TECHNISCHE MECHANIK 7(1986)Heft3

Manuskripteingang: 16. 7. 1985

Zur Stabilität starr ummantelter Ringe und Kreiszylinderschalen

unter radialem Außendruck

Hans Gläser

Einleitung

Die Kenntnis der kritischen Beullasten ummantelter Rin-

ge und Kreiszylinderschalen ist z. B. für die Verlegung

dünnwandiger Rohre in geologischen Medien im Kraft-

werksanlagenbau, für die Auskleidung von Schächten

aber auch für Dichtheitsprüfungen geschweißter Innen-

auskleidungen im chemischen Apparatebau bedeutungs-

voll. In] vorliegenden Beitrag sollen die numerischen Er-

gebnisse aus Untersuchungen, die rein elastisches Ma-

terialverhalten der kritischen Beullastermittlung zugrun-

de legen mit denen, die die Fließspannung hierbei be—

rücksichtigen, auf ihre praktische Verwendung, speziell

zur Bestimmung des zulässigen Diehtheitsprüfdruckes ge-

schweißter Innenauskleidungen, abgeschätzt werden.

Dabei wird nach einer umfangreicheren Recherche ein-

schlägiger Beiträge im wesentlichen auf die Untersuchun-

gen von H. Hain und S. Jacobsen [2] Bezug genom-

men.

l. Zur Stabilität des gebetteten elastischen Kreis—

ringes unter radialem Außendruck

Die klassische Stabilitätstheorie geht von der Vernach-

lässigung der Verformung des Grundzustandes und der

Linearität der Beziehungen zwischen den beim Ausbeu-

len zusätzlich auftretenden Verformungen und Schnitt-

kräften aus.

Die äußeren Kräfte (konstanter. radialer Außendruck)

wirken normalentrcu.

Im Kontaktbereich der Beulfigur mit der l.’mgebung

wird in [l] für die radialen Bettungskräfte näherungswei-

>P die Gültigkeit des Winklersclien Gesetzes p Z —c t w

angenommen. Die starre l7mnlanldnng ergibt sich als

Sonderfall.

Tangential wirkende Bettungskräfte werden vernachläs-

sigt. Dies soll auch näherungsweise für den Fall der star-

ren Ummantelung vorausgesetzt werden, denn die vor

allem beim einwelligen Beulen mit der Umfangsstau—

chung des Ringes verbundenen Schubkräfte zwischen

Ring und Ummantelung wirken stabilisierend.

Die Differentialgleichungen für das Knickproblem des

elastisch gebetteten Kreisringes werden bei Berücksich-

tigung einer möglichen Umfangsdehnung der Ringmittel-

fläche aus dem Potential der Kreiszylinderschale durch

den Grenzübergang zum ebenen Dcformationszustand

gewonnen. Für den Kontaktbereich gilt:

l'} ' l1 V _ 2

w—flr— v — w)

(l — V3)r ( W

+_

52w Z f [*pW" *Wz) +_ä "a

28

E . h2} _ .— 9m

*6“.—(W w- w )- +r.c.w2

]dw

12(1__V2) l.3 ‚W

(1)

Die zugehörigen Eulerschen Differentialgleichungen hei-

fsen

_ A E . h f A x

p W + w) + *‘WM (W — v „)( .w (l _ V2) r W

E ' h3 i. ‘ q i g _ g

1.3 (“ppr “WWW + W) — r C W A 0

WAD — VW Z 0 (2)

bzw. zusammengefaßt zu einer Differentialgleichung für

die radiale Verschiebung

WSW + (2+ ammo + (1+a+b)w„p = 0

vsz-dwcoawcl (3)

Beim Stabilitätsproblem der starr ummantelten Ausklei-

dung interessieren speziell die Differentialgleichung und

deren Lösung für den nicht gebetteten Bereich. Diese fol-

gen aus dem Integral von (2) und Streichung der mit c

behafteten Glieder zu

w = Cl + C2 ' cosz + C3 ' sinÄcp

+ (I4 ' costp + C5 ' sintp

1+ a

v I C +1+~*—

° ( 12'r2/h2) C1 ' «P (4)

+ C2 ' sinÄxp ~ %C3 ' (:0sz

l

Ä

+ C4 ' simp + (IS - cossp

Die überstrichenen Gröfsen beziehen sich auf den Kon-

taktbereich bzw. elastisch gebetteten Bereich7 die nicht

überstrichenen auf den nicht gebetteten.

sp , g? : Winkelkoordinate _

a , 07 z halber Öffnungswinkel des nicht bzw. ge-

betteten Bereiches

w, W : radiale Verschiebung des Kreisringes

v, V : tangentiale Verschiebung des Kreisringes

Ä = V 1 + a

. 3_ p r r

E - 1* )

1* : ‚_L12(1 — V2)

Bild l

a) niclirwrlligcs Beulen

b) I‘inwclligcs Beulen

Der Kreisring mit starrer Ummantelung zeigt bei Insta—

bilität zwei mögliche Beulformen:

rotatirinssymmetrisches oder mehrwelliges Beulen

b) asymmetrisches oder einwelliges Beulen.

zu a) mehrwelliges Beulen

Es sind die l„ösungen für den nicht gebetteten Bereich

(4) maßgebend. Die lntegrationskonstanten (10 ‚.‚Cs

werden aus den folgenden Symmetrie- und Randbedin-

gungen bestimmt.

szo) : 0’ ‘V,w(w=0> : 0’ quzm Z 0’

(6)

V(xp=ia) : 0» “’,¢(¢:ia) = 0, wann)

Damit erhält man aus (4) die Beulbedingung zu

1+ a .

1 + ——~—— a(cos7\a' sina — Ä - srnÄa ' cosa) +

( l2'r2/h2)

+ (Ä —%) sinÄcx ' sinoz = 0 (7)

zu b) ein welliges Beulen

Die von Hain angegebene numerische Auswertung der

Beulbedingung (7) zeigt, daß die auftretenden Beulla—

sten für beliebige r/h-Verhältniszahlen stets wesentlich

höher liegen als im Falle des einwelligen Beulens, d. h.

bei einem abhebenden Bereich.

Unter Beachtung der Symmetriebedingungen in (6), ‘

W : 0 und 7,80 = k0nst.,

woraus-mit V (E I o) —‘ 0, V 2 Cl t? folgt, sowie der Über-

gangsbedingungen

W200 szza—mv WWW) : 0*

W‘WWHX) Z 0* (8)

anrm i 0’ prza) I Fuflaw)

ergeben sich aus (4) nach Elimination der Integrations-

konstanten zwei transzendente Gleichungen als Beulbe—

dingungen zur Ermittlung des Eigenwertpaares a, Ä.

1 . 2(7 a Ä) ' smÄa +(——A——‘1T + a)

Ä 12- rZ/h2

(ÄsinÄa ~ cota — cosÄa) = 0 (9)

Ä ' tana — tanÄa I 0

I mehrwelliges Beulen

2103

/

/ clnwelliges Beulen

103 I /—i

/

100 200 300 400 % 500

Bild 2

Kritischer Druck des starr ummantelten elastischen Ringes

Zur numerischen Auswertung der Beulbedingungen (7)

und (9) nach Hain ist im Bild 2 der kritische Beuldruck

über Zahlenwerte r/h aufgetragen. Dabei wird deutlich

sichtbar, daß die beim einwelligen Beulen bedeutend

niedrigeren kritischen Beullasten für das Versagen in-

folge Instabilität z. B. näherungsweise auch für eine Aus-

kleidung in einem langen starren Zylinder bei radialem

Außendruck, maßgebend sind.

Als Erklärung kann die tangentiale Nachgiebigkeit ange—

sehen werden, die beim mehrwelligen Beulen nicht mög-

lich ist. In der nachfolgenden Übersicht sind Zahlen-

werte für eine mögliche starr ummantelte Auskleidung

auf der Grundlage der vorgestellten Beultheorie elasti-

scher Ringe unter radialem Außendruck angegeben.

Für

E : 2,1 - 105 MPa, v=0,3, h=5mm,r=400mm,

r I 750 mm

01: = 270 MPa folgt

r(mm) r/h l a pkr(MPa) 0¢(MPa)

i 400 80 250 9,4 751,2

i 750 i 150 i 500 2.9 427,5Lg i

Die infolge der kritischen Beullasten pkr in der Ausklei-

dung auftretenden limfangsspannungen 0w liegen we-

sentlich höher als die Fließgrenzc 0F z. B. des austeniti.

stillen Materials einer Auskleidung. Die Bestimmung des

kritischen Bculdruckes unter der Voraussetzung rein

elastischen Materialverhaltens ist für diesen Anwendungs-

fall irreal.

2. Zur Stabilität des ummantelten Ringes unter

radialem Außendruck bei Berücksichtigung

der Fließgrenze

J acobsen hat Beulbedingungen für ummantelte Ringe

und Kreiszylinderschalen unter radialem Außendruck

angegeben, die das Nichtüberschreiten der Fließgrenze

durch die Umfangsspannung in der Zylinderwand sowie

einen möglichen Spalt zwischen Ummantelung und Zy-

linderwand berücksichtigen. Für das maßgebende einwel-

lige Beulen nach Bild 3 sollen die wichtigsten Formeln

dieser Theorie dargestellt werden.

2‘)

rI—n

Bild 3

Geometrie zum einwelligen Beulen

Hiernach gelten folgende geometrische Beziehungen

7=1r—a, l:2/3-ß'p, sinß = r-sina/p bzw,

p = r ' sina/sinß, 1: 2/3 ' ß ' r ° sina/sinß (10)

Die Umfangslänge des Ringes bzw. der Kreiszylinder-

schale vor und nach der Verformung ist bei Beachtung

der Spaltbreite A.

U =2'1T(r—A),U=2'7'r+3's, (11)0

wobei s die Halbwellenlänge darstellt.

Für die Stauchung A U = Uo — U gilt die elastische Glei-

chung

2'1r(r—A)—2'7'r+3's=E:—:(’Y’l‘2+B'P2) (12)E

Die Differentialgleichung der elastischen Linie für den

Kreisbogenträger

l M

w’xx+;2__ow:_E.I

führt mit dem Ansatz w = wo cos n ' auf die Bezie-

hung

_fi+__1:_12P'p (14)

|2 p2 E . h?»

Die kritische Umfangsspannung, die die Fließspannung

z. B. der Innenauskleidung nicht überschreiten soll, setzt

sich aus den Anteilen infolge radialen Druckes, Krüm-

mungsänderung und Knickbiegung zusammen.

. . 6' 'p-w

= zpp+Eh1_l+_P___115a 0F ( p) h2 ()

h 2 r

Der Längsbehinderung bei langen Rohren wird durch

E* = E / (l — Rechnung getragen.

Im weiteren Fortgang der Rechnung lassen sich die Grö-

ßen 7, p und lvermöge (10) sowie wo und s durch die

Parametervariablen a und ß ausdrücken.

30

_ 2.6'r'sina'tan(a—ß)

Wo _ ä n'sinß (l6)

2 ß' ' '01 ls = ä'fißsm—ll'tz'tanzm—ßfl

Die Elimination dieser Größen in den Beziehungen (12),

(14-) und (15) führt schließlich auf die Beulbedingung,

ausgedrückt durch die Gleichungen

9'1r2 sin2a_1 _ -

(4.32 )(77 0+5 sinzß)

_ sinoz 3 _1T'A_ ‚sind _l_. 2 _

2 (sinß) [a r ß sinßa+4 tan (a

9.„2_

4-52

B: r°sina 3 (17)

l2'( . )h'smß

_ sinß

E 2 ' r (1 — sind)

p'f_sina + 4-fi'r'sina-tan(oz—fi)

E'h sinß lfl'h'sinß

Die numerische Auswertung der Beulbedingung (17)

liefert für zugeordnete Kombinationen der Parameter-

variablen a und ß den kritischen Beuldruck abhängig

vom Wandstärken-Durchmesserverhältnis, wobei die

Spaltbreite A und die Fließgrenze 0F der betrachteten

Kreiszylinderschale als Parametergrößen fungieren. Das

Bild 4 zeigt auszugsweise diese Resultate in dimensions-

loser Darstellung z. B. für die Spaltbreiten A = 0,0 und

A = 5 ' 10~4 r.

Für praktische Anwendungszwecke erweist sich die Dar—

stellung des kritischen Beuldruckes in Abhängigkeit vom

Durchmesser der starr ummantelten Kreiszylinderschale

für unterschiedliche Wandstärken h, separiert nach den

Fließgrenzen der eingesetzten Werkstoffe, als günstig.

In diesem Sinne geben Darstellungen wie nach Bild 5

z. B. für eine austenitische Auskleidung mit einer Fließ-

grenze (IF = 270 MPa übersichtliche Informationen über

den zu vermeidenden kritischen Beuldruck bei Dicht- u

heitsprüfungen.

LITERATUR

[ l l Hain, H.: Zur Stabilität elastisch gebetteter Kreisringe .und

Kreiszylinderschalen. Mitteilungen des Inst. für Statik der

TU Hannover, Nr. l2, 1968.

[2] Jacobsen, S.: Buckling of circular rings and cylindrical

tubes under external pressure. Water Power, Dez. 1974.

[3] Jaeobsen, S.: Buckling of pressure tunnel steel linings

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tion, Juni 1978.

[4] Sonntag, G.: Stabilität des elastisch gebetteten Rohres

unter Außendruck. Forsch. Ing.-Wes. 32, 1966.

[5 l Amstutz, E.: Das Einbeulen von Schacht- und Stollen-

panzerungen. Schweizer Bauztg. 68 (1950).

[6 ] Pflüger,‘ A.: Zur praktischen Berechnung der Kreiszylin-

derschale unter Manteldruck. Stahlbau 35, 1966.

31

Bild 4

Kritischer Druck des starr ummanteltcn Ringes nach Jacobson

35 4D 45 50

Wanddicke

inVO/oo

desDurchmessers(moozflr)

..s

_a

_~_L

ON-FG‘

20 5

18

b

des Radius

I

%

7

Anfangsspatt 0,0 o/ao

15

20

dimensionsloser Knickwert (10"-

25

L

E

30

/ / ///A

35 4C 45 50

Wanddicke

in

0/00

desDurchmessers

1000

d.4

d

C"

CD

oNb

1b

L

.cIN

20

18

fi\\\\\

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0 1,5;&\\\\\\\\\'\\

p$2»

:‘\\\\\\m§§

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‘a\;

\\\\

\

\\\\‘\\\\\\\\

\\

\k

Anfongsspalt 0,5 0/00

des Radius

78910

2.0

J

l

2,5

y

‚ 6}

60%

30 35 40 45 so

35 4.0 45 50

5 b 15

dimensionsloser Knickwert (10"-

30

1 0,; = 270 MPG

p” HHH—Pa

3,5

0 10C” ZUG-C 3000

Bild 5

Kritischer Druck des starr ummantcltcn Ringes

[7]

[81

[9]

[10]

[11]

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