Statistik: 15.3.04

Arbeiten mit der Normalverteilung

15.3.04 PI Statistik, SS 2004 (7) 2

Heilmittel pro Patient n.d.Fach

OPINAM

400

300

200

100

0

Hei

lmitt

elko

sten

p.P

atie

nt1.Q.2002

15.3.04 PI Statistik, SS 2004 (7) 3

Heilmittel pP: Allg.Medizin

n 835

Mean 71,63

SE Mean 0,79

StDev 22,85

Min 0,00

Max 362,55

1.Q.2002

4003002001000

200

100

0

Heilmittelkosten p.Patient

Häu

figke

it

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Heilmittel pP: Innere Medizin

n 88

Mean 18,51

SE Mean 1,14

StDev 10,67

Min 0,09

Max 76,88

1.Q.2002

0 100 200 300 400

0

10

20

30

40

Heilmittelkosten p.Patient

Häu

figke

it

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Heilmittel pP: Orthopädie

n 121

Mean 44,33

SE Mean 1,68

StDev 18,47

Min 4,35

Max 103,54

1.Q.2002

0 100 200 300 400

0

10

20

30

Heilmittelkosten p.Patient

Häu

figke

it

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Normalverteilung

X ~ N(,2)

-4 -2 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

= 0

2 = 1

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Bedeutung der Normalverteilung

In vielen praktischen Situationen stoßen wir auf normalverteilte MerkmaleZentraler Grenzwertsatz (Galton‘sches Brett)Große Bedeutung für Theorie

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Normalverteilung

X ~ N(,2)2

-4 -2 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

X

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NormalverteilungDichtefunktion von N(,2)

21 1

( ) exp ,22

xf x x

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Einige Normalverteilungen

-6 -4 -2 2 4 6

0.2

0.4

0.6

0.8

N(-2, 4)

N(0, 1)

N(2, 0.25)

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Standardisieren

-10 -8 -6 -4 -2 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

N(-7, 4)

N(0, 1)

xz

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Verteilungsfunktion (z)

( ) ( ) ( ) ,z

z P Z z u du z

-4 -2 2 4

0.1

0.2

0.3

0.4

z

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Berechnen von W‘ktenX~N(,2),

In EXCEL: Funktionen NORMVERT, STANDNORMVERT

Aus Tabelle

( ) a

aP X a z

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Berechnen von W‘kten, Forts.

( ) a b

a bP b X a z z

Analog für

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Symmetrisches Intervall

X~N(,2); gesucht sind solche um symmetrische Schranken a und b, dass

Aus

folgt

und b = - 1.960 ; analog a = + 1.960

( ) 0.95P b X a

( ) ( ) 0.025P X a P X b

0.025

( )

0.025 ( 1.96) ( )

b bP X b P Z

z

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Q-Q Plot

Zu einem Datensatz soll überprüft werden, ob die Daten von einem normalverteilten Merkmal stammenQ-Q Plot oder Quantil-Quantil Plot, auch normal probability plot

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Ermitteln des Q-Q Plots1. x1,…,xn:

2. Sortiere die Beobachtungen aufsteigend3. Bestimme die Rangzahlen4. Bestimme die Ordnung i /(n +1) [oder (i -0.5)/n],

die sich für die Beobachtung mit Rang i ergibt, wenn wir sie als (empirisches) Quantil auffassen

5. Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete) Quantil der Standard-Normalvert. (Normal Score)

6. Bestimme zur Ordnung i /(n +1) das (erwartete) Quantil der Normalverteilung mit Parametern

7. Streudiagramm (Normal Scores über X)

,x s

,x s

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Heilmittelkosten: Histogramm

Heilmittelkosten je Patient

0

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80

Internisten

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Heilmittelkosten: Q-Q Plot

Normal scores vs. Beobachtungen

-10,0

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

0,0 10,0 20,0 30,0 40,0 50,0 60,0 70,0 80,0 90,0

Heilmittelkosten je Patient

No

rmal

Sco

res

Internisten

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Berechnung des Q-Q PlotsX Rang Ordn. St.N.C. N.C.

0,1 1 0,011 -2,282 -5,843

1,4 2 0,022 -2,005 -2,885

4,0 3 0,034 -1,829 -1,004

5,7 4 0,045 -1,696 0,414

6,2 5 0,056 -1,588 1,570

… … … … …