3. Eine Metrik für das Universum:

Robertson-Walker Metrik

Kosmologisches Prinzip:

Die Welt ist homogen und isotrop, d.h. das Universum sieht(zu einem bestimmten Zeitpunkt) von allen Orten aus gleich aus !

Dies gilt nicht nur für die Massendichte, sondern auch in Bezug aufdie chemische Zusammensetzung der Sterne, auf Häufigkeit der Sterntypen etc.

Welche Zeit ? Wessen Zeit ?

Spezielle Relativitätstheorie:

Konzept der Zeit ist klar, wenn man das Inertialsystem festlegt(es gibt globale Inertialsysteme).

Allgemeine Relativitätstheorie:

Es gibt kein globales Inertialsystem.(Es sei denn, die Raumzeit ist flach !).

Man kann einem Ereignis keine eindeutige Zeit zuordnen !

Konzept der dreidimensionalen raumartigen Hyperflächen !

„Kosmologische Flüssigkeit“:

Betrachte die Menge aller Galaxien (besser: die Massenmittelpunkte von Galaxien-Clustern)als homogene Flüssigkeit.Bewegung dieser Flüssigkeit = kosmologischer Fluss

Weyl Postulat:

Die 4-dim. Raumzeit, in der unser Weltall existiert,ist zerlegbar in dreidimensionale Hyperflächen konstanter „Zeit“(Foliation).Die Teilchen der „kosmologischen Flüssigkeit“ (Galaxien-Cluster)bewegen sich auf Geodäten, die auf den einzelnen Blätternder Foliation (das sind 3-dim. räumliche Mannigfaltigkeiten)senkrecht stehen.

Homogenität des Raumes:

Durch jedes Ereignis im Universum geht einehomogene raumartige Hyperfläche

Die physikalischen Gegebenheiten (Dichte und Druck)sind in allen Ereignissen der Hyperfläche gleich.

Isotropie des Raumes:

Ein Beobachter, welcher sich mit der „kosmologischenFlüssigkeit“ bewegt, kann durch keine physikalische Messung zwischen verschiedenen Raumrichtungen unterscheiden.

Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit schneiden die homogenen raumartigen Hyperflächen senkrecht !

(1.) Wähle eine homogene raumartige Hyperlfäche SI aus und versehe diese mit einem räumlichen Koordinatennetz (x1, x2, x3).

(2.) Ordne allen Ereignissen auf dieser Hyperfläche die Koordinatenzeit ti zu.

(3.) Verschiebe die Hyperfläche SI entlang der Weltlinien der kosmologischen Flüssigkeit und ordne allen Ereignissen auf einer Weltlinie diejenige räumlichen Koordinaten (x1, x2, x3) zu, bei welchen diese die Hyperfläche SI

schneidet !

Parametrisiere die Weltlinie mit reellem Paramter t (x1, x2, x3) = const. x0 = t = ti + const.

mit Metrik ij (xk) dxi dxj

mit Metrik R2(t) ij (xk) dxi dxj

SI

Metrik (Geometrie) auf SI : ij(xk) dxi dxj

Metrik der Raumzeit in „comoving coordinates“:

ds2 = c2dt2 - a2(t) ij (xk) dxi dxj

universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktormit a(t0) = 1

Denn: gäbe es Terme , dann würdenräumliche Verschiebungen dxk und –dxk mit unterschiedlichemVorzeichen zu ds2 über ein kleines Zeitintervall dt beitragen wird durch Isotropie verboten !

Der Weg zur Robertson-Walker Metrik

1.) Isotropie:

Stromlinien / Weltlinien der kosmischen Flüssigkeit stehensenkrecht auf den homogen raumartigen Hyperflächen.

2.) Die Weltlinien der kosmischen Materie sind zeitartige Geodäten.

g00 hängt nur von x0 ab.

neue Zeitkoordinate

d.h. Galaxien-Cluster sind frei „fallende Teilchen“, bewegen sichalso frei im Gravitationsfeld der übrigen Materie.

3.) Damit die räumliche Isotropie erhalten bleibt, muss die Zeitabhängigkeit für alle Komponenten von dieselbe sein:

In einem Blatt fester Zeit t0 sei die räumliche Metrik

universeller Expansionsfaktor / Skalenfaktormit a(t0) = 1

Beschreibt die Form aller homogenen raumartigenHyperflächen (nicht nur der anfänglichen zum Zeitpunkt t0 )

Hubble Law Expected if universe is undergoinghomogeneous and isotropic expansion

1

2

3r12

r23

r31

1

2

3

scale factor a(t)

(from http://www.roe.ac.uk/~jap/pust/gbirth/sld012.htm)

4.) Bestimmung der möglichen räumlichen 3- Geometrien

für homogene, isotrope räumliche Hyperflächen.

muss um jeden Punkt, und damit speziell um den Koordinatenursprungisotrop sein – d.h. es besteht Kugelsymmetrie um den Ursprung;

Ansatz (anlog zur Herleitung der Schwarzschildlösung):

= radiale Koordinate die so gewählt wurde, dass der Umfang eines Kreises um den Ursprung mit Radius gerade 2 wird.

Wenn ein Raum existiert, der homogen und um jeden Punktisotrop ist, dann muss die räumliche Metrik folgende Form haben:

Forderung nach Homogenität = Isotropie um jeden Punkt

Krümmungsskalar von

muss an allen Raumpunkten eines zu einem beliebigen Zeitpunkt tgehörenden Blattes den selben Wert haben.

r

R = radius of the sphere

Zusammenfassung: Robertson Walker Metrik

R0 = Krümmungsradius (heute);hat Dimension der Länge

2

Parameter der RW-Metrik:

(dimensionsloser) Skalenfaktor a(t)

Krümmung (heute): K0 = k / R02

Mitbewegte Koordinaten: (r, ) (comoving coordinates)

„Label“, die fest mit den Galaxien-Clustern verbunden sind und sich daher zeitlich nicht ändern !

gewöhnliche Polarkoordinaten, z.B. RA, dec

r Mitbewegte radiale Koordinate (Entferung),unabh. von t,= physikalische Entfernung heute

l(t) = a(t) r radiale Entfernung zur Epoche t(proper radial distance)

r

R = radius of the sphere

WellenpaketErde Galaxie

(0,0,0) ( r(t), e, e ) (re, e, e )

Das Signal läuft auf einerNull-Geodäten („null cone“) ds2 = 0

Zusammenfassung: Friedmann-Gleichungen