Springer-Lehrbuch

Friedrich Sauvigny

Analysis

Grundlagen, Differentiation, Integrationstheorie, Differentialgleichungen, Variations-methoden

Friedrich SauvignyLehrstuhl Mathematik, insbesondere AnalysisBrandenburgische Technische Universität

Cottbus - Senftenberg Cottbus, Deutschland

ISSN 0937-7433 ISBN 978-3-642-41506-7 ISBN 978-3-642-41507-4 (eBook)DOI 10.1007/978-3-642-41507-4

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Mathematics Subject Classification (2010): 26-01, 28-01, 34-01

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Herrn Professor Dr. Dr.h.c. Erhard Heinz in Dankbarkeit gewidmet

Vorwort

Die Differential- und Integralrechnung hat sich mit ihren vielfaltigen An-wendungen uber Jahrhunderte entwickelt, wobei bereits L. Euler mit ihrerDarstellung als Buch begonnen hatte. Vorbildliche und umfassende Lehr-bucher in mehreren Banden uber dieses zentrale Gebiet im mathematischenGrundstudium sind dem Literaturverzeichnis (siehe etwa H. von Mangoldt undK.Knopp [MK], O. Forster [F], H.Heuser [Hr], H.Amann und J. Escher [AE],K.Konigsberger [Koe]) zu entnehmen, wobei uns die Werke von R.Courant[C], H.Grauert [GL1], [GF], [GL2] sowie von S.Hildebrandt [Hi1] und [Hi2]besonders nahe liegen. Die Geschichte der Analysis mit schonen Bildnissenihrer Begrunder wird in der Monographie [So] von T. Sonar dargestellt.

Mit unserer Einfuhrung in die Analysis in einem einbandigen Lehrbuch wol-len wir die reelle und komplexe Analysis so darstellen, dass diese in den erstendrei Semestern eines Mathematik-, Wirtschaftsmathematik-, Physik- oder In-formatikstudiums von den Studierenden gut erfasst werden kann. Dabei istuns die Einbeziehung der komplexen Aussagen besonders wichtig, da sich erstso die ganze Tragweite der Analysis erschließt. Wir werden die Leser auf Dif-ferentialgleichungen vorbereiten sowie die gewohnlichen hier auch behandeln,und wir wollen uber die Variationsrechnung die Riemannsche Geometrie inunsere Darstellung einbeziehen.

Wir hoffen ein Lehrbuch anzubieten, das ahnlich W.Rudin’s Principles of Ma-thematical Analysis [R] sich als Gesamtdarstellung der Differential- und Inte-gralrechnung von Studenten im Grundstudium gut erarbeiten lasst, ggf. auchim Selbststudium. Unsere Einfuhrung ist wesentlich beeinflusst von den Vorle-sungen [H1] – [H3] meines akademischen Lehrers, Herrn Professor Dr. E.Heinzin Gottingen, dessen Grundvorlesungen zur Differential- und Integralrechnungab dem Wintersemester 1971/72 bis zum Wintersemester 1972/73 auch mirden Weg in die Mathematik geebnet haben. Neben diesen vorbildlichen Vorle-sungsskripten von E.Heinz mochte ich auch die eleganten Darstellungen vonG.Hellwig [He] hervorheben, dessen inspirierende Vorlesungen zur HoherenMathematik mit einem großen Auditorium an der Rheinisch-Westfalischen

Technischen Hochschule Aachen von meiner Assistentenzeit bis heute mir im-mer als Vorbild gegenwartig sind.

Wenngleich wir in unserem Lehrbuch uns um eine vollstandige Darstellungder Analysis bemuht haben, so empfiehlt sich doch ein erganzendes Studiumder Mengentheoretischen Topologie und der Elementaren Differentialgeome-trie. Schon aus Platzgrunden verbietet sich hier eine Einbeziehung dieser In-halte, zumal insbesondere zur Differentialgeometrie wunderschone Lehrbucher(etwa die Darstellung [BL] von W.Blaschke und K. Leichtweiß) vorliegen.

Jetzt wollen wir die einzelnen Kapitel dieses Buches unseren Lesern vorstellen:

Im Kapitel I gehen wir vom Korper der rationalen Zahlen Q aus und kon-struieren die reellen Zahlen R als Aquivalenzklassen von rationalen Cauchy-folgen. Wir konnen dann die Konvergenzeigenschaften reeller Zahlen aus de-ren Konstruktion ablesen! Diesem konstruktiven Prinzip bleiben wir in unsererEinfuhrung in die Analysis treu, und wir reduzieren die axiomatische Methodeauf ein Minimum!Dann werden der n-dimensionale Zahlenraum Rn sowie die Gaußsche Zahlen-ebene C der komplexen Zahlen eingefuhrt und ihre topologischen Eigenschaf-ten untersucht, wie etwa der Heine-Borelsche Uberdeckungssatz. Einer Vor-lesung uber mengentheoretische Topologie uberlassen wir die allgemeinerenBegriffsbildungen, welche uns im Spezialfall des Rn und seiner Teilmengen alsRelativtopologie zunachst genugen. Grundlegende Satze uber komplexe Fol-gen und Reihen sowie uber Doppelreihen schließen dieses Kapitel ab, und hierweisen wir auf das Skriptum [H1] hin.

Die Stetigkeit von Funktionen auf Teilmengen des Rn in den Rm wird im Ka-pitel II untersucht, und es wird die Differenzierbarkeit in einer reellen und ineiner komplexen Veranderlichen studiert. Wir lernen die gleichmaßige Konver-genz von Funktionenfolgen kennen und ermitteln sowohl den Konvergenzra-dius als auch die Differenzierbarkeit von komplexen Potenzreihen. Fur stetigeFunktionen einer reellen Veranderlichen werden wir das Riemannsche Inte-gral erklaren, damit wir im nachsten Kapitel explizit reelle und komplexeStammfunktionen verwenden konnen. Zum Abschluss dieses Kapitels werdendie Taylorsche Formel in einer Veranderlichen und der Krummungsbegriff vonKurven erklart.

Auf der Basis der komplexen Exponentialfunktion als Potenzreihe werden imKapitel III die trigonometrischen Funktionen definiert. Hier zeigt sich sehrdeutlich, wie die Fortsetzung ins Komplexe die Rechnungen mit den trigono-metrischen Funktionen vereinfacht.Wenn wir die komplexe Exponentialfunktion umkehren wollen zur komplexenLogarithmusfunktion, so erkennen wir B.Riemann’s Einsicht, dass sich dieFunktionen ihren Definitionsbereich naturlich suchen und dieser nicht kunst-lich vorgeschrieben werden kann. Ausgehend von universellen Polarkoordi-naten studieren wir grundlich die Uberlagerungsflachen und konnen so den

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Vorwort ix

Definitionsbereich der Logarithmusfunktion im Komplexen konkret angeben.Diese Funktion steht im Zentrum des Beweises bei vielen analytischen undgeometrischen Aussagen.Mit der komplexen Logarithmusfunktion definieren wir die allgemeinen Po-tenzfunktionen, und wir konnen sie auf den entsprechenden Uberlagerungs-flachen explizit umkehren. Wir erhalten so ein klares Bild von RiemannschenFlachen schon in der Grundvorlesung zur Analysis.Beim Beweis des Fundamentalsatzes des Algebra zeigt sich ganz uberzeugend,dass die komplexen Zahlen den angemessenen Rahmen fur die Analysis bilden.Auch die Partialbruchzerlegung fuhrt uns sinvollerweise ins Komplexe, jedochberechnen wir auch den vertrauten Fall durch eine Projektion auf das Reelle.

Kapitel IV behandelt zunachst die partielle Differentiation, wobei insbeson-dere die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen vorgestellt werden. Eswird der Fundamentalsatz uber die inverse Abbildung mittels Variationsme-thoden bewiesen und daraus der Satz uber implizite Funktionen hergeleitet.Die Taylorsche Formel im Rn wird zur Losung von Extremwertaufgaben her-angezogen, wobei auch Nebenbedingungen betrachtet werden.Wir definieren dann m-dimensionale Mannigfaltigkeiten im Rn, die als re-gulare Nullstellenmenge von n −m Funktionen erscheinen. Da unsere Man-nigfaltigkeit n − m Kodimensionen hat, so besitzt der Normalraum an dieFlache dieselbe Dimension. In jedem Punkt der Mannigfaltigkeit entsteht ei-ne Normalbahn an die Mannigfaltigkeit, welche fur eine Kodimension sichreduziert auf die wohlbekannte Einheitsnormale.Wollen wir unsere Mannigfaltigkeit orientieren, so kommen wir zum Begriffdes Orbitraums O(n,m). Dessen Elemente stellen gerade die Normalbahnendar, wobei wir den Abstand zweier Bahnen durch eine Metrik ermitteln. Wirsind jetzt motiviert, allgemein Metrische Raume einzufuhren.

Im Kapitel V wird das Riemannsche Integral im Rn vorgestellt, welches zurKlasse der stetigen Funktionen mit ihrer gleichmaßigen Konvergenz passt undeinleuchtend definiert ist. Es werden Klassen Riemann-integrierbarer Funk-tionen angegeben und explizite Integrationsmethoden erklart. Es folgen derJordansche Inhalt und die Integration uber Jordan-Bereiche. Fur die Approxi-mation hat ein Konvergenzsatz uneigentlicher Riemannscher Integrale beson-dere Bedeutung. Diese Aussage bezieht sich auf das uneigentliche Riemann-sche Integral stetiger Funktionen uber offene Mengen des Rn, welches sichbei fast allen Untersuchungen der klassischen Analysis bewahrt. In diesemZusammenhang verweisen wir auf das Skriptum [H2].Mittels Zerlegung der Eins und Induktion uber die Raumdimension wird dieTransformationsformel fur mehrfache Integrale bewiesen. Hierbei wird derUmgang mit Testfunktionen eingeubt. Eine kurze Einfuhrung in die Theorieder Differentialformen bis zum Stokesschen Integralsatz fur glatt berandeteC2-Mannigfaltigkeiten prasentieren wir in § 8 und § 9 sowie den GaußschenIntegralsatz fur C2-Gebiete.

In § 10 leiten wir den Cauchyschen Integralsatz aus dem Stokesschen Integral-satz her fur holomorphe Funktionen, die wir im Sinne von Riemann als stetigkomplex differenzierbar definiert haben, und wir beweisen ihre Entwickelbar-keit in eine komplexe Potenzreihe. Schließlich zeigen wir in § 7 und § 11 dieApproximierbarkeit stetiger bzw. k-mal stetig differenzierbarer Funktionendurch Polynome bis zu ihren Ableitungen der naturlichen Ordnung k.

Das Kapitel VI beginnt mit der Behandlung von Klassen explizit integrierba-rer gewohnlicher Differentialgleichungen. Dann wird der Peanosche Existenz-satz mit dem Auswahlsatz von Arzela-Ascoli fur Differentialgleichungssyste-me erster Ordnung bewiesen. Die Lipschitz-Bedingung wird erst zur Klarungder Eindeutigkeits- und Stabilitatsfragen herangezogen. Hier wird auch diedifferenzierbare Abhangigkeit der Losung von den Anfangswerten bewiesen.Schließlich werden grundlich lineare Systeme von Differentialgleichungen ins-besondere mit konstanten Koeffizienten studiert. Hierauf ist die Losbarkeits-theorie von Differentialgleichungen hoherer Ordnung gegrundet, die wir in denletzten Abschnitten prasentieren.

In Kapitel VII werden die Grundzuge der eindimensionalen Variationsrech-nung vorgestellt, die von den Pionieren J. Bernoulli, L. Euler, J.-L. Lagrange,G.-C. Jacobi, K.Weierstraß und ihren Nachfolgern stets im Zusammenhangmit der Theorie gewohnlicher Differentialgleichungen behandelt wurde. Wirbeginnen mit den Euler-Lagrange-Gleichungen von regularen Variationsfunk-tionalen in § 1 und uberfuhren diese ins Hamiltonsche System mittels kano-nischer Variabler. Dann betrachten wir in § 3 das Energiefunktional im Rie-mannschen Raum, vergleichen es mit dem Langenfunktional, und wir definie-ren Geodatische.Wir fuhren in § 5 die kovariante Ableitung im Riemannschen Raum ein – un-abhangig von einer eventuellen Realisierung der Riemannschen Metrik durcheine eingebettete Flache im Euklidischen Raum. Dann erklaren wir die Rie-mannsche Schnittkrummung und ermitteln die Gauß-Jacobi-Gleichung fur dasGaußsche Oberflachenelement geodatischer Streifen in § 6. Wir betrachten in§ 4 geodatische Kugeln im Riemannschen Raum und schatzen deren Injekti-vitatsradius in § 7 nach unten und oben ab. Mit Hilfe der WeierstraßschenFeldtheorie und mittels Hilbert’s inarianten Integrals weisen wir in § 4 denminimierenden Charakter von gewissen Geodatischen nach.

Wenngleich das Kapitel VII den ublichen Umfang einer einfuhrenden Vorle-sung zur Analysis ubersteigt, sind dessen Lehrinhalte schon in dieser Phasedes Studiums gut zu verstehen; man konnte diese Themen vielleicht auch ineinem Proseminar besprechen. Inspiriert zu diesem Kapitel wurden wir durchdie wunderschone Vorlesung von W.Klingenberg [K] zur Differentialgeometrieund das eindrucksvolle Werk von M.Giaquinta und S.Hildebrandt [GH1] und[GH2] zur Variationsrechnung (siehe insbesondere Kapitel VIII). Den genann-ten Autoren gebuhrt das besondere Verdienst, diese klassischen Gebiete derAnalysis wieder ins Zentrum des mathematischen Interesses geruckt zu haben!

x Vorwort

Vorwort xi

Wir hoffen mit dem Kapitel VII sowohl das Verstandnis fur den RiemannschenRaum zu fordern als auch unsere Leser zum Studium der Geometrischen Ana-lysis zu ermutigen.

Im Kapitel VIII verlassen wir die klassische Analysis, indem wir die gleichmaßi-ge Konvergenz zur punktweisen Konvergenz abschwachen. In der Integrations-theorie verwenden wir wiederum die induktive Methode: Wir setzen das unei-gentliche Riemannsche Integral aus dem Kapitel V von den stetigen Funktio-nen fort auf die wesentlich großere Klasse der Lebesgue-integrierbaren Funk-tionen. Dieses geschieht mit Hilfe des Daniell-Integrals, welches ein nichtnega-tives, lineares Funktional darstellt, das stetig unter monotoner, punktweiserKonvergenz ist. Im Zentrum der Theorie steht der Lebesguesche Konvergenz-satz zur Vertauschung von Integration und Grenzwertbildung bei majorisierterKonvergenz. Zum Lebesgue-Integral vergleiche man das Skiptum [H3].Die Maßtheorie wird sich dann als Integrationstheorie der charakteristischenFunktionen ergeben. Wir erklaren die Klasse der Lebesgue-messbaren Funk-tionen und stellen den Banachraum der p-fach integrierbaren Funktionen vor.Wahrend in der klassischen Analysis nur der Banachraum der stetigen Funk-tionen mit ihrer gleichmaßigen Konvergenz auftritt, stehen nun eine Scharsolcher linearer und normierter Funktionenraume zur Verfugung; letztere sindvollstandig in dem Sinne, dass jede Cauchyfolge einen Grenzpunkt in diesemRaum bzgl. dem angegebenen Konvergenzbegriff besitzt.Sehr wichtig sind die Vertauschbarkeitssatze in der Integrationsreihenfolgefur messbare Funktionen mehrerer Variabler von Fubini und Tonelli. Mit demBanachschen Fixpunktsatz, welcher den Schlussel zu abstrakten Iterationsme-thoden liefert, beenden wir dieses Kapitel.

Unser vorliegendes Lehrbuch haben wir fur die Studierenden von Mathematik,Naturwissenschaften und Informatik vom ersten bis zum dritten Studiense-mester verfasst! Eine genaue Angabe der Lehrinhalte ist dem nachfolgendenInhaltsverzeichnis zu entnehmen. Wir haben nur einfache Ubungsaufgaben indie Kapitel I – VI eingefugt, wahrend im Kapitel VII und VIII sich der Le-ser auch Erganzungen zur Vorlesung – anhand der angegebenen Literatur –erarbeiten kann.Wenn wir von Gegenbeispielen einmal absehen, so haben wir nur selten in un-serem Lehrbuch Beispiele behandelt, da eben diese haufig in die konstruktivenBeweise der Satze ihren Eingang gefunden haben. Da die Konstruktionen in ih-rer Idee unsere Einfuhrung zur Analysis bestimmen, so sorgen die technischenDurchfuhrungen in gewisser Weise fur sich selbst. Wir haben uns bemuht, denangemessenen Abstraktionsgrad fur ein gutes Verstandnis zu finden: LangereWiederholungen in der Darstellung haben wir vermieden, und wir konnen soden Lehrstoff von drei Semestern in einem Lehrbuch konsequent prasentieren.Da unser Lehrbuch sehr geometrisch motiviert ist, empfehlen wir unseren Le-sern, sich selbst Skizzen aller Sachverhalte anzufertigen – allerdings konnendiese Zeichnungen in hoheren Dimensionen nur eine Projektion darstellen.

xii Vorwort

Unser Lehrbuch der Analysis hat insbesondere das Studium der Differential-gleichungen zum Ziel, welche bei all ihren Anwendungen zu losen sind. Zumgrundlichen Studium der partiellen Differentialgleichungen empfehlen wir un-sere Lehrbucher [S3] und [S4] sowie die erweiterte englische Ausgabe [S5]und [S6]. Hier werden auch Anwendungen in der Geometrie und der Phy-sik vorgestellt. Die Theorie holomorpher Funktionen, die man traditionellals Funktionentheorie bezeichnet, wurde als Studium der Cauchy-Riemann-Gleichungen in diese Darstellung partieller Differentialgleichungen aufgenom-men.

Insgesamt ist dieses Lehrbuch aus meinen Vorlesungen zur Analysis entstan-den, die ich vom Wintersemester 1992/93 bis zum Sommersemester 2013 ander Brandenburgischen Technischen Universitat Cottbus wiederholt gehaltenhabe. Mein ganz herzlicher Dank gilt Herrn Dr. rer. nat. Michael Hilschenz,Herrn Dipl.-Math. Stephan Schutze und Frau Dr. rer. nat. Claudia Szerement,geb. Werner fur ihre Mithilfe beim Erstellen des TEX-Manuskripts.

Ursprunglich beruht diese Abhandlung auf den Skripten Analysis I und IImeiner Vorlesungen [S1] und [S2] aus dem Wintersemester 1994 und demSommersemester 1995 an der BTU Cottbus, die Herr Dipl.-Lehrer JorgEndemann und Herr Dipl.-Lehrer Klaus-Dieter Heiter vorbildlich ausgear-beitet haben. An dieser Stelle mochte ich Herrn Klaus-Dieter Heiter meinentiefempfundenen Dank fur seine unschatzbare Hilfe bekunden.

Der Begutachtung meines Manuskripts verdanke ich den Vorschlag zu einerharmonischen Abrundung der hier vorgelegten Lehrinhalte. Schließlich mochteich ganz herzlich Herrn Clemens Heine vom Springer-Verlag in Heidelberg fursein Interesse an meinem Lehrbuchprojekt danken.

Cottbus im September 2013 , Prof. Dr. Friedrich Sauvigny

Lehrstuhl Mathematik, insbesondere Analysis

der Brandenburgischen Technischen Universitat Cottbus – Senftenberg

Inhaltsverzeichnis

I Das System der reellen und komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . 1§1 Das Rechnen mit reellen und komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . 1§2 Konstruktion der reellen Zahlen R nach D.Hilbert . . . . . . . . . . 15§3 Uberabzahlbarkeit und Konvergenzeigenschaften reeller Zahlen 27§4 Der n-dimensionale Zahlenraum Rn als topologischer Raum . . 41§5 Die komplexen Zahlen C in der Gaußschen Ebene . . . . . . . . . . . 54§6 Reelle und komplexe Folgen und Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61§7 Absolut konvergente Doppelreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72§8 Aufgaben zum Kapitel I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

II Differential- und Integralrechnung in einer Veranderlichen 85§1 Stetigkeit von Funktionen mehrerer Veranderlicher . . . . . . . . . . 85§2 Gleichmaßige Konvergenz von Funktionen und die C0-Norm . . 96§3 Reelle und komplexe Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104§4 Riemannsches Integral fur stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . 115§5 Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen . . 119§6 Die Taylorsche Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129§7 Krummungen und Schmiegkreis von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . 135§8 Aufgaben zum Kapitel II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

III Die elementaren Funktionen als Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . 139§1 Komplexe Exponentialfunktion und naturliche

Logarithmusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139§2 Die trigonometrischen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147§3 Die Hyperbelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157§4 Die Arcusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161§5 Polarkoordinaten und Uberlagerungsflachen . . . . . . . . . . . . . . . . 165§6 Die n-ten Wurzeln und die komplexe Logarithmusfunktion . . . 171§7 Die allgemeinen Potenzfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

xiv Vorwort

§8 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187§9 Partialbruchzerlegung gebrochen rationaler Funktionen . . . . . . 191§10 Aufgaben zum Kapitel III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

IV Partielle Differentiation und differenzierbareMannigfaltigkeiten im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197§1 Partielle Ableitungen erster Ordnung und die totale

Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197§2 Partielle Ableitungen hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207§3 Taylorsche Formel im Rn: Extremwertaufgaben und Eigenwerte212§4 Fundamentalsatz uber die inverse Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . 221§5 Implizite Funktionen und restringierte Extremwertaufgaben . . 229§7 Eingebettete C2-Mannigfaltigkeiten im Rn und ihre

Orientierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235§8 Der Orbitraum O(n,m) als metrischer Raum und

Immersionen im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246§9 Aufgaben zum Kapitel IV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

V Riemannsches Integral im Rn mit Approximations-und Integralsatzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253§1 Integration mittels Standardsubstitutionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 254§2 Existenz des Riemannschen Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258§3 Klassen Riemann-integrierbarer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 268§4 Integration uber Jordan-Bereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278§5 Uneigentliche Riemannsche Integrale im Rn . . . . . . . . . . . . . . . . 286§6 Integration mittels Testfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298§7 Erganzung und Approximation stetiger Funktionen . . . . . . . . . . 309§8 Flacheninhalt und Differentialformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313§9 Der Stokessche Integralsatz fur glatt berandete

C2-Mannigfaltigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325§10 Cauchy’s Integralformel und die Entwicklung holomorpher

Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332§11 Der Weierstraßsche Approximationssatz fur Ck-Funktionen . . . 335§12 Aufgaben zum Kapitel V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

VI Gewohnliche Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343§1 Verschiedene Typen von Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . 343§2 Exakte Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345§3 Elementar integrierbare Differentialgleichungen erster Ordnung351§4 Der Existenzsatz von Peano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359§5 Eindeutigkeit und sukzessive Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . 366§6 Differenzierbare Abhangigkeit von den Anfangswerten . . . . . . . 371§7 Lineare Differentialgleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378§8 Differentialgleichungen hoherer Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387§9 Lineare Differentialgleichungen m-ter Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 390

Vorwort xv

§10 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . . 397§11 Aufgaben zum Kapitel VI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400

VII Eindimensionale Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401§1 Eulersche Gleichungen und Hamiltonsches System . . . . . . . . . . . 402§2 Die Caratheodoryschen Ableitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . 405§3 Das Energiefunktional und Geodatische . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409§4 Weierstraß-Felder und Hilberts invariantes Integral . . . . . . . . . . 419§5 Kovariante Ableitungen und Krummungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 424§6 Riemannsche Raume beschrankter Schnittkrummung . . . . . . . . 432§7 Konjugierte Punkte und Sturmscher Vergleichssatz . . . . . . . . . . 438§8 Aufgaben und Erganzungen zum Kapitel VII . . . . . . . . . . . . . . . 446

VIII Maß- und Integrationstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449§1 Das Daniellsche Integral und der Satz von U. Dini . . . . . . . . . . 450§2 Fortsetzung des Daniell- zum Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . 454§3 Lebesgue-messbare Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466§4 Nullmengen und allgemeine Konvergenzsatze . . . . . . . . . . . . . . . 473§5 Vergleich von Riemann- und Lebesgue-Integral . . . . . . . . . . . . . . 480§6 Lebesgue-messbare und p-fach integrable Funktionen . . . . . . . . 483§7 Die Satze von Fubini und Tonelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490§8 Normierte Vektorraume und der Banachraum Lp(X) . . . . . . . . 494§9 Der Banachsche Fixpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499§10 Aufgaben und Erganzungen zum Kapitel VIII . . . . . . . . . . . . . . 501

Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503

Sachverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505