Schulinternes Curriculum Mathematik Klasse 11und 12 · 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 Verschiedene Verfahren der Anpassung von Funktionen an vorgegebene Bedingungen Trassierung selbst lernen

Stand: Januar 2016

Schulinternes Curriculum Mathematik Klasse 11und 12 in Übereinstimmung mit dem Lehrbuch Elemente der Mathematik und dem neuen Kerncurriculum (KC)

I. Prozessbezogene Kompetenzbereiche (in Klammern Kapitel im KC) MA: Mathematisch argumentieren PL: Probleme mathematisch lösen MM: Mathematisch modellieren MD: Mathematisch Darstellungen verwenden SF: Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Ko:. Kommunizieren II. Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Laut dem KC gibt es fünf inhaltsbezogene Kompetenzbereiche dargestellt im Kapitel 3.2 des KC (in Klammern Kapitelnummern des KC)

1. Zahlen und Operationen (3.2.1) 2. Größen und Messen (3.2.2) 3. Raum und Form (3.2.3)

4. Funktionaler Zusammenhang (3.2.4) 5. Daten und Zufall (3.2.5)

Semester 11.1: Analysis

Buchkapitel Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen

Prozessbezogene Kompetenzen

Methodische Hinweise

Analysis:

Kurvenanpassung –Wachstumsmodelle- Integralrechnung (ca. 28 Wochen)

Bleib fit in Differenzialrechnung

Bleib fit in Funktionsuntersuchungen

Anwenden von Verfahren zur Lösung linearer und quadratischer Gleichungen mit einfachen Koeffizienten.

Binomische Formeln

pq-Formel bzw. quadr. Erg.

1 Kurvenanpassung – Lineare Gleichungssysteme (ca. 7 Wochen)

Lernfeld: Krumm aber doch passend glatt

Lernbereich: Kurvenanpassung – Interpolation

1.1 Krümmung – Wendepunkte

Leitidee Funktionaler Zusammenhang

erkennen Monotonie- und Krümmungsverhalten von Graphen und nutzen dies zur Begründung der Existenz von Extrem- und

MA: Existenzbegründungen von Wende- und Extremstellen.

Ko: Erfassen und interpretieren mathematikhaltige authentische Texte, z.B. S.28 Nr. 12.

Wendepunkten.

nutzen notwendige Bedingungen sowie inhaltliche Begründungen zur Bestimmung von lokalen Extrem- und Wendestellen.

1.2

Stoffgebiet 1.3 im 2. Halbjahr

Bestimmen ganzrationaler Funktionen – lineare Gleichungssysteme

1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme – GAUSS-Algorithmus

– Bestimmung von Funktionen aus gegebenen Eigenschaften

- lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie

– GAUSS-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

Ko: SuS dokumentieren Überlegungen, Lösungswege und Ergebnisse auch im Hinblick auf die verwendete Technologie und stellen jene verständlich dar.

SF: Die SuS setzen die eingeführte Technologie (GTR) als sinnvolles Werkzeug zum Lösen mathematischer Probleme ein.

SF: Die SuS belegen ihr Grundverständnis für elementare algorithmische Verfahren, in dem sie diese auch ohne die eingeführte Technologie in überschaubaren Situationen ausführen.

GTR- Einsatz: Matrizenrechnung

1.4

1.4.1

1.5

1.5.1

1.5.2

1.5.3

Verschiedene Verfahren der Anpassung von Funktionen an vorgegebene Bedingungen Trassierung selbst lernen 1.4.2 Interpolation – Spline-Interpolation Stoffgebiet 1.5 im 4. Halbjahr

Stetigkeit und Differenzierbarkeit Stetigkeit Differenzierbarkeit Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Ausgehend von Beispielen aus dem Bereich Trassierung werden ganzrationale Funktionen zu vorgegebenen Datenpunkten und/oder Eigenschaften bestimmt.

Bei Modellierungen mit abschnittsweise definierten Funktionen sind darüber hinaus an den Übergängen Eigenschaften wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Übereinstimmung der zweiten Ableitungen als Bedingungen zu nutzen und im Kontext zu interpretie-ren. Die Zugänge zu Stetigkeit und Differenzierbarkeit werden auf intuitivem Weg gefunden.

Durch Regression gewonnene Funktionen werden zum Vergleich herangezogen.

– Stetigkeit, Differenzierbarkeit

– Abschnittsweise definierte Funktionen (ohne Grenzbetrachtung an Polstellen)

MM: SuS vereinfachen durch Abstrahieren und Idealisieren Realsituationen, um sie einer mathematischen Beschreibung zugänglich zu machen und reflektieren die Vereinfachungsschritte.

MM: Die SuS interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. das Modell

MM: Die SuS reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen.

Ko: Die SuS erläutern eigene Problembearbeitungen und Einsichten sowie mathematische Zusammenhänge mit eigenen Worten und unter Verwendung geeigneter Fachsprache.

Eigenständiges Lernen

GTR: Regression nutzen,

abschnittsweise definierte Funktionen darstellen

1.6 Funktionenscharen – Funktionenscharen PL: Probleme in inner-

mathematischen Zusammenhängen finden, formulieren und die Ergebnisse auf Plausibilität prüfen.

Wachstumsmodelle

Ausgehend von Beispielen aus den Bereichen Bevölkerungswachstum, stetige Verzinsung, radioaktiver Zerfall werden die bereits bekannten Wachstumsmodelle – lineares, exponentielles und begrenztes Wachstum – durch das Modell des logistischen Wachstums ergänzt. Der Vergleich und die Interpretation verschiedener Modelle eines Wachstumsprozesses lassen sich besonders einfach mit der Exponentialfunktion zur Basis e durchführen. Buch-Kapitel

Themen (mit Kapitelbezeichnungen aus dem Buch)

Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche

Methodische Hinweise

3 Wachstumsmodelle (ca. 10 Wochen)

Schwerpunkt: Exponentielles Wachstum (Funktionaler Zusammenhang)

Schwerpunkt: Mathematisch modellieren Probleme mathematisch lösen

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4

Exponentielles Wachstum Wachstumsgeschwindigkeit – e-Funktion Ableitung von Exponentialfunktionen – Natürlicher Logarithmus Beschreibung von exponentiellem Wachstum mithilfe der e-Funktion eN: Differenzialgleichung exponentieller Prozesse

– e-Funktion

– Asymptotisches Verhalten

– Definitionsbereich

– Verwenden von ln, um einfache Exponentialgleichungen aufzulösen

– eN Differenzialgleichungen ohne

Lösungsverfahren

Darstellungen verwenden Probleme mathematisch lösen Mathematisch modellieren Probleme mathematisch lösen

Einführung der e-Funktion über die kennzeichnende Eigenschaft der Ableitungsregel. e als Basis für Exponential-funktionen zur Beschreibung der exponentiellen Prozesse f(t)=a*bt

eN: Deuten Differenzialgleichung im Sachkontext.

3.2

Begrenztes Wachstum – Begrenztes Wachstum

– Angleichung an Daten durch

Parametervariation

Mathematisch modellieren/ Probleme mathematisch lösen

Einführung durch Verschiebung des Graphen exponentieller Prozesse. Definition über Bedingung für momentane Wachstumsgeschw.

3.3 Logistisches Wachstum Die e-Funktion ermöglicht eine funktionale Beschreibung des logistischen Wachstums.

– Logistisches Wachstum

– Bedeutung des Wendepunktes und des

Krümmungsverhaltens

Math. Darstellungen verwenden Mathematisch modellieren Probleme mathematisch lösen

Einführung über beide exponentiellen Teile. Definition über Wachstums-geschwindigkeit. Der Term wird eingeführt über die logistische Regression des GTR. Der Zusammenhang von den Parametern der Differentialgleichung und denen der logistischen Lösungsfunktion wird hergeleitet.

3.4 Vermischte Aufgaben

3.5 3.5.1

Ableitungsregeln Kettenregel

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der

Gebrochenrationale Funktionen laut KC nicht mehr behandeln.

3.5.2 3.5.3

Produktregel Quotientenregel

Mathematik umgehen Ableitungsregeln im Zusammenhangmit e-Funktionen behandeln. Die Funktionsunter-suchungen folgen in 3.7.

3.6 (eN) 3.6.1 3.6.2

eN: Lösen von Differenzialgleichungen

Richtungsfeld – EULER-Verfahren Lösen durch Separation der Variablen

optional: Lösungsverfahren einfacher Differenzialgleichungen

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Probleme mathematisch lösen

3.7 3.7.1 3.7.2 3.7.3 3.7.4

Funktionsuntersuchungen Summe, Differenz und Produkt von Funktionen Quotient von Funktionen Verkettung von Funktionen Zusammenfassung: Aspekte von Funktionsuntersuchungen

Wachstum modellieren.

– Verknüpfungen/Verkettung mit

ganzrationalen Funktionen

– eN: Funktionenscharen, die durch Verknüpfung und Verkettung der e-Funktion mit ganzrationalen Funktionen entstehen.

Mathematisch argumentieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Probleme mathematisch lösen

Konsequent die Verknüpfung von Funktionen in den Vordergrund stellen und thematisieren, welche Eigenschaften des Graphen aus den einzelnen Bestand-teilen auch ohne Ableitungen ermittelt werden können.

Exakte Werte (z.B. von Extrema) mit Ableitungen berechnen.

(eN?) Asymptotische Näherungsfunktionen, Pole und stetige Ergänzungen in Verbindung mit e-Funktionen behandeln.

Integralrechnung

Je nach Länge des 1. Semesters kann die Integralrechnung ganz oder teilweise im 4. Semester unterrichtet werden. Buch-Kapitel


Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Methodische Hinweise

2 Integralrechnung Lernbereich: Von der Änderung zum Bestand – Integralrechnung Leitideen: Messen, Funktionaler Zusammenhang

Schwerpunkt: Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren

2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.4 2.4.1 2.4.2

Der Begriff des Integrals Orientierte Flächeninhalte – Geometrische Definition des Integrals Näherungsweises Berechnen von Integralen – Analytische Definition des Integrals Aus Änderungsraten rekonstruierter Bestand – Integralfunktionen Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung Integration mithilfe von Stammfunktion Berechnen von Integralen mithilfe von Stammfunktionen Integration durch lineare Substitution

- erläutern das Integral (geometrische Definition) als Summe orientierter Flächeninhalte

- erläutern die Berechnung von Integralen über den Grenzwert von Obersumme und Untersumme an einem Beispiel (analytische Definition)

- erläutern den Begriff der Integralfunktion - deuten das Integral als aus Änderungen

rekonstruierter Bestand - erläutern den Zusammenhang zwischen

Differenzieren und Integrieren - eN: begründen den Hauptsatz geometrisch - kennen die Stammfunktionen spezieller

Funktionen: ex ; sin(x), x , xn ( Zn )

- wenden die Summen- und Faktorregel für Integrale an

- wenden Rechengesetze für bestimmte Integrale an

- berechnen unbestimmte Integrale - erläutern die Integration durch lineare

Substitution - nutzen den Zusammenhang zwischen

Ableitung und Integral zur Bestätigung von

Probleme mathematisch lösen Mathematisch argumentieren Kommunizieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (auch GTR-Einsatz) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren Mathematisch argumentieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Kommunizieren

u.a. an folgenden Beispielen: Zu- und Ablauf, Geschwindigkeit-Weg geeignetes Beispiel: f(x) = x² Zusammenhang über den Einsatz einer GeoGebra-Animation erkunden ergänzend kann der Mittelwertsatz behandelt werden eN: evtl. partielle Integration und Substitution (in Hinblick auf Stochastik)

2.5 2.5.1 2.5.2 2.5.3 2.6

Berechnen von Flächeninhalten Fläche zwischen einem Funktionsgraphen und der x-Achse Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen eN: Uneigentliche Integrale eN: Volumina von Rotationskörpern

Stammfunktionen

- erläutern die Flächeninhaltsberechnung begrenzter Flächen

- erläutern die Berechnung uneigentlicher Integrale

- interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten

- erläutern die Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers über die Integralformel

Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen (auch GTR-Einsatz)

- zu gegebenem Flächeninhalt eine Grenze berechnen bzw. Scharparameter berechnen

ENTWURF 11

Schulinternes Curriculum Mathematik Jahrgang 11 in Übereinstimmung mit dem Lehrbuch Elemente der Mathematik und dem neuen Kerncurriculum (KC)

Semester 11.2: Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Ausgehend von der zeichnerischen Darstellung von Körpern werden der Nutzen und die Bedeutung des dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystems für die Orientierung im Raum erkannt. Buch-Kapitel


Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Methodische Hinweise

4 Analytische Geometrie Leitidee: Räumliches Strukturieren/Koordinatisierung

Schwerpunkt: Mathematische Darstellungen verwenden Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen

4.1 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

Punkte und Vektoren im Raum Punkte im räumlichen Koordinatensystem Vektoren Addition und Subtraktion von Vektoren Vervielfachen von Vektoren

nutzen die bildliche Darstellung und Koordinatisierung zur Beschreibung und Lösung von inner- und außermathematischen Problemen in Ebene und Raum Wenden Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig begrenzten geometrischen Objekten an Wenden die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Vektoren an und veranschaulichen sie geometrisch Erkennen die Kollinearität zweier Vektoren.

MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen. SF: arbeiten mit Vektoren SF: arbeiten mit Vektoren Ko: erläutern mathematische Zusammenhänge mit eigenen Worten

4.2 4.2.1 4.2.2

Geraden im Raum Parameterdarstellung einer Geraden Lagebeziehungen zwischen Geraden

Beschreiben Geraden durch Gleichungen in Parameterform. Erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Geraden und lösen Schnittprobleme Bestimmen des Winkels zwischen zwei Geraden.

MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen MM: beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch Koordinaten und Vektoren PL: wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an

Einsatz des GTR bei der Lösung der entsprechenden Gleichungssysteme

4.3 Winkel im Raum

4.3.1 4.3.2

Orthogonalität zweier Vektoren – Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren

Deuten das Skalarprodukt geometrisch. Berechnen Längen von Strecken und Größen von Winkeln zwischen Vektoren

SF: arbeiten mit Vektoren SF: verwenden mathematische Symbole zum Problemlösen

4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3

Ebenen im Raum Parameterdarstellung einer Ebene Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene eN: Lagebeziehungen zwischen zwei Ebenen

Beschreiben Geraden und Ebenen durch Gleichungen in Parameterform. erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Gerade und Ebene und lösen Schnittprobleme. eN: erfassen und begründen die unterschiedlichen Lagebeziehungen von Ebenen und lösen Schnittprobleme.

MD: verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen MM: beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch Koordinaten und Vektoren PL: wählen geeignete heuristische Strategien zum Problemlösen aus und wenden diese auch unter Nutzung der eingeführten Technologie an

Einsatz des GTR bei der Lösung der entsprechenden Gleichungssysteme

Analytische Geometrie II Leitidee: Räumliches Strukturieren/Koordinatisieren

Schwerpunkte: MA: Mathematisch argumentieren Probleme mathematisch lösen Kommunizieren

4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.4

Normalenvektor einer Ebene Normalenvektor und Koordinatengleichung Abstandsberechnungen Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene Winkel zwischen zwei Ebenen

Bestimmen den Normalenvektor. Beschreiben von Ebenen durch Gleichungen in Normalenform und in allgemeiner Koordinatenform. Nutzen den Zusammenhang zwischen Normalenform und allgemeiner Koordinatenform. Bestimmen Abstände zwischen Punkten, zwischen Punkte und Ebenen, zwischen Gerade und Ebenen sowie zwischen Ebenen. eA: Bestimmen Abstände zwischen Punkt und Gerade sowie zwischen Geraden. Bestimmen des Winkels zwischen Gerade und Ebene und zwischen zwei Ebenen.

MD: Verwenden geometrische und vektorielle Darstellungsformen für geometrische Gebilde und wechseln zwischen diesen. MM: Nutzen die bildliche Darstellung und Koordinatisierung zur Beschreibung und Lösung von inner- und außermathematischen Problemen in Ebene und Raum. MM: Beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch mathematische Modelle wie durch Koordinaten und Vektoren.

4.3.3. Vektorprodukt deuten das Vektorprodukt geometrisch und wenden es in Sachzusammenhängen an.

Gut geeignet als Referat

Rauminhalte von Pyramide, Spat, u.a. bestimmen Rauminhalte ausgewählter Körper. nutzen Abstandsbestimmungen zur Ermittlung von Flächen- und Rauminhalten

nutzen eine handelsübliche Formelsammlung.

1.3 Lösen linearer Gleichungssysteme –

GAUSS-Algorithmus

– GAUSS-Algorithmus als Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme

MD: Arbeiten mit Gleichungen und Gleichungssystemen.

- Anwenden von Verfahrung zur Lösung einfacher linearer Gleichungssysteme

- Bestimmen der Lösungsmenge sowohl eindeutig als auch nicht eindeutig lösbarer LGS

3) Lineare Algebra - Matrizen Lernbereich: Mehrstufige Prozesse –

Matrizenrechnung Ausgehend von Problemstellungen aus dem Bereich der Materialverflechtung werden mehrstufige Prozesse durch Darstellung in Matrizenform strukturiert. In diesem Zusammenhang werden die Rechengesetze für Matrizen einschließlich inverser Matrizen behandelt. Die Behandlung von Problemen zum Käufer- und Wahlverhalten eröffnet eine weitere Sichtweise auf Matrizen, indem sich wiederholende Prozesse hinsichtlich einer Langzeitprognose analysiert werden. Leitidee: Algorithmus

Schwerpunkt: Mathematische Darstellungen verwenden Probleme mathematisch lösen Mathematisch argumentieren Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Mathematisch modellieren

5.1 Matrizen – Addieren und Vervielfachen Beschreiben einfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen. Beherrschen die Addition, Subtraktion und skalare Multiplikation von Matrizen.

SF: Arbeiten mit Vektoren und Matrizen. kennen algorithmische Verfahren und können sie anhand von Beispielen erläutern.

5.2 Multiplikation von Matrizen nutzen die Matrizenmultiplikation

5.3 Materialverflechtung lösen lineare Gleichungssysteme mit der eingeführten Technologie.

finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. überprüfen die Plausibilität der Ergebnisse. wenden die eingeführten Technologien an. reflektieren und bewerten die benutzten Strategien. variieren vorgegebene mathematische Probleme und untersuchen die Auswirkungen auf die Problemlösung.

beschreiben Realsituationen und Realprobleme durch mathematische Modelle durch Matrizen. interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. dasModell.

5.4 Chiffrieren und Dechiffrieren – Inverse Matrix

nutzen inverse Matrizen finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. überprüfen die Ergebnisse. Nutzung der eingeführten Technologie. reflektieren deren Verwendung und übersetzen zwischen symbolischer und natürlicher Sprache. kennen algorithmische Verfahren und können sie anhand von Beispielen erläutern.

5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3

Beschreiben von Zustandsänderungen durch Matrizen Übergangsmatrizen – Matrixpotenzen Fixvektor – Grenzmatrix (eN) Populationsentwicklungen – Zyklische Prozesse

wenden Potenzen von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen an und interpretieren Grenzmatrizen sowie Fixvektoren. erkennen zyklisches Verhalten und interpretieren dies im Sachzusammenhang. (eN)

finden in inner- und außermathematischen Situationen mathematische Probleme, formulieren diese mit eigenen Worten und in mathematischer Fachsprache. interpretieren Ergebnisse aus Modellrechnungen in der Realsituation und modifizieren ggf. das Modell. reflektieren die Grenzen von Modellen und der mathematischen Beschreibung von Realsituationen. ordnen einem mathematischen Modell verschiedene passende Realsituationen zu und reflektieren so die Universalität von Modellen.

Klasse 12 Kapitel 6: Häufigkeitsverteilungen – Beschreibende Statistik (ca. 3 Wochen)

BuchKap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Methodische Hinweise

6.1 Merkmale – Relative Häufigkeit Leitidee: Daten und Zufall:

Die SuS kennen und nutzen die Begriffe der

absoluten und der relativen Häufigkeit zur

analytischen und graphischen Darstellung von

Datenmaterial.

MD und SF: Analytische und graphische

Darstellungen der Daten ineinander

überführen und analysieren

Ko: Präsentation von Problembearbeitungen

unter Verwendung geeigneter Medien.

6.1.1 Arithmetisches Mittel einer

Häufigkeitsverteilung

Leitidee: Messen

Die SuS kennen und bestimmen das arithmetische

Mittel als Lagemaß einer Stichprobe.

Leitidee: Daten und Zufall

Die SuS charakterisieren und interpretieren

Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen

arithmetisches Mittel und Zentralwert.

SF: Die SuS verwenden mathematische

Symbole und Schreibweisen sachgerecht und

wählen geeignete Verfahren zur Lösung.

Ko: Präsentation von Problembearbeitungen

unter Verwendung geeigneter Medien.

MA: Die SuS erkennen in Sachsituationen

kausale Zusammenhänge, geben

Begründungen

an, überprüfen und bewerten diese.

GTR-Einsatz zur Berechnung

des arithmetischen Mittels

über Listen mit absoluten

oder relativen Häufigkeiten

6.1.2 Klassieren von Daten – Histogramm Leitidee: Daten und Zufall

Die SuS stellen Häufigkeitsverteilungen nach

sinnvoller Klassierung in Histogrammen dar,

interpretieren und nutzen diese Darstellungen.

Sie kennen und bestimmen das arithmetische Mittel

klassierter Daten.

Die SuS kennen das Simpsonsche Paradoxon und

können Daten gezielt daraufhin untersuchen.

PL: Die SuS wählen geeignete heuristische

Strategien wie Systematisieren und

Strukturieren zum Problemlösen aus und

wenden diese an.



Begründungen




Begründungen an, überprüfen und bewerten

diese.

MM: Die SuS analysieren und bewerten

verschiedene Modelle im Hinblick auf

Anwendungsbezüge.

GTR-Einsatz zur Darstellung

von Daten in Histogrammen

und Boxplot

Graphische Darstellung von

Daten in Excel

6.2 Streuung – Empirische

Standardabweichung


Die SuS kennen und bestimmen das arithmetische

Mittel als Lagemaß und die empirische

Standardabweichung s als Streumaß einer

Stichprobe.

Die SuS charakterisieren und interpretieren

Datenmaterial mithilfe der Kenngrößen

arithmetisches Mittel,

Standardabweichung s und Stichprobenumfang


Symbole und Schreibweisen sachgerecht und

wählen geeignete Verfahren zur Lösung.



Begründungen


und setzen die eingeführte Technologie sinnvoll

ein.

PL: Sie nutzen die eingeführte Technologie

beim Problemlösen zielgerichtet.

Ko: Die SuS präsentieren

Problembearbeitungen unter Verwendung

geeigneter Medien, gehen auf Überlegungen

anderer zu mathematischen Inhalten ein und

überprüfen diese auf Schlüssigkeit und

Vollständigkeit.

6.3 Zusatz: Regression und Korrelation

Regressionsgerade

Korrelationskoeffizient


Die SuS kennen den Begriff der Regression und

interpretieren Daten mit Hilfe dieser.

Sie kennen und erstellen Regressionsgeraden.

Leitidee: Daten und Zufall:

Die SuS kennen und bestimmen den

Korrelationskoeffizienten.

Sie bewerten Daten durch die Betrachtung des

Korrelationskoeffizienten unter Berücksichtigung

der Kausalität.

MM: Die SuS wählen, variieren und

verknüpfen Modelle zur Beschreibung von

Anwendungsbezügen. Sie analysieren und

bewerten verschiedene Modelle im Hinblick

auf diese.

Ko: Die SuS präsentieren


geeigneter Medien, gehen auf Überlegungen

anderer zu mathematischen Inhalten ein und

überprüfen diese auf Schlüssigkeit und

Vollständigkeit.

GTR-Einsatz zur Erstellung

von Regressionsgeraden und

Berechnung des

Korrelationskoeffizienten

Bleib fit im Umgang mit

Wahrscheinlichkeiten


Die SuS verwenden die Grundbegriffe Ergebnis,

Ereignis, Ergebnismenge zur Beschreibung von

Zufallsexperimenten. Sie kennen das empirische

Gesetz der großen Zahlen.

Die SuS nutzen Zufallsgrößen zur sachgerechten

Strukturierung der Ergebnismenge eines Zufalls-

experiments.

Sie bestimmen Wahrscheinlichkeiten in ein- und

mehrstufigen Zufallsexperimenten und nutzen dafür

die Laplace- und die Pfadregeln.

Ko: Die SuS teilen ihre Überlegungen unter

Verwendung der Fachsprache anderen

verständlich mit.

MA: Die SuS erläutern präzise mathematische

Zusammenhänge und Einsichten unter

Verwendung

der Fachsprache.

MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen und

Terme zur Darstellung von Daten,

insbesondere unter Verwendung der

eingeführten Technologie.


Symbole und Schreibweisen sachgerecht.

MA: Die SuS kombinieren mathematisches

Wissen für Begründungen und

Argumentationsketten und nutzen dabei auch

formale und symbolische Elemente und

Verfahren.

Wiederholung aus der

Sekundarstufe I

Kapitel 7: Wahrscheinlichkeitsverteilungen (ca. 5 Wochen)

BuchKap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen Methodische Hinweise

7.1 Zufallsgröße – Erwartungswert einer

Zufallsgröße

Leitidee: Funktionaler Zusammenhang

Die SuS beschreiben Zufallsgrößen als Funktionen

und stellen diese tabellarisch und grafisch dar. (gN)

Die SuS grenzen diskrete von stetigen Zufallsgrößen

ab. (eN)


Die SuS nutzen Zufallsgrößen zur sachgerechten

Strukturierung der Ergebnismenge eines Zufalls-

experiments.



Verwendung

der Fachsprache.





Vom Mittelwert zum

Erwartungswert

7.2 Binomialverteilung Leitidee: Funktionaler Zushg.

Die SuS stellen Binomialverteilungen auch unter

Verwendung der eingeführten Technologie grafisch

dar.





„In jedem siebten Ei…“

7.2.1 BERNOULLI-Ketten Leitidee: Daten und Zufall

Die SuS kennen das Modell der BERNOULLI-

Kette, können in diesem Modell rechnen und es zum

Modellieren sachgerecht anwenden.

Alle Facetten sind möglich:

MA: Mathematisch argumentieren

PL: Probleme mathematisch lösen

MM: Mathematisch modellieren

MD: Mathematisch Darstellungen verwenden

SF: Mit symbolischen, formalen und

technischen Elementen der Mathematik

umgehen

Ko:. Kommunizieren

Besonderheit der Bernoulii-

Experimente (in Abgrenzung

zu allgemeinen

Zufallsversuchen) ist deutlich

herauszustellen.

7.2.2 Binomialkoeffizienten – Bernoulli-

Formel Leitidee: Daten und Zufall

Die SuS können Binomialkoeffizienten mithilfe von

Fakultäten berechnen und als Anzahl möglicher

Pfade am Baumdiagramm interpretieren.

Ko: Die SuS teilen ihre Überlegungen unter

Verwendung der Fachsprache anderen

verständlich mit.



MA: Die SuS kombinieren mathematisches

Wissen für Begründungen und

Argumentationsketten und nutzen dabei auch

formale und symbolische Elemente und

Verfahren.

- Binomialkoeffizienten auch

als Anzahl der Pfade im

Baumdiagramm interpretieren,

die…

- Bernoulliformel für HMfT-

Abitur auswendig können.

7.2.3 Rekursive Berechnung von

Wahrscheinlichkeiten bei BERNOULLI-

Ketten


Die SuS kennen das Modell der BERNOULLI-Kette

und können in diesem Modell rechnen und es zum

Modellieren sachgerecht anwenden.



Verwendung

der Fachsprache.




Thema ist im KC nicht

verankert, bietet aber

Möglichkeit der

Modellbildung. Kann also in

längeren Semestern erarbeitet

werden.


7.3 Erwartungswert einer

Binomialverteilung Leitidee: Daten und Zufall

Die SuS charakterisieren Wahrschein-

lichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen

Erwartungswert , n und p und nutzen sie für

Interpretationen.

MD: Besonders bei der Herleitung nutzen die

SuS Tabellen, Graphen und Terme zur

Darstellung und Berechnung von Daten am

GTR.

Herleitung der Formel

E(X)=np gelingt exemplarisch

über Analogieschlüsse

N=1,2,3,… aus der bereits

bekannten Formel von E(X).

7.4 Anwendungen der Binomialverteilung

7.4.1

7.4.2

Kumulierte Binomialverteilung -

Auslastungsmodell

Das Kugel-Fächer-Modell


Die SuS charakterisieren Wahrschein-

lichkeitsverteilungen anhand der Kenngrößen

Erwartungswert , n und p und nutzen sie für

Interpretationen. Weiterhin erkennen Sie den

Zusammenhang on berechnen Sie







Summe von

Einzelwahrscheinlichkeiten,

Wahrscheinlichkeiten von

Bereichen

Kapitel 8: Beurteilende Statistik (ca. 8 Wochen) Kapitel 7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

ist Voraussetzung für Kapitel 8

Buch-Kap. Themen Inhaltsbezogene Kompetenzen Prozessbezogene Kompetenzen (Methodische) Hinweise

8.1 Binomialverteilung für große

Stufenzahlen (EdM S.428f)


SuS nutzen den Erwartungswert und die Standardabweichung

einer binomialverteilten Zufallsgröße für Interpretationen.

Die SuS können diese im GTR bestimmen und interpretieren.

SF: setzen die eingeführte Technologie

(GTR) in allen Themenfeldern als

sinnvolles Werkzeug zum Lösen

mathematischer Probleme ein.

Hier wird 6.2 Streuung - Empirische

Standardabweichung benötigt;

Kapitel 7 (Wahrscheinlichkeitsvert.)

ist Voraussetzung für Kapitel 8;

GTR ermöglicht alle auftretenden

Berechnungen (auch die

Umkehraufgaben bei der

Normalverteilung). Deshalb sind

auch keine Tabellen zur Stochastik

im Buch enthalten.

8.1.1 Standardabweichung bei

Wahrscheinlichkeitsverteilunge

n (EdM S.428f)


Die SuS nutzen den Erwartungswert und die

Standardabweichung von W.-Verteilungen und übertragen

diese auf binomialverteilte Zufallsgrößen. Sie nutzen Histo-

gramme, um Aussagen über die zugehörigen Verteilungen zu

treffen.

MD und SF: Analytische und graphische

Darstellungen der Daten ineinander

überführen und analysieren

Ko: Präsentation von


geeigneter Medien.

8.1.2 Die Sigma-Regeln (EdM

S.432f)


Die SuS können für große n auf der Grundlage der Sigma-

Umgebungen um den Erwartungswert für binomialverteilte

Zufallsgrößen Wahrscheinlichkeitsaussagen treffen.

MA: SuS begründen oder widerlegen

Aussagen in angemessener Fachsprache

mit mathematischen Mitteln und

reflektieren die Vorgehensweise.

SuS reflektieren und bewerten

Argumentationen und Begründungen auf

Schlüssigkeit und Angemessenheit.

SuS vertreten eigene Problemlösungen

und Modellierungen.

Für eN auch:

- für binomialverteilte

Zufallsgrößen, ausgehend von einer

Stichprobe, Schätzwerte für den

unbekannten Parameter p der

zugrunde liegenden Gesamtheit

bestimmen

- Vertrauensintervalle um diese

Schätzwerte zu beliebig vorge-

gebener Vertrauenswahrschein-

lichkeit unter Nutzung der

Normalverteilung (Kap.8)

bestimmen.

8.2 Schluss von der Gesamtheit auf

die Stichprobe (EdM S.436f)


Die SuS unterscheiden zwischen Grundgesamtheit und

repräsentativer Stichprobe.

Sie treffen Aussagen über voraussichtliche Ergebnisse von

Bernoulli-Ketten anhand von Punkt- und

Intervallschätzungen für zugehörige

Sicherheitswahrscheinlichkeiten.

Ko: SuS erläutern eigene

Problembearbeitungen und Einsichten

sowie mathematische Zusammenhänge

mit eigenen Worten und unter

Verwendung geeigneter Fachsprache.





Selbst wenn der Schluss von der

Gesamtheit auf die Stichprobe im

KC nur als Ergänzung genannt wird,

ist er aus didaktischen Gründen

unverzichtbar, um bei den

Lernenden ein Verständnis des

verbindlich geforderten,

schwierigeren Schlusses von der

Stichprobe auf die Gesamtheit zu

erzeugen.

8.3 Schluss von der Stichprobe auf

die Gesamtheit–

Konfidenzintervalle (EdM

S.442f)


Die SuS schätzen anhand einer Stichprobe die

Erfolgswahrscheinlichkeit p, die Benoulli-Zufallsversuchen

zugrunde liegt.





8.3.1 Schätzung der zugrunde

liegenden

Erfolgswahrscheinlichkeit

(EdM S.442f)


Die SuS führen Parametervariationen zur Anpassung von

Funktionen an Daten durch. Sie können Schätzwerte für eine

unbekannte Wahrscheinlichkeit bestimmen.

MD: Die SuS nutzen Tabellen, Graphen

und Terme zur Darstellung von Daten,



8.3.2 Wahl eines genügend großen

Stichprobenumfangs (EdM

S.447f)


Die SuS bestimmen den Anteil p an einer Gesamtheit anhand

der Daten einer Stichprobe.





8.4 e.N. Normalverteilung (EdM

S.454f)


Die SuS grenzen diskrete von stetigen Zufallsgrößen ab und

verwenden die Normalverteilung als spezielle stetige

Wahrscheinlichkeitsverteilung.





8.4.1 e.N. Annäherung der

Binomialverteilung durch eine

Normalverteilung (EdM S.454f)


Die SuS berechnen unbestimmte Integrale mithilfe des GTR

und kennen den Zusammenhang zwischen Differenzieren und

Integrieren.

Sie verstehen den Sinn der Stetigkeitskorrektur.

Ko: SuS dokumentieren Überlegungen,

Lösungswege und Ergebnisse auch im

Hinblick auf die verwendete Technologie

und stellen jene verständlich dar.





8.4.2 e.N. Wahrscheinlichkeiten bei

normalverteilten Zufallsgrößen

(EdM S.460f)


Die SuS verwenden die Normalverteilung als spezielle stetige

Wahrscheinlichkeitsverteilung.





8.4.3 e.N. Bestimmen der Kenngrößen von

normalverteilten Zufallsgrößen

(EdM S.464f)


Die SuS können Kenngrößen der Normalverteilung

(Erwartungswert, Standardabweichung) bestimmen und

interpretieren.





8.5 e.N. Stetige Zufallsgrößen (EdM

S.468f)


Die SuS kennen weitere Dichtefunktionen stetiger

Zufallsgrößen und deren Kenngrößen.





Hinweise zum Technologieeinsatz:

– Berechnen von Fakultäten und Binomialkoeffizienten [!; nCr]

– Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung und der Normalverteilung (eA) [binompdf; normalpdf]

– Bestimmen von kumulierten Wahrscheinlichkeiten bei Binomialverteilungen und Normalverteilungen (eA) [binomcdf; normalcdf]

– Grafische Darstellungen von Verteilungen [Graph; StatPlot]

Vorgehensweise in Klasse 12/2 In der folgenden Tabelle ist zusammengestellt, welche Inhalte in welcher zeitlichen Reihenfolge behandelt werden können. Zu jeder Inhaltszeile der Tabelle kann man eine Arbeit schreiben

lassen, beim letzten Thema bietet sich ein Projekt in Kleingruppen an. Jede Themeneinheit sollte in ca. 3 Wochen, also 12 Unterrichtsstunden behandelt werden.

Buch-

Kapitel

Themen (mit

Kapitelbezeichnungen aus dem

Buch, kursiv Zusatzthemen)

Inhaltsbezogene Kompetenzbereiche Prozessbezogene Kompetenzbereiche Fächerübergreifendes, Medien,

Ideen, Methoden

2.5.3 Fortführung der

und 2.6 Integralrechnung (eA):

Uneigentliche Integrale

(2.5.3)

Volumina von

Rotationskörpern (2.6)

Funktionaler Zusammenhang:

Die SuS interpretieren uneigentliche Integrale als Grenzwerte

sowohl von Beständen als auch von Flächeninhalten.

Messen:

Die SuS bestimmen Flächeninhalte unbegrenzter Flächen,

erläutern die Berechnung uneigentlicher Integrale.


Die SuS begründen die Volumenformel für Körper, die durch

Rotation um die x-Achse entstehen.

Messen:

Die SuS bestimmen Volumen von Körpern, die durch die

Rotation um die X-Achse entstehen.


Symbole zum Strukturieren von

Informationen, zum Modellieren und

Problemlösen.

Sie reflektieren deren Verwendung und

übersetzen zwischen symbolischer und

natürlicher Sprache.

PL: Die SuS variieren vorgegebene

mathematische Probleme und untersuchen die

Auswirkungen auf die Problemlösung

MM: Di SuS beschreiben Realsituationen und

Probleme durch das mathematische Modell

der Funktion.

Ko: Die SuS erläutern eigene

Problembearbeitungen mit eigenen Worten

und unter Verwendung geeigneter

Fachsprache.

1.5 Stetigkeit und

Differenzierbarkeit:

Stetigkeit (1.5.1)

Differenzierbarkeit (1.5.2)

Zusammenhang zwischen

Stetigkeit und

Differenzierbarkeit (1.5.3)


Die SuS kennen abschnittsweise definierte Funktionen.

Die SuS nutzen die Stetigkeit und Differenzierbarkeit zur

Analyse und Synthese von abschnittsweise definierten

Funktionen.

MD: Die SuS verwenden verschiedene

Darstellungsformen von Funktionen und

wechseln zwischen diesen.

Ko: Die SuS präsentieren Überlegungen,

Lösungswege und Ergebnisse und verstehen

die Überlegungen von anderen zu

mathematischen Inhalten, überprüfen diese

auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und

gehen darauf ein.

1.7 Krümmung von

Funktionsgraphen


Die SuS nutzen (neben Stetigkeit und Differenzierbarkeit) das

Krümmungsverhalten zur Analyse und Synthese

abschnittsweise definierter Funktionen.

Ko: Die SuS präsentieren Überlegungen,

Lösungswege und Ergebnisse und verstehen

die Überlegungen von anderen zu

mathematischen Inhalten, überprüfen diese

auf Schlüssigkeit und Vollständigkeit und

gehen darauf ein.

Modellierungen Anwendungsaufgaben

Documents

Schulinternes Curriculum Mathematik Klasse 11und 12 · 1.5 1.5.1 1.5.2 1.5.3 Verschiedene Verfahren der Anpassung von Funktionen an vorgegebene Bedingungen Trassierung selbst lernen