Seminar GraphenUniversität Konstanz

Quantendots auf Graphen

Sören Kumkar

Professor G. BurkhardBetreuer: A. Palyi

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Grundlagen von Quantenbits 12.1 Allgemeine Eigenschaften von Quantenpunkten . 12.2 Quantenpunkte in GaAs . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Messung von Spinzuständen . . . . . . . . . . . 1

3 Quantenpunkte auf Graphen 23.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Graphenbänder . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.3 Ausgedehntes 2-dim Graphen . . . . . . . . . . . 4

4 Zusammenfassung 4

1 Einleitung

Quantendots bieten die Möglichkeit aufbauend auf den ge-quantelten Zuständen der enthaltenen Ladungsträger (Elek-tronen) sogenannte Qubits - Quantenbits zu realisieren. Hier-bei wird eine Quantenmechanische Eigenschaft - häufig derSpin von z.B. Elektronen - genutzt um ein Bit zu repräsentie-ren. In Halbleitermaterialien wie z.B. GaAs wurde dies be-reits experimentell untersucht. Ein Problem hierbei ist dieLebensdauer der kohärenten Zustände. Diese ist unter an-derem durch Spin-Bahn Kopplung sowie Wechselwirkungendes Elektronenspins mit den Kernspins begrenzt. Die Spin-Bahn Kopplung ist abhängig von der Ordnungszahl der Ato-me und folglich bei Kohlenstoff gegenüber Gallium oder Ar-seen relativ gering. Kohlenstoff besteht zu etwa 99% ausdem Isotop 12C welches einen verschwindenen Kernspin be-sitzt, folglich ist auch die Kernspin-Elektronenspin Wechsel-wirkung klein. Eine genauere Analyse der Möglichkeiten vonGraphen als Basis für Qubits erscheint somit als sinnvoll.

2 Grundlagen von Quantenbits

2.1 Allgemeine Eigenschaften vonQuantenpunkten

Wenn man den möglichen räumlichen Aufenthaltsbereich voneinzelne Ladungsträgern auf einen Bereich der gleichen Größen-ordung wie ihre DE-BROGLIE-Wellenlänge einschränkt spaltensich die Energie-Eigenwerte der zugehörigen Wellenfunktion indiskrete Energieniveaus auf. Die ist vergleichbar mit den Ener-gieniveaus von Elektronen in einem Atom, jedoch üblicherweisein der Größenordung von meV. Einen Bereich der diese räumli-che Beschränkung von einzelnen Teilchen ermöglicht nennt manQuantenpunkt Über seine Größe lassen sich die Abstände der

Energieniveaus variieren. Wenn mann mehrere dieser Quanten-punkte dicht genug zusammen bringt und die Wellenfunktio-nen enthaltener Teilchen ausreichend überlappen ergibt sich eineTunnelwahrscheinlichkeit zwischen beiden Punkten, man sprichtauch von einer Kopplung von Quantenpunkten (und ihrer quan-tenmechanischen Zustände).

2.2 Quantenpunkte in GaAs

Quantenpunkte sind in einer Vielzahl von Materialien denkbar,bisherige experimentelle Realisierungen fanden häufig in GaAsstatt. Dies lässt sich auf die gute Verfügbarkeit von hochreinemGaAs sowie den Erfahrungen in der Prozessierung von Struktu-ren auf dieser Basis zurückführen. Die Lebensdauer präparierten,kohärenten Zustände einzelner Elektronen in solchen Strukturenist jedoch limitiert. Ursachen hierfür sind wie Eingangs erwähntunter Anderem die Spin-Bahn Kopplung der Elektronen sowieWechselwirkungen zwischen dem Elektronenspin und den Kern-spins der Gitteratome [3].

Eine Mögliche Struktur für zwei gekoppelte Quantenpunkte istin Abbildung (1) dargestellt. Durch epitaktisches Wachstum wirddie Bewegungsfreieheit bereits in einer Dimension eingeschränkt(durch Kombination von Schichten mit unterschiedliecher Band-lücke) und damit ein zweidimensionales Elektronengas definiert.Die zwei verbleibenen Bewegungsrichtungen werden elektrosta-tisch eingeschränkt (durch Elektroden oder einer geätzter Struk-tur). Zusätzliche Elektroden ermöglichen die Kopplung zwischenden beiden Punkten zu verändern sowie das Gesmmtpotential derPunkte zu verschieben (Verschiebung der Grundzustandsenergie).Die Ladung der Punkte lässt sich durch den Feldeffekt indirektüber Ströme messen, dies ermöglicht eine Aussage ob sich einElektron in einem Quantenpunkt befindet oder nicht.

Abbildung 1: Zwei Quantendots in GaAs [1]

2.3 Messung von Spinzuständen

Bei einem in einem Quantenpunkt isoliertes Elektron bietet sichan den Spin desselbigen als Qubit zu nutzen. Allerdings ist die di-rekte Messung des Spinzustandes nahezu unmöglich, da das mitihm verbundene Magnetische Moment sehr klein ist. Es wird alsoversucht den Spinzustand in andere, einfacher zu messende Grö-ßen zu transverieren.

Eine Möglichkeit ist die Aufspaltung des Energieniveaus ab-hängig von der Spineinstellung. Möglich ist dies z.B. duch ein ex-ternes Magnetfeld (ZEEMAN-Effekt). Wenn die FERMI-Energiein der Umgebung nun zwischen diesen beiden Energineveausliegt ist eine Tunnelung des enthaltenen Elektrons abhängig vonseiner Spineinstellung. Duch Beobachtung der Ladung innerhalbdes Quantenpunktes lassen sich so Angaben über den Spin ma-chen (Vgl. Abbildung (2)

1

Abbildung 2: Umwandlung von Spinzuständen in Ladung derQuantenpunkte durch Aufspaltung der Energieni-veaus der zwei Spinzustände

Abbildung 3: Ermittlung von Spinzuständen über dieAuswahlregeln

Eine andere Möglichkeit Spinzustände in Ladung zu überfüh-ren ist die Ausnutzung von Auswahlregeln (PAULI-Prinzip). EinZustand kann nicht von zwei Elektronen besetzt werden die in al-len Quantenzahlen übereinstimmen. Dies wird in Abbildung (3)skizziert. Zwei Potentialtöpfe (Quantenpunkte) sind dicht genugbeisammen dass es eine endliche Tunnelwahrscheinlichkeit zwi-schen ihnen gibt. Haben die beiden Elektronen in ihren jeweiligenTöpfen unterschiedliche Spins, so wird das Elektron vom einenTopf in den andern Tunneln sobald das Potential eines Topfes re-lativ zum andern soweit angehoben wird, dass die Differenz dasPotential der COULOMBabstoßung übersteigt. Die Position derElektronen lässt sich wiederum über die Ladung bestimmen [1].

3 Quantenpunkte auf Graphen

3.1 Einleitung

Graphen bietet im direkten Vergleich mit GaAs den Vorteil einerniedrigeren Ordnungszahl, was zu einer geringeren Spin-BahnWechselwirkung führt. Desweiteren verschwindet bei 12C der re-sultierende Kernspin. Bereits durch diese Eigenschaften müssteKohlenstoff im Vergleich zu GaAs eine etwa 1000fach höhereKohärenzzeit aufweisen. Graphen ist bereits ein ausgedehntes 2dimensionales (näherungsweise) System, somit bleiben (ähnlichwie bei der gewachsenen Struktur auf GaAs) nur noch zwei räum-liche Freiheitsgrade.

Diesen Vorteilen stehen auch Probleme gegenüber: Da (unend-lich ausgedehntes) Graphen an sich keine Bandlücke aufweistkönnen Elektronen durch eine Potentialbarriere unter bestimm-ten Umständen mit einer Wahrscheinlichkeit von bis zu 1 hin-durchtunneln, vgl. hierzu auch den entsprechenden Vortrag zumThema KLEIN-Tunneln. Dies macht eine elektrostatische Defini-tion des Quantenpunktes durch z.B. Elektroden erst einmal un-möglich. Ein weiteres Problem kann die KKK/KKK′-Entartung in denEigenzuständen der Elektronen darstellen, da sie eine exakte Prä-paration von ein-Elektronenzuständen verhindert.

Abbildung 4: Graphen Band mit „armchair“-Rändern

Abbildung 5: Zwei Quantenpunkten auf einem Graphenband derBreite W die durch Barriereren-Potentiale auf dieLänge L beschränkt sind.

3.2 Graphenbänder

Wie im entsprechenden Vortrag gezeigt, können mit Bändern ausGraphen mit „armchair“-Rändern [5] (vgl. Abbildung (4)) beipassender Wahl der Breite diese beiden Probleme umgangen wer-den. Sie zeigen ein halbleiterartiges Verhalten mit einer Band-lücke und die genannte Entartung ist aufgehoben. Eine denkba-re Realisation von zwei gekoppelten Quantenpunkten auf einemGraphenband ist in Abbildung (5) dargestellt. Hierbei ist zu be-achten dass wir von Begin an für die Breite W des Bandes nurWerte zulassen die kein ganzzahliges Vielfaches von Drei der Git-terkonstanten darstellen. Dies ist die Bedingung für halbleiten-des Verhalten. Die Begrenzung der Punkte in y-Richtung erfolgtdurch elektrische Poteniale (Barrieren) die durch Elektroden rea-lisiert werden könnten.

Bei der mathematischen Beschreibung (hier nur für einen ein-zelnen Quantenpunkt umgeben von zwei Barrieren) starten wirmit der DIRAC-Gleichung für Graphen die wir mit einem y-Abhängigen Potential V (y) ergänzen. Wir nehmen an das diesesPotential im Bereich der Barrieren Vbarrier entspricht und sonstverschwindet (Stufenfunktion).

V (y) =

{0 0≤ y≤ LVbarrier sonst

2

Es ergibt sich

−ih̄v(

σx∂x +σy∂y 00 −σx∂x +σy∂y

)Ψ+ eV (y)Ψ = εΨ

wobei σx/y die PAULI-Matrizen sind und Ψ en vierkomponen-tiger Spinor (für die Untergitter A und B jeweils die KKK und KKK′

Komponenten).

Ψ =(

Ψ(K)A ,Ψ

(K)B ,−Ψ

(K′)A ,−Ψ

(K′)B

)Als Lösungsansatz betrachten wir den Bereich der Barrieren undden innnerhalb der eigentlichen Quantenpunkte getrennnt undpassen dann jeweils die Randbedingung an der Grenze an.

Ψ(±)n,k (x,y) = χ

(±)n,kx,ky

(x)e±ikyy (1)

Das (±) steht hier für die zwei möglichen Wahlen einer Breitedie sich von einem ganzzahligen Vielfachen von drei unterschei-det. Man erkennt die Seperation von x- und y-Abhängigkeit. Zubeachten ist dass χ sowohl von kx als auch von ky abhängt.

Betrachten wir zunächst die x-Abhängigkeit, welche für bei-de Bereiche gleichermaßen gültig ist. Die Randbedingungen hierlassen sich wie folgt formulieren (α = A/B):

Ψ(K)α |x=0 = Ψ

(K′)α |x=0

Ψ(K)α |x=W = e±2π/3 ·Ψ(K′)

α |x=W

Wie bereits in [5] gezeigt führt dies zu einer Quantisierung desWellenwektors in x-Richtung

qn ≡ kx =(n±1/3)π

W, n ∈ Z (2)

Das ± steht hier wieder für die unterschiedlichen Wahlmöglich-keiten von W .Bei der Lösung in y-Richtung müssen wir nun zwi-schen den zwei Bereichen unterscheiden: ky soll eine Lösung inder Barriere kennzeichen, entsprechend k̃y im Bereich mit V = 0.Es ergeben sich analog zu [5] die Energieeigenwerte für den Be-reich mit V = 0

ε =±h̄v√

q2o + k̃2

y

Hieraus lässtsich bereits die Bandlücke bei gegebener Breite fürdas Band ausrechnen, Egap = 2h̄vqo ≈ 60meV für W ≈ 30nm.Weiterhin erkennt man dass sich in (2) für beliebige n keine zweibetragsmäßig gleich große Werte für qn ergeben können (bei fes-tem W ). Somit sind die Energieeigenwerte nich mehr entartet. ImFolgenden betrachten wir den Grundzustand q0 in x-Richtung.Der Bereich mit Vbarrier ergibt sich analog (lediglich eine Ver-schiebung durch das Potential):

ε = eVbarrier± h̄v√

q2o + k2

y

⇒ k ≡ ky =

√(ε− eV

h̄v

)2−q2

0

Innerhalb dieses Bereiches soll die Wellenfunktion für y→∞ ver-schwinden, dies setzt vorraus das k rein imaginär ist, da dann derExponent in (1) reell wird. Die Bedingung hierfür lautet also

h̄vq0 > |ε− eVbarrier|

Abbildung 6: Energieeigenwerte in Abhängigkeit des Barrieren-Potentials

Abbildung 7: Bandstruktur eins Punktes, umgeben von zweiBarrieren

Aus den Anschlussbedinung (Stetigkeit der Wellenfunktion) beiy = 0 sowie y = L ergibt sich folgende transzendente Gleichungwelche letztendlich lediglich von ε abhängt:

e2ik̃L(z0,k− z0,k̃)2− (1− z0,kz0,k̃)

2 = 0 (3)

with z0,k =

√q0 + ikq2

0 + k2

Hierbei interessieren uns nur Fälle bei denen k̃ reel ist, da sichanonsten wie bereits gezeigt keine stehende Welle ergibt. Im Fallevon k̃ = 0 würde die Lösung innerhalb der Bandlücke liegen, wasnicht möglich ist. Die Bedingung hierfür:

|ε− eVgate| ≥ h̄vq0 > |ε− eVbarrier|

Etwas vereinfacht ergibt sich für (3)

tan(k̃L) =h̄vk̃√

(h̄vq0)2− (ε− eVbarrier)2

ε(ε− eVbarrier)− (h̄vg0)2

In Abbildung (6) ist ε in Abhängigkeit der Barrierenspannung fürzwei unterschiedliche Längen L geplottet (VGate ist in unseremFall nicht vorhanden) (6) zu erkennen. Diese isolierten, nicht ent-arteten Zustände müssten sich nun als Qubits nutzen lassen. Manerkennt das nur für einen bestimmten Bereich überhapt Lösun-gen existieren, und diese dann in y-Richtung gequantelt sind. DerAbstand zweier Eigenenergien vergrößert sich bei abnemendemL. In Abbildung (7) ist die Bandstruktur eines Quantenpunktes(Dot) umgeben von zwei Barrieren qualitativ gezeichnet. Man er-kennt das gequantelte Zustände im Dot innerhalb der Bandlückeder Barrieren liegen, und damit isoliert sind. Die Anzahl der mög-lichen isolierten Zustände (mit q0) hängt von der Bandlücke derBarrieren und dem Abstand der Zustände ab, wie auch in Abbil-dung

3

Abbildung 8: Potentialtopf auf ausgedehntem Graphen

3.3 Ausgedehntes 2-dim Graphen

Ausgedehntes Graphen besitzt von sich aus erst einmal keineBandlücke, was die elektrostatische Definition eines Quanten-punktes unmöglich machen würde. Wir machen deshalb die An-nahme eines Terms im Hamiltonoperator, welcher die beiden Un-tergitter A und B jeweils um einen konstanten Term ∆ erhöht bzw.erniedrigt (führt zu einer Bandlücke 2∆).

Hτ = H0 + τ∆σz +U(x,y)

mit

H0 = v(ppp+ eAAA) ·σBBB =4×AAA = (0,0,B)

τ =± for KKK/KKK′

σz =(

1 00 −1

)(4)

Dieses kann z.B. durch ein passendes Substrat unter dem Graphenerreicht werden. Wir wählen ein Zylindersymmetrisches Potenti-al U(x,y) (Stufenfunktion mit Radius R) welches uns nun denQuantenpunkt im Leitungsband definiert (Vgl. Abbildung (8)).Weiterhin nehmen wir ein parallel zu z-Achse paralleles, homoge-nes Magnetfeld BBB an welches als Vektorpotential AAA berücksichtigtwird. Nun erfolgt eine Transformation in Zylinderkoordinaten:

H0 =−iv(

0 e−iα

eiα 0

)∂r + v

(0 −e−iα

e−iα 0

)(1r

∂α +ieBr

2

)Da Hτ mit dem Spinoperator Jz = −i∂α + σz/2 (genauer derPseudo-Spinoperator) kommutiert, besitzen sie einen gemeinsa-men Satz Eigenzustände von

Ψτ (r,α) = ei( j−1/2)α

(χτ

A(r)χτ

B(r)eiα

)Dies ist eine nichttriviale Aufgabe, erfolgt letztendlich nach demgleichen Schema wie in (3.2): Zuerst werden nach Lösungen inbeiden Bereichen gesucht und diese dann über die Anschluss-bedingungen (Stetigkeit) angepasst. Letztendlich lassen sich dieEnergieeigenwerte abhängig von dem Magnetfeld darstellen (Ab-bildung (9). Man erkennt das hier die Entartung in KKK/KKK′ durchein Magnetfeld aufgehoben wird, und sich somit exakt definierteElektronenzustände ergeben.

Abbildung 9: Energieeigenwerte auf ausgedehntem Graphen ab-hängig von dem externen Magnetfeld, δ = ∆/10,lB =

√h̄/eB

4 Zusammenfassung

Auf Grund der genannten Vorteile von Graphen für Quantendots(geringes Atomgewicht, weitgehend Kernspinfreiheit, von sichaus 2 dim) wurden zwei Vorschläge erläutert welche die Proble-me in Graphen (verschwindende Bandlücke, Entartung der Ener-gieeigenwerte) lösen könnten. Zum einen die Verwendung vonGraphennanobänder mit „armchair“-Rändern, diese würden bei-de Probleme auf einmal lösen. Zum andern Graphen auf einemSubstrat und dem Einsatz eines externen Magnetfeldes. Das Sub-strat induziert eine Bandlücke und das externe Magnetfeld hebtdie Entartung auf.

Theoretisch bietet Graphen somit eine Möglichkeit Qubits inQuantendots zu realisieren.

Literatur

[1] R. Hanson and D. Awschalom: Coherent manipulation ofsingle spins in semiconductors, NATURE Vol 453 (2008)

[2] A. H. Castro Neto, F. Guinea, N. M. R. Peres, K. S.Novoselov and A. K. Geim: The electronic properties ofgraphene, REVIEWS OF MODERN PHYSICS, Volume 81(2009)

[3] B. Trauzettel, D. V. Bulaev, D. Loss and G. Burkard: Spinqubits in graphene quantum dots, NATURE PHYSICS 3,192-196 (2007)

[4] P. Recher and J. Nilsson, G. Burkard, B. Trauzettel: Boundstates and magnetic field induced valley splitting in gate-tunable graphene quantum dots, PHYSICAL REVIEW B79, 085407 (2009)

[5] A. Zusan: Graphen Nanobänder, Graphen-Seminar UNI-VERSITÄT KONSTANZ (2009)

4