Stoßquerschnitt und mittlere freie Weglänge

Im idealen Gas findet zwischen zwei Teilchen ein Stoß statt, wenn der Abstand der Fluggeraden den beiden Teilchen, der Stoßparameter b, kleiner ist als die Summe der Radien.

Beim Stoß ist der Abstand der Teilchen gleich der Summe der Radien

€

A1

€

A2

€

A1

Þ Alle Teilchen , deren Mittelpunkte durch eine Fläche

um den Mittelpunkt von laufen stoßen mit .

€

σ = π r1 + r2( )2

σ heißt Stoßquerschnitt.

Gaub 1WS 2014/15

Stoßquerschnitt und mittlere freie Weglänge

€

ΔN = N n σ ΔxBei N einlaufenden Teilchen stoßen

In einem dünnen Gas mit einer Dichte n von ruhenden Teilchen ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein einfliegendes Teilchen mit einem anderen auf der Weglänge Δx wechselwirkt:

€

σ∑A

=n σ Δx A

A= n σ Δx

€

=>dN

N= −n σ dx

€

=>N x( ) = N0 e−n σ x

€

= N0 e−x Λ

€

Λ=1/nσMittlere freie Weglänge

2

Stoßquerschnitt und mittlere freie Weglänge

Die mittlere Zeit τ zwischen 2 Stößen ist:

€

τ =Λv

=1

n σ v

Bewegen sich beide Teilchen, wird durch die mittlere Relativgeschwindigkeit ersetzt:

€

v

€

2 v 2

€

τ =1

n σ 2 v 2

Typische Zahlen N2 bei Normaldruck: n ≈ 3 1021 / l, Streuquerschnitt: ≈ 50 Å2

=> frei Weglänge ≈ 70 nm

Gaub 3WS 2014/15

§7.4 Experimentelle Prüfung der kinetischen Gastheorie

Molekularstrahlen

Beim ausströmen eines dünnen Gases aus einem Reservoir, entsteht ein gerichteter Strahl.

€

N ϑ( ) ~ cosϑ

Für die Richtungsverteilung gilt:

€

N v( ) = n v f v( )

Die Geschwindigkeitsverteilung ist eine modifizierte Maxwell-Boltzmann-Verteilung:

Die Blende B mit dem Durchmesser b blendet den Winkelbereich aus.

€

ϑ > ε€

tanε =b

2d

Kollimierter Molekülstrahl, d.h. alle Teilchen fliegen innerhalb des Winkels ε zur Strahlachse.

Þ 4

Molekularstrahlen

Messung der Winkelverteilung der Moleküle durch einen schwenkbaren Detektor.

Nach Einbau eines Geschwindigkeitsselektors, lässt sich die Anzahl der Teilchen in einem vorgegebenen Geschwindigkeitsintervall messen.

Es können nur Teilchen die zweite Scheibe passieren, die zum Durchqueren des Selektors so lange brauchen (Flugzeit T), wie Schlitz 2 um in die Position von Schlitz 1 zu gelangen.

€

T =a

v=! ϕ

ωÞ

€

v =ω a

ϕGaub 5WS 2014/15

Molekularstrahlen

Das durchgelassene Geschwindigkeitsintervall Δv berechnet sich bei einer Schlitzbreite S von S = R Δφ zu:

Fehler im Demtröder! (Faktor 2 vergessen – unter der Annahme, dass der 2. Schlitz genauso breit ist)

€

Δv = v2 Δϕ

ϕ

Durch die Variation von ω kann N(v) gemessen werden.

Entspricht n(v) der Maxwell-Boltzmann-Verteilung, folgt für N(v):

€

N v( ) = n v( ) v =4 v 3

vw3 π

e−m v 2

2 k T

Gaub 6WS 2014/15

Molekularstrahlen

Um zu verhindern, dass Teilchen bei einem Winkel von 360° + φ die zweite Scheibe durchqueren, werden mehrere Scheiben zwischengeschaltet.

Gaub 7

Molekularstrahlen

Prinzipien zum Nachweis von Molekülen in Molekularstrahlen:

Bolometer:

kinetische Energie der Moleküle erwärmt Widerstand R

Þ Veränderung des elektrischen Widerstands

€

ΔR =∂R

∂TΔT

€

ΔT =N EkinG

Der Faktor G steht für die abgeleitete Wärme.

Möglichkeit zum Nachweis einer Leistung von .

€

10−14W

Gaub 8WS 2014/15

Molekularstrahlen

Prinzipien zum Nachweis von Molekülen in Molekularstrahlen:

Ionisationsdetektor:

Ionisation der einfallenden Teilchen durch Elektronen

Þ Nachweis eines elektrischen Stroms beim Aufsammeln der Ionen

€

I = η N e

Erzeugter Strom bei Teilchenfluss N und einfacher Ionisation mit der Ionisationswahrscheinlichkeit η:

Gaub 9WS 2014/15

Molekularstrahlen

Prinzipien zum Nachweis von Molekülen in Molekularstrahlen:

Langmuir-Taylor- Detektor:

Ionisation der einfallenden Teilchen an einem geheizten Draht

Þ Nachweis der Ionen Durch Abziehen mit einem elektrischen Feld

Ist die Ionisationsenergie der Teilchen kleiner als die Austrittsarbeit der Elektronen aus dem Draht, wird bei diesem Übergang Energie frei.

Gaub 10WS 2014/15

Molekularstrahlen

Prinzipien zum Nachweis von Molekülen in Molekularstrahlen:

moderne Methoden: laserspektroskotische Verfahren

Erhöhung des Drucks im Reservoir

Þ mittlere freie Weglänge < Öffnung

Die Geschwindigkeiten der Teilchen im Strahl gleichen sich durch Stöße während der Expansion an.

Þ

Die Geschwindigkeitsverteilung wird enger und die mittlere Geschwindigkeit übersteigt die lokale Schallgeschwindigkeit („Überschallstrahl“).

Gaub 11WS 2014/15

Molekularstrahlen

Strömungsgeschwindigkeit im Strahl:

€

N v( ) = C v 3 e−m u−v( )

2

2 k Tt

Mit der Translationstemperatur als Maß für die Breite der Geschwindigkeitsverteilung.

€

Tt

€

Tt kann kleiner als 1K werden!

Gaub 12WS 2014/15