Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13:

Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit

LiteraturLedolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: Process Capability and Pre-Control Bergman, Klefsjö, Quality: Kap.12: 12: Control Charts; Kap.13: Capability

24.10.2003 Prozesskontrolle 2

Prozesskontrolle Anwendung der Statistik zur Kontrolle

(Beobachtung und Regelung) des Prozesses in Gegenwart von Prozessvariabilität Änderungen des Mittelwertes (Niveau, Level) Änderungen der Prozessvariabilität

Ist der Prozess „in Kontrolle“ (stabil)?


Zielsetzung der Prozesskontrolle

Rasch entdecken, wenn der Prozess „außer Kontrolle“

Qualitätsverbesserung


Funnel-Experiment Lasse einen stabilen Prozess unverän-dert! Trichter- (funnel-) Experiment: Kugel rollt

durch Trichter; Ziel ist Nullpunkt, Kugel trifft im k-ten Versuch zk

Strategien: Trichter unverändert Verschiebe Trichter um –zk Verschiebe Trichter nach –zk (Verschiebe Trichter nach zk)


Shewhart-Karte


Kontrollkarten Zeitreihen-Darstellung von Prozess- oder

Produktcharakteristika Graphische Hilfe um festzustellen, ob

Prozess „in Kontrolle“ Variabilität durch common (usual) causes

vs. Variabilität durch special (assignable) causes

Alarm => Suche nach Ursachen Mittel, den Prozess (1) besser zu

verstehen und (2) zu verbessern


Bedeutung der Kontrollkarten Anwendung heißt: Analyse des

Prozesses oder Produktes Produktentstehung ist wichtiger als

Produkt (Deming: „nur 6% der Fehler durch special causes“)

Einfache Technik


Anwendung der KontrollkarteDas Beantworten der zu lösenden Fragen

gibt wichtige Einsichten: Was (welche Charakteristika) soll

kontrolliert werden? Welche Standards sind zu erfüllen? Welche Messungen? Welcher Messvorgang? Welche Verarbeitung der Messungen?


Prozess- vs. Annahmekontrolle Prozesskontrolle (PK) reduziert Fehler

und Kosten, Annahmekontrolle (AK) kommt zu spät

PK gibt Hinweise auf Ursachen für Mängel, bei AK kaum rekonstruierbar

PK erlaubt Verbesserungen PK erlaubt Anpassen an Anforderungen PK erlaubt Robustifizierung


Kontrollkarten bei DienstleistungenAnwendungen bei IBM Kingston Vorschlagswesen (Dauer bis zur

Reaktion auf Vorschlag) Medizinische Einstellungsuntersuchung

(Dauer) Auftragsabwicklung (Anzahl der Fehler) Etc.


Typen von Kontrollkarten Mittelwerts-Karte ( Karte) s-Karte (Standardabweichung) R-Karte (range) c-Karte (counts) p-Karte (proportion)Für metrische Merkmale: Mittelwerts-, s-

und R-Karte: Mittelwert und Variabilität müssen kontrolliert werden!

x


Aufbau einer Kontrollkarte Mittellinie (center line) untere Kontrollgrenze (lower control

limit, LCL) obere Kontrollgrenze (upper control

limit, UCL) Als Kontrollgrenzen sind 3-Grenzen

üblich (siehe unten)


Verwendung einer Kontrollkarte1. In regelmäßigen Intervallen: Ziehen

einer Stichprobe (n=4 oder 5)2. Für k-te Stichprobe: MWk, sk, Rk

3. Eintragen in Kontrollkarten


Beispiel: Mittelwerts-Karte nach zGWS gilt (näherungsweise): bei

stabilem Prozess liegen 99.73% der Mittelwerte im Intervall

Ersetzen von durch , durch gibt

nn 3,3

x3 3,s sLCL x UCL xn n

s


Beispiel: Mittelwerts-Karte, Forts. Alternativ schreiben wir mit A3 (aus der

Tabelle)

Die Größen und werden in der Initialisierungsphase ermittelt

3 3,LCL x A s UCL x A s

x s


s-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der

Standardabweichungen sk zwischen

B3 und B4 aus der Tabelle

3 4,LCL B s UCL B s


R-Karte Bei stabilem Prozess liegen 99.73% der

Spannweiten Rk zwischen

D3 und D4 aus der Tabelle ist der Mittelwert der Rk aus der

Initialisierungsphase R-Karte ist einfacher, s-Karte zeigt eher

Änderung an

3 4,LCL D R UCL D R

R


Bewertung von Kontrollkarten Lauflänge (run length) RL: Zahl der

Stichprobenwerte, bis eine Kontrollgrenze überschritten wird (die Kontrollkarte einen Alarm gibt)

Wahrscheinlichkeitsverteilung von RL:P(RL=k) = (1-w)k-1w, k = 1, 2, ...

mitw = P(Stichprobenwert liegt außerhalb Kontrollgrenzen)


ARL, mittlere Lauflänge ARL (average run length)

ARL = E(RL) = 1/w


Beispiel: Mittelwerts-Karte Prozess in Kontrolle mit 0 und

w = 1 P(LCL UCL) = 0.0027

und ARL = 1/0.0027 = 370 Prozess außer Kontrolle: = 0 +

w = 1 P( 3 n Z 3 n)

x


Praxis der Kontrollkarten Konstruktion:

Auswahl des Stichproben-Intervalls Auswahl des Stichproben-Umfanges Art der Stichprobe

Verwendung: Kleiner Stichproben-Umfang (4 oder 5): toleriert

kleine d Kosten für (1) einzelne Messung, (2) Unterbre-

chung des Prozesses, (3) nicht entdecktes out-of-control Produkt

Stichproben unter homogenen Bedingungen


Kontrollkarten für Attribute p- und np-Karte: zur Kontrolle des

Anteils von defekten Stücken c-Karte: bei komplexen Produkte (zB

ganzer PKW): zur Kontrolle der Anzahl der Defekte (nonconformities) an einem geprüften Stück

u-Karte: wie c-Karte, aber auf Einheit bezogen; i-te Stichprobe umfasst ni Einheiten


Variablen- vs. Attributkontrolle Variablenkontrolle:

berücksichtigt mehr Information reagiert „rechtzeitig“ kleinere Stichproben

Attributkontrolle auch auf metrisch-skalierte Variable anwendbar

(brauchbar ja/nein) einfacher mehrere Merkmale gemeinsam robuster


Mittelwerts-Karte mit Warngrenzen Bedingungen für „außer Kontrolle“ eine Beobachtung außerhalb 3-Grenze mindestens zwei von drei Beobachtun-

gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 2-Grenze

mindestens vier von fünf Beobachtun-gen in Reihe ober- oder unterhalb CL und außerhalb 1-Grenze

mindestens acht Beobachtungen in Reihe ober- oder unterhalb CL


Warngrenzen: weitere Bedingungen mindestens 15 Beobachtungen in

Reihe innerhalb 1-Grenze ("hugging")

mindestens 15 Beobachtungen in Reihe außerhalb C ("Misch"-Prozess)

lange Folge von hoch-tief Beobachtungen ("Sägezahn")

Zyklen, Trend


Effekte der Warngrenzen Prozess außer Kontrolle wird rascher

entdeckt (ARL kleiner) Achtung! Auch ARL bei Prozess in

Kontrolle wird kleiner!


Beispiel: Mittelwertskarte Entscheidung nach 1.:

ARL(0) = 370ARL() = 33.9

Entscheidung nach 1. bis 4.: ARL(0) = 100

ARL() = 9


Prozessüberwachung Ermittlung von und nur mit

Beobachtungen aus Prozess in Kontrolle Kontrollgrenzen nachjustieren! Beispiel: Gewicht von Brotlaiben

Aus Beobachtungen 1 bis 25: = 100.92 kg, = 1.74 kg, LCL = 98.44, UCL = 103.41

Aus Beobachtungen 1 bis 20: = 100.17 kg, = 1.70 kg, LCL = 97.74, UCL = 102.60

x

x

x

s

s

s


Spezielle Kontrollkarten Kontrollkarten für Einzelwerte

Gleitende Spannweiten (moving range, MR) Karte: MRi = |xi-xi-1|, i = 1, 2, ..., LCL = 0, UCL = 3.267 MR-bar

Karte für individuelle Beobachtungen, LCL = 3 (MR-bar/1.128), UCL = …

CUSUM-Karte EWMA-Karte (: Glättungsparameter)

EWMAi = xi + (-l) EWMAi-1

x


EWMA- und CUSUM-Karten Vorteil: kleines ARL bei kleinen

Störungen Nachteil: komplizierter


Neuere Entwicklungen Kontrollkarten für seriell korrelierte

Qualitäts-Charakteristika Kontrollkarten für multivariate Qualitäts-

Charakteristika Kosten-optimale Kontrollkarten


Prozessfähigkeit Fähigkeit des (Produktions-) Prozesses,

die Anforderungen des Kunden zu erfüllen

Anforderungen des Kunden Zielwert (Tg, target value) Untere Spezifikationsgrenze (LSL, lower

specification limit) Obere Spezifikationsgrenze (USL, upper

specification limit)


Prüfen der Prozessfähigkeit Graphische Darstellung des Prozesses

zB Histogramm: optischer Eindruck der Prozessfähigkeit des Anteils, der die Anforderungen nicht

erfüllt Fähigkeitsindizes Pre-control Karte


Fähigkeitsindizessind Indexzahlen, die das Ausmaß

messen, in dem ein Prozess die Anforderungen des Kunden erfüllt.

Cp-Fähigkeitsindex Cpk- Fähigkeitsindex Cpm- Fähigkeitsindex CR- FähigkeitsindexEngl.: capability indices


Cp-Fähigkeitsindex

Cp = (USL − LSL)/(6)

misst die zulässige Streuung des Prozesses als Anteil an der tatsächlichen Streuung


Cp-Fähigkeitsindex: Beispiel Normalverteilte Qualitätsvariable wenn = Tg, enthält der ±3-Bereich

99.73% der Produkte Cp = 1 bedeutet: 0.27% sind defekt

wenn = Tg Achtung! Cp sagt nichts darüber aus,

wie groß der Anteil der defekten tatsächlich ist!


Cp und Anteil der Defekten

Cp Bereich Def.ppm 1.00 ±3 2699.93 1.33 ±4 63.37 1.67 ±5 0.57 2.00 ±6 0.002


Cp-Fähigkeitsindex: Forts. Viele Unternehmen verlangen ein Cp von

1.33! Schätzung von Cp: wird durch s ersetzt

Cp-hat = (USL − LSL)/(6s) Beispiel:

Cp-hat(Breite) = (4.03-3.97)/6(0.008) = 1.25; Cp-hat(Stärke) = (0.265-0.235)/6(0.00421) =

1.19.


Cpk-Fähigkeitsindex

Cpk = Min {USL − , − LSL}/(3)

geschätzter Cpk: und werden durch x-bar und s ersetzt

Cpk-hat = Min {USL − x-bar, x-bar − LSL}/(3s)


Cpk-Fähigkeitsindex: Beispiel

Cpk-hat(Breite) = Min{4.03-3.9947, 3.9947-3.97}/3(0.008) =Min {0.0353, 0.0247}/0.024 = 1.03

Cpk-hat(Stärke) = Min {0.265-0.24894, 0.24894-0.235}/3(0.00421) = 1.10.


Cpm-Fähigkeitsindex

Cpm = (USL − LSL)/(6)

mit (*)2 = 2 + ( − Tg)2 Es gilt

Cpm = Cp /√[1 + ( − Tg)2/ 2] je größer | − Tg|, umso kleiner wird Cpm

gegenüber Cp


Cpm-Fähigkeitsindex: Schätzung

Cpm-hat = (USL − LSL)/(6s)

mit (s*)2 = i (xi − Tg)2/(n − 1), oder

Cpm-hat = (USL − LSL)/{6√[s2 + (x-bar − Tg)2]}


Cpm-Fähigkeitsindex: Beispiel

Cpm-hat(Breite) = (4.03−3.97)/ {6√[(0.008)2 + (3.9947−4.00)2]} = 1.04

Cpk-hat(Stärke) = (0.265−0.235)/ {6√[(0.00421)2 +(0.24894−0.25)2]} = 1.15.


CR-Fähigkeitsindex, Target-Z Fähigkeitsverhältnis (capability ratio)

CR = 1/Cp

Anteil der zulässigen Streuung des Prozesses, den die tatsächliche Streuung ausnützt

Target-Z: Maß für Abweichung zwischen und Tg

Target-Z = (Tg − )/


CR-Fähigkeitsindex, Target-Z CR und Target-Z gemeinsam erlauben

die Beurteilung der Prozessfähigkeit je kleiner CR und je kleiner |Target-Z|,

umso besser Beispiel: Procter & Gamble: CR < 0.75

(entspricht Cp > 1.33); |Target-Z| < 0.5 ( muss innerhalb von

/2 von Tg liegen)


CR und Target-Z: Beispiel

CR-hat(Breite) = 0.8 Target-Z-hat(Breite) =

(4.00−3.9947)/(0.008) = 0.66 CR-hat(Stärke) = 0.84 Target-Z-hat(Stärke) =

(0.25−0.24894)/(0.00421) = 0.25


Six Sigma Teil des TQM-Konzepts von Motorola Anforderungen:

so, dass LSL und USL mindestens 6 von Tg (USL−Tg, Tg−LSL ≥ 6)

höchstens 1.5 von Tg (| – Tg| < 1.5) Prozess mit normalverteilter Qualitäts-

variabler produziert maximal 3.4 defekte Stücke per Million!


Six Sigma: Forts. Bei X ~ N(Tg + 1.5, 2)

P(defektes Stück)= 1 – P(Tg−6 X Tg+6)

= 1 – P(-7.5 X 4.5) 1 – (4.5) = 0.0000034

Beachte! Cp=2; Cpk = 1.5, wenn = Tg + 1.5


Fähigkeitsindizes in der Praxis Gutes Instrument zur Dokumentation Wahl von LSL und USL entscheidend Normalverteilungsannahme Stabiler Prozess vs. fähiger Prozess Schätzung der Fähigkeitsindizes


Normalverteilungsannahme Bei Nichtzutreffen irreführend! Beispiel

X ~ U(-1, 1), so dass = 0, = 0.577 seien LSL = -1.5, USL = 1.5 die Wahrscheinlichkeit für defekte Produktion ist

Null! Aber Cp = 3/(6*0.577) = 0.87!

Achtung! Bei light-tail Verteilungen ist der Prozess fähiger, als es Fähigkeitsindizes anzeigen; und umgekehrt.


Schätzung der Fähigkeitsindizes einfache Stichprobe nicht ausreichend aus Prozesskontrolle:

(n) (A3) (s-bar)/3 oder (n) (A2) (R-bar)/3 als Schätzer für (besser als s-bar!)

x-barbar als Schätzer für Voraussetzung: stabiler Prozess!


Konfidenzintervall für Cpk

Cpk {1 ± 2√[1/(9nCpk2)+1/(2(n-1))]}

n: Zahl der Beobachtungen zum Schätzen von Cpk

Voraussetzung: Normalverteilter Prozess


Pre-Control Karte Kontrolle der Fähigkeit; analog zur

Mittelwertskarte CL: Tg PC-lines: Tg ± |USL- Tg|/2 schließen grüne

Zone ein Gelbe Zonen: PC-line bis LSL bzw. USL Rote Zonen: außerhalb LSL bis USL


Pre-Control Karte: Verfahren Probelauf (PLauf):

5x in GrZ: Beginne Standardprüfung Wiederhole, wenn 1x in GeZ Justiere, wenn 2x in GeZ oder 1x in RZ

Standardprüfung: Ziehen von Paaren 2 in GrZ oder je 1x in GrZ und GeZ: OK 2 in gleicher GeZ: justiere Niveau, PLauf 2 in versch. GeZ: justiere Prozess, PLauf ≥1 in RZ: justiere Prozess, PLauf

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Prozesskontrolle und Prozessfähigkeit Literatur Ledolter, Burrill, Statistical Quality Control: Kap.12: Statistical Process Control: Control Charts; Kap.13: