Seite 3 - Zeichner-IngenieurBau.ch - Herzlich Willkommenzeichner-ingenieurbau.ch/downloads/file/Formelsammlung.pdf · Fehlergrenzen beim Nivellieren Präzisionsmessung: f∆H = 0.004

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Inhaltsverzeichnis INHALTSVERZEICHNIS ..................................................................................................... 2

ALGEBRA ........................................................................................................................ 7

QUADRATISCHE GLEICHUNG ................................................................................................... 7

BINOMISCHE FORMELN .......................................................................................................... 7

Pascal'sche Dreieck ..................................................................................................... 7

POTENZIEREN & RADIZIEREN .................................................................................................. 8

PHYSIK ............................................................................................................................ 9

GLEICHFÖRMIGE BEWEGUNG .................................................................................................. 9

BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG .................................................................................................. 9

DICHTE ............................................................................................................................. 10

KRAFT .............................................................................................................................. 10

HYDROSTATIK .................................................................................................................... 10

WÄRMELEHRE ................................................................................................................... 11

WÄRMELEITFÄHIGKEIT ......................................................................................................... 11

TEMPERATURVERLAUF ......................................................................................................... 12

WÄRMEVERLUST ÜBER 1 JAHR .............................................................................................. 12

SOLARE GEWINNE .............................................................................................................. 12

ARBEIT ............................................................................................................................. 13

LEISTUNG .......................................................................................................................... 13

WIRKUNGSGRAD ................................................................................................................ 13

BODENPRESSUNG ............................................................................................................... 14

AUFTRIEB .......................................................................................................................... 14

Archimedisches Gesetz: ............................................................................................. 15

PLANIMETRIE ............................................................................................................... 15

DREIECKE .......................................................................................................................... 15

Kathetensatz ............................................................................................................. 15

Höhensatz .................................................................................................................. 15

Pythagoras ................................................................................................................ 15

gleichseitiges Dreieck ................................................................................................ 15


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Diagonale im Quadrat ............................................................................................... 15

SATZ DES HERON ................................................................................................................ 16

KREIS ............................................................................................................................... 16

REGELMÄSSIGES SECHSECK ................................................................................................... 17

ELLIPSE ............................................................................................................................. 17

INKREISE UND UMKREISE ...................................................................................................... 17

Umkreis gleichseitiges Dreieck .................................................................................. 17

Inkreis gleichseitiges Dreieck ..................................................................................... 17

Umkreis schiefwinkliges Dreieck ............................................................................... 17

Inkreis schiefwinkliges Dreieck .................................................................................. 18

TRAPEZ ............................................................................................................................. 18

TRIGONOMETRIE .......................................................................................................... 19

RECHTWINKLIGES DREIECK ................................................................................................... 19

SINUSSATZ (ALLGEMEINES DREIECK) ....................................................................................... 19

COSINUSSATZ (ALLGEMEINES DREIECK) ................................................................................... 19

VERMESSUNG .............................................................................................................. 20

AZIMUT ............................................................................................................................ 20

Quadranten ............................................................................................................... 20

GEGENAZIMUT ................................................................................................................... 20

BANDDURCHHANG .............................................................................................................. 20

POLARAUFNAHMEN ............................................................................................................ 21

ERDKRÜMMUNG ................................................................................................................ 21

REDUKTION DER DISTANZEN ................................................................................................. 22

FEHLERGRENZEN BEIM NIVELLIEREN ....................................................................................... 22

FEHLERRECHNUNG .............................................................................................................. 22

STEREOMETRIE ............................................................................................................. 23

GERADES PRISMA ............................................................................................................... 23

SCHIEFES PRISMA ............................................................................................................... 23

QUADER ........................................................................................................................... 23

WÜRFEL ........................................................................................................................... 23

GERADER KREISZYLINDER ..................................................................................................... 24


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SCHIEFER KREISZYLINDER ...................................................................................................... 24

DREHZYLINDER ................................................................................................................... 24

HOHLZYLINDER ................................................................................................................... 24

PYRAMIDE ......................................................................................................................... 24

REGULÄRES TETRAEDER ....................................................................................................... 25

PYRAMIDENSTUMPF ............................................................................................................ 25

FASS ................................................................................................................................ 25

SCHIEFER KEGEL ................................................................................................................. 25

GERADER KEGEL ................................................................................................................. 26

ABWICKLUNG GERADER KEGEL .............................................................................................. 26

KEGELSTUMPF .................................................................................................................... 27

KUGEL .............................................................................................................................. 27

KUGELHAUBE (KUGELSEGMENT) ............................................................................................ 27

KUGELAUSSCHNITT (KUGELSEKTOR) ....................................................................................... 28

KUGELSCHICHT ................................................................................................................... 28

GULDINSCHE REGEL ............................................................................................................ 28

BAUGRUBE ................................................................................................................... 29

STEREOMETRISCHE BERECHNUNG .......................................................................................... 29

SIMPSON'SCHE FORMEL ....................................................................................................... 29

NÄHERUNGSFORMEL ........................................................................................................... 29

STRASSENBAU .............................................................................................................. 30

HORIZONTALE AUSRUNDUNG................................................................................................ 30

FALLLINIENGEFÄLLE ............................................................................................................. 30

KLOTHOIDE ....................................................................................................................... 31

KONSTRUKTION DER VERZIEHUNGSSTRECKE ............................................................................. 31

FAHRBAHNVERWINDUNG (QUERGEFÄLLSWECHSEL) ................................................................... 32

KURVENVERBREITERUNG ...................................................................................................... 32 Deichsellänge ................................................................................................................. 32

VERTIKALE AUSRUNDUNG .................................................................................................... 33 Wanne ........................................................................................................................... 33 Kuppe............................................................................................................................. 33 Hoch- und Tiefpunkt bei Kuppen und Wannen ............................................................. 34


Seite 5

Tiefster Punkt in Ausrundung ........................................................................................ 34

HOCHBAU ..................................................................................................................... 35

HOLZ – SCHWINDEN UND QUELLEN ....................................................................................... 35

SCHNEELAST ...................................................................................................................... 35

WINDLAST ........................................................................................................................ 35

ERDBEBENWIRKUNG ............................................................................................................ 36

TRÄGHEITSMOMENT ........................................................................................................... 36

STATIK .............................................................................................................................. 36 Verteilte Belastung ........................................................................................................ 37 Kraftübertragung ........................................................................................................... 37

DREHMOMENT................................................................................................................... 37

SPANNUNG UND DEHNUNG .................................................................................................. 38

ABWASSER ................................................................................................................... 39

HYDRAULISCHE BERECHNUNGEN (STRICKLERFORMEL) ................................................................ 39

FLIESSFORMEL NACH PRANDTL-COLEBROOK ............................................................................ 40 Rauhigkeitsbeiwert ............................................................................................................. 40

LISTENRECHNUNG NACH IMHOFF ........................................................................................... 41

SCHWERPUNKT ............................................................................................................ 42

TABELLE FÜR SCHWERPUNKTBERECHNUNG .............................................................................. 42

SCHWERPUNKTE ................................................................................................................. 43

rechtwinkliges Dreieck............................................................................................... 43

Dreiecke allgemein .................................................................................................... 43

Quadrat, Rechteck, Rhombus, Rhomboid .................................................................. 43

Trapez ........................................................................................................................ 43 rechtwinkliges Trapez ......................................................................................................... 43

Kreis, Kreisring ........................................................................................................... 44

Kreissektoren ............................................................................................................. 44 Halbkreis ............................................................................................................................. 44 Viertelkreis ......................................................................................................................... 44 Kreissegment ...................................................................................................................... 45

Kreisringsektor .......................................................................................................... 45


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Algebra

Quadratische Gleichung

D>0 → zwei Lösungen

D=0 → eine Lösung

D˂0 → keine Lösung

Binomische Formeln

Pascal'sche Dreieck (a+b)0 = 1 (a+b)1 = 1 1 (a+b)2 = 1 2 1 (a+b)3 = 1 3 3 1 (a+b)4 = 1 4 6 4 1 (a+b)5 = 1 5 10 10 5 1 etc.

(a+b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

(a-b)5 = a5 - 5a4b + 10a3b2 - 10a2b3 + 5ab4 - b5


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Potenzieren & Radizieren


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Physik

Gleichförmige Bewegung

Beschleunigte Bewegung

v0 = Geschwindigkeit am Anfang der Beobachtung

vt = Geschwindigkeit in einem beliebigen Zeitpunkt t der Beobachtung

Strecke während der Beschleunigung


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Dichte

Kraft

Erdbeschleunigung in der Physik = 9,81 m/s2

Erdbeschleunigung in der Baustatik = 10 m/s2

Hydrostatik


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Wärmelehre

∆l = Längenänderung [m]

l0 = Ausgangsmesslänge [m]

= Längenausdehnungskoeffizient (m/m*K)

∆T = Temperaturdifferenz

∆v = Volumenänderung

Wärmezustand eines Körpers = Bewegungszustand seiner Moleküle

Wärmeleitfähigkeit

RTotal = Ri + R1+ ... + Rn + Re

U-Wert

= Lambda = Wärmeleitfähigkeit (auf 1m2 Fläche auf 1m Länge)

= Gross Lambda = Wärmeleitfähigkeit auf eine bestimmte Materialdicke

W = Watt

m = Meter

K = pro Grad (1 Kelvin = 1° Celsius)

R = Widerstandswert (so viel setzt das Material der Wärme entgegen)

Ri = 0.13 = normierter Widerstandswert für die Luft innen am Bauteil

Re = 0.04 = normierter Widerstandswert für die Luft aussen am Bauteil


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Temperaturverlauf

Faktor =

Temperatur innen - (Ri * Faktor) = a

a - (R1 * Faktor) = b

b -... = c

c - (Rn * Faktor) = d

d -(Re * Faktor) = Temperatur aussen

a-d = Zwischentemperaturen im Bauteil

Wärmeverlust über 1 Jahr

U-Wert

* Fläche [m2]* Temperatur Differenz [K] * Zeit [h] = Energie [Wh]

Wh : 1000 = KWh

KWh : 10 = Liter Öl

3.6 MJ = 1 KWh

1 kg Öl

Temperatur Differenz : nach SIA im Mittelland der Schweiz 16.2°C

Zeit: Heizperiode im Mittelland der Schweiz 229 Tage -> 5500h

Solare Gewinne

direkte Strahlung + diffuse Strahlung = Globalstrahlung [

solarer Gewinn [KWh] = Globalstrahlung [

* Fensterfläche [m2] * Anteil Glas

* g-Wert * Verschattung * Ausnutzungsgrad


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Arbeit

J = Joule = Nm = Newtonmeter

Leistung

W = Watt

Ws = Wattsekunde = J = Joule

Wirkungsgrad


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Bodenpressung

F = Kraft

σ = Bodenpressung

A = Fläche

m = Masse

g = Erdbeschleunigung = 10 m/s2

Auftrieb

l*b*t = Volumen der verdrängten Flüssigkeit

ρk = Dichte Körper

ρFl = Dichte Flüssigkeit

g = Erdbeschleunigung

t = Tiefe um die der Körper in der Flüssigkeit ist

Dichte Süsswasser : 1000 kg/m3

Dichte Salzwasser : 1300 kg/m3

Fg < Fa → Körper steigt auf

Fg > Fa → Körper sinkt ab

Fg = Fa → Körper schwimmt


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Archimedisches Gesetz: Die Auftriebskraft eines eingetauchten Körpers ist so gross wie die Gewichtskraft

der verdrängten Flüssigkeitsmenge.

Planimetrie

Dreiecke

Kathetensatz

Höhensatz

Pythagoras

gleichseitiges Dreieck

Diagonale im Quadrat


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Satz des Heron (= ungleichseitiges Dreieck)

Kreis


Seite 17

Regelmässiges Sechseck

U = 6 * s

d = 2 * s

e = 2 * h

Ellipse A = a * b * π

U = (a + b) * π

Inkreise und Umkreise

Umkreis gleichseitiges Dreieck

Inkreis gleichseitiges Dreieck

Umkreis schiefwinkliges Dreieck


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Inkreis schiefwinkliges Dreieck

Trapez U = a + b + c + d


Seite 19

Trigonometrie

Rechtwinkliges Dreieck G A G A H H A G = sin = cos = tan = cot =cos β =sin β = cot β = tan β

G = Gegenkathete

A = Ankathete

H = Hypothenuse

Sinussatz (allgemeines Dreieck)

oder:

Cosinussatz (allgemeines Dreieck)


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Vermessung

Azimut Zielpunktkoordinate minus Standpunktkoordinate

Gleiche Vorzeichen

Ungleiche Vorzeichen

y = sin ZAB * d

x = cos ZAB * d

Quadranten IV = α + 300g

I = α

III = α + 200g

II = α + 100g

Gegenazimut ZB

A = ZAB ± 200g

Banddurchhang

Distanzkorrektur (f)

P = Durchhang [m]

D = Bandlänge [m]


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Polaraufnahmen Z2

NP = Z21 + α

400g ≤ Z21 + α = Z2

NP

400g ≥ Z21 + α – 400g = Z2

NP

Erdkrümmung

= Auf Tangentialebene projizierte Höhe bzw. Differenz

D = Distanz

RE = Mittlerer Erdradius (6370 km)


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Reduktion der Distanzen ( R + h) : D = R : d

d = ( D * R) : ( R + h )

d = D * [ R : ( R + h )]

D - d = Reduktion

D = gemessene Distanz auf Erdoberfläche

R = mittlerer Erdradius (6370 km)

h = Höhe über Meer

d = reduzierte Distanz auf Meeresspiegel

Fehlergrenzen beim Nivellieren

Präzisionsmessung: f∆H = 0.004 *

Bauvermessung: f∆H = 0.015 *

f∆H = Fehlergrenze [m]

D = Distanz [km]

Fehlerrechnung v = arithmetisches Mittel = alle Messungen addiert : Anzahl Messungen

n = anzahl Messungen

vv = v2 = (arithmetisches Mittel - Messung)2

m = s = empirische Standortabweichung einer Messung --> mx = sx

Mittlerer Fehler einer Messung = m =

Mittlerer Fehler des arithmetischen Mittel = mx = m : = ±x

Wahrscheinlicher Wert = m ± x


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Stereometrie V = Volumen

G = Grundfläche

D = Deckfläche

M = Mantelfläche = Summe aller Seitenflächen

O = Oberfläche

h = Höhe

d = Diagonale

Gerades Prisma V = G * h

O = G + D + M = 2*G + M

Schiefes Prisma V = G*h

O = G + D + M = 2*G + M

Quader V = G*h = a*b*c

O = 2*G+M = 2(ab + ac + bc)

D =

Würfel V = a3

O = 6a2

d =


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Gerader Kreiszylinder V = G * h =

O = 2G + M =

Schiefer Kreiszylinder V = G * h =

Die Grundfläche G ist ein Kreis.

Drehzylinder V = S * l =

V = G * h = a * b * π * h

Die Grundfläche G ist eine Ellipse. Die Mittelfläche S ist ein Kreis.

Hohlzylinder V =

R = äusserer Radius

r = innerer Radius

Pyramide


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Reguläres Tetraeder = 3-seitige Pyramide, bei welcher alle Kanten gleich lang sind.

Pyramidenstumpf

Fass

V = Volumen

h = Höhe

D = Durchmesser in der Mitte

d1 = Durchmesser Grundfläche

d2 = Durchmesser Deckfläche

Schiefer Kegel


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Gerader Kegel

a = Kegelachse

m = Mantellinie

α = Öffnungswinkel

Ein Achsenschnitt eines geraden Kegels ist ein gleichseitiges Dreieck. Bei einem

gleichseitigen Kegel ist der Achsenschnitt ein gleichseitiges Dreieck.

Abwicklung gerader Kegel

α = Zentriwinkel


Seite 27

Kegelstumpf

G = Grundfläche

M = Mantelfläche

D = Deckfläche

Kugel

Kugelhaube (Kugelsegment)

O = 2 * r * π * h


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Kugelausschnitt (Kugelsektor)

Kugelschicht

(3d1

2 + 3d22 + 4h2)

(Oberflächen ohne Kreisflächen)

Guldinsche Regel

V = Volumen des Drehkörpers

A = Fläche der bewegten Fläche

M = Mantelfläche des Drehkörpers


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Baugrube

Stereometrische Berechnung Quader/Prismen

Pyramide

Simpson'sche Formel

G = Grundfläche

D = Deckfläche

M = Mittelfläche

Näherungsformel


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Strassenbau

Horizontale Ausrundung

Fallliniengefälle

f = Fallliniengefälle [%]

i = Längsgefälle [%]

p = Quergefälle [%]


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Klothoide A2 = R * L

A = Klothoidenparameter [m]

R = Radius [m]

L = Klothoidenlänge [m]

Konstruktion der Verziehungsstrecke


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Fahrbahnverwindung (Quergefällswechsel)

= Anrampungsneigung [%]

qe = Fahrbahnquerneigung am Ende [%]

qa = Fahrbahnquerneigung am Anfang [%]

Lv = Länge der Verwindungsstrecke [m]

a = Abstand des Fahrbahnrandes von der Drehachse (meist

) [m]

B = Fahrbahnbreite [m]

Kurvenverbreiterung

e = Kurvenverbreiterung pro Fahrbahnstreifen

D = reduzierte Deichsellänge

Ra = Radius aussen

Deichsellänge

A) D = 10.0m

Sattelschlepper und Lastwagen mit Anhängern nach EU-Norm.

B) D = 8.70m

Grosse Lastwagen und LKW mit Anhänger, Standardbusse, Reisecar

C) D = 6.70m

Lastwagen und grosse Lieferwagen

D) D = 4.00m

Personenwagen inkl. Grossraum-PW


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Vertikale Ausrundung

Wanne

Kuppe


Seite 34

Hoch- und Tiefpunkt bei Kuppen und Wannen

Tiefster Punkt in Ausrundung


Seite 35

Hochbau

Holz – Schwinden und Quellen

w = Wassergehalt

a = ursprüngliche Länge / Radius / Umfang

∆a = zunahme Länge / Radius / Umfang

Schneelast Gilt nur bei Höhe mü.M. < 2000m

m2 = 1m2 überdeckte Grundfläche.

Windlast W = c * q * A

pw = c * q

W = Windkraft [kN]

c = Körperformabhängiger Koeffizient

q = Staudruck

A = Fläche senkrecht zur Windrichtung

pw = Gleichmässig verteilte Windbelastung


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Erdbebenwirkung

Angriffspunkt

der Gebäudehöhe.

FG = Gewichtskraft des gesamten Gebäudes

FE = Erdbebenwirkung (schwankt je nach Gebiet)

Trägheitsmoment (= Wiederstand beim Biegen)

Statik

V = Volumen

ρ = Dichte

m = Masse

F = Kraft

g = Erdbeschleunigung


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Verteilte Belastung

Kraftübertragung

Drehmoment

Drehmoment = Kraft * Hebelarm

M = F [Nm] * a [kNm]

M1 = +F1 * a1

M2 = -F2 * a2

Uhrzeigersinn um Drehpunkt =

positiv

Moment:


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Spannung und Dehnung

Zug = positiv

Druck = negativ

ς = Normalspannung

F = Kraft [N]

A = Fläche [mm2]

= Länge im unbelasteten Zustand

= Längenänderung

E = Materialkonstante

= Elastizätsmodul = E-Modul

z.B. Stahl = 210‘000

, Beton = 21‘000 – 39‘000


Seite 39

Abwasser

Hydraulische Berechnungen (Stricklerformel)

Menge des abfliessenden Wassers

Q = v * A

v = mittlere Fliessgeschwindigkeit [

]

k = Rauhigkeitsbeiwert

Q = Wassermenge

HR = RH = Hydraulischer Radius (m)

A = Leitungsquerschnitt (m2)

J = Gefälle als absoluter Wert

Angabe J in %:

in ‰ :


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Fliessformel nach Prandtl-Colebrook Anwendung bei Kreisprofilen oder kreisähnlichen Profilen mit Vollfüllung oder

Teilfüllung (min. halbvoll).

│v│= 2*√(8*g*Rh*Je) * log( JeRhgRhRh

kb

***8**4

*51.2

*4*71.3

)

v = mittlere Fliessgeschwindigkeit [m/s]

g = Erdbeschleunigung [9.81 m/s2]

Rh = hydraulischer Radius (A/U) [m]

A = benetzte Fläche [m2]

U = benetzter Umfang [m]

Je = Energieliniengefälle

di = Rohrinnendurchmesser [m]

kb = Rauhigkeitsbeiwert [1.0 * 10-3 m]

υ = kinematische Zähigkeit [1.3 * 10-6 m2/s]

Rauhigkeitsbeiwert

NICHT DER GLEICHE WIE BEI DER STRICKLERFORMEL!!!

allgemein für Kanalrohre aus Kunststoff mit Schächten: kb = 1.0 mm

für gerade Leitungen ohne Schächte: kb = 0.5 mm

für Leitungen mit seitlichen Anschlüssen und Schächten: kb = 1.5 mm


Seite 41

Listenrechnung nach Imhoff Q = r * ψ * FA

Q = Abflussmenge bei Regenwetter an einem bestimmten Punkt [l/s]

r = Regenintensität [l/s ha]

abhängig von: - Dauer des Regens

- Ort

- Häufigkeit

ψ = Abflussbeiwert (< 1)

abhängig von: - Bebauung

- geologischen Verhältnissen

- Terrainneigung

FA = Fläche des Teileinzugsgebietes [ha]


Seite 42

Schwerpunkt

Tabelle für Schwerpunktberechnung Nr. A x y A * x A * y 1 2 3 ATotal

=A1+A2+A3 (A*x)Total

=(A*x)1+(A*x)2+(A*x)3 (A*y)Total =(A*y)1+(A*y)2+(A*y)3

A = Fläche

x = Distanz vom Nullpunkt zum Schwerpunkt in x Richtung, eines Teilkörpers

y = Distanz vom Nullpunkt zum Schwerpunkt in y Richtung,eines Teilkörpers

xs = Distanz vom Nullpunkt zum Schwerpunkt in x Richtung,

vom gesamten Körper

ys = Distanz vom Nullpunkt zum Schwerpunkt in y Richtung,

vom gesamten Körper


Seite 43

Schwerpunkte

rechtwinkliges Dreieck

Dreiecke allgemein

Quadrat, Rechteck, Rhombus, Rhomboid

Trapez

rechtwinkliges Trapez:


Seite 44

Kreis, Kreisring Schwerelinie: Durchmesser

Schwerpunkt: Im Mittelpunkt

Kreissektoren

Halbkreis

Viertelkreis


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Kreissegment

Kreisringsektor

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