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Starter-Übungsunterlagen

Beispiele für den Einsatz von

ANSYS Workbench in der Lehre

- Selbst rechnen und Eigenschaften der

FEM erkennen -

Teil 2:

Ergebnisse und Interpretationen

Inhaltsübersicht

1 Träger aus Balken- Schalen- und Volumenelementen

2 Elementeigenschaften an einem 2D-System

3 Scheibe mit einspringender Ecke, Kerbspannungen

4 Optimierung

5 Lineare Beulanalyse

6 Modalanalyse

7 Transiente Berechnung


Inhaltsverzeichnis

1 Träger aus Balken- Schalen- und Volumenelementen ................................................................................... 4

1.1 System, Abmessungen, Festhaltungen, Belastung ..................................................................................... 4

1.2 Diskretisierung als Balken ......................................................................................................................... 4

1.3 Diskretisierung als Schale .......................................................................................................................... 6

1.4 Diskretisierung als Volumen .................................................................................................................... 11

2 Elementeigenschaften an einem 2D-System................................................................................................. 16

3 Scheibe mit einspringender Ecke, Kerbspannungen ..................................................................................... 21

3.1 Scharfe Kerbe ........................................................................................................................................... 21

3.2 Ausrundung .............................................................................................................................................. 22

3.3 Parametervariation ................................................................................................................................... 24

4 Optimierung .................................................................................................................................................. 25

4.1 Freistich, 1 Parameter ............................................................................................................................... 25

4.2 Optimierung mit Nebenbedingung ........................................................................................................... 28

4.3 Optimierung mit zwei Designvariablen ................................................................................................... 29

5 Lineare Beulanalyse ..................................................................................................................................... 33

5.1 Beulanalyse des Grundsystems ................................................................................................................ 34

5.2 Erhöhung der kritischen Last durch Steifen ............................................................................................. 36

5.3 Variation der Steifenabmessungen ........................................................................................................... 38

6 Modalanalyse ................................................................................................................................................ 42

6.1 Einfache Modalanalyse ............................................................................................................................ 42

6.2 Vorgespannte Modalanalyse .................................................................................................................... 44

6.3 Vorgespannte Modalanalyse und unsymmetrischer Löser ....................................................................... 48

7 Transiente Berechnung ................................................................................................................................. 50

7.1 Konstante Belastung ................................................................................................................................. 50

7.2 Harmonische Erregung ............................................................................................................................. 54


1 Träger aus Balken- Schalen- und Volumenelementen

1.1 System, Abmessungen, Festhaltungen, Belastung Das nachfolgende System soll mit Finiten Elementen unterschiedlicher Art berechnet werden.

Abb. 1.1: Kragarm

Materialparameter E=210000 N/mm², ν=0,3

Abmessungen in mm

L= 2000

h= 100

b= 50

t= 5

s= 3

(Typische Abmessungen eines I-Trägers, L≈10 h)

Belastung in N

F= 2000

1.2 Diskretisierung als Balken

Abb. 1.2: Verformung bei Diskretisierung als Balken


Die maximale Verschiebung mit den Standard-Einstellungen, die zu 21 Elementen mit 43 Knoten führen,

beträgt 19,54 mm.

43 Knoten und 21 Elemente ergeben sich auch, wenn Elementmittelknoten>nicht beibehalten eingestellt wird.

Bei beibehalten ergeben sich bei 21 Elementen 64 Knoten; die Durchbiegung bleibt gleich.

Der jeweils zusätzliche Knoten ist der Orientierungsknoten (Pfeil).

Abb. 1.3: BEAM188 (aus ANSYS Help)

Elementmittelknoten beibehalten und 1 Element ergibt ebenfalls 19,54 mm Durchbiegung. Das ist das erwartete

Ergebnis.

Zunächst unerwartet ist allerdings, dass nicht beibehalten und 1 Element auf die gleiche Lösung führt, obwohl

es sich dabei um ein Timoshenko-Balken-Element mit linearem Ansatz handeln sollte, bei dem sich die

Lösungen wie bei den meisten Finiten Elementen mit zunehmender Netzdichte verbessern.

Die Antwort ergibt sich aus der Hilfe:

Die Option besagt, dass auch quadratische Ansatzfunktionen gewählt werden können. Diese werden mit einem

internen, also nicht sichtbaren Knoten verknüpft, deren Freiheitsgrade vor dem Einbau in das Gesamtsystem

eliminiert (kondensiert) werden. Es handelt sich also um die gleiche Elementformulierung, jedenfalls solange

der mittlere Knoten nicht mit anderen Elementen im System, etwa Schalen- oder Volumenelementen mit

Mittelknoten verbunden ist.

Diese Option wird von ANSYS automatisch gewählt, kann aber durch ein Befehle-Objekt auf linear gesetzt

werden (Erläuterungen nach dem Ausrufezeichen):

/prep7 ! /Preprocessor, um Einstellung zu ändern

etcon,off ! ANSYS darf Optionen nicht ändern

keyopt,1,3,0 ! lineare Ansatzfunktionen

/sol ! zurück in den Lösungsprozessor


Damit wird tatsächlich ein 2-Knoten-Element mit linearem Ansatz gewählt und die Durchbiegung wird mit

einem Element kleiner als in den anderen Varianten (Tabelle).

Anzahl Elemente Max. Durchbiegung

1 16,83

2 18,86

4 19,37

8 19,50

Da es sich um den schubelastischen Timoshenko-Balken handelt, muss bei der Berechnung der Durchbiegung

die Querkraftverformung mit berücksichtigt werden. Nach dem Arbeitssatz ist

dxGA

QQdx

EI

MMw

zu bilden. Der Design-Modeler gibt

A=770 mm²

I=3,2364e+006 mm4

an. Das Trägheitsmoment bezieht sich allerdings auf die Unterkante, sodass der Steiner-Anteil abgezogen

werden müsste.

In ANSYS Classic gibt das Beam-Tool

Iyy = 0.13114E+07

Shear Correction-yy = 0.57311

an. Bei ν=0,3 ist der Schubmodul G=80769 N/mm².

Das Bekanntsein der Schnittgrößenverläufe am Kragarm unter Einzellast vorausgesetzt, erhält man

mm

GA

Fl

EI

Flw

48,19

11,037,197708076957311,0

20002000

1013114,02100003

20002000

3 7

33

1.3 Diskretisierung als Schale Mit der Elementgröße 25 mm ergibt sich die Durchbiegung zu 19,08 mm. Weiter s. Tabelle.

Abb. 1.4: Verformung bei Diskretisierung als Schale


Elementgröße [mm] Max. Durchbiegung [mm]

25 19,076

12,5 19,084

Die Verformung ist nahezu konvergiert, der Wert allerdings kleiner als beim Balken. Das liegt daran, dass bei

der Schale die Mittelflächen diskretisiert werden, sodass sich Überlappungen der modellierten Querschnitte

ergeben (Abb. 1.5).

Abb. 1.5: Überlappung der Schalenquerschnitte

Eine Überlappungsfläche hat den Flächeninhalt Aü = 3*5/2 = 7,5 mm². Der Steineranteil beträgt Aü * (50-

3*5/4)² = 16043 mm4. Das Gesamtträgheitsmoment beträgt dann also

I= 0,13114∙107 + 2*16043 = 1343486 mm

4.

Die Durchbiegung reduziert sich danach um

46,01343486

16043237,19

auf 19,08 mm.

Abb. 1.6: Schubspannungsverteilung im Steg

Die obige Abbildung zeigt die Verteilung der Schubspannung im Steg. Der betragsgrößte Wert zeigt sich an der

Lasteinleitung, bei Netzweite 25 mm mit τyz= 13,10 N/mm².

Netzweite [mm] xymax [N/mm²]

global 25 13,10

global 12,5 21,30

global 6,25 33,91

global 25

lokal 12,5

21,30

lokal 6,25 41,48


Die Netzverfeinerung führt bei der Einzellast dazu, dass die Spannungen bei Netzweitenhalbierung stark

anwachsen, wobei sich der Abstand von Netz zu Netz vergrößert. Es ist nicht zu erwarten, dass die Spannung

konvergiert.

Merke:

Eine Einzellast oder Einzelfesthaltung (hier nicht gezeigt, erzeugt aber eine Einzellast als Reaktionskraft) führt

bei Scheiben-, Schalen- und Volumenelementen zu einer Spannungssingularität )( .

Bei der Angabe global/lokal wird das Netz nur lokal verfeinert in einem Radius um die Lasteinleitung, der so

gewählt ist, dass der untere Flansch nicht mehr enthalten ist.

Abb. 1.7: bereichsweise Netzverfeinerung


Abb. 1.8: Spannungsspitze unter einer Einzellast

Man sieht in der Tabelle, dass die lokale Verfeinerung auf 12,5 mm zur gleichen Spannung führt.

Allgemein lässt sich sagen:

Für die Bestimmung lokaler Größen genügt meist eine Netzverfeinerung in der Umgebung des betrachteten

Ortes.

Dem widersprechen auch nicht die unterschiedlichen Ergebnisse für lokal 6,25 mm. An der Stelle der höchsten

Spannung unterscheidet sich das Netz von der gleichmäßigen Vernetzung. Dass der Unterschied so groß

ausfällt, unterstreicht, dass es sich um eine Singularität handelt.

Nach dem Aufbringen einer Streckenlast liegt beim groben Modell der betragsgrößte Wert der Schubspannung

bei der Einspannung. Um besser den Bereich der Lasteinleitung zu erfassen, wird die Schubspannung nur in der

abgeschnittenen Stegfläche dargestellt.

Abb. 1.9: Schubspannungsverteilung bei Streckenlast


Abb. 1.10: Schubspannungsverteilung im Lasteinleitungsbereich

Auch hier wird eine lokale Netzverfeinerung vorgenommen, das Zentrum liegt allerdings in der Schnittebene.

Nun konvergiert die betrachtete Spannung.

Folgerung:

Wenn Spannungen in einer bestimmten Region bestimmt werden sollen, sind dortige Lasten in ihrer realen

Verteilung aufzubringen.

Abb. 1.11: Einstellen der bereichsweisen Netzverfeinerung


Abb. 1.12: bereichsweise verfeinertes Netz

Netzweite [mm] xymax [N/mm²]

global 25 6,46

global 25

lokal 12,5

7,09

lokal 6,25 7,21

lokal 3,125 7,30

1.4 Diskretisierung als Volumen

Abb. 1.13: Verformung des Volumenmodells

Die maximale Durchbiegung mit dem obigen Volumenmodell beträgt 19,53 mm, also wie beim Balken.

Bei der fixierten Lagerung ergeben sich die nachfolgenden Spannungsverteilungen im festgehaltenen

Querschnitt:


Abb. 1.14: Normalspannung vertikal

Abb. 1.15: Normalspannung quer

Abb. 1.16: Schubspannung Stegebene, Verlauf über Höhe


Abb. 1.17: Schubspannung Stegebene

In der nachfolgenden Tabelle sind die Schubspannungen aus einer Pfadauswertung in Querschnittsmitte

ermittelt.

Die Werte nach der Balkentheorie sind aber

241,7

3*90

2000max

0

mm

N

A

Q

Steg

Steg

quervertikal

wobei das Maximum der Schubspannung in der Mitte und am Rand der Wert null erwartet wird.

Der Unterschied lässt sich durch die Querkontraktion erklären. Setzt man diese auf ν=0, reduzieren sich die

Normalspannungen deutlich, die Schubspannung in der Mitte kommt in die Nähe des erwarteten Wertes. Man

beachte, dass sich das Vorzeichen in der Mitte geändert hat und negativ entsprechend der Balkentheorie ist (Die

Schubspannung zeigt nach oben, dieser Rand ist das negative Schnittufer, sodass die positive Richtung nach

unten zeigt).

Die Querkontraktion ist aber eine Materialeigenschaft, sodass nach Randbedingungen gesucht wird, mit denen

die Zwängungsspannungen abgebaut werden.

In Querrichtung gibt es keine Belastung, also genügt die Festhaltung zweier Punkte (zur Verhinderung der

Querverschiebung und der Verdrehung um die Längsachse). Dadurch bleiben die Vertikal- und die

Schubspannung erwartungsgemäß ähnlich zu den Werten bei fixierter Lagerung, aber die Querspannung

verringert sich deutlich, jedoch nicht auf null. Bei der Verteilung erkennt man allerdings, dass die verbleibende

Querspannung ein Effekt der Stegbiegung ist.

In vertikaler Richtung kann man nicht einfach die Festhaltung auf wenige Punkte beschränken, weil diese dann

zu Spannungssingularitäten führen würden (s.o.). Eine Variante ist, die Reaktionskraft durch eine Belastung

aufzunehmen. Diese wird wie am Lastende auf den Steg verteilt. Die Festhaltung erfolgt nur an der Schmalseite

des Steges. Das führt zu geringen Vertikal- und Querspannungen mit Extremwerten am Übergang von Steg zu

Flansch und zu Schubspannungen im erwarteten Bereich.

Eine Alternative ist die externe Verschiebung mit der Option flexibel. Hierbei wird die

Verschiebungsrandbedingung nur im Mittel erfüllt. Dadurch werden Zwängungen abgebaut. Allerdings treten

bei Anwendung der externen Verschiebung auf den ganzen Endquerschnitt noch erhebliche


Zwängungsspannungen im Flansch auf. Wird die externe Verschiebung nur auf den Steg angewandt, liegen die

Spannungswerte wieder im Bereich der Lösung mit Gegenkraft.

Randbedingungen vertikal quer Steg

fixierte Lagerung,

ν=0,3

45,78 64,76 -29,51 … 6,02

fixierte Lagerung, ν=0 2,90 3,72 -1,92 … -6,88

uquer=0 nur zwei

Punkte, ν=0,3

40,93 23,82 -25,90 … 5,39

uquer=0 nur zwei

Punkte, usenkrecht=0 nur

kleine Linie,

ν=0,3

6,32 5,24 -0,24 … -7,76

uquer=0 nur zwei

Punkte, usenkrecht=0 als

externe Verschiebung

auf ganzen

Querschnitt,

ν=0,3

16,64 33,34 -2,15 … 3,

uquer=0 nur zwei

Punkte, usenkrecht=0 als

externe Verschiebung

auf Steg,

ν=0,3

6,13 5,13 -0,24 … -7,75

Abb. 1.18: Schubspannung ohne Querkontraktion


Abb. 1.19: Koordinatensystem und Auswerte-Pfad

Abb. 1.20: Normalspannung quer

Merke:

Zu viele Festhaltungen führen in Zusammenhang mit Querkontraktion (und Wärmeausdehnung) zu erheblichen

Zwängungsspannungen.

Das kann hingenommen werden, wenn die festgehaltene Partie nicht ausgewertet wird. Bei Verwendung

nichtlinearen Materialverhaltens könnte es aber zu Versagen an der falschen Stelle kommen, bei adaptiver

Netzverfeinerung zu unsinniger Netzverdichtung.

Erfolgt ein Anschluss an eine Kopfplatte, sind (elastische) Zwängungen real.


2 Elementeigenschaften an einem 2D-System

q [N/mm²]

Als Maße in mm werden gewählt:

h = 100

L = 1000

Sieht die vorgegebene Belastung auch wie eine Streckenlast aus, so wird sie in ANSYS als Flächenlast (Druck)

interpretiert. Insofern ist die Einheit N/mm² und die resultierende von der Dicke abhängig. Hier ist

q=10 N/mm²

Die Vernetzung soll bei Elementen ohne Mittenknoten mit 20 Elementen in der Länge und 2 über die Höhe

erfolgen, bei Elementen mit Mittenknoten hingegen mit 10 x 1, damit annähernd die gleiche Knotenzahl entsteht

(s. Abb.).

Dreieck- und Viereckelementmit Mittenknoten10 Elemente in der Länge

1 Element über die Höhe

Ausgangsvernetzung

Dreieck- und Viereckelementohne Mittenknoten20 Elemente in der Länge

2 Element über die Höhe

Ausgangsvernetzung

Betrachtet wird die maximale Gesamtverschiebung. In der Tabelle ist die oben beschriebene Vernetzung Netz 1,

die obere Zahl ist jeweils die Verschiebung, die untere die Knotenzahl, die Netze mit der höheren Nummer

entstehen jeweils durch Halbierung der Kantenlängen gegenüber dem vorigen Netz. Netz 0 hat 10 x 1 Elemente

ohne Mittenknoten.

Zunächst wird mit Netz 1 gerechnet. Für Vierecke ohne Mittenknoten wird zunächst die mit X1 gekennzeichnete

Spalte gefüllt.

Drei Elementtypen ergeben annähernd gleiche Durchbiegungen, das Dreieck ohne Mittenknoten deutlich

geringere. Was richtig ist, kann man herausfinden, indem man eine Netzverfeinerung vornimmt, hier bei den

Vierecken mit Mittenknoten. Die Lösung konvergiert in der Nähe von 75,80 mm.

Man erkennt:

Dreieckelemente ohne Mittenknoten sind viel zu steif.

Bei Elementen mit Mittenknoten liefern Drei- und Vierecke annähernd gleiche Durchbiegungen.


Netz Dreieck ohne

Mitten-knoten

Viereck ohne

Mitten-knoten

X1

Dreieck mit

Mitten-knoten

Viereck mit

Mitten-knoten

Viereck ohne

Mitten-knoten

X2

Vier

eck

ohne

Mitte

nkno

ten

X3

0

1 40,88 mm

63 Knoten

75,59

63

75,09

63

75,11

53

67,48

63

100,

86

2 75,71

165

3 75,80

569

Netz Dreieck ohne

Mitten-

knoten

Viereck ohne

Mitten-

knoten

X1

Dreieck

mit

Mitten-

knoten

Viereck

mit

Mitten-

knoten

Viereck ohne

Mitten-

knoten

X2

Viereck ohne

Mittenknoten

X3

0 75,82

22

51,32

22

--

22

1 40,88 mm

63 Knoten

75,59

63

75,09

63

75,11

53

67,48

63

100,86

63

2 75,73

205

75,71

165

3 71,9

729

75,81

729

75,80

569

75,23

729

77,04

729

4 74,81

2737

76,14

2737

Das Ergebnis für Vierecke ohne Mittenknoten entspricht nicht den Erwartungen für eine Elementformulierung

nach der reinen Verschiebungsmethode. Ein Blick in die Hilfe trägt zur Aufklärung bei. Dazu muss durch Blick

in das ds.dat-File zunächst herausgefunden werden, um welchen Elementtyp es sich handelt. Man findet

ET,1,182

Dazu findet man in der Hilfe unter Input Summary die KEYOPTion(1)


Die Erklärung für das gute Abschneiden der Elemente ist, dass die Enhanced-strain-Formulierung von ANSYS

automatisch eingestellt wurde. Zum Beweis wird die Option manuell gesetzt, indem folgende Befehle unter

Geometrie>Schalenkörper eingegeben werden:

ETCON,OFF ! ANSYS darf Optionen nicht ändern

KEYO,1,1,2 ! Elementformulierung auf enhanced strain setzen

Mit Netz 1 ergibt sich wieder 75,59 mm.

Nun wird die Keyoption auf 0 geändert. Man erhält 67,48 mm, erkennbar weniger als die konvergente Lösung.

Mit Keyoption(1) auf 1 (uniform reduced integration, X3) ergibt sich die Durchbiegung hingegen zu 100,86

mm, deutlich mehr als mit allen anderen Elementformulierungen.

Alle Elemente und Formulierungen konvergieren gegen denselben Wert jedoch sehr unterschiedlich schnell.

Dabei erfolgt mit reduzierter Integration ein Konvergenz von oben und mit enhanced strain eine nicht monotone

Konvergenz.

Mit den Elementen ohne Mittenknoten ist auch noch ein Netz 0 mit einem Element über die Höhe und 22

Knoten möglich.

Daraus ergeben sich folgende

Erkenntnisse

Vierecke ohne Mittenknoten nach der Standard-Verschiebungsmethode sind deutlich besser als Dreiecke ohne

Mittenknoten, aber schlechter als Mittenknoten-Elemente.

Mit speziellen Elementformulierungen wie hier mit enhanced strain (verbesserte Dehnung) werden Vierecke

ohne Mittenknoten Elementen mit solchen Knoten konkurrenzfähig (leider lässt sich diese Verbesserung nicht

auf Dreiecke übertragen).

Mit reduzierter Integration sind diese Viereckelemente zu weich, insbesondere bei Biegung.

Was hier für ebene Elemente ermittelt wurde, gilt auch für Volumenelemente. Dann werden aus Dreiecken

Tetraeder und aus Vierecken Hexaeder.

Erläuterungen

Bei Biegedominanz ergibt sich die Sollverformung wie in der unten stehenden Abbildung. Bei reiner Biegung

bleiben die Winkel unverändert, hier liegt Biegung mit Querkraft vor, die Winkeländerungen sollten aber gering

bleiben.

SollverformungSpannungs-/Dehnungsverlauf

über Höhe

in Achsrichtung

Betrachtet man nun das einfache Vier-Knoten-Element (X2), so erzeugt aufgrund der im Ansatz festgelegten

Kinematik dort Biegung (auch ohne Querkraft) Winkeländerungen, Diese Bedeuten aber Schub. Bei diesem

Element wirkt die Biegeverformung also gegen die Schubsteifigkeit. Bei schlanken Trägern ist die

Schubsteifigkeit aber relativ hoch, sodass die Durchbiegung zu klein wird. Bei sehr schlanken Trägern kann die

Lösung um Größenordnungen falsch sein. Dann nennt man den Effekt Locking, weil das Element blockiert, in

diesem Falle Shear-Locking.

Dieser Effekt tritt auch bei den 3-Knoten-Elementen auf.


Der Unterschied zwischen beiden Typen liegt aber im Spannungsverlauf.

Der 3-Knoten-Ansatz enthält die Terme 1, x, y.

Dehnungen und damit Spannungen ergeben sich aus der

Ableitung, hier nach x: 0, 1, 0.

Das heißt, die Spannungen sind im ganzen Element konstant. Das entspricht aber nicht dem physikalischen

Verlauf. Die Gerade kann nur durch eine Treppenkurve abgebildet werden.

Der 4-Knoten-Ansatz enthält die Terme 1, x, y und xy,

die Ableitung nach x: 0, 1, 0 und y.

Dadurch kann der – physikalisch erforderliche – lineare Verlauf über die Höhe abgebildet, die Energie besser

bestimmt und dadurch ein besseres Ergebnis als beim Dreieck erzielt werden. In Achsrichtung ist jedoch auch

nur eine Treppenkurve möglich.

Verformung

4-Knoten-Ansatz

Spannungs-/Dehnungsverlauf

Winkeländerung

Verformung

3-Knoten-Ansatz


Winkeländerung

Beim quadratischen Ansatz im Drei- oder Viereck erlauben die Mittenknoten eine gute Anpassung an den

theoretischen Verlauf der Verformungen. Außerdem enthält der Ansatz gegenüber dem 4.Knoten-Element noch

mindestens

die Terme …, x², y²

und damit in der Ableitung nach x …, 2x, 0

sodass nicht nur über die Höhe, sondern auch in Achsrichtung ein linearer Verlauf der Spannungen abgebildet

werden kann. Spannungssprünge am Elementrand verschwinden nicht vollständig, werden aber geringer.

Verformung

6- bzw. 8-Knoten-Ansatz


kaum

Winkeländerung

Bei der reduzierten Integration wird statt 2 x 2 Gaußpunkten, die nötig wären, damit die numerische Integration

bei einem Rechteck exakt wird, nur ein Gaußpunkt verwandt. Dieser liegt in der Mitte. Dadurch wird die dem


Shear-Locking zugrunde liegende Winkeländerung nicht bemerkt. Bei einem Element über die Höhe wird

allerdings überhaupt keine Dehnung am Integrationspunkt ermittelt. Das ist der Grund, warum mit dem Netz 0

eine Lösung nicht möglich ist. Bei zwei und mehr Elementen über die Höhe erfolgt eine Längsdehnung am

Integrationspunkt, die berechnete Energie ist aber zu klein, sodass die Verformung zu groß wird.

Verformung

4-Knoten-Ansatz


volle

reduzierteIntegration

Mit speziellen Elementformulierungen kann ein ähnlicher Effekt wie mit Mittenknoten erzielt werden. Bei der

Enhanced-strain-Formulierung wird zusätzlich zum Verschiebungansatz noch ein Ansatz für die Dehnungen

entsprechend der unten stehenden Abbildung gemacht. Dadurch werden sie zusammen in beiden Richtungen

linear, sodass ein Spannungsverlauf und damit eine Lösung ähnlich wie beim quadratischen Ansatz erzielt

werden kann.

enhanced strain (verbesserte Dehnungen)

Verläufe über Element

und


3 Scheibe mit einspringender Ecke, Kerbspannungen

3.1 Scharfe Kerbe Zunächst wird zweidimensional mit einspringender Ecke, also scharfer Kerbe, gerechnet.

Hier sind die Abmessungen

h = 100 mm

q1 = 0

q2= 10 N/mm²

Dicke 1 mm

(Diese Scheibe gilt ANSYS als 2d-Solid, sodass auf den Rand ein Druck aufgebracht wird)

Die Randbedingungen sind

oberer Rand: UY=0

linker Rand: UX=0

Baustahl E=200000 N/mm²

2D-Analyse

q1

[N/mm(2)]

q2

[N/mm(2)]

Ermittelt wird hier die 1. Hauptspannung, die die Gefahr der Rissbildung am besten darstellt. Zu Beginn wird

eine Netzweite von 35 mm eingestellt, die ungefähr der Standardeinstellung entspricht. Dann wird an der

einspringenden Ecke durch Vorgabe einer Elementgröße auf den Eckpunkt lokal verfeinert, jeweils durch

Größenhalbierung. Die Spannung steigt immer weiter an, zuletzt überproportional, sodass mit Konvergenz nicht

zu rechnen ist. Es liegt eine Spannungssingularität vor (σ → ∞).

Netzweite [mm]

global 35

lokal

1max

35 189,1

17,5 259,9

8,75 323,7

4,375 514,3


Abb. 3.1: Netzweite 35 mm

Abb. 3.2: Netzweite35, lokal 8 mm

3.2 Ausrundung Als Nächstes wird eine Ausrundung (Tangentialbogen) eingeführt, beginnend mit dem Radius 30 mm. Die

lokale Elementgröße wird nun für den Bogen vorgeschrieben (strikt), und zwar als Anzahl der Einteilungen.

Setzt oder lässt man Erweiterte Größenfunktionen Ein:Krümmung erhält man recht gute Übergänge. Die

Spannungen konvergieren.


Netzweite

global:

Erweiterte Größenfunktion Krümmung

lokal: Anzahl Einteilungen

1max

1 152,2

2 214,6

4 206,0

8 205,7

16 205,8

Abb. 3.3: 1 Element auf Bogen, Rand vom Vernetzer begradigt

Abb. 3.4: 2 Elemente auf Bogen


Abb. 3.5: 16 Elemente auf Bogen

3.3 Parametervariation Als nächstes wird die Abhängigkeit der 1. Hauptspannung vom Radius studiert. Dazu werden beide Größen als

Parameter eingeführt, die Zahl der Einteilungen auf dem Bogen auf 8 festgesetzt. Die Vorgabe einer

Elementgröße würde bei kleinen Radien zu zu wenigen Elementen führen und so einen Vergleich verhindern.

Abb. 3.6: Abhängigkeit der 1. Hauptspannung vom Radius

Abb. 3.6 zeigt den Zusammenhang zwischen Radius und Hauptspannung in der erwarteten Weise: mit

abnehmendem Radius steigt die Spannung an; der Übergang zur Singularität bei Radius gegen 0 ist vorstellbar.


4 Optimierung

4.1 Freistich, 1 Parameter Nun wird die Ausrundung in der Skizze durch einen Kreis mit dem Mittelpunkt in der einspringenden Ecke

ersetzt. Der Radius wird wieder zu einem Parameter erklärt. Weil nun statt eines Viertelkreises ein

Dreiviertelkreis vorliegt, wird für das Netz am Kreis 3 x 8 = 24 Elemente vorgegeben. Zur Vorbereitung der

Optimierung wird wieder eine Parametervariation durchgeführt. Dieser Schritt ist nicht zwingend, man erfährt

aber, ob überhaupt ein lokales Extremum existiert.

Abb. 4.1: Hauptspannung über Radius beim Freistich

In Abb. 4.1 ist zu sehen, dass sowohl ein kleiner Radius wegen der erhöhten Kerbwirkung als auch ein großer

Radius wegen der Querschnittsschwächung zu großen Spannungen führt. Es ist also möglich, eine Optimierung

ohne Nebenbedingungen durchzuführen, nämlich den Radius so zu bestimmen, dass die Spannung minimal

wird. Die in der Optimierung benutzten Variablen werden gemeinhin als

- Design-Variablen (durch den Optimierer veränderliche Parameter) und

- Zielfunktion (zu minimierender oder maximierender Wert)

- State-Variablen für Nebenbedingungen (insbesondere Ungleichheitsnebendingungen, hier aber noch

nicht)

bezeichnet. Unter den Parametern wird nun eine Zielgesteuerte Optimierung eingeführt. Diese besteht aus

- Design of Experiment (DoE), deutscher Begriff statistische Versuchsplanung

- Antwortfläche

- Optimierung

Es handelt sich insgesamt um eine Antwortflächen-(Response-Surface-)Methode, bei der zunächst einige Werte

für die Designvariablen gewählt und dazu die abhängigen Parameter errechnet werden. Dann werden dazu

Antwortflächen bestimmt, d.h. die Abhängigkeit eines Wert von den Designvariablen wird durch eine einfache

mathematische Funktion angenähert. Gut geeignet für die Zielfunktion ist ein quadratisches Polynom, weil

dessen Minimum leicht bestimmbar ist. Im dritten Schritt wird auf der Basis der Antwortflächenfunktionen das

Minimalproblem gelöst.

Nach Öffnen des Teils DoE kann nach Anklicken von DoE-Optimierungsmethode die Ausrichtung der DoE-

Optimierungsmethode bestimmt werden. Central Composite Design (gleichmäßige Verteilung mit Stützstellen

am Rand) und Optimale raumfüllende Konstruktion (mit den äußeren Stützstellen nahe dem, aber nicht auf dem

Rand) sind am leichtesten verständlich. Hier wird Central Composite Design gewählt.


Nach Anklicken einer Designvariable muss eine obere und untere Schranke eingegeben werden. Daraufhin

werden die Stützstellen durch Klicken auf Vorschau generiert. Hier soll der Radius zwischen 2 und 80 variiert

werden können. Dazu wird

generiert. Nach Aktualisieren, d.h. Berechnen der abhängigen Parameter (bereits in der Parametervariation

vorhandene Stützstellen werden einfach übernommen) erhält man

graphisch

Abb. 4.2: Spannung über Radius nach DoE

In der Sektion Antwortfläche wird unter Antwortfläche die Standardantwortfläche - vollständige Polynome 2.

Ordnung angeboten. Nach Aktualisieren wird sie wie in Abb. 4.3 dargestellt. Man sieht Werte der

Annäherungsfunktion. Auch Neue Ergebnispunkte werden entsprechend interpoliert.


Abb. 4.3: Antwortfläche für Spannung über Radius

In der Sektion Optimierung müssen nun die Variablen klassifiziert werden:

- die Designvariable erhält kein Ziel

- die Zielfunktion wird auf Minimieren gesetzt.

Die Optimierungsmethode Screening (Abtasten der Antwortfläche) hat sich in Workbench 14 als stabiler als

NLPQL erwiesen, ergibt aber nach Aktualisieren drei Lösungen:

Kandidat A liefert die kleinste Spannung, allerdings auf der Basis der Interpolation über die Antwortfläche. Es

ist zu prüfen, ob dieser Wert auch tatsächlich vom FE-Modell errechnet wird. Verifikation durch Update der

Design Points unter der rechten Maustaste über dem Kandidaten ergibt als Verifikation:

Die Abweichung beträgt nur 1,73 N/mm² und damit weniger als 1%. Bei größeren Abweichungen müsste das

Optimierungsproblem neu aufgesetzt werden, z.B. indem man die Grenzen verändert, am besten um das

vermeintliche Optimum zusammenzieht.

Hier aber kann mit der Auswertung begonnen werden, indem man durch Rechtsklick Als Design Point einfügen

wählt, die Optimierung schließt, zum Parametersatz wechselt und diesen neuen Designpunkt in den aktuellen

kopiert. Nach der Aktualisierung stellt sich aber heraus, dass der Wert für Radius 20 400 beträgt und damit

kleiner ist. Um das aufzulösen könnte auch ein kleineres Intervall für den Radius gewählt werden. Gleichwohl

in Abb. 4.4 ein Spannungsplot für Radius 22,361.


Abb. 4.4: System und Spannung bei optimiertem Radius

4.2 Optimierung mit Nebenbedingung - Der Radius wird jetzt nur noch zwischen 2 und 40 variiert. Er bleibt Designvariable.

- Zielfunktion wird das Volumen. Es ist zu minimieren.

- Nebenbedingung wird, dass die maximale Hauptspannung 450 N/mm² nicht überschreitet (Werte <=

Ziel, Abb. 4.6).

Wenn sich eine Fehlermeldung bei der Berechnung an den einzelnen Stützstellen ergibt, kann die DoE-Methode

auf Benutzerdefiniert umgestellt werden und der betreffende Wert leicht verändert werden.

Die Antwortfläche für das Volumen stellt sich folgendermaßen dar:

Abb. 4.5: Antwortfläche für Volumen über Radius

Das Volumen wird also in einem Bereich kleiner, in dem die Spannung größer wird. Somit liegt ein geeignetes

Optimierungsproblem mit Nebenbedingung vor.


Abb. 4.6: Klassifizierung der Optimierungsvariablen

Abb. 4.7: Optimierungsergebnis

Kandidat A erfüllt die Bedingungen wieder am besten; außerdem zeigt die Verifikation hervorragende

Übereinstimmung. Abb. 4.8 zeigt Spannung und überhöhte Verformung.

Abb. 4.8: System und Spannung bei minimiertem Volumen

4.3 Optimierung mit zwei Designvariablen Die Ergebnisse der bisherigen Optimierung waren spätestens nach der Parametervariation vorhersehbar. Etwas

anders sieht es aus, wenn es mehrere Designvariablen gibt. Im System aus Abb. 4.9 werden die Koordinaten des

mittleren Punktes eines Splines durch drei Punkte, ausgedrückt durch die Abmessungen H8 und V13 variiert

(Designvariablen). Das Volumen soll minimiert werden (Zielfunktion), die Spannung 450 N/mm² nicht

überschreiten (Nebenbedingung). Die Netzweite an den beiden Linien, die die Ecke bilden, wird auf 5 mm

eingestellt (Ergebnis s. Abb. 4.10).

Die Grenzen für H8 werden vorerst auf 100 und 190 mm eingestellt, die für V13 auf 50 und 150. In DoE

werden 9 Stützstellen generiert.


Abb. 4.9: Ausrundung mit Spline

Abb. 4.10: Netz in Ausgangsentwurf

Abb. 4.11 zeigt die Antwortflächen im 3d-Modus. Man erkennt die unterschiedlich starken Abhängigkeiten,

ferner dass bei minimalem Volumen die größte Spannung vorliegt. So besteht die Chance auf ein

Optimierungsergebnis. Das Screening liefert Ergebnisse, die Verifikation ist gut, allerdings ist der Abstand zur

Spannungsobergrenze noch recht groß (Abb. 4.12). Das könnte richtig sein, wenn es ein lokales Optimum (ohne

Nebenbedingung) gäbe, danach sieht die Antwortfläche aber nicht aus. Als Abhilfe wird der Definitionsbereich

für die Abmessung V13 in der Optimierung geändert, d.h. die Antwortflächen bleiben gleich, aber der

Suchbereich wird eingeschränkt, und zwar um den genannten optimalen Wert herum. Das führt zu dem

Ergebnis aus Abb. 4.13.


Abb. 4.11: Antwortflächen

Abb. 4.12: Erstes Optimierungsergebnis und Verifikation

In Abb. 4.13 erkennt man, dass nach der Vorhersage über die Antwortfläche die Spannung den maximalen Wert

erreicht, nach der Verifikation, deren Abweichung mit gut 2% immer noch gut ist, die Obergrenze aber

überschritten wird. Wenn das nicht akzeptabel ist, könnte man dem abhelfen, indem man die Grenze senkt (z.B.

auf 440) oder eine neue Optimierung, beginnend bei DoE, mit verengten Grenzen durchführt. Das hat

schließlich den gewünschten Erfolg (Abb. 4.14). Das Volumen ist gegenüber dem ersten Ergebnis weiter

reduziert. Das optimierte Ergebnis (Abb. 4.15) zeigt, obwohl dies keine Zwangsbedingung war, einen glatten

Übergang zwischen gerader Kante und Spline in der vormaligen Ecke.


Abb. 4.13: Optimierungsergebnis und Verifikation mit eingeschränkten Definitionsbereich

Abb. 4.14: neues Optimierungsergebnis

Abb. 4.15: optimiertes System


5 Lineare Beulanalyse Wie oben ergeben sich die Abmessungen aus

h = 100 mm

Dicke 1 mm

Die Belastung ist

q1 = 0

q2= 10 N/mm (Richtung nach Abb. 5.1, -10 N/mm² nach Aufgabenheft)

Die Last ist als Druck zu orientieren.

In diesem 3d-Modell wird das Flächenmodell als Schale interpretiert. Die Last auf den Rand ist dabei eine

Streckenlast, die in Workbench Liniendruck heißt.

Die Randbedingungen sind wieder

oberer Rand: UY=0

linker Rand: UX=0

umlaufender Rand: UZ=0

Baustahl E=200000 N/mm²

3D-Analyse

q2

[N/mm]

Abb. 5.1: System, Lasten und Randbedingungen für Beulanalyse

Die Netzweite wird auf 10 mm eingestellt.

Die lineare Beulanalyse beruht auf der Tatsache, dass Längsvorspannungen, bei Flächenträgern

Membranspannungen genannt, Einfluss auf die Biegesteifigkeit haben. Ein Beispiel ist die Instrumentensaite,

die im lockeren Zustand keine Querlast aufzunehmen vermag, wohl aber im gespannten Zustand. Außerdem

weiß man, dass sich die Tonhöhe, also die Eigenfrequenz, mit der Vorspannung ändert. Die Frequenz ist

abhängig von der Steifigkeit und der Masse. Da die schwingende Masse beim Stimmen nur wenig verändert

wird, muss sich also die Steifigkeit ändern. Dieser Effekt wird durch die Spannungs-Versteifungsmatrix S

abgebildet, die linear von den Spannungen abhängig ist. Das Gleichungssystem, im Linearen

fKu

wird nun um den Versteifungsanteil erweitert:

fuσSK )(


Für die lineare Beulanalyse wird nun eine Referenzbelastung f0 aufgebracht, die die Form der Last beschreibt.

Daraus lässt sich eine Spannungsverteilung σ0 und eine Versteifungsmatrix S0(σ0) berechnen. Auch die

Abhängigkeit der Spannung von Belastung ist linear. Für eine um einen Faktor λ erhöhte Last gilt dann:

00 σfσ und 000 )()( SσSσS

mithin

0000 ))(()( SfσSfS

Das Gleichungssystem wird dann zu

fuSK 0

Negative Spannungen führen zu einer Schwächung anstelle einer Versteifung. Nun ist die Fragestellung:

Um welchen Faktor λ muss die Referenzlast f0 gesteigert werden, damit die Schwächung so groß ist, dass eine

Verschiebungsänderung φ ohne Zusatzlast möglich ist, was in Formeln

0φSK 0

lautet. Das ist ein allgemeines Matrizeneigenwertproblem, das neben der Triviallösung φ=0 nur dann eine nicht-

triviale Lösung hat, wenn die Determinante null wird. Dann ist die Lösung allerdings nur bis auf einen Faktor

bestimmt. In der Praxis wird nicht die Determinante bestimmt, sondern eine Vektoriteration, evt. in Verbindung

mit Umformungen der Matrix durchgeführt.

Erster Schritt der praktischen Durchführung ist die Ermittlung des Spannungszustandes infolge der

Referenzbelastung. Dargestellt ist hier die 3. Hauptspannung (Min. im Hauptachsensystem), weil sie die

betragsgrößten Druckspannungen, Voraussetzungen für Beulen, enthält.

Abb. 5.2: 3. Hauptspannung unter Referenzbelastung

5.1 Beulanalyse des Grundsystems Auf der Projektseite wird eine Lineare Beulanalyse in die Lösung der statisch-mechanischen Analyse geschoben

und so die Verbindung zur Spannung aus der Referenzbelastung hergestellt. Unter den Analyseeinstellung sollte

als Anzahl Moden eine Zahl größer als eins eingestellt werden, um sicherzustellen, dass man nicht mehrere

gleich große Eigenwerte erhält (Clusterung der Eigenwerte), was bedeuten würde, dass verschiedene

Eigenformen und ihre Linearkombinationen als Beulformen gleich wahrscheinlich wären.


Die Beulanalyse liefert im vorliegenden Fall:

Das heißt, dass die erste kritische Last bei

mmNqkrit /8,11018,01,

liegt. Die Beulformen sind so skaliert, dass ihre maximale Verschiebung 1 beträgt, und zeigen unterschiedliche

Halbwellenzahlen. Dabei sind blaue Zonen Täler und rote Berge.

Abb. 5.3: 1. Beuleigenform




5.2 Erhöhung der kritischen Last durch Steifen Die kritische Last ist deutlich kleiner als die aufgebrachte. Deshalb soll versucht werden, die Beullast durch

Anordnung von Steifen zu erhöhen. Diese haben in einem ersten Versuch die Abmessungen 20 x 2 mm. Wo die

Steifen am besten angebracht werden, sagen die Beulformen, nämlich dort, wo die maximalen bzw. minimalen

Verformungen vorliegen.

In der ersten Beulform ist das etwa die Mitte. Diese kann durch eine Längs- oder Quersteife gestützt werden. Da

die Quersteife kürzer ist, wird zunächst diese gewählt. Die Steife wird nur angeschlossen, nicht gelagert, wobei

die bisherigen Festhaltungen und Belastungen aber überprüft und ggf. ergänzt werden müssen, wobei zu

beachten ist, dass ein „Liniendruck“ (eine Streckenlast) nur auf ein Linie aufgebracht werden kann, bei Teilung

der Linie also ein zweiter Liniendruck definiert werden muss.

Jetzt liefert die Beulanalyse

Der Lastmultiplikator ist deutlich angehoben, weil die bisherige erste Beulform nicht mehr auftreten kann. In

der neuen ersten Eigenform ist rechts eine Teilbeule zu sehen, die bereits in der ursprünglichen zweiten und

dritten Form erkennbar war.

Das ist ein Grund, warum man stets mehrere Eigenwerte und –formen berechnen sollte. Der andere ist, dass es

mehrfache Eigenwerte geben könnte, d.h. dass mehrere Eigenwerte gleicher Größe berechnet werden, zu denen

aber unterschiedliche Beulformen gehören. Dann ist jede Linearkombination dieser Formen eine mögliche

Beulform bei dieser Laststufe. Schließlich verbessert sich bei den iterativen Verfahren auch die Genauigkeit der

unteren Eigenwerte, wenn mehr Werte berechnet werden.


Abb. 5.6: 1. Beuleigenform mit Quersteife

Zur Unterdrückung der verbleibenden Beule wird eine Längssteife eingesetzt, zunächst eine halbe rechts, dann

ein ganze, weil das linke Feld auch eine Beule (in Gegenrichtung) aufweist.

Halbe Längsteife

Abb. 5.7: 1. Beuleigenform mit Quer- und halber Längssteife


Ganze Längssteife

Abb. 5.8: 1. Beuleigenform mit Quer- und ganzer Längssteife

Auch die letzte halbe Steife erhöht die kritische Last erheblich. Insgesamt steigt diese durch den Einsatz der

Steifen von 0,19 auf 2,13, also um den Faktor 11,7.

Lohnt sich der Einsatz von Steifen gegenüber der Erhöhung der Dicke?

Hier kann natürlich nur der Materialeinsatz berücksichtigt werden, die Kostenfrage muss gesondert untersucht

werden.

Die kritische Last ist proportional zum Trägheitsmoment, dieses proportional zur dritten Potenz der Dicke.

Folglich benötigt man für die gleich Beullasterhöhung eine Dickenvergrößerung um dem Faktor

27,27,113 .

Das benötigte Material vergrößert sich also um

3723001*)127,2(*200*100*3 mmA

Das Volumen der Steifen zusammen ist nur

324000)400200(*20*2 mmASteifen

Anmerkung: In diesem Beispiel sind die Steifen dicker als die auszusteifende Platte. Das ist sicher

ungewöhnlich. Die Effekte lassen sich aber auch bei anderen Verhältnissen zeigen.

5.3 Variation der Steifenabmessungen Die Abmessungen der Steife waren willkürlich gewählt. Das Bauteil muss gewährleisten, dass

die Biegesteifigkeit um die starke Achse groß genug ist, um die Beulen des unversteiften Systems

unterbrechen zu können

die Biegesteifigkeit um die schwache Achse groß genug ist, dass die Steife nicht beult (diese spezielle

Form des Beulens heißt Kippen). Die Gefahr ist andeutungsweise in Abb. 5.6 und Abb. 5.8 erkennbar.


Weil die einzelnen Steifen durch Kopieren und Verschieben entstanden sind, wird die Höhe für alle gleich

variiert. Soll die Höhe einer einzelnen Steife untersucht werden, muss eine andere Vorgehensweise bei der

Erstellung der Geometrie gewählt werden. Die Dicke wird nur für den zweiten Teil der Längssteife verändert.

Designvariablen sind Höhe und Dicke,

Zielfunktion der erste Lastmultiplikator.

Abb. 5.9: Lastmultiplikator in Abhängigkeit von der Steifenhöhe

Abb. 5.9 zeigt die Abhängigkeit des Beulwertes von der Höhe bei Beibehaltung der Dicke 2 mm. Man erkennt,

dass der Lastmultiplikator bis zu einem bestimmten Wert deutlich, dann nur noch geringfügig ansteigt.

Abb. 5.10: 1. Beulform bei Höhe 5 mm

Wie in Abb. 5.10 zu sehen, ist bei 5 mm Höhe die Steife noch nicht in der Lage, die Beule zu unterbrechen.

Gleichwohl steckt in der Beulform mehr Energie als in der des unversteiften Systems, was man daran erkennt,

dass die kritische Last deutlich höher ist.


Abb. 5.11: Lastmultiplikator in Abhängigkeit von der Steifendicke

Die Variation der Dicke bei Höhe 20 mm zeigt führt anfänglich zu einer sehr steil ansteigenden Beullast, dann

plötzlich nur noch zu einer langsamen Erhöhung (Abb. 5.11). Ursächlich ist, dass es bis zu einem bestimmten

Dicke zum Steifenbeulen kommt (Abb. 5.12 für 3 mm), dann nur noch der Beitrag der Dicke zum

Trägheitsmoment um die starke Achse entscheidend ist. In Abb. 5.13 unterbricht die Steife mit 0,7 mm die

Beule und wird nur durch diese mit verformt. 1 mm Dicke wie die Blechdicke der Platte wäre also allemal

ausreichend. Noch geringere Dicken ließen sich erreichen, wenn die Steife selbst wieder ausgesteift würde. So

erreicht das System mit einer L-förmigen Steife mit Dicke 0,2 mm den Beulwert 1,93 (Abb. 5.14) während die

einfache Steife mit 0,2 mm nur zum Lastmultiplikator 0,63 führt

Abb. 5.12: 1. Beulform bei Dicke 0,3 mm


Abb. 5.13: 1. Beulform bei Dicke 0,7 mm

Abb. 5.14: 1. Beulform bei L-förmiger Steife mit Dicke 0,2 mm


6 Modalanalyse Für die Modalanalyse werden die Steifen wieder entfernt.

Bei der Modalanalyse wird vorausgesetzt, dass der zeitliche Verlauf der Schwingung sinusförmig ist:

tt sinˆ)( uu

Folglich ist die zweite Ableitung, die Beschleunigung

tt sinˆ)( 2uu

Dies eingesetzt in die Bewegungsgleichung

)(tfuMKu

die besagt, dass innere Kräfte (Steifigkeit mal Verschiebung), Trägheitskräfte (Masse mal Beschleunigung) und

äußere Kräfte im Gleichgewicht stehen müssen:

)(sinˆ2 tt fuMK

Berücksichtigt man, dass eine Eigenschwingung zwar angeregt wird, dann aber keine Laständerung vorliegt,

wird die rechte Seite 0. Da Amplitude und Zeitverlauf nicht permanent 0 sein sollen, muss der Term in der

Klammer (genauer dessen Determinante) 0 werden. Zur Kennzeichnung, dass hier ein Eigenwertproblem zu

lösen ist, wird die Amplitude der Knotenverschiebungen durch φ ersetzt, sodass man

0φMK 2

erhält. ω ist die Eigenkreisfrequenz,

M die Massenmatrix.

Weil man ω² durch λ ersetzen kann, liegt wieder ein lineares Eigenwertproblem vor.

6.1 Einfache Modalanalyse Zunächst soll eine Modalanalyse ohne Vorspanneffekte durchgeführt werden. Da aber eine Analyse mit

Vorspannung folgen soll, wird dies gleich vorgesehen. Das hat den weiteren Vorteil, dass die Randbedingungen

mit übertragen werden.

Da keine Last 0 akzeptiert wird, wird der Liniendruck zunächst auf 10-9

gesetzt. Abb. 6.1 bis Abb. 6.5 zeigen

die ersten fünf Schwingungseigenformen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Zahl der Halbwellen

zunimmt, vornehmlich in Richtung der größeren Abmessung. Die erste Schwingungsform ähnelt der ersten

Beulform, bei der zweiten stimmen noch die Halbwellenzahlen überein.

Abb. 6.1: 1. Schwingungseigenform







Abb. 6.6: erste drei Beulformen

Die Bedeutung der Eigenformen und -frequenzen wird in der transienten Analyse noch untersucht.

6.2 Vorgespannte Modalanalyse Bei der Modalanalyse unter Berücksichtigung von Vorspanneffekten geht das Eigenwertproblem in

0φMSK2

über, wobei S die schon beim Beulen genannte, für die Vorspanneffekte verantwortliche

Spannungsversteifungsmatrix ist.

Die Beuleigenwerte bei einer Belastung von q=10 N/mm² – das wird in der vorgespannten Analyse noch eine

Rolle spielen – waren

Abb. 6.7: Lastfaktoren bei q=10

Nun wird der Druck variiert, von negativ (Zug) auf verschiedene Laststufen im Druckbereich.

q=-2,0 q≈0 q=1,0 q=1,7 q=1,9 q=3,0 q=4,2 q=4,4


Durch Aufbringung einer Zugbelastung steigen die Eigenfrequenzen, wie man es ja auch von einer

Instrumentensaite kennt. Die ersten Eigenformen verändern sich kaum.

Letzteres gilt auch für die Druckbelastungen q=1 und q=1,7, allerdings sinken hier erwartungsgemäß die

Eigenfrequenzen, weil ja eine Schwächung vorliegt.

Abb. 6.8: erste drei Schwingungseigenformen, q=1,9


Abb. 6.9: 4. Schwingungseigenform, q=1,9

Bei q=1,9 scheinen die Eigenfrequenzen plötzlich wieder anzusteigen. Allerdings fehlt plötzlich die Eigenform

mit nur einer Halbwelle, während die vorhandenen der jeweils höheren bisherigen Eigenform entsprechen.

Bei q=3,0 und q=4,2 setzt wieder eine Reduzierung der Eigenfrequenzen ein, mit q=4,4 wieder ein Sprung. Nun

verschwindet auch die ursprünglich zweite Eigenform, während die folgenden erhalten bleiben (Abb. 6.12 bis

Abb. 6.13). Bis q=4,2 war sie aber vorhanden (Abb. 6.10), jedoch ähnelt sie mehr der Beulform zur Last

0,433*10=4,33 als der zweiten Schwingungseigenform des unbelasteten Systems (Abb. 6.11).


Abb. 6.11: Beulform zur Last q=4,33 (links), 2. Schwingungseigenform ohne Vorspannung (rechts)



Abb. 6.13: 2. und 3. Schwingungseigenform, q=4,4

Grund für dieses Verhalten ist das Überschreiten der kritischen Lasten aus der linearen Beulanalyse. Würde man

dort eine kritische Last aufbringen ergäbe sich der Lastmultiplikator λ=1, das Gleichungssystem lautete mithin

0φSK


wobei die Determinante der Systemmatrix (Klammer) 0 sein muss. Geht man nun zum

Schwingungseigenwertproblem

0φMSK2

über, wird die Determinante der Systemmatrix für ω2=0 null, bei Überschreiten einer kritischen Last würde

ω2<0. Dann wäre die Eigenfrequenz die Wurzel aus einer negativen Zahl, also imaginär, was bei der

ungedämpften Schwingung physikalisch keine Bedeutung hat. Deshalb wird diese Lösung unterdrückt, was das

Verschwinden der ersten Eigenformen erklärt.

An einem kritischen Punkt – kritisch im Sinne der Stabilität – fallen die Schwingungseigenform und die

Beulform zusammen. So kann die Modalanalyse mit Vorspannung auch zum Erkennen eines

Stabilitätsproblems und der möglichen Beulform genutzt werden.

6.3 Vorgespannte Modalanalyse und unsymmetrischer Löser Fügt man in die statisch-mechanische Analyse die Befehlszeile

NROPT,UNSYM

ein, wird die Systemmatrix so gespeichert, als sei sie unsymmetrisch, und ein entsprechender Gleichungslöser

aktiviert. Das ist Voraussetzung dafür, dass in der Modalanalyse die Befehlszeile

MODOPT,UNSYM,6

zur Eigenwertberechnung ein Löser für unsymmetrische Matrizen verwandt werden kann. Unsymmetrische

Matrizen können komplexe Eigenwerte haben. Daher wird der Imaginärteil nicht unterdrückt, obwohl die

Matrix tatsächlich natürlich symmetrisch bleibt.

Ergebnis der Modalanalyse mit Löser für unsymmetrische Matrix

q=1,7 q=1,9 q=4,4

Ergebnis der Modalanalyse mit Löser für symmetrische Matrix

q=1,7 q=1,9 q=4,4


Abb. 6.14: Eigenform zum imaginären Eigenwert bei q=1,9 N/mm² (links), erste Beulform (rechts)

Abb. 6.15: Eigenform zum betragskleinsten imaginären Eigenwert bei q=4,3 N/mm² (links), zweite Beulform

(rechts)

Der Vergleich des angezeigten Eigenwertspektrums bei symmetrischem und bei unsymmetrischem Löser zeigt,

dass beim symmetrischen die nach Überschreiten einer Beullast imaginären Eigenwerte unterdrückt werden, die

reellen aber übereinstimmen. Die Eigenform zum imaginären Eigenwert, der am nächsten bei null liegt,

entspricht der jeweiligen Beulform.


7 Transiente Berechnung

7.1 Konstante Belastung Für die transiente Berechnung, also die Berechnung des zeitabhängigen Verhaltens, wird zunächst eine über die

Zeit konstante Belastung untersucht. Als Erstes wird eine Kraft dort positioniert, wo die Schwingungseigenform

ihr Maximum hat, in der Hoffnung, damit eine zur Eigenform ähnliche Verformung anzuregen. Es wird eine

externe Kraft gewählt, die auf die Fläche verteilt wird, insbesondere weil an der Stelle kein Geometriepunkt

vorliegt. Die Größe der Kraft ist belanglos.

Abb. 7.1: Lage der Belastung (eine Kraft)

Abb. 7.2: statische Lösung (eine Kraft)

Die statische Lösung stimmt nicht genau mit der ersten Schwingungsform überein, aber doch weitgehend. In der

transienten Berechnung erkennt man im Wesentlichen eine Schwingung (Abb. 7.3). Der zeitliche Abstand

zweier Spitzen beträgt näherungsweise (durch Ablesen der Zeit zweier berechneter Punkte in Abb. 7.3 und ):

22 1061,110)22,783,8(t

Die erste Eigenfrequenz ohne Vorspannung betrug 63,49 Hz. Das entspricht einer Schwingungsdauer von


sT 2

1 1058,149,63/1

Das stimmt gut mit ΔT überein. Abweichungen erklären sich dadurch, dass die Ablesepunkte nicht genau die

gleiche Phase der Schwingung darstellen und dass die angeregt Verformung nicht exakt der Eigenform

entspricht, sodass weitere Eigenformen angeregt werden, was auch an den leicht unterschiedlichen Ausschlägen

erkennbar ist.

Abb. 7.3: Schwingung infolge einer Belastung mit einer konstanten Kraft

Abb. 7.4: Schwingung infolge einer Belastung mit einer konstanten Kraft, zweiter Ablesepunkt

Bei einer Belastung mit zwei konstanten Kräften, die entgegengesetzt wirken, die im Minimum und Maximum

der zweiten Eigenform angreifen und im ersten Versuch vom gleichen Betrage sind (Abb. 7.5) ergibt sich aus

Abb. 7.6, dass hier mindestens zwei Frequenzen angeregt werden, erkennbar an den unterschiedlichen

Ausschlägen. Aus zwei großen Ausschlägen (Abb. 7.6) ergibt sich

1

22 1076,110)16,792,8( Tst

was noch ungefähr der Schwingungsdauer der ersten Eigenschwingung entspricht. Die zweite beträgt

sT 2

2 1092,01,109/1

Aus zwei benachbarten Spitzen (Abb. 7.6) erhält man

st 22 1095,010)16,711,8( bzw. st 22 1081,010)11,892,8(

Das ist sicher die richtige Größenordnung für die zweite Eigenschwingungsdauer, die Übereinstimmung hängt

aber von der Auswahl der Ablesepunkte ab.


Abb. 7.5: Lage der Belastung mit zwei Kräften


Abb. 7.6: Schwingung infolge einer Belastung mit zwei entgegengesetzt gleich großen Kräften

Wenn man die Ablesung an zwei Punkten vornimmt, an denen der Zeitverlauf etwa das gleiche Muster zeigt,

kann man die Eigenschwingung noch besser identifizieren, wenn man auch die Anzahl der Ausschläge

dazwischen einbezieht:

2

22 1093,05/10)11,875,12( Tst

Die zweite Eigenschwingung isoliert anzuregen, gelang vor allem deshalb nicht, weil die Belastung die

zugehörige Eigenform nicht genau genug anregte: In der Eigenform ist das Verhältnis von minimaler zu

maximaler Durchbiegung

75,12,78

1,137

in der statischen Lösung bei gleich großen Kräften

96,6442,0

078,3

bei Kraft links -100 N und rechts 50 N ergibt sich annähernd 1,0. Daraus lässt sich interpolieren, dass die Kraft

rechts etwa 60 N sein sollte. Damit ist das Durchbiegungsverhältnis

72,175,0

29,1

Das sollte genügen.


Die elegantere Lösung ist natürlich, einmal nur die linke, einmal nur die rechte Kraft aufzubringen, in beiden

Fällen die Durchbiegung an den beiden Stellen zu bestimmen und anschließend zu errechnen, welche

Linearkombination zu den gewünschten Verschiebungen führt.

Abb. 7.7: Schwingung bei konstanten Kräften -100/60 N

Nun erkennt man in Abb. 7.7, dass im Wesentlichen eine Eigenschwingung angeregt wurde, bei der die

Schwingungsdauer

2

22 1093,010)19,512,6( Tst

gut mit derjenigen der zweiten Eigenschwingung übereinstimmt.

Aus diesen Ergebnissen lässt sich erkennen:

Bei Anregung eines Systems mit einer konstanten Kraft schwingt dieses mit einer Kombination aus

Eigenschwingungen. Welche dies sind, hängt davon ab, welche Eigenformen von der Last angeregt

werden.

Am einfachsten ist es, die erste Eigenform anzuregen.

Dies ist eine Bedeutung der Eigenfrequenz.

7.2 Harmonische Erregung Nun wird mit der ersten Kraft weiter gearbeitet. Sie wird als sinusförmige Last

)**2sin(*100)( ttF

aufgebracht, wobei ν die Erregerfrequenz ist. Die Systemantwort hängt davon ab, wie nahe ν einer

Eigenfrequenz kommt.

Abb. 7.8: Schwingung bei Erregerfrequenz 20 Hz


Abb. 7.9: Schwingung bei Erregerfrequenz 40 Hz

Abb. 7.10: Schwebung bei Erregerfrequenz 55 Hz

In Abb. 7.8 und Abb. 7.9 sieht man, dass die Schwingung eines sinusförmig angeregten Systems von der

Erregerfrequenz abhängt. Es wird die Erregerfrequenz annehmen, jedoch geht dem ein Einschwingvorgang

voraus. Auch die Amplitude (5,48 bzw. 9,96) hängt vom Verhältnis Erreger- zu Eigenfrequenz ab.

Liegt die Erregerfrequenz nahe einer Eigenfrequenz entsteht eine Schwebung, die durch eine an- und

abschwellende Amplitude gekennzeichnet ist (Abb. 7.10).

Ist die Erregerfrequenz gleich einer Eigenfrequenz steigt bei einem ungedämpften System die Amplitude

ständig an (Abb. 7.11). Dieser Fall wird als Resonanz bezeichnet. Die zweite Bedeutung der mit der

Modalanalyse ermittelten Eigenfrequenz ist also diejenige Frequenz, bei der Resonanz auftritt.

Abb. 7.11: Resonanz bei Erregerfrequenz 63,49 Hz

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Starter-Übungsunterlagen Beispiele für den Einsatz von ... · Diese Option wird von ANSYS automatisch gewählt, kann aber durch ein Befehle-Objekt auf linear gesetzt werden (Erläuterungen