Pseudo-Spin Anregungen desIsing-Modells im transversalen

Magnetfeld auf demhyperkubischen Gitter

Bachelorarbeitzur Erlangung des akademischen Grades

Bachelor of Science

vorgelegt von

Julia Rochner

geboren in Herne

Lehrstuhl fur Theoretische Physik IFakultat Physik

Technische Universitat Dortmund2014

1. Gutachter : Dr. Kai P. Schmidt

2. Gutachter : Prof. Dr. Joachim Stolze

Datum des Einreichens der Arbeit: 25. Juni 2014

Kurzfassung

In dieser Arbeit wird das Ising-Modell im transversalen Magnetfeld auf dem hyper-kubischen Gitter bei T = 0 K untersucht. Dazu werden die Grundzustandsenergie,die Dispersion des ersten angeregten Zustands sowie die Anregungslucke in verschie-denen Dimensionen fur die geordnete Phase, d.h. fur den Fall kleiner Magnetfelder,perturbativ bis zur 2. Ordnung betrachtet. Die Ergebnisse werden dann auf beliebigeDimensionen d verallgemeinert. Es stellt sich heraus, dass der Phasenubergang, derdie geordnete Phase von der polarisierten Phase trennt, fur den Fall d = ∞ exakt zuberechnen ist. Daher wird im zweiten Teil der Arbeit die Grundzustandsenergie mitHilfe der Molekularfeldtheorie sowie die Energielucke, basierend auf der Spinwellen-theorie, in unendlichen Dimensionen bestimmt. Die Ergebnisse liefern die exakte Lagedes kritischen Punktes in d =∞.

Abstract

This thesis is about the examination of the transverse field Ising-model on the hypercu-bic lattice for T = 0 K. For this purpose the energy of the ground state, the dispersionof the elementary excitation as well as the excitation gap are calculated in variousdimensions using second-order perturbation theory. The focus is laid on the orderedphase, that exists in case of low magnetic fields. The results are generalised to arbitra-ry dimensions d. It turns out that the quantum phase transition, which separates theordered phase from the polarised phase, can be determined exactly in the limit d =∞.Because of this, the second part of this thesis is about die analytical calculation of theground-state energy and the energy gap using mean-field and spin-wave theory. Theoutcome provides the exact position of the critical point in d =∞.

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis IV

1 Einleitung 1

2 Elementare Anregungen des TFIM 3

3 Perturbative Betrachtung der geordneten Phase 73.1 Eine Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3.1.1 Grundzustand der polarisierten Phase . . . . . . . . . . . . . . . 83.1.2 Erster angeregter Zustand der polarisierten Phase . . . . . . . . 83.1.3 Geordnete Phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Zwei und drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.1 Grundzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.2.2 Erster angeregter Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.3 Beliebige Dimensionen d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

4 Molekularfeld- und Spinwellentheorie in d =∞ 164.1 Exakte Grundzustandsenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.2 Ordnung des Phasenubergangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3 Magnetisierung und kritischer Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.4 Exakte Energielucke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Zusammenfassung und Ausblick 25

Literaturverzeichnis 26

IV

1 Einleitung

In der theoretischen Festkorperphysik werden haufig mikroskopische Modelle entwickelt,um Eigenschaften eines Festkorpers beschreiben zu konnen. Festkorper bestehen ausAtomen, die jeweils ein magnetisches Moment besitzen, welches durch den Spin verur-sacht wird. Diese Spins sind, unter der Annahme, dass Freiheitsgrade wie Ladungen,Orbitale der Hullenelektronen oder Gitterschwingungen keine Rolle spielen, auf peri-odischen Gittern lokalisiert und richten sich abhangig von der magnetischen Austausch-wechselwirkung aus. Interessant ist oft die Natur des Grundzustandes bei T = 0 K, indem die Energie des Festkorpers minimal ist. Fuhrt man dem System Energie zu, zumBeispiel in Form von Neutronen, die auf den Festkorper geschossen werden, kann die-ses in einen hoheren Energiezustand ubergehen. Diese Anregungen entsprechen haufigSpinflips, die auch als Teilchen interpretiert werden konnen. Ebenfalls von Interesseist daher die Energie, die notig ist, um vom Grundzustand in den ersten angeregtenZustand uberzugehen.

Untersucht man einen Festkorper in Abhangigkeit einer bestimmten Große, welche bei-spielsweise ein Magnetfeld oder die Temperatur sein kann, ist meist ein Phasenubergangzu beobachten, der die Phase bei niedrigem Magnetfeld oder bei niedriger Tempera-tur von der Phase bei hohem Magnetfeld bzw. hoher Temperatur trennt. Naheliegendist die Betrachtung eines dreidimensionalen Festkorpers, aber auch Untersuchungenin einer und zwei Dimensionen sind nicht unrealistisch, wenn die einzelnen Spins ani-sotrop gekoppelt sind. In der Vergangenheit stellte sich allerdings heraus, dass zwei-und dreidimensionale Systeme haufig schwierig zu behandeln und Großen wie Grund-zustandsenergie, Anregungsenergie oder die Lage des kritischen Punktes, an dem derPhasenubergang stattfindet, oft nicht exakt zu bestimmen sind. Beschrankt man sichauf ein hyperkubisches Gitter (Abbildung 1.1 (a)), fallt auf, dass die Anzahl nachsterNachbarn z eines Teilchens mit der Dimension d skaliert. Es stellt sich daher die inte-ressante Frage, ob eine Betrachtung des Limes d→∞, was einhergeht mit z →∞, eineMoglichkeit bietet, um Eigenschaften eines realen Festkorpers sinnvoll zu beschreiben.Der Vorteil beim Ubergang zu unendlich hohen Dimensionen ist, dass die Physik dortoftmals einfacher zu behandeln und manchmal sogar exakt zu beschreiben ist. In [1]wird beispielsweise die Lage des kritischen Punktes in Ordnungen von 1/d fur ein Modellgekoppelter Dimere bestimmt, sodass im Limes d→∞ alle Korrekturen verschwindenund der kritische Punkt exakt bestimmbar wird. Die Bestimmung des Phasenubergangsist besonders interessant, da an diesem Punkt die Anregungsenergie verschwindet unddamit das Teilchenbild zur Beschreibung der Anregungen zusammenbricht.

In dieser Arbeit wird das Ising-Modell im transversalen Magnetfeld (TFIM) auf demhyperkubischen Gitter naher untersucht, welches von Ernst Ising 1925 entwickelt wurdeund in diesem Zusammenhang ein Standardmodell zur Untersuchung von ferro- oderantiferromagnetischen Festkorpern darstellt. Es beruht auf der Annahme, dass lediglichnachste Nachbarspins mit der Kopplungskonstanten J gekoppelt sind und ein trans-versales Magnetfeld h am Festkorper anliegt. Dieses Modell besitzt typischerweise zwei

1

Phasen: zum einen die geordnete oder spontan symmetriebrechende Phase, die sichbei kleinen Magnetfeldern h einstellt, und zum anderen die polarisierte Phase, die dieSymmetrie des Hamiltonoperators nicht bricht und die fur den Fall hoher Magnetfelderexistiert. Das reine Ising-Modell ohne Magnetfeld konnte bereits fur eine Dimension vonErnst Ising und fur zwei Dimensionen von Lars Onsager, mit variabler Temperatur an-stelle des transversalen Magnetfeldes, analytisch exakt gelost werden [2, 3]. Ebenfallsexakt losbar ist das eindimensionale TFIM bei angelegtem transversalen Magnetfeldmit Hilfe der Jordan-Wigner-Transformation [4, 5]. Hier ergibt sich ein Phasenuber-gang bei (h/J)1D = 1. In zwei und drei Dimensionen kann die Lage des kritischenPunktes zwar nicht mehr analytisch exakt bestimmt werden, allerdings liefern hiernumerische Berechnungen sehr gute Ergebnisse. In [6] konnte fur zwei und drei Dimen-sionen (Abbildung 1.1 (a)) der Phasenubergang an den Stellen (h/J)2D = 3,04439(2)und (h/J)3D = 5,15813(6) ermittelt werden. Eine beispielhafte Skizze zur Veranschau-lichung des kritischen Punktes (h/J)c in Abhangigkeit von 1/d ist in Abbildung 1.1 (b)dargestellt.

1D 2D 3D

(a) hyperkubisches Gitter

1/d

h/J

1

1/2

1/3

?

geordnetePhase

polarisierte Phase

(b) Kritischer Punkt

Abbildung 1.1: Abbildung (a) zeigt das hyperkubische Gitter beispielhaft fur eine, zwei unddrei Dimensionen. Abbildung (b) skizziert einen moglichen Verlauf der Kurve, die den kritischenPunkt in Abhangigkeit der inversen Dimension 1/d wiedergibt.

Obwohl das TFIM verhaltnismaßig einfach ist, besitzt es fur beliebige Dimensionen deinen Phasenubergang auf dem hyperkubischen Gitter, der insbesondere im Grenzfalld → ∞ noch existiert. Dieser Grenzfall kann somit ein guter Ausgangspunkt zur Er-mittlung von Phasenubergangen in endlichen Dimensionen sein. Der Schwerpunkt die-ser Arbeit wird auf der Untersuchung der geordneten Phase und deren Anregungen lie-gen. Parallel hierzu liegt in der Bachelorarbeit [7] der Fokus auf der polarisierten Phase.Die Bachelorarbeit ist folgendermaßen gegliedert: in Kapitel 2 wird zunachst das TFIMerlautert und zu den zwei unterschiedlichen Phasen passende Teilchenbilder vorgestellt.Im 3. Kapitel wird die Grundzustandsenergie und die Anregungsenergie storungstheo-retisch fur beliebige Dimensionen in der geordneten Phase berechnet. In Kapitel 4 wirdfur d = ∞ die Grundzustandsenergie sowie die Energielucke analytisch mit Hilfe derMolekularfeldnaherung und der Spinwellentheorie bestimmt. Eine Zusammenfassungder Ergebnisse sowie ein Ausblick befinden sich im letzten Kapitel 5.

2

2 Elementare Anregungen des TFIM

In dieser Arbeit wird ein ferromagnetischer Festkorper in beliebigen Dimensionen d mitHilfe des Ising-Modells im transversalen Magnetfeld mit dem Hamiltonoperator

HIsing = h

N∑i=1

σzi − J∑i,n

σxi σxi+n (2.1)

untersucht, wobei J > 0 der Kopplungskonstanten zwischen nachsten Nachbarspinsentspricht und h > 0 die Starke des angelegten Magnetfeldes beschreibt. Der Summa-tionsindex n durchlauft dabei alle positiven Nachbarn des Spins i. Die Operatoren σx

und σz stellen die Paulimatrizen dar. Der Hamiltonian beschreibt Spins, die auf einemhyperkubischen Gitter mit N Platzen lokalisiert sind.Perturbativ kann HIsing fur die Grenzfalle h J und h J betrachtet werden. ImFall hoher Magnetfelder stellt sich die sogenannte polarisierte Phase ein und der ersteSummand in Gleichung (2.1) entspricht dem ungestorten Hamiltonian H0. Der zweiteSummand ist fur die Storung verantwortlich und wird mit V bezeichnet.Im Grenzfall J = 0 ist |↓↓↓ ... ↓〉 der Grund-

Energie

E

E

c

1

0

h/J(h/J)

geordn.Phase

pol.Phase

Abbildung 2.1: Skizze zur Veranschauli-chung eines Phasenubergangs. Die durchge-zogenen Linien sollen jeweils auf dem Ni-veau von E0 und E1 liegen und sind lediglichzur Verdeutlichung der Entartung unterein-ander gezeichnet.

zustand der Kette, da dies ein Eigenzustandvon H0 mit Eigenwert -N ist und die Energiedamit minimiert. Die hochste Anregung ent-spricht dem Zustand |↑↑↑ ... ↑〉, da dies einEigenzustand von H0 ist mit dem Eigenwert+N und damit die Energie maximal ist. Dererste angeregte Zustand ist N-fach entartetund ist von der Form |↓ ... ↓↑↓ ... ↓〉, d.h. ge-nau ein Spin ist geflippt.Fur den Fall eines kleinen angelegten Ma-gnetfeldes h befindet sich der Festkorper inder geordneten Phase und der Summand in(2.1), der J enthalt, entspricht dem ungestor-ten Hamiltonian H0, wohingegen der Sum-mand, der das Magnetfeld h beinhaltet, dieStorung V beschreibt. Es handelt sich um eine ferromagnetische Ausrichtung, denn imGrundzustand des Systems fur den Grenzfall h = 0 sind alle Spins nach rechts oder linksausgerichtet, da dies die Eigenzustande von σx mit Eigenwerten ±1 sind. Die Zustande|→〉 und |←〉 ergeben sich aus Linearkombinationen von Spin-Up und Spin-Down, d.h.

|→〉 =1√2

(|↓〉+ |↑〉) und |←〉 =1√2

(|↓〉 − |↑〉) . (2.2)

Aufgrund der unterschiedlichen Entartungen der Grundzustande in beiden Phasen kannauf einen Phasenubergang bei einem kritischen Wert (h/J)c geschlossen werden (Ab-bildung 2.1).

3

Die Natur dieser luckenbehafteten Phasen ist unabhangig von der Dimension d undkann daher fur allgemeine d untersucht werden. Es stellt sich heraus, dass zur Beschrei-bung der Anregungen in beiden Phasen die Einfuhrung eines geeigneten Teilchenbildessinnvoll ist. Der Einfachheit halber werden diese fur eine Dimension vorgestellt, sie sindjedoch auf beliebige Dimensionen ubertragbar. Der eindimensionale Hamiltonoperatorbeschreibt die Physik auf einer periodisch gekoppelten Kette mit N Platzen. Es wirdzunachst das Teilchenbild fur die polarisierte Phase eingefuhrt, welches vollig aquiva-lent zum Spinbild ist, aber eine anschauliche Interpretation ermoglicht. Dazu werdenHardcore-Bosonen benutzt, die zwar keine antisymmetrische Wellenfunktion besitzen,sich aber lokal wie Fermionen verhalten, was bedeutet, dass maximal nur ein Teilchenpro Platz existieren darf. Wenn also im Grundzustand keine Teilchen existieren und imersten angeregten Zustand, d.h. wenn ein Spin geflippt ist, genau ein Teilchen existiert,lasst sich das folgendermaßen ausdrucken:

|↓〉i = |0〉i und |↑〉i = |1〉i . (2.3)

Der Index i geht von 1 bis N und gibt die Stelle der Kette an. Der Hamiltonoperatorkann nun durch Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren b und b† ausgedruckt werden,welche ein Teilchen an einem Platz vernichten konnen, fur den Fall, dass eines vorhandenist und umgekehrt. Es gilt demnach

b |0〉 = 0 und b |1〉 = |0〉 , (2.4)

b† |0〉 = |1〉 und b† |1〉 = 0 . (2.5)

Mit dem Wissen, dass σx einen Spinflip bewirkt, wahrend σz lediglich das Vorzeichendes Zustands |0〉 andert, konnen die Paulimatrizen durch

σz = 2b†b− 1 = 2n− 1 und σx = b+ b† (2.6)

ersetzt werden, wobei n der Anzahloperator mit n |0〉 = 0 und n |1〉 = |1〉 ist. Insgesamtlasst sich der Hamiltonian daher umschreiben zu

H = h

N∑i=1

(2ni − 1)− JN∑i=1

(bi + b†i )(bi+1 + b†i+1) (2.7)

= −Nh+ 2hN∑i=1

ni − JN∑i=1

(b†ibi+1 + bib†i+1︸ ︷︷ ︸

T0,i

+ bibi+1︸ ︷︷ ︸T−2,i

+ b†ib†i+1︸ ︷︷ ︸

T+2,i

) (2.8)

= −Nh+ 2hN∑i=1

ni − J(T0 + T−2 + T+2) = H0 + V . (2.9)

Dabei kann T0 ein Teilchen, sofern eines vorhanden ist, vernichten und am Nachbarplatzerzeugen und beschreibt damit ein Hupfen des Teilchens. Der Operator T−2 kann zweiTeilchen nebeneinander vernichten, wahrend T+2 zwei Teilchen nebeneinander erzeugenkann, weshalb sie im Gegensatz zu T0 nicht teilchenzahlerhaltend sind.

4

Beim Versuch die geordnete Phase zu beschreiben, stellt sich heraus, dass es sinnvoll istein anderes Teilchenbild einzufuhren, bei dem die Teilchen nicht auf den Gitterplatzen,sondern auf den Verbindungen zwischen zwei Spins sitzen. Da der Grundzustand imGrenzfall h J aus Linearkombinationen von Spin-Up und Spin-Down besteht unddiese die Rechnung erschweren wurden, wird zunachst das Koordinatensystem mit Hilfeeiner geeigneten Transformationsmatrix so gedreht, dass sich der Hamiltonoperator

H = −hN∑i=1

σxi − JN∑i=1

σzi σzi+1 = V + H0 (2.10)

ergibt, welcher im Gegensatz zur polarisierten Phase zwei Grundzustande |↑↑↑ ... ↑〉 und|↓↓↓ ... ↓〉 besitzt. Außerdem unterscheiden sich die ersten angeregten Zustande beiderFalle. Dazu stelle man sich eine unendlich lange, an den Enden nicht gekoppelte Kettevor. Wird ein Spin mitten in der Kette geflippt, betragt die Energie E2 = −NJ + 4J ,da durch den Spinflip zwei antiferromagnetische Ausrichtungen entstehen, die jeweilsden Beitrag 2J zur Gesamtenergie leisten. Geht man aber davon aus, dass links oderrechts neben dem geflippten Spin alle anderen Spins ebenfalls geflippt sind, existiertlediglich noch eine antiferromagnetische Ausrichtung, wodurch die Energie nur nochE1 = −NJ + 2J betragt. Damit entsprechen alle Zustande der Form |↓ ... ↓↑ ... ↑〉 oder|↑ ... ↑↓ ... ↓〉 einer ersten Anregung des Systems (Siehe Abbildung 2.2). Die antifer-romagnetische Ausrichtung, d.h. die Stelle, an der vom einen Grundzustand in denanderen gewechselt wird, nennt man “Domanenwand“.Es werden nun Pseudospins eingefuhrt, die auf den Kopplungen zwischen den wirklichenSpins sitzen [4]. Es gilt

|↑↑〉 bzw. |↓↓〉 = |⇓〉 und |↑↓〉 bzw. |↓↑〉 = |⇑〉 , (2.11)

d.h. der Pseudospin zeigt nach unten, wenn eine ferromagnetische Ausrichtung vorliegt,und er zeigt nach oben, wenn die beiden wirklichen Spins antiferromagnetisch gekoppeltsind.

i i+1v v+1

(a) Grundzustand

i i+1v v+1

(b) 1. angeregter Zustand

Abbildung 2.2: Grundzustand und 1. angeregter Zustand fur h J . Die grunen ausgefulltenDreiecke stellen eine Anregung der Pseudospins dar, wahrend die leeren Dreiecke die Pseudo-spins im Grundzustand veranschaulichen.

Sei nun der Grundzustand |↓↓↓ ... ↓〉. Wird ein Spin geflippt, wirkt sich dies auf diebeiden Nachbarpseudospins aus, d.h. die ferromagnetische wird zur antiferromagneti-schen Ausrichtung und umgekehrt. Betrachtet man den H0-Term in Gleichung (2.10),liefert dieser −J , wenn er auf eine ferromagnetische Ausrichtung |↑↑〉 oder |↓↓〉 bzw.+J , wenn er auf eine antiferromagnetische Ausrichtung |↓↑〉 oder |↑↓〉 wirkt. Dies kannauch durch den Hamiltonoperator

5

H1D = J

N∑v=1

τ zv︸ ︷︷ ︸H0

−hN∑v=1

τxv τxv+1︸ ︷︷ ︸

V

, (2.12)

beschrieben werden, wobei τx und τ z den Pauli-Matrizen σx und σz entsprechen mitdem Unterschied, dass sie sich auf die Pseudospins beziehen. Der Grundzustand ist nun|⇓⇓⇓ ... ⇓〉. Die Pseudospins lassen sich ebenso wie die richtigen Spins als Teilchen in-terpretieren. Ein Vergleich mit dem Hamiltonoperator (2.1) liefert die Erkenntnis, dasssich dieser und der fur niedrige Magnetfelder (2.12) nur durch die Vertauschung von hund J unterscheiden. Demnach konnen im eindimensionalen Fall alle Ergebnisse fur diepolarisierte Phase auf die geordnete Phase ubertragen werden, unter der Voraussetzung,dass h und J in den entsprechenden Hamiltonoperatoren getauscht werden.Da in dieser Arbeit der Schwerpunkt auf die geordnete Phase gelegt wird, soll derPseudospin-Hamiltonoperator (2.12) auf beliebige Dimensionen verallgemeinert wer-den. Da sich die Pseudospins ebenfalls durch Hardcore-Bosonen beschreiben lassen,konnen die τ -Matrizen durch Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren ersetzt werden,wodurch sich der d-dimensionale Hamiltonoperator zu

HdD = J

Nb∑v=1

τ zv − hN∑p=1

2d∏i=1

τxi,p = −dJN + 2JdN∑v=1

nv︸ ︷︷ ︸H0

−hd∑

i=−dT2i︸ ︷︷ ︸

V

(2.13)

ergibt. Die Anzahl der Pseudospins Nb (“b“ wie

1

2

3

4

p p p

ppp

p p p

Abbildung 2.3: Veranschaulichungdes 1. angeregten Zustands mit Hilfevon Pseudospins in 2 Dimensionen

“bond“) wachst extensiv mit der Dimension, wes-halb die Summe uber alle Verbindungen dN be-tragt. Sie sind daher auf einem hyperkubischenGitter mit dN Gitterplatzen lokalisiert. Der Pa-rameter p gibt die Plakette an, auf die die T -Operatoren wirken. Die Anzahl aller Plaketten istgleichzusetzen mit der Anzahl an Gitterplatzen N .Betrachtet man beispielsweise ein Quadratgitter,muss in (2.13) d = 2 gesetzt werden. Im erstenangeregten Zustand, d.h. wenn genau ein Teilchenvorhanden ist, ist die Plakette um dieses Teilchenvollstandig geflippt (Abbildung 2.3).Im Gegensatz zur Kette ist eine Domanenwand nicht mehr die niedrigsten Anregung,da diese im thermodynamischen Limes N → ∞ unendlich viele antiferromagneti-sche Ausrichtungen zur Folge hatte. Allgemein zieht sich bei hoheren Anregungen eine“Domanenlinie“ durch das Gitter.Im nachsten Kapitel wird die Grundzustands- und die Anregungsenergie perturbativbis zur 2. Ordnung fur eine Dimension der polarisierten sowie der geordneten Phaseberechnet, bevor die geordnete Phase weiter in hoheren Dimensionen auf Basis derPseudospin-Darstellung untersucht wird.

6

3 Perturbative Betrachtung dergeordneten Phase

Ziel dieses Kapitels ist es, ein Verstandnis der Anregungen in der geordneten Phasemittels entarteter Storungstheorie zu gewinnen. Die geordnete Phase wird dementspre-chend fur beliebige Dimensionen d behandelt. Im Spezialfall d = 1 wird gezeigt, dassdie Ergebnisse in beiden Phasen identisch sind, obwohl die Natur der Anregungen ver-schieden ist.

Betreibt man entartete Storungstheorie bis zu 2. Ordnung, erhalt man den effektivenHamiltonoperator [8]

Heff,i = PiH0Pi︸ ︷︷ ︸0. Ordnung

+ PiV Pi︸ ︷︷ ︸1. Ordnung

+PiV Qi1

E(0) −QiH0QiQiV Pi︸ ︷︷ ︸

2. Ordnung

+ O(V 3)

, (3.1)

wobei der Projektionsoperator Pi eingefuhrt wird, der im Falle der Untersuchung desi-Teilchen-Zustands auf den i-Teilchen-Hilbertraum projiziert. Dies ist notwendig, dabei der Berechnung der Energien nur die des i-Teilchen-Zustands interessiert und somitEnergien anderer Zustande unterdruckt werden. Der i-Teilchen-Zustand wird also inHeff vom restlichen Hilbertraum entkoppelt. Der Operator Qi = 1−Pi projiziert dabeiauf alle anderen Zustande außer den i-Teilchen-Zustand. Da hier nur der 0-Teilchen-und der 1-Teilchen-Zustand betrachtet wird, gilt i = 0,1.Es wird sich herausstellen, dass im Gegensatz zum 0-Teilchen-Zustand die 1-Teilchen-Zustande bzgl. Heff nicht diagonal sind. Daher muss bei der Berechnung der Energie desersten angeregten Zustands der Hamiltonoperator mittels Fouriertransformation diago-nalisiert werden. Dadurch wird dem Teilchen ein Impuls ~k zugeordnet, der in beliebigenDimensionen die Komponenten k1 bis kd besitzt. Obwohl der erste angeregte Zustandin der geordneten Phase in den Dimensionen d > 1 durch eine ganze Plakette von Teil-chen beschrieben wird, kann auch diese Anregung nur durch einen Schwerpunktsimpulsbeschreiben werden, da keine Relativbewegung zwischen den Teilchen existiert. Manbeachte, dass sich der Schwerpunkt genau auf den Platzen des ursprunglichen hyper-kubischen Gitters befindet.

In den folgenden Berechnungen wird zur besseren Ubersicht auf den Index 0 bzw. 1 derProjektoren P und Q verzichtet.

3.1 Eine Dimension

Im Folgenden wird der Grundzustand |000...0〉 durch |0〉 ersetzt, wahrend die 1-Teilchen-Zustande durch |j〉 beschrieben werden, wobei j angibt, an welcher Stelle sich das Teil-chen befindet. In einer Dimension entspricht das System einer periodisch gekoppeltenKette. Diese wird zunachst fur den Fall hoher Magnetfelder J/h 1 untersucht.

7

3.1.1 Grundzustand der polarisierten Phase

Wird die Grundzustandsenergie betrachtet, projiziert P auf den 0-Teilchen-Zustand.Die Energie des ungestorten Hamiltonoperators H0 betragt

E(0)0 = 〈0|PH0P |0〉 = 〈0|P

(−Nh+ 2h

N∑i=1

ni

)|0〉 = −Nh . (3.2)

In 1. Ordnung Storungstheorie verschwindet die Energiekorrektur

E(1)0 = 〈0|PV P |0〉 = −J 〈0|P (T0 + T−2 + T+2) |0〉 = 0 , (3.3)

da die Anwendung von T+2 und T−2 auf den Vakuumzustand |0〉 aus dem 0-Teilchen-Hilbertraum hinausfuhrt und T0 nur wirken kann, wenn uberhaupt ein Teilchen vor-handen ist.

Die Energiekorrektur in 2. Ordnung ergibt sich zu

E(2)0 = 〈0|PV Q 1

E(0)0 −QH0Q

QV P |0〉 = 〈0|PT−2QJ2

E(0)0 −QH0Q

QT+2 |0〉 (3.4)

= 〈0|PT−2QJ2

E(0)0 −QH0Q

QN∑i=1

|i〉 |i+ 1〉 (3.5)

= 〈0|PT−2

(−J

2

4h

) N∑i=1

|i〉 |i+ 1〉 = −J2

4hN . (3.6)

Dabei wurde verwendet, dass nur T+2 auf den Grundzustand wirken kann und eineSumme uber N 2-Teilchen-Zustande erzeugt. Auf der linken Seite kann nur PT−2 einenWert liefern, da alle Zustande, die keine 0-Teilchen-Zustande sind und auf die derProjektor P wirkt, Null ergeben wurden. Aus der Differenz zwischen der Energie eines0-Teilchen-Zustands und einem 2-Teilchen-Zustand erhalt man den Nenner −4h. Diegesamte Grundzustandsenergie bis zur 2. Ordnung lautet daher

E1D,pol0 = −Nh− J2

4hN bzw. e1D,pol

0 =E0

N= −h− J2

4h. (3.7)

Dabei bezeichnet e0 die Energie pro Platz. Zur Berechnung der Anregungsenergie wer-den nun die 1-Teilchen-Zustande betrachtet, welche die niedrigste Anregung des Sys-tems darstellen.

3.1.2 Erster angeregter Zustand der polarisierten Phase

Der Projektor P erfullt nun die Forderung, dass alle Zustande, auf die er wirkt, auf die1-Teilchen-Zustande projiziert werden. Fur die Energie des ungestorten Hamiltonians

8

des ersten angeregten Zustands gilt

E(0)1 = 〈j|PH0P |j〉 = 〈j|P

(−Nh+ 2h

N∑i=1

ni

)|j〉 = −Nh+ 2h . (3.8)

Die Rechnung fur die Energiekorrektur in 1. Ordnung liefert

PV P |j〉 = −JP (T0 + T−2 + T+2) |j〉 = −JPT0 |j〉 (3.9)

= −JPN∑i=1

T0,i |j〉 = −J(|j − 1〉+ |j + 1〉) . (3.10)

Es kann wiederum nur der Operator T0 einen Beitrag leisten. Dieser ist in der Lage,das Teilchen auf einen Nachbarplatz hupfen zu lassen.

Betreibt man 2. Ordnung Storungstheorie mit dem 1-Teilchen-Zustand, ergibt sich

PV Q1

E(0)1 −QH0Q

QV P |j〉 = PT−2QJ2

E(0)1 −QH0Q

QT+2 |j〉 (3.11)

= PT−2QJ2

E(0)1 −QH0Q

Q∑

i 6=j,j−1

|j〉 |i〉 |i+ 1〉 (3.12)

= PT−2Q

(−J

2

4h

) ∑i 6=j,j−1

|j〉 |i〉 |i+ 1〉 (3.13)

= −J2

4h(|j − 2〉+ |j + 2〉+ (N − 2) |j〉) . (3.14)

T+2 bewirkt, dass aus dem 1-Teilchen-Zustand eine Summe aus (N − 2) 3-Teilchen-

Zustanden wird. Die Differenz aus E(0)1 und E

(0)3 hat den Nenner −4h zur Folge. Das

Ergebnis (3.14) zeigt, dass in 2. Ordnung Storungsrechnung Sprunge um zwei Platzemoglich sind. Außerdem ist festzustellen, dass der Hamiltonoperator bzgl. |j〉 nichtdiagonal ist, da in 1. und 2. Ordnung Storungsrechnung der ursprungliche Zustandverandert wird. Da die eindimensionale Kette translationssymmetrisch ist, bewirkt derHamiltonoperator keine Impulsanderung. Es ist daher sinnvoll mittels Fouriertransfor-mation in den Impulsraum zu wechseln, da dort die 1-Teilchen-Zustande Eigenzustandevon Heff sind. Aus der Energie des ersten angeregten Zustands lasst sich dann die An-regungsenergie bestimmen.Die Fouriertransformierte des 1-Teilchen-Zustands |j〉 lautet

|k〉 =1√N

N∑j=1

e−ikj |j〉 . (3.15)

Wahrend die Energie von H0 unverandert bleibt, ergibt sich mit (3.10) und unterAusnutzung periodischer Randbedingungen fur die Energiekorrektur in 1. Ordnung

9

PV P |k〉 =1√N

N∑j=1

e−ikjPV P |j〉 = −J 1√N

N∑j=1

e−ikj(|j − 1〉+ |j + 1〉) (3.16)

= −J 1√N

N∑j=1

[e−ik(j+1) |j〉+ e−ik(j−1) |j〉

]= −2J cos k |k〉 . (3.17)

In 2. Ordnung betragt die Energiekorrektur mit (3.14)

PV Q1

E(0)1 −QH0Q

QV P |k〉 =1√N

N∑j=1

e−ikjPV Q1

E(0)1 −QH0Q

QV P |j〉 (3.18)

= −J2

4J

1√N

N∑j=1

[e−ik(j+2) |j〉+ e−ik(j−2) |j〉+ (N − 2)e−ikj |j〉

](3.19)

= −J2

4J(2 cos (2k) +N − 2) |k〉 . (3.20)

Insgesamt ergibt sich die Energie

E1D,pol1 (k) = −Nh− J2

4hN + 2h− 2J cos k +

J2

2h− J2

2hcos (2k) . (3.21)

Dabei entspricht −Nh − J2

4hN der Grundzustandsenergie. Da die Dispersionsrelationdie Anregungsenergie beschreibt, ergibt sie sich aus der Differenz von E1 und E0 zu

ω1D,pol(k) = E1(k)− E0 = 2h− 2J cos k +J2

2h− J2

2hcos (2k) . (3.22)

Fur k = 0 erhalt man die minimale Anregungsenergie bzw. die Energielucke

∆1D,pol = 2h− 2J +J2

2h− J2

2h= 2h− 2J . (3.23)

Mit Hilfe dieser Resultate erschließen sich die Ergebnisse im Fall niedriger Magnetfelderproblemlos.

3.1.3 Geordnete Phase

Die Ergebnisse der geordneten Phasen ergeben sich nach Gleichungen (3.7) sowie (3.21)bis (3.23) aus der Vertauschung von h und J zu

E1D0 = −NJ − h2

4JN bzw. e1D

0 =E0

N= −J − h2

4J(3.24)

E1D1 (k) = −NJ − h2

4JN + 2J − 2h cos k +

h2

2J− h2

2Jcos (2k) (3.25)

ω1D(k) = 2J − 2h cos k +h2

2J− h2

2Jcos (2k) (3.26)

∆1D = 2J − 2h . (3.27)

10

Auffallig ist, dass die Energielucke (3.27) mit den exakten Resultaten aus [5], welche mitHilfe der Jordan-Wigner Transformation errechnet wurden, ubereinstimmt. Sie schließtbei h = J , welches dem Phasenubergang in einer Dimension entspricht.Dieselben Großen sollen nun fur die geordnete Phase in hoheren Dimensionen bestimmtwerden.

3.2 Zwei und drei Dimensionen

Es wird nun ein Quadratgitter sowie ein kubisches Gitter in der geordneten Phase be-trachtet, wobei die Berechnungen fur das Quadratgitter etwas ausfuhrlicher behandeltwerden. Der erste angeregte Zustand entspricht in zwei Dimensionen im Teilchenbildeinem 4-Teilchen-Zustand, da ein Spinflip gleich vier Pseudospins flippt. Dieser wird imFolgenden mit |4,q〉 bezeichnet, wobei das q angibt, welche Plakette im Gitter angeregtist. Der Grundzustand bzw. der 0-Teilchen-Zustand wird erneut mit |0〉 bezeichnet. Inden folgenden Rechnungen werden ebenfalls 6- und 8-Teilchen-Zustande auftauchen, diemit |6,q,p〉 und |8,q,p〉 bezeichnet werden. Beide Zustande entsprechen im ursprungli-chen Teilchenbild einem 2-Teilchen-Zustand, wobei im Falle von |6,q,p〉 die zwei Teilchenauf Nachbarplaketten q und p sitzen, wahrend im Falle von |8,q,p〉 die beiden Teilchenkeine nachsten Nachbarn sind. Wie zuvor auch, wird als erstes die Grundzustandsener-gie bestimmt.

3.2.1 Grundzustand

Ausgehend vom Hamiltonoperator (2.13) fur d = 2 erhalt man fur die Energie bis zur1. Ordnung

E(0)0 + E

(1)0 = 〈0| (PH0P + PV P ) |0〉 = −2JN . (3.28)

Dies entspricht der Grundzustandsenergie des ungestorten Hamiltonians H0, da dieEnergiekorrektur wie im eindimensionalen Fall in 1. Ordnung verschwindet.

In 2. Ordnung ergibt sich

〈0|PT−4h2

E(0)0 −QH0Q

QT+4 |0〉 = 〈0|PT−4h2

E(0)0 −QH0Q

QN∑p=1

|4,p〉 (3.29)

= 〈0|PT−4

(− h

2

8J

) N∑p=1

|4,p〉 = − h2

8JN , (3.30)

wobei die Operatoren T0, T−2, T+2 und T−4 auf |0〉 angewandt Null ergeben, da keineTeilchen vorhanden sind, die sie vernichten konnen. Damit betragt die gesamte Grund-zustandsenergie bis zur 2. Ordnung

E2D0 = −2JN − h2

8JN bzw. e2D

0 =E0

N= −2J − h2

8J. (3.31)

11

Im Dreidimensionalen entspricht das System einem kubischen Gitter und ein Spinflipfuhrt zu sechs Pseudospinflips, da ein Teilchen gleich sechs nachste Nachbarn hat. DieAnzahl der Pseudospins Nb betragt das Dreifache der Anzahl N aller Gitterplatze. DieAnzahl aller Plaketten p ist wie in zwei Dimensionen identisch zu N .Eine analoge Rechnung zum zweidimensionalen Fall mit dem Hamiltonoperator (2.13)und d = 3 liefert das Ergebnis

E3D0 = −3JN − h2

12JN bzw. e3D

0 =E0

N= −3J − h2

12J(3.32)

Als Nachstes folgt die Berechnung der Anregungsenergie.

3.2.2 Erster angeregter Zustand

Die Energie des ersten angeregten Zustands bis zur 1. Ordnung berechnet sich zu

E(0)4 + E

(1)4 = E

(0)4 = −2JN + 8J . (3.33)

Auch hier verschwindet die Energiekorrektur in 1. Ordnung, denn der einzige Operator,der teilchenzahlerhaltend ist, ist T0 und dieser ergibt angewandt auf den Zustand |4,q〉Null, da er innerhalb einer Plakette zwei Teilchen vernichten und an den beiden freienPlatzen erzeugen will. Dies ist im ersten angeregten Zustand nicht moglich, da es keinePlakette gibt, die nur zur Halfte besetzt ist.

In 2. Ordnung findet man

PV Q1

E(0)4 −QH0Q

QV P |4,q〉 (3.34)

= P (T−2 + T+4 + T−4)Q︸ ︷︷ ︸=:A

h2

E(0)4 −QH0Q

Q(T+2 + T+4 + T−4) |4,q〉 (3.35)

= Ah2

E(0)4 −QH0Q

Q

∑p=n.N.von q

|6,q,p〉+∑p6=q,

p 6=n.N. von q

|8,q,p〉+ |0〉

(3.36)

= A

− h2

4J

∑p=n.N.von q

|6,q,p〉 − h2

8J

∑p 6=q,

p6=n.N. von q

|8,q,p〉+h2

8J|0〉

(3.37)

= − h2

8J(N + 2) |4,q〉 − h2

8J

∑p=n.N.von q

|4,p〉 . (3.38)

Dabei sind die moglichen Zustande, die sich ergeben, wenn man T+2 oder T+4 auf den4-Teilchen-Zustand anwendet, in Abbildung 3.1 veranschaulicht.

12

pq

T+2

p

q

pq

T p

q

+4

s s s

s

s s s

s s s

s

s s s

s

s

s s

s

ss

s s

s

s s s

s

Abbildung 3.1: Wirkung von T+2 und T+4 auf einen 4-Teilchen-Zustand.

T−4 |4,q〉 ergibt einfach den Vakuumzustand |0〉. Die Abkurzung n.N. steht fur nachsterNachbar. In 2. Ordnung Storungstheorie des ersten angeregten Zustands ist das ur-sprungliche Teilchen demnach in der Lage, auf einen Nachbarplatz zu hupfen.Mit Hilfe der Fouriertransformation ergibt sich

E4(~k) = −2JN − h2

8JN + 8J − h2

4J(1 + cos k1 + cos k2) (3.39)

ω2D(~k) = 8J − h2

4J(1 + cos k1 + cos k2) (3.40)

∆2D = 8J − 3h2

4J. (3.41)

In [9] konnten bei einer perturbativen Betrachtung des dreidimensionalen Ising-Modellsbei tiefen Temperaturen dieselben Ergebnisse fur die Grundzustandsenergie e0 sowiefur die Anregungsenergie ∆ erzielt werden. Da dies aquivalent zu einem zweidimen-sionalen System mit einem kleinen transversalen Magnetfeld ist, lassen sich die hierdurchgefuhrten Berechnungen in zwei Dimensionen verifizieren.

Auf einem dreidimensionalen kubischen Gitter ergibt sich

E6(~k) = −3JN − h2

12JN + 12J − h2

12J(1 + cos k1 + cos k2 + cos k3) (3.42)

ω3D(~k) = 12J − h2

12J(1 + cos k1 + cos k2 + cos k3) (3.43)

13

∆3D = 12J − h2

3J, (3.44)

wobei ~k nun dem dreidimensionalen Impulsvektor entspricht. Auch in drei Dimensio-nen stimmen die Ergebnisse fur e0 und ∆ mit [10] uberein. Es sollen nun die bisherberechneten Großen auf beliebige Dimensionen d verallgemeinert werden.

3.3 Beliebige Dimensionen d

Auch fur allgemeine Dimensionen d verschwindet die Energiekorrektur in 1. Ordnungfur den Grundzustand sowie fur den ersten angeregten Zustand. Basierend auf (2.13)betragt die Grundzustandsenergie des ungestorten Hamiltonoperators H0

E(0)0 = 〈0|P

(−dJN + 2J

dN∑v=1

nv

)|0〉 = −dJN . (3.45)

Fur die Energiekorrektur 2. Ordnung ergibt sich

E(2)0 = 〈0|PT−2dQ

h2

E(0)0 −QH0Q

QT+2d |0〉 (3.46)

= 〈0|PT−2dQ

(− h2

4dJ

) N∑p=1

|2d,p〉 = − h2

4dJN . (3.47)

Damit lautet die gesamte Grundzustandsenergie bis zur 2. Ordnung

EdD0 = −dJN − h2

4dJN bzw. edD

0 =E0

N= −dJ − h2

4dJ. (3.48)

Die ungestorte Energie des ersten angeregten Zustands betragt

E(0)2d = 〈2d,q|P

(−dJN + 2J

dN∑v=1

nv

)|2d,q〉 = −dJN + 4dJ (3.49)

Die Rechnung fur die Energiekorrektur in 2. Ordnung des ersten angeregten Zustandsliefert

P

(d∑

i=−dT2i

)Q

h2

E(0)2d −QH0Q

Q

(d∑

i=−dT2i

)P |2d,q〉 (3.50)

= P (T−2d+2 + T+2d + T−2d)Q︸ ︷︷ ︸=:A

h2

E(0)2d −QH0Q

Q (T+2d−2 + T+2d + T−2d) |2d,q〉 (3.51)

= Ah2

E(0)2d −QH0Q

∑p=n.N.von q

|4d− 2,q,p〉+∑p 6=q,

p 6=n.N. von q

|4d,q,p〉+ |0〉

(3.52)

14

= A

− h2

4J(d− 1)

∑p=n.N.von q

|4d− 2,q,p〉 − h2

4dJ

∑p 6=q,

p 6=n.N. von q

|4d,q,p〉+h2

4dJ|0〉

(3.53)

= − h2

4dJN |2d,q〉 − h2

2dJ(d− 1)|2d,q〉 − h2

4dJ(d− 1)

∑p=n.N.von q

|2d,p〉 . (3.54)

In beliebigen Dimensionen sind demnach weiterhin Sprunge zu nachsten Nachbar-platzen moglich. Nach der Fouriertransformation erhalt man

E2d(~k) = −dJN − h2

4dJN + 4dJ − h2

2dJ(d− 1)

(1 +

d∑i=1

cos ki

)(3.55)

ωdD(~k) = 4dJ − h2

2dJ(d− 1)

(1 +

d∑i=1

cos ki

)(3.56)

∆dD = 4dJ − h2(d+ 1)

2dJ(d− 1)(3.57)

mit dem d-dimensionalen Impulsvektor ~k = (k1, ... ,kd).

Um die Storungsrechnung abzuschließen, wird nun noch der Grenzwert d→∞ fur dieGrundzustandsenergie e0 sowie fur die Energielucke ∆ betrachtet. Um ein sinnvollesErgebnis zu erhalten, wird die Kopplung J durch J/d ersetzt, um zu vermeiden, dassdie Anzahl der Kopplungen extensiv mit der Dimension steigt. Man bekommt

limd→∞

e0 = limd→∞

(−J − h2

4J

)= −J − h2

4J, (3.58)

limd→∞

∆ = limd→∞

(4J − h2(d+ 1)

2J(d− 1)

)= 4J − h2

2J. (3.59)

Die Tabelle 3.1 stellt die Ergebnisse fur die Grundzustandsenergie und die Energieluckefur die polarisierte (h J) und die geordnete Phase (h J) fur d →∞ gegenuber.Die Resultate fur die polarisierte Phase sind der Bachelorarbeit [7] entnommen.

h J h J

Grundzustandsenergie e0 −J − h2

4J −hEnergielucke ∆ 4J − h2

2J 2h− 2J

Tabelle 3.1: Vergleich der Grundzustandsenergie e0 und der Energielucke ∆ fur hohe undniedrige Magnetfelder h im Limes d→∞.

Man stellt fest, dass die Energielucke in den beiden Grenzfallen nicht am selben Punktschließt. Daher wird im nachsten Kapitel die Grundzustands- und die Anregungsenergieanalytisch fur d =∞ bestimmt.

15

4 Molekularfeld- und Spinwellentheoriein d =∞

Die bisherigen Ergebnisse aus der storungstheoretischen Betrachtung der geordnetenPhase lassen keine Schlussfolgerung auf den Phasenubergang zwischen geordneter undpolarisierter Phase zu. Um die Lage des kritischen Punktes in unendlich hohen Di-mensionen zu erhalten, mussen die im letzten Kapitel betrachteten Energien nicht nurfur die Grenzfalle hoher und niedriger Magnetfelder, sondern fur alle Verhaltnisse h/Jbekannt sein. Daher wird zunachst die Grundzustandsenergie analytisch mit Hilfe derMolekularfeldtheorie bestimmt.

4.1 Exakte Grundzustandsenergie

Die Molekularfeldtheorie geht davon, dass jeder Platz im Gitter dasselbe außere Feldspurt und daher alle Platze gleich behandelt werden konnen. Es kann gezeigt werden,dass fur d =∞, d.h. wenn jedes Teilchen unendlich viele Nachbarn besitzt, dieser An-satz das Problem sogar exakt beschreibt [1, 11].

Alle weiteren Betrachtungen, die jetzt folgen, beziehen sich daher auf den Fall d =∞.Ist die exakte Grundzustandsenergie gefunden, lasst sich daraus auf die Lage des kriti-schen Punktes, an dem der Phasenubergang stattfindet, schließen. Zur Berechnung derGrundzustandsenergie wird mit Hilfe eines Produktwellenansatzes

|Ψ0〉 =∏j

(cosα |↑〉j + sinα |↓〉j

)(4.1)

fur den Grundzustand der Erwartungswert E0(α) = 〈Ψ0|HdD |Ψ0〉 des d-dimensionalenHamiltonians (2.1), wobei J durch J/d ersetzt werden muss, berechnet und in Abhangig-keit von α minimiert. Fur ein festes i und n ergibt sich zunachst

〈Ψ0|hσzi −J

dσxi σ

xi+n |Ψ0〉 (4.2)

=∏j

(cosα 〈↑|j + sinα 〈↓|j

)(hσzi −

J

dσxi σ

xi+n

)∏j

(cosα |↑〉j + sinα |↓〉j

)(4.3)

= h(cos2 α− sin2 α

)− J

d(2 cosα sinα)2 = h cos 2α− J

dsin2 2α . (4.4)

Insgesamt gilt daher fur die Grundzustandsenergie in Abhangigkeit von α

E0(α) = h cos 2α ·N − J

dsin2 2α · dN = N(h cos 2α− J sin2 2α) . (4.5)

16

Mit Hilfe der ersten Ableitung von E0(α) ergeben sich die Extremstellen

α1 = 0, α2 = ±π2, α3 = ±1

2arccos

(− h

2J

), (4.6)

wobei −1 < − h2J < 1 gilt auf Grund des Definitionsbereichs des Arcuscosinus. Da − h

2Jwegen h > 0 und J > 0 nicht positiv werden kann, ist α3 nur fur h < 2J definiert. DieUntersuchung mit Hilfe der zweiten Ableitung von E0(α) liefert die Ergebnisse

d2

dα2E0(α1 = 0) < 0 ⇒ Maximum (4.7)

d2

dα2E0(α2 = ±π

2)

> 0 fur h > 2J ⇒ Minimum

< 0 fur h < 2J ⇒ Maximum(4.8)

d2

dα2E0

(α3 = ±1

2arccos

(− h

2J

))> 0 ⇒ Minimum (4.9)

Zusammenfassend gelangt man zu folgender Erkenntnis: falls h > 2J ist, dann hatE0 an der Stelle αpol. = ±π

2 ein Minimum, und falls h < 2J ist, dann besitzt E0 ein

Minimum an der Stelle αgeordnet = ±12 arccos

(− h

2J

). Demnach findet bei(

h

J

)c

= 2 (4.10)

ein Phasenubergang statt. Anschaulich bedeuten die Ergebnisse, dass bei kleinen Mag-netfeldern h auf allen Platzen Uberlagerungen von |↑〉 und |↓〉 gemaß (4.1) mit α3

aus (4.6) auftreten, bis h den Wert 2J erreicht. Ab dann existiert der Grundzustand|↓↓ ... ↓〉, welcher sich fur noch großere Magnetfelder wegen α = const. = ±π

2 nichtmehr verandert.Die Berechnung ist demnach konsistent mit dem Grundzustand im Grenzfall h J,doch auch mit dem in dieser Arbeit naher betrachteten Grenzfall h J stimmt dasErgebnis uberein, denn es gilt

limhJ→0

α3 = limhJ→0

(±1

2arccos

(− h

2J

))= ±1

2· π

2= ±π

4, (4.11)

was fur den Grundzustand |Ψ0〉 eine Uberlagerung von |↑〉 und |↓〉 auf jedem Platz mitdem Vorfaktor cos

(π4

)= sin

(π4

)= 1√

2bedeuten wurde, was gerade den Zustanden

|←← ...←〉 oder |→→ ...→〉 entspricht.Der Phasenubergang soll nun weiter hinsichtlich seiner Ordnung untersucht werden.

4.2 Ordnung des Phasenubergangs

Es konnte bereits gezeigt werden, dass der kritische Punkt bei h/J = 2 zu finden ist.Um die Ordnung des Phasenubergangs am kritischen Punkt zu ermitteln, werden die

17

-4

-3

-2

-1

0 1 2 3 4

e 0/J

h/J

geordnete Phase polarisierte Phase

e0 fur α = 1/2 arccos (−h/2J)e0 fur α = π/2

Abbildung 4.1: Darstellung der Grundzustandsenergie e0 pro Platz in Abhangigkeit von h/Jfur den Grenzfall d =∞. Im Bereich 0 < h/J < 2 existiert die geordnete Phase, wahrend sichfur h/J > 2 die polarisierte Phase einstellt. Die Energien der zwei Phasen gehen am kritischenPunkt stetig ineinander uber.

Ableitungen der Energie E0(α) bestimmt. Es handelt sich dann um einen Phasenuber-gang n-ter Ordnung, wenn in der n-ten Ableitung der Energie zum ersten Mal einSprung am kritischen Punkt stattfindet.

Mit x := h/J lautet die Energie in Einheiten von J

E0

NJ=e0

J= x cos 2α− sin2 2α . (4.12)

Daher ergibt sich jeweils fur die polarisierte und geordnete Phase

e0

J= −x

2

4− 1 , fur x < 2 (4.13)

e0

J= −x , fur x > 2 . (4.14)

Ein Vergleich mit Tabelle 3.1 liefert die Erkenntnis, dass die exakt berechnete Grundzu-standsenergie gerade mit den perturbativ berechneten Grundzustandsenergien bis zur2. Ordnung im Limes d→∞ ubereinstimmt. Abbildung 4.1 zeigt die Grundzustands-energie in Abhangigkeit von x = h/J .

18

Fur die erste Ableitung gilt

d

dx

(e0

J

)= −x

2, fur x < 2 , (4.15)

d

dx

(e0

J

)= −1 , fur x > 2 . (4.16)

Betrachtet man den Grenzwert x → 2, ist schnell ersichtlich, dass die erste Ableitungbei x = 2 stetig ist. Da die zweiten Ableitungen

d2

dx2

(e0

J

)= −1

2, fur x < 2 , (4.17)

d2

dx2

(e0

J

)= 0 , fur x > 2 (4.18)

am kritischen Punkt offensichtlich nicht mehr stetig sind, handelt es sich um einen Pha-senubergang 2. Ordnung. Es wird nun noch der kritische Exponent der Magnetisierungam Phasenubergang bestimmt werden.

4.3 Magnetisierung und kritischer Exponent

Uber die Magnetisierung der zwei Phasen lasst sich der Ordnungsparameter bestimmen.Dazu wird wiederum auf die Molekularfeldnaherung zuruckgegriffen, sodass sich dieMagnetisierung pro Platz in x- und z-Richtung mit Hilfe von

Mx/zi = 〈σx/zi 〉 = 〈Ψ(i)

0 |σx/zi |Ψ

(i)0 〉 (4.19)

berechnen lasst. Die zwei unterschiedlichen Wellenfunktionen werden, basierend auf(4.1) und mit αpol. = ±π

2 und αgeordnet = ±12 arccos

(−x

2

)zu

|Ψ(i)0 〉 =

√2− x

2|↑〉i ±

√2 + x

2|↓〉i , fur x < 2 (4.20)

|Ψ(i)0 〉 = ± |↓〉i , fur x > 2 (4.21)

bestimmt. Gemaß (4.19) betragt die Magnetisierung in x- und z-Richtung

Mxi = ±

√4− x2

2

M zi = −x

2

fur x < 2 (4.22)

Mxi = 0

M zi = −1

fur x > 2 (4.23)

Abbildung 4.2 stellt die Magnetisierung grafisch dar.Die polarisierte Phase (h/J > 2) wird deshalb so genannt, da sich dort alle Spinsentlang des Magnetfeldes ausrichten. Im Bereich 0 < h/J < 2 existiert die geordnete

19

-1

0

1

0 1 2 3 4 5

M

h/J

geordnete Phase

polarisierte Phase

Mx fur α = 1/2 arccos (−h/2J)Mx fur α = −1/2 arccos (−h/2J)

Mx fur α = π/2M z fur α = 1/2 arccos (−h/2J)

M z fur α = π/2

Abbildung 4.2: Veranschaulichung der Magnetisierung in x- und z-Richtung in Abhangig-keit von h/J . In der polarisierten Phase, d.h. fur h/J > 2, verschwindet die Magnetisierungin x-Richtung, wahrend die Magnetisierung in z-Richtung betraglich maximal wird. Fur sehrniedrige Magnetfelder h J wird |Mx| maximal und Mz verschwindet.

Phase, die auch Symmetrie-gebrochene Phase heißt, da hier die Symmetrie des Ha-miltonoperators gebrochen wird. Der Grundzustand ist zweifach entartet, da die Spinsbeim Ferromagneten entweder alle nach rechts oder alle nach links zeigen konnen unddies energetisch keinen Unterschied macht. Wenn das System sich fur einen dieser bei-den Grundzustande entschieden hat und sich damit entweder die Magnetisierung 1 oder-1 einstellt, wurde es Fluktuationen unendlicher Langenskala erfordern, um in den an-deren Grundzustand zu gelangen, da jeder Spin einzeln geflippt werden musste. Daherbleibt das System in diesem einen Zustand und bricht die Symmetrie des Hamiltonians.

Der kritische Exponent lasst sich nun anhand des Verhaltens von Mxi am Phasenuber-

gang x = 2 berechnen. Dazu wird x durch (2 − ε) ersetzt und geschaut, wie sich dieMagnetisierung fur ε 1 verhalt.

〈σxi 〉 = ±1

2

√4− (2− ε)2 = ±1

2

√4ε− ε2 = ±1

2

√4ε , fur ε 1 (4.24)

= ±ε12 . (4.25)

Der kritische Exponent ist damit

β =1

2(4.26)

20

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 12√

20.5 1

∆/h

J/h

geordnete Phase

polarisierte Phase

h Jh J

Abbildung 4.3: Darstellung der perturbativ berechneten Energielucke in den Grenzfallenh J und h J . Die Energielucke fur den Fall großer Magnetfelder (grun) schließtbei J/h = 1, wahrend die Energielucke im Grenzfall sehr niedriger Magnetfelder (rot) beiJ/h = 1/(2

√2) auf Null abfallt. Der exakte kritische Punkt liegt zwischen den beiden Wer-

ten.

und entspricht daher dem typischen Ordnungsparameter, der sich fur ausreichend hoheDimensionen aus der Molekularfeldtheorie ergibt.

4.4 Exakte Energielucke

Bisher konnte die Anregungsenergie nur perturbativ aus den zwei Grenzfallen hoherund niedriger Magnetfelder h bestimmt werden. Diese wurde in der Tabelle 3.1 imLimes d→∞ festgehalten. Abbildung 4.3 stellt die beiden Grenzfalle in Einheiten vonh dar.

Die Anregungsenergie fallt in den beiden Grenzfallen nicht an der gleichen Stelle aufNull ab, was ja auch nicht zu erwarten war, da die Energielucke nur storungstheoretischbetrachtet wurde. Die exakte Anregungsenergie sollte am Phasenubergang J/h = 1/2auf Null absinken und danach wieder steigen, was bedeutet, dass an dieser Stelle keineEnergie notig ist, um in den angeregten Zustand uberzugehen, d.h. ∆ = 0. Es soll nunseitens hoher Magnetfelder h die Anregungsenergie bis zum Phasenubergang exakt be-stimmt werden.Dies wird mit Hilfe der Spinwellentheorie realisiert. Dazu werden die Paulimatrizen desHamiltonoperators (2.1), wobei J erneut durch J/d substituiert werden muss, zunachst

21

durch die Spinoperatoren Sz und Sx ersetzt, welche dieselbe Wirkung auf die Spins ha-ben mit dem Unterschied, dass sie die Eigenwerte ±1/2 besitzen. Der Hamiltonoperatorlasst sich damit umschreiben zu

H = 2h∑j

Szj −4J

d

∑j,n

Sxj Sxj+n . (4.27)

Die Spinoperatoren werden dann durch bosonische Erzeugungs- und Vernichtungsope-ratoren ersetzt. Diese lauten fur S = 1/2

Szj = a†jaj − S = nj −1

2und Sxj =

1

2(S+j + S−j ) (4.28)

mit S+j =

√2S − a†jaj aj =

√1− nj aj (4.29)

und S−j = a†j

√2S − a†jaj = a†j

√1− nj , (4.30)

wobei a† und a die bekannten bosonischen Kommutatorrelationen erfullen:[ai ,a

†j

]= δi,j ,

[ai ,aj

]= 0 ,

[a†i ,a

†j

]= 0 . (4.31)

Fur d =∞ verschwindet der Erwartungswert des Anzahloperators ni [1]. Daher konnendie Naherungen

S+j ≈ aj (4.32)

S−j ≈ a†j (4.33)

getroffen werden. Fur den Hamiltonian ergibt sich nun

H = −Nh+ 2h∑j

nj −J

d

∑j,n

(ajaj+n + a†ja

†j+n + aja

†j+n + a†jaj+n

). (4.34)

Mit Hilfe einer Fouriertransformation der Form

aj =1√N

∑k

e−ikjak (4.35)

a†j =1√N

∑k

eikja†k (4.36)

wird in den Impulsraum gewechselt. Der Hamiltonoperator transformiert sich damit zu

H = −Nh+∑k

Ak a†kak +

∑k

Bk2

(aka−k + a†ka†−k) (4.37)

mit Ak = 2h− 2J

d

∑i

cos ki (4.38)

undBk2

= −Jd

∑i

cos ki . (4.39)

22

Ziel ist es, den Hamiltonoperator zu diagonalisieren. Dazu wird die sogenannte Bogoliu-bov-Transformation durchgefuhrt [12], welche die Operatoren a und a† durch anderebosonische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren b und b† ersetzt

ak = cosh (αk) bk + sinh (αk) b†−k (4.40)

a†k = cosh (αk) b†k + sinh (αk) b−k . (4.41)

Damit der Hamiltonian diagonal wird und damit nur gleiche Moden k koppelt, mussenalle Terme mit unterschiedlichen Indizes (-k und k) verschwinden. Fasst man diese Ter-me zusammen, muss der Vorfaktor dieser Terme gleich Null sein. Aus dieser Bedingungergibt sich der Winkel

αk =1

2arctanh

(−BkAk

). (4.42)

Der diagonale Hamiltonoperator lasst sich unter Benutzung der Vertauschungsrelatio-nen (4.31) sowie den Beziehungen

sinh (2αk) = sinh

(arctanh

(−BkAk

))=

−Bk√A2k −B2

k

=:−BkΩk

(4.43)

cosh (2αk) = cosh

(arctanh

(−BkAk

))=

Ak√A2k −B2

k

=:AkΩk

(4.44)

schreiben als

H = −Nh+1

2

∑k

(Ωk −Ak) +∑k

Ωkb†kbk . (4.45)

Der Term 12

∑k (Ωk −Ak) stellt eine Energiekorrektur zum Grundzustand dar und

ist, da uber alle auftretenden k summiert wird, k-unabhangig. Die Dispersionsrelationlautet

Ωk =√A2k −B2

k =

√√√√4h2 − 8hJ

d

d∑i=1

cos ki . (4.46)

Fur ~k = ~0 ergibt sich die Energielucke

∆ =

√4h2 − 8hJd

d= 2h

√1− 2

J

h(4.47)

⇔ ∆

h= 2

√1− 2

J

h. (4.48)

23

0

1

2

0 0.5

∆/h

J/h

Spinwellentheorie

Abbildung 4.4: Verlauf der berechneten Energielucke mit Hilfe der Spinwellentheorie. Dieseschließt im zuvor ermittelten kritischen Punkt J/h = 1/2.

Das Ergebnis stimmt mit dem zuvor berechneten Phasenubergang bei J/h = 1/2 uber-ein, denn an dieser Stelle fallt die gemaß der Spinwellentheorie berechnete Energieluckeauf Null ab.

Entwickelt man das Ergebnis (4.48) in Ordnungen von J/h, sollte es bis zur erstenOrdnung mit der perturbativ berechneten Energielucke fur den Grenzfall h J ausTabelle 3.1 ubereinstimmen. Da fur die exakte Darstellung einer Wurzelfunktionen einPolynom unendlichen Grades benotigt wird, wird die Energielucke (4.48) quadriert,sodass lediglich ein Polynom ersten Grades ubrig bleibt. Quadriert man nun ebenfallsdie storungstheoretisch berechnete Energielucke aus Tabelle 3.1, sollte diese bereits inder ersten Ordnung ein exaktes Ergebnis liefern. Die Resultate(

∆

h

)2

Spinwellen

= 4

(1− 2

J

h

)= 4− 8

J

h(4.49)(

∆

h

)2

hJ=

(2− 2

J

h

)2

= 4− 8J

h+ O

((J

h

)2)

(4.50)

zeigen, dass genau dies der Fall ist und die quadrierte perturbativ berechnete Ener-gielucke ebenfalls am kritischen Punkt J/h = 1/2 schließt. Insbesondere wird hierdeutlich, dass das Teilchenbild der polarisierten Phase fur beliebige Dimensionen dseine Gultigkeit hat.

24

5 Zusammenfassung und Ausblick

Zu Beginn der Arbeit wurde das Ising-Modell im transversalen Magnetfeld erlautertund betont, dass das Modell zwei Phasen besitzt, namlich die geordnete Phase, die sichim Grenzfall h J einstellt, und die polarisierte Phase, welche fur h J existiert.Da die Natur der elementaren Anregungen der zwei Phasen sich als unterschiedlicherwies, wurden zwei verschiedene Teilchenbilder eingefuhrt, um die Anregungen zu be-schreiben. Der Grundzustand entsprach in beiden Phasen einem 0-Teilchen-Zustand.Der erste angeregte Zustand der polarisierten Phase konnte verstanden werden als ein1-Teilchen-Zustand, wahrend die niedrigste Anregung der geordneten Phase in allge-meinen Dimensionen d > 1 einem 2d-Teilchen-Zustand entsprach. Danach wurde furdie geordnete Phase die Grundzustands- und Anregungsenergie storungstheoretisch biszur 2. Ordnung in einer Dimension sowie in zwei, drei und beliebigen Dimensionen d be-rechnet. Dabei musste zur Berechnung der Dispersion der effektive Hamiltonoperatorzunachst bzgl. der 2d-Teilchen-Zustande mittels Fouriertransformation diagonalisiertwerden. Da mit Hilfe der Ergebnisse der Storungsrechnung keine Ruckschlusse auf einenPhasenubergang gezogen werden konnten, wurde im zweiten Teil dieser Bachelorarbeiteine analytische Berechnung der Grundzustandsenergie mittels Molekularfeldtheorie so-wie der Energielucke, basierend auf der Spin-

1/d

1

1/2

1/3 geordnetePhase

polarisierte Phase

2(hd)/J

Abbildung 5.1: Skizze des kritischenPunktes in Abhangigkeit der inversen Di-mension 1/d.

wellentheorie, in d = ∞ durchgefuhrt. DieErgebnisse fur die Grundzustandsenergie lie-ferten einen Phasenubergang 2. Ordnung beih/J = 2, der im Limes d = ∞ die Physikexakt beschreibt. Die Berechnung der Ener-gielucke durch die Spinwellentheorie seitenshoher Magnetfelder h bestatigten einen Pha-senubergang bei h/J = 2. Die Resultate ha-ben gezeigt, dass es sinnvoll sein kann, diePhysik in unendlich hohen Dimensionen zubetrachten, da die Ergebnisse in zwei, dreiund d = ∞ Dimensionen fur dieses Modellrecht nah beieinander liegen (Abbildung 5.1).

Basierend auf der Molekularfeldtheorie ware eine analytische Spinwellenrechnung derEnergielucke im Bereich h < 2J interessant. Da der Grundzustand in der geordnetenPhase allerdings nicht mehr trivial |↓↓ ... ↓〉 ist, sondern vom Verhaltnis h/J abhangtund durch einen Uberlagerungszustand beschrieben wird, musste mit Hilfe einer ge-eigneten Transformationsmatrix das Koordinatensystem so gedreht werden, dass dervon h/J abhangige Grundzustand auf einen der beiden Eigenzustande |→→ ...→〉 und|←← ...←〉 von σx abgebildet wird. Die Berechnung ware demnach aufwandiger, sollteaber auf denselben kritischen Punkt bei h/J = 2 fuhren.

25

Literaturverzeichnis

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[10] Zheng Weihong, J. Oitmaa, and Hamer C. J. Series expansions for the 3D trans-verse Ising Model at T=0. J. Phys. A: Math. Gen., 27: 5425, 1994.

[11] M. Vojta. Private communication.

[12] D. Ixert. Klassischer Limes und Spinwellentheorie fur die Mottphase des Hubbard-modells auf dem Dreiecksgitter. TU Dortmund. 2010.

26

Danksagung

An dieser Stelle mochte ich allen meinen Dank aussprechen, die mich wahrend meinerBearbeitungszeit unterstutzt haben und mir bei Fragen zur Seite standen.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Dr. Kai P. Schmidt, Kris Coster und Michael Po-walski fur die Bereitstellung des interessanten Themas sowie die ausgiebige und sehrangenehme Betreuung.

Außerdem mochte ich meinen Eltern danken, die meine Arbeit korrekturgelesen habenund auf deren standige Unterstutzung ich jederzeit zahlen konnte.

Eidesstattliche Versicherung

Ich versichere hiermit an Eides statt, dass ich die vorliegende Bachelorarbeit mit demTitel ”Pseudo-Spin Anregungen des Ising-Modells im transversalen Magnetfeld auf demhyperkubischen Gitter” selbstandig und ohne unzulassige fremde Hilfe erbracht habe.Ich habe keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowiewortliche und sinngemaße Zitate kenntlich gemacht. Die Arbeit hat in gleicher oderahnlicher Form noch keiner Prufungsbehorde vorgelegen.

Ort, Datum Unterschrift

Belehrung

Wer vorsatzlich gegen eine die Tauschung uber Prufungsleistungen betreffende Rege-lung einer Hochschulprufungsordnung verstoßt handelt ordnungswidrig. Die Ordnungs-widrigkeit kann mit einer Geldbuße von bis zu 50.000,00e geahndet werden. ZustandigeVerwaltungsbehorde fur die Verfolgung und Ahndung von Ordnungswidrigkeiten ist derKanzler/die Kanzlerin der Technischen Universitat Dortmund. Im Falle eines mehrfa-chen oder sonstigen schwerwiegenden Tauschungsversuches kann der Prufling zudemexmatrikuliert werden (§ 63 Abs. 5 Hochschulgesetz - HG - ).

Die Abgabe einer falschen Versicherung an Eides statt wird mit Freiheitsstrafe biszu 3 Jahren oder mit Geldstrafe bestraft.

Die Technische Universitat Dortmund wird ggf. elektronische Vergleichswerkzeuge (wiez.B. die Software ”turnitin”) zur Uberprufung von Ordnungswidrigkeiten in Prufungs-verfahren nutzen.

Die oben stehende Belehrung habe ich zur Kenntnis genommen.

Ort, Datum Unterschrift