„Seminar: Statistische Analyse zur Wirkung von Luftschadstoffen“

Fallstudie in den USA zum Thema Luftschadstoffe

Antonia Zapf, am 22.November 2004Dozenten: Prof. Dr. Küchenhoff, PD Dr. Peters

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Schätzung von Luftschadstoff-bedingter Mortalität und Grenzwert-Level: Eine Zeitreihenanalyse der 20 größten US-Städte

Autoren: Michael J. Daniels, Francesca Dominici, Jonathan M. Samet, und Scott L. Zeger (2000)

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Gliederung:

Einleitung Daten Modelle Schätzungen Ergebnisse Diskussion Literaturverzeichnis

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Einleitung Vermutung: Anstieg der Mortalität bei

Luftverschmutzung unterhalb des Grenzwertes von (US National Ambient Air Quality Standard, 150 μm/ als 24-Stunden-Durchschnitt)

Einführung von Modellen um den Zusammenhang darzustellen

Anwendung auf die Daten

PM10

m3

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Einleitung (Modelle):Drei plausible Modelle für den Zusammenhang von logarithmierter Mortalität und -Konzentration

Modell 1: lineares Modell ohne Grenzwert Modell 2: Spline dose-response Modell

(log(Mortalität) Glättungs-Funktion von ) Modell 3: Grenzwert-Modell

(Annahme: kein Zusammenhang unterhalb des Grenzwertes, linearer Zusammenhang oberhalb)

PM10

PM10

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Einleitung (Ziele): Ziel 1: Vereinigung der Informationen der 20

Städte um die Form der durchschnittlichen dose-response Kurve zu präzisieren;

Ziel 2: Testen der Hypothese, dass der Zusammenhang zwischen Luftver-schmutzung und Mortalität annährend linear ist;

Ziel 3: Identifikation möglicher Grenzwerte, unterhalb derer keine Auswirkung der Luftverschmutzung auf die Mortalität nachgewiesen werden kann

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Daten:

Mortalität, Wetter und Luftverschmutzung für die 20 größten US-Städte von 1987-1994

Datensatz eine größeren Projekts (Morbidität, Mortalität,

Luftverschmutzung

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Die Daten

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Daten (Luftschadstoffe)

Daten vom Aerometrik-Informations-Retrieval-System

an manchen Orten viele fehlende Werte für, da nur alle sechs Tage gemessen

bei mehr als einer Messstation pro Stadt wurde der Jahresdurchschnitt für jede Messstation korrigiert, und dann das um 10% gestutzte Mittel über alle Messreihen verwendet( Schutz vor Ausreißern)

PM10

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Daten (Mortalität) Daten vom National Center for Health Statistics Tod durch äußere Umstände ausgeschlossen nach Altersgruppen klassifiziert:

<65, 65-74, >=75 Jahre nach Todesursache klassifiziert:

kardiale, respiratorische Erkrankungen, Grippe und Lungenentzündung (=kardiovaskuläre und respiratorische Ursachen)andere übrige Krankheiten (=andere Ursachen)

chronisches obstruktives Asthma und damit zusammenhängende Störungen eingeschlossen

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Daten (Wetter)

Daten vom EarthInfo Datensatz stündliche Temperatur und Feuchtigkeit 24-Stunden-Durchschnitt bei mehr als einer Wetterstation pro Stadt

wurde das Mittel aller Stationen verwendet

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Modell 1 log-lineares Poissonmodell zur Schätzung des

relativen Anteils von Luftverschmutzung/ Mortalität für jeden Ort getrennt (generalisiertes additives Modell mit log link und Poisson-Fehler)

Y|X-Po()

Confounder: Altersspezifische Langzeittendenzen (z.B. Neuerungen in der Medizin), Wetter, Wochentag

E(Y) exp(0 1x1 ... p x p )

E(Y x1 ,...,x p 1 ,x p )

E(Y x1 ,...,x p 1 ,x p 1) exp(... p S...)

exp(... p (S1)...) exp( p )

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Modell 1 : beobachtete Mortalität für jede

Altersgruppe a : Mittelwert von am Tag t und t-1

: erwartete Anzahl vonTodesfällen am Tag t

confounder β : log-relative Rate von Mortalität und

Anstieg von um eine Einheit Sensitivitätsanalyse: Rechnung mit der

-Konzentration vom aktuellen Tag und vom Vortag einzeln

yat

PM10

PM10t

uat E(Yat )

log(uat ) PM10t

PM10

PM10

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Modell 1 mögliche Confounder von β: z.B. Änderungen im

Gesundheitswesen, saisonbedingte Ursachen oder Grippe-Epidemien

Kontrolle dieser Confounder und Berücksichtigung von zeitlichen Korrelationen in den Zeitreihen durch Beachtung kurzzeitiger Schwankungen bei Mortalität

Schwankungen der Mortalität heraus-partialisiert durch Hereinnahme von Glättungs-Splines über die Kalenderzeit S(time, df) für jede Stadt

df= Anzahl der freien Parameter, nicht datengesteuert

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Modell 1

df = 7 pro Jahr, vordefinierter GlättungsparameterBeseitigung von Confoundern wie saisonale Grippe-Epidemien und längerfristige Tendenzen (z.B. Änderung in der medizinischen Praxis und im Gesundheitswesen)

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Modell 1 Kontrolle von altersspezifischen

langfristigen und saisonalen Schwankungen durch eigene Glättungsfunktion für die Zeit mit 8 df über alle Jahre für jede Altersgruppe

Kontrolle vom Wetter durch Glättungsfunktionen für Temperatur

und mit jeweils 6 df, und für Feuchtigkeit und

mit jeweils 3 df

temp0

temp_0 = Temp. Am selben Tag, temp_1-3= durchschn. Temp. Der drei vorherigen Tage

temp1 3

dew0

dew1 3

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Endmodell 1 Gefittetes log-lineares generalisiertes

additives Modell, um die geschätzte log-relative Rate und die Devianz V( ) für jeden Ort zu erhalten

intercept for age group a + seperate smooth functions of time (8 df) for age group a = + confounder

DOW = Indikatorvariable für day of week

ˆ

ˆ

logat PM10t DOW S1(time,7 / year)S2(temp0,6) S3(temp1 3,6) S4 (dew0,3)S5(dew1 3,3)

PM10t

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Ergebnisse vom Modell 1

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Modell 2 Untersuchung der log-linearen Annahme für Modell

(1)Spline dose-response Modell

Mortalität als Glättungsfunktion von S( ,λ) λ : Freiheitsgrade der Glattheit der dose-response

Kurve Annährung durch Beschränkung der

Glättungsfunktion auf die natürlichen kubischen Splines mit einer festen Anzahl von Knotenkubische Polynome (Polynome 3.Grades), 1. und 2. Ableitung der Splines muss an den Knoten gleich sein

PM10

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Modell 2

Spline dose-response Modell:

Natürlicher kubischer Spline mit Knoten bei 30 und 60 g/ (ca 25 und 75% Quantile)

logat S(PM10t ,knots c(30,60)) confounder

m3

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Modell 3 Frage: Mortalitäts-Effekte unwesentlich unter

einem Wert?Grenzwert-Modell:

= x wenn und = 0 wenn x<0 d.h. wenn , 0 sonst h unbekannt, aus den Daten geschätzt ( im Modell 1 misst den prozentualen

Anstieg der Mortalität per 10-μm/ -Schritte, wenn höher als h ist)

logat (PM10t h) confounder

x

x 0

x

PM10t h

PM10t h

m3

PM10t

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Schätzung (Stadt-spez. Parameter)

Mit gam() in Splus Anpassung der Modelle 1 und 2 um Stadt-spezifische Schätzungen und Standardfehler des linearen Effektes und des Parameter-Vektors zu erhalten

= Stadt-spezifischer Parameter zur Messung der Auswirkung von auf die Mortalität (für Modell 1 und 2, c=1,…,20)

c

PM10

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Schätzung Für das lineare Modell (1) ist , und für das dose-

response-Modell (2) ist gleich dem Koeffizienten-Vektor, entsprechend den Splines

Kombination der Koeffizienten über die Städte Test auf Heterogenität (mit statistischer Generalisierung)

Unter der Nullhypothese (keine Heterogenität) ist chi-quadrat-verteilt mit Freiheitsgraden (M1: 19, M2: 95)

c

c c

X 2 ( ˆ c )T Vc 1( ˆ c )

c

( Vc 1

c ) 1 Vc

1cc

X 2

20 dim(c ) dim(c )

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Schätzung (Annahme der Nullh. ) = 0 wenn , wenn also die Städte-

spezifischen Schätzer gleich dem Gesamtmittel sind

Unter Annahme der Nullhypothese: Kombination der Städte-spezifischen Schätzungen durch ein fixed-effects Modell mit den Gewichten

Schätzer: ,mit der Varianz

Varianz ist Gewicht, wenn Varianz groß -> Variable weniger gewichtet, wenn Varianz klein -> Variable mehr gewichtet

ˆ c

X 2

Wc Vc 1

( Wcc ) 1 Wcc

c

V () ( Wcc ) 1

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Schätzung (Annahme der Alternativh.)

Unter Annahme der Alternativ-Hypothese: Anpassung eines zweistufigen bayesianischen hierarchischen Modells

mit flachen priori auf (Gesamt-Koeffizienten-Vektor) und D (Zwischen-Städte-Kovarianz-Matrix)

Hierarchisch: Schätzer wird in einem nächsten Modell eingesetzt

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Schätzung Gewichte: Weil in Modell (3) angenommen wird, dass

der Grenzwert h unbekannt istSchätzung von h und für jede Stadt durch folgende Methode:

Wc (DVc ) 1

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Schätzung (des Grenzwertes) Gittersuche mit möglichen Grenzwerten

(h=5-200μm/ , Schrittweite 5μm/ ) Modell 3 mithilfe der gam-Funktion für jede Stadt anwenden ML-Schätzer von θ, abhängig von h Für jede Stadt Gitter nach dem durchsuchen, das die

likelihood minimiert Keine Vereinigung der Koeffizienten über die Städte für

Modell (3), weil die Koeffizienten für verschiedene h verschieden interpretiert werden können

m3

m3

l( ˆ (h),h)

ˆ (h)

ˆ c

ˆ ˆ ( ˆ h )

ˆ h

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Schätzung Keine Kovarianzmatrix oder

Standardfehler für die Grenzwerte berechnet (für die meisten Städte ziemlich instabil)

Keine Fisher-Informations-Matrix Um den Schätzer des Gesamt-Grenzwertes

zu finden, wurde so gewählt, dass die Standardabweichung minimal, bzw. die log-likelihood maximal wird

ˆ h

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Schätzung (vom Gesamtgrenzwert)

sind Städte-spezifische Devianz und log-likelihood

h im Bereich 0,5,10,...,75g/ ] 75g/ höchster Wert, für den alle

Parameter für das Grenzwert-Modell gegeben waren

h= 0, linearer Fall als Spezialfall

ˆ h arg minh

Dev(h)

Dev(h) Devc (h) 2 lc (h)c

c

Devc (h) und lc (h)

m3

m3

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Schätzung (des Unsicherheitsmaßes) Unsicherheits-Maß für den Grenzwert

mit den a-posteriori-Wkten:

95%-HPD-Intervall:

wh Po(h i /Daten) l(Daten /h i)Pr(h i)

l(Daten /h i)Pr(h i) exp( 0.5Dev(h))

exp( 0.5Dev(h))hH

; für h 0,...,75, Pr(h = i) =1/16

U

L

hh

hh hUL whh 95.0:,

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Schätzung Gewicht kann als approximative posteriori-

Wahrscheinlichkeit des Modells interpretiert werden Vergleich der Modelle innerhalb der Städte und

über alle Städte (beste Anpassung der Daten) mit Akaike information criterion, AIC=deviance + 2(number of parameters)

Beim Vergleich Grenzwert-Modell / lineares Modell ist h=0 ausgeschlossen

Zur Schätzung des Gesamt-Grenzwertes ist h=0 eingeschlossen

wh

Mh

Modell mit geringerem AIC wird bevorzugt

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Ergebnisse

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Ergebnisse

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Ergebnisse

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Ergebnisse

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Ergebnisse

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Ergebnisse

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Diskussion Ziel der Untersuchungen (dieser und anderer) ist

die Minimierung des Risikos für die öffentliche Gesundheit

Schadstoff-Konzentrationen sind noch nicht unter Grenzwerten wo sie keine Auswirkungen mehr haben (falls es solche Grenzwerte gibt)

Dose-response-Analysen bisher nur innerhalb einzelner Orte begrenzte Vergleichsmöglichkeit von Modellen

Bisher oft Methoden benutzt, die nicht mehr für optimal gehalten werden

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Diskussion Hier Vergleich von linearem Modell und

Spline dose-response-Modell bzw. Grenzwert-Modell

In 20 größten US-Städten besser verallgemeinerbar

Methode angebracht um die Unsicherheit vom geschätzten Grenzwert zu prüfen

Auch vorher schon stückweise Polynome und kubische Splines verwendet, aber Daten auf einzelne Orte begrenzt

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Diskussion Für gesamte und kardiovaskuläre/

respiratorische Todesursachen kein Grenzwert erkennbar unter dem die Auswirkungen klein sind, bei anderen Todesursachen schon

Geschätzte Grenzwert -Level für andere Ursachen niedriger als für totale und kardio-respiratorische Ursachen (65µg/ bzw. 15µg/ )

Modell-Vergleiche (auf AIC basierend) wählen immer das log-lineare Modell, nur bei „andere Ursachen“ das Grenzwert-Modell

PM10

m3

m3

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DiskussionEinschränkungen:

schlechte Informationslage für manchen Städte zu Modell (2) hinzufügen,

= Städte-spezifischer Grenzwert, Gesamtgrenzwert, Variabilität der Grenzwerte zwischen den Orten

feste Knoten Aber bei vernünftigen Punkten fixiert, und genügende

Flexibilität Methoden entwickeln um Anzahl und Lokalisation der

Knoten zu schätzen

log(h c ) ~ N(log(h), 2)

h c,h, 2

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DiskussionResultate:

Risikofreie Levels von wahrscheinlich niedriger als der National Ambient Air Quality Standards

Ergebnisse deuten darauf hin, dass lineare Modelle ohne Grenzwert geeignet sind die Auswirkung von Luftverschmutzung auf die tägliche Mortalität einzuschätzen

PM10

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Literatur: Daniels et al. Estimating Particulate

Matter-Mortality Dose-Response Curves and Threshold Levels: An Analysis of Daily Time-Series for the 20 Largest Us Cities, AjE 2000

Rüger, Test- und Schätztheorie, Band I, Oldenbourg 1999

Küchenhoff, Skript zur Vorlesung Lineare Modelle, WS 04/05