Die Durchbiegung w ist klein (< h/5) und unabhängig von der Dickenkoordinate z.

• Der Werkstoff ist homogen und isotrop.

• Es gilt das Hookesche Werkstoffgesetz.

• Die Normalspannung σzz ist vernachlässigbar klein.


- 5.2 -

5.1 Darstellung in kartesischen Koordinaten

Spannungen und Schnittgrößen

hp(x,y)

x

σxx

σxz

σxy

σyy σyz

σyxz

y

− ≤ ≤hz

h

2 2

p(x,y) gegebeneäußere Belastung

N

cm2

Biegemomente pro Längeneinheit

Drillmomente pro Längeneinheit

(Momentengleichgewicht um die z Achse)

Querkräfte pro Längeneinheit

Ncm

cm

m z dz m z dz

Ncm

cm

m z dz m z dz

m m

N

cm

x xxh

h

y yyh

h

xy xyh

h

yx yxh

h

xy yx

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= −

− −

− −

∫ ∫

∫ ∫

:

,

:

,

σ σ

σ σ

2

2

2

2

2

2

2

2

= ⋅ = ⋅− −

∫ ∫

:

, q dz q dzx xzh

h

y yzh

h

σ σ

2

2

2

2


- 5.3 -

Verschiebungskomponenten und Deformationen

Verschiebungskomponenten eines Plattenpunktes in x- und y-Richtung infolge der Durch-

biegung w=w(x,y) der Plattenmittelebene:

, (

u zw

xv z

w

y

u

xz

w

x

v

yz

w

y

u

y

v

xz

w

x y

xx

yy

xy

= − ⋅ = − ⋅

= = − ⋅

= = − ⋅

= + = − ⋅ ⋅

∂∂

∂∂

ε ∂∂

∂∂

ε ∂∂

∂∂

γ ∂∂

∂∂

∂∂ ∂

Bernoullische Verformungshypothese)

Deformationen :

2

2

2

2

2

2

xP

w

z

h

z P'

u zw

x= − ⋅ ∂

∂

α ∂∂

= w

x

yP

w

z

z P'

v zw

y= − ⋅ ∂

∂

β ∂∂

= w

y


- 5.4 -


Mit dem Hookeschen Materialgesetz für den ebenen Spannungszustand (Siehe Abschn.4.1)

und den Deformationen für die Platte ergibt sich:

συ

∂∂

υ ∂∂ υ

α

συ

∂∂

υ ∂∂ υ

α

συ

∂∂ ∂

xx

yy

xy

E z w

x

w

y

ET

E z w

y

w

x

ET

E z w

x y

= − ⋅−

⋅ + ⋅ −−

⋅ ⋅

= − ⋅−

⋅ + ⋅ −−

⋅ ⋅

= − ⋅+

⋅

1 1

1 1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

Bemerkung : Die Plattenspannungen σxx , σyy , σxy sind linear abhängig von der Dicken-

koordinate z. In der Plattenmittelfläche sind diese Spannungen null, wenn T(x,y,0)= 0.

Für die Schnittmomente gilt:

m Kw

x

w

ym

m Kw

y

w

xm

m Kw

x y

x T

y T

xy

= − ⋅ + ⋅ −

= − ⋅ + ⋅ −

= − − ⋅ ⋅

( )

( )

( )

∂∂

υ ∂∂

∂∂

υ ∂∂

υ ∂∂ ∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2

1

KE h= ⋅⋅ −

3

212 1( )υ

Plattenbiegesteifigkeit

Die Spannungen durch die Schnittgrößen ausgedrückt:

συ

α

συ

α

σ

xx x T

yy y T

xy xy

z

hm m

ET

z

hm m

ET

z

hm

= ⋅ ⋅ + −−

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + −−

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

121

121

12

3

3

3

( )

( )

mE

T z dz

T T x y z

Th

h

= ⋅−

⋅ ⋅ ⋅

=

−

∫αυ1

2

2

Temperaturmoment

gegebenes Temperaturfeld( , , )


- 5.5 -

Gleichgewichtsbedingungen am Plattenelement

x

zy

p dx dy⋅ ⋅

m dxyx ⋅

m dyxy ⋅

m dxy ⋅m dyx ⋅

q dyx ⋅

q dxy ⋅

( )qq

ydy dxy

y+ ⋅ ⋅∂∂

( )qq

xdx dyx

x+ ⋅ ⋅∂∂

( )mm

ydy dxy

y+ ⋅ ⋅∂∂

( )mm

xdx dyx

x+ ⋅ ⋅∂∂

( )mm

ydy dxyx

yx+ ⋅ ⋅∂∂

( )mm

xdx dyxy

xy+ ⋅ ⋅∂∂

dx

dy

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

q

x

q

yp

m

x

m

yq

m

y

m

xq

q q

m

x

m

x y

m

yp

m m m

x y

xy yy

yx xx

x y

x xy y

x y xy

+ + =

+ − =

+ − =

+ ⋅ + = −

0

0

0

22

2

2 2

2

,

, ,

aus erster Gleichung eliminiert :

eingesetzt :

K4 4 4

⋅ + ⋅ +

= − +

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂

w

x

w

x y

w

yp

m

x

m

yT T

4 2 2 4

2

2

2

22

Differentialgleichung für die Plattendurchbiegung w(x,y)

Andere Schreibweise :

K

mit Laplace Differentialoperator in kartesischen Koordinaten

=

⋅ = −

= + −

+ ⋅ +

∆∆ ∆

∆

∆∆

w p m

x y

x x y y

T

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

2

2

2

2

4

4

4

2 2

4

42


s

P(x,y)

dx

dy

α

Tangente imRandpunkt P

x

y

z

αdx

dy ds

myx.dx

my.dx

mx*.ds

my*.ds

mx.dy

mxy.dy

q*.ds

qy.dx

qx.dy

cosα = dx

ds

sinα = dy

ds

qw

x

w

x y

m

x

qw

y x

w

y

m

y

xT

yT

= − ⋅ +

−

= − ⋅ +

−

K

K

3 3

3 3

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

3 2

2 3

q q q

m m m

m m m

x y

y xy x

x yx y

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

⋅ − ⋅ =

sin cos

cos sin

sin cos

*

*

*

α α

α α

α α

s P

α

Tangente

x

y

z

mx*

my*

mn*

m*

ms*

Normale

- 5.6 -

q*=q*(s) , mx*=mx

*(s) , my*=my

*(s) Komponenten der gegebenen Randbelastung

x=x(s) , y=y(s) Koordinaten des Randpunktes

Darstellung als Normal - und Tangentialkomponente:

Gleichgewichtsbedingungen im Plattenrandpunkt

m

m

s

n

*

*

−

−

Randbiegemoment

Randdrillmoment

m m m

m m m

s x y

n x y

* * *

* * *

cos sin

sin cos

= ⋅ + ⋅

= ⋅ − ⋅

α α

α α


- 5.7 -

Ersatzrandquerkraft:

Randbedingungen

1) eingespannter Rand:

ww

n= =0 0 und (Ableitung in Richtung der Randnormalen)

∂∂

2) frei- drehbar gelagerter Rand:

w m

x const

m m m Kw

xm

w

y

y const

m m m Kw

ym

w

x

s

s y x T

s x y T

= und (Randbiegemoment)

Rand

Rand

0 0

2

0

0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

.( ) :

( )

.( ) :

( )

*

* *

* *

=

= =

= = ⇒ ⋅ = − =

= =

= = ⇒ ⋅ = − =

α π

∂∂

∂∂

α∂∂

∂∂

m dsn* ⋅

( )**

mdm

dsdsn

n+ ⋅

x

zy

mn*

mn*

mdm

dsnn**

+m

dm

dsnn**

+

′ = −qdm

dsn*

Ersatzrandquerkraftq qdm

dsn* **

= −


- 5.8 -

m und q

x const

m m Kw

x

w

ym

q qm

yK

w

x

w

x y

m

x

y const

s

s x T

xxy T

* *

*

*

.( ) :

( )

( )

.(

= =

= =

= ⇒ ⋅ + ⋅ = −

= + ⇒ ⋅ + − ⋅

= −

=

0 0

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

(Ersatzrandquerkraft)

Rand

Rand

α π

∂∂

υ ∂∂

∂∂

∂∂

υ ∂∂ ∂

∂∂

αα∂∂

υ ∂∂

∂∂

∂∂

υ ∂∂ ∂

∂∂

=

= ⇒ ⋅ + ⋅ = −

= − − ⇒ ⋅ + − ⋅

= −

0

2

2

2

2

2

3

3

3

2

) :

( )

( )

*

*

m m Kw

y

w

xm

q qm

xK

w

y

w

x y

m

y

s y T

yyx T

3) freier Rand:


- 5.9 -

5.2 Darstellung in Polarkoordinaten

x

y

z

z

r

z

mϕ

mϕ r

mr

mrϕ

qϕ

σϕϕ

σrr

qr

σrz

σr ϕ

σϕz

σϕ r

ϕ

dϕ

h2

h2

r

Biegemomente pro Längeneinheit [Ncmcm

] :

Drillmomente pro Längeneinheit [Ncmcm

] :

(Momentengleichgewicht um die z Achse)

Querkräfte pro Längeneinheit [Ncm

] :

m z dz m z dz

m z dz m z dz

m m

q dz

r rrh

h

h

h

r rh

h

r rh

h

r r

r rzh

h

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= −

= ⋅

− −

− −

−

∫ ∫

∫ ∫

∫

σ σ

σ σ

σ

ϕ ϕϕ

ϕ ϕ ϕ ϕ

ϕ ϕ

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

,

,

,, q dzzh

h

ϕ ϕσ= ⋅−

∫2

2


- 5.10 -

Durchbiegung der Plattenmittelebene : w=w(r,ϕ) .

Für die Schnittmomente gilt :

m =

m =

m m

r − ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

−

− ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

−

= = − − ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅

Kw

r r

w

r r

wm

Kr

w

r r

w w

rm

Kr

w

r

T

T

r r

∂∂

υ ∂∂

∂∂ϕ

∂∂

∂∂ϕ

υ ∂∂

υ ∂∂ϕ

ϕ

ϕ ϕ

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

1 1

1 1

11 1

( )

( ) (∂∂∂ ∂ϕ

2w

r)

συ

α

συ

α

σ

ϕϕ ϕ

ϕ ϕ

rr r T

T

r r

z

hm m

ET

z

hm m

ET

z

hm

= ⋅ ⋅ + −−

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + −−

⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

121

121

12

3

3

3

( )

( )

K w p mT⋅ −∆∆ ∆=

Die Spannungen durch die Schnittmomente ausgedrückt :

Die Gleichgewichtsbedingungen am Plattenelement ergeben die Differentialgleichung

für die Plattendurchbiegung w=w(r,ϕ)

mE

T z dz

T T r z

T

h

= ⋅−

⋅ ⋅ ⋅

=

∫αυ

ϕ

1

2

Temperaturmoment

gegebenes Temperaturfeld

-h

2

( , , )

∆

∆∆

= + ⋅ + ⋅ −

= + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅

∂∂

∂∂

∂∂ϕ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ϕ

∂∂ϕ ∂

∂∂ϕ ∂

∂∂ϕ

2

2 2

2

2

4

4

3

3 2

2

2 3 4

4

4 2

4

2 2 3

3

2 4

2

2

1 1

2 1 1 1 2 2 4

r r r r

r r r r r r r r r r r r r

Laplace Differentialoperator in Polarkoordinaten


- 5.11 -

und die Querkräfte

q Kr

wm

r

q Kr

wr

m

rT

T

= − ⋅ −

= − ⋅ ⋅ − ⋅

∂∂

∂∂

∂∂ϕ

∂∂ϕϕ

( )

( )

∆

∆1 1

Kd w

dr r

d w

dr r

d w

dr r

dw

drp

d m

dr r

dm

drT T⋅ + ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + ⋅( ) ( )

4

4

3

3 2

2

2 3

2

2

2 1 1 1

w C C r C r C r rh = + ⋅ + + ⋅ ⋅1 22

3 42ln ln

Rotationssymmetrischer Fall

w w r p p r m m r

Kd w

dr r

dw

drm

Kr

dw

dr

d w

drm

m m

q Kd

dr

d w

dr r

dw

dr

dm

drq

T T

T

T

r r

rT

= = =

− ⋅ + ⋅ ⋅

−

− ⋅ ⋅ + ⋅

−

= ≡

= − ⋅ + ⋅ −

( ) , ( ) , ( )

( )

m =

m =

r

2

2

2

2

2

2

1

1

0

1

υ

υϕ

ϕ ϕ

ϕ ≡≡

= + ⋅ = ⋅ ⋅

= + ⋅ − ⋅ + = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

0

1 1

2 1 1 1 1

2

2

4

4

3

3 2

2

2 3

∆

∆∆

d

dr r

d

dr r

d

drr

d

dr

d

dr r

d

dr r

d

dr r

d

dr r

d

drr

d

dr r

d

drr

d

dr

( )

Plattengleichung

Lösung der homogenen Plattengleichung (Eulersche Dgl.) :


- 5.12 -

Partikulärlösung der inhomogenen Plattengleichung :

w w w

wK r

r m dr dr

wK r

rr

r p dr dr dr dr

p

T

= +

= −− ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫∫

∫ ∫∫∫

1 2

1

2

11

1

1 1 1

( )( )

( ( ( ) ) )

υ

Bemerkung : Vergleiche die Differentialgleichungen für die Airysche Spannungsfunktion in

Abschnitt 4.


- 5.13 -

x

ya

( h )

x

p(x)

z

p p x w w x= =( ) , ( )

Beispiel : Eingespannter Plattenstreifen mit p(x) = po = const.

Randbedingungen : w(0)=0 , w(a)=0 , w'(0)=0 , w'(a)=0

w xp a

K

x

a

x

a

m xp a x

a

x

a

w wa p a

K

m m ap a

ma p a

o

xo

o

x xo

xo

( )

( )

( ) ( ) ,

max

= ⋅⋅

⋅

⋅ −

= − ⋅ ⋅

− +

=

= ⋅

⋅

= = − ⋅

= ⋅

4 2 2

2 2

4

2

241

216

2 384

012 2

22

24

Bemerkungen:

1) Die Differentialgleichungen des Plattenstreifens und des Balkens sind ähnlich (K~EJ) .

Daher können bekannte Balkenlösungen (Tabellenbuch) verwendet werden.

2) Für die maximale Durchbiegung und die betragsmäßig größten Spannungen (Biege-

momente) einer Rechteckplatte sind bei hinreichend großem Seitenverhältnis L/a

(L-Plattenlänge) die Ergebnisse des Plattenstreifens eine gute Näherung.

Dies gilt für die eingespannte Rechteckplatte bei L/a≥2 und für die frei-drehbar gelagerte

Rechteckplatte bei L/a≥4 .

Kd w

dxp x⋅ =

4

4 ( )

m Kd w

dxm m

m

x

y x

xy

= − ⋅

= ⋅

≡

2

2

0

υ

0 < <x a

5.3 Beispiele 1) Plattenstreifen


- 5.14 -

2) Eingespannte elliptische Platte bei konstanter Flächenlast

y

x

b

( h )

a

Ellipsengleichung :

x

a

y

b

p x y p consto

+

=

= =

2 2

1

( , ) .

w x y Cx

a

y

b

Cp a b

K a b a bo

( , )

[ ( ) ( ) ]

= ⋅

+

−

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

1

2 2 2

1

4 4

2 2 2 2

1

8 3 2

w w C

m C bx

a

y

ba

x

a

y

b

m C ax

a

y

b

x

y

max ( , )= =

= − ⋅ ⋅ ⋅

+

−

+ ⋅ ⋅

+ ⋅

−

= − ⋅ ⋅

+ ⋅

−

0 0

3 1 3 1

3 1

1

22

2 22

2 2

22

2 2

υ

+ ⋅ ⋅ ⋅

+

−

= − ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅

υ

υ

bx

a

y

b

m C x y

Cp a b

a b a b

xy

o

22 2

2

2

2 2

2 2 2 2

3 1

2 1

2 3 2

( )

[ ( ) ( ) ]


- 5.15 -

3) Rechteckplatte mit in x=0 und x=a frei-drehbar gelagerten Rändern

(h)

a

x

y

p(x,y)

b 2b 2

Randbedingungen :

Für und gilt

(

Für sind beliebige

Plattenbedingungen möglich.

x x a

w undw

xm

yb

und yb

x

= =

= = =

= − =

0

0 0 0

2 2

2

2

∂∂

)


=

m

w w w

w f y x

m

am

h p

h m mm

+

= ⋅

= ⋅ =

=

∞

∑ ( ) sin

( , , ,...)

α

α π1

1 2 3

A B C D yb

w x y

m m m m

p

, , ,

( , )

− =freie Konstanten, die anhand der Randbedingungen in

und berechnet werden.

Die Partikulärlösung wird der gegebenen Plattenbelastung p(x,y) angepaßt.

2

f y A y B y C y y D y ym m m m m m m m m( ) cosh sinh cosh sinh= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅α α α α

yb= −2


- 5.16 -

Beispiel : ( , ) =

Ränder und frei drehbar gelagert.

(Plattenstreifenlösung)

(Fourierreihendarstellung der Plattenstreifenlösung)

p x y p const

yb

yb

wp

Kx a x a x

wp

K a

x

B C m

o

po

po m

mm

m m

=

= − = −

=⋅

⋅ − ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅⋅

⋅

= = ==

∞

∑

.

( )

sin

, , ,

2 2

242

4

0 0 1 3

4 3 3

51

αα

,, ,...

( , ) ( , )

cosh

( tanh )

cosh

, , ,

5

20

20

2

2

22 2

2

21 3 5

2

2

5

4

(Symmetriebedingungen der Lösung)

Aus und folgt

für

w xb w

yx

b

Ap

K ab

b b

Dp

K ab

m

mo

mm

m m

mo

mm

= =

= − ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

∂∂

α αα α

α α

......

w x yp

K a

b b

b y b y yxo

m m

mm

m

mm

m

mm

( , )tanh

coshcosh( )

coshsinh( )

sin( )

, , ,...

= ⋅⋅

⋅ −+ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅=

∞

∑41

22 2

22

22

51 3 5

α α

α α αα α α

α

Die Durchbiegung ergibt sich somit zu

w wa

p

K a

b b

bo

m m

mm m

m

max

, , ,..

( , )

tanh

cosh

( )

= =

= ⋅⋅

⋅ −+ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ −=

∞

∑−

20

41

22 2

22

1

1 3 55

1

2

α α

α α


- 5.17 -

4) Kreisplatte unter konstanter Flächenlast p(r,ϕ)=po=const.

a) eingespannte Kreisplatte

b) frei-drehbar gelagerte Kreisplatte

w rp

Ka r r a

m rp

a r

m rp

a r

o

ro

o

( ) ( )

( ) [( ) ( ) ]

( ) [( ) ( ) ]

=⋅

⋅ − ≤ ≤

= ⋅ + ⋅ − + ⋅

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅

640

161 3

161 1 3

2 2 2

2 2

2 2

υ υ

υ υϕ

w rp

Ka a r r

m r p a r r a

m rp

a r

o

r o

o

( ) (( )

)

( ) ( )

( ) [( ) ( ) ]

=⋅

⋅ ++

⋅ − ⋅ ++

⋅ ⋅ +

= + ⋅ ⋅ − ≤ ≤

= ⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅

6451

2 31

316

0

163 1 3

4 2 2 4

2 2

2 2

υυ

υυ

υ

υ υϕ

h r

po

aa

h r

po

aa


- 5.18 -

5) Kreisplatte unter hydrostatischem Druck

z.B. Unterwasserbullauge

( , ) ( cos ) ,

( , ) ( cos )

p r g H r

w rg a H

K

r

a

r

H

ϕ ρ ϕ ρ

ϕ ρ ϕ

= ⋅ ⋅ + ⋅ −

= ⋅ ⋅ ⋅⋅

⋅ −

⋅ +

⋅⋅

Dichte des Wassers

4 2 2

641 1

3

h

aa

H Hr

a

ϕ

Annahme: Plattenrand fest

eingespannt


- 5.19 -

5.4 Die orthotrope Platte


• Die Werkstoff-bzw. Struktureigenschaften der Platte sind verschieden in x-und y-Richtung

(Orthotropie).

• Die Inhomogenitäten des Werkstoffes bzw. der Struktur der Platte sind hinreichend klein

(z.B.Faserdurchmesser und Faserabstände bei Verbundwerkstoffen;Steifenabstände bei

verrippten Platten),so daß sie "verschmiert" werden können.

• Die Werkstoff-bzw.Struktureigenschaften sind von der x- und der y-Koordinate unabhängig.

• Die äußere Belastung erfolgt senkrecht zur Plattenebene.

• Die Abmessungen der Platte bezüglich der z-Koordinate sind sehr klein im Vergleich zu den

Abmessungen in der Plattenebene.

• Es gilt die Bernoullische Verformungshypothese.

• Die Deformationen sind sehr klein.

• Die Durchbiegung w ist klein und unabhängig von der z-Koordinate.

• Es gilt das Hookesche Gesetz für orthotrope Werkstoffe.

• Die Normalspannung σzz ist vernachlässgbar klein.


- 5.20 -

5.4.1 homogene orthotrope Platten

Hookesches Materialgesetz :

oder

ν νx

x

y

yE E=

E Ex y

x y

y

,

,

,

−

−

−

−

Elastizitätsmodul in x - bzw. y - Richtung

Querdehnungszahl in x - bzw.y - Richtung

linearer Wärmeausdehnungskoeffizient in x - bzw.y - Richtung

G orthotroper Gleitmodul

x

xy

ν να α

Schnittmomente:

Querkräfte:q K

w

xK H

w

x y

m

x

q Kw

yK H

w

x y

m

y

x x xy xyTx

y y xy xyTy

= − ⋅ + + ⋅ +

= − ⋅ + + ⋅ +

[ ( ) ]

[ ( ) ]

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

3

3

3

2

3

3

3

2

σν ν

ε ν ε α ν α

σν ν

ε ν ε α ν α

σ γ

xxx

x yxx y yy x y y

yyy

x yyy x xx y x x

xy xy xy

ET

ET

G

=− ⋅

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅

=− ⋅

⋅ + ⋅ − + ⋅ ⋅

= ⋅

1

1

[( ) ( ) ]

[( ) ( ) ]

ε σ νσ

α

εσ

ν σ α

γσ

xxxx

xy

yy

yx

yyyy

yx

xx

xy

xyxy

xy

E ET

E ET

G

= − ⋅ + ⋅

= − ⋅ + ⋅

=Symmetriebedingung

m Kw

xK

w

ym

m Kw

yK

w

xm

m Hw

x ym

x x xy Tx

y y yx Ty

xy xy yx

= − ⋅ + ⋅ +

= − ⋅ + ⋅ +

= − ⋅ =

( )

( )

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂ ∂

2

2

2

2

2

2

2

2

2K Kyx xy=


Bei Gültigkeit der Bernoullischen Verformungshypothese (Siehe Seite 5.3) gilt

σν ν

∂∂

ν ∂∂

α ν α

σν ν

∂∂

ν ∂∂

α ν α

σ

xxx

x yy x y y

yyy

x yx y x x

xy

Ez

w

x

w

yT

Ez

w

y

w

xT

= −− ⋅

⋅ ⋅ + ⋅

+ + ⋅ ⋅

= −− ⋅

⋅ ⋅ + ⋅

+ + ⋅ ⋅

=

1

1

2

2

2

2

2

2

2

2

( )

( )

−− ⋅ ⋅ ⋅⋅

22

z Gw

x yxy

∂∂ ∂

-

Sonderfall : Materialgrößen unabhängig von z

Bemerkungen:

• Das orthotrope Material ist ohne Betrachtung der Temperatur durch 4 Materialgrößen,z.B.

Ex,Ey,νx,Gxy ,beschrieben.

• Die obigen Beziehungen für die Schnittgrößen sowie die Differentialgleichung für die

Plattendurchbiegung setzen voraus ,daß die Materialeigenschaften symmetrisch zur

Plattenmittelebene z=0 sind (z.B.Ex(z)=Ex(-z) ). Ansonsten wäre eine Kopplung zwischen

Scheiben- und Plattenproblem zu berücksichtigen.

KE h

KE h

K K K

HG h

mE

T z dz mE

xx

x yy

y

x yxy y x x y

xyxy

Txx x y y

x y h

h

Tyy y x

= ⋅⋅ − ⋅

=⋅

⋅ − ⋅= ⋅ = ⋅

=⋅

=⋅ + ⋅

− ⋅⋅ ⋅ ⋅ =

⋅ +

−

∫

3 3

3

2

2

12 1 12 1

6 1

( ) ,

( ) ,

, ( )

, (

ν ν ν νν ν

α υ αυ υ

α υ ⋅⋅− ⋅

⋅ ⋅ ⋅−

∫α

υ υx

x y h

h

T z dz)

12

2

KE

z dz KE

z dz K

KE

z dz H G z dz

mE

xx

x yh

h

xyy x

x yh

h

yx

yy

x yh

h

xy xyh

h

Txx

x yx y

=− ⋅

⋅ ⋅ =⋅

− ⋅⋅ ⋅ =

=− ⋅

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

=− ⋅

⋅ +

− −

− −

∫ ∫

∫ ∫

1 1

12

1

2

2

22

2

2

2

2

22

2

2

ν νν

ν ν

ν ν

ν να ν

,

,

( ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =− ⋅

⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅− −

∫ ∫αν ν

α ν αyh

h

Tyy

x yy x x

h

h

T z dz mE

T z dz) , ( )

2

2

2

2

1

συ υ

υ υυ υ

α υ α

συ υ

υ

xxx

x y x y xyy y xy x xy y x y

x

x yx y y

yyy

x y x y xyx x

E z

K K KK K m K K m

E T

E z

K K KK

= ⋅− ⋅ ⋅ ⋅ −

⋅ − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ − ⋅− ⋅

⋅ + ⋅

=⋅

− ⋅ ⋅ ⋅ −⋅ −

( ) ( )[( ) ( ) ] ( )

( ) ( )[(

* *

1 1

1

2

2 ⋅⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ −⋅

− ⋅⋅ + ⋅

=⋅ ⋅

⋅ − ≤ ≤

K m K K mE T

G z

Hm

hz

h

xy y xy x y xy

x yy x x

xyxy

xyxy

) ( ) ] ( )

* *υυ υ

α υ α

σ

1

2

2 2

m m m Kw

xK

w

y

m m m Kw

yK

w

x

x x Tx x xy

y y Ty y yx

*

*

= + = − ⋅ + ⋅

= + = − ⋅ + ⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2

2

2

συ υ

α υ α

συ υ

α υ α

σ

xx xx

x yx y y

yy yy

x yy x x

xy xy

z

hm

ET

z

hm

ET

z

hm

= ⋅ ⋅ −− ⋅

⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ −− ⋅

⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

121

121

12

3

3

3

*

*

( )

( )

Spannungen durch die Schnittmomente ausgedrückt:


- 5.21 -

- 5.22 -

x

y

a p p x w w x* *( ) , ( )= =

Kd w

dxp xx ⋅ =

4

4*( )

0 < <x a

Differentialgleichung für die Plattendurchbiegung :

Kx ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =∂∂

∂∂ ∂

∂∂

4

4

4

2 2

4

42w

xH

w

x yK

w

ypy

* *

mit

H H K p pm

x

m

yxy xyTx Ty* * , ( )= + = − +∂

∂∂∂

2

2

2

2

Allgemeine Lösungen der Differentialgleichung:

1) Plattenstreifen

Beliebige Randbedingungen bei x=0 und x=a.

Die Lösung der Randwertaufgabe ergibt sich aus der entsprechenden Lösung des Biege-

balkens , indem die Balkenbiegesteifigkeit EJ durch die Plattenbiegesteifigkeit Kx ersetztwird.

m Kd w

dx

m Kd w

dxm

x x

y yx

xy

*

*

= − ⋅

= − ⋅

≡

2

2

2

2

0


- 5.23 -

2) Rechteckplatte mit in x=0 und x=a drehbar gelagerten Rändern

(h)

a

x

y

b 2

b 2

Randbedingungen :

a)

(Asymmetrielinien der Durchbiegung)

b) beliebige Bedingungen in

,

ww

xin x und x a

yb

= = = =

= ±

0 0 0

2

2

2

∂∂


w w w

w x y f y x

h p

h m mm

= +

= ⋅ ⋅=

∞

∑ ( , ) ( ) sin( )α1

α π

κ

β α

m

x y

m mx

y

m

a

H

K K

K

K

= ⋅

=⋅

= ⋅

*

4

m = 1 2 3, , ,....

Es muß unterschieden werden zwischen den drei Fällen :

1

1

0 1 .

κκ

κ

>=

≤ <


- 5.24 -

κ

δ γ δ γ

δ β κ κ γ

δ γ δ γ

>

= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + −

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

1

12

:

( )

( ) cosh( ) cosh( ) sinh( ) sinh( )

,

* * * *f y A e B e C e D e

oder

f y A y B y C y D y

m my

my

my

my

m m m m m m m m m

m m

m m m m

mm m

m mß y

mß y

mß y

mß y

m m m m m m m m m

f y A e B y e C e D y e

oder

f y A ß y B y ß y C ß y D y ß

m m m m

= ⋅ − −

=

= ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

⋅ ⋅ − ⋅ − ⋅

β κ κ

κ

2 1

1:

( )

( ) cosh( ) cosh( ) sinh( ) sinh(

* * * *

⋅⋅

≤ <

= ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅

− ⋅ − ⋅

y

f y A e y B e y

C e y D e y

oder

f y A y y B

m my

m my

m

my

m my

m

m m m m m

m m

m m

)

:

( ) cos( ) sin( )

cos( ) sin( )

( ) cosh( ) cos( )

* *

* *

0 1κ

γ γ

γ γ

δ γ

δ δ

δ δ

⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + = ⋅ −

= −

sinh( ) cos( )

cosh( ) sin( ) sinh( ) sin( )

,

, , , , , ,* * * *

δ γδ γ δ γ

δ κ γ κ

m m

m m m m m m

m m m m

m m m m m m m m

y y

C y y D y y

ß ß

A B C D A B C D

yb

12

12

2

Die Konstanten bzw. werden anhand der Randbedingungen

in und yyb

w x y

p x y

p=2

berechnet. Die Partikulärlösung wird der gegebenen Platten -

belastung entsprechend gewählt.

( , )

( , )


5.25 -

ax,ay - Abstand der x-bzw.y-Streifen

Ax,Ay - Querschnittsfläche der x-bzw.y-Steife

Jx,Jy - Flächenträgheitsmoment bezogen auf den Querschnittsflächenschwerpunkt

der x- bzw. y-Steife

sx,sy - Abstand des Querschnittsflächenschwerpunktes der x-bzw. y-Steife von der Deck-

plattenunterseite z=h/2

emx,emy - mittragende Breite der Deckplatte für die x- bzw. y-Steife

Ax*,Ay

* - effektive Querschnittsfläche für die Biegung der x-bzw.y-Steife

ex,ey - Abstand des Schwerpunktes der effektiven Fläche für die Biegung von der Deckplat-

tenmitte z=0 der x- bzw. y-Steife (Steifenexzentrizität)

Jdx,Jdy- Torsionsträgheitsmoment der x-bzw.y-Steife

5.4.2 orthogonal äquidistant verippte Rechteckplatten

y

z

ax

ax

ax

ay

ay

ay

ay(h)

emy

Ax,Jx,sx,Jdx

emx

Ay,Jy,sy,Jdy

x-Steifen

y-Steifen

x

h

Ax*

Ay*


- 5.26 -

Verformungshypothese (Bernoulli) :

Deformationen :

( , , ) ( , ) ( ) ( , )

( , , ) ( , ) ( ) ( , )

( )

u x y z u x y z ex

w x y

x y z x y z ey

w x y

u

x

u

xz e

w

x

y

o x

o y

xxo

x

yyo

= − − ⋅

= − − ⋅

= = − − ⋅

= =

∂∂

ν ν ∂∂

ε ∂∂

∂∂

∂∂

ε ∂ν∂

∂ν∂

2

2

yyz e

w

y

hz

hH

u

y x

u

y xz e e

w

x y

hz

h

hz

h

y

xyo o

x y

xx

− − ⋅

− ≤ ≤ +

= + = + − ⋅ + + ⋅ − ≤ ≤

− ≤ ≤

( )

[ ( )] (

) :

∂∂

γ ∂∂

∂ν∂

∂∂

∂ν∂

∂∂ ∂

σ

2

2

2

2 2

22 2

2 2

nur für Deckplatte)

Hookesches Materialgesetz :

Deckplatte (

== ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

− ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅

−

E Eu

x yE z e

w

xz e

w

y

E Ey

u

x

xx yyo o

x y

yy yy xxo o

* * *

* *

( ) ( ) ( )

( )

ε υ ε ∂∂

υ ∂ν∂

∂∂

υ ∂∂

σ ε υ ε ∂ν∂

υ ∂∂

2

2

2

2

EE z ew

yz e

w

x

Gu

y xG

u

y xG z e e

w

x y

EE

Steifenh

y x

xyo o

x y

*

*

( ) ( )

( )

(

⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= ⋅ +

= ⋅ +

− ⋅ ⋅ − +[ ] ⋅

=−

∂∂

υ ∂∂

σ ∂∂

∂ν∂

∂∂

∂ν∂

∂∂ ∂

υ

2

2

2

2

2

2

2

1

2≤≤ ≤ +

= ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= ⋅ = ⋅ − ⋅ − ⋅ −

= ⋅ ⋅ = ⋅∫

zh

H

E Eu

xE z e

w

xx Steife

E Ey

E z ew

yy Steife

ne

dA Du

xx xxo

x

yy yyo

y

xmx

xx x

A

xo

x

2

1

2

2

2

2

):

( ) ( )

( ) ( )

*

( )*

σ ε ∂∂

∂∂

σ ε ∂ν∂

∂∂

σ ∂∂

Schnittgrößen:

xxD

ye

w

y

ne

dA Dy

Du

xe

w

x

n dz Du

y xe e

oy

ymy

yy y

A

yo o

x

xy xy

zh

h

o ox

y

+ ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅

= ⋅ = − ⋅ ⋅ + + +

∫

∫=−

υ ∂ν∂

∂∂

σ ∂ν∂

υ ∂∂

∂∂

σ υ ∂∂

∂ν∂

( )

( )

(

*

( )*

2

2

2

2

2

2

1

12 yy

w

x y) ⋅

∂∂ ∂

2

− ≤ ≤ +

−

hz

hH

H Steifenhöhe2 2


- 5.27 -n n

me

z e dA Kw

xK

w

yD e

y

me

z e dA Kw

yK

w

x

yx xy

xmx

xx x x

A

x xy xo

ymy

yy y y

A

y yx

x

y

=

= ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅

− ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ − ⋅ = − ⋅ + ⋅

∫

∫

1

1

2

2

2

2

2

2

2

σ ∂∂

∂∂

υ ∂ν∂

σ ∂∂

∂∂

( )

( )

*

( )

*

( )

*

*22

2

2 2 2 12

− ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ − ⋅ − ⋅ ⋅ = − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ +

= − ⋅ − ⋅

=−

=−

∫

υ ∂∂

σ ∂∂ ∂

∂∂ ∂

υ ∂∂

∂ν∂

σ

D eu

x

m e z dzG J

e

w

x yH

w

x yD e

u

y x

m e z dz

yo

xy xy x

zh

h

dx

mxxy x

o o

yx xy y

z

( )

( )hh

h

dy

myyx y

o oG J

e

w

x yH

w

x yD e

u

y x2

2 2 2 12∫ −

⋅⋅ = − ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅ +

∂∂ ∂

∂∂ ∂

υ ∂∂

∂ν∂

D E h KE h

EE

GE

D DE A

eD D

E A

e

K K D e EJ A s

he

e

K K D e EJ A s

xx

mxy

y

my

x x

x x x x

mx

y y

y y y

= ⋅ = ⋅ =−

=⋅ +

= + ⋅ = +⋅

= + ⋅ + ⋅+ ⋅ + −

= + ⋅ + ⋅+ ⋅

**

* , , , ( )

,

( )

(

3

2

2

2

2

12 1 2 1

2

υ υ

++ −

= = + ⋅ ⋅( )= − ⋅ + ⋅ + − ⋅ ⋅ ⋅ +

= − ⋅ +⋅

+ − ⋅ ⋅ ⋅ +

=− ⋅ ⋅ +

he

e

K K K D e e

H KG J

eD e e e

H KG J

eD e e e

eA s

h

y

my

xy yx x y

xydx

mxx x y

yxdy

myy x y

x

x x

2

11

2

11

2

12

2

2

)

( ) ( )

( ) ( )

( )

υ

υ υ

υ υ

υ

⋅ + − ⋅=

− ⋅ ⋅ +

⋅ + − ⋅h e Ae

A sh

h e Amx xy

y y

my y( ) ,

( )

( )1

12

12

2

2υ

υ

υ

′ ⋅ − ⋅ = ′ ⋅ − ⋅ =∫ ∫E z e dA und E z e dAx x

A

y y

Ax y

( ) ( ) *

( )

*

( )* *

0 0

H Hyx xy≠ m myx xy≠ .

( , )e ex y≠ ≠0 0

Bemerkungen:

• Wenn die Versteifung in x- Richtung und in y-Richtung unterschiedlich ist ,dann gilt für

die Drillsteifigkeiten und für die Drillmomente

• Die Steifenexzentrizitäten ex,ey ergeben sich aus den Bedingungen

mit E'=E* für die Deckplatte und E'=E für die Steife.

• Bei exzentrischen Versteifungen entsteht eine Kopplung zwischen

Scheiben-und Plattenproblem.


- 5.28 -

Gleichgewichtsbedingungen (Siehe Abschn.5.1):

Du

xD

u

yD

x y

De e

w

x y

Dy

Dx

Du

x y

xo o o

x y

yo o o

⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ + ⋅ −( ) ⋅ + +( ) ⋅[ ] ⋅ =

⋅ + − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅ +

∂∂

υ ∂∂

υ ∂ ν∂ ∂

υ υ ∂∂ ∂

∂ ν∂

υ ∂ ν∂

υ ∂∂ ∂

2

2

2

2

2 3

2

2

2

2

2

2

12

12 2

1 1 0

12

12

DDe e

w

x y

Kw

xH

w

x yK

w

y

De e

u

x y

D

x y

x y x yo

21 1 0

22

1 1

21

3

2

4

4

4

2 2

4

4

3

2

⋅ +( ) ⋅ + −( ) ⋅[ ] ⋅ =

⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ −( ) ⋅ + +( ) ⋅[ ] ⋅ +

+ ⋅ +( ) ⋅

υ υ ∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

υ υ ∂∂ ∂

υ

*

ee ex y

px yo+ −( ) ⋅[ ] ⋅ =1

3

2υ ∂ ν∂ ∂

H KG J

e

J

eD e e e edx

mx

dy

myx y x y

* = + ⋅ +

+ ⋅ − ⋅ +( ) + ⋅ ⋅

2

14

2υ υ

q Kw

xH K

w

x yD e e

x yD e

u

y

q Kw

yH K

w

x yD e

x x yx yx x yo

yo

y y xy xy y

= − ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅

= − ⋅ − + ⋅ − ⋅ ⋅ + −

∂∂

∂∂ ∂

υ υ ∂ ν∂ ∂

υ ∂∂

∂∂

∂∂ ∂

υ υ

3

3

3

2

2 2

2

3

3

3

2

12

12

12

( ) ( )

( ) ( ⋅⋅ ⋅ − − ⋅ ⋅ ⋅eu

x yD e

xxo

xo)

∂∂ ∂

υ ∂ ν∂

2 2

2

12

In der Praxis vernachlässigt man häufig den Einfluß der Verschiebungen uo,vo. Die Differential-

gleichung für die Durchbiegung w vereinfacht sich dann zur Differentialgleichung der homoge-

nen orthotropen Platte.

Kw

xH

w

x yK

w

ypx y⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =∂

∂∂

∂ ∂∂∂

4

4

4

2 2

2

42 *

Weiterhin gilt näherungsweise für die Plattenschnittgrößen

m Kw

xK

w

y

m Kw

yK

w

x

x x xy

y y yx

= − ⋅ + ⋅

= − ⋅ + ⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2

2

2

2

2

2

2

2

m Hw

x y

m Hw

x y

q Kw

xH K

w

x y

q Kw

yH K

w

x y

xy xy

yx yx

x x yx yx

y y xy xy

= − ⋅

= − ⋅

= − ⋅ − + ⋅

= − ⋅ − + ⋅

∂∂ ∂∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

∂∂

∂∂ ∂

2

2

3

3

3

2

3

3

3

2

( )

( )

⇒ =m

H

m

Hxy

xy

yx

yx

K K K D e exy yx x y= = ⋅ + ⋅ ⋅υ ( )


- 5.29 -

σ ∂∂

υ ∂∂

σ ∂∂

υ ∂∂

σ υ ∂∂

xx x y

yy y x

xyx y

E z ew

xz e

w

y

E z ew

yz e

w

x

E ze e w

x

= − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= − ⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅

= − − ⋅ ⋅ −+

⋅

*

*

*

( ) ( )

( ) ( )

( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

12 ∂∂

σ ∂∂

σ ∂∂

y

hz

hDeckplatte

E z ew

xfür

hz H

hx Steife

E z ew

yfür

hz H

hy Steife

H H Höhe der x bzw y

xx x x

yy y y

x y

− ≤ ≤

= − ⋅ − ⋅ ≤ ≤ + −

= − ⋅ − ⋅ ≤ ≤ + −

− − −

( )

( ) ( )

( ) ( )

, .

2 2

2 2

2 2

2

2

2

2

SteifeSteife

Für die Spannungen in Deckplatte und Steife gilt näherungsweise


Literatur

[1] I.Szabo : Höhere Technische Mechanik. 4.Aufl.

Springer-Verlag B./G./H. 1964

[2] H.Göldner : Lehrbuch Höhere Festigkeitslehre

Bd.1 : Grundlagen der Elastizitätslehre. 3.Aufl.

Fachbuchverlag Leipzig 1991

[3] H.Göldner,u.a. : Lehrbuch Höhere Festigkeitslehre.

Bd.2 : Probleme der Elastizitäts-,Plastizitätz-und Viskoelastizitätztheorie. 3.Aufl.


[4] H.Göldner,u.a. : Arbeitsbuch Höhere Festigkeitslehre.

Fachbuchverlag Leipzig

[5] S.Sähn , H.Göldner : Arbeitsbuch Bruch-und Beurteilungskriterien in der Festigkeitslehre.


[6] A.Pflüger : Statik der Stabtragwerke.

Springer-Verlag B./G./H. 1978

[7] S.Timoshenko , S.Woinowsky-Krieger : Theory of Plates and Shells.

Mc Graw-Hill Book Company 1959

[8] K.Marquerre , H.-T.Woernle : Elastische Platten.

B.-I.-Wissenschaftsverlag M./W./Z. 1975

[9] E.V.Lewis(Ed.) : Principles of Naval Architecture.

published by SNAME 1988

[10] O.F.Hughes : Ship Structural Design.

published by SNAME 1988

[11] H.Eschenhauer, W.Schell: Elastizitätstheorie (Grundlagen, Flächentragwerke, Struktur-

optimierung); 3. vollständig überarbeitet und erweiterte Auflage

B.-I. Wissenschaftsverlag M./L./W./Z. 1993

[12] H.Eschenhauer, W.Schell: Elastizitätstheorie, Formel und Aufgabensammlung.

B.-I. Wissenschaftsverlag M./L./W./Z. 1994

[13] H.-J. Schlüter, A.G. Kohlhaupt, R. Plum, Ch. Weißenborn: Übungsaufgaben zur

Schiffsfestigkeit, ISD 1998


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Prof.Dr.-Ing.habil.H.-J.Schlüter - Willkommen bei · PDF fileHöhere Schiffsfestigkeit ( Kurzskripten ) Prof.Dr.habil.H.-J.Schlüter Schiffstechnik FB 7/13 Uni-GH-Duisburg - 2.4 -