Starter-Übungsunterlagen Seite 1
Starter-Übungsunterlagen
Beispiele für den Einsatz von
ANSYS Workbench in der Lehre
- Selbst rechnen und Eigenschaften der
FEM erkennen -
Teil 2:
Ergebnisse und Interpretationen
Inhaltsübersicht
1 Träger aus Balken- Schalen- und Volumenelementen
2 Elementeigenschaften an einem 2D-System
3 Scheibe mit einspringender Ecke, Kerbspannungen
4 Optimierung
5 Lineare Beulanalyse
6 Modalanalyse
7 Transiente Berechnung
Starter-Übungsunterlagen Seite 3
Inhaltsverzeichnis
1 Träger aus Balken- Schalen- und Volumenelementen ................................................................................... 4
1.1 System, Abmessungen, Festhaltungen, Belastung ..................................................................................... 4
1.2 Diskretisierung als Balken ......................................................................................................................... 4
1.3 Diskretisierung als Schale .......................................................................................................................... 6
1.4 Diskretisierung als Volumen .................................................................................................................... 11
2 Elementeigenschaften an einem 2D-System................................................................................................. 16
3 Scheibe mit einspringender Ecke, Kerbspannungen ..................................................................................... 21
3.1 Scharfe Kerbe ........................................................................................................................................... 21
3.2 Ausrundung .............................................................................................................................................. 22
3.3 Parametervariation ................................................................................................................................... 24
4 Optimierung .................................................................................................................................................. 25
4.1 Freistich, 1 Parameter ............................................................................................................................... 25
4.2 Optimierung mit Nebenbedingung ........................................................................................................... 28
4.3 Optimierung mit zwei Designvariablen ................................................................................................... 29
5 Lineare Beulanalyse ..................................................................................................................................... 33
5.1 Beulanalyse des Grundsystems ................................................................................................................ 34
5.2 Erhöhung der kritischen Last durch Steifen ............................................................................................. 36
5.3 Variation der Steifenabmessungen ........................................................................................................... 38
6 Modalanalyse ................................................................................................................................................ 42
6.1 Einfache Modalanalyse ............................................................................................................................ 42
6.2 Vorgespannte Modalanalyse .................................................................................................................... 44
6.3 Vorgespannte Modalanalyse und unsymmetrischer Löser ....................................................................... 48
7 Transiente Berechnung ................................................................................................................................. 50
7.1 Konstante Belastung ................................................................................................................................. 50
7.2 Harmonische Erregung ............................................................................................................................. 54
Starter-Übungsunterlagen Seite 4
1 Träger aus Balken- Schalen- und Volumenelementen
1.1 System, Abmessungen, Festhaltungen, Belastung Das nachfolgende System soll mit Finiten Elementen unterschiedlicher Art berechnet werden.
Abb. 1.1: Kragarm
Materialparameter E=210000 N/mm², ν=0,3
Abmessungen in mm
L= 2000
h= 100
b= 50
t= 5
s= 3
(Typische Abmessungen eines I-Trägers, L≈10 h)
Belastung in N
F= 2000
1.2 Diskretisierung als Balken
Abb. 1.2: Verformung bei Diskretisierung als Balken
Starter-Übungsunterlagen Seite 5
Die maximale Verschiebung mit den Standard-Einstellungen, die zu 21 Elementen mit 43 Knoten führen,
beträgt 19,54 mm.
43 Knoten und 21 Elemente ergeben sich auch, wenn Elementmittelknoten>nicht beibehalten eingestellt wird.
Bei beibehalten ergeben sich bei 21 Elementen 64 Knoten; die Durchbiegung bleibt gleich.
Der jeweils zusätzliche Knoten ist der Orientierungsknoten (Pfeil).
Abb. 1.3: BEAM188 (aus ANSYS Help)
Elementmittelknoten beibehalten und 1 Element ergibt ebenfalls 19,54 mm Durchbiegung. Das ist das erwartete
Ergebnis.
Zunächst unerwartet ist allerdings, dass nicht beibehalten und 1 Element auf die gleiche Lösung führt, obwohl
es sich dabei um ein Timoshenko-Balken-Element mit linearem Ansatz handeln sollte, bei dem sich die
Lösungen wie bei den meisten Finiten Elementen mit zunehmender Netzdichte verbessern.
Die Antwort ergibt sich aus der Hilfe:
Die Option besagt, dass auch quadratische Ansatzfunktionen gewählt werden können. Diese werden mit einem
internen, also nicht sichtbaren Knoten verknüpft, deren Freiheitsgrade vor dem Einbau in das Gesamtsystem
eliminiert (kondensiert) werden. Es handelt sich also um die gleiche Elementformulierung, jedenfalls solange
der mittlere Knoten nicht mit anderen Elementen im System, etwa Schalen- oder Volumenelementen mit
Mittelknoten verbunden ist.
Diese Option wird von ANSYS automatisch gewählt, kann aber durch ein Befehle-Objekt auf linear gesetzt
werden (Erläuterungen nach dem Ausrufezeichen):
/prep7 ! /Preprocessor, um Einstellung zu ändern
etcon,off ! ANSYS darf Optionen nicht ändern
keyopt,1,3,0 ! lineare Ansatzfunktionen
/sol ! zurück in den Lösungsprozessor
Starter-Übungsunterlagen Seite 6
Damit wird tatsächlich ein 2-Knoten-Element mit linearem Ansatz gewählt und die Durchbiegung wird mit
einem Element kleiner als in den anderen Varianten (Tabelle).
Anzahl Elemente Max. Durchbiegung
1 16,83
2 18,86
4 19,37
8 19,50
Da es sich um den schubelastischen Timoshenko-Balken handelt, muss bei der Berechnung der Durchbiegung
die Querkraftverformung mit berücksichtigt werden. Nach dem Arbeitssatz ist
dxGA
QQdx
EI
MMw
zu bilden. Der Design-Modeler gibt
A=770 mm²
I=3,2364e+006 mm4
an. Das Trägheitsmoment bezieht sich allerdings auf die Unterkante, sodass der Steiner-Anteil abgezogen
werden müsste.
In ANSYS Classic gibt das Beam-Tool
Iyy = 0.13114E+07
Shear Correction-yy = 0.57311
an. Bei ν=0,3 ist der Schubmodul G=80769 N/mm².
Das Bekanntsein der Schnittgrößenverläufe am Kragarm unter Einzellast vorausgesetzt, erhält man
mm
GA
Fl
EI
Flw
48,19
11,037,197708076957311,0
20002000
1013114,02100003
20002000
3 7
33
1.3 Diskretisierung als Schale Mit der Elementgröße 25 mm ergibt sich die Durchbiegung zu 19,08 mm. Weiter s. Tabelle.
Abb. 1.4: Verformung bei Diskretisierung als Schale
Starter-Übungsunterlagen Seite 7
Elementgröße [mm] Max. Durchbiegung [mm]
25 19,076
12,5 19,084
Die Verformung ist nahezu konvergiert, der Wert allerdings kleiner als beim Balken. Das liegt daran, dass bei
der Schale die Mittelflächen diskretisiert werden, sodass sich Überlappungen der modellierten Querschnitte
ergeben (Abb. 1.5).
Abb. 1.5: Überlappung der Schalenquerschnitte
Eine Überlappungsfläche hat den Flächeninhalt Aü = 3*5/2 = 7,5 mm². Der Steineranteil beträgt Aü * (50-
3*5/4)² = 16043 mm4. Das Gesamtträgheitsmoment beträgt dann also
I= 0,13114∙107 + 2*16043 = 1343486 mm
4.
Die Durchbiegung reduziert sich danach um
46,01343486
16043237,19
auf 19,08 mm.
Abb. 1.6: Schubspannungsverteilung im Steg
Die obige Abbildung zeigt die Verteilung der Schubspannung im Steg. Der betragsgrößte Wert zeigt sich an der
Lasteinleitung, bei Netzweite 25 mm mit τyz= 13,10 N/mm².
Netzweite [mm] xymax [N/mm²]
global 25 13,10
global 12,5 21,30
global 6,25 33,91
global 25
lokal 12,5
21,30
lokal 6,25 41,48
Starter-Übungsunterlagen Seite 8
Die Netzverfeinerung führt bei der Einzellast dazu, dass die Spannungen bei Netzweitenhalbierung stark
anwachsen, wobei sich der Abstand von Netz zu Netz vergrößert. Es ist nicht zu erwarten, dass die Spannung
konvergiert.
Merke:
Eine Einzellast oder Einzelfesthaltung (hier nicht gezeigt, erzeugt aber eine Einzellast als Reaktionskraft) führt
bei Scheiben-, Schalen- und Volumenelementen zu einer Spannungssingularität )( .
Bei der Angabe global/lokal wird das Netz nur lokal verfeinert in einem Radius um die Lasteinleitung, der so
gewählt ist, dass der untere Flansch nicht mehr enthalten ist.
Abb. 1.7: bereichsweise Netzverfeinerung
Starter-Übungsunterlagen Seite 9
Abb. 1.8: Spannungsspitze unter einer Einzellast
Man sieht in der Tabelle, dass die lokale Verfeinerung auf 12,5 mm zur gleichen Spannung führt.
Allgemein lässt sich sagen:
Für die Bestimmung lokaler Größen genügt meist eine Netzverfeinerung in der Umgebung des betrachteten
Ortes.
Dem widersprechen auch nicht die unterschiedlichen Ergebnisse für lokal 6,25 mm. An der Stelle der höchsten
Spannung unterscheidet sich das Netz von der gleichmäßigen Vernetzung. Dass der Unterschied so groß
ausfällt, unterstreicht, dass es sich um eine Singularität handelt.
Nach dem Aufbringen einer Streckenlast liegt beim groben Modell der betragsgrößte Wert der Schubspannung
bei der Einspannung. Um besser den Bereich der Lasteinleitung zu erfassen, wird die Schubspannung nur in der
abgeschnittenen Stegfläche dargestellt.
Abb. 1.9: Schubspannungsverteilung bei Streckenlast
Starter-Übungsunterlagen Seite 10
Abb. 1.10: Schubspannungsverteilung im Lasteinleitungsbereich
Auch hier wird eine lokale Netzverfeinerung vorgenommen, das Zentrum liegt allerdings in der Schnittebene.
Nun konvergiert die betrachtete Spannung.
Folgerung:
Wenn Spannungen in einer bestimmten Region bestimmt werden sollen, sind dortige Lasten in ihrer realen
Verteilung aufzubringen.
Abb. 1.11: Einstellen der bereichsweisen Netzverfeinerung
Starter-Übungsunterlagen Seite 11
Abb. 1.12: bereichsweise verfeinertes Netz
Netzweite [mm] xymax [N/mm²]
global 25 6,46
global 25
lokal 12,5
7,09
lokal 6,25 7,21
lokal 3,125 7,30
1.4 Diskretisierung als Volumen
Abb. 1.13: Verformung des Volumenmodells
Die maximale Durchbiegung mit dem obigen Volumenmodell beträgt 19,53 mm, also wie beim Balken.
Bei der fixierten Lagerung ergeben sich die nachfolgenden Spannungsverteilungen im festgehaltenen
Querschnitt:
Starter-Übungsunterlagen Seite 12
Abb. 1.14: Normalspannung vertikal
Abb. 1.15: Normalspannung quer
Abb. 1.16: Schubspannung Stegebene, Verlauf über Höhe
Starter-Übungsunterlagen Seite 13
Abb. 1.17: Schubspannung Stegebene
In der nachfolgenden Tabelle sind die Schubspannungen aus einer Pfadauswertung in Querschnittsmitte
ermittelt.
Die Werte nach der Balkentheorie sind aber
241,7
3*90
2000max
0
mm
N
A
Q
Steg
Steg
quervertikal
wobei das Maximum der Schubspannung in der Mitte und am Rand der Wert null erwartet wird.
Der Unterschied lässt sich durch die Querkontraktion erklären. Setzt man diese auf ν=0, reduzieren sich die
Normalspannungen deutlich, die Schubspannung in der Mitte kommt in die Nähe des erwarteten Wertes. Man
beachte, dass sich das Vorzeichen in der Mitte geändert hat und negativ entsprechend der Balkentheorie ist (Die
Schubspannung zeigt nach oben, dieser Rand ist das negative Schnittufer, sodass die positive Richtung nach
unten zeigt).
Die Querkontraktion ist aber eine Materialeigenschaft, sodass nach Randbedingungen gesucht wird, mit denen
die Zwängungsspannungen abgebaut werden.
In Querrichtung gibt es keine Belastung, also genügt die Festhaltung zweier Punkte (zur Verhinderung der
Querverschiebung und der Verdrehung um die Längsachse). Dadurch bleiben die Vertikal- und die
Schubspannung erwartungsgemäß ähnlich zu den Werten bei fixierter Lagerung, aber die Querspannung
verringert sich deutlich, jedoch nicht auf null. Bei der Verteilung erkennt man allerdings, dass die verbleibende
Querspannung ein Effekt der Stegbiegung ist.
In vertikaler Richtung kann man nicht einfach die Festhaltung auf wenige Punkte beschränken, weil diese dann
zu Spannungssingularitäten führen würden (s.o.). Eine Variante ist, die Reaktionskraft durch eine Belastung
aufzunehmen. Diese wird wie am Lastende auf den Steg verteilt. Die Festhaltung erfolgt nur an der Schmalseite
des Steges. Das führt zu geringen Vertikal- und Querspannungen mit Extremwerten am Übergang von Steg zu
Flansch und zu Schubspannungen im erwarteten Bereich.
Eine Alternative ist die externe Verschiebung mit der Option flexibel. Hierbei wird die
Verschiebungsrandbedingung nur im Mittel erfüllt. Dadurch werden Zwängungen abgebaut. Allerdings treten
bei Anwendung der externen Verschiebung auf den ganzen Endquerschnitt noch erhebliche
Starter-Übungsunterlagen Seite 14
Zwängungsspannungen im Flansch auf. Wird die externe Verschiebung nur auf den Steg angewandt, liegen die
Spannungswerte wieder im Bereich der Lösung mit Gegenkraft.
Randbedingungen vertikal quer Steg
fixierte Lagerung,
ν=0,3
45,78 64,76 -29,51 … 6,02
fixierte Lagerung, ν=0 2,90 3,72 -1,92 … -6,88
uquer=0 nur zwei
Punkte, ν=0,3
40,93 23,82 -25,90 … 5,39
uquer=0 nur zwei
Punkte, usenkrecht=0 nur
kleine Linie,
ν=0,3
6,32 5,24 -0,24 … -7,76
uquer=0 nur zwei
Punkte, usenkrecht=0 als
externe Verschiebung
auf ganzen
Querschnitt,
ν=0,3
16,64 33,34 -2,15 … 3,
uquer=0 nur zwei
Punkte, usenkrecht=0 als
externe Verschiebung
auf Steg,
ν=0,3
6,13 5,13 -0,24 … -7,75
Abb. 1.18: Schubspannung ohne Querkontraktion
Starter-Übungsunterlagen Seite 15
Abb. 1.19: Koordinatensystem und Auswerte-Pfad
Abb. 1.20: Normalspannung quer
Merke:
Zu viele Festhaltungen führen in Zusammenhang mit Querkontraktion (und Wärmeausdehnung) zu erheblichen
Zwängungsspannungen.
Das kann hingenommen werden, wenn die festgehaltene Partie nicht ausgewertet wird. Bei Verwendung
nichtlinearen Materialverhaltens könnte es aber zu Versagen an der falschen Stelle kommen, bei adaptiver
Netzverfeinerung zu unsinniger Netzverdichtung.
Erfolgt ein Anschluss an eine Kopfplatte, sind (elastische) Zwängungen real.
Starter-Übungsunterlagen Seite 16
2 Elementeigenschaften an einem 2D-System
q [N/mm²]
Als Maße in mm werden gewählt:
h = 100
L = 1000
Sieht die vorgegebene Belastung auch wie eine Streckenlast aus, so wird sie in ANSYS als Flächenlast (Druck)
interpretiert. Insofern ist die Einheit N/mm² und die resultierende von der Dicke abhängig. Hier ist
q=10 N/mm²
Die Vernetzung soll bei Elementen ohne Mittenknoten mit 20 Elementen in der Länge und 2 über die Höhe
erfolgen, bei Elementen mit Mittenknoten hingegen mit 10 x 1, damit annähernd die gleiche Knotenzahl entsteht
(s. Abb.).
Dreieck- und Viereckelementmit Mittenknoten10 Elemente in der Länge
1 Element über die Höhe
Ausgangsvernetzung
Dreieck- und Viereckelementohne Mittenknoten20 Elemente in der Länge
2 Element über die Höhe
Ausgangsvernetzung
Betrachtet wird die maximale Gesamtverschiebung. In der Tabelle ist die oben beschriebene Vernetzung Netz 1,
die obere Zahl ist jeweils die Verschiebung, die untere die Knotenzahl, die Netze mit der höheren Nummer
entstehen jeweils durch Halbierung der Kantenlängen gegenüber dem vorigen Netz. Netz 0 hat 10 x 1 Elemente
ohne Mittenknoten.
Zunächst wird mit Netz 1 gerechnet. Für Vierecke ohne Mittenknoten wird zunächst die mit X1 gekennzeichnete
Spalte gefüllt.
Drei Elementtypen ergeben annähernd gleiche Durchbiegungen, das Dreieck ohne Mittenknoten deutlich
geringere. Was richtig ist, kann man herausfinden, indem man eine Netzverfeinerung vornimmt, hier bei den
Vierecken mit Mittenknoten. Die Lösung konvergiert in der Nähe von 75,80 mm.
Man erkennt:
Dreieckelemente ohne Mittenknoten sind viel zu steif.
Bei Elementen mit Mittenknoten liefern Drei- und Vierecke annähernd gleiche Durchbiegungen.
Starter-Übungsunterlagen Seite 17
Netz Dreieck ohne
Mitten-knoten
Viereck ohne
Mitten-knoten
X1
Dreieck mit
Mitten-knoten
Viereck mit
Mitten-knoten
Viereck ohne
Mitten-knoten
X2
Vier
eck
ohne
Mitte
nkno
ten
X3
0
1 40,88 mm
63 Knoten
75,59
63
75,09
63
75,11
53
67,48
63
100,
86
2 75,71
165
3 75,80
569
Netz Dreieck ohne
Mitten-
knoten
Viereck ohne
Mitten-
knoten
X1
Dreieck
mit
Mitten-
knoten
Viereck
mit
Mitten-
knoten
Viereck ohne
Mitten-
knoten
X2
Viereck ohne
Mittenknoten
X3
0 75,82
22
51,32
22
--
22
1 40,88 mm
63 Knoten
75,59
63
75,09
63
75,11
53
67,48
63
100,86
63
2 75,73
205
75,71
165
3 71,9
729
75,81
729
75,80
569
75,23
729
77,04
729
4 74,81
2737
76,14
2737
Das Ergebnis für Vierecke ohne Mittenknoten entspricht nicht den Erwartungen für eine Elementformulierung
nach der reinen Verschiebungsmethode. Ein Blick in die Hilfe trägt zur Aufklärung bei. Dazu muss durch Blick
in das ds.dat-File zunächst herausgefunden werden, um welchen Elementtyp es sich handelt. Man findet
ET,1,182
Dazu findet man in der Hilfe unter Input Summary die KEYOPTion(1)
Starter-Übungsunterlagen Seite 18
Die Erklärung für das gute Abschneiden der Elemente ist, dass die Enhanced-strain-Formulierung von ANSYS
automatisch eingestellt wurde. Zum Beweis wird die Option manuell gesetzt, indem folgende Befehle unter
Geometrie>Schalenkörper eingegeben werden:
ETCON,OFF ! ANSYS darf Optionen nicht ändern
KEYO,1,1,2 ! Elementformulierung auf enhanced strain setzen
Mit Netz 1 ergibt sich wieder 75,59 mm.
Nun wird die Keyoption auf 0 geändert. Man erhält 67,48 mm, erkennbar weniger als die konvergente Lösung.
Mit Keyoption(1) auf 1 (uniform reduced integration, X3) ergibt sich die Durchbiegung hingegen zu 100,86
mm, deutlich mehr als mit allen anderen Elementformulierungen.
Alle Elemente und Formulierungen konvergieren gegen denselben Wert jedoch sehr unterschiedlich schnell.
Dabei erfolgt mit reduzierter Integration ein Konvergenz von oben und mit enhanced strain eine nicht monotone
Konvergenz.
Mit den Elementen ohne Mittenknoten ist auch noch ein Netz 0 mit einem Element über die Höhe und 22
Knoten möglich.
Daraus ergeben sich folgende
Erkenntnisse
Vierecke ohne Mittenknoten nach der Standard-Verschiebungsmethode sind deutlich besser als Dreiecke ohne
Mittenknoten, aber schlechter als Mittenknoten-Elemente.
Mit speziellen Elementformulierungen wie hier mit enhanced strain (verbesserte Dehnung) werden Vierecke
ohne Mittenknoten Elementen mit solchen Knoten konkurrenzfähig (leider lässt sich diese Verbesserung nicht
auf Dreiecke übertragen).
Mit reduzierter Integration sind diese Viereckelemente zu weich, insbesondere bei Biegung.
Was hier für ebene Elemente ermittelt wurde, gilt auch für Volumenelemente. Dann werden aus Dreiecken
Tetraeder und aus Vierecken Hexaeder.
Erläuterungen
Bei Biegedominanz ergibt sich die Sollverformung wie in der unten stehenden Abbildung. Bei reiner Biegung
bleiben die Winkel unverändert, hier liegt Biegung mit Querkraft vor, die Winkeländerungen sollten aber gering
bleiben.
SollverformungSpannungs-/Dehnungsverlauf
über Höhe
in Achsrichtung
Betrachtet man nun das einfache Vier-Knoten-Element (X2), so erzeugt aufgrund der im Ansatz festgelegten
Kinematik dort Biegung (auch ohne Querkraft) Winkeländerungen, Diese Bedeuten aber Schub. Bei diesem
Element wirkt die Biegeverformung also gegen die Schubsteifigkeit. Bei schlanken Trägern ist die
Schubsteifigkeit aber relativ hoch, sodass die Durchbiegung zu klein wird. Bei sehr schlanken Trägern kann die
Lösung um Größenordnungen falsch sein. Dann nennt man den Effekt Locking, weil das Element blockiert, in
diesem Falle Shear-Locking.
Dieser Effekt tritt auch bei den 3-Knoten-Elementen auf.
Starter-Übungsunterlagen Seite 19
Der Unterschied zwischen beiden Typen liegt aber im Spannungsverlauf.
Der 3-Knoten-Ansatz enthält die Terme 1, x, y.
Dehnungen und damit Spannungen ergeben sich aus der
Ableitung, hier nach x: 0, 1, 0.
Das heißt, die Spannungen sind im ganzen Element konstant. Das entspricht aber nicht dem physikalischen
Verlauf. Die Gerade kann nur durch eine Treppenkurve abgebildet werden.
Der 4-Knoten-Ansatz enthält die Terme 1, x, y und xy,
die Ableitung nach x: 0, 1, 0 und y.
Dadurch kann der – physikalisch erforderliche – lineare Verlauf über die Höhe abgebildet, die Energie besser
bestimmt und dadurch ein besseres Ergebnis als beim Dreieck erzielt werden. In Achsrichtung ist jedoch auch
nur eine Treppenkurve möglich.
Verformung
4-Knoten-Ansatz
Spannungs-/Dehnungsverlauf
Winkeländerung
Verformung
3-Knoten-Ansatz
Spannungs-/Dehnungsverlauf
Winkeländerung
Beim quadratischen Ansatz im Drei- oder Viereck erlauben die Mittenknoten eine gute Anpassung an den
theoretischen Verlauf der Verformungen. Außerdem enthält der Ansatz gegenüber dem 4.Knoten-Element noch
mindestens
die Terme …, x², y²
und damit in der Ableitung nach x …, 2x, 0
sodass nicht nur über die Höhe, sondern auch in Achsrichtung ein linearer Verlauf der Spannungen abgebildet
werden kann. Spannungssprünge am Elementrand verschwinden nicht vollständig, werden aber geringer.
Verformung
6- bzw. 8-Knoten-Ansatz
Spannungs-/Dehnungsverlauf
kaum
Winkeländerung
Bei der reduzierten Integration wird statt 2 x 2 Gaußpunkten, die nötig wären, damit die numerische Integration
bei einem Rechteck exakt wird, nur ein Gaußpunkt verwandt. Dieser liegt in der Mitte. Dadurch wird die dem
Starter-Übungsunterlagen Seite 20
Shear-Locking zugrunde liegende Winkeländerung nicht bemerkt. Bei einem Element über die Höhe wird
allerdings überhaupt keine Dehnung am Integrationspunkt ermittelt. Das ist der Grund, warum mit dem Netz 0
eine Lösung nicht möglich ist. Bei zwei und mehr Elementen über die Höhe erfolgt eine Längsdehnung am
Integrationspunkt, die berechnete Energie ist aber zu klein, sodass die Verformung zu groß wird.
Verformung
4-Knoten-Ansatz
Spannungs-/Dehnungsverlauf
volle
reduzierteIntegration
Mit speziellen Elementformulierungen kann ein ähnlicher Effekt wie mit Mittenknoten erzielt werden. Bei der
Enhanced-strain-Formulierung wird zusätzlich zum Verschiebungansatz noch ein Ansatz für die Dehnungen
entsprechend der unten stehenden Abbildung gemacht. Dadurch werden sie zusammen in beiden Richtungen
linear, sodass ein Spannungsverlauf und damit eine Lösung ähnlich wie beim quadratischen Ansatz erzielt
werden kann.
enhanced strain (verbesserte Dehnungen)
Verläufe über Element
und
Starter-Übungsunterlagen Seite 21
3 Scheibe mit einspringender Ecke, Kerbspannungen
3.1 Scharfe Kerbe Zunächst wird zweidimensional mit einspringender Ecke, also scharfer Kerbe, gerechnet.
Hier sind die Abmessungen
h = 100 mm
q1 = 0
q2= 10 N/mm²
Dicke 1 mm
(Diese Scheibe gilt ANSYS als 2d-Solid, sodass auf den Rand ein Druck aufgebracht wird)
Die Randbedingungen sind
oberer Rand: UY=0
linker Rand: UX=0
Baustahl E=200000 N/mm²
2D-Analyse
q1
[N/mm(2)]
q2
[N/mm(2)]
Ermittelt wird hier die 1. Hauptspannung, die die Gefahr der Rissbildung am besten darstellt. Zu Beginn wird
eine Netzweite von 35 mm eingestellt, die ungefähr der Standardeinstellung entspricht. Dann wird an der
einspringenden Ecke durch Vorgabe einer Elementgröße auf den Eckpunkt lokal verfeinert, jeweils durch
Größenhalbierung. Die Spannung steigt immer weiter an, zuletzt überproportional, sodass mit Konvergenz nicht
zu rechnen ist. Es liegt eine Spannungssingularität vor (σ → ∞).
Netzweite [mm]
global 35
lokal
1max
35 189,1
17,5 259,9
8,75 323,7
4,375 514,3
Starter-Übungsunterlagen Seite 22
Abb. 3.1: Netzweite 35 mm
Abb. 3.2: Netzweite35, lokal 8 mm
3.2 Ausrundung Als Nächstes wird eine Ausrundung (Tangentialbogen) eingeführt, beginnend mit dem Radius 30 mm. Die
lokale Elementgröße wird nun für den Bogen vorgeschrieben (strikt), und zwar als Anzahl der Einteilungen.
Setzt oder lässt man Erweiterte Größenfunktionen Ein:Krümmung erhält man recht gute Übergänge. Die
Spannungen konvergieren.
Starter-Übungsunterlagen Seite 23
Netzweite
global:
Erweiterte Größenfunktion Krümmung
lokal: Anzahl Einteilungen
1max
1 152,2
2 214,6
4 206,0
8 205,7
16 205,8
Abb. 3.3: 1 Element auf Bogen, Rand vom Vernetzer begradigt
Abb. 3.4: 2 Elemente auf Bogen
Starter-Übungsunterlagen Seite 24
Abb. 3.5: 16 Elemente auf Bogen
3.3 Parametervariation Als nächstes wird die Abhängigkeit der 1. Hauptspannung vom Radius studiert. Dazu werden beide Größen als
Parameter eingeführt, die Zahl der Einteilungen auf dem Bogen auf 8 festgesetzt. Die Vorgabe einer
Elementgröße würde bei kleinen Radien zu zu wenigen Elementen führen und so einen Vergleich verhindern.
Abb. 3.6: Abhängigkeit der 1. Hauptspannung vom Radius
Abb. 3.6 zeigt den Zusammenhang zwischen Radius und Hauptspannung in der erwarteten Weise: mit
abnehmendem Radius steigt die Spannung an; der Übergang zur Singularität bei Radius gegen 0 ist vorstellbar.
Starter-Übungsunterlagen Seite 25
4 Optimierung
4.1 Freistich, 1 Parameter Nun wird die Ausrundung in der Skizze durch einen Kreis mit dem Mittelpunkt in der einspringenden Ecke
ersetzt. Der Radius wird wieder zu einem Parameter erklärt. Weil nun statt eines Viertelkreises ein
Dreiviertelkreis vorliegt, wird für das Netz am Kreis 3 x 8 = 24 Elemente vorgegeben. Zur Vorbereitung der
Optimierung wird wieder eine Parametervariation durchgeführt. Dieser Schritt ist nicht zwingend, man erfährt
aber, ob überhaupt ein lokales Extremum existiert.
Abb. 4.1: Hauptspannung über Radius beim Freistich
In Abb. 4.1 ist zu sehen, dass sowohl ein kleiner Radius wegen der erhöhten Kerbwirkung als auch ein großer
Radius wegen der Querschnittsschwächung zu großen Spannungen führt. Es ist also möglich, eine Optimierung
ohne Nebenbedingungen durchzuführen, nämlich den Radius so zu bestimmen, dass die Spannung minimal
wird. Die in der Optimierung benutzten Variablen werden gemeinhin als
- Design-Variablen (durch den Optimierer veränderliche Parameter) und
- Zielfunktion (zu minimierender oder maximierender Wert)
- State-Variablen für Nebenbedingungen (insbesondere Ungleichheitsnebendingungen, hier aber noch
nicht)
bezeichnet. Unter den Parametern wird nun eine Zielgesteuerte Optimierung eingeführt. Diese besteht aus
- Design of Experiment (DoE), deutscher Begriff statistische Versuchsplanung
- Antwortfläche
- Optimierung
Es handelt sich insgesamt um eine Antwortflächen-(Response-Surface-)Methode, bei der zunächst einige Werte
für die Designvariablen gewählt und dazu die abhängigen Parameter errechnet werden. Dann werden dazu
Antwortflächen bestimmt, d.h. die Abhängigkeit eines Wert von den Designvariablen wird durch eine einfache
mathematische Funktion angenähert. Gut geeignet für die Zielfunktion ist ein quadratisches Polynom, weil
dessen Minimum leicht bestimmbar ist. Im dritten Schritt wird auf der Basis der Antwortflächenfunktionen das
Minimalproblem gelöst.
Nach Öffnen des Teils DoE kann nach Anklicken von DoE-Optimierungsmethode die Ausrichtung der DoE-
Optimierungsmethode bestimmt werden. Central Composite Design (gleichmäßige Verteilung mit Stützstellen
am Rand) und Optimale raumfüllende Konstruktion (mit den äußeren Stützstellen nahe dem, aber nicht auf dem
Rand) sind am leichtesten verständlich. Hier wird Central Composite Design gewählt.
Starter-Übungsunterlagen Seite 26
Nach Anklicken einer Designvariable muss eine obere und untere Schranke eingegeben werden. Daraufhin
werden die Stützstellen durch Klicken auf Vorschau generiert. Hier soll der Radius zwischen 2 und 80 variiert
werden können. Dazu wird
generiert. Nach Aktualisieren, d.h. Berechnen der abhängigen Parameter (bereits in der Parametervariation
vorhandene Stützstellen werden einfach übernommen) erhält man
graphisch
Abb. 4.2: Spannung über Radius nach DoE
In der Sektion Antwortfläche wird unter Antwortfläche die Standardantwortfläche - vollständige Polynome 2.
Ordnung angeboten. Nach Aktualisieren wird sie wie in Abb. 4.3 dargestellt. Man sieht Werte der
Annäherungsfunktion. Auch Neue Ergebnispunkte werden entsprechend interpoliert.
Starter-Übungsunterlagen Seite 27
Abb. 4.3: Antwortfläche für Spannung über Radius
In der Sektion Optimierung müssen nun die Variablen klassifiziert werden:
- die Designvariable erhält kein Ziel
- die Zielfunktion wird auf Minimieren gesetzt.
Die Optimierungsmethode Screening (Abtasten der Antwortfläche) hat sich in Workbench 14 als stabiler als
NLPQL erwiesen, ergibt aber nach Aktualisieren drei Lösungen:
Kandidat A liefert die kleinste Spannung, allerdings auf der Basis der Interpolation über die Antwortfläche. Es
ist zu prüfen, ob dieser Wert auch tatsächlich vom FE-Modell errechnet wird. Verifikation durch Update der
Design Points unter der rechten Maustaste über dem Kandidaten ergibt als Verifikation:
Die Abweichung beträgt nur 1,73 N/mm² und damit weniger als 1%. Bei größeren Abweichungen müsste das
Optimierungsproblem neu aufgesetzt werden, z.B. indem man die Grenzen verändert, am besten um das
vermeintliche Optimum zusammenzieht.
Hier aber kann mit der Auswertung begonnen werden, indem man durch Rechtsklick Als Design Point einfügen
wählt, die Optimierung schließt, zum Parametersatz wechselt und diesen neuen Designpunkt in den aktuellen
kopiert. Nach der Aktualisierung stellt sich aber heraus, dass der Wert für Radius 20 400 beträgt und damit
kleiner ist. Um das aufzulösen könnte auch ein kleineres Intervall für den Radius gewählt werden. Gleichwohl
in Abb. 4.4 ein Spannungsplot für Radius 22,361.
Starter-Übungsunterlagen Seite 28
Abb. 4.4: System und Spannung bei optimiertem Radius
4.2 Optimierung mit Nebenbedingung - Der Radius wird jetzt nur noch zwischen 2 und 40 variiert. Er bleibt Designvariable.
- Zielfunktion wird das Volumen. Es ist zu minimieren.
- Nebenbedingung wird, dass die maximale Hauptspannung 450 N/mm² nicht überschreitet (Werte <=
Ziel, Abb. 4.6).
Wenn sich eine Fehlermeldung bei der Berechnung an den einzelnen Stützstellen ergibt, kann die DoE-Methode
auf Benutzerdefiniert umgestellt werden und der betreffende Wert leicht verändert werden.
Die Antwortfläche für das Volumen stellt sich folgendermaßen dar:
Abb. 4.5: Antwortfläche für Volumen über Radius
Das Volumen wird also in einem Bereich kleiner, in dem die Spannung größer wird. Somit liegt ein geeignetes
Optimierungsproblem mit Nebenbedingung vor.
Starter-Übungsunterlagen Seite 29
Abb. 4.6: Klassifizierung der Optimierungsvariablen
Abb. 4.7: Optimierungsergebnis
Kandidat A erfüllt die Bedingungen wieder am besten; außerdem zeigt die Verifikation hervorragende
Übereinstimmung. Abb. 4.8 zeigt Spannung und überhöhte Verformung.
Abb. 4.8: System und Spannung bei minimiertem Volumen
4.3 Optimierung mit zwei Designvariablen Die Ergebnisse der bisherigen Optimierung waren spätestens nach der Parametervariation vorhersehbar. Etwas
anders sieht es aus, wenn es mehrere Designvariablen gibt. Im System aus Abb. 4.9 werden die Koordinaten des
mittleren Punktes eines Splines durch drei Punkte, ausgedrückt durch die Abmessungen H8 und V13 variiert
(Designvariablen). Das Volumen soll minimiert werden (Zielfunktion), die Spannung 450 N/mm² nicht
überschreiten (Nebenbedingung). Die Netzweite an den beiden Linien, die die Ecke bilden, wird auf 5 mm
eingestellt (Ergebnis s. Abb. 4.10).
Die Grenzen für H8 werden vorerst auf 100 und 190 mm eingestellt, die für V13 auf 50 und 150. In DoE
werden 9 Stützstellen generiert.
Starter-Übungsunterlagen Seite 30
Abb. 4.9: Ausrundung mit Spline
Abb. 4.10: Netz in Ausgangsentwurf
Abb. 4.11 zeigt die Antwortflächen im 3d-Modus. Man erkennt die unterschiedlich starken Abhängigkeiten,
ferner dass bei minimalem Volumen die größte Spannung vorliegt. So besteht die Chance auf ein
Optimierungsergebnis. Das Screening liefert Ergebnisse, die Verifikation ist gut, allerdings ist der Abstand zur
Spannungsobergrenze noch recht groß (Abb. 4.12). Das könnte richtig sein, wenn es ein lokales Optimum (ohne
Nebenbedingung) gäbe, danach sieht die Antwortfläche aber nicht aus. Als Abhilfe wird der Definitionsbereich
für die Abmessung V13 in der Optimierung geändert, d.h. die Antwortflächen bleiben gleich, aber der
Suchbereich wird eingeschränkt, und zwar um den genannten optimalen Wert herum. Das führt zu dem
Ergebnis aus Abb. 4.13.
Starter-Übungsunterlagen Seite 31
Abb. 4.11: Antwortflächen
Abb. 4.12: Erstes Optimierungsergebnis und Verifikation
In Abb. 4.13 erkennt man, dass nach der Vorhersage über die Antwortfläche die Spannung den maximalen Wert
erreicht, nach der Verifikation, deren Abweichung mit gut 2% immer noch gut ist, die Obergrenze aber
überschritten wird. Wenn das nicht akzeptabel ist, könnte man dem abhelfen, indem man die Grenze senkt (z.B.
auf 440) oder eine neue Optimierung, beginnend bei DoE, mit verengten Grenzen durchführt. Das hat
schließlich den gewünschten Erfolg (Abb. 4.14). Das Volumen ist gegenüber dem ersten Ergebnis weiter
reduziert. Das optimierte Ergebnis (Abb. 4.15) zeigt, obwohl dies keine Zwangsbedingung war, einen glatten
Übergang zwischen gerader Kante und Spline in der vormaligen Ecke.
Starter-Übungsunterlagen Seite 32
Abb. 4.13: Optimierungsergebnis und Verifikation mit eingeschränkten Definitionsbereich
Abb. 4.14: neues Optimierungsergebnis
Abb. 4.15: optimiertes System
Starter-Übungsunterlagen Seite 33
5 Lineare Beulanalyse Wie oben ergeben sich die Abmessungen aus
h = 100 mm
Dicke 1 mm
Die Belastung ist
q1 = 0
q2= 10 N/mm (Richtung nach Abb. 5.1, -10 N/mm² nach Aufgabenheft)
Die Last ist als Druck zu orientieren.
In diesem 3d-Modell wird das Flächenmodell als Schale interpretiert. Die Last auf den Rand ist dabei eine
Streckenlast, die in Workbench Liniendruck heißt.
Die Randbedingungen sind wieder
oberer Rand: UY=0
linker Rand: UX=0
umlaufender Rand: UZ=0
Baustahl E=200000 N/mm²
3D-Analyse
q2
[N/mm]
Abb. 5.1: System, Lasten und Randbedingungen für Beulanalyse
Die Netzweite wird auf 10 mm eingestellt.
Die lineare Beulanalyse beruht auf der Tatsache, dass Längsvorspannungen, bei Flächenträgern
Membranspannungen genannt, Einfluss auf die Biegesteifigkeit haben. Ein Beispiel ist die Instrumentensaite,
die im lockeren Zustand keine Querlast aufzunehmen vermag, wohl aber im gespannten Zustand. Außerdem
weiß man, dass sich die Tonhöhe, also die Eigenfrequenz, mit der Vorspannung ändert. Die Frequenz ist
abhängig von der Steifigkeit und der Masse. Da die schwingende Masse beim Stimmen nur wenig verändert
wird, muss sich also die Steifigkeit ändern. Dieser Effekt wird durch die Spannungs-Versteifungsmatrix S
abgebildet, die linear von den Spannungen abhängig ist. Das Gleichungssystem, im Linearen
fKu
wird nun um den Versteifungsanteil erweitert:
fuσSK )(
Starter-Übungsunterlagen Seite 34
Für die lineare Beulanalyse wird nun eine Referenzbelastung f0 aufgebracht, die die Form der Last beschreibt.
Daraus lässt sich eine Spannungsverteilung σ0 und eine Versteifungsmatrix S0(σ0) berechnen. Auch die
Abhängigkeit der Spannung von Belastung ist linear. Für eine um einen Faktor λ erhöhte Last gilt dann:
00 σfσ und 000 )()( SσSσS
mithin
0000 ))(()( SfσSfS
Das Gleichungssystem wird dann zu
fuSK 0
Negative Spannungen führen zu einer Schwächung anstelle einer Versteifung. Nun ist die Fragestellung:
Um welchen Faktor λ muss die Referenzlast f0 gesteigert werden, damit die Schwächung so groß ist, dass eine
Verschiebungsänderung φ ohne Zusatzlast möglich ist, was in Formeln
0φSK 0
lautet. Das ist ein allgemeines Matrizeneigenwertproblem, das neben der Triviallösung φ=0 nur dann eine nicht-
triviale Lösung hat, wenn die Determinante null wird. Dann ist die Lösung allerdings nur bis auf einen Faktor
bestimmt. In der Praxis wird nicht die Determinante bestimmt, sondern eine Vektoriteration, evt. in Verbindung
mit Umformungen der Matrix durchgeführt.
Erster Schritt der praktischen Durchführung ist die Ermittlung des Spannungszustandes infolge der
Referenzbelastung. Dargestellt ist hier die 3. Hauptspannung (Min. im Hauptachsensystem), weil sie die
betragsgrößten Druckspannungen, Voraussetzungen für Beulen, enthält.
Abb. 5.2: 3. Hauptspannung unter Referenzbelastung
5.1 Beulanalyse des Grundsystems Auf der Projektseite wird eine Lineare Beulanalyse in die Lösung der statisch-mechanischen Analyse geschoben
und so die Verbindung zur Spannung aus der Referenzbelastung hergestellt. Unter den Analyseeinstellung sollte
als Anzahl Moden eine Zahl größer als eins eingestellt werden, um sicherzustellen, dass man nicht mehrere
gleich große Eigenwerte erhält (Clusterung der Eigenwerte), was bedeuten würde, dass verschiedene
Eigenformen und ihre Linearkombinationen als Beulformen gleich wahrscheinlich wären.
Starter-Übungsunterlagen Seite 35
Die Beulanalyse liefert im vorliegenden Fall:
Das heißt, dass die erste kritische Last bei
mmNqkrit /8,11018,01,
liegt. Die Beulformen sind so skaliert, dass ihre maximale Verschiebung 1 beträgt, und zeigen unterschiedliche
Halbwellenzahlen. Dabei sind blaue Zonen Täler und rote Berge.
Abb. 5.3: 1. Beuleigenform
Abb. 5.4: 2. Beuleigenform
Starter-Übungsunterlagen Seite 36
Abb. 5.5: 3. Beuleigenform
5.2 Erhöhung der kritischen Last durch Steifen Die kritische Last ist deutlich kleiner als die aufgebrachte. Deshalb soll versucht werden, die Beullast durch
Anordnung von Steifen zu erhöhen. Diese haben in einem ersten Versuch die Abmessungen 20 x 2 mm. Wo die
Steifen am besten angebracht werden, sagen die Beulformen, nämlich dort, wo die maximalen bzw. minimalen
Verformungen vorliegen.
In der ersten Beulform ist das etwa die Mitte. Diese kann durch eine Längs- oder Quersteife gestützt werden. Da
die Quersteife kürzer ist, wird zunächst diese gewählt. Die Steife wird nur angeschlossen, nicht gelagert, wobei
die bisherigen Festhaltungen und Belastungen aber überprüft und ggf. ergänzt werden müssen, wobei zu
beachten ist, dass ein „Liniendruck“ (eine Streckenlast) nur auf ein Linie aufgebracht werden kann, bei Teilung
der Linie also ein zweiter Liniendruck definiert werden muss.
Jetzt liefert die Beulanalyse
Der Lastmultiplikator ist deutlich angehoben, weil die bisherige erste Beulform nicht mehr auftreten kann. In
der neuen ersten Eigenform ist rechts eine Teilbeule zu sehen, die bereits in der ursprünglichen zweiten und
dritten Form erkennbar war.
Das ist ein Grund, warum man stets mehrere Eigenwerte und –formen berechnen sollte. Der andere ist, dass es
mehrfache Eigenwerte geben könnte, d.h. dass mehrere Eigenwerte gleicher Größe berechnet werden, zu denen
aber unterschiedliche Beulformen gehören. Dann ist jede Linearkombination dieser Formen eine mögliche
Beulform bei dieser Laststufe. Schließlich verbessert sich bei den iterativen Verfahren auch die Genauigkeit der
unteren Eigenwerte, wenn mehr Werte berechnet werden.
Starter-Übungsunterlagen Seite 37
Abb. 5.6: 1. Beuleigenform mit Quersteife
Zur Unterdrückung der verbleibenden Beule wird eine Längssteife eingesetzt, zunächst eine halbe rechts, dann
ein ganze, weil das linke Feld auch eine Beule (in Gegenrichtung) aufweist.
Halbe Längsteife
Abb. 5.7: 1. Beuleigenform mit Quer- und halber Längssteife
Starter-Übungsunterlagen Seite 38
Ganze Längssteife
Abb. 5.8: 1. Beuleigenform mit Quer- und ganzer Längssteife
Auch die letzte halbe Steife erhöht die kritische Last erheblich. Insgesamt steigt diese durch den Einsatz der
Steifen von 0,19 auf 2,13, also um den Faktor 11,7.
Lohnt sich der Einsatz von Steifen gegenüber der Erhöhung der Dicke?
Hier kann natürlich nur der Materialeinsatz berücksichtigt werden, die Kostenfrage muss gesondert untersucht
werden.
Die kritische Last ist proportional zum Trägheitsmoment, dieses proportional zur dritten Potenz der Dicke.
Folglich benötigt man für die gleich Beullasterhöhung eine Dickenvergrößerung um dem Faktor
27,27,113 .
Das benötigte Material vergrößert sich also um
3723001*)127,2(*200*100*3 mmA
Das Volumen der Steifen zusammen ist nur
324000)400200(*20*2 mmASteifen
Anmerkung: In diesem Beispiel sind die Steifen dicker als die auszusteifende Platte. Das ist sicher
ungewöhnlich. Die Effekte lassen sich aber auch bei anderen Verhältnissen zeigen.
5.3 Variation der Steifenabmessungen Die Abmessungen der Steife waren willkürlich gewählt. Das Bauteil muss gewährleisten, dass
die Biegesteifigkeit um die starke Achse groß genug ist, um die Beulen des unversteiften Systems
unterbrechen zu können
die Biegesteifigkeit um die schwache Achse groß genug ist, dass die Steife nicht beult (diese spezielle
Form des Beulens heißt Kippen). Die Gefahr ist andeutungsweise in Abb. 5.6 und Abb. 5.8 erkennbar.
Starter-Übungsunterlagen Seite 39
Weil die einzelnen Steifen durch Kopieren und Verschieben entstanden sind, wird die Höhe für alle gleich
variiert. Soll die Höhe einer einzelnen Steife untersucht werden, muss eine andere Vorgehensweise bei der
Erstellung der Geometrie gewählt werden. Die Dicke wird nur für den zweiten Teil der Längssteife verändert.
Designvariablen sind Höhe und Dicke,
Zielfunktion der erste Lastmultiplikator.
Abb. 5.9: Lastmultiplikator in Abhängigkeit von der Steifenhöhe
Abb. 5.9 zeigt die Abhängigkeit des Beulwertes von der Höhe bei Beibehaltung der Dicke 2 mm. Man erkennt,
dass der Lastmultiplikator bis zu einem bestimmten Wert deutlich, dann nur noch geringfügig ansteigt.
Abb. 5.10: 1. Beulform bei Höhe 5 mm
Wie in Abb. 5.10 zu sehen, ist bei 5 mm Höhe die Steife noch nicht in der Lage, die Beule zu unterbrechen.
Gleichwohl steckt in der Beulform mehr Energie als in der des unversteiften Systems, was man daran erkennt,
dass die kritische Last deutlich höher ist.
Starter-Übungsunterlagen Seite 40
Abb. 5.11: Lastmultiplikator in Abhängigkeit von der Steifendicke
Die Variation der Dicke bei Höhe 20 mm zeigt führt anfänglich zu einer sehr steil ansteigenden Beullast, dann
plötzlich nur noch zu einer langsamen Erhöhung (Abb. 5.11). Ursächlich ist, dass es bis zu einem bestimmten
Dicke zum Steifenbeulen kommt (Abb. 5.12 für 3 mm), dann nur noch der Beitrag der Dicke zum
Trägheitsmoment um die starke Achse entscheidend ist. In Abb. 5.13 unterbricht die Steife mit 0,7 mm die
Beule und wird nur durch diese mit verformt. 1 mm Dicke wie die Blechdicke der Platte wäre also allemal
ausreichend. Noch geringere Dicken ließen sich erreichen, wenn die Steife selbst wieder ausgesteift würde. So
erreicht das System mit einer L-förmigen Steife mit Dicke 0,2 mm den Beulwert 1,93 (Abb. 5.14) während die
einfache Steife mit 0,2 mm nur zum Lastmultiplikator 0,63 führt
Abb. 5.12: 1. Beulform bei Dicke 0,3 mm
Starter-Übungsunterlagen Seite 41
Abb. 5.13: 1. Beulform bei Dicke 0,7 mm
Abb. 5.14: 1. Beulform bei L-förmiger Steife mit Dicke 0,2 mm
Starter-Übungsunterlagen Seite 42
6 Modalanalyse Für die Modalanalyse werden die Steifen wieder entfernt.
Bei der Modalanalyse wird vorausgesetzt, dass der zeitliche Verlauf der Schwingung sinusförmig ist:
tt sinˆ)( uu
Folglich ist die zweite Ableitung, die Beschleunigung
tt sinˆ)( 2uu
Dies eingesetzt in die Bewegungsgleichung
)(tfuMKu
die besagt, dass innere Kräfte (Steifigkeit mal Verschiebung), Trägheitskräfte (Masse mal Beschleunigung) und
äußere Kräfte im Gleichgewicht stehen müssen:
)(sinˆ2 tt fuMK
Berücksichtigt man, dass eine Eigenschwingung zwar angeregt wird, dann aber keine Laständerung vorliegt,
wird die rechte Seite 0. Da Amplitude und Zeitverlauf nicht permanent 0 sein sollen, muss der Term in der
Klammer (genauer dessen Determinante) 0 werden. Zur Kennzeichnung, dass hier ein Eigenwertproblem zu
lösen ist, wird die Amplitude der Knotenverschiebungen durch φ ersetzt, sodass man
0φMK 2
erhält. ω ist die Eigenkreisfrequenz,
M die Massenmatrix.
Weil man ω² durch λ ersetzen kann, liegt wieder ein lineares Eigenwertproblem vor.
6.1 Einfache Modalanalyse Zunächst soll eine Modalanalyse ohne Vorspanneffekte durchgeführt werden. Da aber eine Analyse mit
Vorspannung folgen soll, wird dies gleich vorgesehen. Das hat den weiteren Vorteil, dass die Randbedingungen
mit übertragen werden.
Da keine Last 0 akzeptiert wird, wird der Liniendruck zunächst auf 10-9
gesetzt. Abb. 6.1 bis Abb. 6.5 zeigen
die ersten fünf Schwingungseigenformen. Sie sind dadurch gekennzeichnet, dass die Zahl der Halbwellen
zunimmt, vornehmlich in Richtung der größeren Abmessung. Die erste Schwingungsform ähnelt der ersten
Beulform, bei der zweiten stimmen noch die Halbwellenzahlen überein.
Abb. 6.1: 1. Schwingungseigenform
Starter-Übungsunterlagen Seite 43
Abb. 6.2: 2. Schwingungseigenform
Abb. 6.3: 3. Schwingungseigenform
Abb. 6.4: 4. Schwingungseigenform
Starter-Übungsunterlagen Seite 44
Abb. 6.5: 5. Schwingungseigenform
Abb. 6.6: erste drei Beulformen
Die Bedeutung der Eigenformen und -frequenzen wird in der transienten Analyse noch untersucht.
6.2 Vorgespannte Modalanalyse Bei der Modalanalyse unter Berücksichtigung von Vorspanneffekten geht das Eigenwertproblem in
0φMSK2
über, wobei S die schon beim Beulen genannte, für die Vorspanneffekte verantwortliche
Spannungsversteifungsmatrix ist.
Die Beuleigenwerte bei einer Belastung von q=10 N/mm² – das wird in der vorgespannten Analyse noch eine
Rolle spielen – waren
Abb. 6.7: Lastfaktoren bei q=10
Nun wird der Druck variiert, von negativ (Zug) auf verschiedene Laststufen im Druckbereich.
q=-2,0 q≈0 q=1,0 q=1,7 q=1,9 q=3,0 q=4,2 q=4,4
Starter-Übungsunterlagen Seite 45
Durch Aufbringung einer Zugbelastung steigen die Eigenfrequenzen, wie man es ja auch von einer
Instrumentensaite kennt. Die ersten Eigenformen verändern sich kaum.
Letzteres gilt auch für die Druckbelastungen q=1 und q=1,7, allerdings sinken hier erwartungsgemäß die
Eigenfrequenzen, weil ja eine Schwächung vorliegt.
Abb. 6.8: erste drei Schwingungseigenformen, q=1,9
Starter-Übungsunterlagen Seite 46
Abb. 6.9: 4. Schwingungseigenform, q=1,9
Bei q=1,9 scheinen die Eigenfrequenzen plötzlich wieder anzusteigen. Allerdings fehlt plötzlich die Eigenform
mit nur einer Halbwelle, während die vorhandenen der jeweils höheren bisherigen Eigenform entsprechen.
Bei q=3,0 und q=4,2 setzt wieder eine Reduzierung der Eigenfrequenzen ein, mit q=4,4 wieder ein Sprung. Nun
verschwindet auch die ursprünglich zweite Eigenform, während die folgenden erhalten bleiben (Abb. 6.12 bis
Abb. 6.13). Bis q=4,2 war sie aber vorhanden (Abb. 6.10), jedoch ähnelt sie mehr der Beulform zur Last
0,433*10=4,33 als der zweiten Schwingungseigenform des unbelasteten Systems (Abb. 6.11).
Abb. 6.10: 1. Schwingungseigenform, q=4,2
Abb. 6.11: Beulform zur Last q=4,33 (links), 2. Schwingungseigenform ohne Vorspannung (rechts)
Starter-Übungsunterlagen Seite 47
Abb. 6.12: 1. Schwingungseigenform, q=4,4
Abb. 6.13: 2. und 3. Schwingungseigenform, q=4,4
Grund für dieses Verhalten ist das Überschreiten der kritischen Lasten aus der linearen Beulanalyse. Würde man
dort eine kritische Last aufbringen ergäbe sich der Lastmultiplikator λ=1, das Gleichungssystem lautete mithin
0φSK
Starter-Übungsunterlagen Seite 48
wobei die Determinante der Systemmatrix (Klammer) 0 sein muss. Geht man nun zum
Schwingungseigenwertproblem
0φMSK2
über, wird die Determinante der Systemmatrix für ω2=0 null, bei Überschreiten einer kritischen Last würde
ω2<0. Dann wäre die Eigenfrequenz die Wurzel aus einer negativen Zahl, also imaginär, was bei der
ungedämpften Schwingung physikalisch keine Bedeutung hat. Deshalb wird diese Lösung unterdrückt, was das
Verschwinden der ersten Eigenformen erklärt.
An einem kritischen Punkt – kritisch im Sinne der Stabilität – fallen die Schwingungseigenform und die
Beulform zusammen. So kann die Modalanalyse mit Vorspannung auch zum Erkennen eines
Stabilitätsproblems und der möglichen Beulform genutzt werden.
6.3 Vorgespannte Modalanalyse und unsymmetrischer Löser Fügt man in die statisch-mechanische Analyse die Befehlszeile
NROPT,UNSYM
ein, wird die Systemmatrix so gespeichert, als sei sie unsymmetrisch, und ein entsprechender Gleichungslöser
aktiviert. Das ist Voraussetzung dafür, dass in der Modalanalyse die Befehlszeile
MODOPT,UNSYM,6
zur Eigenwertberechnung ein Löser für unsymmetrische Matrizen verwandt werden kann. Unsymmetrische
Matrizen können komplexe Eigenwerte haben. Daher wird der Imaginärteil nicht unterdrückt, obwohl die
Matrix tatsächlich natürlich symmetrisch bleibt.
Ergebnis der Modalanalyse mit Löser für unsymmetrische Matrix
q=1,7 q=1,9 q=4,4
Ergebnis der Modalanalyse mit Löser für symmetrische Matrix
q=1,7 q=1,9 q=4,4
Starter-Übungsunterlagen Seite 49
Abb. 6.14: Eigenform zum imaginären Eigenwert bei q=1,9 N/mm² (links), erste Beulform (rechts)
Abb. 6.15: Eigenform zum betragskleinsten imaginären Eigenwert bei q=4,3 N/mm² (links), zweite Beulform
(rechts)
Der Vergleich des angezeigten Eigenwertspektrums bei symmetrischem und bei unsymmetrischem Löser zeigt,
dass beim symmetrischen die nach Überschreiten einer Beullast imaginären Eigenwerte unterdrückt werden, die
reellen aber übereinstimmen. Die Eigenform zum imaginären Eigenwert, der am nächsten bei null liegt,
entspricht der jeweiligen Beulform.
Starter-Übungsunterlagen Seite 50
7 Transiente Berechnung
7.1 Konstante Belastung Für die transiente Berechnung, also die Berechnung des zeitabhängigen Verhaltens, wird zunächst eine über die
Zeit konstante Belastung untersucht. Als Erstes wird eine Kraft dort positioniert, wo die Schwingungseigenform
ihr Maximum hat, in der Hoffnung, damit eine zur Eigenform ähnliche Verformung anzuregen. Es wird eine
externe Kraft gewählt, die auf die Fläche verteilt wird, insbesondere weil an der Stelle kein Geometriepunkt
vorliegt. Die Größe der Kraft ist belanglos.
Abb. 7.1: Lage der Belastung (eine Kraft)
Abb. 7.2: statische Lösung (eine Kraft)
Die statische Lösung stimmt nicht genau mit der ersten Schwingungsform überein, aber doch weitgehend. In der
transienten Berechnung erkennt man im Wesentlichen eine Schwingung (Abb. 7.3). Der zeitliche Abstand
zweier Spitzen beträgt näherungsweise (durch Ablesen der Zeit zweier berechneter Punkte in Abb. 7.3 und ):
22 1061,110)22,783,8(t
Die erste Eigenfrequenz ohne Vorspannung betrug 63,49 Hz. Das entspricht einer Schwingungsdauer von
Starter-Übungsunterlagen Seite 51
sT 2
1 1058,149,63/1
Das stimmt gut mit ΔT überein. Abweichungen erklären sich dadurch, dass die Ablesepunkte nicht genau die
gleiche Phase der Schwingung darstellen und dass die angeregt Verformung nicht exakt der Eigenform
entspricht, sodass weitere Eigenformen angeregt werden, was auch an den leicht unterschiedlichen Ausschlägen
erkennbar ist.
Abb. 7.3: Schwingung infolge einer Belastung mit einer konstanten Kraft
Abb. 7.4: Schwingung infolge einer Belastung mit einer konstanten Kraft, zweiter Ablesepunkt
Bei einer Belastung mit zwei konstanten Kräften, die entgegengesetzt wirken, die im Minimum und Maximum
der zweiten Eigenform angreifen und im ersten Versuch vom gleichen Betrage sind (Abb. 7.5) ergibt sich aus
Abb. 7.6, dass hier mindestens zwei Frequenzen angeregt werden, erkennbar an den unterschiedlichen
Ausschlägen. Aus zwei großen Ausschlägen (Abb. 7.6) ergibt sich
1
22 1076,110)16,792,8( Tst
was noch ungefähr der Schwingungsdauer der ersten Eigenschwingung entspricht. Die zweite beträgt
sT 2
2 1092,01,109/1
Aus zwei benachbarten Spitzen (Abb. 7.6) erhält man
st 22 1095,010)16,711,8( bzw. st 22 1081,010)11,892,8(
Das ist sicher die richtige Größenordnung für die zweite Eigenschwingungsdauer, die Übereinstimmung hängt
aber von der Auswahl der Ablesepunkte ab.
Starter-Übungsunterlagen Seite 52
Abb. 7.5: Lage der Belastung mit zwei Kräften
Starter-Übungsunterlagen Seite 53
Abb. 7.6: Schwingung infolge einer Belastung mit zwei entgegengesetzt gleich großen Kräften
Wenn man die Ablesung an zwei Punkten vornimmt, an denen der Zeitverlauf etwa das gleiche Muster zeigt,
kann man die Eigenschwingung noch besser identifizieren, wenn man auch die Anzahl der Ausschläge
dazwischen einbezieht:
2
22 1093,05/10)11,875,12( Tst
Die zweite Eigenschwingung isoliert anzuregen, gelang vor allem deshalb nicht, weil die Belastung die
zugehörige Eigenform nicht genau genug anregte: In der Eigenform ist das Verhältnis von minimaler zu
maximaler Durchbiegung
75,12,78
1,137
in der statischen Lösung bei gleich großen Kräften
96,6442,0
078,3
bei Kraft links -100 N und rechts 50 N ergibt sich annähernd 1,0. Daraus lässt sich interpolieren, dass die Kraft
rechts etwa 60 N sein sollte. Damit ist das Durchbiegungsverhältnis
72,175,0
29,1
Das sollte genügen.
Starter-Übungsunterlagen Seite 54
Die elegantere Lösung ist natürlich, einmal nur die linke, einmal nur die rechte Kraft aufzubringen, in beiden
Fällen die Durchbiegung an den beiden Stellen zu bestimmen und anschließend zu errechnen, welche
Linearkombination zu den gewünschten Verschiebungen führt.
Abb. 7.7: Schwingung bei konstanten Kräften -100/60 N
Nun erkennt man in Abb. 7.7, dass im Wesentlichen eine Eigenschwingung angeregt wurde, bei der die
Schwingungsdauer
2
22 1093,010)19,512,6( Tst
gut mit derjenigen der zweiten Eigenschwingung übereinstimmt.
Aus diesen Ergebnissen lässt sich erkennen:
Bei Anregung eines Systems mit einer konstanten Kraft schwingt dieses mit einer Kombination aus
Eigenschwingungen. Welche dies sind, hängt davon ab, welche Eigenformen von der Last angeregt
werden.
Am einfachsten ist es, die erste Eigenform anzuregen.
Dies ist eine Bedeutung der Eigenfrequenz.
7.2 Harmonische Erregung Nun wird mit der ersten Kraft weiter gearbeitet. Sie wird als sinusförmige Last
)**2sin(*100)( ttF
aufgebracht, wobei ν die Erregerfrequenz ist. Die Systemantwort hängt davon ab, wie nahe ν einer
Eigenfrequenz kommt.
Abb. 7.8: Schwingung bei Erregerfrequenz 20 Hz
Starter-Übungsunterlagen Seite 55
Abb. 7.9: Schwingung bei Erregerfrequenz 40 Hz
Abb. 7.10: Schwebung bei Erregerfrequenz 55 Hz
In Abb. 7.8 und Abb. 7.9 sieht man, dass die Schwingung eines sinusförmig angeregten Systems von der
Erregerfrequenz abhängt. Es wird die Erregerfrequenz annehmen, jedoch geht dem ein Einschwingvorgang
voraus. Auch die Amplitude (5,48 bzw. 9,96) hängt vom Verhältnis Erreger- zu Eigenfrequenz ab.
Liegt die Erregerfrequenz nahe einer Eigenfrequenz entsteht eine Schwebung, die durch eine an- und
abschwellende Amplitude gekennzeichnet ist (Abb. 7.10).
Ist die Erregerfrequenz gleich einer Eigenfrequenz steigt bei einem ungedämpften System die Amplitude
ständig an (Abb. 7.11). Dieser Fall wird als Resonanz bezeichnet. Die zweite Bedeutung der mit der
Modalanalyse ermittelten Eigenfrequenz ist also diejenige Frequenz, bei der Resonanz auftritt.
Abb. 7.11: Resonanz bei Erregerfrequenz 63,49 Hz