Wahrscheinlichkeit 04_wahrscheinlichkeit1 Gliederung Inferenzstatistik Definitionen für Wahrscheinlichkeiten – Relative Häufigkeit – Grenzwerte (Gesetz

Wahrscheinlichkeit

04_wahrscheinlichkeit 1

Gliederung• Inferenzstatistik• Definitionen für Wahrscheinlichkeiten

– Relative Häufigkeit– Grenzwerte („Gesetz der großen Zahl“)

• Bedingte Wahrscheinlichkeit• Stochastische Unabhängigkeit• Wahrscheinlichkeitsrechnung

– Additionstheorem– Multiplikationstheorem– Theorem von Bayes

• Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Inferenzstatistik

• Die Inferenzstatistik („schlussfolgernde Statistik“) zieht aus den Daten einer Stichprobe Rückschlüsse auf die zugrundeliegende Population.

• Inferenzstatistik beruht auf Wahrscheinlichkeitsaussagen• Beispiel:

– Bei den Psychologie Erstsemester 2008 in Freiburg schätzen die Männer (31) ihre Statistikvorkenntnisse höher ein als die Frauen (24).

– „Ist das gleiche Muster auch für andere Semester (oder andere Universitäten) zu erwarten?“

– „Wie wahrscheinlich ist es, dass in der Gesamt-Population aller Psychologie-Studienanfänger Männer ihre Statistikkenntnisse höher einschätzen als Frauen?“

– „Wie wahrscheinlich wäre das gefundene Ergebnis (Männer = 31; Frauen = 24), wenn es in der Population keinen Unterschied gäbe?“


Definitionen für Wahrscheinlichkeiten

Was bedeutet Wahrscheinlichkeit? 1. „a priori“ Wahrscheinlichkeit (Laplace)

– Wahrscheinlichkeit ist der relativer Anteil der „günstigen Fälle“ an allen möglichen Ereignissen:

2. „a posteriori“ Wahrscheinlichkeit (Bernoulli)– Wahrscheinlichkeit ist der Grenzwert der relativen Häufigkeit des

Eintretens der „günstigen Fälle“ bei sehr häufigem Durchführen eines Zufallsexperimentes:


gesamt

A

N

nAp )(

N

nA A

Nlim)(

Relative Häufigkeit

• Die relative Häufigkeit ist ein Schätzer für die „a posteriori“ Wahrscheinlichkeit.

• Die relative Häufigkeit wird berechnet als die Anzahl der Probanden mit einer bestimmten Ausprägung auf einer Variable geteilt durch die Stichprobengröße.


Herkunft Häufigkeit pBaden-Württemberg 53 0.54Hessen 8 0.08Bayern 7 0.07Berlin 2 0.02Rest 28 0.29

Gesamt 98 1.00

„Gesetz der großen Zahl“

• Für große Zahlen ist die relative Häufigkeit ein immer besserer Schätzer für die (a posteriori) Wahrscheinlichkeit.

• Der Grenzwert der relativen Häufigkeit für „N gegen Unendlich“ entspricht der Wahrscheinlichkeit.

• Beispiel: Relative Häufigkeit des Ereignisses „Baden-Württemberg“ in Abhängigkeit von N:


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000,00

0,20

0,40

0,60

0,80

p(98) =.54

Bedingte Wahrscheinlichkeit

• Die bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich ein Ereignis (A) ist, wenn gleichzeitig ein anderes Ereignis (B) gegeben ist.

• Beispiele– Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person depressiv ist (Ereignis A), wenn

sie an chronischen Schmerzen leidet (Ereignis B)?– Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Schüler durch eine Prüfung fällt

(Ereignis A), wenn es sich um einen Jungen handelt (Ereignis B)?

• Formale Schreibweise:

„Die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B“


BAp |


• Die bedingte Wahrscheinlichkeit kann folgendermaßen berechnet werden:

• p(A|B): Wahrscheinlichkeit von A gegeben B.• p(AB): Wahrscheinlichkeit, dass A und B gleichzeitig zutreffen• p(B): Wahrscheinlichkeit von B.


BpBAp

BAp

|


• Beispiel: Chronische Schmerzen (S) und Depression (D)– 5% der Bevölkerung leiden an chronischen Schmerzen.– 2% der Bevölkerung leiden an chronischen Schmerzen und Depressionen.

• Beispiel: Misserfolg in der Prüfung (P-) und Geschlecht (m)


40.

05.

02.|

Sp

SDpSDp

Erfolg Misserfolg

Männlich 12 3

Weiblich 14 1

20.

50.

10.|

mp

mPpmPp

Stochastische Unabhängigkeit

• Zwei Ereignisse sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für Ereignis A nicht vom Eintreten von Ereignis B beeinflusst wird.

• Beispiel: 2 Würfelwürfe sind stochastisch unabhängig:– Die Wahrscheinlichkeit, eine 6 zu würfeln (p(6) = 1/6), ist unabhängig vom

Ergebnis des zweiten Würfels.

• Formal: Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B entspricht der bedingten Wahrscheinlichkeit von A gegeben „nicht-B“


ApBApBAp ||


Beispiel 1: Zwei Würfelwürfe


6

161 Wp

6

1

36/6

36/1

6

666|6

2

2121

Wp

WWpWWp

6

1

36/30

36/5

6

666|6

2

2121

Wp

WWpWWp

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6

W1

W2


Beispiel 2: Herkunft BW und Geschlecht

– Formal: Keine Stochastische Unabhängigkeit von Herkunft und Geschlecht– Aber: Exakt identische Werte sind in empirischen Erhebungen nie zu

erwarten– Den statistischen Test für diese Fragestellung (Chi²-Test) lernen wir am

Ende des Wintersemesters kennen


Herkunft Männer Frauen

Baden-Württemberg 14 38

sonstiges 7 37

67.21

14| mBWp

51.75

38| wBWp

Das Additionstheorem

• Mit dem Additionstheorem wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.

• Beispiel:– Wie wahrscheinlich ist es, eine 5 oder eine 6 zu würfeln?– Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person im Laufe Ihres Lebens an einer

Angststörung und an einer depressiven Störung erkranken wird (Lebenszeitprävalenz: Angststörungen: 15%, Depressivität: 10%)?

• Formale Schreibweise– p(AB)– „Wahrscheinlichkeit von A oder B“


Das Additionstheorem

• Bei „disjunkten“ Ereignissen, die niemals gleichzeitig auftreten, werden die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach addiert:

• Wenn Ereignisse auch gemeinsam auftreten können, dann muss die Formel ergänzt werden:


)()()( BpApBAp

BApBpApBAp

DepressionAngststörung nein ja

nein .78 .07ja .12 .03

Das Multiplikationstheorem

• Mit dem Multiplikationstheorem wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die Ereignisse A und B gleichzeitig eintreten.

• Beispiel:– Wie wahrscheinlich ist es, mit 2 Würfelwürfen jeweils eine 6 zu würfeln?– Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Person im Laufe Ihres Lebens an einer

Angststörung und an einer depressiven Störung erkranken wird (Lebenszeitprävalenz: Angststörungen: 10%, Depressivität: 8%)?

• Formale Schreibweise– p(AB)– „Wahrscheinlichkeit von A und B“



• Bei stochastisch unabhängigen Ereignissen werden die Einzelwahrscheinlichkeiten einfach multipliziert:

• Wenn Ereignisse abhängig sind, dann muss folgende Formel verwendet werden:

bzw.


)()()( BpApBAp

BpBApBAp |

ApABpBAp |

DepressionAngststörung nein ja

nein .78 .07ja .12 .03


Beispiel• Bei einer Untersuchungen von Schmerzpatienten stellen Sie fest,

das 30% der Schmerzpatienten gleichzeitig Medikamenten-abhängig sind.

• 0.2 % der Bevölkerung leiden an einer chronischen Schmerzerkrankung.

• Wie viel Prozent der Bevölkerung weisen sowohl eine Schmerzerkrankung als auch eine Medikamentenabhängigkeit auf?


%06.00006.002.30.| SpSMpMSp

Das Theorem von Bayes

• Das Theorem von Bayes erlaubt es, die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(A|B) und p(B|A) in Beziehung zu setzen.

• Beispiel:– 75% der Alkoholabhängigen sind Männer– Lebenszeitprävalenz (insgesamt): 10%– Wie hoch ist das Risiko für einen Mann eine Alkoholabhängigkeit zu

entwickeln?


Bp

ABpApBAp

||

15.050.0

75.010.0

)(

.)|(.)()|.(

mp

AlkmpAlkpmAlkp

Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Bisher haben wir die Wahrscheinlichkeit von Einzelereignissen betrachtet.

• Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben die Auftretens-wahrscheinlichkeiten für einzelne Werte einer Variable an.

• Beispiel Geschlecht:– p(sex=„m“) = .22– p(sex=„w“) = .78

• Beispiel Alter– p(age=18) = .03– p(age=19) = .19– p(age=20) = .21– p(age=21) = .10– …



• Da jede Person genau einen Wert für die Variable hat, sind die Ereignisse disjunkt.

• Daher können Bereiche durch Addition zusammengefasst werden:– p(17<age<21) = p(age=18)+p(age=19)+p(age=20) = .43– Insgesamt addieren sich alle Einzelwahrscheinlichkeiten immer zu 1


11

K

i ixxp


Graphische Darstellung


• 50% geben einen Wert von 1 oder 2 an

• Die gemeinsame Fläche der Balken entspricht der gemeinsamen Wahrscheinlichkeit


Wahrscheinlichkeitsverteilungen für kontinuierliche Variablen• Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt für jeden Wert

einer diskreten Variable die Auftretenswahrscheinlichkeit an.• Eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich ebenfalls,

wenn für die Auftretenswahrscheinlichkeit für alle Kategorien einer Diskreten Variable angegeben wird (Histogramm).

• Eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung ergibt sich, wenn für eine kontinuierliche Variable unendlich kleine Kategoriebreiten verwendet werden.

• Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen heißen auch „Dichtefunktion“



Beispiel: Diskrete und Kontinuierliche Verteilung des Optimismusfragebogens.


Hinweise:• Die kontinuierliche Verteilung

ergibt sich nicht direkt aus den Daten

• Im Beispiel wurde eine Normal-verteilung angenommen.


Interpretation kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen• Bei kontinuierlichen Wahrscheinlichkeitsvertelungen kann man

nicht mehr direkt eine Wahrscheinlichkeit für eine Ausprägung der Variablen ablesen.

• Die Wahrscheinlichkeit, dass bei einer kontinuierlichen Variable exakt einen bestimmter Wert auftritt ist (theoretisch) unendlich klein.

• Man kann aber Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Bereiche einer Verteilung sehen.

• Dazu wird die Fläche der Verteilung herangezogen



Interpretation kontinuierlicher Wahrscheinlichkeitsverteilungen• Die Wahrscheinlichkeit, zufällig einen Wert zwischen xmin und xmax

zu erhalten entspricht der Fläche unter der Verteilung zwischen diesen Werten.


x.00

.10

.20

.30

d

xmin xmax

max

min

)(x

xdxxfp

00.1)(

dxxf

Die Normalverteilung

• Die wichtigste stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Psychologie ist die Normalverteilung.

• Sie wurde von C.F. Gauss „entdeckt“ und war auf den alten10 DM Scheinen abgebildet.

• Dort stand auch die Formel der Dichtefunktion der Normal-verteilung:

• Die Normalverteilung ist deshalb so wichtig, weil in der Natur sehr viele Merkmale (annähernd) normalverteilt sind.


2

2

2

)(

22

1)(

x

exf

Die Normalverteilung

• Jede Normalverteilung …– hat einen „glockenförmigen“ Verlauf und– ist symmetrisch (a3=0) und– hat einen „normalen“ Exzess (a4 = 0)

• Es gibt unendlich viele Normalverteilungen• Diese unterscheiden sich in Ihrem Mittelwert und in der

Standardabweichung (bzw. Varianz)– Der Mittelwert (μ) gibt die Position des „Gipfels“ an.– Die Standardabweichung (σ) gibt die Breite der Verteilung an.


Die Standardnormalverteilung

• Ein Normalverteilung mit einem Mittelwert μ=0 und einer Streuung von σ=1 heißt Standardnormalverteilung.

• Werte einer Standardnormalverteilungen können besonders einfach interpretiert werden, da die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten aus einer Tabelle im Statistikbuch nachgeschlagen werden können.

• Jede normalverteilte Variable kann einfach in eine Standard-normalverteilung transformiert werden (z-Transformation)


ˆ

ˆ alt

xneu

xzx


Beispiel z-Transformation der Optimismuswerte


60.3

10.23lot

zlot

Deskriptive Statistik

N Mittelwert

Standardabweic

hung

lot 98 23,1020 3,60266

Gültige Werte (Listenweise) 98

LOT zLOT

27 1.08

23 -0.03

16 -1.97

19 -1.14

25 0.53

25 0.53


Interpretation von z-Werten (ungefähre Werte)

• Im Statistiklehrbuch findet man in der Tabelle zur Standard-normalverteilung für jeden z-Wert den Anteil der Fläche, die links dieses Wertes liegt.


z

f(z)

0 1 2-1-2

68%2% 14% 14% 2%

Zusammenfassung


• Die Inferenzstatistik verallgemeinert die Befunde einer Stichprobe.

• Wahrscheinlichkeit ist der relativer Anteil „günstiger“ Ereignisse an allen möglichen Ereignissen.

• Im Nachhinein kann die Wahrscheinlichkeit über relative Häufigkeiten geschätzt werden.

• Das Gesetz der großen Zahl besagt, dass eine Abschätzung der Wahrscheinlichkeit als relative Häufigkeit immer genauer wird, je größer die Stichprobe ist.

• Eine bedingte Wahrscheinlichkeit gibt an, wie wahrscheinlich Ereignis A ist, wenn man schon weiß, dass ein anderes Ereignis B eingetreten ist.

Zusammenfassung


• Mit dem Additionstheorem kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass entweder Ereignis A oder Ereignis B eintritt.

• Mit dem Multiplikationstheorem kann berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass Ereignis A und Ereignis B eintreten.

• Das Theorem von Bayes erlaubt es, die bedingten Wahrscheinlichkeiten p(A|B) und p(B|A) in Beziehung zu setzen.

• Wahrscheinlichkeitsverteilungen erlauben Aussagen über die Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Merkmalsausprägungen.

• Viele Psychologische Merkmale sind normalverteilt.• Eine Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standard-

abweichung 1 heißt Standardnormalverteilung.

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