5.4 Verteilungsfunktion

Die Verteilungsfunktion F(x) gibt an, wie groß die die Wahrscheinlichkeit

ist, dass die Zufallsvariable X einen Wert annimmt, der kleiner oder gleich x

ist:

F(x) = P(X x).

Bei diskreten Zufallsvariablen erhält man sie durch Aufsummieren von

Wahrscheinlichkeiten, bei stetigen Zufallsvariablen durch Integration.

Die Verteilungsfunktion gibt an welche Wahrscheinlichkeit sich bis zu einem be-

stimmten Wert x der Zufallsvarialben X kumuliert

Abbildung: Form der Verteilungsfunktion bei diskreten und stetigen Zufallsvariablen

Verteilungsfunktion

diskrete Zufallsvariable stetige Zufallsvariable

"Treppenfunktion" monoton steigende Funktion

Es sei X eine diskrete Zufallsvariable. Dann ist ihre Verteilungsfunktion F(x) durch

(5.9)

gegeben. Die Summation erstreckt sich über alle Ausprägungen xj, die kleiner

oder gleich x sind.

Diskrete Zufallsvariablen

xx xx

jj

j j

p)x(f)xX(P)x(F

Bei einer endlichen Zufallsvariablen X mit m möglichen Realisationen x1, x2, …, xm

lässt sich die Verteilungsfunktion formal in der Form

m

3221

211

1

x xfür1

xx xfürpp

xx xfürp

x xfür0

xF

darstellen.

Tabellarische Darstellung:

xj F(xj)

x1 p1

x2 p1 + p2

xm 1

Grafische Darstellung: Treppenfunktion

Erläuterung Treppenfunktion

Der fette Punkt bei der Sprung-

stelle gibt an, dass der x-Wert

jeweils den Funktionswert (=

kumulierte Wahrscheinlichkeit)

der oberen Sprunggrenze an-

nimmt. An jeder Sprungstelle

nimmt die Verteilungsfunktion

F(x) um die Wahrscheinlichkeit pj

zu.

xF

1x 2x3x x

1ppp 321

1p

21 pp

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer diskreten Zufallsvariablen X

aFaXP

)aX(PaFaXP

)aX(PaF1aXP

aF1aXP1aXP

Wahrscheinlichkeit für… Formaler Ausdruck

höchstens a

weniger als a

mindestens a

mehr als a

Beispiel 5.8:

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion im Beispiel des Produktionsprozesses, bei dem

zwei Teile entnommen werden, ist gegeben durch

sonst0

2xfür p

1xfür p1p2

0xfür p1

xf2

2

Für die Verteilungsfunktion ergibt sich daraus wegen (5.9) für ausgewählte x-Werte

z.B.

1pp-1pp)-2p(1p)-(12)P(X1)P(X0)P(X2)P(XF(2)

p-12p-2pp2p-1 p)-2p(1p)-(11)P(X0)P(X1)P(XF(1)

p)-(10)P(X0,2)P(XF(0,2)

p)-(10)P(X0)P(XF(0)

0-1)P(XF(-1)

2222

2222

2

2

Die Verteilungsfunktion lässt sich damit kompakt schreiben als

2xfür1

2x1fürp1

1x0fürp1

0xfür0

xXPxF2

2

Sie hat Sprungstellen in den Punkten x=0, x=1 und x=2. Die Höhe der Sprünge

addiert sich insgesamt zu 1. ♦

Stetige Zufallsvariablen

Die Verteilungsfunktion F(x) entspricht bei einer stetigen Zufallsvariablen X

der Fläche unterhalb der Dichtefunktion f(u), die sich bis zum Wert x kumuliert

hat. Man erhält sie durch Integration:

(5.10) .

Die Größe u wird hierbei als Integrationsvariable verwendet.

xduufxF

Mit der Verteilungsfunktion F(x) lassen sich ebenso wie mit der Dichtefunktion

f(x) Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Bei stetigen Zufallsvariablen ist dabei uner-

heblich, ob die Intervallgrenze zum Intervall gezählt wird oder nicht, weil Punkt-

wahrscheinlichkeiten gleich null sind.

aFaXP

aFaXP

aF1aXP1aXP

Wahrscheinlichkeit für… Formaler Ausdruck

höchstens a

weniger als a

mindestens a

mehr als a

Kumulierte Wahrscheinlichkeiten bei einer stetigen Zufallsvariablen X

aF1aXP1aXP

Abbildung: Intervallwahrscheinlichkeiten

xf

xb

bXP

xf

x

bF1

bXP

bF

xf

xa b

bXaP

F(b)F(a)

Wahrscheinlichkeiten für geschlossene und offene Intervalle bei einer

stetigen Zufallsvariablen X

aFbFbXaPbXaPbXaPbXaP (5.11)

F(b)

Beispiel 5.9:

Wir betrachten die in Beispiel 5.7 verwendete Dichtefunktion

2xfür0

2x0fürx21

0xfür0

xf .

a) Welche Verteilungsfunktion hat die Zufallsvariable X?

1. Schritt: Bildung des Integrals im Intervall 0x2

2. Schritt: Ausweisen der Verteilungsfunkton

2 xfür1

2x0 fürx4

1

0 xfür0

xF 2

2x

0

22x

0

2x

x4

10

4

1x

4

1u

4

1duu

2

1duuf

(1/2)x für

Dichtefunktion Verteilungsfunktion

Grafische Darstelllung der Dichte- und Verteilungsfunktion:

1/2

1

f(x)

x-1 20 1

1/2

1

F(x)

x-1 20 1

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable X Werte annimmt,

die kleiner oder gleich 1,6 sind?

● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)

● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)

1/2

1

f(x)

x-1 20 1

0,64

64,056,24

1

6,14

16,1F6,1XP 2

1/2

1

F(x)

x-1 20 1

F(1,6) =0,64

Der Punkt x=1,6 heißt 0,64-Quantil der Wahrscheinlichkeitsverteilung.

64,0

04

16,1

4

1x

4

1

dxx2

1dxxf1,6XP

221,6

0

2

1,6

0

1,6

c) Welchen Wert nimmt die Wahrscheinlichkeit für 0,6< X<1,2 an?

● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)

● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)

1/2

1

f(x)

x-1 20 1

0,27

270,0

09,036,0

6,04

12,1

4

1

6,0F2,1F2,1X6,0P

22

1

F(x)

x-1 20 1

F(1,2) =0,36

F(0,6) =0,090,36-0,09=0,27

270,0

6,04

12,1

4

1

x4

1

dxx2

1dxxf2,1X6,0P

22

2,1

6,0

2

2,1

6,0

2,1

6,0

d) Schließlich fragen wir noch nach der Wahrscheinlichkeit, dass X größer als 1,3 ist.

● Berechnung mit Hilfe der Dichtefunktion f(x)

● Berechnung mit Hilfe der Verteilungsfunktion F(x)

♦

1/2

1

f(x)

x-1 20 1

0,577

577,0

423,013,14

11

3,1F13,1XP

2

1

F(x)

x-1 20 1

F(1,3) =0,423

1-0,423

=0,577

0,577

1,34

12

4

1x

4

1

dxx2

1dxxf1,3XP

222

1,3

2

2

1,31,3

5.5 Erwartungswert und Varianz

Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen sind Maßzahlen (Kenngrö-

ßen), mit denen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariablen genauer

beschrieben werden kann.

Übersicht: Wichtige Maßzahlen einer Zufallsvariablen

Maßzahlen einer Zufallsvariablen

Erwartungswert

Durchschnittswert aus einer Viel-

zahl von Zufallsexperimenten

Varianz

Durchschnittliche quadratische

Abweichung vom Erwartungswert

● Erwartungswert einer Zufallsvariablen

Der Erwartungswert E(X) einer Zufallsvariablen X gibt an, welchen Wert sie

bei einer unbegrenzten Wiederholung im Durchschnitt annehmen wird.

Praktisch lässt er sich als Durchschnittswert bei einer großen Anzahl von

Wiederholungen des Zufallsvorgangs interpretieren.

Der Erwartungswert von X, E(X), wird auch als arithmetisches Mittel der

Grundgesamtheit, , bezeichnet.

Erwartungswert bei diskreten Zufallsvariablen:

(5.12)

(5.13)

Erwartungswert bei stetigen Zufallsvariablen:

m

1jjj

m

1jjj xfxpxXE (bei m möglichen Realisationen)

dxxfxXE

Beispiel 5.10:

Bei einem Würfelwurf gewinnt man das Fünffache der gewürfelten ungeraden Au-

genzahl und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Ver-

lustbeträge werden in Euro gemessen.

Von welchem Erwartungswert des Gewinns können Sie ausgehen, wenn Sie an

diesem Glücksspiel teilnehmen?

Mit Hilfe der Angaben in der Wahrscheinlichkeitsfunktion der diskreten Zufallsva-

riable X

sonst0

25xfür6

1

15xfür6

1

5xfür6

1

8xfür6

1

16xfür6

1

24xfür6

1

xf

lässt sich der Erwartungswert unter Verwendung von (5.12) bestimmen:

.2

1

6

3

6

125

6

115

6

15

6

18

6

116

6

124

pxXE6

1jjj

Sie müssen also im Schnitt mit einem Verlust pro Spiel von ½ Euro rechnen.

Beispiel 5.11:

Wir betrachten die bereits bekannte Dichtefunktion

2xfür0

2x0fürx21

0xfür0

xf

Wie groß ist sein Erwartungswert der Zufallsvariablen X?

Da die Zufallsvariable X stetig ist, ziehen wir zur Berechnung des Erwartungs-

werts die Formel (5.13) heran. Wir integrieren hier über das Intervall zwischen 0

und 2, da die Dichte nur in diesem Bereich ungleich 0 ist:

♦

(1/2)x für

.3

40

6

8

6

1

21

21

2

0

3

2

0

22

0

x

dxxdxxxdxxfxXE dx2x2

1dxx

2

1xdxf(x)xE(X)μ

2

0

2

0

● Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen

Varianz und Standardabweichung einer Zufallsvariablen X sind Streuungs-

maße, die angeben, wie stark ihre Realisationen um den Erwartungswert

streuen.

Die Varianz V(X) gibt die durchschnittliche quadrierte Abweichung wieder.

Sie wird auch durch das Symbol ² gekennzeichnet.

Varianz bei diskreten Zufallsvariablen (bei m möglichen Realisationen):

Varianz bei stetigen Zufallsvariablen:

m

1jj

2jj

m

1j

2j

22 xfxpxXE)X(V(5.14)

(5.15)

dxxfxXE)X(V 222

Die Standardabweichung gibt als Wurzel aus der Varianz an, wie stark die

Werte der Zufallsvariablen X durchschnittlich von ihrem Erwartungswert E(X)

abweichen.

Standardabweichung:

(5.16)2)X(V

Beispiel 5.12:

Wie groß sind Varianz und Standardabweichung beim einmaligen Werfen mit

einem fairen Würfel? Mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion

sonst0

6,...,2,1xfür6/1)x(f

ergibt sich der Erwartungswert

.5,3216

1654321

6

1

6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11pxXE

6

1jjj

Für die Varianz erhält man mit (5.14)

.917,25,176

125,625,225,025,025,225,6

6

1

6

15,36

6

15,35

6

15,34

6

15,33

6

15,32

6

15,31

px

22

2222

6

1jj

2j

2

Die Augenzahlen beim Würfelwurf weichen damit durchschnittlich um

708,16

5,172

vom Erwartungswert 3,5 ab.

Beispiel 5.13:

Für die Dichtefunktion,

2xfür0

2x0fürx21

0xfür0

xf

hatten wir bereits den Erwartungswert von 4/3 in Beispiel 5.11 bestimmt. Damit

lassen sich Varianz

und Standardabweichung

471,09

2

berechnen. Die Werte, die die Zufallsvariable X annehmen kann, weichen also im

Mittel um 0,471 vom Erwartungswert ab.

222,09

2

9

16

9

322x

9

4x

9

4

8

x

dxx9

8x

3

4

2

xdxx

2

1

9

16x

3

8x

dxx2

1

3

4xdxxfx

2

0

234

2

0

232

0

2

2

0

222

(1/2)x für

● Eigenschaften von Erwartungswert und Varianz

Es werden nun die allgemeinen Eigenschaften von Erwartungswert und

Varianz einer Zufallsvariablen diskutiert.

Übersicht: Diskutierte Eigenschaften

Diskutierte Eigenschaften

Varianzverschiebungssatz Lineartransformation Standardisierung

● Varianzverschiebungssatz

Zur Varianzermittlung gibt es eine vereinfachte Berechnungsformel, den Varianz-

verschiebungssatz. Hier werden nur der Erwartungswert der quadrierten Zu-

fallsvariablen sowie der einfache Erwartungswert benötigt:

222 XEXE

m

1jj

2j

m

1jj

2j

2 xfxpxXE dxxfxXE 22

(5.17)

diskreter Fall stetiger Fall

(5.18) (5.19)

Beweis von (5.17):

Nach (5.14) und (5.15) ist die Varianz von X durch

2 = E{[X – E(X)]2}

gegeben. Die Formel lässt sich durch einfache algebraische Umformung zeigen:

.XE)X(EXEXE2)X(E

XEXEXE2)X(E

XEXEX2XE

XEXXEXEXEXE

22222

22

22

22

⃞

Beispiel 5.14:

Für die Wahrscheinlichkeitsfunktion beim einmaligen Würfelwurf ermitteln wir zu-

nächst den Erwartungswert von X2:

.167,156

91362516941

6

1

6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11

pxXE

222222

6

1jj

2j

2

Mit dem Varianzverschiebungssatz (5.17) erhält man das mit der originären Va-

rianzformel (5.14) berechnete Ergebnis:

.917,225,12167,155,3167,15XEXE 2222 ♦

Beispiel 5.15:

Bei der Dichtefunktion

2xfür0

2x0fürx21

0xfür0

xf

nimmt der Erwartungswert von X2 den Wert

an. Unter Verwendung des bereits ermittelten Erwartungswerts von X, 4/3, erhält

man denselben Wert für die Varianz der Zufallsvariablen X:

.222,09

2

9

16

9

18

3

42XEXE

2222

♦

208

16

x8

1dxx

21dxx

21xdxxfxXE

2

0

42

0

32

0

22

0

22

(1/2)x für

● Lineartransformation

In verschiedenen Anwendungen wird von einer Lineartransformation Gebrauch

gemacht, indem X um einen konstanten Betrag a und einen multiplikativen Faktor

b verändert wird::

(5.20) XbaY

Man erhält den neuen Erwartungswert E(Y), indem man die Lineartransformation

(5.20) in gleicher Form auf den ursprünglichen Erwartungswert E(X) anwendet:

(5.21)

Beweis von (5.21):

Wir beschränken uns hier darauf, (5.21) für den Fall einer stetigen Zufallsvariablen

zu beweisen. Es gilt

.dxxfxbdxxfa

dxxfxbdxxfadxxfxba)Y(E

Wegen

XEdxxfxund1dxxf

folgt .XEbaYE ⃞

XEbaXbaEYE

Wie sich gezeigt hat, lässt sich der neue Erwartungswert durch eine lineare

Transformation,

E(Y) = E(a+b·X) = a + b·E(X),

aus dem ursprünglichen Erwartungswert E(X) erhalten. Aufgrund der in dieser

Gleichung wiedergegebenen Transformationseigenschaften bezeichnet man

den Erwartungswert auch als linearen Operator.

Folgerung:

Speziell folgt aus (5.21), dass der Erwartungswert einer Konstanten gleich der

Konstanten ist:

(5.22) E(a) = a

Beispiel 5.16:

In Bespiel 5.10 hatten wir die Zufallsvariable Gewinn (in €) bei einem Würfelwurf be-

trachtet. Der Spieler gewinnt das Fünffache der gewürfelten ungeraden Augen-zahl

und verliert das Vierfache der geraden Augenzahl. Die Gewinn- und Verlustbe-träge

werden in Euro gemessen.

Angenommen, der Glücksspieler möchte seinen Gewinn, der in Euro ausgezahlt

wird, in Dollar [$] umtauschen. Für einen Euro erhält er 1,30 Dollar. Zusätzlich fallen

Umtauschgebühren unabhängig von der Höhe des Gewinns von 2 Dollar an. Alle

Gewinne werden also um 2 Dollar vermindert. Wie hoch ist der erwartete Gewinn in

Dollar?

Die Formel für die Lineartransformation lautet:

.€inX€

$30,1$2$inY

Wir berechnen den erwarteten Dollar-Gewinn durch

a) Anwendung der Lineartransformation (5.20) auf die in Euro ausgezahlten Ein-

zelgewinne,

b) Anwendung der Lineartransformation (5.21) auf den Erwartungswert des Ge-

winns in Euro.

Ad a) Berechnung des Erwartungswerts (in $) aus den Einzelgewinnen

Wahrscheinlichkeitsfunktion der Gewinne (in $):

Gewinne in Dollar:

y1 = -2 + 1,30·(-x1=24) = -33,20; y2 = -2 + 1,30·(x2=-16) = -22,80;

y3 = -2 + 1,30·(x3=-8) = -12,40; y4 = -2 + 1,30·(x4=5) = 4,50;

y5 = -2 + 1,30·(x5=15) = 17,50; y6 = -2 + 1,30·(x6=25) = 30,5;

Erwarteter Dollar-Gewinn:

.$65,2

6

150,30

6

150,17

6

150,4

6

140,12

6

180,22

6

120,33

pyYE6

1jjj

sonst0

50,30yfür6

1

50,17yfür6

1

50,4yfür6

1

40,12yfür6

1

80,22yfür6

1

20,33yfür6

1

yf

Ad b) Berechnung des Erwartungswerts (in $) aus dem erwartetem Euro-Gewinn

€2

1XE

Erwartungswert in Euro (aus Beispiel 5.10):

Erwartungswert in Dollar (mit Lineartransformation 5.21):

$65,2

5,030,12

XEbaYE

♦

Im Falle einer linearen Transformation der Zufallsvariablen X werden bei der

Varianzbildung multiplikative Konstanten quadriert. Die Varianz ändert sich dagegen

nicht, wenn zu der Zufallsvariablen eine Konstante addiert wird. Daraus folgt, dass

die Varianz einer Konstanten stets gleich 0 ist.

Man erhält damit die neue Varianz V(Y) aus der ursprünglichen Varianz V(X) aus

(5.23) ).X(VbbXaV)Y(V 2

Beweis von (5.23):

Die Varianz ist definiert als quadrierte Abweichung der Zufallsvariablen von ihrem

Erwartungswert:

Mit (5.21),

.XbaEXbaE

XbaEXbaEYEYE)Y(V

2

22

erhält man

22 XEbXbEXEbaXbaE)Y(V

und daraus schließlich

).X(VbXEXEbXEXbE)Y(V 2222 ♦

,XEba)Xba(EYE

Beispiel 5.17:

Wie hoch ist die Varianz des Spielergewinns in Dollar? Wir berechnen die Lösung

wiederum auf zwei Wegen: Durch

a) Anwendung der Lineartransformation (5.20) auf die in Euro ausgezahlten Ein-

zelgewinne,

b) Anwendung der Transformation (5.23) auf die Varianz des Gewinns in Euro.

Ad a) Berechnung der Varianz (in $) aus den Einzelgewinnen

Unter Verwendung der in Beispiel 5.16 ermittelten Wahrscheinlichkeitsfunktion f(y)

der Gewinne in Dollar,

,

sonst0

50,30yfür6

1

50,17yfür6

1

50,4yfür6

1

40,12yfür6

1

80,22yfür6

1

20,33yfür6

1

yf

und dem dort berechneten Erwartungswert der Gewinne in Dollar,

,$65,2YE

erhält man die Varianz der Gewinne in Dollar

.$408,498

83,1541,67067,5208,84415670,67550,155

6165,25,306165,25,17

6165,25,46165,24,12

6165,28,226165,22,33

p)65,2(yp)Y(Ey)Y(V

2

22

22

22

6

1jj

2j

6

1jj

2j

Ad b) Berechnung der Varianz in Dollar aus der Varianz in Euro

In Anwendungen ist die alte Varianz in der Regel bekannt. In unserem Fall ist sie

unter Verwendung der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) der Gewinne in Euro,

sonst0

25xfür6

1

15xfür6

1

5xfür6

1

8xfür6

1

16xfür6

1

24xfür6

1

xf ,

und dem Erwartungswert der Gewinne in Euro,

,€5,0XE

zu erst noch berechnen:

294,917.

108,37540,0425,0429,37540,04292,042

615,025615,015

615,05615,08

615,016615,024

p)5,0(xp)X(Ex)X(V

22

22

22

6

1jj

2j

6

1jj

2j

Mit Hilfe der Transformationsformel (5.23) erhalten wir für die Varianz der Gewinne

in Dollar den Wert

,$410,498

294,9173,1

XVbYV

2

2

2

der bis auf eine Rundungsungenauigkeit mit dem in Teil a) errechneten Wert über-

einstimmt. ♦