Spiel, Satz und Sieg!

Italian Boy with Racket.Master Painting (Cremona, 1570)

Stochastische Untersuchungen zum Tennisspiel mit Derive

Benno Grabinger, Neustadt/Weinstraße, www.bennograbinger.de

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Inhalt• Warum gerade Tennis?• Historische Bemerkungen• Konkrete Daten• Ein Tennisspiel

(Modellierung, Simulation, Theorie)

• Ein Match• Folgerungen

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Warum gerade Tennis?

Tennis ist,„wenn schon zur Leibesübung nützlich, ganz hervorragend fähig und auch würdig, den Geist zu fesseln und das Nachdenken anzuregen.“ aus dem Brief an einen Freund über das Ballspiel Jeu de Paume

Jakob Bernoulli 1654-1705

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Warum gerade Tennis?• Weil es mir Spaß macht.• Weil viele Schüler diesen

Sport betreiben.• Weil viele Schüler

Tennis im Fernsehen betrachten.

• Weil ein Algebrasystem zur Analyse unverzichtbar ist.

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Historische Bemerkungen

• Jeu de Paume ist der Vorgänger von Tennis, Badminton und Squash

• seit dem 13. Jahrhundert• ursprünglich im Freien• vom 14. Jahrhundert an

in BallhäusernItalienisches Gemälde (Anonymus, 1570/80).

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Historische Bemerkungen

Ballhaus in Tübingen (1610)

• Jakob Bernoulli: Bei Glücksspielen kann man Gewinnhoffnungen aus den günstigen und ungünstigen Fällen berechnen.Aber auch bei Spielen welche von dem Verstand und der Gewandtheit der Spieler abhängen kann man Gewinnhoffnungen berechnen.

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Historische Bemerkungen•Ich sehe z.B. 2 Personen Ball spielen und beobachte sie lange Zeit; dabei nehme ich wahr, dass der eine Spieler 200 Schläge gewinnt, während der andere nur 100 gewinnt und urteile infolgedessen, dass der erste doppelt so gut wie der andere spielt. (Bernoulli)

Students of LeydenUniversity playing tennis

(1610).

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Konkrete Daten

(300 Jahre nach Bernoulli)Alle Begegnungen von Agassi gegen Sampras

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Andre Agassi

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Pete Sampras

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Konkrete DatenAgassi gegen Sampras

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Konkrete Daten

Gewonnene Spiele von 1989 bis 2003

Agassi: 428 Sampras: 447

(ohne Tiebreaks)

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Konkrete Daten

Schätzwert:P(S gewinnt ein Spiel gegen A)

=447/875 = 0,51 = 51%

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Ein Tennisspiel: Modellierung• Spieler A gewinnt einen Ballwechsel

mit der Wahrscheinlichkeit p, Spieler B mit q=1-p.

• p ist konstant, d.h. unabhängig vom Zeitpunkt im Match und unabhängig vom Aufschlag.

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Grenzen der Modellierung• Spitzenspieler sind relativ konstant

• Hobbyspieler hängen dagegen von vielen Einflüssen ab:

• Kondition• Tagesform• Hustende Zuschauer• Bellende Hunde• Schreiende Kinder• Unfairer Gegner• Blendende Sonne• Zustand des Platzes• Wettkampfsituation

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Ein Tennisspiel

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Ein Tennisspiel: Simulation

• Mit welcher Wahrscheinlichkeit p gewinnt Sampras einen Ballwechsel wenn er ein Spiel mit 51% gewinnt?

• Abschätzung durchSimulation

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Ein Tennisspiel: Theorie1. PfadregelDie Wahrscheinlichkeit eines Pfades ist gleich dem Produkt der Wahr-scheinlichkeiten längs dieses Pfades.

BeispielAufschlag beim TennisE : Erfolg F: FehlerDF: Doppelfehler

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Ein Tennisspiel: Theorie

2. PfadregelMan erhält die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus verschiedenen Pfaden zusammensetzt, indem man die Wahr-scheinlichkeiten der einzelnen Pfade addiert.

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P(A gewinnt das Spiel)

Wahrschein-lichkeit:

Einstand40:3040:1540:0Weg nach SA über:

24qp25

4p qp4 4 wqp36 33

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P(von E nach SA)

w = p p + p q w + q p w

w = p2 / (1 – 2pq)

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Ein Tennisspiel: Zusammenfassung

Wahrschein-lichkeit:

Einstand40:3040:1540:0Weg über:

24qp25

4p qp4 4pq21

pqp36 2

33−

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Ein TennisspielGewinnwahrscheinlichkeit

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Ein MatchWahrscheinlichkeit p, dass Sampras einen

Ballwechsel gegen Agassi gewinnt:Datei

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Ein Tie-break

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Ein MatchWahrscheinlichkeit ein Tie-break

zu gewinnen

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Ein MatchEin einzelner Satz

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Ein MatchWahrscheinlichkeit einen Satz zu

gewinnen

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Ein Zweisatz-Match

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Ein MatchGewinnwahrscheinlichkeit

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Wahrscheinlichkeit für Sampras ein Zweisatz-Match gegen Agassi zu

gewinnen

Datei

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Vergleich mit der Praxis Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von

Sampras über Agassi in 2 Sätzen ist: 0,54

Von 1989 bis 2003 fanden 15 Zweisatzbegegnungen statt, von

denen Sampras 8 gewann: 8/15 = 0,53

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Begegnungen über 3 Gewinnsätze

• Die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Sampras über Agassi bei 3 Gewinnsätzen ist 0,55

• Von 1989 bis 2003 fanden 18 Begegnungen über 3 Gewinnsätze statt, von denen Sampras 11 gewann: 11/18 = 0,61

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Folgerungenp als Variable

• In welcher Weise hängen die Wahrscheinlichkeiten für den Gewinn von Spiel, Tie-Break, Satz und Match von der Wahrscheinlichkeit p ab?

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Spiel-, Tie-Break-, Satz-, Zweisatz-Gewinn als Funktion von p

Datei

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Folgerung

Wer nur ein klein wenig besser als sein Gegner ist, der erhält durch die Form der Tennisspielregeln einen riesigen Vorteil geschenkt

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Matthäus, Kap.13Denn wer da hat, dem wird gegeben, dass er die Fülle habe, wer aber nicht hat, von dem wird auch genommen, was er hat. (Vers 12)

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Übersicht

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Zufallszahlengeneratordefiniert durch • eine endliche Zustandsmenge S• eine Funktion f:S→S • einen Anfangszustand so (seed genannt).

Die Zufallszahlen werden durch die Iteration si = f(si-1 ), i=1,2,3,... erzeugt.

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GLV- Zufallszahlen auf [0,1]

der Zustand si wird durch eine Funktion g : S → ] 0 ; 1 [

auf eine Zahl zwischen 0 und 1 abgebildet

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Linearer Kongruenzgenerator LKG

f(s) = (a s + c) mod m, 0 < a,c < m S={0,1,2,...,m-1}g(s) = s / m

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Beispiele

s0 = a = c = 7 ; m = 10f(s) = (7 s + 7) mod 10 ergibt 7, 6, 9, 0, 7, 6, 9, 0, ...

f(s)= ( s + 3 ) mod 10 mit s0=0, liefert 0, 3, 6, 9, 2, 5, 8, 1, 4, 7, 0, 3 (max. Periode)

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Maximale Periodenlänge des LKG

hinreichend und notwendig sind:

• c und m sind teilerfremd.• a-1 ist Vielfaches von p, für jeden

Primfaktor p von m.• a-1 ist Vielfaches von 4, falls m ein

Vielfaches von 4 ist.

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Derive Generator

f(s) = (2654435721 s +1) mod 232

Derive Datei

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Schlusswort

• Eine mathematische Aufgabe kann manchmal genauso unterhaltsam sein wie ein Kreuzworträtsel und angespannte geistige Arbeit kann eine ebenso wünschenswerte Übung sein wie ein schnelles Tennisspiel. (Polya)