Statistik 1 für SoziologInnen - marcushudec.at Diskrete Zufallsvariable… · ZKK 2 1/8 KZZ 1 1/8 ZKZ 1 1/8 ZZK 1 1/8 ZZZ 0 1/8 3 Statistik 1 -Diskrete Zufallsvariable. ... Eine

Konzept diskreter Zufallsvariablen

Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec

Statistik 1 für SoziologInnen

Beispiel: Zufallsvariable

3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert.

Elementar-ereignis

Wahrschein- lichkeit

KKK 1/8 KKZ 1/8 KZK 1/8 ZKK 1/8 KZZ 1/8 ZKZ 1/8 ZZK 1/8 ZZZ 1/8

2 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable


3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert.

Elementar-ereignis

AnzahlKopf

Wahrschein-lichkeit

KKK 3 1/8KKZ 2 1/8KZK 2 1/8ZKK 2 1/8KZZ 1 1/8ZKZ 1 1/8ZZK 1 1/8ZZZ 0 1/8



Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe)

Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten einer Zahl ergibt sich durch Summation der Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse, die mit dieser Zahl verknüpft sind:

AnzahlKopf 0 1 2 3

Wahrschein-lichkeit

1/8 3/8 3/8 1/8


Diskrete Zufallsvariable (Random Variable)

Eine Variable X, die jedem möglichen Ereignise E eines Zufallsexperimentes eine Zahl X(e) zuordnet, wird als Zufallsvariable bezeichnet.

Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufalls-variablen X ergibt sich durch die Zuordnung der Wahrscheinlichkeiten von allen durch X definierten Ereignissen.


Beispiel aus Buch von Agresti

General Social Survey Question: „What do you think is the ideal number of

children for a family to have?“

Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable6

Ideal Number 0 1 2 3 4 5

Relative Frequency

0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01


If you randomly pick out a person from the US-population the probability of each allowed answer will follow the above table.


Ideal Number 0 1 2 3 4 5

Probability 0,01 0,03 0,60 0,23 0,12 0,01

Wahrscheinlichkeitsfunktion

Die Funktion f(x), die jeder Zahl x die Wahrschein-lichkeit P(X=x) zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeits-funktion der diskreten Zufallsvariablen X:

f(x) = P(X = x)

Seien x1, x2, ..., xi, ... die Realisationsmöglichkeiten der diskreten Zufallsvariablen X, so wird die Wahrscheinlichkeitsfunktion oft kurz als pigeschrieben:

f(xi) = P(X = xi) = pi i=1, 2, ... 8 Statistik 1 - Diskrete Zufallsvariable


Jedem Elementarereignis wird eine Zahl zugeordnet (Anzahl der beobachteten Köpfe)

P{X=2} = 3/8 P{X 2} = 1 - P{X > 2} = 1/8 + 3/8 + 3/8 = 1-1/8 =7/8 P{0 < X 1} = 3/8 P{X > 1} = 1 - P{X 1} = 3/8 + 1/8 = 1 - 1/8 - 3/8 = 4/8

AnzahlKopf 0 1 2 3

Wahrschein-lichkeit

1/8 3/8 3/8 1/8


Verteilungsfunktion

Um die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen X zu definieren, genügt es Ereignissen des Typs

{X x}Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen.

Daraus lassen sich bereits für alle anderen durch X definierten Ereignisse die Wahrscheinlichkeiten ermitteln.

Die Funktion F(x), die jedem x die Wahrscheinlichkeit P(X x) zuordnet nennt man die theoretische Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X:

F(x) = P(X x)


Beispiel: Münzwurf

F(0) = P{X 0} = 1/8 F(1) = P{X 1} = 4/8 F(2) = P{X 2} = 7/8 F(3) = P{X 3} = 8/8

Anzahl Kopf X 0 1 2 3Wahrscheinlichkeits-funktion P(X=x)

1/8 3/8 3/8 1/8

Verteilungsfunktion F(x) = P(X≤x)

1/8 4/8 7/8 8/8

Verteilungsfunktion

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5


Beispiel


Ideal Number of Children X

Probability P(X = x)

ProbabilityF(x) = P(X ≤ x)

0 0,01 0,011 0,03 0,042 0,60 0,643 0,23 0,874 0,12 0,995 0,01 1,00

P(2 ≤ X ≤ 3) = 0,60 + 0,23 = 0,83

P(X ≤ 3) = 0,87 P(X ≤ 1) = 0,04

P(2 ≤ X ≤ 3) = P(X ≤ 3) ‐ P(X ≤ 1) = 0,87 ‐ 0,04 = 0,83

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0 1 2 3 4 5

Prob

ability P(X = x)

Ideal Number of Children

Wir können aus der theoretischen Verteilungsfunktion die Wahrscheinlichkeit für beliebige Ereignisse berechnen.

Sprachliche Formulierungen

Für eine diskrete Zufallsvariable, die nur ganzzahlige Werte annehmen kann, sind folgende Aussagen äquivalent: X größer 2 X>2 bzw. X≥3 X zumindest 3 X≥3 X ist 3 oder mehr X≥3 X ist nicht kleiner als 3 Nicht(X<3)= X≥3

Ebenfalls äquivalent sind die folgenden Aussagen: X ist kleiner als 2 X<2 bzw. X ≤ 1 X ist höchstens 1 X≤1 X ist 1 oder kleiner X≤1 X ist nicht größer als 1 Nicht(X>1)= X ≤ 1


Eigenschaften der Verteilungsfunktion

F(x) nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an, d.h. es gilt:

0 ≤ F(x) ≤ 1 bzw. da F(x) = P(X ≤ x)

0 ≤ P(X ≤ x) ≤ 1 F(x) steigt für wachsendes x monoton an

x1< x2 F(x1) F(x2)

F(x) 1 für x F(x) 0 für x -


f(x) F(x) im diskreten Fall

Zwischen der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) und der Verteilungsfunktion F(x) gelten im Fall der diskreten Zufallsvariable X mit den Realisationsmöglichkeiten x1, x2, ..., xi, ...:

F(xi) - F(xi-1) = f(xi)

F(xi) = P(X xi) = = P(X < xi) + P(X = xi) == F(xi-1) + P(X = xi)

F x) f xix xi

( ( )


Die Differenz zweier aufeinanderfolgender Werte der Verteilungsfunktion ist die Wahrscheinlichkeit des größeren Wertes bestimmt

Erwartungswert

Sei X eine diskrete Zufallsvariable mit den Realisationsmöglichkeiten xi und der zugehörigen Wahrscheinlichkeitsfunktion pi=P(X=xi), i=1,2,...

Dann heißt E(X) der Erwartungswert von X.

Gewichtete Summe der Merkmalsausprägungen, wobei die Gewichte die Wahrscheinlichkeiten sind.


E X x pi ii

( )

Varianz einer ZV

i ii

V(X) E(X²) E(X)²V(X) [x E(X)]²p(x )


Misst die theoretisch zu erwartende Schwankungeines zufälligen Phänomens

Y a bX V(Y) b²V(X)

Analoge Eigenschaften wie bei der empirischen Varianz



( ) i ii

E X x p

V(X) E(X²) E(X)²

Ideal Number of Children X

Probability P(X = x) E(X) E(X²)

0 0,01 0,00 0,001 0,03 0,03 0,032 0,60 1,20 2,403 0,23 0,69 2,074 0,12 0,48 1,925 0,01 0,05 0,25

2,45 6,67

Erwartungswert E(X): 2,45

Varianz V(X): = 6,67 ‐ 2,45² = 0,6675

Standardabweichung: 0,8170

Varianz beim Roulette (Varianz.XLS)


Unterschiedliche Strategien haben den selben Erwartungswert aber eine verschiedene Varianz !

Varianz beim Roulette (Varianz.XLS)


-250

-150

-50

50

150

250

0 100 200 300 400 500

Simulation Spiel auf DutzendSimulation Spiel auf 1 ZahlTheorie

Drücken Sie F9

Beispiel Würfelwurf

Wir betrachten einen idealen (unverfälschten) Würfel, welcher folgende Wahrscheinlichkeitsfunktion besitzt:


Augenzahl Probability E(X) E(X²)

1 0,1667 0,1667 0,1667

2 0,1667 0,3333 0,6667

3 0,1667 0,5000 1,5000

4 0,1667 0,6667 2,6667

5 0,1667 0,8333 4,1667

6 0,1667 1,0000 6,0000

1,0000 3,5 15,1667

Erwartungswert 3,5

Varianz 2,9167

Standardabweichung 1,7078

( ) i ii

E X x p

V(X) E(X²) E(X)²

Arithm. Mittel versus Erwartungswert


Inferenzstatistisches Prinzip

In der Inferenzstatistik (schließenden Statistik) versucht man durch den systematischen Vergleich von empirischen Häufigkeitsverteilungen mit hypothetischen theoretischen Modellen Schlussfolgerungen über den datengenerierenden Prozess ziehen zu können.

Dieser Vergleich kann auf verschiedenen Ebenen erfolgen: Vergleich der theoretischen und der empirischen

Verteilung (z.B. Säulendiagramm empirischer Häufigkeiten versus Wahrscheinlichkeitsfunktion)

Vergleich von Maßzahlen (z.B. Mittelwert versus Erwartungswert)


Beispiel: Diskrete Zufallsvariable

Bei einem Wissenstest muss ein Kandidat bei jeder Frage ein Zuordnungsproblem der folgenden Art lösen:

1) Erste Türkenbelagerung 2) Schlacht von Hastings 3) Entdeckung Amerikas a) 1066 b) 1492 c) 1529 Der Ereignisraum kann wie folgt dargestellt werden:

a b c a c b b a cb c a c a b c b a

Die Anzahl der richtigen Antworten bei dieser Frage ist,da die korrekte Lösung (c a b) lautet, wie folgt:0 1 10 3 1



Geht man davon aus, dass ein Kandidat die Fragen rein nach dem Zufallsprinzip beantwortet (jede der 6 möglichen Antwortmuster mit gleicher Wahrscheinlichkeit wählt), ergibt sich für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Anzahl richtigen Antworten folgende Tabelle:

AnzahlrichtigeAntworten

0 1 2 3

Wahrschein-lichkeit

2/6 3/6 0 1/6



Stellt man den Kandidaten wiederholt eine Problemstellung des obigen Typs, kann man wohl davon ausgehen, dass der Kandidat im Mittel pro Problem eine richtige Antwort treffen wird:xi pi xipi0 2/6 01 3/6 3/62 0 03 1/6 3/6

Summe 1 1 Dieses gewogene Mittel ist der Erwartungswert der

Zufallsvariable.


E X x pi ii

( ) E X x pi ii

( )

Anwendung beim Zuordnungstest

In 3 Schulklassen (A, B, C) mit je 30 Schülern wird der zuvor beschriebene Zuordnungstest durchgeführt:

Korrekt Prob Theorie A B C0 2/6 10 24 11 4 1 3/6 15 4 15 62 0 0 0 0 03 1/6 5 2 4 20

Erwartungswert bei zufälligem Antwortverhalten (Theorie) 1 richtige Lösung pro Schüler

Berechnung der empirischen Mittelwerte pro Klasse: Mittelwert in Klasse(A): 10/30 = 1/3 Mittelwert in Klasse B: 27/30 = 9/10 Mittelwert in Klasse C: 66/30 = 2,2


Theorie: Verteilung beim Raten nach dem reinen Zufallsprinzip

k

iii

k

iii xhxn

nx

11

1

Vergleich empirische – theoretische Verteilung

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3

TheorieA

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3

TheorieB

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3

TheorieC


Gruppe A: deutlich schlechter als blindes Raten Gruppe B: entspricht blindem RatenGruppe C: deutlich besser als blindes Raten

Eigenschaften des Erwartungswertes

Der Erwartungswert einer Summe ist die Summe der Erwartungswerte


E(X Y) E(X) E(Y)

E(aX b) aE(X) b Linearität:

Additivität:

Beachte :E(X X) E(2X)

aberX X 2X

Zufallsvariable Augenzahl beim Würfelwurf

Augen- zahl (X) P(X=x) x.P(X=x)

1 0,167 0,1672 0,167 0,3333 0,167 0,5004 0,167 0,6675 0,167 0,8336 0,167 1,000

3,5


E(X) = 3,5

Zufallsvariable Doppelte Augenzahl (2X)

Augen- zahl (2X) P(X=x) x.P(X=x)

2 0,167 0,3334 0,167 0,6676 0,167 1,0008 0,167 1,33310 0,167 1,66712 0,167 2,000

7


E(2X) = 2*3,5=7

E(X) = 3,5

Summe Augenzahl von 2 Würfen


Zufallsvariable X+X

1 2 3 4 5 61 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,0282 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,0283 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,0284 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,0285 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,0286 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028 0,028


Summe Augenzahl von 2 Würfen

z.B.: P(X+X=7)=6/36 1/36 = 0,02777778

Zufallsvariable X+X

Augen- zahl Y=X+X P(Y=y) y.P(Y=y)

2 0,028 0,0563 0,056 0,1674 0,083 0,3335 0,111 0,5566 0,139 0,8337 0,167 1,1678 0,139 1,1119 0,111 1,00010 0,083 0,83311 0,056 0,61112 0,028 0,333

7,0000,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(Y=y)


E(2X) = 2*3,5 = 7E(X) = 3,5 E(X+X) = E(2X) = 7

Eigenschaften der Varianz einer ZV

V(X) E(X²) E(X)²


Y a bX V(Y) b²V(X)

In Bezug auf lineare Transformationen gilt analog wie bei der empirischen Varianz:

In Bezug auf die Summe/Differenz gilt, für zwei unabhängige Zufallsvariablen X und Y:

Allgemein gilt:

V(X Y) V(X) V(Y)V(X Y) V(X) V(Y)

V(X Y) V(X) V(Y) 2Cov(X,Y)

Anwendungsbeispiel

Im Zuge einer Erhebung wurden Haushalte in einer Stadt nach der Anzahl der im Haushalt benutzten KFZ befragt.

Sie wählen aus der obigen Population rein zufällig einen Haushalt aus und X sei die Zufallsvariable Anzahl der KFZ in einem zufällig ausgewählten Haushalt.

Berechne Erwartungswert und Varianz für die diskrete Zufallsvariable X! Angenommen Sie ziehen aus der obigen Population eine

Zufallsstichprobe von 5 unabhängigen Haushalten. Wie groß sind der Erwartungswert und die Varianz für die

Gesamtsumme der Anzahl der KFZ, die von den 5 ausgewählten Haushalten genutzt werden?


Anzahl der benutzten KFZ

0 1 2 3

Relative Häufigkeit

30% 40% 20% 10%

Lösung


Anzahl KFZ rel Häufigkeit E(X) X² E(X²)0 30% 0 0 01 40% 0,4 1 0,42 20% 0,4 4 0,83 10% 0,3 9 0,9

100% 1,1 2,1

Varianz 0,89

Erwartungswert bei 1 Person 1,1

Varianz bei einer Person 0,89

Erwartungswert bei 5 Personen 5,5

Varianz bei 5 Personen 4,45 wegen Unabhängigkeit

Vorgehen: zuerst berechnen wir E(X) und V(X); dann wenden wir an, dass der Erwartungswert einer Summe gleich der Summe der Erwartungswerte ist. Bei der Varianz gilt das nur, wenn die Beobachtungen statistisch unabhängig sind!

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