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FRITZ-SÜCHTING-INSTITUT FÜR MASCHINENWESENDER TECHNISCHEN UNIVERSITÄT CLAUSTHALProfessor Dr.-Ing. Peter Dietz
26.01.2004en
R09 - Wellenberechnung
Aufgabe 1:
Für eine Getriebewelle S275 (St 44) soll ein Festigkeitsnachweis nach FKM – Richtli-nie erbracht werden. Weiterhin ist die Durchbiegung der Welle an der Stelle desZahnrades und die untere biegekritische Drehzahl zu berechnen! Die Getriebewellewird mit einem konstanten Drehmoment T belastet. Das Lager A sei das Festlager.Die Passfedernut in der Welle hat die Tiefe t.
Daten:
a = 185 mm b = 220 mm
c = 245 mm d = 35 mm
r = 65 mm t = 5 mm
mz = 4,8 kg mw = 1,22 kg
E = 2,1 x105 N/mm2
Fzr = 1200 N Fu = 3600 N
FRr = 4000 N
Rm = 410 N/mm2
Rp = 265 N/mm2
Oberflächenrauheit: Rz = 6,3 �m
1. Erbringen Sie einen Festigkeitsnachweis für die Welle im Bereich der Passfeder-nut (Kerbe Kugelgestrahlt)!
2. Ermitteln Sie die resultierende Wellendurchbiegung der Welle für die Mitte desZahnrades! Das Zahnrad hat keine versteifende Wirkung auf die Welle und seimasselos! Ferner kann ein konstanter Wellendurchmesser von 30 mm ange-nommen werden!
3. Bestimmen Sie überschlägig die niedrigste biegekritische Eigenfrequenz für dieWelle zwischen Lager A und B unter der Annahme eines konstanten Wellen-durchmessers von 30 mm! Die Riemenscheibe kann aufgrund ihrer geringenMasse für die Eigenfrequenzberechnung vernachlässigt werden!
- 2 -
Aufgage 2:Ein Hobbybastler möchte die gebrochene Welle seiner alten Waschmaschine reparieren. AlsAusgangsmateriel beabsichtigt er, den Werkstoff S235 (St 37: Rp = 225 N/mm2, Rm = 360N/mm2) zu verwenden. Prüfen Sie (Festigkeitsnachweis nach FKM- Richtlinie), ob die Welleden auftretenden Belastungen standhalten würde. Als Lastgrößen wirken auf die Welle:
- die Radialkraft durch den Riemenzug Fv = 50 N
- die Gewichtskraft der leeren Wäschetrommel GT = 70 N
- die Gewichtskraft der feuchten Wäsche GFW = 130 N
- das Antriebsmoment TA = 50 Nm
- die Unwuchtkraft FU (mit: mU =1 kg, rU = 150 mm)
- die statisch wirkende Axiallast Fax = 2.GFW
Der Festigkeitsnachweis soll für den Fall geführt werden, dass die eingebaute Unwuchtkon-trolle beim Schleudern mit 1200 U/min versagt. Die in der Trommel auftretende Unwuchtkraftkann aus der Unwuchtmasse mU und dem Unwuchtradius rU ermittelt werden.
a) Erstellen Sie jeweils ein mechanischesErsatzbild für die statischen und dynami-schen Belastungen der Welle!
b) Ermitteln Sie für den ungünstigen Bela-stungsfall die Kräfte an den Lagern!
c) Zeichnen Sie für diesen Fall die qualitati-ven Beanspruchungsverläufe der Welle!
d) Wie groß ist die Sicherheit gegen Flie-ßen und gegen Dauerbruch an der StelleX (Vernachlässigung der Normalkraftund Querkraft) ?
�30
X
X
r1
�35
- 3 -
- 4 -
5
Lösung Aufgabe 1
Mechanisches Ersatzbild:
Torsion bewirkt statische BeanspruchungQuerkräfte und Biegemoment bewirken dynamische Beanspruchungen
1) Festigkeitsnachweis
a) Reaktionskräfte
� �
NFVon
Nmm
mmNmmNF
bcFaFF
cFaFbFM
FFFFF
AY
BY
RrZrBY
RrZrBYAZ
RrZrBYAYY
246:)1(
5464220
24540001851200
)2(00
)1(00
��
����
�
�����
��������
������
�
�
� �
NNNFFFund
NmmmmN
baFF
bFaFM
FFFF
BZUAZ
UBZ
BZUAY
UBZZAZ
57330273600
30272201853600
00
00
�����
������
������
�����
�
�
b) Beanspruchungen: Torsion T; Querkraft Q; Biegemoment Mb
� Torsionsnennspannung
2333 /1,44
)535(16653600
16/)(mmN
mmmmN
tdrF
WT U
tt �
��
��
�
�
�
��
��
�
TFBFA
a
b
c
FRrFu
FZr
x
y
Z
Kritische Stelle im Bereichder Paßfedernut
6
� Querkraft im Schnitt an der kritischen Stelle:
Links: QY,links = -FAY= 264 NQZ,links = -FAZ= -573 N
Rechts: QY,Rechts = -FRr+FBY = - 4000N + 5464 N = 1464 N QZ,Rechts = FBZ = 3027 N (größere Werte als die der linke Seite)
NNQQQ ZY 336230271464 2222������
� Schubnennspannung infolge der Querkraft:
2222 /76,44/)535(
33624/)(
mmNmmN
tdQ
AQ
S �
��
�
��
��
��
� (vernachlässigbar)
� Biegemoment an der kritischen Stelle:
NmNmMMM
NmmNaFMNmmNaFM
bZbYb
AYbZ
AZbY
8,11649106
49185,0264106185,0573
2222�����
�������
�����
� Biegespannung:
233
3
/24,27351,0
116800
);25/11.,5.(1,0;
mmNmmNmm
PaßfedermitWellegenuteteBlKapSkriptdWmitWM
b
bb
bb
�
�
�
���
�
�
c) Statische Bauteilfestigkeit
� Kerbformzahlen:5,2, �b�
� ( Skript, Kap.5, Bl.20/25; Paßfeder mit Fingerfräser)
3, �t�� (Skript, Kap.5,Bl.20/25; Kerbwirkung in Umfangsrichtung)
� Plastische Kerbwirkungszahl tplbpl und ,,,, ����
29,6/265
05,0/000.2102
2
�
�
�
�
�
mmNmmN
RE
nP
rertpl
�
plttgrenztpl
plbbgrenzbpl
ngnngn
��������
������
99,333,137,15,225,47,15,2
,,,,
,,,,
��
��
�
�
FAY
QY,Links FRr
FBYQy,Rechts
7
75,033,111
588,07,111
,,,
,,,
,,,
,,,
����
����
tgrenztpl
ttpl
bgrenzbpl
bbpl
gn
gn
�
�
�
�
�
�
��
��
d) Statische Bauteilfestigkeit
� Bauteil-Fließgrenze
22
,,,
22
,,,
/20575,0/26558,0:
/68,450588,0/265:
mmNmmNRrTorsion
mmNmmNRBiegung
tpl
PtFK
bpl
PbFK
�
�
�
�
�
���
�
�
�
��
��
� Bauteil-Festigkeit
22
,,,
22
,,,
/31775,0/41058,0:
/697588,0/410:
mmNmmNRrTorsion
mmNmmNRBiegung
tpl
mtBK
bpl
mbBK
�
�
�
�
�
���
�
�
�
��
��
e) Statische Bauteilsicherheit
� Für die Einzelbeanspruchung
- gegen Fließen
65,4/1,44/205:
72,9/24,27/265:
2
2
max,
,,
2
2
max,
,,
���
���
mmNmmNSTorsion
mmNmmNSBiegung
t
tFKtF
b
bFKbF
�
�
�
�
- gegen Bruch
19,7/1,44/317:
58,25/24,27/697:
2
2
max,
,,
2
2
max,
,,
���
���
mmNmmNSTorsion
mmNmmNSBiegung
t
tBKtB
b
bBKbB
�
�
�
�
� Für die Zusammengesetzte Beanspruchung
- gegen Fließen
8
18,4
239,065,4158,03
72,911311
,
22
22
,
22
,
,
,
��
���
���
��
�
���
���
�
�
�
��
�
��
�
�
�
��
�
���
GEHFv
tFbFP
GEHv
GEHFv
S
Sr
SRS �
�
- gegen Bruch
76,5
1735,019,7158,03
58,2511311
,
22
22
,
22
,
,
,
��
���
���
��
�
���
���
�
�
�
��
�
��
�
�
�
��
�
���
GEHFv
tBbBm
GEHv
GEHBv
S
Sr
SRS �
�
f) Ausnutzung gegen Fließen ( Sollsicherheit von 1,2)
%8,2076,52,1
,
,*
���
GEHFv
FGEHFv
SA �
f) Sicherheit gegen Dauerbruch (nach der vereinfachten Methode, Kap.3.6.3, Bl.5/6 und 6/6)
� Mittlere Vergleichsspannung ohne Berücksichtigung der Formzahlen
22, /38,76/1,4433 mmNmmNtGEHvm ����� ��
� Ausschlagvergleichspannung
22222,
2,, 761,28/76,434,273 mmNmmNaSabGEHva ������� ���
Biegung ist überwiegend � Ausschlagfestigkeit für Biegung ist maßgebend.
� Kerbwirkungszahlen b,�� mit Rm = 410 N/mm2
Für die Paßfedernut der Form B, erhält man aus Diagramm (Kap.5, BL.18/25) 5,1, �b��
� Bauteil-Biegeausschlagspannung
9
22
,,
,, /82,1841
96,015,1
5,1/19011 mmNmmN
K
K
Fb
VbAbAK �
��
��
��
��
�
��
�� ,
wobei 2, /190 mmNbA �� aus Smith-Diagramm von Werkstoff S275 (St 44) bei
2, /38,76 mmNGEHvm ��
Mit Rm = 410 N/mm2 und RZ = 6,3.10-3 mm, 96,0, ��FK
Randschichtfaktor KV = 1,5 (d = 35 mm)
� Sicherheit 45,6/61,28/82,184
2
2
,
,, ���
mmNmmNS
GEHva
bAKGEHD
�
�
� Ausnutzung bei Sollsicherheit �D=1,3
%15,2045,63,1
,,
,
,
,,
*������
GEHD
DD
bAK
GEHva
bzulAK
GEHvaGEHD
SA �
�
�
�
�
�
2) Resultierende Wellendurchbiegung
� Erste Berechnung
mmmmmmN
mmmmNf
dJmitlJEllFf
344
2222
1
422
21
1
1013,9220
64302/2100003
)185220(185120064
;3
�
��
�
�
��
���
�
�
�
���
��
�
�
�
� Zweite Berechnung
���
����
���
��
� 3
31
2
2 6 lx
lxll
JEFf
Mit x=a; l1 =(c-b) und l = b; F = FRr,
mmmmf 23
4
2
2 1038,2220185
220185
66430210000
)220245(2204000����
���
�
���
�
� �
���
��
�
�����
�
Die resultierende Durchbiegung in Y-Richtung
f1
FZr
f2FRr
10
mmmmmmfffY223
21 10466,11038,21013,9 ���
���������
� Dritte Berechnung:
Durchbiegung in Z-Richtung fZ = f3
mmmmfff
mmNf
ZYgesamt22222
245
22
3
10106,3)0274,0()01466,0(
1074,222030101,23
64)185220(1853600
�
�
������
��
�����
�����
�
3) Niedrigste biegekritische Eigenfrequenz
- Welle mit Scheibe (Blatt 15/18)
22 *)(*)(3
balJE
fGCS
SS
�
�����
Mit l=b; a* = a; b* =(a-b)J = 64/4d��
mNmmNmm
mmmmmmNCS /10314,1/10314,135185
2203064
/2100003 85422
442����
�
�����
�
- Welle unter Eigengewicht
mNmmNmm
mmmmNlJECW /10022,6/10022,6
6422030/2100008,768,76 74
33
442
3 ����
�
���
�
�
��
�
- Eigenfrequenz
a* b*
l
FU
f3
11
s
skg
mNmC
skg
mNmC
eges
WWe
SSe
eeeges
/110196,4
/110026,722,1
/10022,6/
/110232,58,4
/10314,1/
111
3
37
2
38
1
22
21
2
��
���
��
���
��
��
�
�
�
���
12
Lösung Aufgabe 2
a) Mechanische Ersatzbilder
Statische Belastungen: T, Fax, FU und Mb aus FU
Dynamische Belastungen: FV, GT, GFW und Mb aus FV, GT, GFW
b) Lagerkräfte
Statische Belastungen
� �
NNNFFF
NmmmmF
NmkgrmFmit
mmmmFF
mmFmmFM
FFFFmmNGF
FFFFF
UBYstatAYstat
BYstat
UUU
UBYstat
UBYstatA
UBYstatAYstatY
FWAXstat
axAXstataxAXstatX
666223699031
9031803052369
236960min1200215,01:
80305
)22580(800
002602
00
212
2
���������
��
��
����
�
��������
��
������
�����
���
������
�
�
�
�
��
Dynamische Belastungen
� � 0305)(80200
0)(0
00
���������
��������
���
�
�
�
mmGGmmFmmFM
GGFFFF
FF
FWTBYdynVA
FWTBYdynAYdynVY
AXdynX
FBYstat
mU
FU
Fax TabTan
FAYstat
FAXstat
X
Y
FV
FBYdynFAYdyn
FAXdyn
XS
GT+ GFW
13
NFBStelleLoslageram
NNF
NFAStelleFestlagerameLagerkräft
NNNNF
GGFFF
Nmm
mmNNmmNF
mmmmGGmmFF
Brad
Arad
Aax
AYdyn
FWTBYdynVAYdyn
BYdyn
FWTVBYdyn
7509031:)(
5006662
260:)(:
50020075050
)(
75080
305)13070(205080
305)(20
���
��
���
�����
�����
������
�
������
Die Kräfte sind maximal in den Lagern, wenn FU in Richtung von GT und GFW wirkt. Somit,
NF
NF
Brad
Arad
9781
7162
max,
max,
�
�
c) Qualitative Beanspruchungsverläufe
14
d) Festigkeitsnachweis
1) Berechnung der auftretenden Beanspruchungen an der Stelle XXStatische Beanspruchung: N = 260 N, Qstat = 6662 N, T = 50 Nm, Mb,stat = 466340 NmmDynamische Beanspruchung: Qdyn = 500 N, Mb,dyn = 39500 Nmm
� Biegenennspannung (statischer Anteil)
b
statbmbstatb W
M ,,, ���� , mit
� � ³26513230
32
23
mmmmdWb �
�
��
��
2, /176
³2651466340 mmN
mmNmm
mb ���
� Torsionsnennspannung (statischer Anteil)
tt WT
�� , mit � � ³53011630
16
23
mmmmdWt �
�
��
��
2/43,9³5301
50000 mmNmmNmm
t ���
� Biegenennspannung ( dynamischer Anteil)
b
dynbabdynb W
M ,,, ����
2, /9,14
³265139500 mmN
mmNmm
ab ���
2) Statischer Festigkeitsnachweis
a) Maximalbeanspruchungen:
22,,max,
22,,max,
/43,9/)043,9(
/9,190/)9,14176(
mmNmmN
mmNmmN
atmtt
abmbb
�����
�����
���
���
b) Berechnung der statischen Bauteilfestigkeit� Formzahl
17,13035033,0
301
����
mmmm
dDund
mmmm
dr
Aus Diagramme (Kap.5.5, Bl.15/25):Biegung 3,2, �b�
�
Torsion 6,1, �t��
� plastische Stützzahl grenzplp
ertrpl n
REn ,��
��
, mit E =210.000 N/mm2 für Stahl,
05,0�ertr� für Walzstahl (Kap. 3.5.2, Bl. 6/13)
� 83,6/225
05,0/000.2102
2
�
�
�
mmNmmNnpl
Biegung: 91,37,13,2,,,, ����� bbgrenzbpl gn��
� ; Kreisquerschnitt (Kap. 3.5.2S. 7/13)Torsion: 13,233,16,1,,,, ����� tbgrenztpl gn
���
Da die plastische Stützzahlen für Biegung und Torsion größer als die Grenzwertnpl,grenz sind, sind npl,grenz zu verwenden.
15
� plastische Kerbwirkungszahl
Biegung: 59,091,33,2
,,,
,,, ���
grenzbpl
bbpl n
�
�
�
�� (Kap. 3.5.2 S. 7/13)
Torsion: 75,013,26,1
,,,
,,, ���
grenztpl
ttpl n
�
�
�
��
� Bauteil-Biegefließgrenze
22
,,, /381
59,0/225 mmNmmNR
bpl
pbFK ���
��
� (Kap. 3.5.4.1 S. 12/13)
� Bauteil-Torsionsfließgrenze
22
,,, /174
75,0/22558,0 mmNmmNRr
tpl
ptFK �
�
��
�
�
�� (Kap. 3.5.4.1 S. 12/13), mit
58,0��r (Kap. 3.6.2 S. 10/13)
� Bauteil-Biegefestigkeit
22
,,, /610
59,0/360 mmNmmNR
bpl
mbBK ���
��
�
� Bauteil-Torsionsfestigkeit
22
,,, /4,278
75,0/22558,0 mmNmmNRr
tpl
mtBK �
�
�
�
�
�
�
��
c) Nachweis der Bauteilsicherheit für die Einzelbeanspruchungen
� gegen Fließen
Biegung: 96,1/9,190/381
2
2
max
,, ���
mmNmmNS
b
bFKbF
�
�
Torsion: 45,18/43,9/174
2
2
max
,, ���
mmNmmNS
t
tFKtF
�
�
� gegen Bruch
Biegung: 20,3/9,190/610
2
2
max
,, ���
mmNmmNS
b
bBKbB
�
�
Torsion: 52,29/43,9/4,278
2
2
max
,, ���
mmNmmNS
t
tBKtB
�
�
d) Nachweis der Bauteilsicherheit für die zusammengesetzte Beanspruchung
� gegen Fließen
2
,
2
2
,,
1311��
�
�
��
�
���
�
�
�
��
�
��
tFbFGEHFV Sr
SS � (Kap. 3.6.2 S. 11/13)
16
513,045,18158,03
96,111
22
2
,
���
���
����
�
���
��
GEHFvS� 95,1, �GEHFvS
� gegen Bruch
314,052,29158,03
20,311311
22
22
,
2
2
,,
���
���
����
�
���
���
�
�
�
��
�
��
�
�
�
��
�
��
tBbBGEHBv Sr
SS �
� 18,3, �GEHBvS
e) Berechnung der Ausnutzung gegen Fließen (bei Sollsichereit 2,1�F� )
Fließen: %5,6195,12,1
,
*, ���
GEHFV
FGEHFv S
A � (Kap. 3.6.2 S. 12/13)
3) Dynamischer Festigkeitsnachweis
dynamische Belastung: 2, /9,14 mmNab ��
a) Ermittlung Werkstoff-AusschlagspannungAus Smith-Diagramm mit 2
, /176 mmNmb �� � 2/83 mmNAb ��
b) Ermittlung der Kerbwirkungszahl
� � � �dnrnb
b��
�
�
��
�
�
,, (Kap. 3.5.3 S. 9/13)
� Formzahl 3,2, �b�� (siehe statische Festigkeitsnachweis)
� Stützzahl zur Beschreibung des Spannungsgefälles in der Kerbe � �rn�
Spannungsgefälle � � � ��� �� 12r
rG (Kap. 3.5.3, Tabelle S. 10/13), mit
118,02
15,24
1
24
1�
�
�
�
�
mmmm
rt
� für 67,086,03530
���
Dd
(Kap. 3.5.3, unter
Tabelle S. 10/13),
� � � � � 124,2118,0112
�
��� mmmm
rG�
� � ����
����
�
��
����²101 4 mm
NG
mG b
Ra
mmGrn ��
für 11 �
� mmG� , (Kap. 3.5.3, über Tabelle
S. 10/13), mit 5,0�Ga und 700.2�Gb für „anderer Walzstahl“ (Kap. 3.5.3, TabelleS. 10/13),
� � 285,11024,212
2
/700.2/3605,0
4����
��
�
�
��
�
�
��
mmNmmN
rn�
� Stützzahl zur Berücksichtigung der Beanspruchungsart � �dn�
17
� � 1067,03022
�
��� mmmmd
dG� (Kap. 3.5.3, S. 9/13)
� � ����
����
�
��
����²
5,0
101 mmN
G
mG b
Ra
mmGdn ��
für 11,0 �
� mmG�
� � 05,110067,012
2
/700.2/3605,05,0
����
��
�
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mmNmmN
dn�
� 70,105,1285,1
3,2, �
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�b��
c) Ermittlung der Bauteil-Biegeausschlagfestigkeit
11
,,
,
��
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��
��
Fb
VAbbAK
K
K (Kap. 3.5.4.2 S. 13/13), mit
� 2/83 mmNAb �� (siehe a)
� 5,1�VK , für Kerbe gerollt (Kap. 3.5.3, Tabelle S. 11/13)
� und 75,0, ��FK , für Stahl geschlichtet (Rz = 6,3...12,5 µm)
� 22, /23,61
175,0170,1
5,1/83 mmNmmNbAK �
��
���
d) Sicherheit gegen Dauerbruch
bAK
ab
bDS ,
,
,
1�
�
� , (Kap. 3.6.2 S. 11/13)
� 1,4/9,14/23,61
2
2
,
,, ���
mmNmmNS
ab
bAKbD
�
�
Für diesen Anwendungsfall ist die Sicherheit der Einzelbeanspruchung gleich der Sicherheit derzusammengesetzten Beanspruchung SD,GEH, da nur Biegung wird berücksichtigt.Ausnutzung
%321,43,1
,
*, ���
GEHDV
DGEHDV S
A �
� Die Welle ist sowohl für die statische als auch für die dynamische Belastung ausreichend di-mensioniert.