E. Gro/$man?z. Schalldispersion in akustischen Filtern 433

SchaZZd6spersion 6m akustischen, ZdEtern, Vorn E. Groflrnaf i lm

(Mit 6 Figuren)

Einleitung

Akustjsche Filter, die in ihrem Aufbau ays Rohren mit seitlichen Offnungen und Ansatzen den elektrischen Siebketten entsprechen, hat zuerst S t e w a r t l) (1922) gebaut. Die Theorie von S tew a r t ergibt wie bei den elektrischen Xettenleitern fur jedes Filter ein DurchlaBgebiet und vein Sperrgebiet. Es ist ublich geworden, die Filter als Hochtondurchlasser und als Tieftondurchlasser zu bezeichnen. Experimentell findet man, daB beim Hochtondurchlasser nicht alle Frequenzen oberhalb der Grenzfrequenz ungeschwacht hindurchgehen. Es treten weitere, meist schmale, weniger stark ausgebildete Sperrgebiete auf. Entsprechendes findet man beim Tiefton- durchlasser.

Die Theorie ist einerseits von Mason2) , andererseits von W a e t z m a n n und Noethers) nach Arbeiten am Physikalischen Institut der Technischen Hochschule Breslau verbessert worden. Der grundlegende Unterschied im Ergebnis der verbesserten Theorien gegenuber der Stewartschen ist der, daB sie un- endlich viele DurchlaB- und Sperrgebiete ergeben.

Mit der Schallabsorption im Filter ist Dispersion ver- bunden. Das heiBt : die Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Wellen im Filter ist frequenzabhangig. Messungen der Durch- lassigkeit von Filtern sind in der Arbeit von W a e t z m a nn und Noet h e r wiedergegeben. Sie beweisen qualitativ die Richtigkeit der verbesserten Theorien. Der Verlauf der Dis- persionskurve stellt ein noch scharferes Kriterium fiir die Theorie dar. Die vorliegende Arbeit wurde zum Vergleich des theoretischen mit dem experimentellen Dispersionsverlauf

1) G. W. S t e w a r t , Phys. Rev. 20. S. 528. 1923; 28. S. 1038. 1926. 2) W. P. M a s o n , Bell. Syst. Techn. Journ. 6. S. 258. 1927. 3) E. W a e t z m a n n und F. N o e t h e r , Ann. d. Phys. [5] 13. S. 312

bis 338. 1932.

434 Annalen der Physik. 5. Polge. Band 21. 1934

durchgefiihrt. Da bisher nur wenige Durchliissigkeitsmcssuugen an Filtern bekanntgegeben worden sind, erschien es angebracht,' im Zusanimenhang mit der Frequenzabhangigkeit der Schall- geschwindigkeit auch die Uarchlassigkeit aufzunehmen und mitzuteilen.

Theoretisches

Die Fortpflanzung von Wellen in einem Filterrohr ist durch den Ausdruck

A , + 1 = A,. e L y

charakterisiert, der besagt, daB von Glied zu Glied des Filters alle ZustandsgroBen sich urn einen konstanten Faktor e i y unter- scheiden. Aus der Theorie nach R a e t z m a n n - N o e t h e r ergibt sich die Be- stimmungsgleichung fur y zu

a

y ist dabei eine komplexe GroWe = CL + i d .

W l z . w l cosy = C O S L + -. 2z', sinJ - Dabei bedeutenl): w die Kreisfrequenz; 1, die Lange eines

Filtergliedes; a = __ die Schallgeschwindigkeit in einem

glatten Rohr Po = Druck, e = Dichte, ~t = '1) unter Ver-

nachlaissigung der Reibung; Z = 2% ist der Wellenwiderstand der Leitung; S, deren Querschnitt; 2,' = iZ, und 2, der akustische Widerstand der Abzweigungen-.

Fur den Hochtondurchlasser (Rohr mit seitlichen &Tnungen) ist Z,'= y. c ist der Leitwert einer der seitlichen Offnungen. Bezeichnet man die fur das Filter charakteristische GroBe

Ct

iX6- 8,

(

a Fur den Tieftondurchlasser (Rohr mit seitlich angesetzten

Kammern) ist 2,' = 2 - JLC - Damit wird c w v9

1) Die Bezeichnungen sind dieselben wie in der Arbeit von W a e t z r n a n n und p\i oether .

E. Gropmann. Xchalldispersion in akustischen Filtern 135

V, ist dabei das Yplumen einer der seitlichen Kammern, c der Leitwert ihrer Offnung.

Aus diesen Gleichungen lassen sich die Eigenschaften eines Filters fur jede Frequenz berechnen. 1st i cosy I > 1, so ist y imaginar; der Ubergangsfaktor e i y = & e-6 bedeutet eine reine Dampfung der fortschreitenden Relle. Wir befinden uns &I einem Sperrgebiet. 1st 1 cosy I < 1 , so ist y reell. Uer Ubergangsfaktor e i y = eia bedeutet dann eine bestimmte Phasenanderung von Glied zu Glied der Leitung. Man, be- zeichnet u als das Winkelma6.

Das Winkelma6 cc ist umgekehrt proportional der Wellen- lange und damit der Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Welle. Wir konnen das Verhaltnis der Fortpflanzungsgeschwindigkeit in einem glatten Rohr zur Fortpflanzungsgeschwindigkeit im Filterrohr zur Kennzeichnung der Dispersion einfuhren.

Schallgeschwindiglieit im glatten Roh+ a a - - Schallgeschwindigkeit im Filterrohr - a’ - 3 n I , 12 = -

US--

a = - arc cos 2 ’ .

w 1, I.

n ist danach nur in den Durchla.Bgebieten definiert.

Experimentellea

a) D i s p er s i o n s m e s s u II g e n Da die oben beschriebenen Ausbreitungsgesetze in einem

Filterrohr fur von links wie fur von rechts kommende Wellen gelten, sind sie auch auf stehende Wellen anwendbar. Die Wellenlange stehender Wellen la& sich leicht mit I iundtschen Staubfiguren bestimmen. Die Messung der Dispersion besteht somit darin, die Staubfiguren in einem glatten Glasrohr und in einem glasernen Filterrohr messend zu vergleichen. Reide Rohre werden mit Korkmehl beschickt und von derselben Schallquelle angeregt. Die Figg. 1 u. 2 zeigen die beiden Rohre mit Staubfiguren, die jeweils bei der gleichen Frequenz hervorgerufen wurden.

Die Theorie der akustischen Filter sieht von Widerstanden durch Reibung der Luft an den Wanden und durch ihre Zahigkeit ab. Der ubergang vom DurchlaBgehiet zum Sperr- gebiet ist der Theorie nach sprungartig. In Wirklichkeit hat man es wegen der Reibungswiderstande mit einem allmahlichen Ubergang zu tun.

Um die Staubfiguren bis moglichst weit ins Sperrgebiet erzeugen zu konnen, mu6te eine sehr kraftige Schallquelle

436 Annalen der Physik. 5. Fotge. Band 21. 1934

gewahlt werden. ills eine starke, allerdings nicht obertonfreie Schallquelle dien te eine mit Druckluft angetriebene Lochsirene. Mi t dieser konnteii T h e bis zur Frequenz 3000 Hz erzeugt werden.

Fig. 1. Kundtsche Staubfignren bei 1070 Hz in einem glatten Rohr (L w 33 em) und in einem Hochtondurchlasser [ l , = 5 em, /? = 21

(2 w 45 Cl l l ]

a

b

Fig. 2a und b. Kundtsche Staubfiguren in einem glatten Rohr und in einem Tieftondurchlasser [Z, = 5 em, ,5' = 2, g -- $1 bei 884 Hz

id z 38 em, 2.' w 26 em) und bei 1720 Hz (i z 19 cm, I' z 25 em)

Die Rohre waren gegen die Sirene mit einer Gummi- membran verschlossen. An den anderen Enden der Rohre waren Metallstop fen verschiebbar angebracht. Mit diesen wurden die Rohre auf Resonanz abgestimmt. Beide Rohre hatten Innendurchmesser von 2,4 cm (Querschnitt S, = 4 7 cm2) und Wandstarken von 0,15 cm. Das Bilterrohr hatte 20 seit- liche Offnnngen von 0,62 cm Durchmesser. Der Leitwert [Leitfahigkeit ')I einer solchen .. c)ffnung ist c = 0,47 [cm]. Die Abstande der seitlichen Offnungen von Lochmitte zu Lochmitte betrugen 1, = 5 cm.

Das Filterrohr stellte in dieser Form einen Hochton- durchlasser der Filterkonstanten Z, = 5 und ,B = 2 darl). Das

1) Vgl. E. W a e t z m a n n und F. N o e t h e r , a. a. 0. S.221.

E. Groflmann. Xchalldhpersion in akustischen Fdtern 437

erste Durehlassgebiet eines solchen Filters erstreckt sich von 728 Hz bis zu 3440 Hz. Fig. 1 zeigt bei 1070 Hz in diesem Filter und in einem glatten Vergleichsrohr erzeugte Staub- fignren. Die Halbwellenlange (Periode der Staubfiguren) ist im Filterrohr fast anderthalbmal SO groB wie im glatten Rohr. In Fig. 3 sind oben der berechnete Verlauf von

und die bei einer Reihe von Messungen gewon- nenen Werte eingetragen. Uzlterhalb 920 Hz bildeten sich

a y & = - z - a' 1'

Schallgeschwindigkeit im glatten _ _ ~ Rohr Schallgeschwindigkeit im Filter '

Fig. 3. Oben: Verlauf von n = -

Theoretische Kurve und 'gemessene Punkte an einem Hochtondurchlasser [Z1 = 5 cm, @ = 21. Unten: Der dazugeh6rige Durchlassigkeitsverlauf,

theoretisch (gestrichelt) und gemessen (ausgezogen)

keine deutlichen Staubfiguren mehr im Filter. Bei dieser Frequenz war die gemessene Wellenlange im Filter etwa das 1,9fache derjenigen im glatten Rohr. Wie aus der in Fig. 3 unten aufgetragenen gemessenen Durchlassigkeitskurve zu er- sehen ist, horte die Absorption tatsachlich nicht plotzlich bei 728 Hz auf, sondern erstreckte sich noch zu hohertc Frequenzen.

Verschlie8t man jede zweite der seitlichen Offnungen des Filterrohres, so entsteht ein Hochtondurchlasser der Kon- stanten 1, = 10 cm, /I = 1. Das erste DurchlaBgebiet dieses Filters erstreckt sich von 526 bis 1720 Hz. Auf ein schmales Sperrgebiet folgt ein zwei tes DurchlaBgebiet von 1876 bis 3440 Hz, dem weitere schmale Sperr- und breite DurchlaBgebiete folgen. Im oberen Teil der Fig. 4 sind die berechneten und die gemessenen Werte von n eingetragen.

438 Bn.lzalerz der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

Such in dem theoretisch als Sperrgebiet geltenden Bereich von 1720 bis 1876 Hz bilden sich (allerdings weniger deutlich) Staubfiguren aus. Wie die im unteren Teil der Pig. 4 angegebene D~~rchlassigkeitskurve zeigt, w i d in dern schmalen Sperrgebiet bei einam Filter von nur 10 Gliedern nich t alle En ergie zuriickgehal ten.

Fig. 4. Oben: Verlauf von 11. theoretisch und gemessen. Unten: Verlauf der Durchlassigkeit theoretisch (gestrichelt) und gemessen (ausgezogen)

= 11

Sus dem mit seitlichen Offnungen versehenen Glasrohr !+€it sich durch Ansetzen von Resonatoren vor die seitlichen Offnungen ein Tieftondurchlasser konstruieren. Beim An- setzen von nach auBen geschlossenen Messingzylindern von V , = 10,7 cm3 Inhalt entsteht ein Tieftondurchlasser, dessen

an einem Hochtondurchlasser [Il = 10 cm,

charakteristische Daten b, = 5 cm, 1; = 2, g = + ; .

an 11 1 sind (aR = a 4; = Eigenfrequenz des Resonators, wo = ~ . Die Sperrgebiete dieses Filters sind nur schmal. Das erste Sperrgebiet kommt zwischen 1070 und 1350 Hz zu liegen. Ein weiteres Sperrgebiet beginnt bei 3440 Hz. Das Volumen der nngesetzten Resonatoren wurde so gewahlt, da6 das erste Sperrgebiet mitten in den Wirkbereich der als Schallquelle dienenden Lochsirene zii liegen kam, so daE nnterhalb und oberhalb beobnchtet werden konnte. Fig. 2a und b zeigen bei 884 Hz und bei 1720 Hz, also unterhalb und oberhalb des Sperrgebietes, erzeugte Staubfiguren. Auf den Aufnahmen

E. Groflmann. Schalldispersion in akustischen Filtern 439

ist zu erkennen, daB fur Frequenzen unterhalb des Sperr- gebietes die Halbwellenliinge im Filterrohr geringer ist als im glatten Vergleicbsrohr, und umgekehrt bei Frequenzen ober- halb des Sperrgebietes die Halbwellenlange im Filterrohr gro8er ist als im Vergleichsrohr. Im oberen

Fig. 6. Oben: Verlauf von n theoretisch und gemessen. Unten: Verlauf der Durchlassigkeit theoretisch (gestrichelt) und gemessen (ausgezogen)

an einem Tieftondurchlasser [Z, = 5 em, @ = 2, g = +]

Bind sodann der berechnete Verlauf von n und eine Reihe gemessener Werte eingetragen. Der Bereich, in dem keine deutlichen Staubfiguren im Filter mehr zu erhalten sind, ist breiter als der berechnete Absorptionsbereich. Bei starker Anregung bildeten sich auch im Sperrbereich Staubfiguren, die aber eindeutig der zweiten Oberschwingung zugeordnet werden konnten. Die zweite Oberschwingung ist bei einer Sirene mit runden Lochern und runder Duse besonders kriiftig nusgebildet.

b) D u r c h 1% s s i g k e i t s m e s s u n g e n Zur Bestimmung der Durchlassigkeit wurde ein von den1

ublichen abweichender Weg eingeschlagen , der im folgenden kurz beschrieben w i d : Das E'ilterrohr bzw. das Vergleichsrohr wurde an einem Ende mit einem Kondensatormikrophon nach eigenen Angaben l) abgeschlossen, Vor das andere, offene

1) Die Konstruktion ist ahnlich der von S a c e r d o t e (Alta Fre- quenza 2. S. 516-536. 1933) beschriebenen.

440 AnnaZen der Physik. 5 . Folge. Band 21. 1934

Ende des Rohres wurde in festem Abstand von wenigen Zentimetern die Schallquelle gesetzt. Die Lochsirene, die zur Erzeugung der Staubfiguren benutzt wurde, erwies sich wegen der starlren Obertone und Zischgerausche als ungeeignet '). Es wurden daraufhin, da eine elektroakustische Schallquelle variabler Frequenz nicht zur Verfiigung stand, Resonatoren mit verschiebbarein Boden benutzt, die durch einen seitlich uber den Hals geblasenen Luftstrom zur Erzeugung fast ober- schwingungsfreier Tone erregt wurden.

Der Mikrophonstrom wurde verstarkt, gleichgerichtet und einem Milliamperemeter zugefiihrt. Da die Mikrophonmembran teilweise reflektiert, bildeten sich im Rohr stehende m'ellen

I , l a a a H , '500/!$ 2OOQ HZ

Fig. 6. Mikrophonstrom als MaB fur den Schalldruck am Ende eines glatten Rohres (gestrichelt) und am Ende eines Hochtondurchlassers

[L1 = 10 cm, # = 11 (ausgezogen)

aus, was sich dahingehend BuBerte, da.6 der Schalldruck auf das Mikrophon und damit der Mikrophonstrom rnit kontinuierlich veranderter Frequenz periodisch schwankte. Zur Auswertung wurden Mittelwertkurven durch die periodisch schvanken- den MeBkurven gelegt. In Fig. 6 sind die an einem glatten Rohr und dem Hochtondurchlasser 1, = 10 cm, (3 = 1 zwischen

1) Versuchsweise wurde eine Sirene benutzt mit kreisf ormigen Tijchern (Lochdurchmesser = Lochabstand), bei der die Diise nicht auch kreisf 6rmigen Querschnitt hatte, sondern im Querschnitt einen Rhombus rnit verrundeten Ecken darstellt. Die zweite Oherschwingung trat nicht mehr in Erscheinung, doch waren die Zischgerausche stirker als bei Verwendung einer runden Duse. Akustisch wird sich die Anordnung mit der rhombischen Duse wegen der Schneidentone knum verwerten lassen, doch ist sie geeignet zur Erzeugung genau sinusf6rmig schwanken- der Lichtstrome, die wiederum uber eine Photozelle zur Gewinnung reiner Tone benutzt werden konnen.

E. Gro/$mann. Schalldispersion in akustischen Filtern 441

1000 und 2000 Hz gemessenen Mikrophonstrome wieder- gegeben. Das Sperrgebiet (theoretisch zwischen 1720 und 1876 Hz) ist deutlich zu erkennen.

Derartige Kurven wurden fur alle drei Filter mit einem Satz von Resonatoren aufgenommen , deren Frequenzbereiche sich teilweise uberdecken. Nach Reduktion der Mittelwert- kurven nach der Verstarkercharakteristik wurden durch Quotientenbildung zwischen den Werten beim Filterrohr und beim glatten Rohr die in den Figg. 3, 4 und 5 dargestellten Durchlassigkeitskurven gewonnen. Diese stellen somit das Verhaltnis des Schalldruckes nach Durchlaufen des Filter- rohres zum Schalldruck nach Durchlaufen eines glatten Rohres dar.

An dem Tieftondurchlasser wurde noch folgender Versuch vorgenommen: Die Resonatoren wurden nacheinander von dem einen Ende des Rohres beginnend abgenommen und die Abzweigungen wurden mit dichtsitzenden Korkstopseln ver- schlossen. Die Durchlassigkeit dieser Filter von weniger als 20 Gliedern wurde gemessen. Ein Teil der hierbei gewonnenen MeBkurven ist in Fig. 5 eingetragen. Die angeschriebenen Zahlen geben an, aus wieviel Gliedern das Filter bestand. Es zeigt sich, daB das Sperrgebiet mit abnehmender Glieder- zahl schmaler w i d . Jedoch gibt selbst ein Filter von nur zwei Resonatoren im Sperrgebiet noc,h vollstandige Absorption. Sogar ein einziger Resonator vermag den Schalldurchgang an der Stelle des berechneten Sperrgebietes noch wesentlich zu schwachen.

Ergebnie

Die in den Figg. 3, 4 und 5 dargestellten theoretisch und experimentell gewonnenen Dispersions- und Dnrchlassigkeits- kurven zeigen eine sehr befriedigende Dbereinstimmung zwischen der verbesserten Theorie und dern Experiment. Die gemessenen Dispersionswerte liegen im Bereich der Fehler- grenze auf den berechneten Kurven. Nach den Messungen ist - wie schon Gobel') festgestellt hat - der Dbergang von den Sperrgebieten in die Durchlafigebiete kein sprung- hafter, sondern ein kontinuierlicher. Die Abweichungen zwischen der Theorie und den Messungen sind darauf zuruck- zufuhren, daB die Reibungswiderstande bei der Rechnung unberucksichtigt bleiben, und darauf, daB bei den Versuchen die Zahl der Filterglieder beschrankt ist, wahrend die Theorie mit unendlich vielen Gliedern rechnet. _ _ ~

1) Vgl. E. Waetzmann u. F . N o e t h e r , a. a. 0. Annalen der Physik. 5. Folge. 21. 29

442 Annalen der Physik. 5. Folge. Band 21. 1934

Die Versuche gestatteten leider nicht nachzuweisen , dafi in den Sperrgebieten die Dispersion anomal wird. Die Theorie der akustischen Filter macht iiber die Schallgeschwindigkeit in den Sperrgebieten keine Aussage (vgl. S. 435). Nach dem in der Optik geltenden Zusammenhang zwischen Dispersion und Absorption ist auf einen anomalen Verlauf der Dispersions- kurve in den Sperrgebieten zu schlieBen. K a s t e r i n l ) konnte anomale Dispersion auch fiir Schallwellen beim Durchgang durch nicht homogene Medien theoretisch und experimentell nachweisen. An dem schmalen Sperrgebiet des Hochtondurch- lassers I, = 10 cm, = 1 (Fig. 4), in dem noch Staubfiguren erzeugt werden konnten, ist der Unterschied von n zwischen den beiden Grenzen geringer als der mittlere Fehler. Am Tieftondurchlasser (Fig. 5) aber war die Absorption schon auger- halb der Grenzen des theoretischen Sperrbereiches so stark, daB ein Umbiegen der Dispersionskurve in den anomalen Bereich nicht beobachtet werden konnte.

Zusammenfassung

Zur Priifung der Theorie der akustischen Filter in der verbesserten von Wae tzmann und Noe the r angegebenen Form wurde der Durchlassigkeitsverlauf und der Dispersions- verlauf in Abhangigkeit von der Erequenz an drei Filtern aufgenommen und in sehr guter Ubereinstimmung mit der Theorie befunden.

Die Untersuchung wurde im Jahre 1932 am Physikali- schen Institut der Technischen Hochschule Breslau begonnen und spater in Jena zu Ende gefuhrt. Piir Forderung durch Bereitstellung von Mitteln habe ich Herrn Professor Wae t z - m a n n, sowie der Geschaftsleitung der Jenaer Glaswerke Schott & Gen. zu danken.

1) N. K a s t e r i n , Dissertation Moskau 1903 (russisch) und Ver- slagen van de Vergaderingen d. K. Akademie Amsterdam, Wisen Natuur- Kundig Afedeeling 6. S. 460. 1897-1898; Vgl. auch Mi i l le r -Poui l le t I, 3. s. 424.

J ena. (Eingegangen 6. Oktober 1934)