B 2 Mechanik – B1 Statik starrer Körper

B1 Statik starrer Körper

J. Villwock, Berlin; A. Hanau, Berlin

B1.1 Allgemeines

Statik ist die Lehre vom Gleichgewicht am starren Körper oderan Systemen von starren Körpern. Gleichgewicht herrscht,wenn sich ein Gebilde in Ruhe oder in gleichförmiger ge-radliniger Bewegung befindet. Starre Körper im Sinne derStatik sind Gebilde, deren Deformationen so klein sind, dassdie Kraftangriffspunkte vernachlässigbar kleine Verschiebun-gen erfahren.Kräfte sind linienflüchtige, auf ihrer Wirkungslinie verschieb-bare Vektoren, die Bewegungs- oder Formänderungen vonKörpern bewirken. Ihre Bestimmungsstücke sind Größe, Rich-tung und Lage (Bild 1 a).

F DF xCF yCF z DFxexCFyeyCFzez

D.F cos˛/exC.F cosˇ/eyC.F cos/ez ;(1)

wobeiF DjF jD

qF 2x CF 2

y CF 2z : (2)

Für die Richtungskosinusse der Kraft gilt cos˛ D Fx=F ,cosˇ D Fy=F , cos D Fz=F sowie cos2˛ C cos2ˇ Ccos2D1.Es gibt eingeprägte Kräfte und Reaktionskräfte sowie äußereund innere Kräfte. Äußere Kräfte sind alle von außen auf einenfreigemachten Körper (s. B1.5) einwirkende Kräfte (Belastun-gen und Auflagerkräfte). Innere Kräfte sind alle im Innereneines Systems auftretende Schnitt- und Verbindungskräfte.Momente oder Kräftepaare bestehen aus zwei gleich großen,entgegengesetzt gerichtetenKräften mit parallelenWirkungsli-nien (Bild 1 b) oder einemVektor, der auf ihrerWirkungsebenesenkrecht steht. Dabei bilden r , F , M eine Rechtsschraube(Rechtssystem). Kräftepaare sind in ihrer Wirkungsebene undsenkrecht zu dieser beliebig verschiebbar, d. h. der Momenten-vektor ist ein freier Vektor, festgelegt durch das Vektorprodukt

MDr�F DM xCMyCM z

DMxexCMyeyCMzez

D.M cos˛�/exC.M cosˇ�/eyC.M cos�/ez :(3)

MDjM jDjr j � jF j �sin'DFhDqM 2

x CM 2y CM 2

z : (4)

Bild 1. Vektordarstellung. a Kraft; b Kräftepaar; cMoment

Bild 2. Kraft und Moment. a und b Kraftversetzung; c Moment in derEbene

M heißt Größe oder Betrag des Moments und bedeutet an-schaulich den Flächeninhalt des von r und F gebildetenParallelogramms. Dabei ist h der senkrecht zu F stehende He-belarm. Für die Richtungskosinusse gilt (Bild 1 c) cos ˛� DMx=M , cosˇ� DMy=M , cos� DMz=M :

Moment einer Kraft bezüglich eines Punktes (Versetzungs-moment). Die Wirkung einer Einzelkraft mit beliebigemAngriffspunkt bezüglich eines Punkts O wird mit dem Hinzu-fügen eines Nullvektors, d. h. zweier gleich großer, entgegen-gesetzt gerichteter Kräfte F und �F im Punkt O (Bild 2 a)deutlich. Es ergibt sich eine Einzelkraft F im Punkt O undein Kräftepaar bzw. MomentM (Versetzungsmoment), dessenVektor auf der von r und F gebildeten Ebene senkrecht steht.Sind r undF in Komponenten x, y, z bzw. Fx , Fy , Fz gegeben(Bild 2 b), so gilt

MDr�F D

ˇˇˇˇ

ex ey ez

x y z

Fx Fy Fz

ˇˇˇˇ

D.Fzy�Fyz/exC.Fxz�Fzx/eyC.Fyx�Fxy/ez

DMxexCMyeyCMzez :

(5)Für die Komponenten, den Betrag des Momentenvektors unddie Richtungskosinusse gilt

MxDFzy�Fyz ; My DFxz�Fzx ;

MzDFyx�Fxy IMDjM jDjr j � jF j �sin'DFh

DqM 2

x CM 2y CM 2

z Icos˛� DMx=M ; cosˇ� DMy=M ; cos� DMz=M :

Liegt der Kraftvektor in der x, y-Ebene, d. h., sind z und Fz

gleich null, so folgt (Bild 2 c)

MDM z D.Fyx�Fxy/ez IM DjM jDMz DFyx�FxyDF r sin'DF h:

B1.2 Zusammensetzen und Zerlegen vonKräften mit gemeinsamem Angriffspunkt

B1.2.1 Ebene Kräftegruppe

Zusammensetzen von Kräften zu einer Resultierenden.Kräfte werden geometrisch (vektoriell) addiert, und zwar

© Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature 2018K.-H. Grote, B. Bender, D. Göhlich (Hrsg.), Dubbel, https://doi.org/10.1007/978-3-662-54805-9_4

B1.2 Zusammensetzen und Zerlegen von Kräften mit gemeinsamem Angriffspunkt B 3

B

zwei Kräfte mit demKräfteparallelogramm oder Kräftedreieck(Bild 3), mehrere Kräfte mit dem Kräftepolygon oder Krafteck(Bild 4, Kräftemaßstab 1 cm OD~N).Die rechnerische Lösung lautet

F RDnX

iD1

F i DnX

iD1

FixexCnX

iD1

Fiyey

DFRxexCFRyey

(6)

mit Fix DFi cos˛i ; Fiy DFi sin˛i . Größe und Richtung derResultierenden:

FRDqF 2RxCF 2

Ry ; tan ˛RDFRy=FRx : (7)

Zerlegen einer Kraft ist in der Ebene eindeutig nur nach zweiRichtungen möglich, nach drei und mehr Richtungen ist dieLösung vieldeutig (statisch unbestimmt). Graphische Lösungs. Bild 5 a, b.Rechnerische Lösung (Bild 5 c): F DF 1CF 2 bzw. in Kom-ponenten

F cos˛DF1cos˛1CF2cos˛2 ;

F sin˛DF1 sin˛1CF2sin˛2 Id. h. F2D.F sin˛�F1 sin˛1/=sin˛2 und somit

F cos˛DF1cos˛1Ccos˛2.F sin˛�F1 sin˛1/=sin˛2 :

F cos˛ sin˛2�F sin˛ cos˛2

DF1 cos˛1 sin˛2�F1 sin˛1cos˛2 ;

also F1 DF sin.˛2�˛/=sin.˛2�˛1/ und entsprechend F2 DF sin.˛1�˛/=sin.˛1�˛2/.

Bild 3. Zusammensetzen zweier Kräfte in der Ebene. a Mit Kräftepar-allelogramm; b mit Kräftedreieck

Bild 4. Zusammensetzen mehrerer Kräfte in der Ebene. a Lageplan;b Kräftepolygon

Bild 5. Zerlegen einer Kraft in der Ebene. a In zwei Richtungen (ein-deutig); b in drei Richtungen (vieldeutig); c rechnerisch

B1.2.2 Räumliche Kräftegruppe

Zusammensetzen von Kräften zu einer Resultierenden.Die rechnerische Lösung lautet

F RDnX

iD1

F i DnX

iD1

FixexCnX

iD1

FiyeyCnX

iD1

Fizez

DFRxexCFRyeyCFRzez I(8)

mit Fix DFi cos˛i , FiyDFi cosˇi , Fiz DFi cosi . Größe undRichtung der Resultierenden:

FRDqF 2RxCF 2

RyCF 2Rz I

cos˛RDFRx=FR; cosˇRDFRy=FR; cosRDFRz=FR :

(9)

Zerlegen einer Kraft ist im Raum eindeutig nur nach dreiRichtungen möglich; nach vier und mehr Richtungen ist dieLösung vieldeutig (statisch unbestimmt).Die rechnerische Lösung lautet F 1CF 2 CF 3 D F I F1x CF2xCF3xDFx ; F1yCF2yCF3yDFy ; F1zCF2zCF3zDFz .Gemäß Bild 6 gilt für die Richtungskosinusse der drei gegebe-nen Richtungen

cos˛i Dxi=qx2i Cy2i Cz2i ;

cosˇi Dyi =qx2i Cy2i Cz2i ;

cosi Dzi =qx2i Cy2i Cz2i :

Damit folgt

F1cos˛1CF2cos˛2CF3cos˛3DF cos˛;

F1cosˇ1CF2cosˇ2CF3cosˇ3DF cosˇ;

F1cos1CF2cos2CF3cos3DF cos :

Diese drei linearen Gleichungen für die drei unbekanntenKräf-te F1, F2 und F3 haben nur dann eine eindeutige Lösung, wennihre Systemdeterminante nicht null wird, d. h., wenn die dreiRichtungsvektoren nicht in einer Ebene liegen. Gemäß Bild 6gilt F1e1 CF2e2 CF3e3 D F und nach Multiplikation mite2�e3

F1e1.e2�e3/CF2e2.e2�e3/CF3e3.e2�e3/DF .e2�e3/:

B 4 Mechanik – B1 Statik starrer Körper

Bild 6. Rechnerische Zerlegung einer Kraft im Raum

Da der Vektor .e2�e3/ sowohl auf e2 als auch auf e3 senk-recht steht, werden die Skalarprodukte null, und es folgt

F1e1.e2�e3/DF .e2�e3/ bzw.

F1DF e2e3=.e1e2e3/;

F2De1F e3=.e1e2e3/;

F3De1e2F =.e1e2e3/:

(10)

F e2e3; e1e2e3 usw. sind Spatprodukte, d. h. Skalare, de-ren Größe der Rauminhalt des von drei Vektoren gebildetenSpats festlegt. Die Lösung ist eindeutig, wenn das Spatprodukte1e2e3 6D 0 ist, d. h., die drei Vektoren dürfen nicht in einerEbene liegen.Mit e i Dcos˛iexCcosˇieyCcosiez wird

F1D

ˇˇˇˇ

F cos˛1 cos˛2 cos˛3F cosˇ1 cosˇ2 cosˇ3F cos1 cos2 cos3

ˇˇˇˇW

ˇˇˇˇ

cos˛1 cos˛2 cos˛3cosˇ1 cosˇ2 cosˇ3cos1 cos2 cos3

ˇˇˇˇ:

(11)Entsprechend F2 und F3.

B1.3 Zusammensetzen und Zerlegen vonKräften mit verschiedenenAngriffspunkten

B1.3.1 Kräfte in der Ebene

Zusammensetzen mehrerer Kräfte zu einer Resultieren-den. Rechnerisches Verfahren: Bezüglich des Nullpunktsergibt die ebene Kräftegruppe eine resultierende Kraft und einresultierendes (Versetzungs-)Moment (Bild 7 a)

F RDnX

iD1

F i ; MRDnX

iD1

M i bzw. FRxDnX

iD1

Fix ;

FRy DnX

iD1

Fiy ;MRDnX

iD1

.Fiyxi �Fixyi /DnX

iD1

Fihi :

Für einen beliebigen Punkt ist die Wirkung der Kräftegrup-pe gleich ihrer Resultierenden. Wird die Resultierende parallelaus dem Nullpunkt soweit verschoben, dass MR null wird, sofolgt für ihre Lage ausMRDFRhR usw. (Bild 7 b)

hRDMR=FR bzw. xRDMR=FRy bzw.

yRD�MR=FRx :

Zerlegen einer Kraft. Die Zerlegung einer Kraft ist in derEbene eindeutig möglich nach drei gegebenen Richtungen, diesich nicht in einem Punkt schneiden und von denen höchstenszwei parallel sein dürfen.

Bild 7. Resultierende von Kräften in der Ebene

Bild 8. Zerlegen einer Kraft in der Ebene

Die rechnerische Lösung folgt aus der Bedingung dass Kraft-und Momentenwirkung der Einzelkräfte F i und der Kraft Fbezüglich des Nullpunktes gleich sein müssen (Bild 8):

nXiD1

F i DF ;

nXiD1

.r i �F i /Dr�F ; d: h:

F1cos˛1CF2cos˛2CF3cos˛3DF cos˛;

F1sin˛1CF2 sin˛2CF3 sin˛3DF sin˛ IF1.x1sin˛1�y1cos˛1/CF2.x2sin˛2�y2cos˛2/

CF3.x3sin˛3�y3cos˛3/DF.xsin˛�ycos˛/oder an Stelle der letzten Gleichung F1h1CF2h2CF3h3 DFh, wobei entgegen dem Uhrzeigersinn drehende Momentepositiv sind. Das sind drei Gleichungen für die drei Unbekann-ten F1, F2, F3.

B1.3.2 Kräfte im Raum

Kräftezusammenfassung (Reduktion). Eine räum-liche Kräftegruppe, bestehend aus den Kräften F i D.Fix I Fiy I Fiz/, deren Angriffspunkte durch die Radiusvek-toren r i D .xi I yi I zi / gegeben sind, kann bezüglich einesbeliebigen Punkts zu einer resultierenden Kraft F R und zu ei-nem resultierenden MomentMR zusammengefasst (reduziert)werden. Die rechnerische Lösung (Bild 9) lautet, bezogen aufden Nullpunkt

F RDnX

iD1

F i ;

MRDnX

iD1

.r i �F i /DnX

iD1

ˇˇˇˇ

ex ey ez

xi yi zi

Fix Fiy Fiz

ˇˇˇˇ:

Kraftschraube oder Dyname. Eine weitere Vereinfachungdes reduzierten Kräftesystems ist insofern möglich, als es eineAchse mit bestimmter Lage gibt, auf der Kraftvektor und Mo-mentvektor parallel zueinander liegen (Bild 10). Diese Achseheißt Zentralachse. Sie ergibt sich durch Zerlegen von MR inder durch MR und F R gebildeten Ebene E in die Kompo-nenten MF DMRcos' (parallel zu F R) und MS DMRsin'(senkrecht zu F R). Hierbei folgt ' aus dem SkalarproduktMR �F R DMRFRcos', d. h. cos' DMR �F R=.MRFR/. An-schließend wird MS durch Versetzen von F R senkrecht zur

B1.4 Gleichgewicht und Gleichgewichtsbedingungen B 5

B

Bild 9. Räumliche Kräftereduktion

Bild 10. Kraftschraube (Dyname)

Ebene E um den Betrag a DMS=FR zu null gemacht. Derdazu gehörige Vektor ist aD .F R�MR/=F

2R , da sein Betrag

jajD aDFRMRsin'=F 2R DMS=FR ist. Die Vektorgleichung

der Zentralachse, in deren Richtung F R und MF wirken, lau-tet dann mit t als Parameter r.t /DaCF R � t .Kraftzerlegung im Raum. Eine Kraft lässt sich im Raumnach sechs gegebenen Richtungen eindeutig zerlegen. Sind dieRichtungen durch ihre Richtungskosinusse gegeben und hei-ßen die Kräfte F 1 :::F 6, so gilt

6XiD1

Fi cos˛i DF cos˛;6X

iD1

Fi cosˇi DF cosˇ;

6XiD1

Fi cosi DF cos I

6XiD1

Fi .yi cosi �zi cosˇi /DF.ycos�zcosˇ/;

6XiD1

Fi .zi cos˛i �xi cosi /DF.zcos˛�xcos/;

6XiD1

Fi .xi cosˇi �yi cos˛i /DF.xcosˇ�ycos˛/:

Aus diesen sechs linearen Gleichungen erhält man eine ein-deutige Lösung, wenn die Nennerdeterminante ungleich nullist.

B1.4 Gleichgewicht undGleichgewichtsbedingungen

Ein Körper ist im Gleichgewicht, wenn er sich in Ruhe oder ingleichförmiger geradliniger Bewegung befindet. Da dann alleBeschleunigungen null sind, folgt aus den Grundgesetzen derDynamik, dass am Körper keine resultierende Kraft und keinresultierendes Moment auftreten.

B1.4.1 Kräftesystem im Raum

Die Gleichgewichtsbedingungen lauten

F RDX

F i D0 und MRDX

M i D0 (12)

bzw. in Komponenten

XFix D0;

XFiy D0;

XFizD0 I

XMix D0;

XMiy D0;

XMizD0:

(13)

Jede der drei Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte kanndurch eine weitere für die Momente um eine beliebige ande-re Achse, die nicht durch den Ursprung O gehen darf, ersetztwerden.Aus den sechs Gleichgewichtsbedingungen lassen sich sechsunbekannte Größen (Kräfte oder Momente) berechnen. Sindmehr als sechs Unbekannte vorhanden, nennt man das Problemstatisch unbestimmt. Seine Lösung ist nur unter Heranzie-hung der Verformungen möglich (s. C2.7). Liegen Kräfte mitgemeinsamem Angriffspunkt vor, so sind die Momentenbedin-gungen von Gl. (13) bezüglich des Schnittpunkts (und damitauch für alle anderen Punkte, da MR ein freier Vektor ist)identisch erfüllt. Dann gelten nur die Kräftegleichgewichts-bedingungen von Gl. (13), aus denen drei unbekannte Kräfteermittelt werden können.

B1.4.2 Kräftesystem in der Ebene

Das Gleichungssystem (13) reduziert sich auf drei Gleichge-wichtsbedingungen:

XFixD0;

XFiy D0;

XMiz D0: (14)

Die beiden Kräftegleichgewichtsbedingungen können durchzwei weitere Momentenbedingungen ersetzt werden. Die dreiBezugspunkte für die drei Momentengleichungen dürfen nichtauf einer Geraden liegen. Aus den drei Gleichgewichtsbedin-gungen der Ebene lassen sich drei unbekannte Größen (Kräfteoder Momente) ermitteln. Sind mehr Unbekannte vorhanden,so ist das ebene Problem statisch unbestimmt.Für Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt in der Ebene ist dieMomentenbedingung in Gl. (14) identisch erfüllt, es bleibennur die beiden Kräftebedingungen

XFix D0;

XFiy D0: (15)

B1.4.3 Prinzip der virtuellen Arbeiten

Das Prinzip tritt an die Stelle der Gleichgewichtsbedingungenund lautet: Erteilt man einem starren Körper eine mit seinengeometrischen Bindungen verträgliche kleine (virtuelle) Ver-rückung, und ist der Körper im Gleichgewicht (Bild 11), soist die virtuelle Gesamtarbeit aller eingeprägten äußeren Kräfteund Momente – durch (e) hochgestellt gekennzeichnet – gleichnull:

•W .e/DX

F.e/i •r i C

XM

.e/i •'i D0 (16)

bzw. in Komponenten

•W .e/DX�

F.e/ix •xi CF .e/

iy •yi CF .e/iz •zi

�

CX�

M.e/ix •'ixCM .e/

iy •'iy CM .e/iz •'iz

�D0 I

r i D .xi I yi I zi / Ortsvektoren zu den Kraftangriffspunkten;•r i D .•xi I•yi I•zi / Variationen (mathematisch ausgedrücktVektordifferentiale) der Ortsvektoren, die sich durch Bildungder ersten Ableitung ergeben; •'i Drehwinkeldifferentiale derVerdrehungen 'i .In natürlichen Koordinaten nimmt das Prinzip die Form

•W .e/DX

F.e/is •si C

XM

.e/i' •'i D0 (17)

an, wobei F .e/is die in die Richtung der Verschiebung zeigenden

Kraftkomponenten undM .e/i' die um die Drehachse wirksamen

B 6 Mechanik – B1 Statik starrer Körper

Bild 11. Prinzip virtueller Verrückungen

Bild 12. Gleichgewichtsarten. a Stabil; b labil; c indifferent

Komponenten der Momente sind. Das Prinzip dient unter an-derem in der Statik zur Untersuchung des Gleichgewichts anverschieblichen Systemen und zur Berechnung des Einflussesvon Wanderlasten auf Schnitt- und Auflagerkräfte (Einflussli-nien).

B1.4.4 Arten des Gleichgewichts

Man unterscheidet stabiles, labiles und indifferentes Gleichge-wicht (s. Bild 12). Stabiles Gleichgewicht herrscht, wenn einKörper bei einer mit seinen geometrischen Bindungen verträg-lichen Verschiebung in seine Ausgangslage zurückzukehrentrachtet, labiles Gleichgewicht, wenn er sie zu verlassen sucht,und indifferentes Gleichgewicht, wenn jede benachbarte Lageeine neue Gleichgewichtslage ist. Wird entsprechend B1.4.3die kleine Verschiebung als virtuelle aufgefasst, so gilt nachdem Prinzip der virtuellen Arbeiten für die Gleichgewichtsla-ge •W .e/ D 0. Bewegt man den Körper gemäß Bild 12 a auseiner Lage 1 in eine Lage 2 über die Gleichgewichtslage 0 hin-weg, so ist im Bereich 1 bis 0 die Arbeit •W .e/ D Fs•s > 0,d. h. positiv, im Bereich 0 bis 2 •W .e/ <0, d. h. negativ. Ausder Funktion •W .e/Df .s/ geht hervor, dass die Steigung von•W .e/ negativ ist, d. h. •2W .e/ < 0, wenn stabiles Gleichge-wicht. Allgemein gilt für das Gleichgewicht: stabil •2W .e/<0,labil •2W .e/>0, indifferent •2W .e/D0.Handelt es sich um Probleme, bei denen nur Gewichtskräfteeine Rolle spielen, dann gilt mit dem Potential U DFGz bzw.•U DFG•z

•W .e/DF .e/•rD.0I 0I �FG/.•xI •yI •z/D�FG•zD�•U

und •2W .e/ D �•2U , d. h., bei stabilem Gleichgewicht ist•2U > 0 und somit die potentielle Energie U ein Minimum,

Bild 13. Zeichenmaschine

Bild 14. Standsicherheit

bei labilem Gleichgewicht •2U <0 und die potentielle Energieein Maximum.

Beispiel: Bei einer Zeichenmaschine sind GegengewichtFQ und seinHebelarm l so zu bestimmen, dass sich die Zeichenmaschine vom Ei-gengewicht FG in jeder Lage im Gleichgewicht befindet (Bild 13). –Das System hat zwei verschiedene Freiheitsgrade ' und .

rGD .�c sin'Cbsin I bcos �ccos'/;rQD .l sin'�asin I �acos Cl cos'/;•rGD .�ccos' •'Cbcos • I �bsin • Cc sin' •'/;•rQD .l cos' •'�acos • I asin • �l sin' •'/:

Mit F GD .0I�FG/ und F QD .0I�FQ/ wird

•W .e/DX

F.e/i•r i D�FG.�bsin • Cc sin' •'/

�FQ.asin • �l sin' •'/D sin • .FGb�FQa/Csin' •'.�FGcCFQl/:

Aus •W .e/D0 folgt wegen der Beliebigkeit von ' und

FGb�FQaD0 und �FGcCFQlD0

und damit

FQDFGb=a und lDc FG=FQDca=b :

Ferner wird

•2W .e/Dcos • 2.FGb�FQa/Ccos' •'2.�FGcCFQl/:

Hieraus folgt mit den ermittelten Lösungswerten •2W .e/ D0, d. h., esliegt indifferentes Gleichgewicht vor.

B1.4.5 Standsicherheit

Bei Körpern, deren Auflagerungen nur Druckkräfte aufnehmenkönnen, besteht die Gefahr des Umkippens. Es wird verhindert,wenn um die möglichen Kippkanten A oder B (Bild 14) dieSumme der Standmomente größer ist als die Summe der Kipp-momente, d. h., wenn die Resultierende des Kräftesystemsinnerhalb der Kippkanten die Standfläche schneidet. Stand-sicherheit ist das Verhältnis der Summe aller Standmomentezur Summe aller Kippmomente bezüglich einer Kippkante:S D P

MS=PMK. Für S � 1 herrscht Standsicherheit und

Gleichgewicht.

B1.6 Auflagerreaktionen an Körpern B 7

B

B1.5 Lagerungsarten, Freimachungsprinzip

Körper werden durch sog. Lager abgestützt. Die Stützkräf-te wirken als Reaktionskräfte zu den äußeren eingeprägtenKräften auf den Körper. Je nach Bauart der Lager können imräumlichen Fall maximal drei Kräfte und maximal drei Mo-mente übertragen werden. Die Reaktionskräfte und -momentewerden durch das sogenannte „Freimachen“ eines Körpers zuäußeren Kräften. Ein Körper wird freigemacht, indem man ihnmittels eines geschlossenen Schnitts durch alle Lager von sei-ner Umgebung trennt und die Lagerkräfte als äußere Kräfteam Körper anbringt (Bild 15, Freimachungsprinzip). Auf dieLager wirken dann nach „actio D reactio“ (3. Newton’schesAxiom) gleich große, entgegengesetzt gerichtete Kräfte. Jenach Bauart und Anzahl der Reaktionsgrößen eines Lagers un-terscheidet man ein- bis sechswertige Lager (Bild 16).

Bild 15. Freimachungsprinzip. a Gestützter Körper mit geschlossenerSchnittlinie; b freigemachter Körper

Bild 16. Lagerungsarten

B1.6 Auflagerreaktionen an Körpern

B1.6.1 Körper in der Ebene

In der Ebene hat ein Körper drei Freiheitsgrade hinsichtlichseiner Bewegungsmöglichkeiten (Verschiebung in x- und y-Richtung, Drehung um die z-Achse). Er benötigt daher eineinsgesamt dreiwertige Lagerung für eine stabile und statischbestimmte Festhaltung. Diese kann aus einer festen Einspan-nung oder aus einem Fest- und einem Loslager oder aus dreiLoslagern (Gleitlagern) bestehen (im letzten Fall dürfen sichdie drei Wirkungslinien der Reaktionskräfte nicht in einemPunkt schneiden). Ist die Lagerung n-wertig (n > 3), so istdas System (n�3)fach statisch unbestimmt gelagert. Ist dieLagerung weniger als dreiwertig, so ist das System statischunterbestimmt, d. h. instabil und beweglich. Die Berechnungder Auflagerreaktionen erfolgt durch Freimachen und Anset-zen der Gleichgewichtsbedingungen.

Beispiel: Welle (Bild 17a). Gesucht werden die Auflagerkräfte in Aund B infolge der gegebenen Kräfte F 1 und F 2 .Rechnerische Lösung:An der freigemachtenWelle (Bild 17b) gilt

XMiAD0D�F1 aCFB l�F2.lCc/ also

FBD ŒF1 aCF2.lCc/�= l IX

MiBD0D�FAy lCF1 b�F2 c ; also

FAy D .F1 b�F2 c/= l IX

Fix D0DFAx :

Die GleichgewichtsbedingungPFiy D 0 muss ebenfalls erfüllt sein

und kann als Kontrollgleichung benutzt werden.

XFiy DFAy�F1CFB�F2

D .F1b�F2c/= l�F1CŒF1aCF2.lCc/�= l�F2

DF1.aCb�l/= lCF2.�cClCc�l/= lD0:

Beispiel: Abgewinkelter Träger (Bild 18 a). Für den durch zwei Ein-zelkräfte F1 und F2 und die konstante Streckenlast q belastetenabgewinkelten Träger ist die Auflagerkraft im Festlager A und die Kraftim Pendelstab bei B zu bestimmen.

Rechnerische Lösung:Mit der Resultierendender StreckenlastFq Dqcwird (Bild 18 b)

XMiAD0D�F1 sin˛1a�qc.aCbCc=2/

�F2eCFS cos˛SlCFS sin˛Sh

und daraus

FSD ŒF1 sin˛1aCqc.aCbCc=2/CF2e�=.l cos˛SChsin˛S/:Aus

XFix D0DFAxCF1 cos˛1CF2�FS sin˛S und

XFiy D0DFAy�F1 sin˛1�qcCFS cos˛S

folgenFAx D�F1cos˛1�F2CFS sin˛S und

FAy DF1 sin˛1Cqc�FS cos˛S ;

wobei der vorstehend errechnete Wert für FS einzusetzen ist.

Bild 17.Welle. a System; b Freimachung

B 8 Mechanik – B1 Statik starrer Körper

Bild 18. Abgewinkelter Träger. a System; b Freimachung

Bild 19.Wagen auf schiefer Ebene. a System; b Freimachung

Beispiel: Wagen auf schiefer Ebene (Bild 19 a, b). Der durch die Ge-wichtskraft F G und die Anhängerzugkraft F Z belastete Wagen wirdvon einer Seilwinde auf der schiefen Ebene im Gleichgewicht gehal-ten. Zu bestimmen sind die Zugkraft im Halteseil sowie die Stützkräftean den Rädern, wobei Reibkräfte außer acht gelassen werden sollen.Rechnerische Lösung: Am freigemachten Wagen (Bild 19 b) ergebendie Gleichgewichtsbedingungen

XFix D0D�FZ�FG sin˛CFS cos˛; also

FSDFG tan˛CFZ=cos˛ IX

MiAD0DFZh=4CFG.h=2/sin˛�FGbcos˛C2Fn2b

�FS.h=2/cos˛�FS.aC2b/sin˛ IX

MiBD0DFZh=4�2Fn1bCFG.h=2/sin˛CFGbcos˛

�FS.h=2/cos˛�FSasin˛:

Hieraus folgen

Fn2D�FZh=.8b/�FG Œ.h=2/sin˛�bcos˛�=.2b/CFSŒ.h=2/cos˛C.aC2b/sin˛�=.2b/ und

Fn1DFZh=.8b/CFGŒ.h=2/sin˛Cbcos˛�=.2b/�FSŒ.h=2/cos˛Casin˛�=.2b/;

wobei der errechnete Wert von FS einzusetzen ist. Die BedingungPFiy D 0DFn1CFn2�FG cos˛�FS sin˛ kann dann als Kontroll-

gleichung benutzt werden.

B1.6.2 Körper im Raum

Im Raum hat ein Körper sechs Freiheitsgrade (drei Verschie-bungen und drei Drehungen). Er benötigt daher für eine stabileFesthaltung eine insgesamt sechswertige Lagerung. Ist die La-gerung n-wertig (n>6), so ist das System (n�6)fach statischunbestimmt gelagert. Ist n<6, so ist es statisch unterbestimmt,also beweglich und instabil.

Beispiel: Welle mit Schrägverzahnung (Bild 20). Die Auflagerkräfteder Welle sind zu berechnen. – Die Welle kann sich um die x-Achse

Bild 20.Welle mit Schrägverzahnung

drehen, d. h.PMix D0 entfällt. (Lagerreibung wird nicht berücksich-

tigt.) Die restlichen fünf Gleichgewichtsbedingungen lauten:

XFix D0 ergibt FAx DF1x�F2x I

XMiBz D0 ergibt FAy D�.F1xr1CF1yb

CF2x r2CF2yc/= l IX

MiBy D0 ergibt FAz D .F1zb�F2zc/= l IX

MiAz D0 ergibt FBy D ŒF1xr1�F1yaCF2x r2

CF2y .lCc/�= l IX

MiAy D0 ergibt FBz D ŒF1zaCF2z .lCc/�= l :

Die BedingungenPFiy D 0 und

PFiz D 0 können als Kontrollen

verwendet werden.

B1.7 Systeme starrer Körper

Sie bestehen aus mehreren Körpern, die durch Verbindungs-elemente, d. h. Gelenke a oder Führungen b oder auch durchgelenkig angeschlossene Führungen c, miteinander verbundensind (Bild 21). Ein Gelenk überträgt Kräfte in zwei Richtun-gen, aber kein Moment; eine Führung überträgt eine Kraftquer zur Führung und ein Moment, aber keine Kraft parallelzur Führung; eine gelenkige Führung überträgt eine Kraft querzur Führung, aber keine Kraft parallel zur Führung und keinMoment. Man spricht daher von zweiwertigen oder einwerti-gen Verbindungselementen. Ist i die Summe der Wertigkeitender Auflager und j die Summe der Wertigkeiten der Verbin-dungselemente, so muss bei einem System aus k Körpern mit3k Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene die BedingungiCj D 3 k erfüllt sein, wenn ein stabiles System statisch be-stimmt sein soll.Ist iCj > 3 k, so ist das System statisch unbestimmt, d. h.,wenn iCj D 3 kCn, ist es n-fach statisch unbestimmt. IstiCj <3 k, so ist das System statisch unterbestimmt und auf je-den Fall labil. Für das stabile System nach Bild 21 ist iCj D7C5D 12 und 3 kD 3 �4D 12, d. h., das System ist statischbestimmt. Bei statisch bestimmten Systemen werden die Auf-lagerreaktionen und Reaktionen in den Verbindungselementenermittelt, indem die Gleichgewichtsbedingungen für die frei-gemachten Einzelkörper erfüllt werden.

Bild 21. System aus starren Körpern

B1.8 Fachwerke B 9

B

Bild 22. Dreigelenkrahmen. a System; b Freimachung

Beispiel: Dreigelenkrahmen oder Dreigelenkbogen (Bild 22a).Rechnerische Lösung: Nach Freimachen der beiden Einzelkörper(Bild 22 b) Gleichgewichtsbedingungen für Körper I:

XFix D0 ergibt FAx DFCx�F1x I (18a)

XFiy D0 ergibt FAy DF1yCF2�FCy I (18b)

XMiAD0DFCxHCFCya�F1xy1�F1yx1�F2x2 I (18c)

und für Körper II:

XFix D0 ergibt FBx DFCx�F3x I (18d)

XFiy D0 ergibt FBy DFCyCF3y I (18e)

XMiBD0D�FCxhCFCybCF3x Œy3�.H �h/�

CF3y .l�x3/: (18f)

Aus den Gln. (18c und f) ergeben sich die Gelenkkräfte FCx und FCy ,eingesetzt in die Gln. (18a, b, d und e) dann die Auflagerkräfte FAx ,FAy , FBx , FBy . Zur Kontrolle verwendetman

PMiCD0 am Gesamt-

system.

B1.8 Fachwerke

B1.8.1 Ebene Fachwerke

Fachwerke bestehen aus Stäben, die in den Knotenpunkten alsgelenkig miteinander verbunden angesehen werden. Die Ge-lenke werden als reibungsfrei angenommen, d. h., es werdennur Kräfte in Stabrichtung übertragen. Die in Wirklichkeit inden Knotenpunkten vorhandenen Reibungsmomente und bie-gesteifen Anschlüsse führen zu Nebenspannungen, die in derRegel vernachlässigbar sind. Die äußeren Kräfte greifen in denKnotenpunkten an oder werden nach demHebelgesetz am Stabauf diese verteilt.Hat ein Fachwerk n Knoten und s Stäbe und ist es äußerlichstatisch bestimmt mit drei Auflagerkräften gelagert, so gilt,da es für jeden Knoten zwei Gleichgewichtsbedingungen gibt,für ein statisch bestimmtes und stabiles Fachwerk (Bild 23 a)2nD sC3, sD 2n�3, d. h., aus den 2n�3 Gleichgewichts-bedingungen sind s unbekannte Stabkräfte berechenbar. EinFachwerk mit s<2n�3 Stäben ist statisch unterbestimmt undkinematisch instabil (Bild 23 b), ein Fachwerk mit s > 2n�3Stäben ist innerlich statisch unbestimmt (Bild 23 c). Für dieBildung statisch bestimmter und stabiler Fachwerke gelten fol-gende Bildungsgesetze:– Ausgehend von einem stabilen Grunddreieck werden nach-

einander neue Knotenpunkte mit zwei Stäben angeschlos-sen (Bild 24 a).

– Aus zwei statisch bestimmten Fachwerken wird ein neuesgebildet durch drei Verbindungsstäbe, deren Wirkungslini-en keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben (Bild 24 b).Dabei können zwei Stäbe durch einen den beiden Fach-werken gemeinsamen Knoten ersetzt werden (Bild 24 b,rechts).

– Durch Stabvertauschung kann jedes nach diesen Regeln ge-bildete Fachwerk in ein anderes statisch bestimmtes undstabiles umgebildet werden, wenn der Tauschstab zwischen

Bild 23. Fachwerk. a Statisch bestimmt; b statisch unterbestimmt;c statisch unbestimmt

Bild 24. Fachwerke. a bis d zum 1. bis 4. Bildungsgesetz

zwei Punkte eingebaut wird, die sich nach seiner Entfer-nung gegeneinander bewegen könnten (Bild 24 c).

– Aus mehreren stabilen Fachwerken können nach den Re-geln der Starrkörpersysteme gemäß B1.7 neue stabile Fach-werksysteme gebildet werden (Bild 24 d).

Ermittlung der Stabkräfte

Knotenschnittverfahren. Allgemein ergeben sich die s Stab-kräfte und die drei Auflagerkräfte für ein statisch bestimm-tes Fachwerk nach Aufstellen der GleichgewichtsbedingungenPFix D 0 und

PFiy D 0 an allen durch Rundschnitt freige-

machten n Knoten. Man erhält 2n lineare Gleichungen. Ist dieNennerdeterminante des Gleichungssystems ungleich null, soist das Fachwerk stabil, ist sie gleich null, so ist es instabil(verschieblich) [1]. Häufig gibt es (z. B. nachdem man vor-her die Auflagerkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen amGesamtsystem ermittelt) einen Ausgangsknoten mit nur zweiunbekannten Stabkräften, dem sich weitere Knoten mit nurjeweils zwei Unbekannten anschließen, so dass sie nachein-ander aus den Gleichgewichtsbedingungen berechnet werdenkönnen, ohne ein Gleichungssystem lösen zu müssen.

Ritter’sches Schnittverfahren. Ein analytisches Verfahren,bei dem durch Schnitt dreier Stäbe ein ganzer Fachwerkteilfreigemacht wird und nach Ansatz der drei Gleichgewichts-bedingungen für diesen Teil die drei unbekannten Stabkräfteberechnet werden (s. Beispiel auf der nächsten Seite).

Einflusslinien infolge von Wanderlasten

Die Berechnung einer Stabkraft FSi als Funktion von x infol-ge einer Wanderlast F D 1 liefert die Einflussfunktion (x);ihre graphische Darstellung heißt Einflusslinie. Die Auswer-

B 10 Mechanik – B1 Statik starrer Körper

tung für mehrere Einzellasten Fj liefert die Stabkraft FSi DPFj .xj / (s. Beispiel).

Beispiel: Fachwerkausleger (Bild 25 a). Gegeben: F1 D 5 kN, F2 D10 kN, F3 D 20 kN, aD 2m, bD 3m, hD 2m, ˛D 45ı, ˇD 33;69ı.Gesucht: Stabkräfte.

Knotenschnittverfahren. Die unbekannten Stabkräfte FSiwerden als

Zugkräfte positiv angesetzt (Bild 25 b).Für Knoten E gilt:

XFiy D0 ergibt FS2 D�F2=sin˛D�14;14 kN; also Druck ;

XFix D0 ergibt FS1 DF1�FS2 cos˛DC15;00 kN; also Zug:

Für Knoten C gilt:

XFix D0 ergibt FS4 DFS1 DC15;00 kN (Zug)I

XFiy D0 ergibt FS3 D�F3D�20;00kN (Druck):

Für Knoten D gilt:

XFiy D0 ergibt FS5 D�.FS2 sin˛CFS3 /=sinˇ

DC54;08 kN(Zug)IX

Fix D0 ergibt FS6 DFS2 cos˛�FS5 cosˇ

D�55;00 kN(Druck):

Für Knoten B gilt:

XFiy D0 ergibt FS7 D0 I

XFix D0 ergibt FBD�FS6 D55;00 kN:

Für Knoten A gilt:

XFix D0 ergibt FAx DFS4 CFS5 cosˇD60;00 kNI

XFiy D0 ergibt FAy DFS5 sinˇCFS7 D30;00 kN:

Diese Auflagerkräfte folgen auch aus den Gleichgewichtsbedingungenam (ungeschnittenen)Gesamtsystem.Ritter’scher Schnitt. Die Stabkräfte FS4 ; FS5 und FS6 werden durcheinen Ritter’schen Schnitt (Bild 25 c) ermittelt.

XMiDD0 ergibt FS4 D .F2aCF1h/=hDC15;00 kN

XMiAD0 ergibt FS6 D�ŒF2.aCb/CF3b�=hD�55;00 kN

XFiy D0 ergibt FS5 D .F2CF3/=sinˇDC54;08 kN

Einflusslinie für Stabkraft FS6 . Untersucht wird der Einfluss einer ver-tikalen Wanderlast Fy (in beliebiger Stellung x auf dem Obergurt) aufdie Stabkraft FS6 (Bild 25d). Aus

XMiAD0DFy.aCb�x/CFS6h

Bild 25. Fachwerkausleger. a System; b Knotenschnitte; c Ritter’scher Schnitt; dWanderlast; e Einflusslinie

folgt mit Fy D1.x/D�1 �.aCb�x/=hD�5=2Cx=.2m/

also eine Gerade (Bild 25 e). Ihre Auswertung für die gegebenenLastenliefert, da F1 keinen Einfluss auf FS6 hat (s.

PMiAD0),

FS6 DF2.xD0/CF3.xDa/D10 kN.�5=2/C20 kN.�3=2/D�55 kN:

B1.8.2 Räumliche Fachwerke

Da im Raum pro Knoten drei Gleichgewichtsbedingungen be-stehen und sechs Lagerkräfte zur stabilen, statisch bestimmtenLagerung des Gesamtfachwerks erforderlich sind, gilt das Ab-zählkriterium 3nD sC6 bzw. sD 3n�6. Im Übrigen geltenden ebenen Fachwerken analoge Methoden für die Stabkraft-berechnung usw. [2].

B1.9 Seile und Ketten

Seile und Ketten werden als biegeweich angesehen, d. h.,sie können nur Zugkräfte übertragen. Vernachlässigt man dieLängsdehnungen der einzelnen Elemente (Theorie 1. Ord-nung), so folgt für das ebene Problem infolge vertikaler Stre-ckenlast aus den Gleichgewichtsbedingungen am Seilelement(Bild 26 a)bei gegebener Belastung q(s):PFix D 0, d. h. dFH D 0,

PFiy D 0, d. h. FV D

q.s/ ds; also FH D const und dFV=ds D q.s/. GemäßBild 26 a gilt ferner tan' D y0 D FV=FH;d. h. FV DFHy

0 bzw. F 0VDdFV=dxDFHy

00 .Mit dsDp

1Cy0 2 dx wird hieraus

dFV=dsD.dFV=dx/.dx=ds/DFHy00=

p1Cy02Dq.s/:

Folglich isty00 D Œq.s/=FH�

p1Cy02 I (19)

bei gegebener Belastung q(x): gemäß Bild 26 a gilt q.s/ dsDq.x/ dx, d. h.

q.s/Dq.x/ dx=dsDq.x/cos'Dq.x/=p1Cy02

und damit nach Gl. (19)

y00 Dq.x/=FH : (20)

Die Lösungen dieser Differentialgleichungen ergeben die Seil-kurve y(x). Die dabei auftretenden zwei Integrationskonstantensowie der unbekannte (konstante) HorizontalzugFH folgen ausden Randbedingungen y.xDx1/Dy1 und y.xDx2/Dy2 so-wie aus der gegebenen Seillänge LDR

dsDR p1Cy02 dx.

B1.9 Seile und Ketten B 11

B

Bild 26. Seil. a Element; b Seil unter Eigengewicht; c Seil unter Ein-zellast

B1.9.1 Seil unter Eigengewicht (Kettenlinie)

Für ein Seil konstanten Querschnitts folgt mit q.s/DconstDqaus Gl. (19) mit aDFH=q nach Trennung der Variablen und In-tegration arsinhy0 D .x�x0/=a bzw. y0.x/D sinhŒ.x�x0/=a�mit y.x/DR

sinhŒ.x�x0/=a�dxCy0 die Kettenlinie

y.x/Dy0CacoshŒ.x�x0/=a�: (21)

Der Extremwert von y(x) folgt aus y0 D0 an der Stelle xDx0zu yminDy0Ca. Die unbekannten Konstanten x0; y0 und aDFH=q ergeben sich aus den drei Bedingungen (Bild 26 b)

y.x1D0/D0Dy0Cacosh.x0=a/;y.xDx2/Dy2Dy0CacoshŒ.x2�x0/=a�;

LDx2Z

xD0

q1Csinh2Œ.x�x0/=a�dx

DasinhŒ.x2�x0/=a�Casinh.x0=a/:Hieraus ergeben sich

y0D�acosh.x0=a/; x0Dx2=2�aartanh.y2=L/ und

sinh.x2=2a/DqL2�y22=.2a/:

Aus der letzten (transzendenten) Gleichung kann a, anschlie-ßend können x0 und y0 berechnet werden. Der maximaleDurchhang f gegenüber der Sehne folgt an der Stelle xm Dx0Caarsinh.y2=x2/ zu f Dy2xm=x2�y.xm/. Für die Kräftegilt

FHDaqDconst; FV.x/DFHy0.x/; (22)

FS.x/DqF 2H CF 2

V .x/:

Die größte Seilkraft tritt an der Stelle auf, wo y0 zum Maxi-mum wird, d. h. in einem der Befestigungspunkte.

Beispiel: Kettenlinie. Befestigungspunkte P1 (0; 0) und P2 (300m;�50m). Seillänge L D 340m, Belastung q.s/ D 30N=m. – Ausder transzendenten Gleichung ergibt sich nach iterativer Rechnunga D 179;2m und damit x0 D 176;5m und y0 D �273;4m, womitnach Gl. (21) die Kettenlinie bestimmt ist. Der maximale Durch-hang gegenüber der Sehne tritt an der Stelle xm D 146;8m auf undhat die Größe f D 67;3m. Der Horizontalzug beträgt FH D aq D5;375 kND const. Die größte Seilkraft tritt im Punkt P1 auf: FV.xD0/ D FH � jy0.x D 0/j D 6;192 kN und somit FS;max D FS.x D 0/

D8;20 kN.

B1.9.2 Seil unter konstanter Streckenlast

Hierunter fallen neben Seilen mit angehängter konstanterStreckenlast q.x/ D const auch solche mit flachem Durch-hang unter Eigengewicht, da bei q.s/ D q0 D const wegenq.s/

p1Cy02 D q0=cos' D q.x/ mit cos' � cos˛ D const

auch q.x/ D const D q wird. Zweimalige Integration derGl. (20) liefert y.x/D .q=FH/x

2=2CC1xCC2; Randbedin-gungen mit gegebenem Durchhang f in der Mitte: y.x1D0/D0, y.xDx2/Dy2 , y.xDx2=2/Dy2=2�f .Hieraus C2 D 0, C1 D .y2�4f /=x2, FH Dqx22=.8f / und da-mit y.x/D.y2=x2/x�.4f=x22/.x2x�x2/D.y2=x2/x�f .x/,wobei f (x) der Durchhang gegenüber der Sehne ist (Bild 26 b).

Ferner gilt FV.x/ D FHy0.x/ und FS.x/ D

qF 2H CF 2

V .x/;FS;max an der Stelle der maximalen Steigung.Die Länge L des Seils folgt ausLDR x2

xD0

p1Cy02 dx mit aD

FH=q zu

LD.a=2/".C1Cx2=a/

p1C.C1Cx2=a/2

Cln�C1Cx2=aC

p1C.C1Cx2=a/2

�

�C1

q1CC 2

1 � ln�C1C

q1CC 2

1

�#:

Für Seile mit flachem Durchhang gilt mit der Sehnenlänge lDqx22Cy22 die Näherungsformel

L� l �1C8x22f 2=.3l4/: (23)

Beispiel: Seil mit flachem Durchhang. Das Beispiel aus B1.9.1 werdenäherungsweise als flach durchhängendes Seil berechnet. Gegeben: P1

(0; 0), P2 (300m; �50m), f D67;3m, q0D30N=m. –Aus tan˛D�50=300 folgt ˛ D�9;46ı und cos˛D 0;9864, so dassq � q0=cos˛D 30;41N=m wird. Es folgen C1 D�1;064 und FH D5;083 kN. Somit ist die Seillinie

y.x/D�0;1667 �x�0;003m�1.300m �x�x2/D�1;064 �xC0;003m�1 �x2 :

An der Stelle x D 0 wird y0

max D jy0.0/j D 1;064, also FV;max DFHy

0

maxD5;408 kN und somit FS;maxD7;42 kN.Die Näherungsformel Gl. (23) für die Seillänge liefert dann mit l D304;1m den Wert L�342;7m. Die Ergebnisse zeigen, dass die Nähe-rungslösungvon den exaktenWerten (B1.9.1) nicht erheblich abweicht,obwohl der „flache“ Durchhang hier nur in geringemMaße zutrifft.

B1.9.3 Seil mit Einzellast

Betrachtet wird nur das Seil mit flachen Durchhängen gegen-über den Sehnen (Bild 26 c, links). Sind x2, y2, x3, y3 gegeben,

B 12 Mechanik – B1 Statik starrer Körper

Bild 27. Schwerpunkt eines Körpers (a) und eines Trägerquer-schnitts (b)

so gelten mit FHIDFHII DFH die Beziehungen

qIDq0=cos˛I ; qIIDq0=cos˛II ;fIDqIx22=.8FH/; fIIDqII Nx22=.8FH/;

y.x/D.y2=x2/x�.qI=2FH/�x2x�x2

�;

Ny. Nx/D. Ny2= Nx2/ Nx�.qII=2FH/� Nx2 Nx� Nx2� ;

y0.x/D.y2=x2/�.qI=2FH/.x2�2x/;Ny0. Nx/D. Ny2= Nx2/�.qII=2FH/. Nx2�2 Nx/:

Aus der GleichgewichtsbedingungPFiy D0DFVlCF �FVr

am Knoten P2 (Bild 26 c, rechts) folgt mit FVDFH � jy0j unterBeachtung, dass Ny0 negativ ist und somit jy0jD�y0 ,

FHy2=x2CqIx2=2CFCFH Ny2= Nx2CqII Nx2=2D0; d: h:

FHD Œ�qIx2�qII Nx2�2F �=Œ2.y2=x2C Ny2= Nx2/�:

Hiermit können fI und fII , wie angegeben, FV.x/ und FS.x/

nach Gl. (22) sowieLI undLII nachGl. (23) berechnet werden.

B1.10 Schwerpunkt (Massenmittelpunkt)

An einem Körper der Masse m wirken an den Massenelemen-ten dm die Gewichtskräfte dF G D dmg, die alle zueinanderparallel sind. Den Angriffspunkt ihrer Resultierenden F G DRdF G nennt man den Schwerpunkt (Bild 27 a). Seine Lage ist

festgelegt durch die Bedingung, dass das Moment der Resul-tierenden gleich dem der Einzelkräfte sein muss, d. h.

rS�F GDZ

r�dF G bzw. mit dF GDdFGe

�rSFG�

Zr dFG

��eD0; d: h:

rSD�Z

r dFG

�=FG bzw. in Komponenten

xSD.1=FG/

Zx dFG ; ySD.1=FG/

Zy dFG ;

zSD.1=FG/

Zz dFG :

(24)

Analog gilt bei konstanter Fallbeschleunigung g für denMassenmittelpunkt, bei konstanter Dichte % für den Volu-menschwerpunkt sowie für den Flächen- und Linienschwer-punkt in vektorieller Form

rSD.1=m/Z

r dmI rSD.1=V /Z

r dV I

rSD.1=A/Z

r dA und

rSD.1=s/Z

r ds :

(25)

Bestehen die Gebilde aus endlich vielen Teilen mit bekanntenTeilschwerpunkten, so gilt in Komponenten z. B. für den Flä-chenschwerpunkt

xSD.1=A/X

xiAi IySD.1=A/

XyiAi I

zSD.1=A/X

ziAi :

(26)

Die GrößenRx dA bzw.

PxiAi usw. bezeichnet man als sta-

tische Momente. Sind sie null, so folgt auch xS D 0 usw.,d. h., das statische Moment bezüglich einer Achse durch denSchwerpunkt (Schwerlinie) ist stets gleich null. Alle Sym-metrieachsen erfüllen diese Bedingung, d. h., sie sind stetsSchwerlinien.Die durch Integration ermittelten Schwerpunkte von homoge-nen Körpern sowie von Flächen und Linien sind in den Tab. 1–3 angegeben.

Beispiel: Schwerpunkt eines Trägerquerschnitts. Für den zusammen-gesetzten Trägerquerschnitt ist der Flächenschwerpunkt zu ermitteln(Bild 27 b). – Der Schwerpunkt liegt auf der Symmetrieachse. Er-mittlung von yS tabellarisch, wobei die Bohrung als negative Flächeangesetzt wird.

Fläche Ai cm2 yi cm yiAi cm3

1) U 300 58,8 38,30 2252,0

2) 2L 100× 14 2 × 26,2 37,02 1939,8

3) 400× 20 80,0 20,00 1600,0

4) 2L 150× 100× 14 2 × 33,2 4,97 330,0

5) Bohrung ¿25 �12,0 7,50 �90,0P245;6

P6031;8

ySD6031;8 cm3=245;6 cm2D24;56 cm

B1.11 Haftung und Reibung

Haftung. Bleibt ein Körper unter Einwirkung einer resultie-renden Kraft F, die ihn gegen eine Unterlage presst, in Ruhe,so liegt Haftung vor (Bild 28). Die Verteilung der Flächenpres-sung zwischen Körper und Unterlage ist meist unbekannt undwird durch die Reaktionskraft Fn ersetzt. Aus Gleichgewichts-gründen ist Fn D Fs D F cos˛ und Fr D Ft D F sin˛, d. h.FrDFn tan˛. Der Körper bleibt so lange in Ruhe, bis die Reak-tionskraft Fr den Grenzwert Fr0 DFn tan%0 DFn�0 erreicht,d. h. solange F – räumlich betrachtet – innerhalb des sogenann-ten Reibungskegels mit dem Öffnungswinkel 2%0 liegt. Für dieReaktionskraft Fr gilt die Ungleichung

Fr 5Fn tan%0DFn�0 : (27)

Die Haftzahl �0 hängt ab von den aneinander gepress-ten Werkstoffen, deren Oberflächenbeschaffenheit, von einer

B1.11 Haftung und Reibung B 13

B

Tabelle 1. Schwerpunkte von homogenen Körpern

Prisma, Zylinder(gerade oder schief)

zsDh=2

abgeschrägter Kreiszylinder

xsD r2 tan˛=.4h/zsDh=2Cr2 tan2˛=.8h/

Kegel, Pyramide(gerade oder schief)

zsDh=4

Pyramiden- bzw. Kegelstumpf

zsD h4� A1C2

pA1A2C3A2

A1C

pA1A2CA2

bzw. zsD h4� r

21

C2r1r2C3r22

r21

Cr1r2Cr22

Keil

zsD h2� a1Ca22a1Ca2

Keilstumpf

zs D h2�

a1b1Ca1b2Ca2b1C3a2b22a1b1Ca1b2Ca2b1C2a2b2

Zylinderhuf

xsD3�r=16zsD3�h=32

Kugelabschnitt

zsD 34� .2r�h/2

.3r�h/

Halbkugel

zsD3r=8halbe Hohlkugel:

zsD 38� r

4a �r4i

r3a �r3i

Kugelausschnitt

zsD3r .1Ccos˛/=8D3.2r�h/=8

Rotationsparaboloid

zsDh=3

Ellipsoid

zsD3h=8

Bild 28. Haftung

Fremdschicht (Schmierschicht), von Temperatur und Feuch-tigkeit, von der Flächenpressung und von der Größe der Nor-malkraft; �0 schwankt daher zwischen bestimmten Grenzenund ist gegebenenfalls experimentell zu bestimmen [3]. Inso-fern können die Werte für �0 (s. Tab. 4) nur als Anhaltswertedienen.

Gleitreibung (Reibung der Bewegung). Wird die Haftungüberwunden, und setzt sich der Körper in Bewegung, so gilt fürdie Reibkraft das Coulomb’sche Gleitreibungsgesetz (Bild 29)

Fr=FnDconstD tan %D� bzw. FrD�Fn : (28)

Die Gleitreibungskraft ist eine eingeprägte Kraft, die demGeschwindigkeits- bzw. Verschiebungsvektor entgegengesetztgerichtet ist. Der Gleitreibungskoeffizient � (bzw. Gleitrei-bungswinkel %) hängt neben den unter Haftung beschriebenenEinflüssen vornehmlich von den Schmierungsverhältnissen(Trockenreibung, Mischreibung, Flüssigkeitsreibung; s. E5.1)

Bild 29. Gleitreibung

ab, zum Teil aber auch von der Gleitgeschwindigkeit [4, 5].Anhaltswerte für � s. Tab. 4.

B1.11.1 Anwendungen zur Haftung und Gleitreibung

Reibung am Keil. Gesucht wird die Kraft F, die zum Hebenund Senken einer Last mit konstanter Geschwindigkeit erfor-derlich ist. Die Lösung folgt am einfachsten aus dem Sinussatzam Krafteck, z. B. für das Heben der Last nach Bild 30

F2

FQD sin.90ıC%3/

sinŒ90ı�.˛C%2C%3/� ;F

F2

D sin.˛C%1C%2/sin.90ı�%1/ I

hieraus

F DFQtan.˛C%2/Ctan%11� tan.˛C%2/tan%3 : Entsprechend

F DFQtan.˛�%2/� tan%11Ctan.˛�%2/tan%3

(29)

B 14 Mechanik – B1 Statik starrer Körper

Tabelle 2. Schwerpunkte von Flächen

ebene Flächen

Dreieck

ysDh=3

Parallelogramm

ys Dh=2

Trapez

ysD h3� aC2b

aCb

Kreisausschnitt

ysD2r sin˛=.3˛/D2rl=.3b/Halbkreisfläche: ysD4r=.3�/

Kreisabschnitt

ysD 23� r sin3˛˛�sin˛cos˛

Halbkreisfläche: ysD4r=.3�/

Kreisringstück

ys D 23��r3a �r3i

�sin˛�

r2a �r2i

�˛

Parabelflächen

xs1D3a=8 ys1D2h=5xs2D3a=4 ys2D3h=10

Parabelabschnitt

ysD2h=5

räumliche Oberflächen

Ellipsenabschnitt

ysD 23� bsin3˛˛�sin˛cos˛

Kugelzone bzw. -haube

zs D .r=2/.cos˛1Ccos˛2/Dh0Ch=2bzw.zs D .r=2/.1Ccos˛2/D .h0Cr/=2

Mantel von Pyramideund Kegel

zsDh=3

Mantel von Kreiskegelstumpf

zsD h3� r1C2r2

r1Cr2

Tabelle 3. Schwerpunkte von Linien

Dreieckumfang

ysD h2� bCcaCbCc

Kreisbogen

ysD r sin˛˛

D r �lb

Halbkreisbogen: ysD2r=�

beliebiger flacher Bogen

ys�2h=3

Bild 30. Reibung am Keil

für das Senken der Last. Wird F � 0, so tritt Selbsthemmungauf; dann ist

tan.˛�%2/5 tan%1 bzw. ˛5%1C%2 :

Der Keil muss dann herausgezogen bzw. von der anderen Seitehinausgedrückt werden. Der Wirkungsgrad des Keilgetriebesbeim Heben der Last ist DF0=F ; hierbei ist F0 DFQ � tan˛die erforderliche Kraft ohne Reibung.Für %1D%2D%3D% gilt F DFQ tan.˛˙2%/; Selbsthemmungfür a� 2 %, Wirkungsgrad D tan˛=tan.˛C2%/. Bei Selbst-hemmung wird D tan2%=tan4%D0;5�0;5tan22%<0;5.Schraube (Bewegungsschraube) Rechteckgewinde (flach-gängige Schraube).(Bild 31 a) Gesucht ist das Drehmoment M zum gleichförmi-gen Heben und Senken der Last.

XFiz D0D

ZdF cos.˛C%/�FQ ;

F DFQ=cos.˛C%/;

B1.11 Haftung und Reibung B 15

B

Tabelle 4. Haft- und Gleitreibungswerte

Stoffpaar Haftzahl �0 Gleitreibungszahl �

trocken geschmiert trocken geschmiert

Eisen-Eisen 1,0

Kupfer-Kupfer 0,60. . . 1,0

Stahl-Stahl 0,45. . . 0,80 0,10 0,40. . . 0,70 0,10

Chrom-Chrom 0,41

Nickel-Nickel 0,39. . . 0,70

Aluminiumlegierung-Aluminiumlegierung

0,15. . . 0,60

S 235 poliert 0,15

Stahl-Grauguss 0,18. . . 0,24 0,10 0,17. . . 0,24 0,02. . . 0,21

Stahl-Weißmetall

0,21

Stahl-Blei 0,50

Stahl-Zinn 0,60

Stahl-Kupfer 0,23. . . 0,29

Bremsbelag-Stahl

0,50. . . 0,60 0,20. . . 0,50

Lederdichtung-Metall

0,60 0,20 0,20. . . 0,25 0,12

Stahl-Polyetra-fluoräthylen(PTFE)

0,04. . . 0,22

Stahl-Polyamid 0,32. . . 0,45 0,10

Holz-Metall 0,50. . . 0,65 0,10 0,20. . . 0,50 0,02. . . 0,10

Holz-Holz 0,40. . . 0,65 0,10. . . 0,20 0,20. . . 0,40 0,04. . . 0,16

Stahl-Eis 0,027 0,014

XMizD0DM �

ZdF sin.˛C%/rm ;

MDFQrm tan.˛C%/

Wirkungsgrad beim Heben DM0=M D tan˛=tan.˛C%/;M0 erforderliches Moment ohne Reibung. Beim Senken tritt�% an Stelle von %;MDFQrm tan.˛�%/. Selbsthemmung fürM 5 0, d. h. tan.˛�%/50; also ˛5%. Dann ist zum Senken derLast ein negatives Moment erforderlich. Für ˛D % folgt Dtan%=tan2%D0;5�0;5tan2%<0;5.Trapez- und Dreieckgewinde (scharfgängige Schraube).(Bild 31 b). Es gelten dieselben Gleichungen wie fürRechteckgewinde, wenn anstelle von � D tan% die Reib-zahl �0 D tan%0 D �=cos.ˇ=2/, d. h. anstelle von % derReibwinkel %0 D arctanŒ�=cos.ˇ=2/� eingesetzt wird. Be-weis gemäß Bild 31 b, da anstelle von dFn die Kraft

Bild 31. Reibung an a flachgängiger und b scharfgängiger Schraube

Bild 32. Seilreibung. a Kräfte; b Element; c Schiffspoller

dF 0n DdFn=cos.ˇ=2/ und anstelle von dFrD� dFn die Kraft

dF 0r D� dF 0

n D Œ�=cos.ˇ=2/�dFn D�0dFn tritt. Hierbei ist ˇder Flankenwinkel des Gewindes. Bemerkung: Für Befesti-gungsschrauben ist Selbsthemmung, d. h. ˛5%0

0, erforderlich.

Seilreibung (Haftung zwischen Seil und Seilrolle) (Bild 32).Gleitreibung tritt auf bei relativer Bewegung zwischen Seilund Scheibe (Bandbremse, Schiffspoller bei laufendem Seil).Bei Haftung zwischen Seil und Scheibe (Riementrieb, Band-bremse als Haltebremse, Schiffspoller bei ruhendem Seil) trittGleichgewicht in Normal- und Tangentialrichtung am Seilele-ment auf. Damit ergibt sich dFnDFSd', dFSDdFr ; mit dFrD�0 dFn folgt dFS D�0FSd'. Nach Integration über den Um-schlingungswinkel ˛ folgt die Euler’sche Seilreibungsformel:FS2 DFS1 e

�0 a bzw. FS2=FS1 D e�0 a . Die Haftkraft ergibtsich aus Fr DFS2 �FS1 und das Haftmoment aus Mr DFrr .Bei nicht vernachlässigbarer Geschwindigkeit des Seiles (z. B.beim Riementrieb) treten Fliehkräfte qF Dm�2=r (m: Massepro Längeneinheit des Seiles) am Seil auf. Dann ist FS durchFS�m�2 zu ersetzen. Beim Schiffspoller (Bild 32 c) mit ˛D2� und �0D0;1 ergibt sich ein Verhältnis FS2=FS1 �1;87.

B1.11.2 Rollwiderstand

Rollt ein zylindrischer o.ä. Körper auf einer Unterlage(Bild 33 a), so ergibt sich wegen der Verformung der Unterla-ge und des Körpers eine schräg gerichtete Resultierende, derenHorizontalkomponente die Widerstandskraft Fw ist. Ihr mussbei gleichförmiger Bewegung die Antriebskraft Fa das Gleich-gewicht halten. Mit Fn DFQ und f r , d. h. tan˛� sin˛Df=r , folgt

FwDFQf=rDFQ�r

und als sog. Moment der rollenden Reibung Mw D Fwr D�rFQr D FQf , wobei �r D f=r der Koeffizient der Rollrei-bung ist. Der Hebelarm f der Rollreibung ist empirisch zuermitteln. Für Stahlräder auf Schienen ist f � 0;05 cm, fürWälzlager f �0;0005:::0;001 cm.Als Fahrwiderstand (Bild 33 b) bezeichnet man die Summeaus Rollwiderstand und Lagerreibungswiderstand,

Fw; gesD.FQCFG/f=rCFQ�zr1=r

FG Gewichtskraft des Rads, �z Zapfenreibungszahl.

B1.11.3 Widerstand an Seilrollen

Infolge Biegesteifigkeit der Seile erfolgt an der Auflaufstelleein „Abheben“ um a2 (s. Bild 33 c) und an der Ablaufstelle ein„Anschmiegen“ um a1. Unter gleichzeitiger Berücksichtigungder Lagerreibung folgt bei gleichmäßiger Geschwindigkeit fürdie Feste Rolle (Bild 33 c): Beim Heben

XMAD0DF.r�a1/�FQ.rCa2/�.FCFQ/rz ;d: h:

F DFQ.rCa2Crz /=.r�a1�rz/DFQ=:

B 16 Mechanik – B1 Statik starrer Körper

Bild 33.Widerstände. a Rollwiderstand; b Fahrwiderstand; c feste undd lose Seilrolle; e Flaschenzug

ist der Wirkungsgrad der festen Rolle beimHeben (�0;95).Beim Senken ist durch 1= zu ersetzen. (rz Radius der Zap-fenreibung.)

Lose Rolle. (Bild 33 d): Beim Heben

XMAD0DF.2rCa2�a1/�FQ.rCa2Crz /

d. h.

F D.FQ=2/.rCa2Crz/=.rCa2=2�a1=2/D.FQ=2/=:

D Nutzarbeit=zugeführte Arbeit D .FQs=2/=.F s/. Nähe-rungsweise wird ebenfalls � 0;95 gesetzt. Beim Senken ist durch 1= zu ersetzen.

Rollenzug. (Bild 33 e): Mit den Ergebnissen für die feste unddie lose Rolle ist F1 D F , F2 D F1 D 2F usw. Gleichge-wicht für die freigemachte untere Flasche führt zu

XFy D0DF1CF2CF3CF4�FQ, d. h.

F.C2C3C4/DFQ. Mit

1CC2C3D.1�4/=.1�/ folgt

F DFQ=Œ.1�4/=.1�/�:Bei n tragenden Seilsträngen werden die Kraft und der Gesamt-wirkungsgrad für das Heben

F DFQ=Œ.1�n/=.1�/� und

gesDWn=WzD.FQs=n/=.F s/D.1�n/=Œ.1�/n�:Beim Senken ist wieder durch 1= zu ersetzen.

Literatur

Spezielle Literatur

[1] Föppl, A.: Vorlesungen über technische Mechanik, Bd. I,14. Aufl., Bd. II, 10. Aufl. R. Oldenbourg, München, Berlin(1948, 1949) – [2] Schlink, W.: Technische Statik, 4. u. 5. Aufl.Springer, Berlin (1948) – [3] Drescher, H.: Die Mechanikder Reibung zwischen festen Körpern. VDI-Z. 101, 697–707(1959) – [4] Krause, H., Poll, G.: Mechanik der Festkörper-reibung. VDI, Düsseldorf (1982) – [5] Kragelski, Dobycin,Kombalov: Grundlagen der Berechnung von Reibung und Ver-schleiß. Hanser, München (1986)