Quantenphysik aus klassischen Wahrscheinlichkeiten

Quantenphysik ausQuantenphysik ausklassischen klassischen

WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

Unterschiede zwischenUnterschiede zwischenQuantenphysik und Quantenphysik und

klassischen klassischen WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

Quanten – TeilchenQuanten – Teilchenundund

klassische Teilchenklassische Teilchen

Quanten–Teilchen Quanten–Teilchen klassische Teilchenklassische Teilchen

Teilchen-Welle DualitätTeilchen-Welle Dualität UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien

Interferenz bei Interferenz bei DoppelspaltDoppelspalt

TunnelnTunneln

Quanten - Quanten - WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Schrödinger-GleichungSchrödinger-Gleichung

TeilchenTeilchen scharfer Ort und Impulsscharfer Ort und Impuls klassische Trajektorienklassische Trajektorien

nur durch einen Spaltnur durch einen Spalt maximale Energie maximale Energie

beschränkt Bewegungbeschränkt Bewegung

klassische klassische Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit w(x,p)w(x,p)

Liouville-Gleichung für Liouville-Gleichung für ww

( entspricht Newton ( entspricht Newton Gl. Gl.

für Trajektorien )für Trajektorien )

Doppelspalt - ExperimentDoppelspalt - Experiment

Quanten - KonzepteQuanten - Konzepte

Wahrscheinlickeits - AmplitudeWahrscheinlickeits - Amplitude VerschränkungVerschränkung InterferenzInterferenz Superposition von ZuständenSuperposition von Zuständen Fermionen und BosonenFermionen und Bosonen unitäre Zeitentwicklungunitäre Zeitentwicklung ÜbergangsamplitudeÜbergangsamplitude nicht-kommutierende Operatorennicht-kommutierende Operatoren Verletzung der Bell’schen UngleichungVerletzung der Bell’schen Ungleichung

Quantenphysik kann Quantenphysik kann durchdurch

klassische klassische Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten beschrieben werden ! beschrieben werden !

ZwitterZwitter

gleicher Formalismus für gleicher Formalismus für Quantenteilchen und klassische TeilchenQuantenteilchen und klassische Teilchen

unterschiedliche Zeitentwicklung der unterschiedliche Zeitentwicklung der WahrscheinlichkeitsverteilungWahrscheinlichkeitsverteilung

Zwitter : Zwitter :

zwischen Quanten und klassischen zwischen Quanten und klassischen Teilchen –Teilchen –

kontinuierliche Interpolation der kontinuierliche Interpolation der Zeitentwicklungs - GleichungZeitentwicklungs - Gleichung

Quantenteilchen undQuantenteilchen undklassischen klassischen


Quanten–Teilchen klassische Quanten–Teilchen klassische TeilchenTeilchen

Teilchen-Welle Teilchen-Welle DualitätDualität

UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien


TunnelnTunneln


Schrödinger-Schrödinger-GleichungGleichung

TeilchenTeilchen scharfer Ort und scharfer Ort und

ImpulsImpuls klassische klassische

TrajektorienTrajektorien



klassische klassische WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Liouville-GleichungLiouville-Gleichung





TunnelnTunneln



Teilchen Teilchen – Welle – Welle DualitätDualität

scharfer Ort und scharfer Ort und ImpulsImpuls

klassische Trajektorienklassische Trajektorien









TunnelnTunneln




scharfer Ort und Impulsscharfer Ort und Impuls klassische Trajektorienklassische Trajektorien

nur durch einen Spalt nur durch einen Spalt ?? maximale Energie maximale Energie

beschränkt Bewegung beschränkt Bewegung ??


modifizierte modifizierte EvolutionsgleichungEvolutionsgleichung


Teilchen-Welle DualitätTeilchen-Welle Dualität UnschärfeUnschärfe keine Trajektorienkeine Trajektorien

Interferenz bei DoppelspaltInterferenz bei Doppelspalt TunnelnTunneln


Schrödinger-GleichungSchrödinger-Gleichung







Einschränkung der möglichen InformationEinschränkung der möglichen Information unvollständige Statistikunvollständige Statistik

klassische klassische Wahrscheinlichkeiten – Wahrscheinlichkeiten – keine deterministische keine deterministische

klassische Theorieklassische Theorie

Physik beschreibt nur Physik beschreibt nur WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

Gott würfeltGott würfelt


Gott würfeltGott würfelt Gott würfelt nichtGott würfelt nicht


Gott Gott würfelt würfelt

Gott würfelt nichtGott würfelt nicht

Mensch kann nur Mensch kann nur Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten erkennenerkennen

Probabilistische PhysikProbabilistische Physik

Es gibt Es gibt eineeine Realität Realität Diese kann nur durch Diese kann nur durch

Wahrscheinlichkeiten beschrieben Wahrscheinlichkeiten beschrieben werdenwerden

ein Tröpfchen Wasser …ein Tröpfchen Wasser … 10102020 Teilchen Teilchen elektromagnetisches Feldelektromagnetisches Feld exponentielles Anwachsen der Entfernung exponentielles Anwachsen der Entfernung

zwischen zwei benachbarten Trajektorienzwischen zwei benachbarten Trajektorien

Gesetze basieren auf Gesetze basieren auf WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

Determinismus als Spezialfall :Determinismus als Spezialfall :

Wahrscheinlichkeit für Ereignis = Wahrscheinlichkeit für Ereignis = 11

Gesetz der großen ZahlGesetz der großen Zahl eindeutiger Grundzustand …eindeutiger Grundzustand …

bedingte bedingte WahrscheinlichkeitWahrscheinlichkeit

Sequenzen von Ereignissen Sequenzen von Ereignissen ( Messungen ) werden durch ( Messungen ) werden durch

bedingtebedingte Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten beschriebenbeschrieben

sowohl in klassischer Statistik sowohl in klassischer Statistik als auch in Quantenstatistikals auch in Quantenstatistik

w(tw(t11))

nicht besonders geeignet nicht besonders geeignet für Aussage , ob hier und jetztfür Aussage , ob hier und jetztein Geldstück herunterfälltein Geldstück herunterfällt

::

Schrödingers Schrödingers KatzeKatze

bedingte Wahrscheinlichkeit :bedingte Wahrscheinlichkeit :wenn Kern zerfallenwenn Kern zerfallenKatze tot mit w = 1 Katze tot mit w = 1 (Reduktion der Wellenfunktion)(Reduktion der Wellenfunktion)

Teilchen – Welle DualitätTeilchen – Welle Dualität





TunnelnTunneln










WahrscheinlichkeitsverteiluWahrscheinlichkeitsverteilung für ng für

klassisches Teilchenklassisches Teilchen

klassische Wahrscheinlichkeits –klassische Wahrscheinlichkeits –verteilung im Phasenraumverteilung im Phasenraum

Wellenfunktion für Wellenfunktion für klassisches Teilchenklassisches Teilchen

klassische Wahrscheinlichkeits –klassische Wahrscheinlichkeits –verteilung im Phasenraumverteilung im Phasenraum

Wellenfunktion für Wellenfunktion für klassisches Teilchenklassisches Teilchen

( hängt von Ort( hängt von Ort und Impuls ab )und Impuls ab )

Quantengesetze für Quantengesetze für ObservableObservable

Liouville - GleichungLiouville - Gleichung

beschreibt Zeitentwicklung der beschreibt Zeitentwicklung der klassischen Wahrscheinlichkeitsverteilungklassischen Wahrscheinlichkeitsverteilungfür Teilchen in Potenzial V(x)für Teilchen in Potenzial V(x)

Zeitentwicklung derZeitentwicklung derklassischen Wellenfunktionklassischen Wellenfunktion

WellengleichungWellengleichung

modifizierte Schrödinger - Gleichungmodifizierte Schrödinger - Gleichung

Teilchen – Welle DualitätTeilchen – Welle Dualität

Welleneigenschaften der Teilchen :Welleneigenschaften der Teilchen :

kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungkontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung

Quanten - Quanten - ZeitentwicklungZeitentwicklung





TunnelnTunneln














TunnelnTunneln









Modifikation der EvolutionModifikation der Evolutionfür klassische für klassische

WahrscheinlichkeitsverteiluWahrscheinlichkeitsverteilungng

modifizierte Evolution modifizierte Evolution klassischer klassischer


K ist reeller Operator , K ist reeller Operator ,

… … nicht kompatiblel mit nicht kompatiblel mit klassischen Trajektorienklassischen Trajektorien… … ergibt Schrödinger – Gleichung ergibt Schrödinger – Gleichung der Quantenmechanikder Quantenmechanik

Quanten – ObservablenQuanten – Observablenund und

klassische Observablenklassische Observablen

Quanten - ObservablenQuanten - Observablen

Observablen für Observablen für klassischen klassischen Ort und ImpulsOrt und Impuls

Observablen für Observablen für Quanten - Quanten - Ort und ImpulsOrt und Impuls

… … kommutieren nichtkommutieren nicht

Unschärfe Unschärfe

Quanten – Observablen enthaltenQuanten – Observablen enthalten statistischen Anteilstatistischen Anteil ( ähnlich Entropie , Temperatur )( ähnlich Entropie , Temperatur )

QuantenteilchenQuantenteilchen

mit Evolutionsgleichungmit Evolutionsgleichung

Quanten – Observablen erfüllen Quanten – Observablen erfüllen alle Vorhersagen der alle Vorhersagen der Quantenmechanik für Quantenmechanik für Teilchen in Potenzial VTeilchen in Potenzial V

Doppelspalt - ExperimentDoppelspalt - Experiment

Quantenformalismus aus Quantenformalismus aus

klassischen klassischen WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

reiner Zustandreiner Zustand

wird beschrieben durchwird beschrieben durchquantenmechanische Wellenfunktionquantenmechanische Wellenfunktion

realisiert fürrealisiert fürklassische Wahrschein-klassische Wahrschein-lichkeiten der Formlichkeiten der Form

Zeitentwicklung beschrieben durchZeitentwicklung beschrieben durch Schrödinger – GleichungSchrödinger – Gleichung

Dichte – Matrix und Dichte – Matrix und Wigner-transformWigner-transform

Wigner – transformierte DichtematrixWigner – transformierte Dichtematrixin der Quantenmechanikin der Quantenmechanik

erlaubt einfache Berechnung erlaubt einfache Berechnung der Erwartungswerte quanten-der Erwartungswerte quanten-mechanischer Observablenmechanischer Observablen

kann aus Wellenfunktion für klassisches Teilchenkann aus Wellenfunktion für klassisches Teilchenkonstruiert werden !konstruiert werden !

Quanten – Observablen Quanten – Observablen und und

klassische Observablenklassische Observablen

ZwitterZwitter

Unterschied zwischen Quanten – Unterschied zwischen Quanten – Teilchen und klassischen Teilchen Teilchen und klassischen Teilchen nur durch unterschiedliche nur durch unterschiedliche ZeitentwicklungZeitentwicklung

kontinuierlikontinuierliche che InterpolatioInterpolationn

CLCL

QMQM

Quantenteilchen undQuantenteilchen undklassische Statistikklassische Statistik

Gemeinsame Konzepte und Gemeinsame Konzepte und gemeinsamer Formalismus für Quanten- gemeinsamer Formalismus für Quanten- und klassische Teilchen : klassische und klassische Teilchen : klassische Wahrscheinlichkeitverteilung , Wahrscheinlichkeitverteilung , WellenfunktionWellenfunktion

Unterschiedliche Zeitentwicklung , Unterschiedliche Zeitentwicklung , unterschiedliche Hamilton- Operatorenunterschiedliche Hamilton- Operatoren

Kontinuierliche Interpolation zwischen Kontinuierliche Interpolation zwischen Quanten- und klassischen Teilchen Quanten- und klassischen Teilchen möglich - Zwittermöglich - Zwitter

Quantenmechanik aus Quantenmechanik aus klassischen klassischen

WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeitenklassische Wahrscheinlichkeitsverteilung kann klassische Wahrscheinlichkeitsverteilung kann

explizit angegeben werden für :explizit angegeben werden für :

quantenmechanisches Zwei-Zustands-quantenmechanisches Zwei-Zustands-System Quantencomputer : Hadamard System Quantencomputer : Hadamard gategate

Vier-Zustands-System ( CNOT gate )Vier-Zustands-System ( CNOT gate ) verschränkte Quantenzuständeverschränkte Quantenzustände InterferenzInterferenz

Bell’sche UngleichungenBell’sche Ungleichungen

werden verletzt durch werden verletzt durch bedingtebedingte Korrelationen Korrelationen

Bedingte Korrelationen für zwei EreignisseBedingte Korrelationen für zwei Ereignisse

oder Messungen reflektieren bedingte oder Messungen reflektieren bedingte WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

Unterschied zu klassischen Korrelationen Unterschied zu klassischen Korrelationen

( Klassische Korrelationen werden implizit zur ( Klassische Korrelationen werden implizit zur Herleitung der Bell’schen Ungleichungen Herleitung der Bell’schen Ungleichungen verwandt. )verwandt. )

Bedingte Dreipunkt- Korrelation nicht kommutativBedingte Dreipunkt- Korrelation nicht kommutativ

RealitätRealität

KorrelationenKorrelationen sind physikalische Realität , nicht sind physikalische Realität , nicht nur Erwartungswerte oder Messwerte einzelner nur Erwartungswerte oder Messwerte einzelner ObservablenObservablen

Korrelationen können Korrelationen können nicht-lokal nicht-lokal sein ( auch in klassischer Statistik ) ; sein ( auch in klassischer Statistik ) ; kausale Prozesse zur Herstellung kausale Prozesse zur Herstellung nicht-lokaler Korrelationen nicht-lokaler Korrelationen erforderlicherforderlich

Korrelierte Untersysteme sind nicht separabel in Korrelierte Untersysteme sind nicht separabel in unabhängige Teilsysteme – unabhängige Teilsysteme – Ganzes mehr als Ganzes mehr als Summe der TeileSumme der Teile

EPR - ParadoxonEPR - Paradoxon

Korrelation zwischen zwei Spins wird Korrelation zwischen zwei Spins wird bei Teilchenzerfall hergestelltbei Teilchenzerfall hergestellt

Kein Widerspruch zu Kausalität oder Kein Widerspruch zu Kausalität oder Realismus wenn Korrelationen als Teil der Realismus wenn Korrelationen als Teil der Realität verstanden werdenRealität verstanden werden

hat mal nicht Recht )hat mal nicht Recht )((

Untersystem und Untersystem und Umgebung:Umgebung:

unvollständige Statistikunvollständige Statistik

typische Quantensysteme sind typische Quantensysteme sind UntersystemeUntersysteme

von klassischen Ensembles mit unendlich vielenvon klassischen Ensembles mit unendlich vielen

Freiheitsgraden ( Umgebung )Freiheitsgraden ( Umgebung )

probabilistischeprobabilistische Observablen für Untersysteme : Observablen für Untersysteme :

Wahrscheinlichkeitsverteilung für Messwerte Wahrscheinlichkeitsverteilung für Messwerte

in Quantenzustandin Quantenzustand

Was ist ein Atom ?Was ist ein Atom ?

Quantenmechanik : isoliertes ObjektQuantenmechanik : isoliertes Objekt

Quantenfeldtheorie : Anregung eines Quantenfeldtheorie : Anregung eines komplizierten Vakuumskomplizierten Vakuums

Klassische Statistik : Untersystem Klassische Statistik : Untersystem eines Ensembles mit unendlich eines Ensembles mit unendlich vielen Freiheitsgradenvielen Freiheitsgraden

Essenz des Quanten - Essenz des Quanten - FormalismusFormalismus

Beschreibung geeigneter Beschreibung geeigneter Untersysteme von klassicchen Untersysteme von klassicchen statistischen Ensemblesstatistischen Ensembles

1) Äquivalenz - Klassen vn probabilistischen 1) Äquivalenz - Klassen vn probabilistischen ObservablenObservablen

2) Unvollständige Statistik2) Unvollständige Statistik 3) Korrelation zwischen Messungen oder 3) Korrelation zwischen Messungen oder

Ereignissen basieren auf bedingten Ereignissen basieren auf bedingten WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

4) Unitäre Zeitentwicklung für isolierte 4) Unitäre Zeitentwicklung für isolierte UntersystemeUntersysteme

ZusammenfassungZusammenfassung

Quantenstatistik entsteht aus klassischer Quantenstatistik entsteht aus klassischer StatistikStatistik

Quantenzustand, Superposition , Interferenz , Quantenzustand, Superposition , Interferenz , Verschränkung , Wahrscheinlichkeits-Verschränkung , Wahrscheinlichkeits-AmplitudeAmplitude

Unitäre Zeitentwicklung in der Unitäre Zeitentwicklung in der Quantenmechanik beschreibbar durch Quantenmechanik beschreibbar durch Zeitentwicklung klassischer Zeitentwicklung klassischer WahrscheinlichkeitenWahrscheinlichkeiten

Bedingte Korrelationen für Messungen sowohl Bedingte Korrelationen für Messungen sowohl in Quantensystem als auch klassischer Statistikin Quantensystem als auch klassischer Statistik

Quantenteilchen undQuantenteilchen undklassische Statistikklassische Statistik

Gemeinsame Konzepte und Gemeinsame Konzepte und gemeinsamer Formalismus für Quanten- gemeinsamer Formalismus für Quanten- und klassische Teilchen : klassische und klassische Teilchen : klassische Wahrscheinlichkeitverteilung , Wahrscheinlichkeitverteilung , WellenfunktionWellenfunktion

Unterschiedliche Zeitentwicklung , Unterschiedliche Zeitentwicklung , unterschiedliche Hamilton- Operatorenunterschiedliche Hamilton- Operatoren

Kontinuierliche Interpolation zwischen Kontinuierliche Interpolation zwischen Quanten- und klassischen Teilchen Quanten- und klassischen Teilchen möglich - Zwittermöglich - Zwitter

EndeEnde

conditional correlationsconditional correlations

conditional probabilityconditional probability

probability to find value +1 for probability to find value +1 for product product

of measurements of A and Bof measurements of A and B

… … can be expressed in can be expressed in terms of expectation valueterms of expectation valueof A in eigenstate of Bof A in eigenstate of B

probability to find A=1 probability to find A=1 after measurement of B=1after measurement of B=1

measurement correlationmeasurement correlation

After measurement A=+1 the system After measurement A=+1 the system must be in eigenstate with this eigenvalue.must be in eigenstate with this eigenvalue.Otherwise repetition of measurement couldOtherwise repetition of measurement couldgive a different result !give a different result !

measurement changes statemeasurement changes statein all statistical systems !in all statistical systems !

quantum and classicalquantum and classical

eliminates possibilities that eliminates possibilities that are not realizedare not realized

physics makes statements physics makes statements about possibleabout possible

sequences of events sequences of events and their probabilitiesand their probabilities

M = 2 :M = 2 :

unique eigenstates for unique eigenstates for M=2M=2

eigenstates with A = 1eigenstates with A = 1

measurement preserves pure states if projectionmeasurement preserves pure states if projection

measurement correlation measurement correlation equals quantum correlationequals quantum correlation

probability to probability to measure measure A=1 and B=1 :A=1 and B=1 :

probability that A and B have probability that A and B have both the value +1 in classical both the value +1 in classical

ensembleensemble

not a property not a property of the subsystemof the subsystem

probability to measure A and B both +1probability to measure A and B both +1

can be computed from the subsystemcan be computed from the subsystem

sequence of three sequence of three measurements measurements

and quantum commutatorand quantum commutator

two measurements commute , not threetwo measurements commute , not three

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Quantenphysik aus klassischen Wahrscheinlichkeiten