SkriptumzurVorlesung - TU München und... · i): (1.3) DiephysikalischeEinheitdeselektrischenFeldesistfolglich dim(jE~j) = N As = kgm s2 1 As = V m ... 12 ist nach Gl. (1.7) proportional

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Lehrstuhl für Technische Elektrophysik

Technische Universität München

Skriptum zur Vorlesung

Elektrizität und Magnetismus

Dozent: Prof. Dr. G. Wachutka

25. Juli 2011

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Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

0. Vorbemerkungen 6

1. Elektrostatik 91.1. Elektrische Ladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2. Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1. Coulombsches Kraftgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.2. Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3. Elektrische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.1. Definition des elektrischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3.2. Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.3.3. Bemerkung zur graphischen Darstellung von Vektorfeldern . . . . . . . . . . 13

1.4. Elektrische Arbeit, Spannung und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.1. Elektrische Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4.2. Elektrische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4.3. Elektrisches Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5. Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien . . . . . . . . . . 181.5.1. Elektrische Polarisierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.2. Dielektrisches Verschiebungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.5.3. Gaußsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.1. Raumladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.6.2. Oberflächenladungsdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6.3. Gaußsches Gesetz für Ladungsverteilungen (in integraler Form) . . . . . . . 211.6.4. Gaußsches Gesetz in differentieller Form und Poissongleichung . . . . . . . . 221.6.5. Coulomb-Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.7. Elektrische Felder zwischen leitenden Medien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.1. Influenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.7.2. Elektrische Kapazität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.7.3. Kondensatoraggregate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.7.4. Elektrische Feldenergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2. Stationäre Ströme 322.1. Elektrische Stromstärke und Stromdichte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2. Ladungsträgertransport im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.2.1. Transport ohne Stoßprozesse im freien Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.2.2. Transport mit Stoßprozessen (Driftmodell) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.1. Ladungserhaltung in integraler Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3.2. Kirchhoffsche Knotenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3.3. Ladungserhaltung in differentieller Form: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4. Elektrische Leistung und Energieübertragung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1. Elektrische Leistung einer Punktladung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.2. Elektrische Leistung eines Strömungsfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.3. Elektrische Verlustleistung bei Ohmschen Widerständen . . . . . . . . . . . 412.4.4. Die elektrische Energierübertragungsstrecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

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3. Magnetostatik 433.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.1.1. Lorentzkraft und Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.1.2. Bewegung eines geladenen Massenpunkts im konstanten Magnetfeld . . . . 443.1.3. Lorentzkraft auf eine Stromverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2. Lorentzkraft und Drehmoment auf stromführende Leiter . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.1. Kraft auf einen Leiter mit beliebiger Gestalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.2. Kraft auf linienförmige Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2.3. Drehmoment auf eine Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3. Permanentmagnet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4. Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des ~B-Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.5. Erzeugung magnetostatischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.5.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz (quasistationäre Form) . . . . . . . . . . 523.5.2. Magnetische Feldstärke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.5.3. Permeabilität und magnetische Suszeptibilität . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.6. Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.6.1. Magnetfeld eines unendlich langen geraden Drahtes . . . . . . . . . . . . . . 553.6.2. Kraft zwischen zwei parallelen geraden Drähten . . . . . . . . . . . . . . . . 563.6.3. ~H-Feld einer allgemeinen zylindersymmetrischen Stromverteilung . . . . . . 57

3.7. Vervollständigung des Ampèresches Gesetzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.7.1. Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes (nach Maxwell) . . . . . . . . . . . 593.7.2. Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in differentieller Form . . . . . 60

4. Induktion 614.1. Bewegungsinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.1.1. Elektromotorische Kraft in bewegten leitfähigen Medien . . . . . . . . . . . 614.1.2. Induzierte elektrische Spannung in zeitveränderlicher Leiterschleife . . . . . 614.1.3. Unipolar-Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Ruheinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.1. Induzierte Spannung in ruhender Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2.2. Maxwellsche Verallgemeinerung: Differentielle Form des Induktionsgesetzes 65

4.3. Allgemeine Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.4. Maxwellsche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A. Mathematische Grundlagen 69A.1. Euklidischer, affiner Raum E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

A.1.1. Struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.1.2. Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A.1.3. Basis, Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71A.1.4. Skalarfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72A.1.5. Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72A.1.6. Ortsabhängige Basisvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.1.7. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

A.2. Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.2.1. Definition des Wegintegrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76A.2.2. Konservative Kraftfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

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A.3. Totale Ableitung und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.3.1. Linearformen und dualer Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78A.3.2. Totales Differential und Gradient als duale Größen . . . . . . . . . . . . . . 79A.3.3. Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80A.3.4. Partielle Ableitungen (räumlich unveränderliches Koordinatensystem): . . . 81A.3.5. Richtungsableitung entlang einer Kurve: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

A.4. Krummlinige Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.4.1. Kartenabbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.4.2. Begleitendes n-Bein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84A.4.3. Gradient in krummlinigen orthogonalen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . 88

A.5. Gradientenfelder und Potentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.5.1. Definition und Eindeutigkeit von Potentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . 89A.5.2. Existenz einer Potentialfunktion: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89A.5.3. Berechnung einer Potentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90A.5.4. Äquivalente Charakterisierungen von Gradientenfeldern . . . . . . . . . . . 91A.5.5. Geometrische Interpretation von Potentialfunktion und Gradientenfeld . . . 92

A.6. Flächenintegrale im E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.6.1. Parameterdarstellung einer Fläche S im E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.6.2. Tangentialebene und Oberflächennormale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93A.6.3. Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94A.6.4. Beispiel: Integration über eine Kugeloberfläche . . . . . . . . . . . . . . . . 95

A.7. Divergenz - Gaußscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.7.1. Divergenzoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.7.2. Darstellung der Divergenz in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . 97A.7.3. Integralsatz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.7.4. Divergenzoperator in krummlinigen orthogonalen Koordinaten . . . . . . . . 100A.7.5. Der Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

A.8. Rotation und Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.8.1. Rotationsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.8.2. Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.8.3. Darstellung der Rotation in kartesischen Koordinaten . . . . . . . . . . . . 105

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0 VORBEMERKUNGEN

0. Vorbemerkungen

(i) Eine physikalische Größe (z.B. die Geschwindigkeit v oder die Länge L) wird durch eineMaßzahl in Verbindung mit einer Maßeinheit beschrieben.

Beispiele:

Physikalische Größe = Maßzahl × Maßeinheit

v = 20 kmh

L = 5 Zoll (inch)

(ii) Für eine physikalische Größe existieren zumeist mehrere unterschiedliche Maßeinheiten.Um physikalische Größen und physikalische Zusammenhänge einheitlich zu definieren, wur-de 1960 ein kohärentes System von Maßeinheiten geschaffen, die sogenannten SI-Einheiten(système internationale des unités). In diesem System werden 7 voneinander unabhängigeBasiseinheiten definiert, aus denen die Maßeinheiten für alle übrigen physikalischen Größenabgeleitet werden können.

Die 7 Basiseinheiten sind folgende:

'

&

$

%

Größe Einheit Symbol

Länge Meter mZeit Sekunde sMasse Kilogramm kgelektr. Stromstärke Ampère ATemperatur Kelvin KLichtstärke Candela cdStoffmenge Mol mol

Abgeleitete Maßeinheiten ergeben sich durch Produkt- und Quotientenbildung unmittelbaraus der Definitionsgleichung für eine physikalische Größe. Sie sind also Bestandteil der phy-sikalischen Begriffsbildung, oftmals in Verbindung mit der Aufstellung eines physikalischenGesetzes.Beispiele sind:

Größe Einheit

Geschwindigkeit = LangeZeit

ms

Kraft = Masse× Beschleunigung 1 N (Newton) = 1kg× 1 ms2 = 1kg m

s2

Arbeit = Kraft×Weg 1 J (Joule) = 1 N× 1 m = 1 Nm

Leistung = ArbeitZeit 1 W (Watt) = 1 J/1 s = 1J

s

Ladung = Stromstarke× Zeit 1 C (Coulomb) = 1Aselektrische Spannung = Arbeit

Ladung 1 V (Volt) = 1 J/1 C = 1kg m2

s2 A s= 1kg m2

A s3

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(iii) Größengleichungen sind Zusammenhänge zwischen physikalischen Größen, die durch mathe-matische Gleichungen dargestellt werden und unabhängig vom Basiseinheitensystem gelten.Die Gleichheit von physikalischen Größen beinhaltet, dass man sie in derselben Maßeinheitausdrücken kann und ihre Maßzahlen übereinstimmen. Mit solchen Größengleichungen kannman dann auch verschiedene Maßeinheiten für dieselbe physikalische Größe ineinander um-rechnen:

Beispiel 1:Die Geschwindigkeit v, die sich aus dem Verhältnis von zurückgelegter Weglänge Lzur benötigten Zeit t ergibt, ist über die Größengleichung

v =L

t

definiert. Die Umrechung von Nicht-SI-Einheiten in SI-Einheiten erfolgt beispiels-weise so:

v =1 Seemeile

1 Stunde=

1,852 km

1 h= 1,852

km

h︸︷︷︸1 Knoten

= 1,8521000 m

3600 s= 0,514

m

s.

Beispiel 2:Die kinetische Energie eines zweifach geladenen Ions mit der Ladung Q = 2qel, dasin einem Ionenbeschleuniger mit der Spannung U = 20 kV beschleunigt wird, ergibtsich aus dem Produkt von Ladung Q und Spannung U :

Wkin = Q · U = 2qel · 20 kV

mitqel = |e| = 1,602× 10−19 C (Elementarladung)

=⇒Wkin = 6,408× 10−15 C ·V = 6,408× 10−15 J in SI-Einheiten.

Ein Teilchenphysiker oder Elektroingenieur verwendet aber oft lieber die Darstel-lung

Wkin =Q

e· U

V· eV =

Q

e· U

kV· keV = 2 · 20 keV = 40 keV

Die Einheit keV ist zwar keine SI-Einheit, aber für die Praxis sehr anschaulich.

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0 VORBEMERKUNGEN

(iv) Zehnerpotenzen von SI-EinheitenDurch Vorausstellen der folgenden Präfixe vor eine SI-Einheit lassen sich Zehnerpotenzenleichter und für die Praxis anschaulicher ausdrücken:

101 deka da

102 hekto h

103 kilo k

106 Mega M

109 Giga G

1012 Tera T

1015 Peta P

1018 Exa E

1021 Zetta Z

Tabelle 1: 10n, n > 0

10−1 dezi d

10−2 centi c

10−3 milli m

10−6 mikro µ

10−9 nano n

10−12 piko p

10−15 femto f

10−18 atto a

10−21 zepto z

Tabelle 2: 10n, n < 0

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1 ELEKTROSTATIK

1. Elektrostatik

1.1. Elektrische Ladung

Bis heute sind nachfolgende experimentelle Erfahrungen über elektrische Ladungen gesammeltworden:

(i) Ladung ist eine fundamentale Eigenschaft aller Elementarteilchen (wie Masse, Spin,Charm, Flavor, Color). Sie ist die Quelle für die elektrische (genauer gesagt: elektromagne-tische) Wechselwirkung, eine der vier Grundkräfte der Physik (neben starker und schwacherWechselwirkung sowie der Gravitation).

(ii) Es gibt zwei Klassen von Ladungen, positive und negative. Dabei gilt, dass sich gleichnamigeLadungen abstoßen und ungleichnamige Ladungen gegenseitig anziehen.

(iii) Die elektrische Gesamtladung in einem abgeschlossenen System bleibt erhalten. Dies be-deutet, dass positive und negative Ladungen nur paarweise erzeugt bzw. vernichtet werdenkönnen,z.B. Materie ↔ Antimaterie, (“echte” Teilchen)oder Elektron ↔ Loch = Defektelektron (“Quasi-Teilchen”).

(iv) Ladung ist quantisiert:

Elementarladung (= Betrag der Ladung eines Elektrons): |e| = qel = 1, 602 · 10−19C,

wobei 1 Coulomb = 1C = 1As .

Alle (trennbaren) Elementarteilchen besitzen ein ganzzahliges Vielfaches von qel als elektri-sche Ladung:

qE = ±NE · qel mit NE ∈ N .

Hadronen (wie z.B. Proton und Neutron) bestehen ihrerseits aus Quarks, welche eine Ladung

qQ = ±NQ ·e

3mit NQ = 1 oder 2 ,

besitzen. Quarks kommen aber nur in gebundenen Zuständen mit ganzzahligen Vielfachender Elementarladung vor.

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1.2 Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen 1 ELEKTROSTATIK

1.2. Kräfte zwischen elektrischen Punktladungen

1.2.1. Coulombsches Kraftgesetz

Zwei diskrete punktförmige Ladungen q1 am Ort ~r1 und q2 am Ort ~r2 üben gegenseitig eine Kraftaufeinander aus. Sei ~F1←2 die Kraft, welche die Ladung q1 durch die Anwesenheit der Ladung q2

erfährt, und ~F 2←1 die Kraft, die q2 durch q1 erfährt. Sind beide Ladungen in Ruhe (Elektrostatik),dann gelten folgende experimentelle Erfahrungen:

(i) Nach dem Newtonschen Prinzip “actio = reactio” gilt

~F2←1 = −~F1←2

Die Richtung beider Kräfte ist parallel zum Abstandsvektor ~r2 − ~r1.

(ii) Die Stärke der Kräfte beträgt

|~F2←1| = |~F1←2| = γe|q1 · q2||~r2 − ~r1|2

mit der elektrostatischen Kraftkonstanten

γe =1

4π · ε0

mit ε0 = 8, 854 · 10−12 AsVm

ε0 heißt “Dielektrizitätskonstante desVakuums”, oder auch“Vakuum-Permittivität”

O

+

r r21

Abb. 1.1: Kraftwirkung zwischen zweiPunktladungen

(iii) Ob sich die beiden Ladungen q1 und q2 abstoßen oder anziehen, hängt von den Vorzeichender beiden Ladungen ab. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab und ungleichnamige ziehensich an:

sgn (q1) = sgn (q2) ⇔ Abstoßungsgn (q1) = − sgn (q2) ⇔ Anziehung

Die Aussagen (i) - (iii) lassen sich in kompakter Form als Vektorgleichung zusammenfassen. Be-achtet man, dass (~r2 − ~r1)/|~r2 − ~r1| der Einheitsvektor ist, welcher vom Ort ~r1 zum Ort ~r2 weist,so gilt:

~F2←1 = −~F1←2 =1

4π · ε0· q1 · q2

|~r2 − ~r1|3· (~r2 − ~r1) (1.1)

Dies ist das Coulombsche Gesetz in vektorieller Form.

1.2.2. Superpositionsprinzip

Eine Anordnung von N Ladungen qi (i = 1, ..., N) an den Orten ~ri (i = 1, ..., N) übt auf eineweitere Ladung q am Ort ~r eine elektrische Kraft ~Fq(~r) aus, die man durch Vektoraddition derCoulomb-Kräfte erhält, welche die Ladungen qi auf q ausüben. Es gilt also:

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1 ELEKTROSTATIK 1.3 Elektrische Feldstärke

~Fq(~r) =N∑i=1

1

4π · ε0· q · qi| ~r − ~ri |3

· (~r − ~ri)

bzw.

~Fq(~r) =q

4π · ε0·N∑i=1

qi|~r − ~ri|3

· (~r − ~ri)︸︷︷︸Quellen des Kraftfeldes

(1.2) O

+

...

Abb. 1.2: Diskrete Verteilung vonPunktladungen

Die Kräfte auf eine Ladung q addieren sich also in solcher Weise vektoriell, dass die elektrischenKräfte auf die Ladung q, die durch jede andere Ladung qi verursacht werden, ungestört überlagertwerden.

1.3. Elektrische Feldstärke

1.3.1. Definition des elektrischen Feldes

Die Gleichung (1.2) lässt sich auch so interpretieren, dass eine gegebene Ladungsträgerverteilung(qi, ~ri)i=1...N auch ohne Vorhandensein der Ladung q an jedem Ort ~r ein “Kraftfeld” ~E(~r) erzeugt.Bringt man eine “Testladung” q an den Ort ~r, so gilt

~Fq(~r) = q · ~E(~r) ,

woraus die Definition von ~E(~r) folgt:

~E(~r) :=1

q~Fq(~r) .

Das von (qi, ~ri)i=1...N erzeugte elektrische Feld lautet damit explizit:

~E(~r) =1

4π · ε0·N∑i=1

qi|~r − ~ri|3

· (~r − ~ri) . (1.3)

Die physikalische Einheit des elektrischen Feldes ist folglich

dim(| ~E|) =NAs

=kg ms2· 1

As=

Vm

mit der Definition 1 Volt = 1V = kg m2

As3 .

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1.3 Elektrische Feldstärke 1 ELEKTROSTATIK

1.3.2. Spezialfälle

(i) Monopolfeld: N = 1, eine Punktladung q0 am Ort ~r0 als Quelle:

~E(~r) =1

4π · ε0· q0

|~r − ~r0|3· (~r − ~r0) (1.4)

S. 6

+ -

Abb. 1.3: Pfeildiagramm des elektrischen Feldes einer Punktladung q0,mit q0>0 (links) bzw. q0<0 (rechts)

(ii) Dipolfeld: N = 2, Punktladungen (Q, ~r1) und (−Q, ~r2) als Quellen:

~E(~r) =Q

4π · ε0·[

1

|~r − ~r1|3· (~r − ~r1)− 1

|~r − ~r2|3· (~r − ~r2)

](1.5)

S. 7_1

E

E

Tangentenvektor an Feldlinie E =

E+

E−

E

+

−

Abb. 1.4: Elektrische Feldlinien zweier ungleichnamiger, betragsmäßig gleicherPunktladungen (Dipolfeld)

Beachte: Feldlinien beginnen bei der positiven Ladung und enden bei der negativen Ladung.

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1 ELEKTROSTATIK 1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential

1.3.3. Bemerkung zur graphischen Darstellung von Vektorfeldern

Vektorfelder wie das elektrische Feld ~E(~r) kann man als “Pfeildiagramm” wie in Abb. (1.3) dar-stellen, indem man an jedem Ort ~r den Vektorpfeil ~E(~r) anträgt. Dies kann aber recht unüber-sichtlich werden. Alternativ hierzu ist es oft zweckmäßiger eine Kurvenschar von “Feldlinien” zuzeichnen, die dadurch definiert ist, dass die Tangentenvektoren an jedem Punkt einer Feldliniedas Vektorfeld darstellen (siehe Abb. (1.4)). Möchte Superpositionsprinzip man eine Feldlinie mitParameterdarstellung λ 7→ ~r(λ) durch einen gegebenen Punkt ~r0 berechnen, so muss man dieBestimmungsgleichung

d~rdλ

= ~E(~r(λ)) , ~r(λ0) = ~r0

lösen (= Differentialgleichung für ~r(λ)).

1.4. Elektrische Arbeit, Spannung und Potential

1.4.1. Elektrische Arbeit

(i) Definition der mechanischen ArbeitEin punktförmiges Teilchen wird unter dem Ein-fluss eines Kraftfeldes ~F (~r) längs eines WegesC (P1, P2) in E3 von P1 nach P2 bewegt (Abb. (1.5)).Die hierbei geleistete mechanische Arbeit ergibt sichaus dem Integral über die Kraftkomponente tangenti-al zum Weg C (P1, P2). Um dieses zu berechnen, gehenwir von einer Parameterdarstellung von C (P1, P2) ausmit der Bogenlänge s als Kurvenparameter:

(0, l) 3 s 7→ ~r(s)

mit ~r(0) = ~r1 und ~r(l) = ~r2 .

) α dr

Abb. 1.5: Wegintegral

Der Tangential-Einheitsvektor an die Kurve C (P1, P2) ist

~t(s) =d~rds

;

∣∣∣∣d~rds∣∣∣∣ = 1 .

Das vektorielle Linienelement ist dann

d~r = ~t ds

Die differentielle mechanische Arbeit, die längs eines Linienelements geleistet wird, ist nachAbb. (1.5)

dW = |~F (~r(s))| cosα(s)ds = ~F (~r(s)) · ~t(s)ds .

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1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential 1 ELEKTROSTATIK

Die gesamte mechanische Arbeit ergibt sich dann als Integral

W12 =

lˆ

0

~F (~r(s)) · ~t(s)︸︷︷︸=d~r

ds

ds =

lˆ

0

~F (~r(s)) · d~rds

ds =

ˆ

C(P1,P2)

~F (~r) · d~r (1.6)

(ii) Elektrische ArbeitWird eine Punktladung q in einem elektrischen Feld ~E(~r) von P1 nach P2 längs C (P1, P2)

bewegt, so wird wegen ~Fq(~r) = q · ~E(~r) die elektrische Arbeit

W12 = q

ˆ

C(P1,P2)

~E(~r) · d~r (1.7)

geleistet.

1.4.2. Elektrische Spannung

(i) Definition der elektrischen SpannungDie elektrische Arbeit W12 ist nach Gl. (1.7) proportional zur Probeladung q, an der siegeleistet wird. Dividiert manW12 durch q, so erhält man eine Größe, die nur vom elektrischenFeld ~E(~r) abhängt. Diese heißt die elektrische Spannung zwischen P1 und P2:

U12 =W12

q=

ˆ

C(P1,P2)

~E · d~r (1.8)

Physikalische Einheit (vgl. Abs. 1.3.1):

dim(U12) = 1JAs

= 1V(olt)

(ii) Grundgesetz der ElektrostatikBei einem elektrostatischen ~E-Feld hängt die Spannung zwischen zwei Punkten P1 und P2

nur von diesen selbst, jedoch nicht von der Wahl des verbindenden Weges C(P1, P2) ab; dasheißt (vgl. Abs. A.2.2):

Elektrostatische Felder sind konservativ!

Man drückt dies durch die folgende Schreibweise aus:

U12 =

P2ˆ

P1

~E · d~r (1.9)

Zum Beweis dieser Aussage kann man in kartesischen Koordinaten die “Integrabilitätsbedin-gungen” (siehe Abs. A.2.2):

∂Ej∂xi

=∂Ei∂xj

(i, j = 1, 2, 3)

für das in Gl. (1.4) gegebene Coulomb-Feld verifizieren.

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(iii) Folgerung:Durchläuft man einen Weg C(P1, P2) in der Gegenrichtung, also von P2 nach P1, so kehrtsich beim Wegintegral die Richtung des Tangentenvektors um. Daher gilt:

U12 =

ˆ

C(P1,P2)

~E · d~r = −ˆ

C(P2,P1)

~E · d~r = −U21 (1.10)

(iv) Folgerung:Ein elektrostatisches ~E-Feld erfüllt für jede geschlossene Kurve C die Bedingung

ˆ

C

~E · d~r = 0 (1.11)

Zum Beweis wählen wir auf der Kurve C zwei Punkte P1 und P2 und zerlegen C in zweiTeilwege: C = C(P1, P2) + C(P2, P1).Dann gilt:

ˆ

C

~E · d~r =

ˆ

C(P1,P2)

~E · d~r +

ˆ

C(P2,P1)

~E · d~r = U12 + U21 = U12 − U12 = 0

1.4.3. Elektrisches Potential

(i) Definition des elektrischen PotentialsDas Grundgesetz der Elektrostatik hat zur Konsequenz, dass das elektrostatische ~E-Feld einGradientenfeld ist. Nach Abs. A.5 bedeutet dies, dass es eine Potentialfunktion Φ(~r) gibt mitder Eigenschaft:

~E(~r) = −gradΦ(~r) (1.12)

Nach Gl. (A5.4) lässt sich das elektrische Potential Φ(~r) aus dem elektrischen Feld ~E(~r)

folgendermaßen berechnen:

Φ(~r) = Φ(~r0)−P

P0

~E · d~r (1.13)

Hierbei ist P0 = O + ~r0 ein fest gewählter Referenzpunkt und P = O + ~r ein beliebigerAufpunkt. Der Potentialwert Φ(~r0) ist eine frei wählbare Konstante (Referenzpotential), dasoftmals zu Null gesetzt wird (Massepunkt, Nulleiter etc.).

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1.4 Elektrische Arbeit, Spannung und Potential 1 ELEKTROSTATIK

(ii) Zusammenhang mit der elektrischen SpannungDie Potentialdifferenz

Φ(~r)− Φ(~r0) = −P

P0

~E · d~r =

P0ˆ

P

~E · d~r = UPP0 (1.14)

ist offenkundig die elektrische Spannung UPP0 zwischen dem Aufpunkt P und dem Referenz-punkt P0. Allgemein kann man die Spannung U12 zwischen zwei Punkten P1 = O + ~r1 undP2 = O + ~r2 bestimmen mit der Beziehung

U12 = Φ(~r1)− Φ(~r2) . (1.15)

Beweis: Wir verbinden P1 mit P2 mit einem Weg C(P1, P2), der über den Referenzpunkt P0

führt:

C(P1, P2) = C(P1, P0) + C(P0, P2)

+

Dann gilt:

U12 =

P2ˆ

P1

~E · d~r =

P0ˆ

P1

~E · d~r

︸︷︷︸Φ(P1)−Φ(P0)

+

P2ˆ

P0

~E · d~r

︸︷︷︸−Φ(P2)+Φ(P0)

= Φ(P1)− Φ(P2)

(iii) ÄquipotentialflächenWie in Abs. A5.5 dargelegt, ist für einen gegebenen konstanten Potentialwert Φ0 die MengeF(Φ0) = P = O + ~r |Φ(~r) = Φ0 eine zweidimensionale Fläche in E3, die Äquipotenti-alfläche zu Φ0. Der Gradient gradΦ und damit das elektrische Feld ~E = −gradΦ stehenimmer senkrecht auf den Tangentialebenen an F(Φ0), sind also kollinear zur Oberflächen-normale. Variiert man Φ0, so erhält man eine Schar von Äquipotentialflächen, die alle vonden elektrischen Feldlinien senkrecht geschnitten werden.

(iv) Beispiel: Coulombpotential einer PunktladungWir wollen das elektrische Potential einer Punktladung Q am Ort PQ = O +~rQ bestimmen.Diese erzeugt das elektrische Feld (vgl. Gl. (1.4))

~E(~r) =Q

4πε0·

(~r − ~rQ)

|~r − ~rQ|3

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Für einen gegebenen Aufpunkt P = O + ~r

legen wir eine Gerade durch PQ und P ,über die wir das Wegintegral von P zumReferenzpunkt P0 ausführen wollen. P0 liegeauf dieser Geraden; er wird schließlich insUnendliche verschoben.

+ + P = O + r

Es ist also das Wegintegral

Φ(~r) = Φ(~r0) +

P0ˆ

P

~E · d~r = Φ(~r0) +

P0ˆ

P

Q

4πε0

(~r − ~rQ)

|~r − ~rQ|3· d~r

zu berechnen.Parametrisierung des Geradenstücks von P nach P0 :

C : ~r(λ) = ~rQ + λ~e; λ1 ≤ λ ≤ λ0

mit ~e =~r − ~rQ|~r − ~rQ|

; λ1 = |~r − ~rQ|; λ0 = |~r0 − ~rQ|

Tangentialvektor:d~rdλ

= ~e

Elektrisches Feld in Parameterdarstellung:

~E(~r(λ)) =Q

4πε0· λ~eλ3

=Q

4πε0· ~eλ2

Wegintegral:

P0ˆ

P

~E · d~r =

λ0ˆ

λ1

Q

4πε0· ~eλ2· ~e dλ =

Q

4πε0

λ0ˆ

λ1

1

λ2dλ =

Q

4πε0·[− 1

λ0+

1

λ1

]

Damit folgt:

Φ(~r) = Φ(~r0) +Q

4πε0·(

1

|~r − ~rQ|− 1

|~r0 − ~rQ|

)(1.16)

Üblicherweise schiebt man den Bezugspunkt ins Unendliche, |~r0| → ∞, und setzt Φ(~r0) = 0;es gilt dann:

Φ(~r) =1

4πε0· Q

|~r − ~rQ|(1.17)

Die Äquipotentialflächen sind konzentrische Kugeloberflächen mit Zentrum ~rQ.

Φ(~r) = const. = Φ0 ⇔ |~r − ~rQ| =Q

4πε0· 1

Φ0(1.18)

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1.5 Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien 1 ELEKTROSTATIK

(v) Beispiel: Potential einer diskreten Ladungsverteilung (qi, ~ri)i=1,...,N :Mit Anwendung des Superpositionsprinzips und Gleichung (1.17) ergibt sich für das Potentialder Ladungsverteilung:

Φ(~r) =1

4πε0·N∑i=1

qi|~r − ~ri|

(1.19)

1.5. Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien

1.5.1. Elektrische Polarisierbarkeit

Ein elektrisch polarisierbares Material, auch “Dielektrikum” genannt, hat die Eigenschaft, dass einvon außen einwirkendes elektrisches Feld im Material auf einer atomaren Längenskala elektrischeDipole induziert oder bereits vorhandene gleichorientiert. Durch Überlagerung der hierbei erzeug-ten atomistischen Dipolfelder wird ein zusätzliches makroskopisches elektrisches Feld generiert, dassich dem äußeren Feld überlagert und dieses abschwächt (“abschirmt”).

Dadurch erfährt eine Probeladung eine verminderte elektrische Kraft. Falls die elektrische Polari-sierung proportional zum äußeren ~E-Feld erfolgt, spricht man von einem linearen Materialgesetz.In diesem Fall gilt:

In einem Dielektrikum gilt das Coulombsche Gesetz, aber mit einer verringerten Kraft-konstanten:

~Fq(~r) =1

εr· ~Fq,vac(~r) =

q

4π ε0εr︸︷︷︸=ε

·N∑i=1

qi|~r − ~ri|3

(~r − ~ri) (1.20)

Da die Kraftwirkung abgeschwächt wird, gilt εr ≥ 1.

Das Produkt ε0εr wird als dielektrische Konstante (oder elektrische Permittivität) bezeich-net; εr heißt relative dielektrische Konstante und ε0 ist die dielektrische Konstante des Vakuums.

Typische Werte für εr sind:

Gase(Luft) : εr = 1, 0005 . . . 1, 0010

organische Materialien, Öl : εr = 1, 5 . . . 10

Wasser : εr = 81

Keramik-Werkstoffe : εr = 103 . . . 104

(high-k-Materialien)

1.5.2. Dielektrisches Verschiebungsfeld

(i) Das Kraftgesetz (1.20) legt es nahe, die rechte Seite in der Form ~Fq(~r) = q · 1ε · ~D(~r) zu

faktorisieren. Der Term ~D(~r) lässt sich alleine aus der Kenntnis der felderzeugenden La-dungsverteilung (qi, ~ri)i=1,...,N bestimmen, während die Polarisierbarkeit des umgebendenMaterials durch den Faktor 1

ε berücksichtigt wird. Man definiert daher

~D(~r) = ε ~E(~r) = ε0εr ~E(~r) (1.21)

als dielektrisches Verschiebungsfeld. Offenkundig gilt:

~D(~r) =1

4π·N∑i=1

qi|~r − ~ri|3

(~r − ~ri). (1.22)

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1 ELEKTROSTATIK 1.5 Elektrische Felder in elektrisch polarisierbaren materiellen Medien

In der Tat ist dieser Ausdruck allein durch die felderzeugende Ladungsverteilung (qi, ~ri)i=1,...,N

bestimmt und materialunabhängig.

(ii) Wir betrachten nun ein dreidimensionalesKontrollvolumen V , das von der geschlosse-nen Randfläche ∂V umhüllt wird. Bezeich-net ~N die äußere Einheitsnormale auf ∂V ,so definiert man den “Verschiebungsfluss”durch ∂V als das “Hüllflächenintegral”(vgl. Abs. A.6.3, Gl. (A.6.7))

ˆ

∂V

~D · d~a =

ˆ

∂V

(~D · ~N

)da (1.23)

1.5.3. Gaußsches Gesetz

(i) Mit Hilfe des Verschiebungsflusses lässt sich ein zentrales Gesetz der elektrischen Feldtheo-rie formulieren, das “Gaußsche Gesetz über die eingeschlossene Ladung”. Wir demonstrierendieses Gesetz am einfachsten Fall, nämlich dem Verschiebungsfeld einer am Ursprung befind-lichen Punktladung Q.Dieses lautet:

~D(~r) =1

4π· Qr3· ~r mit r = |~r|

Als Kontrollvolumen nehmen wir eine Kugel K(O, R) umden Ursprung mit Radius R. Die Hüllfläche ist dann dieKugeloberfläche

∂K(O, R) = O + ~r ∈ E3

∣∣ |~r| = R,

mit dem äußeren Normaleneinheitsvektor

~N = ~er =~r

r,

und dem vektoriellen Oberflächenelement

d~a = ~N da =~r

rda.

+

da =Nda

Der Verschiebungsfluss durch die Hüllfläche ∂K(O, R) ist dann

ˆ

∂K(O,R)

~D · d~a =Q

4π·ˆ

∂K(O,R)

~r

r3· ~rr︸︷︷︸

1r2

= 1R2

da =Q

4πR2

ˆ

∂K(O,R)

da = Q · 4πR2

4πR2= Q . (1.24)

Die detaillierte Ableitung dieses Ergebnisses findet sich in Abs. A.6.4.

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1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen 1 ELEKTROSTATIK

(ii) Verallgemeinerung (ohne Beweis):Sei nun eine Punktladung Q an einem beliebigen Ort P0 = O+~r0 positioniert, und das Kon-trollvolumen V und seine Hüllfläche ∂V seien von allgemeiner Gestalt. Das von Q erzeugteVerschiebungsfeld lautet

~D(~r) =1

4π· Q

|~r − ~r0|3(~r − ~r0) (1.25)

Dann gilt: ˆ

∂V

~D · d~a =

Q für P0 ∈ V \ ∂V0 für P0 /∈ V \ ∂V

(1.26)

(iii) Gaußsches Gesetz (für Punktladungen)Wir betrachten eine beliebige diskrete Ladungsverteilung (qi, ~ri)i=1...N und ein allgemeingeformtes Kontrollvolumen V mit Hüllfläche ∂V . Mit

Q(V ) :=∑~ri∈V

qi (1.27)

bezeichnen wir die von der Hüllfläche ∂V im Inneren von V eingeschlossene Ladung; d.h. inder Summe werden genau diejenigen Quellpunkte ~ri gezählt, die in V enthalten sind.Dann gilt: ˆ

∂V

~D · d~a = Q(V ) =∑~ri∈V

qi (1.28)

Diese Aussage ergibt sich durch Anwendung des Superpositionsprinzips (vgl. Abs. 1.2.2,Gl. (1.22) und (1.26)).

1.6. Kontinuierliche Ladungsverteilungen

1.6.1. Raumladungsdichte

Diskrete Punktladungsverteilungen gibt es nur auf einer atomistischen Längenskala (< 1nm). Auftechnisch relevanten Längenskalen betrachtet man aber sehr viele Ladungsträger pro Volumenein-heit (z.B. 1022 Elektronen pro cm3 in einem Leiter), sodass es sinnvoll ist, von einer kontinuierlichverteilten Ladungsträgerkonzentration auszugehen. Um diese zu beschreiben, umgibt man einenOrt ~r mit einem Volumen ∆V (~r) und führt eine Raumladungsdichte %(~r) ein als

ρ(~r) =Ladungsmenge (netto) in ∆V (~r)

|∆V (~r)|für |∆V (~r)| → 0

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1 ELEKTROSTATIK 1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen

Mathematisch präziser lautet die Definition wie folgt:

ρ(~r)d3r (= ρ(x, y, z) dxdydz in kartesischen Koordinaten) ist die im Volumenelementd3r enthaltene differentielle Ladung dQ, sodass für beliebige Kontrollvolumina V gilt:

Q(V ) =

ˆ

V

ρ(~r) d3r (1.29)

ist die im Volumen V eingeschlossen Ladung. In differentieller Form heisst dies:

ρ(~r) = lim|∆V (~r)|→0

Q(∆V (~r))

|∆V (~r)|(1.30)

1.6.2. Oberflächenladungsdichte

Manchmal sind die elektrischen Ladungen in einer sehr dünnen Schicht entlang der Oberflächeeines Körpers oder der Grenzfläche zwischen zwei aneinandergrenzenden Materialien verteilt. Indiesem Fall führt man auf einer zweidimensionalen Fläche S eine Flächenladungsdichte σ(~r) ein,indem man einen Ort ~r auf S mit einem kleinen Flächenstück ∆A(~r) umgibt und definiert

σ(~r) =Ladungsmenge in ∆A(~r)

|∆A(~r)|für |∆A(~r)| → 0 .

Ist da das skalare Oberflächenelement auf der Fläche S (vgl. Abs. A6.3), so gilt:

σda ist die im Flächenelement da enthaltene differentielle Ladung dQ, sodass für beliebige Teilflä-chenstücke A ⊂ S gilt:

Q(A) =

ˆ

A

σ(~r) da (1.31)

ist die in der Fläche A enthaltene Ladung. In differentieller Form heißt das:

σ(~r) = lim|∆A(~r)|→0

Q(∆A(~r))

|∆A(~r)|(1.32)

1.6.3. Gaußsches Gesetz für Ladungsverteilungen (in integraler Form)

(i) Das in Gl. (1.28) für Punktladungen formulierte Gaußsche Gesetz bleibt für kontinuierlichverteilte Ladungen mit einer Raumladungsdichte ρ(~r) gültig, wenn man für die eingeschlos-sene Ladung Q(V ) den Ausdruck (1.29) einsetzt. Das Gaußsche Gesetz lautet dann:

Eine Raumladungsverteilung σ(~r) erzeugt ein Verschiebungsfeld ~D(~r) derart, dassfür beliebige Kontrollvolumina V mit der Hüllfläche ∂V gilt:

ˆ

∂V

~D · d~a = Q(V ) =

ˆ

V

ρ(~r) d3 r (1.33)

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1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen 1 ELEKTROSTATIK

(ii) Sind die das ~D-Feld erzeugenden Ladungen auf einerFläche S konzentriert mit einer Flächenladungsdichteσ(~r) , dann gilt für jedes Kontrollvolumen V , das dieFläche S schneidet:ˆ

∂V

~D · d~a = Q(S ∩ V ) =

ˆ

S∩V

σ(~r) da (1.34)

(iii) Einen Spezialfall stellt die Oberfläche S eines idealen Leiters dar. Dessen Inneres ist in derElektrostatik feldfrei, also ~D = 0.

Als Kontrollvolumen V wählen wir eine kleine dünnePlatte, deren Oberseite außerhalb des Leiters parallelzur Leiteroberfläche S verläuft, während die Unter-seite im Leiter selbst verläuft. Das ~D-Feld außerhalbdes Leiters steht senkrecht auf seiner Oberfläche (vgl.Abs. 1.4.3 (iii)), also parallel zur äußeren Einheits-normalen ~N.

Lässt man die Plattendicke gegen null gehen, so erhält man aus Gl. (1.34) für jedes kleineFlächenstück A ⊂ S:

ˆ

A

~D d~a =

ˆ

A

~D · ~N da =

ˆ

A

σ da

wobei ~D · ~N den einseitigen Grenzwert vom Außenraum des Leiters bezeichnet. Da Abeliebig gewählt werden kann, folgt:

~D · ~N = σ auf der Fläche S (1.35)

(einseitiger Grenzwert vom Außenraum)

1.6.4. Gaußsches Gesetz in differentieller Form und Poissongleichung

(i) Nach Gleichung (1.33) gilt zwischen der Raumladungsdichte ρ(~r) und dem hiervon erzeugtenVerschiebungsfeld ~D(~r) der Zusammenhang

ˆ

∂V

~D d~a =

ˆ

V

ρ d3 r

für jedes Kontrollvolumen V . Andererseits können wir mit dem Integralsatz von Gauß (vgl.Abs. A7.3) den Verschiebungsfluss durch ∂V in ein Gebietsintegral über V verwandeln:

ˆ

∂V

~D d~a =

ˆ

V

div ~D d3 r,

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1 ELEKTROSTATIK 1.6 Kontinuierliche Ladungsverteilungen

Damit erhalten wir: ˆ

V

div ~D d3 r =

ˆ

V

ρ d3 r

Da diese Gleichheit für beliebige Kontrollvolumina V gilt, müssen die Integranden überein-stimmen, und wir erhalten das Gaußsche Gesetz in differentieller Form:

div ~D = ρ (1.36)

(ii) In der Elektrostatik ist das ~E-Feld ein Gradientenfeld: ~E = − grad Φ. Außerdem sind ~D und~E über das Materialgesetz ~D = ε ~E miteinander verknüpft. Eingesetzt in Gl. (1.36) ergibtsich damit die Poissongleichung:

div(ε grad Φ) = −ρ (1.37)

Ist überdies ε nicht ortsabhängig, so ergibt sich:

div(grad Φ) = −ρε

Mit dem Laplace-Operator (vgl. Abs. A7.5)

4Φ := div(grad Φ)

ergibt sich schließlich die Poissongleichung in vereinfachter Form als

4Φ = −ρε

(1.38)

(In kartesischen Koordinaten gilt: 4 = ∂2

∂x2 + ∂2

∂y2 + ∂2

∂z2 )Diese Gleichung bildet den Ausgangspunkt zur Berechnung elektrostatischer Felder für pra-xisrelevante Anwendungen. Hierbei werden für eine vorgegebene Ladungsverteilung ρ(~r) Lö-sungen Φ(~r) auf einem meist endlichen Teilgebiet Ω ⊂ E3 gesucht, auf dessen Rand ∂Ω

Vorgaben für Φ gemacht werden. Systematische Lösungsverfahren können aber im Rahmendieser Vorlesung nicht behandelt werden.

1.6.5. Coulomb-Potential

(i) Will man für eine gegebene diskrete Ladungsverteilung (qi, ~ri)1...N das elektrische PotentialΦ(~r) bestimmen, haben wir mit Gl. (1.19) bereits die Lösung gefunden:

Φ(~r) =1

4πε0·n∑i=1

qi|~r − ~ri|

(1.39)

Dieses Potential löst also die Poissongleichung (1.38) in E3 \ P1 . . . PN, wobei Pi = O + ~ridie Quellpunkte der erzeugenden Ladungen sind. Es erfüllt überdies die “Randbedingung”Φ(~r)→ 0 für |~r| → ∞.Leider ist diese Lösung nur von geringem praktischen Nutzen, weil sie die Kenntnis allerfelderzeugenden Ladungen voraussetzt. In der Praxis hat man aber meist andere Vorgaben:Die Ladungen befinden sich beispielsweise auf einem Leiter, auf dem sie frei beweglich sind

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1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien 1 ELEKTROSTATIK

und sich selbstkonsistent räumlich so anordnen, dass der Leiter im Inneren feldfrei ist, alsoein Äquipotentialgebiet bildet (vgl. Abs. 1.7.1).Dennoch wollen wir Gl. (1.39) auf den Fall einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ρ(~r)

verallgemeinern, weil das so konstruierte “Coulomb-Potential” für viele feldtheoretische Her-leitungen wesentlich ist.

(ii) Wir suchen also das elektrische Potential Φ(~r) zu einer überall in E3 definierten kontinuierli-chen Ladungsträgerverteilung ρ(~r). Statt hierzu die Poissongleichung (1.38) zu lösen, gehenwir von Gl. (1.39) aus. Wir stellen uns vor, dass ρ(~r) durch eine quasikontinuierliche, diskreteLadungsträgerverteilung (qi, ~ri)1...N mit N → ∞ entstanden ist. Hierbei wird qi um einenPunkt ~ri so “verschmiert”, dass die im Volumen d3r um den Punkt ~ri enthaltene LadungdQ(~ri) gleich qi ist:

qi = dQ(~ri) = ρ(~ri)d3r

Hieraus ergibt sich dann die folgende Substitutionsregel für die Summation über Ausdrückeder Form func(~ri; Parameter)qi:∑

i

func(~ri; Parameter)qi →ˆ

E3

func(~r; Parameter)ρ(~r)d3r (1.40)

Für Gl. (1.39) bedeutet dies:

Φ(~r) =1

4πε

ˆ

E3

ρ(~r′)

|~r − ~r′|d3 r′ (Coulombpotential) (1.41)

Das Coulomb-Potential löst ∆Φ = −ρε im E3 und erfüllt die Randbedingung Φ(~r) → 0

für |~r| → ∞.

(iii) Das von der Raumladung ρ(~r) erzeugte elektrische Feld ~E(~r) kann man gemäß ~E = − grad Φ

aus Gl. (1.41) berechnen. Einfacher ist es jedoch, vom Feld der quasikontinuierlich verteiltenPunktladungen Gl. (1.3) auszugehen und die Substitutionsregel (1.40) anzuwenden. Manerhält so das Coulomb-Feld

~E(~r) =1

4πε

ˆ

E3

~r − ~r′

|~r − ~r′|3ρ(~r′) d3 r′. (1.42)

1.7. Elektrische Felder zwischen leitenden Medien

1.7.1. Influenz

(i) In einem leitenden Körper sind extrem viele frei bewegliche Ladungsträger vorhanden (≈ 1021

- 1023 Elementarladungen pro cm3). Diese arrangieren sich im elektrostatischen Gleichgewichtso, dass kein elektrisches Feld erzeugt wird und ihre Ladungen exakt von der Hintergrund-ladung des leitenden Mediums kompensiert wird. Es gibt daher keine Raumladung (lokaleNeutralität). Eine Störung des feldfreien Zustandes wird sofort durch den Effekt der dielek-trischen Abschirmung ausgeglichen. Die Feldfreiheit im Inneren des Leiters impliziert, dassdieser mitsamt seiner Oberfläche ein Äquipotentialgebiet darstellt:

~E = −∇Φ = 0 ⇔ Φ = constans

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1 ELEKTROSTATIK 1.7 Elektrische Felder zwischen leitenden Medien

(ii) Wird ein Leiter einem äußeren ~E-Feld ausgesetzt, so bleibt in seinem Inneren das elektro-statische Gleichgewicht bestehen. Dazu muss aber durch eine Ladungsträgerverschiebung anseiner Oberfläche eine Oberflächenladungsdichte σ(~r) induziert werden, deren Feld das vonaußen einwirkende Feld exakt kompensiert. Diesen Vorgang nennt man Influenz.Die Situation lässt sich durch folgende Bedingungen charakterisieren:

a) Im Inneren des Leiters gilt ~E = 0

b) Das elektrische Feld im Aussenraum trifft im rechten Winkel auf die Leiteroberfläche:~E ⊥ Leiteroberfläche

c) Die auf der Leiteroberfläche induzierte Oberflächenladung genügt der Bedingungσ = ~D · ~N (im Grenzwert von außen, vgl. Gl. (1.35))

+ + ++ ++ -

- - -

-

-

Abb. 1.6: Influenz

1.7.2. Elektrische Kapazität

(i) Definition der Kapazität einer ZweileiteranordnungMan betrachtet zwei Leiter L1 und L2, die auf unterschiedlichen elektrischen Potentialen Φ1

und Φ2 liegen. Die elektrische Spannung zwischen beiden Leitern berechnen wir, indem wirvon einem Punkt auf Leiter L1 ausgehend einer Feldlinie zum Leiter 2 folgen:

U12 = Φ1 − Φ2 =

L2ˆ

L1

~E · d~r

hier : !1 >!2

! (!r ) =!2

Leiter 2

!(!r ) =!1

Leiter 1

Ladung + Q

E = −∇Φ Ladung - Q

Abb. 1.7: Kapazität

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Die auf dem Leiter L1 befindliche Ladung Q sei gegengleich zu der Ladung −Q auf Lei-ter L2. Wir bestimmen sie, indem wir eine Hüllfläche H um den Leiter L1 legen und denVerschiebungsfluss berechnen:

Q =

ˆ

H um L1

~D · d~a =

ˆ

H um L1

ε ~E · d~a

Hierbei ist ε die Permittivität des Materials zwischen den beiden Leitern. Die Kapazität derAnordnung ist definiert als

C =Q

U12(1.43)

Die Kapazität der Anordnung hängt nur von der Geometrie der Leiteranordnung und derPermittivität des Dielektrikums ab, nicht aber von der angelegten Spannung U12. Dies er-kennt man unmittelbar aus der Darstellung

C =

´H ε

~E · d~a´ L2

L1

~E · d~r(1.44)

Wird die Spannung um einen Faktor verändert, ändert sich der Betrag von ~E um denselbenFaktor in Zähler und Nenner von Gl. (1.44), sodass der Wert der Kapazität C unverändertbleibt.

(ii) Beispiel 1: Plattenkondensator:Ein Plattenkondensator ist aus zwei ebenen parallelen Lei-terplatten mit der Fläche A und Plattenabstand d aufge-baut, zwischen denen sich ein Dielektrikum mit der Per-mittivität ε befindet. Die Platten werden mit gegengleichenLadungen ±Q aufgeladen. Das entstehende elektrische Feld~E zwischen den Platten ist konstant und steht senkrechtauf den Platten (Streufelder am Rand der Platten werdenvernachlässigt).Die elektrische Spannung ist dann

U12 =

L2ˆ

L1

~E · d~r = Ez · d

und die Ladung Q ist

Q =

ˆ

H

~D · d~a = Dz ·A = εEz ·A E = Ez

ez

Abb. 1.8: Plattenkondensator

Damit ergibt sich für die Kapazität:

C =Q

U12= ε · A

d(1.45)

Offenkundig ist dieser Ausdruck nur von ε und der Geometrie des Kondensators abhängig.

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(iii) Beispiel 2: Kugelkondensator:Ein Kugelkondensator besteht aus einem inneren ku-gelförmigen Leiter mit Radius a, der konzentrisch ineiner Hohlkugel eines äußeren Leiters mit Hohlkugelra-dius b > a angeordnet ist. Im Zwischenraum a ≤ r ≤ bbefindet sich ein Dielektrikum mit Permittivität ε.Eine Ladung Q auf der Innenkugel mit Gegenladung−Q auf der Außenkugel generiert ein kugelsymmetri-sches ~E-Feld ~E(~r) = E(r)~er im Dielektrikum. Nachdem Gaußschen Gesetz gilt:

Q =

ˆ

|~r|=r

~D · d~a = ε · E(r)4πr2 für a ≤ r ≤ b

woraus folgt:

E(r) =Q

4πε· 1

r2

Feld: E = E r( ) ⋅ er

a ≤ r ≤ b

b

a D

Q

-Q

Abb. 1.9: Kugelkondensator

Damit erhalten wir für die Spannung Uab zwischen den Leitern

Uab =

bˆ

a

E(r) dr =Q

4πε·

bˆ

a

1

r2dr

=Q

4πε·(

1

a− 1

b

)=

Q

4πε· b− aab

Für die Kapazität ergibt sich:

C =Q

Uab= 4πε

a · bb− a

(1.46)

1.7.3. Kondensatoraggregate

(i) Parallelschaltung:Es werden N Kondensatoren mit Kapazitäten (Ci)i=1...N parallel zusammengeschaltet. Siewerden bei Anlegen der Spannung U mit gegengleichen Ladungen ±Qi aufgeladen, wobei anallen Kondensatoren dieselbe Spannung U anliegt. Es gilt:

Qi = Ci · U ⇒ Qtotal =

N∑i=1

Qi = U ·N∑i=1

Ci

Q total= Q i

i=1

N

∑

Abb. 1.10: Parallelschaltung von Kondensatoren

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Daraus ergibt sich als Ersatzkapazität Cp für die Parallelschaltung:

Cp =Qtotal

U=

N∑i=1

Ci (1.47)

(ii) Serienschaltung:Es werden N Kondensatoren mit Kapazitäten (Ci)i=1...N in Reihe geschaltet. Sie werden beiAnlegen der Spannung U mit gegengleichen Ladungen ±Qi aufgeladen, wobei aus Gründender Ladungserhaltung alle Qi denselben Wert Qi = Q haben müssen. Die Gesamtspannung Uteilt sich additiv auf die Teilspannungen Ui auf, die an den einzelnen Kondensatoren anliegen.Es gilt also:

Ui =Q

Ci⇒ U =

N∑i=1

Ui =N∑i=1

Q

Ci= Q

N∑i=1

1

Ci

Abb. 1.11: Serienschaltung von Kondensatoren

Daraus ergibt sich der Kehrwert der Ersatzkapazität Cs für die Serienschaltung:

1

Cs=

N∑i=1

1

Ci(1.48)

(iii) Parallele dielektrische Medien:Man betrachtet einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand d, dessen Inneres mitzwei parallel angeordneten Dielektrika mit den Permittivitäten ε1 und ε2 gefüllt ist. DiePlattenflächen, die zu den jeweiligen Dielektrika gehören, werden mit A1 und A2 und die amKondensator anliegende Spannung mit U bezeichnet. Unter Vernachlässigung von Streufel-dern sind das ~E-Feld und ~D-Feld in den beiden Dielektrika jeweils konstant.

Abb. 1.12: Parallele dielektrische Schichten

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Es gilt also:

U = | ~E1| · d = | ~E2| · d ⇒ | ~E1| =U

d= | ~E2|

Mit Gl. (1.35) erhalten wir für die Flächenladungsdichte σi auf den beiden Plattenbereichen

σ1 = | ~D1| = ε1 ·U

dund σ2 = | ~D2| = ε2 ·

U

d

und damit die beiden Teilladungen

Q1 = σ1A1 und Q2 = σ2A2

woraus sich die Gesamtladung ergibt zu:

Q = Q1 +Q2 = σ1A1 + σ2A2 =U

d(ε1A1 + ε2A2)

Daraus ergibt sich folgende Gleichung für die Kapazität der gesamten Anordnung:

C =Q

U=ε1A1

d+ε2A2

d(1.49)

Man erkennt, dass sich diese Anordnung verhält wie die Parallelschaltung C = C1+C2 zweierPlattenkondensatoren mit den Kapazitäten

C1 =ε1A1

dund C2 =

ε2A2

d

(iv) Serielle dielektrische Medien:Man betrachtet einen Plattenkondensator mit dem Plattenabstand d = d1 + d2, wobei derZwischenraum mit zwei seriell geschichteten Dielektrika der Dicke d1 und d2 und den Per-mittivitäten ε1 und ε2 ausgefüllt ist. Die Plattenfläche ist A. Legt man an die Platten eineSpannung U an, so bauen sich in den beiden dielektrischen Schichten die jeweils konstantenFelder ~E1 und ~E2 sowie ~D1 und ~D1 auf. Die Oberflächenladungsdichten an der oberen undunteren Platte sind konstant; mit Gl. (1.35) folgt:

| ~D1| = |σtop| =Q

A= |σbottom| = | ~D2|

D2 = ε2

E2

Abb. 1.13: Serielle dielektrische Schichten

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Durch Integration über das ~E-Feld zwischen den beiden Platten ergibt sich andererseits

U = U1 + U2 = | ~E1|d1 + | ~E2|d2 =| ~D1|ε1

d1 +| ~D2|ε2

d2

Fassen wir beide Gleichungen zusammen, erhalten wir

U =Q

A

(d1

ε1+d2

ε2

)das heißt:

C =Q

U=

Ad1ε1

+ d2ε2

(1.50)

Man kann dieses Ergebnis als Reihenschaltung zweier Plattenkondensatoren mit den Kapa-zitäten

C1 =ε1A

d1und C2 =

ε2A

d2

interpretieren:

C =

(1

C1+

1

C2

)−1

1.7.4. Elektrische Feldenergie

(i) Energieinhalt eines aufgeladenen Kondensators:Wir betrachten einen aus zwei Leitern L1 und L2 aufgebauten Kondensator. L1 sei mit derpositiven Ladung Q geladen, L2 mit −Q, und zwischen beiden Leitern liege die elektrischeSpannung U(Q). Um den Kondensator weiter aufzuladen, muss Q um ∆Q > 0 erhöht werden.Dies kann geschehen, indem die Ladungsmenge ∆Q entgegen der elektrostatischen Kraft∆Q · ~E von L2 nach L1 transportiert wird; die hierbei aufzubringende mechanische Arbeit∆Wmech wird als Zuwachs an elektrischer Energie ∆Wel im Kondensator verzeichnet undbeträgt

∆Wel = −∆Wmech = −L1ˆ

L2

∆Q · ~E · d~r = ∆Q ·L2ˆ

L1

~E · d~r = ∆Q · U(Q)

Abb. 1.14: Schematische Ansicht eines Zweileiter-Kondensators

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Der differentielle Energiezuwachs beim Laden des Kondensators von Q zu Q + dQ beträgtalso

dWel = U(Q) dQ

Lädt man den Kondensator vom leeren Zustand Q = 0 bis zur Endladung Q auf, ergibt sichein Energieinhalt von

Wel =

Q

0

U(Q′) dQ′ (1.51)

Im Falle eines idealen Kondensators mit Kapazität C gilt U(Q) = Q/C, woraus folgt:

Wel =

Q

0

Q′

CdQ′ =

1

2· Q

2

C

Alternative Darstellungen sind:

Wel =1

2· Q

2

C=

1

2· U ·Q =

1

2· C · U2 (1.52)

(ii) Energiedichte des elektrischen Feldes:Eine physikalisch interessante Frage ist es nun, wo die elektrische Energie im Kondensatorgespeichert ist. Es ist naheliegend anzunehmen, dass die Energie als Polarisationsenergie imDielektrikum abgespeichert ist, also über dieses mit einer räumlich verteilten Energiedichtewel(~r) verteilt ist. Betrachten wir einen Plattenkondensator mit Plattenfläche A und Plat-tenabstand d, so können wir die im Volumen V = A · d gespeicherte Energie ausdrücken inder Form

Wel =1

2· U ·Q =

1

2· | ~E| · d · | ~D| ·A =

1

2· | ~E| · | ~D| · V

d

Q

Q−

A

E

S. 25_2

Hieraus ergibt sich als elektrische Energiedichte

wel =Wel

V=

1

2· | ~E| · | ~D| = ε

2· | ~E|2 =

1

2ε· | ~D|2 (1.53)

Dies ist in der Tat auch das Ergebnis, das man aus allgemein gültigen feldtheoretischenÜberlegungen erhält, nämlich

wel =1

2~E · ~D (1.54)

Interessant ist nun, dass auch im materiefreien Raum diese Beziehung gilt. Das elektrischeFeld selbst ist also der Träger der Feldenergie!

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2 STATIONÄRE STRÖME

2. Stationäre Ströme

2.1. Elektrische Stromstärke und Stromdichte

Wir betrachten nun elektrisch leitende Medien, in denen sich sehr viele frei bewegliche Ladungsträ-ger befinden, die sich unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes und anderer treibender Kräfte(wie z.B. Teilchendiffusion oder Thermodiffusion) ähnlich wie eine Flüssigkeit in einem kontinuierli-chen Strömungsfeld bewegen. Zu einer kontinuumstheoretischen Beschreibung solcher Strömungenbenötigen wir einige grundlegende Definitionen:

(i) Definition der elektrischen StromstärkeMan setzt in die Ladungsströmung eine Kontrollfläche A ein und bestimmt, welche Ladungs-menge dQ(A) diese Fläche A pro Zeiteinheit durchströmt:

Strom(stärke) I(A) :=dQ(A)

dt(2.1)

Phys. Einheit: dim(I) = 1Cs

= 1 A(mpère)

S. 26_1

AQ∆⊕

⊕⊕

A

⊕

(ii) Elektrische StromdichteDas Strömungsfeld elektrischer Ladungen wird durch ein Vektorfeld ~j(~r, t) beschrieben, dasfolgende definierende Eigenschaften hat:

a) Die Richtung von ~j ist tangential an die Strömungsflusslinien (Ladungstrajektorien).

b) Der Betrag von ~j ist durch folgenden Grenzprozess bestimmt: Dem Strömungsfeld wirdsenkrecht zur Flussrichtung eine kleine Kontrollfläche 4A entgegengestellt. Die Strom-dichte ergibt sich aus der durch 4A fließenden Stromstärke I(4A) pro Flächeninhalt |4A|im Limes |4A| → 0

|~j| := lim|4A|→0

I(4A)

|4A|

Phys. Einheit: dim(|~j|) = 1Am2

(Acm2

)

Mit Hilfe der Stromdichte ~j kann man den Strom I(S) berechnen, der durch eine beliebiggeformte Fläche S strömt. Ist d~a das vektorielle Flächenelement auf S, so ist

dQ = (~j · ~N) da dt = ~j · d~a dt

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2 STATIONÄRE STRÖME 2.1 Elektrische Stromstärke und Stromdichte

S. 26_2

d da N a= ⋅

j

die differentielle Ladungsmenge, die in der Zeit dt die Fläche da durchströmt. Das Ska-larprodukt ~j · ~N berücksichtigt, dass die Stromdichte für senkrecht zur Strömung orientierteKontrollflächen definiert wurde, während nun d~a auch “schräg” zur Strömung orientiert seindarf. Die durch das Flächenelement d~a strömende differentielle Stromstärke ist dann

dI(d~a) = ~j · d~a

woraus sich für den durch die Fläche S fließenden Strom ergibt:

I(S) =

ˆ

S

~j · d~a (2.2)

(iii) Zusammenhang mit der RaumladungsdichteWir hatten in Abs. 1.6 den Begriff der Raumladungsdichte ρ eingeführt, um kontinuierlicheVerteilungen von Ladungsträgern zu beschreiben. Wenn diese nun frei beweglich sind, musses zwischen ~j und ρ einen Zusammenhang geben.Sei n(~r) die Teilchendichte der beweglichen Ladungsträger (= Anzahl der Ladungsträger proVolumen) und q deren spezifische Ladung (= Ladung pro Träger). Dann gilt

ρ(~r) = q · n(~r) (2.3)

da dQ

v

dr = vdt

N

Sei weiterhin ~v(~r) die mittlere Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger im Strömungsfeld. Wirbetrachten nun eine kleine Kontrollfläche d~a und markieren zum Zeitpunkt t = t0 alle Träger,die sich gerade auf der Kontrollfläche befinden. In der Zeit dt legen diese nun ein Wegstückd~r = ~v dt zurück und befinden sich nun auf einer “parallel” verschobenen Fläche im Abstandd~r von d~a. Die Ladungsträger, welche sich im Quader zwischen d~a und der um d~r verscho-benen Fläche befinden, sind genau diejenigen, welche im Zeitraum zwischen t0 und t0 + dt

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2.2 Ladungsträgertransport im elektrischen Feld 2 STATIONÄRE STRÖME

die Fläche passiert haben. Wir können also die im Quader befindliche Ladung

dQ = ρ · dV = qn dV = qn · d~a · d~r = qn~v · d~a dt

mit der gleichsetzen, die d~a durchströmt hat:

dQ = ~j · d~a dt

Durch Vergleich der beiden Ausdrücke ergibt sich

~j = q · n · ~v = ρ · ~v (2.4)

Im Falle, dass die elektrische Stromdichte aus K verschiedenen Sorten von Ladungsträgernzusammengesetzt ist, gilt die allgemeine Beziehung

~j =K∑α=1

qα · nα · ~vα (2.5)

wobei qα, nα und ~vα die spezifische Ladung, Trägerkonzentration und Driftgeschwindigkeitder Trägerspezies α bezeichnen.

2.2. Ladungsträgertransport im elektrischen Feld

2.2.1. Transport ohne Stoßprozesse im freien Raum

Unter dem Einfluss eines elektrischen Feldes werden bewegliche Ladungsträger beschleunigt. Wennsie nicht durch Stöße mit anderen Ladungsträgern oder sonstigen Stoßpartnern abgelenkt undabgebremst werden, kann man ihre Bewegung leicht bestimmen: Ein Ladungsträger mit Masse mund Ladung q genügt der Newtonschen Bewegungsgleichung

m · d~vdt

= ~Fel = q · ~E(~r)

Bildet man das Skalarprodukt dieser Gleichung mit ~v(t) und integriert über das Zeitintervall [t1, t2],erhält man

t2ˆ

t1

m~v · d~vdt

dt =

t2ˆ

t1

q · ~E · ~v dt =

t2ˆ

t1

q · ~E · d~rdt

dt

Linke und rechte Seite lassen sich vereinfachen zu

t2ˆ

t1

1

2m

ddt(~v2)dt = q

P2ˆ

P1

~E d~r

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2 STATIONÄRE STRÖME 2.2 Ladungsträgertransport im elektrischen Feld

wobei P1 und P2 die Position der Ladung zu den Zeitpunkten t1 und t2 bezeichnen.

Nach Auswertung der beiden Integrale gelangt man zu

1

2m (v2

2 − v21) = q · U12 (2.6)

wobei vi = |~v(ti)| die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt ti bezeichnet und U12 die elektrische Span-nung ist, die der Ladungsträger auf dem Weg von P1 bis P2 durchlaufen hat. Gl. (2.6) drückt denEnergiesatz aus, demzufolge der Gewinn an kinetischer Energie von einem entsprechenden Verlustan elektrostatischer Energie längs des Spannungsgefälles U12 getragen werden muss. Ist die An-fangsgeschwindigkeit v1 = 0 und v(U) die Geschwindgkeit, die die Ladung beim Durchlaufen desSpannungsgefälles aufgenommen hat, so folgt:

v(U) =

√2q

m·√U, falls v(t1) = 0

Man beachte, dass hier die Trägergeschwindigkeit und damit der Strom nichtlinear von der Span-nung U abhängen.

2.2.2. Transport mit Stoßprozessen (Driftmodell)

(i) Beweglichkeit von LadungsträgernIn einem leitenden Medium (typischerweise einem Metall oder Halbleiter) ist die Dichte derbeweglichen Ladungsträger sehr hoch. Die sich unter dem Einfluss eines elektrischen Feldesbewegenden Ladungsträger erfahren sehr viele Stöße einerseits untereinander und anderer-seits mit Streuzentren im Wirtsmaterial.

Abb. 2.1: Zeitlicher Verlauf der Teilchenge-schwindigkeit bei einer statistischenFolge von Stoßprozessen

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2.2 Ladungsträgertransport im elektrischen Feld 2 STATIONÄRE STRÖME

Die Bewegung der Teilchen muss statistisch betrachtet werden als Mittelwert über viele auf-einanderfolgende Stoßprozesse, bei denen die Ladungsträger immer wieder abgelenkt undabgebremst werden. Man bekommt im Ergebnis eine mittlere Driftgeschwindigkeit ~v( ~E), mitder sich im zeitlichen Mittel die Ladungsträger kollektiv bewegen. Ein einfacher Ansatz fürdie Driftbewegung geht von einer effektiven Masse m∗ der Ladungsträger und einer mitt-leren Stoßzeit τ zwischen aufeinanderfolgenden Stößen als Parametern aus. Die gemittelteBewegungsgleichung eines Ladungsträgers lautet dann:

q ~E = m∗⟨

∆~v

∆t

⟩= m∗

~v

τ

woraus sich eine mittlere Driftgeschwindigkeit proportional zum treibenden ~E-Feld ergibt:

~v =q · τm∗· ~E = sgn(q) · µ · ~E (2.7)

mit der Beweglichkeit

µ :=|q|τm∗

> 0 (2.8)

als für die Driftbewegung zentrale Transportgröße.Eingesetzt in Gl. (2.4) folgt hieraus für die elektrische Stromdichte

~j = q · n · ~v = q · n · sgn(q) · µ · ~E,

also~j = |q| · n · µ · ~E. (2.9)

Wird der Stromfluss von K verschiedenen Trägersorten verursacht, gilt die allgemeinereBeziehung

~j =K∑α=1

|qα| · nα · µα · ~E (2.10)

wobei µα die Beweglichkeit der Trägersorte α bezeichnet.

(ii) Lokales Ohmsches GesetzUnabhängig davon, wieviele Trägersorten beim Stromfluss beteiligt sind, erhalten wir alsErgebnis, dass die Stromdichte ~j linear vom elektrischen Feld ~E abhängt:

~j = σ · ~E (2.11)

wobei der positive Transportkoeffizient

σ =K∑α=1

|qα|nαµα (2.12)

als spezifische elektrische Leitfähigkeit bezeichnet wird.

Phys. Einheit:dim(σ) = 1AVm

=1

Ωm

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2 STATIONÄRE STRÖME 2.2 Ladungsträgertransport im elektrischen Feld

(iii) Ohmsches Gesetz in integraler FormWir betrachten einen drahtförmigen Leiter mit der Länge l und Querschnitt A aus einemMaterial mit homogener elektrischer Leitfähigkeit σ.

S. 29

12Spannung U2Φ

Klemmen -potential

Strom Ι1 KlemmenpotentialΦ

j Eσ=

Die Kontaktflächen an beiden Drahtenden werden auf unterschiedliche KlemmenpotentialeΦ1 und Φ2 gelegt, sodass entlang des Drahtes die Spannung U = Φ1 −Φ2 > 0 abfällt und indiesem ein gleichförmig in Richtung des Drahtes weisendes elektrisches Feld mit konstantemBetrag

| ~E| = U

l

entsteht. Dieses verursacht einen Driftstrom I mit der Stärke

I =

ˆ

A

~j · d~a =

ˆ

A

σ ~E · d~a = σ | ~E|A = σA

lU (2.13)

Definieren wir nun:elektrischer Leitwert G = σ · A

l(2.14)

elektrischer Widerstand R =1

G=

1

σ· lA

(2.15)

so erhalten wir aus Gl. (2.13) das Ohmsche Gesetz in integraler Form

I = G · U (2.16)

bzw.U = R · I (2.17)

Mit der Definitionspezifischer elektrischer Widerstrand ρ :=

1

σ(2.18)

lässt sich der elektrische Widerstand auch als

R = ρ · lA

(2.19)

darstellen.Für die physikalischen Einheiten gilt:

dim(R) = 1VA

= 1Ω(Ohm); dim(ρ) = 1Ωm, oft auch 1Ωmm2

m

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2.3 Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel 2 STATIONÄRE STRÖME

(iv) Das Ohmsche Gesetz (2.17) ist für beliebig geformte leitfähige Körper anwendbar, wenn diesezwei Kontakte haben, über die man eine elektrische Spannung U anlegen kann, und wenn imInneren des Körpers das lokale Ohmsche Gesetz ~j = σ ~E gilt. Allerdings erfordert die kon-krete Berechnung des Widerstandes R einigen mathematischen Aufwand. Unabhängig vonseiner geometrischen Form wird ein Ohmscher Widerstand mit folgendem Schaltungssymbolbezeichnet:

I U = R · I, Φ1 > Φ2

2.3. Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel

2.3.1. Ladungserhaltung in integraler Darstellung

Elektrische Ladung kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Die in einem Kontrollvolumeneingeschlossene Ladung kann sich daher zeitlich nur ändern, indem Ladungsträger in V hinein-oder herausfließen. Der Nettoausfluss aus V ist durch das Flussintegral der Stromdichte ~j durchdie Hüllfläche ∂V gegeben, also gilt die Ladungsbilanzgleichung

ddtQ(V ) = −

ˆ

∂V

~j · d~a (2.20)

Im Falle einer stationären Strömung darf sich die Ladung Q(V ) im Laufe der Zeit nicht ändern;dann gilt für jede Hüllfläche ∂V ˆ

∂V

~j · d~a = 0. (2.21)

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2 STATIONÄRE STRÖME 2.3 Ladungserhaltung und Kirchhoffsche Knotenregel

2.3.2. Kirchhoffsche Knotenregel

Wir betrachten ein Leiterstück mit N Kontaktflächen A1, A2, ...,AN , durch die die Klemmenströme

Ik =

ˆ

Ak

~j · d~a

fließen. Die Flächennormalen auf Ak seien nach außen orientiert, so dass Ik > 0 einen auslaufendenKlemmenstrom kennzeichnet. Wir umschließen nun das Leiterstück mit einer Hüllfläche, die an denKontakten mit den Kontaktflächen Ak zusammenfällt. Das Hüllflächenintegral in Gl. (2.21) liefertdann nur einen Beitrag, wenn man über die Kontaktflächen integriert, und man erhält:

0 =

ˆ

∂V

~j · d~a =N∑k=1

ˆ

Ak

~j · d~a =N∑k=1

Ik

A1

AN −1

A3

I3

A2 I1

N-1 I

A1

I2

AN −1

A3

A2

Dies ist die “Kirchhoffsche Knotenregel” , die besagt, dass in einem elektrischen Netzwerk dieSumme aller aus einem Knoten auslaufenden Zweigströme Ik Null ergeben muss:

N∑k=1

Ik = 0 (2.22)

2.3.3. Ladungserhaltung in differentieller Form:

Die in einem Kontrollvolumen V eingeschlossene Ladung lässt sich durch die Raumladungsdichteρ ausdrücken als

Q(V ) =

ˆ

V

ρ(~r, t) d3r

Wir nehmen an, dass das Gebiet V sich nicht mit der Zeit ändert. Dann gilt:

ddtQ(V ) =

ddt

ˆ

V

ρ(~r, t) d3r =

ˆ

V

∂ρ

∂t(~r, t) d3r (2.23)

Das Flussintegral über die Stromdichte ~j lässt sich mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (A.7.3)in ein Volumenintegral umformen:

ˆ

∂V

~j · d~a =

ˆ

V

div~j d3r (2.24)

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2.4 Elektrische Leistung und Energieübertragung 2 STATIONÄRE STRÖME

Setzt man beide Gleichungen in die Ladungsbilanz (2.20) ein, erhält man:

ˆ

V

div~j d3r +

ˆ

V

∂ρ

∂td3r = 0

bzw. ˆ

V

(div~j +

∂ρ

∂t

)d3r = 0

Da diese Gleichung für beliebig geformte Kontrollvolumina gilt, muss der Integrand verschwinden,und wir erhalten die Ladungsbilanz in differentieller Form

div~j +∂ρ

∂t= 0 (2.25)

Diese Beziehung wird auch als Ladungskontinuitätsgleichung oder Ladungserhaltungsglei-chung bezeichnet.

2.4. Elektrische Leistung und Energieübertragung

2.4.1. Elektrische Leistung einer Punktladung

Bewegt sich eine Punktladung q im elektrischen Feld ~E, so leistet sie die differentielle elektrischeArbeit

dWel = ~F · d~r = q · ~E · d~r

Bewegt sich der Ladungsträger mit der Geschwindigkeit ~v, so erbringt er die elektrische Leistung

Pel =dWel

dt= q · ~E · d~r

dt= q · ~E · ~v (2.26)

2.4.2. Elektrische Leistung eines Strömungsfeldes

Sind K verschiedene Sorten von Ladungsträgern mit spezifischer Ladung qα, Trägerkonzentrationnα und Driftgeschwindigkeit ~vα am Stromfluss beteiligt, so gilt nach Gl. (2.5) für die Stromdichte

~j =K∑α=1

qα · nα · ~vα

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2 STATIONÄRE STRÖME 2.4 Elektrische Leistung und Energieübertragung

Die von den Ladungsträgern der Sorte α pro Teilchen erbrachte elektrische Leistung ist nachGl. (2.26)

P(α)el = qα · ~vα · ~E

Es ist zweckmäßig, die im Strömungsfeld pro Volumenelement erbrachte Leistung, also die Leis-tungsdichte zu betrachten. Diese ergibt sich als Summe der von den beteiligten Trägersortenerbrachten Leistungsdichten:

pel =K∑α=1

nαP(α)el =

K∑α=1

(nαqα~vα) · ~E =

(K∑α=1

nαqα~vα

)· ~E = ~j · ~E

Damit erhalten wir das interessante Ergebnis, dass unabhängig von der Zusammensetzung desStrömungsfeldes aus verschiedenen Trägersorten die elektrische Leistungsdichte mit der einfachenBeziehung

pel = ~j · ~E (2.27)

zu berechnen ist.

2.4.3. Elektrische Verlustleistung bei Ohmschen Widerständen

Bei der Ohmschen Driftbewegung gilt~j = σ︸︷︷︸

>0

· ~E

mit der stets positiven elektrischen Leitfähigkeit σ.Daher ist die vom elektrischen System erbrachte Leistungsdichte

pel = ~j · ~E = σ| ~E|2 =1

σ|~j|2 > 0 (2.28)

immer positiv, d.h. das elektrische System gibt stets Energie ab. Man spricht daher von Verlust-leistung. Die abgegebene Energie wird in einem Ohmschen Widerstand in Wärme verwandelt.Um die bei einem Ohmschen Widerstand insgesamt umgesetzte Verlustleistung zu bestimmen, be-trachten wir einen drahtförmigen Leiter der Länge l mit Querschnitt A.

jE

Im Inneren des Drahtes sind | ~E| und |~j| konstant, weshalb auch die Verlustleistungsdichte konstantist. Die totale Verlustleistung im Draht Pel ergibt sich durch Integration der Leistungsdichte pel:

Pel =

ˆ

V

pel(~r) d3 r = pel · l ·A = |~j| ·A · | ~E| · l

Da I = |~j| ·A und U = | ~E| · l für Strom und Spannung gilt, folgt (mit U = R · I):

Pel = U · I =U2

R= R · I2 (2.29)

wobei R den Widerstandswert bezeichnet.Die Einheit der elektrischen Leistung ist: dim(Pel) = 1VA = 1 W(att).

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2.4 Elektrische Leistung und Energieübertragung 2 STATIONÄRE STRÖME

2.4.4. Die elektrische Energierübertragungsstrecke

Um elektrische Leistung von einer Energiequelle (z.B. Kraftwerk) zum Energieverbraucher trans-portieren zu können, benötigt man eine aus Hin- und Rückleitung bestehende Übertragungsstrecke.

Die Leitungen besitzen einen verteilten Ohmschen Widerstand, den wir uns aber in einem kom-pakten Ersatzwiderstand RL konzentriert denken können. An der Energiequelle wird die Erzeu-gerspannung UE abgegeben, beim Verbraucher kommt aber wegen des Spannungsabfalls längs derÜbertragungsleitung eine kleinere Spannung UV an. Fließt im Hin- und Rückleiter der Strom I,so gilt:

UV = UE −RL · I (2.30)

Die bei der Energiequelle abgegebene Leistung ist

PE = UE · I (2.31)

Die vom Verbraucher aufgenommene Leistung beträgt

PV = UV · I (2.32)

Zur Beurteilung der Qualität der Übertragungsstrecke dient der Übertragungswirkungsgrad η:

η :=PVPE

(2.33)

Durch Einsetzen von Gl. (2.30) - Gl. (2.32) ergibt sich

η =PVPE

=UVUE

=UE −RL · I

UE= 1− RL · I · UE

U2E

also:

η = 1− RL · PEU2E

(2.34)

Offenkundig liegt η immer unter 100%. Um für eine gegebene Erzeugerleistung PE den Wirkungs-grad zu optimieren, muss man mit einer möglichst hohen Übertragungsspannung UE arbeiten,denn η → 1 für UE → ∞. Deshalb werden bei Überlandleitungen Netzspannungen von einigen100 kV verwendet.

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3 MAGNETOSTATIK

3. Magnetostatik

3.1. Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld

3.1.1. Lorentzkraft und Magnetfeld

(i) Die Lorentzkraft:

Die primäre Wirkung des Magnetfeldes besteht darin, dass es auf bewegte Punktladungeneine Kraft, die sogenannte Lorentzkraft, ausübt. Das Magnetfeld kann als eine vektorielleFeldgröße ~B(~r, t) dargestellt werden. Bewegt sich eine Ladung q auf einer Bahnkurve ~r(t)mit der Geschwindigkeit ~v(t) = d~r

d t , so erfährt sie eine Kraft ~FL, die senkrecht zu ~v und zu~B gerichtet ist, also immer senkrecht zur Bahnkurve wirkt. Der vektorielle Zusammenhanglautet

~FL = q(~v × ~B) (3.1)

B

Abb. 3.1: Wirkung der Lorentzkraft. Das Magnetfeld zeigt aus der Zeichenebene heraus.

Die Feldgröße ~B wird als magnetische Induktion oder magnetische Kraftflussdichtebezeichnet, meistens auch nur kurz als “ ~B-Feld”. Durch (3.1) ist die Einheit des ~B-Feldesfestgelegt:

dim(| ~B|) =Vsm2

= 1T(esla)

(ii) Elektromagnetische Kraft:

Wirkt außer dem ~B-Feld auch noch gleichzeitig ein elektrisches Feld ~E, so gilt das Superpo-sitionsprinzip und die elektrische und magnetische Kraftwirkung werden vektoriell addiertzur elektromagnetischen Kraft

~Fem = q · ( ~E + ~v × ~B) (3.2)

(iii) Durch die Lorentzkraft kann der bewegten Ladung q keine Energie zugeführt oder entzogenwerden, weil sie stets senkrecht zur “Fahrtrichtung” ~v(t) wirkt. Ist nämlich

dWmag = ~FL · d~r = q

(d~rdt× ~B

)· d~r

die vom Magnetfeld an der Ladung geleistete differentielle Arbeit, ergibt sich für die zuge-führte Leistung

Pmag =dWmag

dt= q

(d~rdt× ~B

)· d~rdt

= 0

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3.1 Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld 3 MAGNETOSTATIK

Wenn die Lorentzkraft allein auf eine Ladung einwirkt, bleibt deshalb die kinetische Energieund damit der Betrag der Geschwindigkeit |~v(t)| zeitlich konstant:

ddt

(1

2·m · ~v2

)= m~v · d~v

dt= ~v · ~FL = 0 ⇒ |~v| = const.

3.1.2. Bewegung eines geladenen Massenpunkts im konstanten Magnetfeld

Wir betrachten den Fall, dass sich ein geladenes Teilchen mit der Ladung q und Masse m unterdem Einfluss eines räumlich konstanten ~B-Feldes bewegt, ohne dass noch andere Kräfte daraufeinwirken. Dann lautet die Newtonsche Bewegungsgleichung

md~vdt

= q(~v × ~B

)(3.3)

Dies ist eine lineare Differentialgleichung 1.Ordnung für die Vektorfunktion ~v(t). Haben wir diesegelöst, bestimmen wir durch Integration von d~r

d t = ~v(t) die Bahnkurve ~r(t). Die vorzugebendenAnfangswerte seien

~r(t = t0) = ~r0 und ~v(t = t0) = ~v0

Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit die z-Achse eines kartesischen Koordinatensys-tems (O, ~ex, ~ey, ~ez) in die Richtung des konstanten ~B-Feldes legen:

~B = B · ~ez; B ≥ 0

Dann ist

~v × ~B =

∣∣∣∣∣∣∣~ex ~ey ~ezvx vy vz0 0 B

∣∣∣∣∣∣∣ = B · (vy~ex − vx~ey)

und (3.3) lautet komponentenweise:

mdvxdt

= q ·B · vy (3.4)

mdvydt

= −q ·B · vx (3.5)

mdvzdt

= 0 (3.6)

Die dritte Gleichung hat die Lösung

vz(t) = const. = v0z

Da wir wissen, dass die kinetische Energie und damit |~v(t)| = |~v0| = v0 eine Bewegungskonstanteist, folgt:

vx(t)2 + vy(t)2 = v2

0 − v20z = const. =: v2

⊥

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3 MAGNETOSTATIK 3.1 Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld

Die Projektion von ~v(t) auf die vx-vy-Ebene

~v⊥(t) = vx(t) · ~ex + vy(t) · ~ey

verläuft also auf einer Kreisbahn um den Ursprung mit Radius v⊥. Daher macht man den Ansatzfür eine gleichförmige Kreisbewegung mit Winkelgeschwindigkeit Ω:

vx(t) = v⊥ · sin (Ω(t− t0))

vy(t) = v⊥ · cos (Ω(t− t0))

ϕ = Ω( t − t0 )

v(t)

Abb. 3.2: Bewegung im homogenen Magnetfeld

Setzt man diesen Ansatz in Gl. (3.4) und (3.5) ein, so werden diese gelöst, wenn für die Gyrati-onsfrequenz Ω gilt:

Ω =q ·Bm

(3.7)

Es muss nun noch aus ~v(t) die Bahnkurve ~r(t) berechnet werden:

~r(t) = ~r0 +

tˆ

t0

~v(τ) dτ

= ~r0 + v⊥

tˆ

t0

sin (Ω(τ − t0)) dτ · ~ex +

tˆ

t0

cos (Ω(τ − t0)) dτ · ~ey

+ v‖(t− t0) · ~ez

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3.1 Kräfte auf bewegte Ladungen im Magnetfeld 3 MAGNETOSTATIK

Als Ergebnis erhält man

~r(t) = ~r0 − v⊥ ·1

Ω·[(cosϕ(t)− 1) · ~ex − sinϕ(t) · ~ey

]+ v‖(t− t0) · ~ez

mitϕ(t) = Ω(t− t0)

Die Bahnkurve ist eine “Schraubenlinie” in z-Richtung mit dem Start-punkt ~r0 und dem Radius

R =v⊥Ω

=v⊥ ·mq ·B

(3.8)

Man erkennt, dass das geladene Teilchen an den ~B-Feldlinien schraubenförmig entlang geführtwird, wobei mit wachsendem ~B-Feld der Schraubenradius R kleiner und die Gyrationsfrequenz Ω

größer wird.

3.1.3. Lorentzkraft auf eine Stromverteilung

Wir nehmen an, dass sich eine Stromverteilung aus K verschiedenen Trägersorten zusammensetzt(vgl. Gl. (2.5))

~j =K∑α=1

qαnα~vα

Auf einen Ladungsträger der Spezies α wirkt im statistischen Mittel (Driftmodell) die Lorentzkraft

~FL,α = qα(~vα × ~B)

Sind nα Träger pro Volumeneinheit vorhanden, erfahren sie die Kraftdichte nα ~FL,α. Die pro Volu-menelement wirkende Lorentzkraftdichte ist dann insgesamt

~fL =

K∑α=1

[nαqα(~vα × ~B)

]=

(K∑α=1

qαnα~vα

)× ~B = ~j × ~B

Das Endergebnis~fL = ~j × ~B (3.9)

ist also unabhängig von der Zusammensetzung des Strömungsfeldes.

Wirkt gleichzeitig mit dem Magnetfeld ~B auch noch ein elektrisches Feld ~E, so ist Gl. (3.9) umdie elektrische Kraft zu erweitern:

~fem =

K∑α=1

nα

[qα ~E + qα

(~vα × ~B

)]= ρ ~E +~j × ~B (3.10)

mit der Raumladungsdichte

ρ =K∑α=1

qαnα

.

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3 MAGNETOSTATIK 3.2 Lorentzkraft und Drehmoment auf stromführende Leiter

3.2. Lorentzkraft und Drehmoment auf stromführende Leiter

3.2.1. Kraft auf einen Leiter mit beliebiger Gestalt

Fließt in einem leitenden Festkörper elektrischer Strom, so erfahren die sich im Substratmateri-al (“Wirtsgitter”) bewegenden Ladungsträger die Lorentzkraft. Wir wollen annehmen, dass dieseKraft in jedem Volumenelement durch Stoßprozesse vollständig auf das Substratmaterial über-tragen wird, sodass nun dieses selbst die Lorentzkraftdichte (3.9) verspürt. Dann wird auf denstromdurchflossenen Leiter insgesamt die Kraft

~FLeiter =

ˆLeiter

~j(~r)× ~B(~r) d3 r (3.11)

ausgeübt.

3.2.2. Kraft auf linienförmige Leiter

Bei einem linienförmigen Leiter (Draht) lässt sich Gl. (3.11) weiter vereinfachen. Der Draht seidurch eine Ortskurve C mit der Parametrisierung s 7→ ~r(s) charakterisiert, wobei s die Bogenlängebezeichnet.

Senkrecht zur Tangente ~t = d~r(s)ds habe der

Draht eine überall konstante Querschnitts-fläche A, die von einem konstanten Strom I

durchflossen wird. Die Stromdichte lässt sichdann als

~j(~r(s)) =I

A~t(s)

darstellen.

ds

s = r ( s );

t =

d rds

; ds =t ds

da

Die Volumenintegration in (3.11) führen wir so aus, dass wir bei festem ~r(s) erst über den Draht-querschnitt A (mit Oberflächenelement da) integrieren und anschließend über die Kurve C:

~j(~r) d3 r = ~j(~r) da ds =I

Ada~t ds

Nun ist ~t ds = d~s aber das vektorielle Linienelement entlang der Kurve C, sodass wir erhalten:

~FLeiter =

ˆ

V

~j(~r)× ~B(~r) d3r = −ˆ

C

ˆ

A(~s)

~B(~r)×(I

A

)da d~s

Das Integral über die Querschnittsfläche ergibt die Fläche A, sodass man erhält:

~FLeiter = −Iˆ

C

~B(~s)× d~s (3.12)

Die Kraft ~FLeiter lässt sich sehr anschaulich interpretieren, indem man sie als Integral der differen-tiellen Lorentzkraft an einem stromdurchflossenen Drahtelement d~s auffasst:

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3.2 Lorentzkraft und Drehmoment auf stromführende Leiter 3 MAGNETOSTATIK

~FLeiter =

ˆ

C

d ~FL (3.13)

mitd ~FL = I · d~s× ~B (3.14) d

s I

I

B

3.2.3. Drehmoment auf eine Leiterschleife

(i) Drehmoment an einer festen Drehachse

Wir betrachten einen Hebel, der senkrecht zu ei-ner festen Drehachse montiert ist. Der Befesti-gungspunkt des Hebels an der Achse sei ~r0; aneinem Punkt ~r auf dem Hebel greife eine Kraft ~Fan. Das vektorielle Drehmoment ist definiert als

~M = (~r − ~r0)× ~F (3.15)

)

)

)

).

Dreh- achse

+ +

Die Komponente von ~M entlang der Drehachse entspricht der skalaren Definition des Dreh-moments als “Kraft × Hebelarm”. Seine Orientierung gibt nach der Rechtsschraubenregel an,in welche Drehrichtung das Drehmoment den Hebel bewegen möchte.

(ii) Lorentzkraft und Drehmoment auf eine drehbare Leiterschleife

Wir betrachten nun eine drahtförmige Leiterschleife, die drehbar um eine feste Drehachsemontiert ist (siehe Abb. 3.3).

Strom I

Abb. 3.3: Rechteckige Drahtschleife mit fester Drehachse

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3 MAGNETOSTATIK 3.2 Lorentzkraft und Drehmoment auf stromführende Leiter

Um die Diskussion zu vereinfachen, nehmen wir eine rechteckige Leiterschleife der Längeb entlang der Drehachse und der Breite 2R senkrecht dazu an. Die Leiterschleife ist ent-lang ihrer Mittellinie symmetrisch auf der Drehachse montiert und wird von einem Strom I

durchflossen. Senkrecht zur Drehachse wirkt ein konstantes Magnetfeld ~B.

a) Gesamtkraft auf die Leiterschleife:

Nach Gl. (3.13) wirkt auf die Leiterschleife C die Kraft

~FLeiter =

ˆ

C

d ~F =5∑i=1

ˆ

Ci

dFi

die wir in 5 Beiträge von den Teilwegstücken C1 bis C5 aufteilen können, auf denend~Fi = I d~si × ~B gilt. Offenkundig ist d~F1 = −d~F2 und d~F3 = −d~F4 bzw. d~F3 = −d~F5,sodass sich die Beiträge “gegenüberliegender” Wegstücke exakt kompensieren. Hierausfolgt:

~FLeiter = ~0

b) Gesamtdrehmoment:

Die pro Wegelement d~si auftretenden differentiellen Drehmomente

d ~Mi = (~si − ~r0i)× d ~Fi

sind über die Teilwege C1 bis C5 zu integrieren. Wir bezeichnen mit ~R = ~s1 − ~s01 denfür das Wegstück C1 maßgeblichen Hebelarm und erhalten für das Gesamtdrehmoment

~M =

ˆ

C

d ~M =

ˆ

C1

~R× d ~F1 +

ˆ

C2

(−~R)× d ~F2 +

+

ˆ

C3

d ~M3 +

ˆ

C4

d ~M4 +

ˆ

C5

d ~M5

Die Beiträge von C3, C4 und C5 stehen alle senkrecht auf der Drehachse und tragennichts bei. Die Beiträge von C1 und C2 sind parallel zur Drehachse und wegen

d ~M2 = −~R× d ~F2 = ~R× d ~F1 = d ~M1

gleich. Damit erhalten wir

~M = 2 ·ˆ

C1

~R× d ~F1 = 2~R×ˆ

C1

dF1 = 2~R× (I ·ˆ

C1

d~s1

︸︷︷︸=~b

× ~B) =

= 2I ~R×(~b× ~B

)= 2I [~b(~R · ~B)− ~B(~R ·~b︸︷︷︸

=0

)]

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3.3 Permanentmagnet 3 MAGNETOSTATIK

Mit der vektoriellen Fläche der Leiterschleife ~A = 2~R×~b gilt andererseits

~A× ~B = 2(~R×~b

)× ~B = 2~b(~R · ~B)− 2~R( ~B ·~b︸︷︷︸

=0

) = 2~b(~R · ~B)

sodass schließlich gilt:~M = I ~A× ~B (3.16)

Dieser sehr einfache Ausdruck ist auch für be-liebig geformte ebene Leiterschleifen gültig. Mandefiniert daher die Größe I ~A als eigenständigephysikalische Größe, nämlich das magnetischeMoment eines Ringstromes:

~m := I ~A (3.17)

Damit gilt für das Drehmoment an einer Leiterschleife:

~M = ~m× ~B (3.18)

3.3. Permanentmagnet

Ein Permanentmagnet besteht aus einem Material, in dem sehr viele (∼ 1023 cm−3) atomareRingströme gleichorientierte magnetische Momente ~m0 beitragen. Man definiert als Magnetisie-rung:

~M = n · 〈~m0〉

wobei 〈~m0〉 den thermostatistischen Mittelwert der atomaren magnetischen Momente bezeichnetund n deren Anzahl pro Volumeneinheit.Das Drehmoment, das ein Dauermagnet im Magnetfeld ~B er-fährt, wird wie in Gl. (3.18) bestimmt:

~M = V ( ~M× ~B) = ~m× ~B

wobei V das Volumen des Dauermagneten ist und ~m = V · ~Msein gesamtes magnetisches Moment.

Dauermagnete und Ringströme (Spule) zeigen also gleiches Ver-halten.

S. 42_2N

SM

N

S

M

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3 MAGNETOSTATIK 3.4 Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des ~B-Feldes

3.4. Quellenfreiheit (Divergenzfreiheit) des ~B-Feldes

(i) Das elektrische Feld wird von elektrischen Ladungen generiert, von denen die elektrischenFeldlinien ausgehen oder in die sie münden. In der Nähe einer Punktladung hat das elektrischeFeld immer die Gestalt eines Monopolfeldes. Im Gegensatz dazu sind die Feldlinien des~B-Feldes immer geschlossen, d.h. es gibt keine magnetischen Monopole (= magnetischePunktladungen).

S. 43_1

+

Monopolfeld

S. 43_2

Magnetfeld

S. 43_3

N

S

Dipolfeld (magn.)

+

−

S. 43_4

Dipolfeld (elektr.)

Abb. 3.4: Feldliniendarstellung verschiedener elektrischer und magnetischer Felder

Um diesen Sachverhalt mathematisch auszudrücken, ziehen wir das Gaußsche Gesetz von dereingeschlossenen Ladung heran (vgl. Gl. (1.28)):

ˆ

∂V

~D · d~a = Q(V ) =∑~rα∈V

qα

Durch eine geeignete Wahl des Kontrollvolumens V zeigt das Hüllflächenintegral an, dassman eine elektrische Ladung qα lokalisiert hat. Da es keine magnetischen Ladungen gibt, giltim Umkehrschluss für das ~B-Feld:

ˆ

∂V

~B · d~a = 0 für jedes Kontrollvolumen V (3.19)

(ii) Die integrale Formulierung der Quellenfreiheit des ~B-Feldes lässt sich folgendermaßen in einelokale differentielle Form bringen: Nach dem Gaußschen Integralsatz (A.7.3) gilt:

0 =

ˆ∂V

~B d~a =

ˆVdiv ~B d3 r für jedes Kontrollvolumen V

Hieraus folgt:div ~B = 0 (3.20)

Der Vergleich mit dem Gaußschen Gesetz div ~D = ρ verdeutlicht nochmals, dass div ~B = 0

die Nichtexistenz magnetischer Ladungen ausdrückt.

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3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder 3 MAGNETOSTATIK

3.5. Erzeugung magnetostatischer Felder

3.5.1. Ampèresches Durchflutungsgesetz (quasistationäre Form)

(i) Statische Magnetfelder werden nicht von magnetischen Ladungen erzeugt, sondern von be-wegten elektrischen Ladungen, also einer elektrischen Stromdichte~j. Der Zusammenhang zwi-schen erzeugendem Strom und erzeugtem Magnetfeld wird durch das Ampèresche Durch-flutungsgesetz beschrieben.

S. 45

I

C A= ∂

A

Man betrachtet hierzu eine orientierbare Kontrollfläche A mit positiv orientierter Randkurve∂A. Durch die Fläche A fließe der elektrische Strom

I(A) =

ˆ

A

~j · d~a

Dann gilt im Vakuum für das erzeugte Magnetfeld:ˆ

∂A

~B · d~r = µ0 I(A) = µ0

ˆ

A

~j · d~a (3.21)

Hierbei bezeichnet µ0 die “magnetische Feldkonstante” oder “Vakuumpermeabilität”.Sie hat den Wert

µ0 = 4π · 10−7 Ωsm

Man beachte, dass in Gl. (3.21) die Orientierung der Randkurve ∂A und die des vektoriellenOberflächenelementes d~a = ~N da über die “Rechtsschraubenregel” miteinander verknüpftsind.

(ii) Befindet man sich in einem magnetisierbaren Medium, so wird durch die Stromdichte ~j einprimäres Feld wie im Vakuum erzeugt, das die umgebende Materie magnetisch polarisiert(d.h. magnetisiert). Das Magnetisierungsfeld überlagert sich mit dem primären Feld, sodassGl. (3.21) weiterhin gilt, aber das ~B-Feld um einen Faktor µr verstärkt wird. Es gilt dann:

ˆ

∂A

~B · d~r = µ0µrI(A) = µ I(A) (3.22)

Die Größe µr heißt relative Permeabilität, das Produkt

µ = µrµ0 (3.23)

absolute Permeabilität. Sie ist ein Maß für die Magnetisierbarkeit des Materials.

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3 MAGNETOSTATIK 3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder

3.5.2. Magnetische Feldstärke

(i) Man möchte eine magnetische Feldgröße definieren, die nur von der erzeugenden Stromver-teilung, aber nicht von der Magnetisierbarkeit des umgebenden Materials abhängt.

Hierzu definiert man die magnetische Feldstärke als

~H =1

µ· ~B bzw. ~B = µ · ~H (3.24)

Dann lautet das Ampèresche Durchflutungsgesetzˆ

∂A

~H d~r = I(A) =

ˆ

A

~j · d~a (3.25)

Offenkundig hängt ~H damit nur von der erzeugenden Stromverteilung ab, aber nicht vomumgebenden Material. Man beachte, dass Gl. (3.25) nur für statische Felder gilt. Der Fallzeitabhängiger Feldgrößen wird in einem späteren Abschnitt behandelt.

(ii) Zwischen den Feldgrößen ~E und ~D sowie ~B und ~H gibt es eine Analogie, die man in folgendesSchema fassen kann:

materialabhängige Größen:

Kraft auf

ruhendebewegte

Probeladung

(elektrische Kraft)=⇒

(Lorentzkraft)

~E~B

nur von der Quelle abhängig:

Wirkung von

Ladungsverteilung ρStromverteilung ~j

(Gauß)=⇒

(Ampère)

~D~H

Der Zusammenhang zwischen den Feldern ~E und ~D sowie ~B und ~H wird durch die beidenMaterialgleichungen

~D = ε ~E und ~H =1

µ~B

hergestellt.

3.5.3. Permeabilität und magnetische Suszeptibilität

Um den Einfluss der Magnetisierung auf das resultierende Magnetfeld deutlich darstellen zu kön-nen, schreibt man die relative Permeabilität in der Form

µr = 1 + χm (3.26)

χm heißt magnetische Suszeptibilität. Damit kann man das ~B-Feld in folgender Weise aufspal-ten:

~B = µ · ~H = µ0 · ~H︸︷︷︸von Stromverteilung ~j

generiert

+ µ0 · χm · ~H︸︷︷︸induziertes Magnetfeld durch

gleichorientierte magnetische Momenteim Material

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3.5 Erzeugung magnetostatischer Felder 3 MAGNETOSTATIK

Eine Klassifikation magnetischer Materialien erhält man entsprechend den atomistischen Mecha-nismen, die Magnetismus verursachen:

• Diamagnetismus:Eine Präzessionsbewegung gegenläufiger atomarer Ringströme unter dem Einfluss von ~H

führt zu kleinen, unkompensierten Nettoringströmen 6= 0. Nach der Lenzschen Regel wirktdas hierdurch induzierte Magnetfeld ~M dem primären ~H-Feld entgegen, d.h. ~M ist antipar-allel zu ~H:

~M = χm ~H mit χm < 0, |χm| 1, also µr < 1

Beispiele: Au, Ag, Cu, H2O

• Paramagnetismus:Bereits vorhandene permanente magnetische Dipolmomente werden unter dem Einfluss von~H in einer Vorzugsrichtung parallel zu ~H ausgerichtet (“Orientierungspolarisation”):

~M = χm ~H mit χm > 0, |χm| 1, also µr > 1

Beispiele: Pt, Al

• Ferromagnetismus:Bei hinreichend kleiner Temperatur T < TC (Curie-Temperatur) kommt es zu einer Domä-nenbildung mit spontaner Vorzugsrichtung der permanenten magnetischen Dipole (“WeißscheBezirke”). Unter dem Einfluss eines externen ~H-Feldes erfolgt eine Vergrößerung der Domä-nen mit ~M ~H. Hierbei genügt ein kleines “Führungsfeld” ~H, um sehr viele magnetischeMomente kollektiv in die Richtung parallel zu ~H zu orientieren. Die starke gegenseitige Be-einflussung der magnetischen Momente in einer Domäne führt zu einem Hystereseverhaltender Magnetisierung:

~M = χm ~H mit χm 1 (≈ 104...105)

Wegen µr = 1 + χm ≈ χm gilt in diesem Fall:

~B = µ0 · ~H + µ0χm ~H ≈ µ0 · ~M

d.h. das ~B-Feld wird im wesentlichen von der Magnetisierung ~M bestimmt.

Sättigung

Remanenz

Koerzitiv- Kraft

S. 47b_2_(1)

H

B

S. 47b_2_(1)

B

H

Abb. 3.5: Ferromagnetische Hysteresekurve (links); magnetisch “weiche” (mitte) und magnetisch“harte” Werkstoffe (rechts)

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3 MAGNETOSTATIK 3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte

Für T > TC gehen ferromagnetische Materialien in den paramagnetischen Zustand über(Phasenübergang) und es gilt:

χm =χ0

T − TCfür T > TC

Beispiele: Ni: TC = 360C; Fe: TC = 770C; Co: TC = 1075C

3.6. Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte

Für Probleme mit hoher Symmetrie lässt sich das ~H-Feld explizit analytisch aus einer gegebenenStromverteilung ~j(~r) berechnen, indem man das Ampèresche Gesetz

ˆ

∂A

~H · d~r = I(A) =

ˆ

A

~j · d~a

in geschickter Weise anwendet.

Abb. 3.6: Stromfluss durch eine Fläche mit der Umrandung ∂A

3.6.1. Magnetfeld eines unendlich langen geraden Drahtes

Ein elementares Beispiel ist das Magnetfeld, das von einem linienförmigen unendlich langen geradenDraht erzeugt wird, welcher vom Strom I durchflossen wird.

Wir legen die z-Achse eines kartesischen Koordinatensystems parallel zum Draht in Stromrichtungund benutzen Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z) (vgl. Abs. A.4.2). Aus Symmetriegründen erwarten wir,dass der Draht ein zylindersymmetrisches ~H-Feld erzeugt, das in jeder Ebene z = constans gleichaussieht und in konzentrischen Kreisen die z-Achse umschließt.

Mit dem begleitenden Dreibein (~er, ~eϕ, ~ez) als lokaler Basis können wir für ~H(~r) den folgendenAnsatz machen (vgl. Abb. (3.7)):

~H(~r) = Hϕ(r)~eϕ(ϕ)

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3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte 3 MAGNETOSTATIK

Als Fläche A legen wir eine Kreisfläche K(r, z) mit Radius r in der Höhe z über dem Ursprungkonzentrisch um die z-Achse; die Randkurve ∂K(r, z) ist dann eine Kreislinie um die z-Achse, undes gilt unter Beachtung der Rechtsschraubenregel:

ˆ

∂K(r,z)

~H · d~r =

2πˆ

0

Hϕ(r)~eϕ · ~eϕ︸︷︷︸=1

r dϕ = Hϕ(r) · r · 2π = I

alsoHϕ(r) =

I

2πr

Hieraus folgt als Ergebnis:

~H(~r) =I

2πr~eϕ(ϕ) (3.27)

a ⋅e 12

“1” “2”

Abb. 3.7: Magnetfeld eines vom Strom I durchflossenen unendlich langen geraden Drahtes (links)und Kraftwirkung zwischen zwei parallelen geraden Drähten (rechts).

3.6.2. Kraft zwischen zwei parallelen geraden Drähten

Betrachten wir nun die Situation, dass sich im ~H-Feld eines vom Strom I1 durchflossenen DrahtesL1 entlang der z-Achse ein zweiter, im Abstand a parallel dazu verlaufender Draht L2 befindet,der vom Strom I2 durchflossen wird (vgl. (3.7) rechts). Letzterer erfährt pro Wegelement d~s diedifferentielle Lorentzkraft d ~F12 gemäß (3.14):

d ~F12 = I2 d~s2 × ~B1 = µI2

(~ez × ~H1

)dz

wobei µ die Permeabilität des umgebenden Materials bezeichnet und nach (3.27)

~H1(r = a) =I

2πa~eϕ

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3 MAGNETOSTATIK 3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte

das am Draht L2 angreifende Magnetfeld ist. Die auf den Leiter L2 wirkende Kraft pro Wegelementdz ist dann

d ~F12 =µI1I2

2πa(~ez × ~eϕ)︸︷︷︸=−~er=−~e12

dz = −µI1I2

2πa~e12 dz

wobei ~e12 den von L1 zu L2 weisenden Einheitsrichtungsvektor bezeichnet. Die differentielle Kraftpro Wegelement zwischen zwei parallelen geraden Drähten ist damit

d ~F12

dz= −µ I1I2

2πa~e12 (3.28)

Wie aus Symmetriegründen zu erwarten ist, ist dieser Ausdruck symmetrisch bzgl. einer Ver-tauschung von L1 mit L2. Weiterhin erkennt man, dass sich parallel stromdurchflossene Leiteranziehen, während sich antiparallel stromdurchflossene Leiter abstoßen.

3.6.3. ~H-Feld einer allgemeinen zylindersymmetrischen Stromverteilung

Wir betrachten nun den Fall einer zylindersymmetrischen kontinuierlich verteilten Strömung~j(~r) = j(r)~ez. Wiederum folgt aus Symmetriegründen der Ansatz:

~H(~r) = Hϕ(r)~eϕ(ϕ)

Anders als beim linienförmigen Draht muss nun aber im Ampèreschen Gesetz der Strom I(A) alsein Integral über die Kreisfläche K(r, z) bestimmt werden:

2πrHϕ(r) =

ˆ

∂K(r,z)

~H · d~r =

ˆ

K(r,z)

~j · d~a =

2πˆ

0

rˆ

0

j(r′)r′ dr′ dϕ = 2π

rˆ

0

j(r′)r′ dr′

Also ist

Hϕ(r) =1

r

rˆ

0

j(r′)r′ dr′ (3.29)

die allgemeine Lösung für Hϕ(r).

x

y

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3.6 Berechnung magnetostatischer Felder und Kräfte 3 MAGNETOSTATIK

Spezialfall: Unendlich langer gerader Draht mit Radius a und homogener Leitfähigkeit:

j(r) =

Ia2π

für 0 ≤ r ≤ a0 für r > a

Damit istrˆ

0

j(r′)r′ dr′ =

Ia2π· 1

2r2 für 0 ≤ r ≤ a

I2π für r > a

und

Hϕ(r) =

Ia2π· 1

2r für 0 ≤ r ≤ aI

2π ·1r für r > a

Außerhalb des Drahtes, d.h. für r > a, verhält sich das magnetische Feld Hϕ(r) so wie das einesidealen linienförmigen Leiters, der auf die z-Achse konzentriert ist.

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3 MAGNETOSTATIK 3.7 Vervollständigung des Ampèresches Gesetzes

3.7. Vervollständigung des Ampèresches Gesetzes für schnell zeitveränderlicheVorgänge

3.7.1. Erweiterung des Ampèreschen Gesetzes (nach Maxwell)

Bisher war die rechte Seite I(A) in (3.25) ein materieller Leitungsstrom von bewegten Ladungs-trägern in einem Strömungsfeld ~j(~r):

ˆ

∂A

~H · d~r = I(A) =

ˆ

A

~j · d~a

Das folgende Gedankenexperiment zeigt, dass diese Formulierung noch einer Ergänzung bedarf.Wir betrachten einen Plattenkondensator, dessen Elektroden mit der Ladung ±Q geladen sind.

Zwischen den Kondensatorplatten erzeugt diese Ladung ein Verschiebungsfeld ~D; aber das Dielek-trikum ist ein Isolator und führt daher keinen Strom, d.h. ~j = 0. Wir umschließen das Dielektrikumnun mit einer ringförmigen geschlossenen Kurve C und legen zwei unterschiedliche interpolierendeorientierte Flächen A1 und A2 mit Oberflächen-Einheitsnormale ~N (nach der Rechtsschraubenregelorientiert) dazwischen. Die Fläche A1 ist so gewählt, dass sie die obere Kondensatorplatte wie eineHaube umschließt und dabei eine Drahtverbindung zwischen den Kondensatorplatten schneidet,durch die der Strom I fließt. Also gilt I(A1) = I. Die zweite Fläche A2 ist so gewählt, dass sie voll-ständig zwischen den Kondensatorplatten im Inneren des nichtleitenden Dielektrikums verläuft.Also gilt hier: I(A2) = 0. Für das Umlaufintegral

Ć~H · d~r gilt dann

ˆ

C

~H · d~r =

I(A1) = I , wenn C = ∂A1

0 , wenn C = ∂A2

⇒Widerspruch!

Dieser offenkundige Widerspruch muss gelöst werden. Hierzu betrachten wir die im Kondensatorgespeicherte Ladung Q. Wird der Kondensator über die Drahtverbindung entladen, so fließt imDraht der Strom I = −dQ

d t . Andererseits können wir die “Haube” A1 über die Randkurve C mit der“Bodenfläche” A2 zu einer geschlossenen Hüllfläche ∂V verbinden, deren eingeschlossenes VolumenV die obere Kondensatorplatte und die darauf befindliche Ladung Q enthält. Es ergibt sich damitdie Ladungsbilanz:

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3.7 Vervollständigung des Ampèresches Gesetzes 3 MAGNETOSTATIK

dQd t = −I(A1) = −

Á1~j · d~a

Q =Á1∪A2

~D · d~a = −Á2

~D · ~N da = −Á2

~D · d~a

⇒ˆ

A1

~j · d~a = −dQdt

=

ˆ

A2

∂ ~D

∂t· d~a

wobei zu beachten ist, dass die rechtsorientierte Einheitsnormale ~N auf der Fläche A2 die negativeäußere Einheitsnormale auf der Hüllfläche ∂V = A1 ∪ A2 ist. Der oben festgelegte Widerspruchkann nun gelöst werden, wenn man folgende Hypothese aufstellt:

ˆ

C

~H · d~r =

Á1~j · d~a , wenn C = ∂A1

Á2

∂ ~D∂t · d~a , wenn C = ∂A2

Der Ausdruck ∂ ~D∂t wird als “Verschiebungsstromdichte” bezeichnet.

Erweitert man das Ampèresche Gesetz um diesen Term, so gelangt man zu einer vereinheitlichtenDarstellung:

ˆ

∂A

~H · d~r =

ˆ

A

(~j +

∂ ~D

∂t

)· d~a für jede orientierbare Kontrollfläche A (3.30)

(Maxwellsche Erweiterung des Durchflutungsgesetzes)

3.7.2. Ampère-Maxwellsches Durchflutungsgesetz in differentieller Form

Die integrale Form (3.30) des Durchflutungsgesetzes lässt sich mit Hilfe des Integralsatzes vonStokes (A.8.2) folgendermaßen umformen:

ˆ

A

rot ~H · d~a =

ˆ

∂A

~H · d~r =

ˆ

A

(~j +

∂ ~D

∂t

)· da

Da diese Aussage für beliebige Kontrollflächen A gültig ist, müssen die Integranden in den beidenFlächenintegralen übereinstimmen, und wir erhalten:

rot ~H = ~j +∂ ~D

∂t(3.31)

(allgemeines Durchflutungsgesetz)

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4 INDUKTION

4. Induzierte Elektrische Felder und Spannungen

Die Erzeugung elektrischer Felder und Spannungen durch die Bewegung eines Leiters in einemMagnetfeld heißt Bewegungsinduktion; ruht der Leiter in einem zeitlich veränderlichen Magnetfeld,so spricht man von Ruheinduktion.

4.1. Bewegungsinduktion

4.1.1. Elektromotorische Kraft in bewegten leitfähigen Medien

Wird ein elektrisch leitfähiges Medium mit der Geschwindigkeit ~v durch ein Magnetfeld ~B bewegt,so erfährt eine im Medium ruhende Probeladung q die Lorentzkraft ~FL = q(~v× ~B). Im Leiter ver-spürt man diese als “elektromotorische Kraft” und interpretiert ~FL/q als eine durch die Bewegungdes Leiters induzierte elektrische Feldstärke

~Eind,b = ~v × ~B (4.1)

4.1.2. Induzierte elektrische Spannung in zeitveränderlicher Leiterschleife

Wir betrachten zunächst als Beispiel für eine zeitlich sich ändernde Leiterschleife folgende Anord-nung:

Abb. 4.1: Zeitveränderliche Leiterschleife

Über zwei feststehenden parallelen Drahtbügeln läuft eine senkrecht dazu angeordnete Drahtbrückemit der Geschwindigkeit ~V = V · ~ex in Richtung der Drahtbügel. Die momentane Position derDrahtbrücke sei x(t) (d.h. V = dx/ dt), der Abstand der festen Drahtbügel sei h. Am linken Endewerden die Drahtbügel sehr eng zusammengeführt und mit zwei Klemmen nach außen geleitet,sodass die induzierte Klemmenspannung Uind abgegriffen und gemessen werden kann.

Die Drahtbügel und die Drahtbrücke umschließen eine Rechtecksfläche mit Flächeninhalt |A(t)| =h · x(t), die von einem räumlich und zeitlich konstanten, in die Zeichenebene hineinweisenden ~B-Feld durchsetzt wird. Die Drahtstücke bilden eine (fast) geschlossene Leiterschleife C(t) = ∂A(t),die so orientiert ist, dass das vektorielle Oberflächenelement d~a der umschlossenen Fläche A(t) aus

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4.1 Bewegungsinduktion 4 INDUKTION

der Zeichenebene heraus weist. Der magnetische Fluss durch die Leiterschleife ist dann

Φ(A) =

ˆ

A(t)

~B· d~a = −B · |A(t)| = −B · h · x(t) (4.2)

In der Leiterschleife wird entlang der beweglichen Drahtbrücke ein elektrisches Feld ~Eind,b = ~V × ~Binduziert; die restlichen Wegstücke der Leiterschleife sind feldfrei. Daher gibt es beim Wegintegralüber das induzierte Feld entlang der Leiterschleife zur Berechnung der an den Klemmen auf-tretenden induzierten Spannung Uind nur einen Beitrag, der von der Drahtbrücke zwischen denDrahtbügeln 1 und 2 herrührt:

Uind =

2ˆ

1

~Eind,b · d~r =

2ˆ

1

(~V × ~B

)· d~r = V ·B · h =

dxdt·B · h

Mit Gl. (4.2) folgt dann:

Uind = − ddt

Φ(A) (4.3)

Dieses Ergebnis ist für beliebig geformte und zeitlich veränderliche Leiterschleifen gültig, unabhän-gig davon, ob die zeitliche Änderung von einer Deformation oder einer räumlichen Bewegung (wiez.B. Drehung) der Leiterschleife herrührt. Bewegt sich jedes Linienelement d~r der Schleife ∂A(t)

mit der lokalen Geschwindigkeit ~V (~r, t) in einem ortsveränderlichen, aber zeitlich konstantem Ma-gnetfeld ~B(~r), so gilt allgemein (ohne Beweis):

Uind =

ˆ

∂A(t)

(~V (~r, t)× ~B(~r)

)· d~r = − d

dt

Â(t)

~B(~r) · d~a

(4.4)

V (r ,t)

B(r )

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4 INDUKTION 4.1 Bewegungsinduktion

4.1.3. Unipolar-Maschinen

Bei Unipolar-Maschinen wird ein elektrisches Feld in einem bewegten leitenden Material indu-ziert, ohne dass die resultierende induzierte Spannung entlang einer linienförmigen Leiterschleifegeneriert wird. Ein typisches Beispiel ist das Barlowsche Rad:

y

x

z

)

)

a

1

2

Abb. 4.2: Barlowsches Rad

Eine kreisförmige leitende Scheibe mit Radius a dreht sich um eine starre Achse (z-Achse) mit derWinkelgeschwindigkeit Ω in einem konstanten ~B−Feld, das parallel zur Drehachse orientiert ist:~B = B · ~ez. An der Achse und am Rand der Scheibe befinden sich zwei ortsfeste Schleifkontakte,an denen die induzierte Spannung Uind abgegriffen wird. Ein Volumenelement der sich drehendenScheibe im Abstand r von der Drehachse hat in Zylinderkoordinaten die lokale Tangentialgeschwin-digkeit ~V = Ω · r · ~eϕ; damit folgt für das induzierte Feld

~Eind,b = ~V × ~B = ΩBr (~eϕ × ~ez) = ΩBr~er.

Die an den Schleifkontakten auftretende induzierte Spannung ergibt sich als Wegintegral von derAchse (Punkt 1) zum Schleifer am Rand (Punkt 2). Diesen Weg parametrisieren wir mit demRadius r:

~r → r · ~er; 0 ≤ r ≤ a ⇒ d~r = ~er · dr

Damit erhalten wir für die induzierte Spannung

Uind =

2ˆ

1

(~V × ~B

)d~r = ΩB

aˆ

0

r · dr =1

2ΩBa2. (4.5)

Man beachte, dass sich in diesem Fall die induzierte Spannung nicht als zeitliche Änderung desmagnetischen Flusses gemäß Gl. (4.4) schreiben lässt, weil sich keine passend definierte bewegteLeiterschleife finden lässt.

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4.2 Ruheinduktion 4 INDUKTION

4.2. Ruheinduktion

Die experimentelle Erfahrung zeigt, dass im Falle von Leiterschleifen das Induktionsgesetz in derallgemeinen Form

Uind = − ddt

ˆ

A(t)

~B(~r, t) · d~a (4.6)

auch dann gilt, wenn sowohl Leiterschleife A(t) als auch das umschlossene Magnetfeld ~B(~r, t)

explizit zeitabhängig sind (vgl. Abs. 4.3). Dies bedeutet, dass auch bei einer ruhenden Leiterschleife,also ohne die Wirkung der Lorentzkraft, ein induziertes elektrisches Feld auftritt, das allein durchdie zeitliche Änderung des Magnetfeldes ~B(~r, t) verursacht wird. Dieser Effekt heißt Ruheinduktion.

4.2.1. Induzierte Spannung in ruhender Leiterschleife

Durch die explizite zeitliche Änderung des Magnetfeldes ~B(~r, t) wird in der ruhenden Leiterschleifeein elektrisches Feld ~Eind,r(~r, t) induziert.

Die Zeitabhängigkeit des magnetischen Flusses

Φ(A) =

ˆ

A

~B(~r, t) d~a

wird allein vom Integranden ~B(~r, t) verursacht und wir erhalten

dΦ(A)

dt= lim

∆t→0

1

∆t

Â

~B(~r, t+ ∆t)d~a−ˆ

A

~B(~r, t)d~a

=

=

ˆ

A

lim∆t→0

1

∆t

(~B(~r, t+ ∆t)− ~B(~r, t)

)d~a =

=

ˆ

A

∂ ~B

∂t(~r, t) · d~a

Damit ergibt sich für die durch Ruheinduktion in der Leiterschleife generierte Spannung

Uind = −ˆ

A

∂ ~B

∂t· d ~a. (4.7)

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4 INDUKTION 4.2 Ruheinduktion

Der Zusammenhang zwischen der räumlich verteilten induzierten elektrischen Feldstärke ~Eind,r(~r, t)und ∂ ~B

∂t (~r, t) ist in integraler Form dadurch gegeben, dass die längs der Leiterschleife ∂A integrierteelektrische Feldstärke die induzierte Spannung ergeben muss:

ˆ

∂A

~Eind,r(~r, t) · d~r = −ˆ

A

∂ ~B

∂t(~r, t) · d~a (4.8)

4.2.2. Maxwellsche Verallgemeinerung: Differentielle Form des Induktionsgesetzes

Maxwell erkannte, dass der integrale Zusammenhang (4.8) zwischen induziertem ~E - Feld undzeitveränderlichem ~B - Feld ein Naturgesetz darstellt, das für jede orientierbare Kontrollfläche Amit rechtsorientierter Randkurve ∂A gültig ist, auch ohne dass die Randkurve durch eine materielleLeiterschleife C = ∂A realisiert ist.Gl. (4.8) ist also in jedem Medium gültig, insbesondere auch im leeren Raum!Diese Form des Induktionsgesetzes führt zur Erweiterung des Grundgesetzes der Elektrostatik´∂A

~E · d~r = 0 auf zeitveränderliche Vorgänge. Das gesamte elektrische Feld setzt sich dann auszwei Beiträgen zusammen:

~E = ~Epot + ~Eind,r

wobei ~Epot ein Gradientenfeld ist, das von einer elektrischen Raumladung erzeugt wird:

~Epot = −∇Φ mit div(ε∇Φ) = −ρ

während ~Eind,r ein quellenfreies Wirbelfeld ist, das von ∂ ~B∂t induziert wird. Insgesamt erhalten wir

also für das gesamte elektrische Feld die Zerlegung~E = −∇Φ︸︷︷︸

wirbelfrei,quellenbehaftet

+ ~Eind,r︸︷︷︸Wirbelfeld,quellenfrei

(4.9)

Das Umlaufintegral über die geschlossene Randkurve ∂A einer Kontrollfläche A ergibt sich dannzu ˆ

∂A

~E · d~r =

ˆ

∂A

−∇Φ · d~r +

ˆ

∂A

~Eind,r · d~r.

Da das Umlaufintegral eines Gradientenfeldes über eine geschlossene Kurve stets verschwindet,folgt mit Gl. (4.8):

ˆ

∂A

~E · d~r = −ˆ

A

∂ ~B

∂t· d~a für jede Kontrollfläche A

Unter Verwendung des Integralsatzes von Stokes (A8.2) erhalten wir weiter

ˆ

A

rot ~E · d~a =

ˆ

∂A

~E · d~r = −ˆ

A

∂ ~B

∂t· d~a

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4.3 Allgemeine Induktion 4 INDUKTION

und da diese Aussage für beliebig wählbare Kontrollflächen A gilt, folgt schließlich die differentielleForm des Induktionsgesetzes

rot ~E = −∂~B

∂t(4.10)

4.3. Allgemeine integrale Form des Induktionsgesetzes

Ist eine Leiterschleife ∂A(t) zeitlich veränderlich und gleichzeitig auch das umschlossene Magnetfeld~B(~r, t) zeitabhängig, so überlagern sich die Wirkung der Lorentzkraft und des durch Ruheinduktiongenerierten ~E - Feldes bei der Bestimmung der induzierten Spannung:

Uind =

ˆ

∂A(t)

[~Eind,r(~r, t)︸︷︷︸Beitrag der

Ruheinduktion

+ ~V (~r, t)× ~B(~r, t)︸︷︷︸Beitrag der

Bewegungsinduktion

]· d~r (4.11)

wobei ~V (~r, t) die lokale Geschwindigkeit bezeichnet, mit der sich ein Linienelement d~r der Leiter-schleife bewegt. Mit Gl. (4.8) erhalten wir weiter

Uind = −ˆ

A(t)

∂ ~B

∂t(~r, t) · d~a+

ˆ

∂A(t)

[~V (~r, t)× ~B(~r, t)

]· d~r (4.12)

V (r ,t)

Man kann mathematisch zeigen, dass man dasselbe Ergebnis auch dadurch erhält, dass man inGl. (4.6) die Zeitableitung explizit ausführt. Die Zeitableitung bezüglich des zeitveränderlichen~B - Feldes liefert den ersten Summanden und die Zeitableitung bezüglich der zeitveränderlichenKontrollfläche A(t) generiert den zweiten Summanden. Die überlagerte Wirkung von Ruhe- undBewegungsinduktion ist also in kompakter und eleganter Weise in der Darstellung

Uind = − ddt

ˆ

A(t)

~B(~r, t) · d~a = − ddt

Φ (A(t)) (4.13)

enthalten.

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4 INDUKTION 4.4 Maxwellsche Gleichungen

4.4. Zusammenfassung der elektromagnetischen Feldgleichungen(Maxwellsche Gleichungen)

Wir sind nun in der Lage, die Grundgleichungen des Elektromagnetismus in einem konsistentenSystem partieller Differentialgleichungen zusammenzufassen.

Diese werden als “Maxwellsche Gleichungen” bezeichnet und lauten:

'

&

$

%

div ~D = ρ vgl. (1.36) (4.14)

div ~B = 0 vgl. (3.20) (4.15)

rot ~E = −∂~B

∂tvgl. (4.10) (4.16)

rot ~H = ~j +∂ ~D

∂tvlg. (3.31) (4.17)

Diese Gleichungen beschreiben Naturgesetze, die folgende physikalische Aussagen beinhalten:

• Elektrische Felder werden erzeugt

– von einer elektrischen Ladungsverteilung %(quasi-statisch, Gl. (4.14))

– oder durch ein schnell zeitveränderliches Magnetfeld ∂ ~B∂t

(magnetische Induktion, Gl. (4.16))

• Magnetische Felder werden erzeugt

– durch eine elektrische Stromverteilung ~j(quasi-statisch, Gl. (4.17))

– oder durch ein schnell zeitveränderliches elektrisches Feld ∂ ~D∂t

(Verschiebungsstrom = “elektrischer Induktion”, Gl. (4.17))

• Durch das Faradaysche Induktionsgesetz (4.16) und das Ampère-Maxwellsche Gesetz (4.17)werden das elektrische Feld und das magnetische Feld in ihrer Zeit- und Ortsabhängigkeit engmiteinander verkoppelt. Man fasst daher ~E und ~H als die beiden Komponenten einer einzigenphysikalischen Feldgröße ( ~E, ~H) auf, die als “elektromagnetisches Feld” bezeichnet wird.Nur im Falle rein statischer Felder, wenn ∂ ~B

∂t = 0 und ∂ ~D∂t = 0 gilt, sind die “elektrische Welt”

und die “magnetische Welt” entkoppelt, und nur dann macht es Sinn, das elektrische und dasmagnetische Feld als unabhängige Feldgrößen zu behandeln.

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4.4 Maxwellsche Gleichungen 4 INDUKTION

Damit die Maxwellschen Gleichungen ein geschlossenes Differentialgleichungssystem für das elek-tromagnetische Feld ( ~E, ~H) ergeben, müssen sie noch um die sogenannten Materialgleichungenergänzt werden. In ihrer einfachsten Form lauten diese:

'

&

$

%

~D = ε ~E (4.18)

~B = µ ~H (4.19)

~j = σ ~E +~j0 (4.20)

Diese Gleichungen sind keine Naturgesetze, sondern phänomenologische Modellgleichungenmit einem beschränkten Gültigkeitsbereich, der sich aus den zugrundeliegenden Modellannahmenergibt (elektrisches Polarisationsmodell, Magnetisierungsmodell, Ohmsches Driftmodell usw.)

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A. Mathematische Grundlagen

A.1. Euklidischer, affiner Raum E3

A.1.1. Struktur

In der analytischen Geometrie wird der dreidimensionale, kontinuierliche Ortsraum als reeller,affiner Raum E3 aufgefasst, der aus der Menge aller Positionen (Orte, Punkte) besteht. E3 dientalso als Modell für einen flachen, dreidimensionalen Kosmos und jeder Ort P entspricht genaueinem Element von E3.

E3 hat folgende Struktur:

(i) Zu E3 gibt es einen reellen, 3-dimensionalen Vektorraum, dessen Elemente “gerichtete Stre-cken” zwischen je zwei Punkten aus E3 sind.Präziser: Jedem Paar (P,Q) mit P,Q ∈ E3 ist eindeutig ein mit

−−→PQ bezeichneter Vektor so

zugeordnet, dass folgende Axiome erfüllt sind:

(A1)

∀ ∀ ∃1 ~V =−−→PQ

P∈E3~V ∈V3 Q∈E3

(Schreibweise: Q = P + ~V )

(A2)

∀ −−→PQ+

−→QS=

−→PS

P,Q,S∈E3

+ +

+

+ +

(ii) Daraus folgt unmittelbar:

∀ −−→PP =~0 ; ∀ −−→

QP =−−−→PQ

P∈E3 P,Q∈E3

(iii) Der Vektorraum V3 ist “euklidisch”, d.h. er hat ein Skalarprodukt

〈.|.〉 : V3 × V3 → R (=positiv-definite symmetrische Bilinearform),

und damit eine Norm (“Betrag”)‖.‖ =

√〈.|.〉,

mit deren Hilfe man Längen und Winkel in E3 messen kann.

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A.1 Euklidischer, affiner Raum E3 A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

• Längenmessung:Länge = Abstand zweier Punkte = Betrag des Ver-bindungsvektors

−−→PQ:

|−−→PQ| :=

√〈−−→PQ|−−→PQ〉 = ‖

−−→PQ‖︸︷︷︸Norm

• Winkelmessung: Winkel zwischen−−→PQ und

−→PR gemäß

ebener Trigonometrie

cos(α) = cos(]−−→PQ,

−→PR) =

〈−−→PQ|−→PR〉

‖−−→PQ‖ · ‖

−→PR‖

Übliche Schreibweise für Skalarprodukte: 〈~V | ~W 〉 =: ~V · ~W

+

+

+

(iv) V3 ist “orientiert”, d.h. jedem 3-Bein (~U, ~V , ~W ) kann man mittels der Orientierungsfunktionor(~U, ~V , ~W ) := sgn(det(~U, ~V , ~W )) einen Schraubsinn zuordnen. Da die Determinante dreierVektoren gemäß det(~U, ~V , ~W ) = (~U×~V )· ~W als Spatprodukt ausgerechnet werden kann, gilt:

or(~U, ~V , ~W ) = sgn((~U × ~V ) · ~W ))

und man entscheidet dann:

• wenn (~U × ~V ) · ~W > 0⇒ rechts - orientiertes 3-Bein

• wenn (~U × ~V ) · ~W < 0⇒ links - orientiertes 3-Bein

A.1.2. Ursprung

In E3 kann man einen Punkt O ∈ E3 fest als “Koordinaten-Ursprung” wählen. Jedem PunktP ∈ E3 wird dann “eineindeutig” (=bijektiv) ein Ortsvektor

~r(P ) :=−→OP

mit der entsprechenden Umkehrabbildung

~r(P ) 7→ P = O + ~r(P )

zugeordnet.

O + +

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.1 Euklidischer, affiner Raum E3

A.1.3. Basis, Koordinatensystem

Wählt man in V3 eine Basis (~b1, ~b2, ~b3), so lässt sich jeder Punkt P ∈ E3 durch seine “Koordinaten”(x1, x2, x3)T ∈ R3 eineindeutig darstellen, gemäß

~r(P ) = x1~b1 + x2

~b2 + x3~b3

bzw.P = O + x1

~b1 + x2~b2 + x3

~b3

Dabei heißt (O, ~b1, ~b2, ~b3) “Koordinatensystem”.

Ist (~b1, ~b2, ~b3) eine Orthonormalbasis, d.h. es gelte

~bi · ~bj = δij =

1 für i = j

0 für i 6= j

so heißt es “kartesisches Koordinatensystem”.

Übliche Schreibweisen hierfür sind:

(O, ~e1, ~e2, ~e3), bzw. (O, ~ex, ~ey, ~ez)

Jeder Ortsvektor ist dann darstellbar als

~r(P ) = x1 ~e1 + x2 ~e2 + x3 ~e3, bzw. ~r(P ) = x~ex + y ~ey + z ~ez

Oft werden P ∈ E3, ~r(P ) ∈ V3 und die kartesischen Koordinaten (x1, x2, x3)T ∈ R3 bzw.(x, y, z)T ∈ R3 synonym verwendet (oder schlampigerweise sogar miteinander identifiziert).Kartesische Koordinatensysteme mit orthonormierten Basisvektoren (~e1, ~e2, ~e3) haben den großenVorteil, dass man das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren sehr leicht aus seinen Komponentenberechnen kann:

Ist ~U =3∑i=1

Ui~ei und ~V =3∑j=1

Vj~ej ,

so folgt ~U · ~V =3∑i=1

3∑j=1

UiVj~ei · ~ej =3∑i=1

3∑j=1

UiVjδij =3∑i=1

UiVi,

also ~U · ~V =3∑i=1

UiVi

Desweiteren lassen sich die kartesischen Komponenten eines Vektors sehr leicht berechnen:

Ist ~V =

3∑j=1

Vj~ej , so gilt: Vj = ~ej · ~V

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A.1.4. Skalarfeld

Ein Skalarfeld auf E3 ist eine Abbildung Φ : E3 → R ; P 7→ Φ(P ). Dieser Abbildung kann bei festgewähltem Koordinaten-System (O, ~b1, ~b2, ~b3) die “Koordinatendarstellung”

Φ(x1, x2, x3) := Φ(O + x1~b1 + x2

~b2 + x3~b3)

bijektiv zugeordnet werden. Meist wird schlampigerweise zwischen Φ und Φ nicht unterschieden!

A.1.5. Vektorfeld

Ein Vektorfeld auf E3 ist eine vektorwertige Abbildung

~V : E3 → V3 ; P 7→ ~V (P )

Bei fest gewähltem Koordinatensystem (O, ~b1, ~b2, ~b3) kann man sowohl den Ort ~r(P ) als auch ~V (P )

nach der Basis (~b1, ~b2, ~b3) entwickeln:

~V (P ) = ~V (O + x1~b1 + x2

~b2 + x3~b3) =: ~V (x1, x2, x3),

~V (x1, x2, x3) = V1(x1, x2, x3) ·~b1 + V2(x1, x2, x3) ·~b2 + V3(x1, x2, x3) ·~b3

Die Zuordnung

~V (P ) V (x), mit V : R3 → R3 (“ ~V in b-Koordinaten”)

(x1, x2, x3)T = x 7→ (V1(x), V2(x), V3(x))T = V (x) ∈ R3

ist eineindeutig. Auch hier wird meist schlampigerweise nicht zwischen ~V (P ), ~V (x) und V (x)

unterschieden.

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A.1.6. Ortsabhängige Basisvektoren

Oft führt man auch ortsabhängige Basisvektoren von V3 ein (“begleitendes Dreibein”), d.h.(~b1(P ),~b2(P ),~b3(P )), und entwickelt ~r(P ) und ~V (P ) an jedem Punkt P nach demKoordinatensystem (O,~b1(P ),~b2(P ),~b3(P )). ( “krummlinige Koordinaten”, vgl. Abs. A.4)

Beispiel: “Zylinderkoordinaten”:

~er(r, ϕ, z) = cos(ϕ) · ~ex + sin(ϕ) · ~ey~eϕ(r, ϕ, z) = − sin(ϕ) · ~ex + cos(ϕ) · ~ey~ez(r, ϕ, z) = ~ez

→ ist rechtsorientierte Ortonormalbasis!

wobei der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten wie folgt dargestellt wird:

~r(P ) = r · cos(ϕ) · ~ex + r · sin(ϕ) · ~ey + z · ~ez = r · ~er(ϕ) + z · ~ez

z

y

x

P

Abb. A.1: Definition der Zylinderkoordinaten (r, ϕ, z)

Skalarfeld in Zylinderkoordinaten:

Φ(r, ϕ, z) = Φ(O + r · ~er(ϕ) + z · ~ez)

Vektorfeld in Zylinderkoordinaten:

~V (r, ϕ, z) = Vr(r, ϕ, z)~er(ϕ) + Vϕ(r, ϕ, z)~eϕ(ϕ) + Vz(r, ϕ, z)~ez,

sowie

V (r, ϕ, z) =

(Vr(r, ϕ, z), Vϕ(r, ϕ, z), Vz(r, ϕ, z)

)T

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A.1.7. Konvergenz, Stetigkeit, Differenzierbarkeit

Über die Norm in V3

‖~V ‖ =

√〈~V |~V 〉

lässt sich der Abstand zweier Vektoren als die Größe

‖~U − ~V ‖

definieren. Damit lassen sich die Konzepte der Differentialrechnung einführen (Konvergenz, Ste-tigkeit, Differenzierbarkeit etc.).

Beispiel 1: Grenzwert einer vektorwertigen Funktion ~V (t) einer reellen Variablen t.Sei (t1, t2) ⊂ R ein Intervall und t0 ∈ (t1, t2). Dann konvergiert definitionsgemäß ~V (t)

bei t0 zum Grenzwert ~V0 ∈ V3 genau dann, wenn die reelle Funktion t 7→ ||~V (t) − ~V0||für t→ t0 gegen 0 konvergiert.Formale Schreibweise:

limt→t0

~V (t) = ~V0 :⇔ limt→t0‖~V (t)− ~V0‖ = 0

Beispiel 2: Ableitung einer vektorwertigen Funktion ~a(t) einer reellen Variablen t.Sei (t1, t2) ⊂ R ein Intervall und t0 ∈ (t1, t2). Dann definiert man die 1. Ableitung von~a(t) bei t0 über den Grenzwert

d~adt

(t0) := lim∆t→0

1

∆t

[~a(t0 + ∆t)− ~a(t0)

],

Dies ist zur Aussage äquivalent, dass es ein einen Vektor d~ad t (t0) ∈ V3 gibt mit

lim∆t→0

∥∥∥∥~a(t0 + ∆t)− ~a(t0)

∆t− d~a

dt(t0)

∥∥∥∥ = 0

Beispiel 3: Die 1. Ableitung gestattet folgende Interpretation:Wir betrachten eine Kurve C(P1, P2) von P1 ∈ E3 nach P2 ∈ E3, indem wir ~r(t) alsOrtsvektor eines Punktes P (t) = O+~r(t) auffassen, der sich im Zeitintervall [t1, t2] vomAnfangspunkt P1 = O + ~r(t1) zum Endpunkt P2 = O + ~r(t2) bewegt.

O

+

+ +

Abb. A.2: Punkt P wandert entlang der Kurve C(P1, P2) mit der Zeit t als Kurvenparameter

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~r(t) ist also eine Parameterdartellung von C(P1, P2)

[t1, t2] 3 t 7→ O + ~r(t) ∈ C(P1, P2)

mit der Zeit t als Kurvenparameter. Mit

~v(t) :=d~rdt

(t) = lim∆t→0

1

∆t

[~r(t+ ∆t)− ~r(t)

]erhält man die vektorielle Geschwindigkeit zur Zeit t, mit der sich der Punkt P (t)

bewegt. ~v(t) ist ein Tangentialvektor an die Kurve C(P1, P2) im Punkt P (t).Die Darstellung der Kurve C(P1, P2) kann man auch mit Hilfe einer Parameterdarstel-lung ~r(λ) erfolgen, wobei λ nicht die Zeit, sondern eine andere Größe ist (Bogenlänge,Winkel o.ä.). Es muss nur gelten:

[λ1, λ2] 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ V3

sodassP (λ) = O + ~r(λ) ∈ C(P1, P2)

P1 = O + ~r(λ1); P2 = O + ~r(λ2)

Dann ist ein Tangentenvektor am Punkt P (λ) = O + ~r(λ) gegeben durch

d~rdλ

(λ) = lim∆λ→0

1

∆λ

[~r(λ+ ∆λ)− ~r(λ)

]Drückt man den Ortsvektor ~r(λ) durch seine Koordinaten (x1(λ), x2(λ), x3(λ)) bezüg-lich einer nicht-ortsabhängigen Basis (~b1,~b2,~b3) aus:

~r(λ) =3∑i=1

xi(λ)~bi

so kann man die 1. Ableitung von ~r(λ) folgendermaßen konkret ausrechnen:

d~rdλ

(λ) = lim∆λ→0

1

∆λ·

3∑i=1

[(xi(λ+∆λ)−xi(λ)

)·~bi]

=3∑i=1

[lim

∆λ→0

(xi(λ+ ∆λ)− xi(λ)

∆λ

)·~bi]

=

3∑i=1

dxidλ

(λ)~bi

das heißt:d~rdλ

=3∑i=1

dxidλ

(λ)~bi

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A.2 Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

A.2. Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En

Im Folgenden betrachten wir Sachverhalte, die für beliebige Raumdimensionen n ∈ N formuliertwerden können. Für die Vorlesung “Elektrizität und Magnetismus” sind allerdings nur die Fällen = 2 und n = 3 relevant.

Desweiteren wollen wir nicht mehr streng zwischen den Punkten P ∈ En und ihren Ortsvektoren~r(P ) =

−→OP ∈ Vn unterscheiden, sondern wir denken uns einen passend gewählten Koordinatenur-

sprung fest eingeführt, auf den wir alle Ortsvektoren beziehen.

A.2.1. Definition des Wegintegrals

Gegeben ist ein Weg C(P1, P2) von P1 ∈ En nach P2 ∈ En mit einer “glatten” (d.h. differenzierba-ren) Parameterdarstellung

R ⊃ (λ0, λ1) 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ Vn

~r(λ1) =−−→OP1, ~r(λ2) =

−−→OP2

sowie einem Vektorfeld ~F (~r):Vn ⊃ Ω 3 ~r 7→ ~F (~r) ∈ Vn

wobei die Kurve ~r(λ) ganz in Ω enthalten sein muss. Man berechnet das Wegintegral von ~F (~r)

entlang C(P1, P2) über die Parameterdarstellung ~r(λ) wie folgt:

ˆ

C(P1,P2)

~F (~r) · d~r =

λ1ˆ

λ0

~F (~r(λ)) · d~rdλ

dλ (A.2.1)

Man kann zeigen, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von der Wahl der Parameterdarstel-lung ist, solange die Orientierung P1 → P2 beim Durchlaufen der Kurve C(P1, P2) beibehaltenwird.

In einem kartesischen Koordinatensystem mit Ortonormalbasis (~e1, . . . , ~en) wird die Parameter-darstellung ~r(λ) =

∑nj=1 xj(λ)~ej über die Koordinatenfunktionen (x1(λ), . . . , xn(λ)) realisiert und

das Kraftfeld als ~F (~r) =∑n

j=1 Fj(x1, . . . , xn)~ej dargestellt (vgl. Abs. A.1.5). Das Wegintegralberechnet sich dann wie folgt:

ˆ

C(P1,P2)

~F (~r) · d~r =

λ1ˆ

λ0

[F1(x1(λ), . . . , xn(λ)) · dx1

dλ+ . . .+ Fn(x1(λ), . . . , xn(λ)) · dxn

dλ

]dλ

(A.2.2)Wichtige Bemerkung:

Im Allgemeinen hängt ein Wegintegral von P1 nach P2 von der Wahl des verbindenden WegesC(P1, P2) ab!

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.2 Wegintegrale im affinen Euklidischen Raum En

A.2.2. Konservative Kraftfelder

Ein Kraftfeld ~F (~r) heißt konservativ, wenn das Wegintegralˆ

C(P1,P2)

~F (~r) · d~r

nur von P1 und P2, aber nicht von der Wahl des verbindenden Weges C(P1, P2) abhängt. In diesemFall macht folgende Schreibweise einen Sinn:

P2ˆ

P1

~F · d~r :=

ˆ

C(P1,P2)

~F · d~r

Ist der Definitionsbereich Ω ⊂ Vn des Vektorfeldes ~F (~r) ein einfach zusammenhängendes Gebiet,so gilt in kartesischen Koordinaten folgendes Kriterium:

~F (~r) konservativ ⇔ ∂Fj∂xi

=∂Fi∂xj

für i, j = 1, . . . , n; i 6= j

Dieses Kriterium sei im zweidimensionalen Raum (n = 2) an zwei Beispielen illustriert.

Beispiel 1:

~F (x, y) = −y~ex+x~ey, also Fx(x, y) = −y und Fy(x, y) = x

⇒ ∂Fy∂x

= 1;∂Fx∂y

= −1

⇒ ~F (x, y) ist nicht konservativ!

Beispiel 2:

~F (x, y) = x~ex+y~ey, also Fx(x, y) = x und Fy(x, y) = y

⇒ ∂Fy∂x

= 0 =∂Fx∂y

⇒ ~F (x, y) ist konservativ!

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A.3 Totale Ableitung und Gradient A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

A.3. Totale Ableitung und Gradient von Skalarfeldern

A.3.1. Linearformen und dualer Raum

(i) Eine Linearform auf dem euklidischen Vektorraum Vn ist eine lineare Abbildung

l : Vn → R, ~v 7→ l(~v)

Die Linearformen auf Vn bilden einen n-dimensionalen reellen Vektorraum V ∗n ,mit der Addition

(l1 + l2)(~v) := l1(~v) + l2(~v)

und der skalaren Multiplikation(αl)(~v) := α · l(~v)

wobei α ∈ R. V ∗n heißt auch “dualer Raum zu Vn”.

(ii) Über das Skalarprodukt 〈.|.〉 auf Vn gibt es einen kanonischen Isomorphismus zwischen Vnund V ∗n , d.h. eine bijektive strukturerhaltende Abbildung zwischen Vektoren und Linearfor-men:

Vn 3 ~u lu ∈ V ∗n

Dabei wird jedem ~u ∈ Vn die Linearform

lu := 〈~u|.〉 ∈ V ∗n

zugeordnet, d.h. es gilt:∀~v ∈ Vn : lu(~v) := 〈~u|~v〉.

Umgekehrt gibt es zu jeder Linearform l ∈ V ∗n genau einen Vektor ~ul mit

∀~v ∈ Vn : l(~v) = 〈~ul|~v〉

Explizite Berechnung von ~ul:

Sei (~e1, ~e2, . . . ~en) eine Orthonormalbasis in Vn, d.h. 〈~ei|~ej〉 = δij .

Für eine gegebene Linearform l ∈ V ∗n berechnen wir lj = l(~ej) (j = 1, . . . n) und bilden

~l∗ =

n∑j=1

lj~ej =

n∑j=1

l(~ej)~ej (A.3.1)

Dann gilt:~ul = ~l∗

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.3 Totale Ableitung und Gradient

Beweis:Jedes ~v ∈ Vn hat die Darstellung ~v =

∑nj=1 vj~ej mit vj = 〈~ej |~v〉 .

Damit folgt:

∀~v ∈ Vn : l(~v) = l

n∑j=1

vj~ej

=n∑j=1

vjl(~ej) =n∑j=1

lj〈~ej |~v〉

= 〈n∑j=1

lj~ej |~v〉 = 〈~l∗|~v〉 q.e.d.

Das Ergebnis ist unabhängig von der Wahl der Orthonormalbasis.Die isomorphe Abbildung

V ∗n 3 l 7→ ~l∗ ∈ Vn

ist somit die Umkehrabbildung der isomorphen Abbildung

Vn 3 ~u 7→ lu = 〈~u|.〉 ∈ V ∗n

A.3.2. Totales Differential und Gradient als duale Größen

12d

Abb. A.3: Lineare Approximation eines Skalarfeldes

(i) Ein skalares Feld Φ : En → R ist (total) differenzierbar am Punkt P ∈ E3, wenn es linearapproximierbar ist. Dies bedeutet, es gibt eine Linearform lP : Vn → R, sodass der folgendeLimes existiert und verschwindet:

lim∆~r→0

[Φ(P + ∆~r)− Φ(P )

]− lP (∆~r)

|∆~r|= 0 (A.3.2)

Diese Linearform lP ist dann eindeutig bestimmt, und wird mit DΦ oder dΦ bezeichnet. Sieheißt die 1. Ableitung von Φ oder das totale Differential von Φ (“Fréchet-Ableitung”).

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(ii) Der zu der Linearform dΦ kanonisch zugeordnete Vektor−−→dΦ∗ aus Vn heißt “Gradient von

Φ bei P ”. Folgende Schreibweisen sind üblich:

−−→dΦ∗ = grad Φ =

−→∇Φ =

∂Φ

∂~r(A.3.3)

Es gilt also:

∀~n∈Vn

dΦP (~n) = 〈grad Φ(P )|~n〉︸︷︷︸ = 〈−→∇Φ(P )|~n〉︸︷︷︸ = 〈∂Φ

∂~r(P )|~n〉︸︷︷︸

grad Φ(P ) · ~n−→∇Φ(P ) · ~n ∂Φ

∂~r (P ) · ~n

(A.3.4)

Die Abbildung En 3 P 7→ grad Φ(P ) ∈ Vn ist also ein Vektorfeld auf En; es weist stetsin die Richtung des steilsten Anstiegs von Φ (vgl. A.3.3).

A.3.3. Richtungsableitung

(i) Sei P ∈ En und ~n ∈ Vn eine Richtung, die eineGerade durch P in Richtung von ~n festlegt. Siehat die Parameterdarstellung:

R 3 α 7→ ~r(α) = ~r(P ) + α · ~n ∈ Vn

bzw. P (α) = P + α · ~n ∈ En

+

O +

Sei Φ(P ) ein differenzierbares Skalarfeld, dessen Definitionsbereich ein Stück der Gerade umP enthält. Dann ist Φ entlang der Geraden bei P als eindimensionale Funktion

(−ε, ε) 3 α→ Φ(P + α~n)

bei α = 0 differenzierbar. Die gewöhnliche Ableitung

ddα

Φ(P + α~n)

∣∣∣∣α=0

heißt “Richtungsableitung von Φ nach ~n ” und wird mit ∂Φ∂n

∣∣∣∣P

bezeichnet.

Mit Hilfe des Gradienten kann man sie folgendermaßen berechnen:

∂Φ

∂n

∣∣∣∣P

= 〈grad ΦP |~n〉 = grad ΦP · ~n (A.3.5)

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Beweis:

0 = limα→0

Φ(P + α~n)− Φ(P )− (grad Φ · α~n)

α|~n|=

=1

|~n|

limα→0

Φ(P + α~n)− Φ(P )

α︸︷︷︸− grad Φ · ~n

∂Φ

∂n

∣∣∣∣P

(ii) grad ΦP zeigt in die Richtung des steilsten Anstieges von Φ. Ist nämlich ϕ der Winkelzwischen einem beliebigen Richtungsvektor ~n und grad ΦP , so gilt für den steilsten Anstieg:

max

∂Φ

∂n

∣∣∣∣P

;~n ∈ Vn, |~n| = 1

= max

0≤ϕ<2π| grad ΦP | · |~n| · cosϕ = | grad Φ|

Da das Maximum für ϕ = 0 angenommen wird, folgt ~n grad ΦP für die Richtung dessteilsten Anstiegs.

(iii) Für P ∈ En betrachtet man die Menge aller Punkte, die denselben Φ-Wert haben wieΦ(P ). Für eine differenzierbare Funktion Φ mit grad Φ(P ′) 6= 0 ist diese Menge eine (n− 1)

dimensionale Fläche FP = P ′ ∈ En|Φ(P ′) = Φ(P ), die P enthält. Legt man am Punkt Pdie Tangentialebene TP an FP , so steht grad ΦP senkrecht auf TP (vgl. Abs. A5.5).

A.3.4. Partielle Ableitungen (räumlich unveränderliches Koordinatensystem):

(i) Wählt man ein kartesisches (d.h. orthonormales) Koordinatensystem (O, ~e1, ~e2, . . . , ~en) mitder Darstellung des Ortsvektors gemäß

~r(P ) = x1~e1 + x2~e2 + . . .+ xn~en

so kann man ein differenzierbares Skalarfeld Φ durch seine Koordinatendarstellung

Φ(x1, . . . , xn) = Φ(O + x1~e1, . . . , xn~en)

beschreiben. Die Richtungsableitungen entlang der Koordinatenlinien durch einen PunktP , α 7→ ~r(P ) + α~ej heißen “partielle Ableitungen von Φ nach xj” und werden mit

∂Φ

∂xj

∣∣∣∣P

, oder ∂jΦ

∣∣∣∣P

bezeichnet.

(ii) In der kartesischen Koordinatendarstellung werden die Koordinatenlinien oft schlampig, aberintuitiv einprägsam gemäß

xj 7→ x1~e1 + . . .+ xj~ej + . . .+ xn~en

parametrisiert. Daher lässt sich ∂Φ∂xj

folgendermaßen aus der Koordinatendarstellung Φ(x1, . . . , xn)

berechnen:∂Φ

∂xj

∣∣∣∣P

= lim∆xj→0

Φ(x1, . . . xj + ∆xj . . . , xn)− Φ(x1, . . . , xn)

∆xj(A.3.6)

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(iii) Andererseits lässt sich nach Gl. (A.3.4) die partielle Ableitung auch aus grad Φp berechnen:

∂Φ

∂xj

∣∣∣∣P

= grad ΦP · ~ej (A.3.7)

was bedeutet, dass ∂Φ∂xj

die kartesischen Komponenten von grad Φ sind:

grad Φ =n∑j=1

∂Φ

∂xj· ~ej (A.3.8)

(iv) Führt man das Nabla-Symbol ~∇ als den formalen Differentialoperator

~∇ := ~e1∂

∂x1+ ~e2

∂

∂x2+ . . .+ ~en

∂

∂xn

ein, so kann man schreiben:grad Φ = ~∇Φ

A.3.5. Richtungsableitung entlang einer Kurve:

(i) Die Richtungsableitung am Punkt P in eine Richtung ~n kann man auch dadurch gewinnen,dass man eine Kurve durch P legt, deren Tangentialvektor in Richtung von ~n weist:

~n =d~rdλ

Präziser ausgedrückt:Man wählt eine Parameterdarstellung

R ⊃ (λ1, λ2) 3 λ→ ~r(λ) ∈ Vn

so dass für ein λ0 ∈ (λ1, λ2) gilt:

~r(λ0) = ~r(P ) undd~rdλ

(λ0) = ~n 6= 0

Dann gilt für ein differenzierbares Skalarfeld Φ:

∂Φ

∂n

∣∣∣∣P

=ddλ

Φ(O + ~r(λ))

∣∣∣∣λ=λ0

= grad Φ

∣∣∣∣P

· d~rdλ

(λ0) (A.3.9)

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(ii) Beweis:

0 = limλ→λ0

Φ(O + ~r(λ))− Φ(O + ~r(λ0))− dΦP (~r(λ)− ~r(λ0))

|~r(λ)− ~r(λ0)|

= limλ→λ0

λ− λ0

|~r(λ)− ~r(λ0)|·[

limλ→λ0

(Φ(O + ~r(λ))− Φ(O + ~r(λ0))

λ− λ0

)− limλ→λ0

dΦP

((~r(λ)− ~r(λ0)

λ− λ0

)]

=1

limλ→λ0

∣∣∣~r(λ)−~r(λ0)λ−λ0

∣∣∣ ·[

ddλ

Φ(O + ~r(λ))

∣∣∣∣λ=λ0

− dΦP

(limλ→λ0

~r(λ)− ~r(λ0)

λ− λ0

)]

=1∣∣∣∣d~rdλ(λ0)

∣∣∣∣︸︷︷︸6=0

·

ddλ

Φ(O + ~r(λ))

∣∣∣∣λ=λ0

− dΦP

(d~rdλ

(λ0)

)︸︷︷︸

=0

also folgt die Behauptung:

ddλ

Φ(O + ~r(λ))

∣∣∣∣λ=λ0

= dΦP

(d~rdλ

(λ0)

)= grad ΦP ·

d~rdλ

(λ0) = grad ΦP · ~n =∂Φ

∂n

∣∣∣∣P

(iii) Mit Hilfe der Schreibweise grad Φ = ∂Φ∂~r kann man sich Gleichung (A.3.9) leicht als “Ketten-

regel” merken:

ddλ

Φ(~r(λ)) =∂Φ

∂~r· d~rdλ

(A.3.10)

In kartesischen Koordinaten gilt

grad Φ =n∑j=1

∂Φ

∂xj· ~ej und

d~rdλ

=n∑j=1

dxjdλ· ~ej

woraus folgt:ddλ

Φ(~r(λ)) =

n∑j=1

∂Φ

∂xj· dxjdλ

(A.3.11)

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A.4 Krummlinige Koordinaten A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

A.4. Krummlinige Koordinaten

A.4.1. Kartenabbildung

(i) In einem Teilgebiet Ω ⊂ En (meist Ω = En) wird jedem Punkt P ∈ Ω eineindeutig ein Satzvon n reellen Koordinatenwerten (u1(P ), u2(P ), . . . , un(P )) = u(P ) ∈ Rn zugeordnet. DieKoordinatenwerte liegen in einem Gebiet G ⊂ Rn, und die Punkte P ∈ Ω werden also durchdie “Kartenabbildung”

G 3 (u1, u2, . . . , un) 7→ P (u1, u2, . . . , un) ∈ Ω ⊂ En

bijektiv parametrisiert. Dies induziert eine Darstellung des Ortsvektors gemäß

P (u1, u2, . . . , un) = O + ~r(u1(P ), u2(P ), . . . , un(P )) (A.4.1)

Durchlaufen die “krummlinigen Koordinaten” (u1, u2, . . . , un) das Kartengebiet G, sodurchläuft der Ortsvektor ~r(u1, u2, . . . , un) bijektiv alle Punkte in Ω. Die Kurvenscharen mitParameterdarstellung

uj 7→ ~r(u1, . . . , uj , . . . , un)

heißen Koordinatenlinien.

(ii) Im Falle kartesischer Koordinaten umfasst die Karte G ganz Rn und die Kartendarstellunglautet

Rn 3 (x1, x2, . . . , xn) 7→ P (x1, x2, . . . , xn) = O + x1~e1 + x2~e2 + . . .+ xn~en

Die Koordinatenlinien sind die zu den Koordinatenachsen parallel verlaufenden Geraden

xj 7→ ~r(x1, . . . , xj , . . . , xn) = x1~e1 + . . .+ xj~ej + . . .+ xn~en

A.4.2. Begleitendes n-Bein

(i) Damit man mit krummlinigen Koordinaten vernünftig rechnen kann, muss die Koordinaten-abbildung ~r(u1, u2, ..., un) stetig differenzierbar sein. Dann existieren bei jedem Punkt P ∈ Ω

die Tangentialvektoren an die n Koordinatenlinien durch P

~bj(P ) =∂~r

∂uj

∣∣∣∣P

für j = 1, . . . , n (A.4.2)

Damit die Kartenabbildung G 3 (u1, . . . , un) 7→ ~r(u1, . . . , un) ein n-dimensionales TeilgebietΩ ⊂ En aufspannt, müssen die Tangentialvektoren ~bj(P ) eine Basis in Vn bilden. Diese orts-abhängige Basis (~b1(P ),~b2(P ), . . . ,~bn(P )) heißt “begleitendes n-Bein” (vgl. Abs. A.1.6).Im Allgemeinen ist diese Basis schiefwinklig, d.h. die Koordinatenlinien schneiden sich nichtin rechten Winkeln.

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.4 Krummlinige Koordinaten

(ii) In der Praxis lässt sich der Rechenaufwand stark reduzieren, wenn das begleitende n-Bein(~b1(P ),~b2(P ), . . . ,~bn(P )) ein Orthogonalsystem bildet; es gilt dann:

~bi(P ) ·~bj(P ) = h2j (P )δij (i, j = 1, . . . , n)

mithj(P ) := |~bj(P )| (A.4.3)

sodass die Basisvektoren

~eui(P ) :=1

hi(P )~bi(P ) (i = 1, . . . , n) (A.4.4)

eine “begleitende Orthonormalbasis” bilden. Die krummlinigen Koordinaten (u1, u2, . . . un)

heißen dann “orthogonale Koordinaten” . Im Folgenden wollen wir uns auf diesen Spezial-fall beschränken.

(iii) Ein Beispiel für krummlinige orthogonale Koordinaten sind die in Abschnitt A.1.6 erwähn-ten Zylinderkoordinaten im dreidimensionalen Raum E3.Koordinatenbereich:

G = (r, ϕ, z) | 0 ≤ r; 0 ≤ ϕ < 2π; z ∈ R

Kartenabbildung:

~r(r, ϕ, z) = r cosϕ·~ex+r sinϕ·~ey+z·~ez

Koordinatenlinien:

r 7→ ~r(r, ϕ, z) Radialstrahlen senkrecht zur z-Achse

ϕ 7→ ~r(r, ϕ, z) konzentrische Kreislinien um die z-Achse

z 7→ ~r(r, ϕ, z) Geraden parallel zur z-Achse

z

y

x

P

Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien:

~br =∂~r

∂r= cosϕ · ~ex + sinϕ · ~ey

~bϕ =∂~r

∂ϕ= −r sinϕ · ~ex + r cosϕ · ~ey

~bz =∂~r

∂z= ~ez

Diese bilden ein Orthogonalsystem.Normierungsfaktoren:

hr = |~br| = 1; hϕ = |~bϕ| = r; hz = |~bz| = 1

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Begleitende Orthonormalbasis:

~er = cosϕ · ~ex + sinϕ · ~ey~eϕ = − sinϕ · ~ex + cosϕ · ~ey~ez = ~ez

Der Ortsvektor hat dann in dieser Basis die Darstellung

~r(r, ϕ, z) = r · ~er(ϕ) + z · ~ez

(iv) Ein weiteres wichtiges Beispiel für krummlinige Orthogonalkoordinaten sind die Kugelko-ordinaten im E3. Hier verwendet man zur Festlegung einer Position P den Abstand vomUrsprung r = |~r(P )| sowie den Polarwinkel ϑ (= geographische Breite) und den Azimutwin-kel ϕ (= geographische Länge).

z

y

x

Abb. A.4: Definition der Kugelkoordinaten (r, ϑ, ϕ)

Koordinatenbereich:

G = (r, ϑ, ϕ)| 0 ≤ r; 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ < 2π

Kartenabbildung:

~r(r, ϑ, ϕ) = r cosϕ sinϑ~ex + r sinϕ sinϑ~ey + r cosϑ~ez

Koordinatenlinien:

r 7→ ~r(r, ϑ, ϕ) vom Ursprung ausgehende Halbgeraden

ϑ 7→ ~r(r, ϑ, ϕ) Längenkreise (Halbkreise)

ϕ 7→ ~r(r, ϑ, ϕ) Breitenkreise

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.4 Krummlinige Koordinaten

Tangentialvektoren an die Koordinatenlinien:

~br =∂~r

∂r= cosϕ sinϑ · ~ex + sinϕ sinϑ · ~ey + cosϑ · ~ez

~bϑ =∂~r

∂ϑ= r cosϕ cosϑ · ~ex + r sinϕ cosϑ · ~ey − r sinϑ · ~ez

~bϕ =∂~r

∂ϕ= −r sinϕ sinϑ · ~ex + r cosϕ sinϑ · ~ey

Diese bilden ein Orthogonalsystem.Normierungsfaktoren:

hr = |~br| = 1; hϑ = |~bϑ| = r; hϕ = |~bϕ| = r sinϑ

Begleitende Orthonormalbasis:

~er = cosϕ sinϑ · ~ex + sinϕ sinϑ · ~ey + cosϑ · ~ez~eϑ = cosϕ cosϑ · ~ex + sinϕ cosϑ · ~ey − sinϑ · ~ez~eϕ = − sinϕ · ~ex + cosϕ · ~ey

Der Ortsvektor hat dann in dieser Basis die Darstellung

~r(r, ϑ, ϕ) = r · ~er(ϑ, ϕ)

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A.4.3. Gradient in krummlinigen orthogonalen Koordinaten

Sei (~eu1 , . . . , ~eun) das orthonormierte begleitende n-Bein in einem krummlinigen orthogonalenKoordinatensystem und Φ : Ω → R ein differenzierbares Skalarfeld. Dann lässt sich an jedemPunkt P ∈ Ω der Vektor grad ΦP durch die Orthonormalbasis (~eu1(P ), . . . , ~eun(P )) ausdrücken(vgl. Abs. A.1.3):

grad ΦP =

n∑j=1

(grad ΦP · ~euj (P ))~euj (P ) (A.4.5)

Das Skalarfeld hat in den krummlinigen Koordinaten die Darstellung

Φ(u1, . . . , un) = Φ(O + ~r(u1, . . . , un))

Die Richtungsableitung von Φ entlang der uj-Koordinatenlinie uj 7→ ~r(u1, . . . , uj , . . . , un) ist dannidentisch mit der partiellen Ableitung von Φ nach uj . Denn nach Gl. (A.3.9) gilt:

∂Φ

∂uj(u(P )) = grad ΦP ·

∂~r

∂uj

∣∣∣∣P

Wegen (A.4.2) folgt dann weiter

∂Φ

∂uj(u(P )) = hj(P ) grad ΦP · ~euj (P )

woraus wir mit (A.4.5) schließlich

grad ΦP =n∑j=1

1

hj(P )

∂Φ

∂uj(u(P ))~euj (P )

erhalten, oder in Kurzschreibweise:

grad Φ =n∑j=1

1

hj

∂Φ

∂uj~euj (A.4.6)

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen

A.5. Gradientenfelder und Potentialfunktionen

Im Folgenden wird die strenge Unterscheidung zwischen Punkten P ∈ En und ihren Ortsvektoren~r(P ) ∈ Vn aufgehoben. Ein Skalarfeld wird mit Φ(~r) notiert, ein Vektorfeld mit ~E(~r).

A.5.1. Definition und Eindeutigkeit von Potentialfunktionen

(i) Definition:Ein auf einem Gebiet Ω ∈ En definiertes Vektorfeld ~E(~r) heißt Gradientenfeld, wenn eseine ebenfalls auf Ω definierte “Potentialfunktion” Φ(~r) gibt mit der Eigenschaft

~E = − grad Φ (A.5.1)

Alternative Schreibweisen sind ~E = −∇Φ bzw. ~E = −∂Φ∂~r .

(ii) Eindeutigkeit einer Potentialfunktion:Aus der Bedingung ~E = −∇Φ ist das Potential Φ(~r) nur bis auf eine reelle Konstanteeindeutig bestimmt, denn Φ(~r) und Φ(~r) = Φ(~r) + c mit c ∈ R liefern dasselbe Vektorfeld~E(~r):

∇Φ = ∇Φ + ∇c︸︷︷︸=0

= ∇Φ

A.5.2. Existenz einer Potentialfunktion:

(i) Kriterium für die Existenz einer Potentialfunktion:Sei ~E ein Gradientenfeld, also ~E = −∇Φ mit einer Potentialfunktion Φ(~r). In einem kar-tesischen Koordinatensystem (O, ~e1, . . . , ~en) mit kartesischen Koordinaten (x1, . . . , xn) hatman

∇Φ =n∑j=1

∂Φ

∂xj~ej und ~E =

n∑j=1

Ej~ej

Es gilt also

Ej = − ∂Φ

∂xj(j = 1, . . . , n)

Falls die Potentialfunktion zweimal stetig differenzierbar ist, gilt dann:

∂Ek∂xj

= − ∂2Φ

∂xj∂xk= − ∂2Φ

∂xk∂xj=∂Ej∂xk

Die 12n(n− 1) “Integrabilitätsbedingungen”

∂Ek∂xj

=∂Ej∂xk

(j, k = 1, . . . , n) (A.5.2)

sind also notwendige Bedingungen dafür, dass ~E(~r) ein Gradientenfeld ist.

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A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

In Abschnitt A.8 wird im dreidimensionalen Raum (n = 3) die Rotation eines Vektorfel-des rot ~E eingeführt. In einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex, ~ey, ~ez) lauten dessenKomponenten:

rot ~E =

∣∣∣∣∣∣∣~ex, ~ey, ~ez∂x, ∂y, ∂zEx, Ey, Ez

∣∣∣∣∣∣∣ =

(∂Ez∂y− ∂Ey

∂z

)· ~ex +

(∂Ex∂z− ∂Ez

∂x

)· ~ey +

(∂Ey∂x− ∂Ex

∂y

)· ~ez

Damit ist für n = 3 Gleichung (A.5.2) äquivalent zu

rot ~E = 0 (A.5.3)

(ii) Es gilt auch die Umkehrung (ohne Beweis):Sei ~E : Ω → V3 ein Vektorfeld auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet Ω ⊂ E3 mitder Eigenschaft

rot ~E = 0 (bzw.∂Ej∂xk

=∂Ek∂xj

(j, k = 1, 2, 3) in kartesischen Koordinaten)

Dann existiert eine Potentialfunktion

Φ : Ω→ R mit ~E = −∇Φ.

Φ ist bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmt.

A.5.3. Berechnung einer Potentialfunktion

Wir wollen für ein vorgegebenes Gradientenfeld ~E eine Potentialfunktion Φ(~r) explizit berechnen.

• Gegeben: ~E(~r) mit der Eigenschaft rot ~E = 0 im (einfach zusammenhängenden) Definitions-bereich Ω ⊂ E3

• Gesucht: Φ(~r) mit ~E = −∇Φ

Lösung:

Wähle einen festen “Bezugspunkt” P0 ∈ Ω, P0 = O + ~r0, und verbinde ihn mit einem belie-bigen Punkt P = O + ~r ∈ Ω durch eine (stückweise) glatte Kurve C(P0, P ), die ganz in Ω

liegt. C(P0, P ) habe die Parametrisierung:

[λ0, λ1] 3 λ 7→ ~r(λ) ∈ V3

~r(λ0) = ~r0; ~r(λ1) = ~r

Dann gilt (vgl. Abs. A.2.1 und Abs. A.3.5):

r0

+

+

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen

ˆ

C(P0,P )

~E d~r =

λ1ˆ

λ0

~E(~r(λ)) · d~rdλ

(λ) dλ =

λ1ˆ

λ0

−∇Φ(~r(λ)) · d~rdλ

(λ) dλ

= −λ1ˆ

λ0

dΦ(~r(λ))

dλdλ = −Φ(~r(λ1)︸︷︷︸

~r

) + Φ(~r(λ0)︸︷︷︸~r0

)

Hieraus erhält man die gesuchte Funktion Φ(~r) als

Φ(~r) = Φ(~r0)−ˆ

C(P0,P )

~E d~r = Φ(~r0)−P

P0

~E d~r (A.5.4)

Bemerkungen:

NB : Offenkundig ist die Herleitung von Gleichung (A.5.4) unabhängig von der speziellen Wahldes Weges C(P0, P ), mit dem P0 mit P verbunden wird, sofern nur das Gebiet Ω einfachzusammenhängend ist.

NB : Φ(~r0) ist die additive Konstante, über die das Potential Φ an einen Referenzwert am PunktP0 (“Masse”, “Ground”, “Erde”) angepasst (“geeicht”) werden kann.

A.5.4. Äquivalente Charakterisierungen von Gradientenfeldern

Für ein differenzierbares Vektorfeld ~E : Ω→ Vn mit einem einfach zusammenhängenden Definiti-onsbereich Ω ⊂ En sind folgende Aussagen äquivalent:

a) ~E erfüllt die Integrabilitätsbedingungen

∂Ek∂xj

=∂Ej∂xk

(j, k = 1, 2, . . . , n) in kartesischen Koordinaten

b) rot ~E = 0, falls n = 3

c) ~E ist ein Gradientenfeld, d.h. es existiert ein Potential Φ : Ω→ R mit ~E = −∇Φ

d)´ PP0

~E · d~r ist wegunabhängig (d.h. ~E ist konservativ)

e)¸C~E · d~r = 0 für jede geschlossene Kurve C ⊂ Ω

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A.5 Gradientenfelder und Potentialfunktionen A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

A.5.5. Geometrische Interpretation von Potentialfunktion und Gradientenfeld

Nehmen wir an, wir haben zu einem Gradientenfeld ~E : Ω→ Vn eine Potentialfunktion Φ : Ω→ Rgefunden; es gilt also ~E = −∇Φ. Für einen festen Potentialwert Φ0 ∈ R betrachten wir dieÄquipotentialfläche F(Φ0) := P ∈ Ω |Φ(P ) = Φ0.Wir nehmen an, dass die Gleichung Φ(P ) = Φ0 Lösungen besitzt, also F(Φ0) 6= ∅, und dass∇Φ nirgendwo auf F(Φ0) verschwindet. Dann ist F(Φ0) eine (n − 1)-dimensionale Fläche in En;d.h. für n = 3 ist F(Φ0) eine zweidimensionale Fläche in E3 und für n = 2 eine eindimensionaleKurve in E2.

Legt man an einem Punkt P ∈ F(Φ0) die Tangentialebene TP (bzw. Tangente TP bei n = 2) andie Fläche F(Φ0), so steht ∇Φ und damit das Gradientenfeld ~E(P ) senkrecht auf TP .

Das heißt, ∇Φ bzw. ~E weisen stets in Richtung der Oberflächennormalen zur Äquipo-tentialfläche F(Φ0).

Dies kann man folgendermaßen einsehen:Sei ~tP ∈ TP ein Tangentialvektor an F(Φ0) im Punkt P . Man kann eine Kurve C durch P legen,die vollständig in F(Φ0) enthalten ist, und deren Tangentialvektor in die Richtung von ~tP weist:

C : λ 7→ ~r(λ), ~r(λ0) =−→OP ,

d~rdλ

(λ0) ~tP

Da das Potential Φ sich längs der Kurve C nicht ändert, ist λ 7→ Φ(~r(λ)) = Φ0 eine konstanteFunktion, und wir erhalten mit Gl. (A3.9)

0 =dΦ(~r(λ))

dλ

∣∣∣∣λ0

= ∇Φ

∣∣∣∣P

·d~rd~λ

(λ0)

Also folgt:∇ΦP ⊥ ~tP

Konsequenz für das elektrostatische Feld:

Da das statische elektrische Feld ~E stets ein Gradientenfeld ist ( ~E = −∇Φ), steht ~E somitimmer senkrecht zu den Äquipotentialflächen. Dies bedeutet, dass die elektrischen Feldliniendie Äquipotentialflächen immer im rechten Winkel schneiden.

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.6 Flächenintegrale im E3

A.6. Flächenintegrale im E3

A.6.1. Parameterdarstellung einer Fläche S im E3

(i) Um eine zweidimensionale Fläche S als Teilmenge des dreidimensionalen Raumes E3 zubeschreiben, werden (ähnlich wie in Abschnitt A.4.1) jedem Punkt P ∈ S eineindeutig zweireelle Koordinatenwerte (u(P ), v(P )) ∈ R2 zugeordnet.Diese (u, v)-Werte liegen in einem zweidimensionalen Gebiet G ⊂ R2 (Parametergebiet). AllePunkte P ∈ S werden über eine Parameterdarstellung

G 3 (u, v) 7→ O + ~r(u, v) ∈ S

beschrieben. Durchlaufen die Flächenparameter (u, v) das Gebiet G, so durchläuft der Orts-vektor ~r(u, v) bijektiv alle Punkte von S.

(ii) Die beiden Kurvenscharen mit Parameter-darstellung

u 7→ ~r(u, v) bei festgehaltenem v

v 7→ ~r(u, v) bei festgehaltenem u

liegen jeweils in der Fläche S und heißendie “u-Linien” bzw. “v-Linien”. Durch jedenPunkt P ∈ S geht genau eine u-Linie undeine v-Linie. + O

A.6.2. Tangentialebene und Oberflächennormale

Wir nennen eine Fläche “glatt”, wenn die Parameterdarstellung ~r(u, v) stetig differenzierbar ist. Indiesem Fall existieren an jedem Punkt P ∈ S die beiden Tangentialvektoren an die u- und v-Linie durch den Punkt P :

~tu(P ) :=∂~r

∂u

∣∣∣P

; ~tv(P ) :=∂~r

∂v

∣∣∣P

(A.6.1)

Damit die Fläche S tatsächlich ein zweidimensionales Gebilde darstellt, dürfen die Richtungen von~tu(P ) und ~tv(P ) nicht zusammenfallen, d.h. man muss fordern ~tu × ~tv 6= 0. Dann spannen ~tu(P )

und ~tv(P ) am Punkt P ∈ S eine zweidimensionale Ebene TP auf, die Tangentialebene.

Der Vektor ~tu(P ) × ~tv(P ) steht senkrecht auf der Tangentialebene TP , zeigt also in ihre Norma-lenrichtung. Normiert man ihn auf die Länge 1, erhält man den Normaleneinheitsvektor (oderOberflächennormale)

~N :=1

|~tu × ~tv|(tu × tv) (A.6.2)

Offenkundig hat man zwei Möglichkeiten, die Oberflächennormale zu orientieren. Vertauscht manz.B. u mit v, ändert ~N sein Vorzeichen. Bei Flächen, die von einer Randkurve begrenzt werden(z.B. eine Kreisscheibe), kann man diese Freiheit benutzen, um die Fläche zu orientieren (d.h.eine Oberseite und Unterseite zu definieren). Bei geschlossenen Flächen, die ein dreidimensionalesGebilde umhüllen (“Hüllflächen”), kann man eine “innere” und eine “äußere” Normale definieren(die äußere Normale weist in den Außenraum).

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A.6 Flächenintegrale im E3 A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

A.6.3. Oberflächenintegrale

(i) Ähnlich wie beim Kurvenintegral (vgl. Abs. A.2.1) berechnet man Integrale über eine FlächeS über ihre Parameterdarstellung ~r(u, v). Hierzu muss man die Flächenberechnung auf Sauf die im Parametergebiet G umrechnen. Einem Rechteck mit Flächeninhalt ∆u ·∆v in der(u, v)-Ebene entspricht ein trapezförmiges Flächenstück mit schiefwinkligen Seitenkanten∆~ru = ∂~r

∂u∆u = ~tu ·∆u und ∆~rv = ∂~r∂v∆v = ~tv ·∆v. Dieses Trapez hat einen Flächeninhalt

∆A = |∆~ru ×∆~rv| = |~tu × ~tv|∆u ·∆v

d.h. |~tu × ~tv| ist der Maßstabsfaktor, mit denen Flächeneinheiten auf S in solche der (u, v)-Ebene umgerechnet werden. Man führt daher ein skalares differentielles Oberflächen-element da ein gemäß

da := |~tu × ~tv|dudv =∣∣∣∂~r∂u× ∂~r

∂v

∣∣∣dudv (A.6.3)

und definiert für eine skalare Funktion f : S → R das Oberflächenintegral als

ˆ

S

f da :=

ˆ

G

f(~r(u, v))∣∣∣∂~r∂u× ∂~r

∂v

∣∣∣dudv (A.6.4)

Man kann dann zeigen, dass der Wert dieses Integrals unabhängig von der Wahl der Para-meterdarstellung ist.

(ii) Einen oftmals auftretenden Spezialfall stellt das “Flussintegral” dar. Gegeben ist hier einVektorfeld ~F (~r), dessen Definitionsbereich die Fläche S einschließt. Integriert wird die Pro-jektion von ~F (~r) auf die Flächennormale ~N(~r), also die Größe ~F (~r) · ~N(~r) (das ist also dieKomponente von ~F (~r), die die Fläche S senkrecht durchsetzt):

ˆ

S

~F · ~N da =

ˆ

G

~F (~r(u, v)) ·~tu × ~tv|~tu × ~tv|

|~tu × ~tv| dudv =

ˆ

G

~F (~r(u, v)) ·(∂~r

∂u× ∂~r

∂v

)dudv

Es ist praktisch, hierzu das vektorielle differenzielle Oberflächenelement d~a einführen gemäß

d~a := (~tu × ~tv)dudv =

(∂~r

∂u× ∂~r

∂v

)dudv (A.6.5)

Formal gilt dann:d~a = ~Nda (A.6.6)

und man definiert dann den Fluss eines Vektorfeldes ~F durch die Fläche S als

ˆ

S

~F · d~a :=

ˆ

S

(~F · ~N)da =

ˆ

G

~F (~r(u, v)) ·(∂~r

∂u× ∂~r

∂v

)dudv (A.6.7)

Ist S eine geschlossene Fläche, die ein dreidimensionales Gebiet V umhüllt (d.h. S ist derRand von V , kurz S = ∂V ), und wählt man ~N als äußere Normale, so wirkt das Flussintegral´∂V

~F · d~a auch als “Hüllflächenintegral” bezeichnet.

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.6 Flächenintegrale im E3

A.6.4. Beispiel: Integration über eine Kugeloberfläche

(i) Wir wollen über die Oberfläche einer KugelK(~0, R) mit Mittelpunkt im Ursprung und RadiusR integrieren. Die betrachtete Fläche S ist also der Rand der Kugel K(~0, R):

S = ∂K(~0, R) = P ∈ E3|P = O + ~r mit |~r| = R

S ist eine geschlossene Hüllfläche, welche die Kugel K(~0, R) umhüllt.

z

y

x

Abb. A.5: Parametrisierung einer Kugeloberflächemit Polarwinkel ϑ und Azimutwinkel ϕ

(ii) Eine Parametrisierung von S erhält man mit Hilfe der Kugelkoordinaten (vgl. Abs. A.4.2(iv));als Flächenparameter verwendet man den Polarwinkel ϑ und Azimutwinkel ϕ bei konstantgehaltenem Radialabstand r = R:

~r(ϑ, ϕ) = R(cosϕ sinϑ · ~ex + sinϕ sinϑ · ~ey + cosϑ · ~ez) = R · ~er(ϑ, ϕ)

mit Parametergebiet G = (ϑ, ϕ)| 0 ≤ ϑ ≤ π; 0 ≤ ϕ < 2π.Tangentialvektoren:

~tϑ =∂~r

∂ϑ= R(cosϕ cosϑ · ~ex + sinϕ cosϑ · ~ey − sinϑ · ~ez) = R · ~eϑ(ϑ, ϕ)

~tϕ =∂~r

∂ϕ= R(− sinϕ sinϑ · ~ex + cosϕ sinϑ · ~ey) = R sinϑ · ~eϕ(ϑ, ϕ)

wobei (~er, ~eϑ, ~eϕ) das begleitende orthonormierte 3-Bein in Kugelkoordinaten bezeichnet.Normalenvektor auf S (unnormiert!):

~tϑ × ~tϕ = R2 sinϑ~eϑ × ~eϕ = R2 sinϑ~er

Dieser Vektor weist in den Außenraum der Kugel K(~0, R), also in die Richtung der äußerenNormalen auf ∂K(~0, R). Wegen |~tϑ × ~tϕ| = R2 sinϑ erhält man:

Äußere Einheitsnormale: ~N(ϑ, ϕ) = ~er(ϑ, ϕ)

Skalare Oberflächenelement: da = |~tϑ × ~tϕ|dϑdϕ = R2 sinϑ dϑdϕ

Vektorielles Oberflächenelement: d~a = (~tu × ~tv)dϑdϕ = R2 sinϑ~erdϑdϕ

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A.6 Flächenintegrale im E3 A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

(iii) Als Beispiel wollen wir den Fluss des Vektorfeldes

~D(~r) =Q

4π· ~rr3

(= dielektrisches Verschiebungsfeld einer im Ursprung platzierten Punktladung Q)durch die Kugeloberfläche ∂K(~0, R) berechnen:

~D(~r(ϑ, ϕ)) =Q

4π

R~er(ϑ, ϕ)

R3=

Q

4πR2~er(ϑ, ϕ)

Also ist der Fluss von ~D durch ∂K(~0, R):

ˆ

∂K

~D · d~a =

ˆ

G

Q

4πR2~er · ~erR2 sinϑ dϑdϕ =

Q

4π

2πˆ

0

π

0

sinϑ dϑdϕ =

=Q

4π

2πˆ

0

dϕπ

0

sinϑ dϑ =Q

4π· 2π · 2 = Q

Dieses Beispiel illustriert den “Gaußschen Satz über die eingeschlossene Ladung” in elemen-tarer Form.

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz

A.7. Divergenz eines Vektorfeldes im E3 und Gaußscher Integralsatz

A.7.1. Divergenzoperator

Sei Ω ∈ E3 ein Gebiet und ~U : Ω → ~V3 ein differenzierbares Vektorfeld. Zu einem AufpunktP = O + ~r ∈ Ω mit Ortsvektor ~r betrachten wir eine “geschachtelte” Schar von KontrollvoluminaVε(~r), die den Punkt P einschließen und deren Ausdehnung sich durch eine Kugel K(P, ε) um P

mit Radius ε abschätzen lässt: P ∈ Vε(~r) ⊂ K(P, ε).

Für ε→ 0 schachteln die Kontrollvolumina Vε(~r) den Punkt P immer enger ein, wobei ihr Raum-inhalt |Vε(~r)| gegen Null strebt.

Definition:~U besitzt bei P eine Divergenz, wenn der Limes

div ~U(~r) = limε→0

1

|Vε(~r)|

ˆ

∂Vε(~r)

~U · d~a (A.7.1)

existiert.

Anschaulich bedeutet dies, dass man für immer kleiner werdende Hüllflächen ∂Vε(~r) , die P um-schließen, den Fluss des Vektorfeldes ~U betrachtet und diesen auf den Rauminhalt |Vε(~r)| nor-miert. Ist ~U beispielsweise ein Strömungsfeld und div ~U(~r) 6= 0, so hat das Strömungsfeld am OrtP = O + ~r eine Quelle oder Senke (“div ~U ist die lokale Ergiebigkeit von ~U ”).

A.7.2. Darstellung der Divergenz in kartesischen Koordinaten

+

Wir betrachten in einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex, ~ey, ~ez) einen Würfel W (~r) mitdem Mittelpunkt P = O + ~r und achsenparallelen Kanten mit den Kantenlängen ∆x, ∆y, ∆z.Die 6 Seitenflächen werden mit A+

x , A+y , A

+z , bzw. A−x , A−y , A−z bezeichnet.

Für den Fluss eines Vektorfeldes ~U durch die Berandung des Würfels ∂W (~r) gilt:

ˆ

∂W (~r)

~U · d~a =∑

α=x,y,z

Â+α

~U · ~eα da−ˆ

A−α

~U · ~eα da

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A.7 Divergenz - Gaußscher Integralsatz A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

Für α = x erhalten wir näherungsweise für hinreichend kleine KantenlängenÂ+x

Ux dy dz −Â−x

Ux dy dz ≈[Ux(x+

∆x

2, y, z)− Ux(x− ∆x

2, y, z)

]∆y∆z ≈

≈ ∂Ux∂x

(x, y, z)∆x∆y∆z

Analog verfährt man mit den Termen für α = y und α = z und erhält:ˆ

∂W (~r)

~U · d~a ≈[∂Ux∂x

(~r) +∂Uy∂y

(~r) +∂Uz∂z

(~r)

]·∆x∆y∆z

Das Würfelvolumen beträgt |Wε(~r)| = ∆x∆y∆z. Wir wählen eine Schar von Würfeln Wε(~r) mitKantenlängen ∆x = ∆y = ∆z = ε und erhalten

divU(~r) = limε→0

1

|Wε(~r)|

ˆ

∂Wε(~r)

~U · d~a =∂Ux∂x

(~r) +∂Uy∂y

(~r) +∂Uz∂z

(~r)

Damit haben wir in kartesischen Koordinaten die Darstellung

div ~U =∂Ux∂x

+∂Uy∂y

+∂Uz∂z

(A.7.2)

Mit Hilfe des bereits in Abs. A.3.4 erwähnten Nabla-Operators

~∇ := ~ex∂

∂x+ ~ey

∂

∂y+ ~ez

∂

∂z

lässt sich die Divergenz div ~U als formales Skalarprodukt von ~∇ mit ~U ausdrücken:

div ~U = ~∇ · ~U

Dieser Ausdruck ist so auszuwerten, dass man die kartesischen Komponenten von ~∇, also ( ∂∂x ,

∂∂y ,

∂∂z ),

mit denen von ~U , also (Ux, Uy, Uz), wie in einem Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren miteinan-der verknüpft:

~∇ · ~U =∂

∂xUx +

∂

∂yUy +

∂

∂zUz

und so den Ausdruck (A.7.2) erhält.

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A.7.3. Integralsatz von Gauß

(i) Der Integralsatz von Gauß beinhaltet eine ganz wesentliche Aussage der Vektoranalysis.Mit seiner Hilfe gelingt es, Flussintegrale über Hüllflächen in Volumenintegrale über daseingeschlossene Gebiet umzuwandeln.Er lautet:Sei V ein geschlossenes Gebiet im E3, das vonder Hüllfläche ∂V berandet wird, und sei ~U(~r)

ein stetig differenzierbares Vektorfeld, in dessenDefinitionsbereich V enthalten ist. Dann gilt:

ˆ

V

div ~U d3 r =

ˆ

∂V

~U · d~a (A.7.3)

(ii) Beweisskizze:Man zerlegt V in hinreichend viele kleine Zellen W (~rj) (j = 1, . . . , N) mit

V =N⊎j=1

W (~rj)

Zwei benachbarte Zellen W (~rj) und W (~rk) dürfen höchstens eine gemeinsame GrenzflächeAjk besitzen. Die am Rand ∂V benachbarten Zellen W (~rk) besitzen mit diesem ein gemein-sames Randstück Aext,k; ihre Vereinigung bildet den ganzen Rand:⋃

k

Aext,k = ∂V

Man zerlegt nun das Volumenintegral in eine Summe über alle Zellen und wendet den Mit-telwertsatz an:

ˆ

V

div ~U d3 r =

N∑j=1

ˆ

W (~rj)

div ~U d3 r ≈N∑j=1

div ~U(~rj)|W (~rj)| (A.7.4)

Nach der Definition der Divergenz in Gl. (A.7.1) gilt für hinreichend kleine Zellen W (~rj)

näherungsweise

div ~U(~rj) · |W (~rj)| ≈ˆ

∂W (~rj)

~U · d~a (A.7.5)

sodass wir erhalten: ˆ

V

div ~U d3 r ≈N∑j=1

ˆ

∂W (~rj)

~U · d~a (A.7.6)

Die Summe über die Randflächen ∂W (~rj) aller Zellen kann man umordnen in einen Teil, derdie inneren Grenzflächen Ajk umfasst, und einen zweiten Teil, der die äußeren RandstückeAext,k enthält:

N∑j=1

ˆ

∂W (~rj)

~U · d~a =∑Ajk

ˆ

Ajk

~U · d~a+∑Aext,k

ˆ

Aext,k

~U · d~a (A.7.7)

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Bei der Summe über die inneren Grenzflächen treten Ajk und Akj immer paarweise auf,wobei sich die beiden Flussintegrale

ˆ

Ajk

~U · d~a = −ˆ

Akj

~U · d~a (A.7.8)

exakt kompensieren. Der Beitrag der inneren Grenzflächen in Gl. (A.7.7) ist daher Null. Fürden zweiten Term gilt: ∑

Aext,k

ˆ

Aext,k

~U · d~a =

ˆ

∂V

~U · d~a (A.7.9)

Fassen wir Gl. (A.7.4) - (A.7.9) zusammen, erhalten wir im Limes |W (~rj)| → 0, N →∞ dieAussage ˆ

V

div ~U d3 r =

ˆ

∂V

~U · d~a

A.7.4. Divergenzoperator in krummlinigen orthogonalen Koordinaten

(i) Sei G 3 (u1, u2, u3) = u 7→ ~r(u) ∈ V3 die Kartenabbildung für ein krummliniges orthogonalesKoordinatensystem (vgl. Abs. A.4)Aus ihr erhält man die begleitende Orthonormalbasis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3) gemäß

~euj =1

hj

∂~r

∂uj; hj =

∣∣∣ ∂~r∂uj

∣∣∣ (j = 1, 2, 3)

Man kann (u1, u2, u3) so anordnen, dass die Basis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3) rechts-orientiert ist. Danngilt:

~eu3 = ~eu1 × ~eu2 ; ~eu2 = ~eu3 × ~eu1 ; ~eu1 = ~eu2 × ~eu3

(ii) Wir betrachten im Kartengebiet G einen rechtwinkligen Quader R(u0) mit Zentrumu0 = (u0

1, u02, u

03) (siehe Abb. in Abs. A.7.2).

Mittels der Kartenabbildung G 3 u 7→ P (u) ∈ E3 wird der Quader R(u0) auf einen “verbo-genen Quaders” Q(P0) mit Zentrum P0 = P (u0) im E3 abgebildet. Dessen 6 SeitenflächenS±j haben die Parameterdarstellungen:

A±1 3 (u2, u3) 7→ P (u01 ±

∆u1

2, u2, u3) ∈ S±1

A±2 3 (u1, u3) 7→ P (u1, u02 ±

∆u2

2, u3) ∈ S±2

A±3 3 (u1, u2) 7→ P (u1, u2, u03 ±

∆u3

2) ∈ S±3

woraus sich die folgenden vektoriellen Oberflächenelemente ergeben:

Auf S±1 : d~a = ± ∂~r

∂u2× ∂~r

∂u3du2du3 = ±h2h3~eu2 × ~eu3du2du3 = ±h2h3~eu1du2du3

Auf S±2 : d~a = ± ∂~r

∂u1× ∂~r


Auf S±3 : d~a = ± ∂~r

∂u1× ∂~r


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(iii) Ein Vektorfeld ~F (~r) hat in der Orthonormalbasis (~eu1 , ~eu2 , ~eu3) die Komponentendarstellung

~F (~r(u)) =3∑j=1

Fj(u)~euj (u)

mitFj(u) = ~F (~r(u)) · ~euj

Damit lässt sich der Fluss durch den Rand ∂Q(P0) in u -Koordinaten wie folgt berechnen:ˆ

∂Q(Po)

~F · d~a =

ˆ

A+1

~F · ~eu1︸︷︷︸F1

h2h3du2du3 −ˆ

A−1

~F · ~eu1︸︷︷︸F1

h2h3du2du3

+

ˆ

A+2

~F · ~eu2︸︷︷︸F2

h1h3du1du3 −ˆ

A−2

~F · ~eu2︸︷︷︸F2

h1h3du1du3

+

ˆ

A+3

~F · ~eu3︸︷︷︸F3

h1h2du1du2 −ˆ

A−3

~F · ~eu3︸︷︷︸F3

h1h2du1du2

Wie in Abs A.7.2 erhält man im Kartenraum die Darstellungˆ

∂Q(P0)

~F · d~a =

[∂

∂u1(h2h3F1) +

∂

∂u2(h1h3F2) +

∂

∂u3(h1h2F3)

]∆u1∆u2∆u3

Der Rauminhalt |Q(P0)| berechnet sich als

|Q(P0)| =ˆ

Q(P0)

d3r =

ˆ

R(u0)

(∂~r

∂u1× ∂~r

∂u2

)· ∂~r∂u3

du1du2du3 ≈ h1h2h3∆u1∆u2∆u3

Eingesetzt in die Definitionsgleichung

div ~F (P0) = lim∆ui→0

1

|Q(P0)|

ˆ

∂Q(P0)

~F · d~a

folgt schließlich

div ~F =1

h1h2h3

(∂

∂u1(h2h3F1) +

∂

∂u2(h1h3F2) +

∂

∂u3(h1h2F3)

)(A.7.10)

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A.7.5. Der Laplace-Operator

(i) Sei Φ : Ω → R ein zweimal differenzierbares Skalarfeld. Dann ist grad Φ ein Vektorfeld aufΩ, von dem man wiederum die Divergenz div(grad Φ) bilden kann. Dieser Ausdruck heißt“Laplace-Operator” von Φ und wird mit dem Symbol 4 bezeichnet, also:

4Φ := div(grad Φ) (A.7.11)

(ii) In kartesischen Koordinaten (x, y, z) hat grad Φ die Komponentendarstellung

grad Φ =∂Φ

∂x~ex +

∂Φ

∂y~ey +

∂Φ

∂z~ez

Mit Gl. (A.7.2) folgt dann

4Φ =∂

∂x

(∂Φ

∂x

)+

∂

∂y

(∂Φ

∂y

)+

∂

∂z

(∂Φ

∂z

)also

4Φ =∂2Φ

∂x2+∂2Φ

∂y2+∂2Φ

∂z2(A.7.12)

(iii) In krummlinigen orthogonalen Koordinaten (u1, u2, u3) hat grad Φ die Darstellung

grad Φ =

3∑j=1

1

hj

∂Φ

∂uj~euj

Mit Gl. (A.7.10) folgt dann:

4Φ =1

h1h2h3

[∂

∂u1

(h2h3

h1

∂Φ

∂u1

)+

∂

∂u2

(h1h3

h2

∂Φ

∂u2

)+

∂

∂u3

(h1h2

h3

∂Φ

∂u3

)](A.7.13)

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes

A.8. Rotation eines Vektorfeldes im E3 und Integralsatz von Stokes

A.8.1. Rotationsoperator

Sei Ω ⊂ E3 ein Gebiet und ~U : Ω → V3 ein differenzierbaresVektorfeld. Zu einem Aufpunkt P = O + ~r ∈ Ω mit Ortsvektor~r und einem Einheitsvektor ~N betrachten wir eine “geschach-telte” Schar rechtsorientierter, ebener Flächenstücke Aε(~r), dieden Punkt P einschließen und deren Ausdehnung sich durcheine Kugel K(P, ε) um P mit dem Radius ε abschätzen lässt:P ∈ Aε(~r) ⊂ K(P, ε).

Jedes Flächenstück Aε(~r) habe ~N als rechtsorientierte Einheits-normale bezüglich der Randkurve ∂Aε(~r). Für ε→ 0 schachtelndie Flächenstücke Aε(~r) den Punkt P immer enger ein, wobeiihr Flächeninhalt |Aε(~r)| gegen Null strebt.

Definition:

~U besitzt bei P eine Rotation, wenn für jedes ~N ∈ V3, | ~N | = 1 der Limes

~N · rot ~U(~r) := limε→0

1

|Aε(~r)|

ˆ

∂Aε(~r)

~U · d~r (A.8.1)

existiert.

rot ~U ist ein Vektorfeld Ω→ V3.

Anschaulich bedeutet dies, dass man für immer kleiner werdende Randkurven ∂Aε(~r), die P um-schließen, die Zirkulation des Vektorfeldes betrachtet und diese auf die umschlossene Fläche |Aε(~r)|normiert. Man sagt daher: “rot ~U ist die lokale Zirkulation von ~U(~r)”

Bemerkung: in der angelsächsischen Literatur wird die Rotation von ~U mit curl ~U bezeichnet.

A.8.2. Integralsatz von Stokes

(i) Mit Hilfe des Integralsatzes von Stokes kann man ein Wegintegral über eine geschlosseneKurve in ein Flächenintegral über eine von der Kurve eingeschlossene Fläche umwandeln.Er lautet:Sei A ein orientierbares Flächenstück in E3 mit positivorientierter Randkurve ∂A und ~U(~r) ein stetig diffe-renzierbares Vektorfeld, in dessen Definitionsbereich Aenthalten ist. Dann gilt:

ˆ

A

rot ~U · d~a =

ˆ

∂A

~U · d~r (A.8.2)

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A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

(ii) Beweisskizze:Man zerlegt A in hinreichend kleine Zellen A(~rj) (j = 1, . . . , N) mit

A =N⊎j=1

A(~rj)

Zwei benachbarte Zellen A(~rj) und A(~rk) dürfen höchstens eine gemeinsame Randkante Cjkbesitzen. Die am Flächenrand ∂A

benachbarten Zellen A(~rk) besitzen mit diesem ein gemeinsames Kurvenstück Cext,k, wobeidie Vereinigung dieser Kurvenstücke die gesamte Randkurve ∂A ergibt:⋃

k

Cext,k = ∂A

Man zerlegt nun das Flächenintegral über A in eine Summe über alle Zellen und wendet denMittelwertsatz an

ˆ

A

rot ~U · d~a =

N∑j=1

ˆ

A(~rj)

rot ~U · d~a ≈N∑j=1

rot ~U(~rj) · ~N |A(~rj)| (A.8.3)

Nach Definition der Rotation in Gl. (A.8.1) gilt für hinreichend kleine Zellen A(~rj) nähe-rungsweise

rot ~U(~rj) · ~N |A(~rj)| ≈ˆ

∂A(~rj)

~U · d~r (A.8.4)

sodass wir erhalten: ˆ

A

rot ~U · d~a ≈N∑j=1

ˆ

∂A(~rj)

~U · d~r (A.8.5)

Die Summe über die Randkurven ∂A(~rj) aller Zellen kann man umordnen in einen Teil, derdie inneren Randkanten Cjk umfasst, und einen zweiten Teil, der die äußeren KurvenstückeCext,k enthält:

N∑j=1

ˆ

∂A(~rj)

~U · d~r =∑Cjk

ˆ

Cjk

~U · d~r +∑Cext,k

ˆ

Cext,k

~U · d~r (A.8.6)

Bei der Summe über die inneren Randkanten treten Cjk und Ckj immer paarweise auf, wobeisich die Wegintegrale ˆ

Cjk

~U · d~r = −ˆ

Ckj

~U · d~r (A.8.7)

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A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes

exakt kompensieren. Der Beitrag der inneren Randkanten in Gl. (A.8.6) ist daher Null. Fürden zweiten Term gilt: ∑

Cext,k

ˆ

Cext,k

~U · d~r =

ˆ

∂A

~U · d~r (A.8.8)

Fassen wir Gl. (A.8.3) - (A.8.8) zusammen, erhalten wir im Limes |A(~rj)| → 0, N →∞ dieAussage: ˆ

A

rot ~U · d~a =

ˆ

∂A

~U · d~r

A.8.3. Darstellung der Rotation in kartesischen Koordinaten

Wir wählen in einem kartesischen Koordinatensystem (O, ~ex, ~ey, ~ez) einen Aufpunkt P = O + ~r

mit ~r = x~ex + y~ey + z~ez. Wir wollen zunächst die z-Komponente von rot ~U bestimmen, wählenalso ~N = ~ez in der Definitionsgleichung (A.8.1). Dazu legen wir um P ein Quadrat Aε(~r) in derx-y-Ebene mit P als Mittelpunkt und achsenparallelen Kanten der Länge ∆x = ∆y = ε.

Die 4 Kanten des Quadrats werden mit C+x , C

−x , C

+y , C

−y bezeichnet (siehe Abbildung).

Für hinreichend kleine Kantenlängen erhalten wir näherungsweise

ˆ

∂Aε(~r)

~U · d~r =

ˆ

C+x

~U · ~exdx′ −ˆ

C−x

~U · ~exdx′ +ˆ

C+y

~U · ~eydy′ −ˆ

C−y

~U · ~eydy′

=

x+ ∆x2ˆ

x−∆x2

Ux(x′, y − ∆y

2, z)dx′ −

x+ ∆x2ˆ

x−∆x2

Ux(x′, y +∆y

2, z)dx′

+

y+ ∆y2ˆ

y−∆y2

Uy(x+∆x

2, y′, z)dy′ −

y+ ∆y2ˆ

y−∆y2

Uy(x−∆x

2, y′, z)dy′

≈[Ux(x, y − ∆y

2, z)− Ux(x, y +

∆y

2, z)

]∆x

+

[Uy(x+

∆x

2, y, z)− Uy(x−

∆x

2, y, z)

]∆y

≈− ∂Ux∂y

(x, y, z)∆y∆x+∂Uy∂x

(x, y, z)∆x∆y

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A.8 Rotation und Integralsatz von Stokes A MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN

Nach Division durch die Oberfläche |Aε(~r)| = ∆x∆y ergibt sich für ε→ 0 :

=⇒ ~ez · rot ~U(~r) = limε→0

1

∆x∆y

ˆ

∂Aε(~r)

~U · d~r =∂Uy∂x

(~r)− ∂Ux∂y

(~r)

Die x- und y-Komponente von rot ~U(~r) gewinnt man auf dieselbe Weise durch zyklische Vertau-schung von (x, y, z).Als Ergebnis erhalten wir:

rot ~U =

(∂Uz∂y− ∂Uy

∂z

)~ex +

(∂Ux∂z− ∂Uz

∂x

)~ey +

(∂Uy∂x− ∂Ux

∂y

)~ez (A.8.9)

Mit Hilfe des bereits in A.3.3 erwähnten Nabla-Operators

~∇ := ~ex∂

∂x+ ~ey

∂

∂y+ ~ez

∂

∂z

lässt sich die Rotation rot ~U als formales äußeres Produkt (Vektorprodukt) von ~∇ mit ~U dar-stellen, welches wie das Produkt zweier Vektoren über eine formale Determinanten-Entwicklungausgerechnet wird:

rot ~U = ~∇× ~U =

∣∣∣∣∣∣∣~ex, ~ey, ~ez∂x, ∂y, ∂zUx, Uy, Uz

∣∣∣∣∣∣∣

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SkriptumzurVorlesung - TU München und... · i): (1.3) DiephysikalischeEinheitdeselektrischenFeldesistfolglich dim(jE~j) = N As = kgm s2 1 As = V m ... 12 ist nach Gl. (1.7) proportional