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Highlights der MathematikThomas Westermann
7. Lange Nacht der Mathematik
Schöne Forme(l)n
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Was ist Mathematik überhaupt?
Definition der Mathematik über die Objekte: -
Punkt, Gerade, Ebenen, ...
- Zahlen -
Analysis (Differenzial-
und Integralrechnung)
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...
Definition der Mathematik über die Methoden:
Definition der Mathematik über die Strukturierung -
Strukturierung der Objekte/Dinge
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Beschreibung von Zusammenhängen/Strukturen -
Modellierung/Beschreibung der realen Welt
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Beweise -
Beweise
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Beweise
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,e
2 pq
2E mc
1i
2 2 2a b c 0,
???
21n nz z c
Imaginäre Einheit
Interessante Zahlen
Bedeutsame Symbole
Elegante Beweise
Wichtige Gesetze
Schöne(ste) Formel
Schöne(ste) Formen
Schöne Formeln
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Was ist überhaupt „schön“?
Bedeutung: schön = eine angenehme Wirkung auf die Sinne haben;
angenehm, gut, anständig, ...
Herkunft: althochdeutsch scon; ansehnlich, glänzend, rein,
herrlich
Synonyme: schön = ansprechend, anziehend, ästhetisch; attraktiv,
hübsch, faszinierend; ...
Gegenwörter: hässlich, unschön; schlecht, unangenehm, ...
Aus: de.wiktionary.org/wiki/schön
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Schöne Formel gesucht
tach!
ein freund von mir ist physiker(doktor) und zahlen-geek.
zu seinem dreisiger
bekommt er von mir einen zinnkrug
(dem biere
ist er auch nicht abgeneigt..).
auf den deckel
will ich eine schöne formel/gleichung, mit dem ergebniss
30 oder 29,9999..., eingravieren.
ich habs
nicht so mit diesen dingern, also nun die frage ...
sollte schon knackig sein, aber auch nicht zu lang.
tja und stimmen sollte sie auch dank im voraus!
schöne Formel gesucht Von: robuѕto, 22.11.2010 21:14 Uhr
0 Antworten zu dieser Frage
http://www.wer-weiss-was.de/Anfragen/www_de/archiv/458206/schoene-formel-gesucht.html
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http://board.gulli.com/thread/1197127-schoene-formeln-mathe-physik-informatik-/2/
Schöne Formel gefunden?
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Warpfaktor 1 bis (9)10Die Warpgeschwindigkeit bezeichnet eine
Überlichtgeschwindigkeit, welche mit dem Warpantrieb erreicht wird.
Sie wird durch Warpfaktorenin einer Warpskala angegeben.
Die Warpgeschwindigkeit selbst beginnt erst bei Warpfaktor
1.
2372 stellt William Riker
fest, dass die USS Enterprise mit Warp 4 für die 70.000
Lichtjahre etwa 700 Jahre benötigen würde.
Spock berechnet 2268 für eine 990 Lichtjahre lange Flugstrecke
bei Warp 8,4 eine Flugzeit von 11,337 Stunden.
Ohne Kommentar ...
Weitere Infos unter:
http://de.memory-alpha.org/wiki/Warpfaktor
Widersprüche zwischen verschiedenen WarpfaktorangabenEs gibt
einige widersprüchliche kanonische Fakten zu den Warpreisen unter
Berücksichtigung der erwähnten Warpfaktoren, welche unabhängig von
den Angaben aus den Referenzwerken auftauchen.
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Gesichert ist bisher allerdings nur ...
Eine sehr schöne Formel…
2E mc
Wirklich?
20
2
1
m cEvc
kurzknackig…und stimmen tut sie auch!
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Atome der Mathematik: Natürliche Zahlen
1, 2, 3; viele
1, 2, 3, 4, ... , 9, 10, 11, ... usw.
Prinzip der natürlichen Zahlen:1. Sie beginnen bei 1.2. Zu jeder
Zahl gibt es einen Nachfolger.
N = {1, 2, 3, 4, ...} natürliche Zahlen
Es gibt
viele natürliche Zahlen
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Schöne natürliche Zahlen?
Pythagorasa2 + b2 = c2
a
c
b
Pythagoräische
Zahlen:
Zahlen-Kombination a, b, c mit a2
+ b2
= c2
Gibt es noch weitere pythagoräische
Zahlen?
Beispiele: 32
+ 42
= 25 = 52 52
+ 122
= 169 = 132
DIE schöne Formel!!!
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Ja!
n : 1 2 3 4 5 6
n2
: 1 4 9 16 25 36
:
3 5 7 9 11
Pythagoräisches
Tripel, wenn
eine ungerade Quadratzahl:
= 9 = 2n1
+1
n1
= 4
16
+ 9 = 25
= 25 = 2n2
+1
n2
= 12
144 + 25 = 169
= 49 = 2n3
+1
n3
= 24
242
+ 72
= 252
= 81 = 2n4
+1
n4
= 40
402
+ 92
= 412
Formel: (n+1)2
- n2
=
bzw.
n2
+
= (n+1)2
Elegante Struktur
Pythagöräische Zahlen
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Primzahlen: Eine natürliche Zahl p>1 heißt Primzahl, wenn sie
nur durch 1 und durch sich selbst teilbar ist.
Beispiele: 2, 3, 5, 7, 11, 13, ...
Faszinierende Atome: Primzahlen
Siebverfahren des Eratosthenes
Kleverer
Algorithmus!
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Große Primzahlen: Zahl Dezimalstellen Jahr
Entdecker/Computer
217-1=131071
6 1588
Cataldi231-1=2.147.483.647
10 1772
Euler…230 402 457-1
9 152 052
2005
Cooper/GIMPS Pentium 4232 582 657-1
9 808 358
2006
Cooper/GIMPS Pentium 4243 112 609-1
12 978 189
2008
Smith.../GIMPS
Euklid: Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Knackiger Beweis
Beweis:
Angenommen es gäbe nur endlich viele: p1
, p2
, ..., pn
> 1Dann ist
m := p1
p2
... pn
+ 1 größer als 1 und größer als die größte Primzahl
pn
.m wird durch keine der Zahlen p1
, p2
, ..., pn
geteilt. Damit ist m eine Primzahl.
Die ist im Widerspruch zur Tatsache, dass pn
die größte Primzahl ist!
Primzahlen
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Problem: Was bleibt einem noch übrig, wenn man von seiner Hälfte
ein Drittel abgeben muss?
Ganze und gebrochene Zahlen
Lösung: 31
62
613
61
21
21
31
21
Q = {p/q: p
Z und q
N} gebrochenrationale Zahlen
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} ganze Zahlen
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Noch mehr Zahlen?
Pythagorasa2 + b2 = c2
a
c
b
d 2
= 12
+ 12
= 2
1
d1
2d
Beispiel:
Ist d ein Molekül??
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Was sind dies für Zahlen?
Wenn Molekül, dann mit p und q teilerfremd?qp
2
Wenn kein Molekül, was dann??
Elegante Argumentation
Quadrieren der Gleichung:
p2 = 2 q2
p2 ist gerade
p ist gerade
p = 2 m
4 m2 = 2 q2
q2 = 2 m2
q ist gerade
2 2
2
p
q
Widerspruch!
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Supermoleküle: Zahlenfolgen
(an
) n
N
= a1
, a2
, a3
, a4
, ..., an
, ...
1.) Explizites Bildungsgesetz:
n 1 2
3
...
10
100
1000
an 0 1.5
0.666
...
1.1
1.01
1.001
CAS
na nn
1)1(1
2.) Rekursives Bildungsgesetz
)2(21
1n
nn aaa 10 a
konvergente Folgen: an
a: besitzen Grenzwert a
divergente Folgen:
besitzen keinen Grenzwert
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Reelle Zahlen
Reelle Zahlen = {gebrochenrationale Zahlen und
Grenzwerte aller konvergenten Zahlenfolgen}
1)2(212 01lim
aund
aaamita
nnnn
n
n
n ne )11(lim
raunda
rramita nnn
nnn
623
23 1121
1lim
Bedeutende konstruktive Formeln
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Schönheiten liegt in der Natur …
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Konstruktion komplexer Zahlen
1i
Imaginäre Einheit
2 0 x px q2
1/2 2 4
p px q
DIE Mitternachtsformel
Nein. Leider!!Nein. Leider!!
2 1 0x 1/2 1x
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Darstellung komplexer Zahlen
2c
1
re imc i
R
i R
im
re
c
i
1 3 2c i
2 4c i
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Wir starten immer mit z0
=0. Die Konvergenz der Iteration hängt nur vom Parameter c
ab.
CAS
Schönste Formen
Die einfache Iterationsformel erzeugt komplizierte,
phantastische Objektemit beliebig feiner Substruktur
Mandelbrotmenge
c fest, z0
variabel Juliamenge
Iteration mit komplexen Zahlen2
1 n nz z c
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R
i R
im
re
c
1
i
cos( ) sin( )c i
1re imc i
0
Komplexe Zahlen im Kreis
i tc e
CASEulersche Formel
cos( ) sin( ) eic i t
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Eulersche Formel e cos( ) sin( )i i
2/ 2 2 2: cos( s ))e in(i i i
: cos(e ) )1
sin(i i
32 3
23
23 :2 cos( ) sin( )e
i i
i
22 : cos(2 sin(2 )e1
)i i
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2e 1i
kurzknackig…und stimmen tut sie auch!
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Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!!
Und noch eine schöne Mathematiknacht!!
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Ende
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Literatur:
Albrecht Beutelspacher: Kleines Mathematikum, Goldmann Verlag
2011.Helmut Neunzert, Bernd Rosenberger: Oh Gott, Mathematik.
Teubner
Verlag 1997.Hans Magnus Enzensberger: Der Zahlenteufel, dtv
???Ian Stewart: Das Rätsel der SchneeflockeMartin Aigner, Günter
Ziegler: Das BUCH der Beweise, Springer Verlag.
de.wiktionary.org/wiki/schön
http://de.wikipedia.org/wiki/Primzahlhttp://www.wer-weiss-was.de/Anfragen/www_de/archiv/458206/schoene-formel-gesucht.htmlhttp://board.gulli.com/thread/1197127-schoene-formeln-mathe-physik-informatik-/2/http://de.memory-alpha.org/wiki/Warpfaktorhttp://en.memory-alpha.org/wiki/Warp_factor
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Ideengeber für diesen Vortrag
Pythagoras
750 v. Chr. (Satz von Pythagoras)
Euklid
300 v. Chr. (Elemente, Primzahlensatz)
Eratosthenes
200 v. Chr. (Siebverfahren)
Rudolph
1525
(Mitternachtsformel)Euler
1748
(Das e)
Gauß
1811
(Komplexe Zahlenebene)Cauchy
1821
(Folgenkonzept)
Koch
1904
(Schneeflocke)Einstein
1905
(E=m
c2)
Mandelbrot
1982
(Fraktale)Chakotay168
2008
(Warpfaktorformel)
2010
(Schneefeld)Riker
2372
(Warpfaktor 4)
Foliennummer 1Foliennummer 2Foliennummer 3Foliennummer
4Foliennummer 5Foliennummer 6Foliennummer 7Foliennummer
8Foliennummer 9Foliennummer 10Foliennummer 11Foliennummer
12Foliennummer 13Foliennummer 14Foliennummer 15Foliennummer
16Foliennummer 17Foliennummer 18Foliennummer 19Foliennummer
20Foliennummer 21Foliennummer 22Foliennummer 23Foliennummer
24Foliennummer 25Foliennummer 26Foliennummer 27Foliennummer
28Foliennummer 29
