9. Periodische Bewegungen

9. Periodische Bewegungen

9.1 Schwingungen9.1.1 Harmonische Schwingung9.1.2 Schwingungsenergie9.1.3 Gedämpfte Schwingung9.1.4 Erzwungene Schwingung

8.1 Schwingungen

Inhalt

9. Periodische Bewegungen

9. Periodische Bewegungen

SchwingungZustand y wiederholt sich in bestimmten ZeitabständenMit Schwingungsdauer (Periode, Periodendauer) T

WelleSchwingung breitet sich im Raum ausZustand y wiederholt sich in Raum und Zeit

Raumperiode = Wellenlänge λZeitperiode = Schwingungsdauer T

9.1 Schwingungen

9.1 Schwingungen

Ebene Welle

9. Periodische Bewegungen

BeispieleSchwingung eines PendelsSchwingung eines QuarzkristallsSchwingung elektrischer LadungenSchallwellen (Schwingung von Luftmolekülen)Elektromagnetische Wellen (Schwingung elektromagnetischer Felder)

9.1 Schwingungen

Man unterscheidet:

Harmonische Schwingung (z.B. freie Schwingung)

Gedämpfte Schwingung (z.B. durch Reibung)Erzwungene Schwingung (durch äußere Kraft)

9.1 Schwingungen

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

Es gilt:- Jedes Objekt ist schwingungsfähig.- Harmonische Schwingung bei Auslenkung aus

stabilem Gleichgewicht

1. Es wirkt Kraft immer in Richtung Gleichgewichtslage= Rückstellkraft

2. Es wirkt Trägheitdes Systems.

Harmonische Schwingung ist bestimmt durch zwei Größen:

9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

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9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

Man definiert: (Eigen-)Frequenz f = Schwingungen pro s

Schwingungsdauer T = zeitliche PeriodeMan definiert:

Man definiert: Amplitude A = maximale Auslenkung/Wert von x(t)

Amplitude

x(t) = A cos (ωt + δ)Mögliche Beschreibung:

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Beispiel Federschwingung

Kraft der Feder: F = - kx k: FederkonstanteEs gilt: - Kraft ist proportional zur Auslenkung (Elongation).- Kraft ruft nach Newton II Beschleunigung hervor:

9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

Lösung der Dgl:

Es gilt allgemein: Jede harmonische Schwingung lässt sich durch Dgl. beschreiben:

9. Periodische Bewegungen

Frage: Welche Bedeutung hat ω (Eigenfrequenz)?Antwort: ω = Kreisfrequenz Ja was denn

nun ?????

Es gilt: Zusammenhang mit Schwingungsdauer T

Ach so!!!

Beweis: Es gilt:

Man definiert: Frequenz f

9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

ω = 2 πf

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Allgemein gilt:

Mit (1) und (2) gilt:

Für Amplitude gilt: Ja ?

9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

(1)

Amplitude A und Phasenverschiebung δ werden durch Anfangsbedingungen gegeben:

(2)

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Beispiel Mathematisches Pendel (masseloser Faden mit Punktmasse)

Es wirkt Kraft F auf Masse m

Nach 2. Newtonschen Gesetz gilt:

a = f(θ) = ?

θ (t) = ?a (t) = ?

9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

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Aufgabe: a = f(θ) = ...???

9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

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Frage: Beschreibt harmonische Schwingung ?

Der Vergleich mit liefert

Eigenfrequenz des Oszillators Oder Schwingungs-

dauer

Somit lautet Lösungder Schwingungs-gleichung

Nein !!! Aber für kleine Winkel θ gilt:

9.1.1 Harmonische Schwingung

9.1.1 Harmonische Schwingung

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Fragen:

Ist

Ist T unabhängig vom Bezugssystem?

allgemeine Lösung von ?

Ist T unabhängig vom Koordinatensystem?

Ist T unabhängig von der Temperatur?

9.1.2 Schwingungsenergie

9.1.1 Harmonische Schwingung

Ist T unabhängig von Amplitude?

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9.1.2 Schwingungsenergie (harmonisch)

Beispiel: Federschwingung

Für harmonische Schwingung gilt:

Für kinetische Energie gilt:

Für potentielle Energie gilt:

Für Gesamtenergie gilt:

9.1.2 Schwingungsenergie

9.1.3 Gedämpfte Schwingung

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9.1.3 Gedämpfte Schwingung

Es gilt:

r: Reibungskoeffizient

k: Federkonstante

Bewegungsgleichung

allgemein

9.1.3 Gedämpfte Schwingung

9.1.3 Gedämpfte Schwingung

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Lösung der Bewegungsgleichung:

Man unterscheidet 3 Fälle:

3. Aperiodischer Grenzfall

1. Schwingfall (schwache Dämpfung)

0

2. Kriechfall (starke Dämpfung)

0 0

9.1.3 Gedämpfte Schwingung

9.1.3 Gedämpfte Schwingung

9. Periodische Bewegungen 9.1.3 Gedämpfte Schwingung

9.1.4 Erzwungene Schwingung

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8.1.4 Erzwungene Schwingung

Bewegungsgleichung:

Lösung:

Mit:

9.1.4 Erzwungene Schwingung

9.1.4 Erzwungene Schwingung