TECHNISCHE MECHANIK 4 (1983)Heft2

Manuskripteingang: 22. 7. 1982

Schwingungen und Stabilität einiger medianischer Systeme mit

einer Totzeit im Steuersystem

Sergej Komarow

l. Einleitung

In den letzten Jahren findet die automatische Regelung

bei Antrieben eine große Anwendung, z. B. bei Kränen,

Industrierobotern oder vielen anderen Systemen und Ma-

schinen. Einfach gesagt, ein Regelsystem reguliert die

Bewegung eines mechanischen Systems, z. B. bekommt

ein Steuersystem ein Signal von dem Geschwindigkeits-

meßgeber und steuert die Energiezufuhr in das Antriebs-

system. Für den elektrischen Antrieb kann das System

den Strom oder die Spannung regulieren, fiir den hydrau-

lischen Antrieb- den Druck oder Flüssigkeitsverbrauch

usw.

Man hat gemerkt, daß jedes Steuersystem eine bestimm-

te Verspätung der Steuergröße aufweist. Diese Verspä-

tung bedeutet das Folgende: das Steuersystem reagiert

auf eine Signaländerung nicht sofort, sondern nach einer

gewissen Zeit, die Totzeit genannt wird. In dem hydrau-

lischen Antrieb wird die Totzeit durch die Trägheit der

mechanischen Elemente und durch die begrenzte Ge—

schwindigkeit der Druckausbreitung in der Flüssigkeit

bedingt.

Wenn eine Totzeit viel kleiner als die Periodendauer der

Eigenschwingungen ist, kann man sie außer Betracht

lassen. Hier wird die Aufgabe formuliert, den Einflufs

der Totzeit des Steuersystems auf die Schwingungen

und die Stabilität des einfachen mechanischen Antriebs-

systems durch eine analytische Lösung zu bestimmen.

2. Betrachten wir den einfachsten Fall — ein me-

chanisches Antriebssystem mit zwei Freiheits-

graden (Bild l)

Dabei bedeuten

1112 — reduzierte Massenträgheitsmomente;

c — Drehfederkonstante;

Ma —— Drehmoment des Antriebsmotors;

M —— Moment äußerer Kräfte;C

491 ‚4p2 »— Winkelkoordinaten;

Bild l:

Berechnungsmodell des geregelten Antriebssysteme

58

Falls die Drehzahl-Drehmomentenkennlinie des An-

triebsmotors linear ist, dann kann man die folgenden

Differentialgleichungen für die Bewegung des Systems

zusammensetzen:

I1‘51 + C(‘Pl "902): ‘Mc

.. 1 _ _

I2‘P2+C(802_‘P1):M0l1* w ¢2(t—T)]‘Ma (1)

max

w ist die größte Winkelgeschwindigkeit, die dasm 3X

Steuersystem regulieren kann. Wenn die Winkelgeschwin-

digkeit n52 des Antriebs gleich Null ist, dann ist das An-

triebsmoment Ma am größten und gleich M0.

T ist die Totzeit oder die Verspätung. Wenn T gleich

Null ist, bekommt man die bekannte Lösung (z. B.

[11).q5 (ter) ist die sogenannte Funktion des nacheilenden

Arguments, und man nennt diese Gleichung eine Diffe-

rentialgleichung mit nacheilcndem Argument.

Die Lösung wird für die einfachsten Anfangsbedingun-

gen und Anfangsfunktionen gesucht. Sie haben keinen

Einfluß auf die Stabilität und die Schwingungsfrequen-

zen.

Mc _ . .

m0): —C; w(0):0; w2(t>=0: sage) =o;

t E (— 1', 0)

Es gibt einige Wege, wie man die Gleichungen (l) lösen

kann ([2], Wenden wir die Laplace-Transformation

an, so ergibt sich für die Laplace—Transformierte des An-

triebsmoments

~ M —M MMl(p)= ( 0 9° +4.

Me'pT2 2

12 mp? +K,> + fi—(pz +K >1I w 22 max

(2)

wobei Ml = c(<p1 —«,02) die dynamische Belastung in der

Antriebswelle ist, Ä

p — komplexe Veränderliche;

‚ c I +I

K: = —(ILI——2—) — Eigenkreisfrequenz des Zweimas-

1 2 sensystems;

— Eigenkreisfrequenz des Systems,

1 falls der Antrieb gebremst wird;

MU) l

2(M0 —Mc) c

Zur Abkürzung wird eingeführt:

‚M _p,

Q(p) = M2 + Ki) + (p2 + Ki) (3)2 max

Um die Zeitfunktion M1 (t) zu finden, wenden wir die

Laplace-Rücktransformationen an:

00 +äoo

j Mama.)‚'0000 l

M1“) = (4)211i

Um das Integral (4) zu berechnen, muß man die Pole

der Funktion M1 (p) wissen. Die Pole dieser Funktion

sind Wurzeln des Quasipolynoms Q(p)

Das Quasipolynom hat eine unzählbare Menge von Wur-

zeln. Es wird angenommen, daß alle Wurzeln des Quasi—

polynoms die Bedingung Rep<00 erfüllen [3], [4].

Dann kann das Integral (4) mit Hilfe der Theorie der

komplexen Veränderlichen berechnet werden:

( —L c) c

M = R —————— ; . M1 (t) esl 12 e 1331+ C

wobei p. eine Wurzel des Quasipolynoms ist. Hat das

Quasipo ynom keine Doppelwurzeln, gibt es nur ein-

fache Pole der Funktion. Nach einigen Manipulationen

kann man schreiben:

(M —M )c p.t

M1<t>= ~‘lI—° P<pj>e1 + M...2 pj

wobei

2 2

I’(P) = Pj + K2

J (sz + K?) (p,2 + Kg) (1),” 1) + 2P,-2 (K3 -Kf)

(5)

(6)

Der interessanteste Fall ist, wenn alle Wurzeln konju-

gierte komplexe sind: [>25 = l'j i Sji

Dann sieht die Lösung (6) so aus:

12 pm

(7)

Das ist eine unendliche Reihe von gedämpften harmoni-

schen Schwingungen. Wird die Totzeit T verändert, dann

entstehen verschiedene Wurzeln des Quasipolynoms, bzw.

verschiedene Schwingungsformen. Es ist sehr schwer, per

Hand die Wurzeln des Quasipolynoms zu berechnen. Zu-

erst kann man sogenannte asymptotische Wurzeln [3]

finden, und dann mit Hilfe eines Iterationsprozesses die

Wurzeln berechnen.

Numerische Lösungen mit Hilfe von EDV lassen sich

verhältnismäßig leicht gewinnen.

Das Bild 2. zeigt einige Schwingungsvorgänge in dem

System für verschiedene Werte der Totzeit 'r.

Es ist möglich, daß die Amplitude der Schwingungen für

einen bestimmten Wert von ’r wächst, und das System

sich in ein instabiles System verwandelt. In diesem Fall

genügt es, dafi der Realteil einer einzigen Wurzel größer

als Null ist. Die Reihe (7) konvergiert sehr schnell, und

p.t

Z [Re P(pj) cos sjt —— Im P(pj) sin sjt] e J +M

H1 (f)

E“

ä C.s \ fl

l \/f\’\ ,N’-_\_ ’_/"‘-

Mt ‘ X „z

l

l

Zeit t

Bild 2:

Schwingungsprozeß bei unterschiedlichen Totzeiten

es genügt, nur 3 bis 4 Glieder zu berechnen, um die

Kurve des Belastungsablaufs zu ziehen. Trotzdem gibt

es die Möglichkeit, dalä das 6., 7. oder höhere Wurzel-

paar einen positiven Realteil hat. Deshalb muß man

mindestens zehn Wurzclpaare ermitteln.

Für die Stabilitätsuntersuchung des Systems. wird das

analytische Ponu'jagin-Kriterium angewendet. Das Kri-

terium erlaubt, die Stabilität ohne Kenntnis der Wur—

zeln zu bestimmen Dafür multiplizieren wir das

Quasipolynom mit ept und erhalten:

p3 epT+7p2 + pKf epT+ 1K: = 0, (3)

wobei

TM“

I2 wmax

Nach Pontrjagin (1. Theorem) lautet die notwendige

Bedingung der Stabilität, dafi ein Quasipolynom nur

ein einziges Glied einer höchsten Potenz haben soll. Die

Bedingung ist erfüllt.

Nach dem 2. Theorem befinden sich alle Wurzeln des

Quasipolynoms (8) links von der Imaginärachse, falls:

ds (w)

R(w) ' > 0, (9)

wobei R(w) und S(w) Real- und Imaginärteil des Quasi»

polynoms für einen reinen imaginären Wert sind.

p = iw:

R(w) = w(w2 _Kf) sian + 7m: we?)

S(w) = «MK; —w2) cosz.

Dabei sollen alle Wurzeln der Gleichung 8(a)) = O die

reellen Wurzeln sein und die Beziehung (9) erfüllen. Die

Wurzeln sind folgende:

wl = 0

“2,3 ‘ iK1

.1, _

wm+3= ; (m+0,5)„ m—1,2,...

Die Bedingung (9) für wl = 0 lautet 7 K: K: > 0 und ist

immer erfüllt. Für (02,3 gilt:

2 2

27Kf(K1 —K2) cos K17> o (10)

59

Weil K: > K: ist, bekommt man aus (10) die erste Bedingung der Stabilität: 1r(2n — 0,5) < K1 T <1r(2n + 0,5) (11)

Für die anderen Wurzeln erhält man:

[wm sinwm 1(0)?“ _Kf) _ 70,92 4(3)] (umman 1(0)?" —K§) > 0

Ist m eine gerade Zahl, ist sin wm 'r = 1 und wenn m ungerade ist, gilt sin (om T 2 —1. Damit folgt:

1T

_ (2n + 0,5) [172(2n + 0,5)2—K212] _T 1

—7[1r2(2n+0,5)2—K:1'2]>0;

1r 2 (12)T. (2n _o,5) [112 (2n —0,5)2—K112]+

+ vln2(2n_0,5)2_K§TZ] <0.

Mit den neuen dimensionslosen Kenngröfien

G=K1T 7 .. M0und = m —

1r n I K1

1

lauten die Bedingungen (12):

w2 max

_enoi’g — 462(2n+0‚5)—2n®(2n+0,5)2 +

+ (2n+0‚5)3 >o;

317935—492 (2n——0‚5)+2n6(2n——0,5)2 +

+ (2n~—0,5)3 <0; (13)

wobei2

g = K_2 = l .

2 I ’K1 l + .1—

I2

Gemäß den Bedingungen (13) kann man die Stabilitäts-

karte des Systems zeichnen.

Das Diagramm ist im Bild 3 zu sehen.

n=0,1,2,...

Das System ist stabil innerhalb der gestrichelten Gebie-

te. Aus dem Diagramm sieht man, daß die Stabilität des

Systems von allen Eigenparametern abhängt:

Federkonstante, Trägheitsmomente, Totzeit, Antriebs-

drehmoment usw.

Nun wird untersucht, wie das System auf eine harmoni—

sche Erregung reagiert. Das Moment der äußeren Kräfte

Mc möge sich nach dem Sinusgesetz harmonisch verän-

dem:

Ilqß'l +c(tp1 —¢2) = —Mc sin M

l (14)

12‘52+C(¢2“¢1):M0[1‘ w 9520—7”-

max

Die Anfangsbedingungen lauten:

m0): 0; ¢1(0)= 0;

' t6 (— 7,0) .

$2“) = 0; ¢2(0)= 0;

Die Differentialgleichungen (l4) wurden auch mit Hilfe

der Laplace-Transformation gelöst:

_ MCC MC-pT MC 2 2

l 00+I°°—(p+I w )+l—(p “U

M (t) : _ f l 2 max 2 ept

1 ( 2 +

004w p P)

Mit der Theorie einer komplexen Veränderlichen ergibt

sich:

2c _ r.t

M1 (t) = q Mc Z [Re PÄ(pj) cossj t— Im PÄ(pj) srn sj t] e J

P2j

2 2 2 2+ [A (K1-—J\ )+72(K2_>\2)_(Kf+K§_2A2)Msinmsinmng_Kf)cosxrcosxt

2 2 2 2 2 (15)

Ä (Kl —>\ ) + 72(K2 —7\2)2 — 2M<Kf 42) (K: 42) sin Ä'r

Mo

7: hum—K‘

l 2

‘E

E

ä’

2;; 1ä

0

Bild 3:

__ Mager-e m" Stabilititskarte des Systems

60

wobei M0 (112+ K2) _ K2 Äpj

——. J 2 2 2 2

M P- + Ä

P «0- ° JÄ j S 2 2 2 2 2 2 2

und

pj = rj i sii ein konjugiertes komplexes Wurzelpaar des

Quasipolynoms 3) ist.

Beziehung (15) ist die allgemeine Lösung der Gleichun-

gen (l4). Sie besteht aus zwei Teilen. Der erste Teil be-

schreibt die Eigenschwingungen, die uns schon bekannt

sind. Der zweite Teil beschreibt die erzwungenen

Schwingungen mit der Erregerkreisfrequenz Ä. Ist der

Nenner gleich Null, ergibt sich die Resonanz. Die

Existenzbedingungen einer Resonanz lauten:

1T

1. x: —(2n+0,5), n=0,1,2,...T

(16)

2. x3_>\27_fo+yK§ :0

Falls Ä gleich ‘y ist, entsteht eine Tilgung, weil eine Am-

plitude der erzwungenen Schwingungen gleich Null ist.

Sind die beiden Bedingungen gleichzeitig erfüllt, dann ist

die Amplitude unendlich groß. Das ist die starke Reso-

nanz. Erfiillt Ä nur eine Bedingung oder beide Bedin-

gungen ungefähr, dann ergibt sich eine schwache Reso-

nanz. lm Prinzip hat das System eine Menge von schwa-

chen Resonanzen. Je größer 7 ist, desto weiter von einer

Eigenfrequenz existiert die Resonanz, und dann hängt

sie nur von 'y und von der Totzeit 'r ab.

Bild 4 zeigt einige Resonanzkurven (Vergrößerungsfunk.

tionen), die durch den Plotter des Tischrechners „Hew-

lett-Packard” gezeichnet wurden.

[ggf-f l

4-

relative

Torsmnsmomeni-Ampliiude-

A»

W!

I

—— bezogene Erregerkreisfrequenz

Bild 4:

Resonanzkurven bei speziellen Parameterwerten

° 1' 2' 3 i

1

3. Zusammenfassung

l. Eine Totzeit in einem Steuersystem hat großen Ein-

fluß auf alle dynamischen Eigenschaften des mecha-

nischen Systems.

2. Das System mit Totzeit kann seine Stabilität leicht

verlieren. Wenn man einen beliebigen Parameter des

Systems verändert, dann kann das System von einem

stabilen in einen instabilen übergehen.

3. Eine Resonanz in solchen Systemen ist sowohl von

allen mechanischen Parametern (Federkonstante,

Trägheitsmomente) als auch von den Steuersystem-

parametem (Totzeit 'r, Geschwindigkeit wmax und

Faktor des Antriebsmoments M0) und sie

kann weit von der Eigenfrequenz existieren.

LITERATUR

[l] Holzweißig, F., H. Dresig: Lehrbuch der Masehinendyna-

mik. Leipzig: VEB Fachbuchverlag, 1979.

[2] Ditkin, V.A., A.P. Prudnikov: Operazionnoje iscislenije.

Moskau: Nauka—Verlag, 1975.

[3] Myskis, A.D.: Lineinye differenzialnye uravnenija s sapas—

davajuscim argumentom. Moskau: Nauka-Verlag, 1972.

[4] Elsgolz,L.E.: Vvedeniie v teoriju differenzialnych urav-

nenij s otklonjajuscimsja argumentom. Moskau: Nauka-

Verlag, 1971.

[5] Gorecki, M.: Analyza i Synteza system z opozneniem

(Übersetzung aus dem poln.) Moskau: Verlag Masinostroe-

nije, 1974.

Anschrift des Verfassers:

Bin-Ing. S.M. Komarow

Ukrainisches Polygrafisches Institut

„I. Fedorow"

Lehrstuhl Detali masin

290006 Lwow—6

Ul. Podvalnaja 17

relativebrsionsrmmem

-Amplitude——

L»

4.

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K1

—’ bezogene Erregerkreisfrequenz

61