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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Schwingungen
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer
Universität Heidelberg
Proseminar Analysis
Leitung: PD Dr. Gudrun Thäter
Wintersemester 2008/2009, 09.12.2008
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
2 Die freie harmonische Schwingungohne Reibungmit Reibung
3 Die erzwungene harmonische Schwingung
4 Resonanz
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Einführung
De�nition
Eine Schwingung ist eine periodisch wiederkehrendeBewegung um einen Ruhepunkt.
Arten von harmonischen Schwingungen
frei oder erzwungen
gedämpft oder ungedämpft
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Einführung
De�nition
Eine Schwingung ist eine periodisch wiederkehrendeBewegung um einen Ruhepunkt.
Arten von harmonischen Schwingungen
frei oder erzwungen
gedämpft oder ungedämpft
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Einführung
Begri�sde�nitionen
Schwingungsdauer: T = t
n
Elongation = momentane Auslenkung zur Ruhelage
Amplitude = maximale Elongation
Frequenz [Hz]: f = n
t
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Einführung
Begri�sde�nitionen
Schwingungsdauer: T = t
n
Elongation = momentane Auslenkung zur Ruhelage
Amplitude = maximale Elongation
Frequenz [Hz]: f = n
t
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Einführung
Begri�sde�nitionen
Schwingungsdauer: T = t
n
Elongation = momentane Auslenkung zur Ruhelage
Amplitude = maximale Elongation
Frequenz [Hz]: f = n
t
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Einführung
Begri�sde�nitionen
Schwingungsdauer: T = t
n
Elongation = momentane Auslenkung zur Ruhelage
Amplitude = maximale Elongation
Frequenz [Hz]: f = n
t
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Problem: mathematische Darstellung des
Schwingungsvorgangs
Abb: [3], S.108 (veränderte Version)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Problem: mathematische Darstellung des
Schwingungsvorgangs
Applet: Federpendel - Kreisbewegung - SinusfunktionQuelle:http://www.schulphysik.de/java/physlet/applets/pendel2.html(9.12.08)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Das Zeit-Elongation-Gesetz
sin (ϕ) =x
A
⇔ x = A sin (ϕ)
⇒ x(t) = A sin (ωt)
Abb: [3], S.108 (veränderte Version)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Das Zeit-Elongation-Gesetz
sin (ϕ) =x
A
⇔ x = A sin (ϕ)
⇒ x(t) = A sin (ωt)
Abb: [3], S.108 (veränderte Version)
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Das Zeit-Elongation-Gesetz
sin (ϕ) =x
A
⇔ x = A sin (ϕ)
⇒ x(t) = A sin (ωt)
Abb: [3], S.108 (veränderte Version)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Das Zeit-Elongation-Gesetz
x(t) = A sin (ωt + ϕ0)
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: x(t) = v(t) = Aω cos (ωt + ϕ)
Zeit-Beschleunigung-Gesetz: x(t) = a(t) = −ω2A sin (ωt + ϕ)
= −ω2x(t)Abb: [3], S.108 (veränderte Version)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Das Zeit-Elongation-Gesetz
x(t) = A sin (ωt + ϕ0)
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: x(t) = v(t) = Aω cos (ωt + ϕ)
Zeit-Beschleunigung-Gesetz: x(t) = a(t) = −ω2A sin (ωt + ϕ)
= −ω2x(t)Abb: [3], S.108 (veränderte Version)
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Das Zeit-Elongation-Gesetz
x(t) = A sin (ωt + ϕ0)
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz: x(t) = v(t) = Aω cos (ωt + ϕ)
Zeit-Beschleunigung-Gesetz: x(t) = a(t) = −ω2A sin (ωt + ϕ)
= −ω2x(t)Abb: [3], S.108 (veränderte Version)
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Physikalische Betrachtungsweise
Kraftansatz:ma = −kx ⇔ mx = −kx
Lösung:
x(t) = c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt), mit ω =
√k
m
Zusammenführung:
c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt) = A sin (ωt + ϕ0)
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Physikalische Betrachtungsweise
Kraftansatz:ma = −kx ⇔ mx = −kx
Lösung:
x(t) = c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt), mit ω =
√k
m
Zusammenführung:
c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt) = A sin (ωt + ϕ0)
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Physikalische Betrachtungsweise
Kraftansatz:ma = −kx ⇔ mx = −kx
Lösung:
x(t) = c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt), mit ω =
√k
m
Zusammenführung:
c1 cos (ωt) + c2 sin (ωt) = A sin (ωt + ϕ0)
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Reibung
keine Reibung unrealistisch
bereits Luft erzeugt Reibung
Reibungskonstante r > 0
proportional zur Geschwindigkeit, also r x
mx = −kx − r x ⇔ mx + r x + kx = 0
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Reibung
keine Reibung unrealistisch
bereits Luft erzeugt Reibung
Reibungskonstante r > 0
proportional zur Geschwindigkeit, also r x
mx = −kx − r x ⇔ mx + r x + kx = 0
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�
Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante λ, sodass x = eλt
eine Lösung darstellt
x = λeλt und x = λ2eλt
mx + r x + kx = 0 ⇒ mλ2eλt + rλeλt + keλt = 0
⇒ mλ2 + rλ+ k = 0
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�
Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante λ, sodass x = eλt
eine Lösung darstellt
x = λeλt und x = λ2eλt
mx + r x + kx = 0 ⇒ mλ2eλt + rλeλt + keλt = 0
⇒ mλ2 + rλ+ k = 0
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�
Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante λ, sodass x = eλt
eine Lösung darstellt
x = λeλt und x = λ2eλt
mx + r x + kx = 0 ⇒ mλ2eλt + rλeλt + keλt = 0
⇒ mλ2 + rλ+ k = 0
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�
Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante λ, sodass x = eλt
eine Lösung darstellt
x = λeλt und x = λ2eλt
mx + r x + kx = 0 ⇒ mλ2eλt + rλeλt + keλt = 0
⇒ mλ2 + rλ+ k = 0
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
Also:
λ1 = − r
2m+
1
2m
√r2 − 4mk , λ2 = − r
2m− 1
2m
√r2 − 4mk
⇒ x1 = eλ1t und x2 = eλ2t sind zwei spezielle Lösungen
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
λ1 = − r
2m+ 1
2m
√r2 − 4mk , λ2 = − r
2m− 1
2m
√r2 − 4mk
1. Fall: r2 − 4mk > 0
Lösung: x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
2. Fall: r2 − 4mk = 0
Lösung: x(t) = c1e− r
2mt + c2te
− r
2mt
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
λ1 = − r
2m+ 1
2m
√r2 − 4mk , λ2 = − r
2m− 1
2m
√r2 − 4mk
1. Fall: r2 − 4mk > 0
Lösung: x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
2. Fall: r2 − 4mk = 0
Lösung: x(t) = c1e− r
2mt + c2te
− r
2mt
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
λ1 = − r
2m+ 1
2m
√r2 − 4mk , λ2 = − r
2m− 1
2m
√r2 − 4mk
1. Fall: r2 − 4mk > 0
Lösung: x(t) = c1eλ1t + c2e
λ2t
2. Fall: r2 − 4mk = 0
Lösung: x(t) = c1e− r
2mt + c2te
− r
2mt
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
λ1 = − r
2m+ 1
2m
√r2 −mk , λ2 = − r
2m− 1
2m
√r2 −mk
3. Fall: r2 − 4mk < 0
wegen negativer Diskriminante komplexe Lösung
es existiert ein γ in R sodass gilt:
r2 − 4mk = −4m2γ2
(⇔ γ =
√k
m− r2
4m2
)
Es ist also: λ1 = − r
2m+ iγ und λ2 = − r
2m− iγ
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
λ1 = − r
2m+ 1
2m
√r2 −mk , λ2 = − r
2m− 1
2m
√r2 −mk
3. Fall: r2 − 4mk < 0
wegen negativer Diskriminante komplexe Lösung
es existiert ein γ in R sodass gilt:
r2 − 4mk = −4m2γ2
(⇔ γ =
√k
m− r2
4m2
)
Es ist also: λ1 = − r
2m+ iγ und λ2 = − r
2m− iγ
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
λ1 = − r
2m+ 1
2m
√r2 −mk , λ2 = − r
2m− 1
2m
√r2 −mk
3. Fall: r2 − 4mk < 0
wegen negativer Diskriminante komplexe Lösung
es existiert ein γ in R sodass gilt:
r2 − 4mk = −4m2γ2
(⇔ γ =
√k
m− r2
4m2
)
Es ist also: λ1 = − r
2m+ iγ und λ2 = − r
2m− iγ
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ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
3. Fall: r2 − 4mk < 0Lösung:
x(t) = (c1 cos (γt) + c2 sin (γt))e−r
2m t
⇔ x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r
2m t
Insbesondere gilt für r = 0:
γ =
√k
m− 0
4m2= ω und e−
02m t = 1
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Lösung der homogenen DGL: mx + r x + kx = 0
3. Fall: r2 − 4mk < 0Lösung:
x(t) = (c1 cos (γt) + c2 sin (γt))e−r
2m t
⇔ x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r
2m t
Insbesondere gilt für r = 0:
γ =
√k
m− 0
4m2= ω und e−
02m t = 1
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Physikalische Interpretation
x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r
2m t
stellt eine gedämpfteharmonische Schwingung dar
Amplitude klingtexponentiell ab
Geschwindigkeit derAbnahme abhängig vomDämpfungsfaktor r
2m
Abb: http://mhf-e.desy.de/sites/site_mhf-e/content/e638/e1229/source1232/
abklingendeSchwingung.png?preview=preview (30.11.08)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
ohne Reibungmit Reibung
Physikalische Interpretation
x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r
2m t
stellt eine gedämpfteharmonische Schwingung dar
Amplitude klingtexponentiell ab
Geschwindigkeit derAbnahme abhängig vomDämpfungsfaktor r
2m
Abb: http://mhf-e.desy.de/sites/site_mhf-e/content/e638/e1229/source1232/
abklingendeSchwingung.png?preview=preview (30.11.08)
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ohne Reibungmit Reibung
Physikalische Interpretation
x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r
2m t
stellt eine gedämpfteharmonische Schwingung dar
Amplitude klingtexponentiell ab
Geschwindigkeit derAbnahme abhängig vomDämpfungsfaktor r
2m
Abb: http://mhf-e.desy.de/sites/site_mhf-e/content/e638/e1229/source1232/
abklingendeSchwingung.png?preview=preview (30.11.08)
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ohne Reibungmit Reibung
Physikalische Interpretation
x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r
2m t
stellt eine gedämpfteharmonische Schwingung dar
Amplitude klingtexponentiell ab
Geschwindigkeit derAbnahme abhängig vomDämpfungsfaktor r
2m
Abb: http://mhf-e.desy.de/sites/site_mhf-e/content/e638/e1229/source1232/
abklingendeSchwingung.png?preview=preview (30.11.08)
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ohne Reibungmit Reibung
Physikalische Interpretation
x(t) = A sin(γt + ϕ0)e− r
2m t
stellt eine gedämpfteharmonische Schwingung dar
Amplitude klingtexponentiell ab
Geschwindigkeit derAbnahme abhängig vomDämpfungsfaktor r
2m
Abb: http://mhf-e.desy.de/sites/site_mhf-e/content/e638/e1229/source1232/
abklingendeSchwingung.png?preview=preview (30.11.08)
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Die erzwungene harmonische Schwingung
Voraussetzen der Einwirkung einer äuÿeren Kraft f (t) 6= 0
mx = −r x − kx + f (t) ⇔ mx + r x + kx = f (t)
Abb: [3], S.119
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Vorbemerkungen zur Lösung einer unhomogenen DGL
Addiert man zu einer Lösung der unhomogenenDi�erentialgleichung alle Lösungen der homogenenDi�erentialgleichung, erhält man sämtliche Lösungen derunhomogenen.
Die Wirkung einer Kraft f (t) ist in derselben Weise wie dieKraft selbst zerlegbar.f (t) = f1(t) + f2(t) (Superpositionsprinzip)
x1(t) löst mx + r x + kx = f1(t)x2(t) löst mx + r x + kx = f2(t)
}x1(t) + x2(t) löst f (t)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Vorbemerkungen zur Lösung einer unhomogenen DGL
Addiert man zu einer Lösung der unhomogenenDi�erentialgleichung alle Lösungen der homogenenDi�erentialgleichung, erhält man sämtliche Lösungen derunhomogenen.
Die Wirkung einer Kraft f (t) ist in derselben Weise wie dieKraft selbst zerlegbar.f (t) = f1(t) + f2(t) (Superpositionsprinzip)
x1(t) löst mx + r x + kx = f1(t)x2(t) löst mx + r x + kx = f2(t)
}x1(t) + x2(t) löst f (t)
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Vorbemerkungen zur Lösung der unhomogenen DGL
Annahme der äuÿeren Kraft als a) Kosinus- oderb) Sinusschwingung, also in der Form a cosωt oder b sinωt
⇒ f (t) = ce iωt
Also gilt zu lösen:mx + r x + kx = ce iωt
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Vorbemerkungen zur Lösung der unhomogenen DGL
Annahme der äuÿeren Kraft als a) Kosinus- oderb) Sinusschwingung, also in der Form a cosωt oder b sinωt
⇒ f (t) = ce iωt
Also gilt zu lösen:mx + r x + kx = ce iωt
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Vorbemerkungen zur Lösung der unhomogenen DGL
Annahme der äuÿeren Kraft als a) Kosinus- oderb) Sinusschwingung, also in der Form a cosωt oder b sinωt
⇒ f (t) = ce iωt
Also gilt zu lösen:mx + r x + kx = ce iωt
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Lösung der unhomogenen DGL: mx + r x + kx = ceiωt
gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�
Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante σ, sodassx = σe iωt eine Lösung darstellt
x = iωσe iωt x = −ω2σe iωt
⇒ −mω2σ + irωσ + kσ = c
⇔ σ =c
−mω2 + irω + k
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Lösung der unhomogenen DGL: mx + r x + kx = ceiωt
gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�
Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante σ, sodassx = σe iωt eine Lösung darstellt
x = iωσe iωt x = −ω2σe iωt
⇒ −mω2σ + irωσ + kσ = c
⇔ σ =c
−mω2 + irω + k
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Lösung der unhomogenen DGL: mx + r x + kx = ceiωt
gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�
Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante σ, sodassx = σe iωt eine Lösung darstellt
x = iωσe iωt x = −ω2σe iωt
⇒ −mω2σ + irωσ + kσ = c
⇔ σ =c
−mω2 + irω + k
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Lösung der unhomogenen DGL: mx + r x + kx = ceiωt
gesucht: Lösung in Form einer Funktion, deren Ableitung sichselbst �entspricht�
Lösungsansatz: Bestimmen einer Konstante σ, sodassx = σe iωt eine Lösung darstellt
x = iωσe iωt x = −ω2σe iωt
⇒ −mω2σ + irωσ + kσ = c
⇔ σ =c
−mω2 + irω + k
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Lösung der unhomogenen DGL: mx + r x + kx = ceiωt
a) cα cos(ωt + ϕ1) ist Lösung von mx + r x + kx = c cosωt
b) cα sin(ωt + ϕ1) ist Lösung von mx + r x + kx = c sinωt
⇒ Die Wirkung ist eine Funktion derselben Art wie die von auÿeneinwirkende Kraft, eine ungedämpfte Schwingung.
Allgemeine Lösung:
a) x(t) = cα cos(ωt + ϕ1) + A sin(γt + ϕ0)e− r
2m
b) x(t) = cα sin(ωt + ϕ1) + A sin(γt + ϕ0)e− r
2m
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Lösung der unhomogenen DGL: mx + r x + kx = ceiωt
a) cα cos(ωt + ϕ1) ist Lösung von mx + r x + kx = c cosωt
b) cα sin(ωt + ϕ1) ist Lösung von mx + r x + kx = c sinωt
⇒ Die Wirkung ist eine Funktion derselben Art wie die von auÿeneinwirkende Kraft, eine ungedämpfte Schwingung.
Allgemeine Lösung:
a) x(t) = cα cos(ωt + ϕ1) + A sin(γt + ϕ0)e− r
2m
b) x(t) = cα sin(ωt + ϕ1) + A sin(γt + ϕ0)e− r
2m
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Lösung der unhomogenen DGL: mx + r x + kx = ceiωt
a) cα cos(ωt + ϕ1) ist Lösung von mx + r x + kx = c cosωt
b) cα sin(ωt + ϕ1) ist Lösung von mx + r x + kx = c sinωt
⇒ Die Wirkung ist eine Funktion derselben Art wie die von auÿeneinwirkende Kraft, eine ungedämpfte Schwingung.
Allgemeine Lösung:
a) x(t) = cα cos(ωt + ϕ1) + A sin(γt + ϕ0)e− r
2m
b) x(t) = cα sin(ωt + ϕ1) + A sin(γt + ϕ0)e− r
2m
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanz
die äuÿere Kraft kann mit verschiedenen Frequenzen einwirken
Betrachtung des Verzerrungsfaktors α in Abhängigkeit von derErregerfrequenz ω > 0
α = ψ(ω) =1√
(k −mω2)2 + r2ω2
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanz
die äuÿere Kraft kann mit verschiedenen Frequenzen einwirken
Betrachtung des Verzerrungsfaktors α in Abhängigkeit von derErregerfrequenz ω > 0
α = ψ(ω) =1√
(k −mω2)2 + r2ω2
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanzkurve ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2
maximaler Verzerrungsfaktor α bei:
ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)
2√
((k −mω2)2 + r2ω2)3!= 0
⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0
⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0
⇔ ω1 =
√k
m− r2
2m2
ω1 heiÿt Resonanzfrequenz
Resonanz falls: Erregerfrequenz (ω) ≈ Eigenfrequenz (γ)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanzkurve ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2
maximaler Verzerrungsfaktor α bei:
ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)
2√
((k −mω2)2 + r2ω2)3!= 0
⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0
⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0
⇔ ω1 =
√k
m− r2
2m2
ω1 heiÿt Resonanzfrequenz
Resonanz falls: Erregerfrequenz (ω) ≈ Eigenfrequenz (γ)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanzkurve ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2
maximaler Verzerrungsfaktor α bei:
ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)
2√
((k −mω2)2 + r2ω2)3!= 0
⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0
⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0
⇔ ω1 =
√k
m− r2
2m2
ω1 heiÿt Resonanzfrequenz
Resonanz falls: Erregerfrequenz (ω) ≈ Eigenfrequenz (γ)
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EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanzkurve ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2
maximaler Verzerrungsfaktor α bei:
ψ′(ω) =−(−4mω(k −mω2) + 2r2ω)
2√
((k −mω2)2 + r2ω2)3!= 0
⇒ (−4mω1(k −mω21) + 2r2ω1) = 0
⇔ −4kmω1 + 4m2ω31 + 2r2ω1 = 0 | ω1 > 0
⇔ ω1 =
√k
m− r2
2m2
ω1 heiÿt Resonanzfrequenz
Resonanz falls: Erregerfrequenz (ω) ≈ Eigenfrequenz (γ)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanzkatastrophe ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2
maximaler Verzerrungsfaktor bei
αmax = ψ(ω1) =1
r
√k
m− r2
4m2
für r → 0 strebt α gegen unendlich
⇒ Resonanzkatastrophe
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanzkatastrophe ψ(ω) = 1√(k−mω2)2+r2ω2
maximaler Verzerrungsfaktor bei
αmax = ψ(ω1) =1
r
√k
m− r2
4m2
für r → 0 strebt α gegen unendlich
⇒ Resonanzkatastrophe
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Resonanzkurven für m = 1, k = 1
Abb: [1], S.438 (veränderte Version)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Beispiele
Schaukel
Glas
Tacoma-Brücke
Abb: http://www.physik-highlights-2004.de/download/exponate/WM_Glas_ zersingen_1_3.pdf
(30.11.08)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Beispiele
Schaukel
Glas
Tacoma-Brücke
Abb: http://www.physik-highlights-2004.de/download/exponate/WM_Glas_ zersingen_1_3.pdf
(30.11.08)
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Beispiele
Schaukel
Glas
Tacoma-Brücke
Abb: http://www.physik-highlights-2004.de/download/exponate/WM_Glas_ zersingen_1_3.pdf
(30.11.08)
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Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
Quellenangaben
[1] Courant, Richard: Vorlesungen über Di�erentialund Integralrechnung 1,Springer Verlag, Berlin -
Heidelberg - New York, 4.Au�age, 1971.
[2] Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1,Teubner Verlag, Wiesbaden, 16. Au�age, 2006.
[3] Grehn, Joachim & Krause, Joachim (Hrsg.):Metzler Physik, Schroedel Verlag, Hannover, 3.Au�age, 2004.
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen
EinführungDie freie harmonische Schwingung
Die erzwungene harmonische SchwingungResonanz
...Frohe Weihnachten!
Vielen Dank für EureAufmerksamkeit!
Antonia Blachnik und Jörg Laubersheimer Schwingungen