Strömungsmechanik 1 Frühjahr 2012Klausur und Lösung Strömungsmechanik 1 Frühjahr 2012 29. Februar 2012, Beginn 15:30 Uhr Prüfungszeit: 90 Minuten Zugelassene Hilfsmittel sind:

Klausur und Lösung

Strömungsmechanik 1

Frühjahr 2012

29. Februar 2012, Beginn 15:30 Uhr

Prüfungszeit: 90 Minuten

Zugelassene Hilfsmittel sind:

Taschenrechner (nicht programmierbar)

TFD-Formelsammlung (ohne handschriftliche Ergänzungen)

Lineal und Schreibmaterial (nur dokumentenecht, => keinen Bleistift verwenden, kein TIPP-Ex)

mitgebrachtes Papier

Andere Hilfsmittel, insbesondere:

Alte Klausuren

Übungen der Vorlesung

Handy, Laptop, Fachbücher, programmierbarer Taschenrechner

sind nicht zugelassen.

weitere Hinweise:

Ergebnisse sind durch einen Rechenweg zu begründen und nur mit einer Einheit richtig. Die zu

verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen

einzutragen.

Aufgabe Punkte

1. Kurzaufgaben

2. Inkompressible Strömungen

3. Kompressible Strömungen

4. Herleitung

Gesamt 60

Name, Vorname: ...........................................................

Matrikelnummer: ...........................................................

Wir wünschen Ihnen viel Erfolg!

Dr.-Ing. K. Mulleners, Prof. J. Seume

V. Köpplin, H. von Seggern

!!Alle Aufgabenteile (X.X) sind unabhängig voneinander lösbar!!

Klausur Strömungsmechanik I Wintersemester 2011/2012

Name, Vorname: ........................................... Matrikelnummer: ...........................................

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1. Kurzaufgaben (13 Punkte)

Hinweis: Die Ergebnisse mit Einheit der Kurzaufgaben sind in die dafür vorgesehenen Kästen

einzutragen. Es gibt bei Kurzaufgaben keine Punkte auf den Rechenweg. Lösungen auf Zetteln werden

nicht bewertet!

1.1. Multiple-Choice (4 Punkte)

Kreuzen Sie richtige Aussagen an oder tragen die Lösung in die dafür vorgesehene Kästchen. Es können pro

Frage mehrere Antworten richtig sein.

(nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet)

Überströmte ebene und gekrümmte Oberfläche

Eine zu Beginn ebene und im weiteren Verlauf gekrümmte Oberfläche wird mit zeitlich konstanter

Zuströmgeschwindigkeit überströmt. Entlang der Oberfläche stellen sich dabei lokal unterschiedliche

Geschwindigkeitsprofile ein.

Ordnen Sie alle dargestellten Geschwindigkeitsprofile (A-D) den vorgegebenen Positionen zu.



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Umströmte Körper

Die Abbildungen A-D zeigen einen Querschnitt durch das Strömungsfeld eines angeströmten Zylinders und

eines Tragflügelprofils. Die geometrischen Abmaße des Zylinders und des Tragflügels sind in den

Abbildungen A und B bzw. C und D identisch. Die Zuströmbedingungen des Zylinders und der

Anstellwinkel des Tragflügels wurden variiert. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.

Der Widerstandskoeffizient des Zylinders in Abbildung A ist im Verlgeich zum Zylinder in

Abbildung B größer.

Bei zunehmender Anströmgeschwindigkeit bewegt sich der Ablösepunkt in D in Richtung der

Vorderkante des Tragflügels (stromaufwärts).

Der Druckwiderstand des Tragflügels in Abbildung C ist größer als der Druckwiderstand des

Tragflügels in Abbildung D.

Im Vergleich zwischen einer laminaren und einer turbulenten Umströmung des Tragflügelprofils in

Abbildung C bei sonst gleichen Bedingungen, weist die turbulente Umströmung einen höheren

Reibungswiderstand auf.



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Druckverlust

Abbildungen A bis C zeigen einen durchströmten Carnot-Diffusor, einen Bernoulli-Diffusor und ein gerades

Rohr. Sowohl der Eintrittsquerschnitt aller dargestellten Geometrien als auch die Autrittsquerschnitte der

Diffusoren sind gleich groß. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.

Für den gleichen Eingangs-Massenstrom und

gleiche Oberflächenbeschaffenheit der

Wände weist der Diffusor in Abbildung A im

Vergleich zum Diffusor in Abbildung B einen

höheren Druckverlust auf.

Für den gleichen Eingangs-Massenstrom im Rohr

in Abbildung C sind die Druckverluste bei einer

turbulenten Durchströmung im Vergleich zu einer

laminaren Durchströmung größer.

Im Rohr in Abbildung C mit konstanten,

laminaren Strömungsbedingungen weist eine

hydraulisch glatte Oberfläche im Vergleich zu

einer hydraulisch rauen Oberfläche höhere

Druckverluste auf.


turbulenten Strömungsbedingungen weist eine


einer hydraulisch rauen Oberfläche niedrigere

Druckverluste auf.

Laminare Grenzschicht

Die Abbildung zeigt den Verlauf der Grenzschichtdicken zweier unterschiedlicher, laminarer

Grenzschichten eines Mediums mit kinematischer Viskosität auf einer überströmten, ebene Platte in einem

unendlich ausgedehnten Strömungsfeld. Die Indizes entsprechen der Benennung der Grenzschichtprofile.

Für die oben gezeigten Grenzschichtverläufe können folgende Aussagen zutreffen:



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1.2. Kurzaufgabe: Galilei-Thermometer (9 Punkte)

Das Messprinzip des Galilei-Thermometers (Abbildung 1) beruht auf der

temperaturabhängigen Dichteänderung von Fluiden. Das Thermometer

besteht aus einem Glaszylinder (Innenradius r), der mit einer Flüssigkeit F der

Dichte ρF gefüllt ist. Im Zylinder befinden sich Glaskugeln mit Flüssigkeit K

gefüllt, die alle das konstante Volumen VK aber unterschiedliche Massen mKi

haben. Die Wände der Glaskugeln sind so dick, dass die Dichteänderung des

Fluids K keinen Einfluss auf das Volumen der Kugeln hat. Die Kugeln sinken

mit steigender Temperatur nacheinander ab. Die Kugel mit der kleinsten

Temperaturangabe sinkt als erstes. Die Höhe der schwebenden Kugel gibt die

Temperaturänderung an.

Für die Befüllung des Glaszylinders stehen vier Flüssigkeiten (Fluid F) zur

Auswahl: A, B, C und D. Tabelle 1 gibt die Dichte ρF sowie die

Oberflächenspannung σF bei einer Temperatur T0= 20°C sowie den

Ausdehnungskoeffizienten βF an. Der Ausdehnungskoeffizient βF gibt die

Dichteänderung für eine Temperaturzunahme von 1K an.

Gegeben für alle Teilaufgaben:

VK = 10 cm³ g = 9,81 m/s²

Tabelle 1: Eigenschaften der Flüssigkeiten bei T=20°C

Flüssigkeit Dichte ρF in

g/cm³

Ausdehnungskoeffizient

βF in 1/K

Oberflächenspannung σF

in N/m

A 0,998 0,207 ∙ 10-3

72,75 ∙ 10-3

B 0,789 1,10 ∙ 10-3

22,55 ∙ 10-3

C 1,594 1,23 ∙ 10-3

26,66 ∙ 10-3

D 13,55 0,15 ∙ 10-3

476∙ 10-3

1.2.1. Thermometerflüssigkeit (2 Punkte)

Für welche der vier Flüssigkeiten ergibt sich die stärkste Höhenänderung der schwebenden Kugel bei einem

Temperaturunterschied von 1K, wenn angenommen wird, dass die Dichte sich linear mit der Temperatur

ändert?

Flüssigkeit :

Abbildung 1: Skizze des

Galilei-Thermometers



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1.2.2.Kugelgewicht (4 Punkte)

Das Thermometer zeigt nun eine Temperatur T von 22°C (Kugel

schwebt, Abbildung 2) an und der Zylinder ist mit der Flüssigkeit A aus

Tabelle 1 gefüllt. Welches Gewicht hat die Kugel mit dieser

Temperaturangabe?

1.2.3. Kontaktwinkel (3 Punkte)

Der Glaszylinder (Radius r) ist mit der Flüssigkeit A (Tabelle 1)

gefüllt. Es liegt an der benetzten Innenwand ein Kontaktwinkel

(Randwinkel) α vor und die Steighöhe ist hs (Abbildung 3) bei

T = 20°C Raumtemperatur.

Welcher Wert der Oberflächenspannung σF ergibt sich für diesen

Fall rechnerisch?

geg: r = 2 cm hs = 437 µm α = 54°

σF (α):

Abbildung 2: Skizze des

Galilei-Thermometers für eine

Temperatur von 22°C

Abbildung 3: Schnittansicht des

Thermometers mit Kontakt-

winkel α an der benetzten Wand

und Steighöhe hs



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2. Wassermühle (24 Punkte)

Eine Traditionsmühle hat als Besonderheit das Foyer mit einem historischen Wasserrad und einem

darunterliegenden Becken ausgestattet. Das Becken ist über ein Abflussrohr (Durchmesser D) mit einem

tieferliegenden, offenen Reservoir verbunden. Aus dem Reservoir wird Wasser (Dichte ) mit einem

Steigrohr ( Länge lSteigrohr, Durchmesser D) auf eine Höhe h3 mit Hilfe einer Pumpe befördert und auf das

Wasserrad geleitet. Das Wasser wird dabei im Kreis gepumpt. Der gesamte Aufbau ist in Abbildung 4

dargestellt.

Anmerkung:

Die zu verwendenden Indizes sind (soweit gegeben) den Skizzen zu entnehmen, ansonsten in die Skizzen

einzutragen.

Annahmen:

Im gesamten umgebenden Raum herrscht der Druck pU und die Erdbeschleunigung g. Das Wasser kann als

inkompressibles Fluid betrachtet werden. Verluste durch Umlenken der Strömung sowie Ein- und

Austrittsverluste sind zu vernachlässigen.

Abbildung 4: Wasserrad mit Versorgungssystemen (Skizze)



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2.1 Pumpleistung Bestimmen Sie die benötigte Pumpleistung für den Fall, dass die Wasserstände h1 und h2 konstant bleiben.

Das Steigrohr (Länge lSteigrohr, Durchmesser D) weist dabei eine durch Verschmutzung hervorgerufene

hydraulisch raue Oberfläche mit einer Sandkornrauheit kS auf. Über das Abflussrohr (Durchmesser D) fällt

ein Druckverlust von an.

geg: h1 = 3 m h2 = 1,5 m h3 = 7 m D = 0,1 m

= 2200 Pa kS = 0,4 mm lSteigrohr = 10 m

= 1000 kg/m³ pU = 105 Pa g = 9,81 m/s²

2.2 Bremsmoment Der Austrittsquerschnitt des Steigrohres (Durchmesser D) befindet sich mit einem Höhenunterschied von h4

oberhalb der Schaufel des Wasserrades. Das Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit c4 aus dem Steigrohr aus,

erfährt eine durch das Schwerefeld der Erde bedingte Beschleunigung und trifft vollständig auf eine Schaufel

des Schaufelrades. Der auftreffende Wasserstrahl mit der Querschnittsfläche A wird an der Schaufel zu

jeweils gleichen Teilen nach links und rechts unter einem Winkel umgelenkt.

Das Wasserrad soll für eine besondere Atmosphäre im Foyer sorgen, die aus psychologischer Sicht bei einer

Rotationsgeschwindigkeit erreicht wird. Um diese Rotationsgeschwindigkeit zu gewährleisten, wird in

der Nabe des Wasserrades eine Bremse installiert.

Bestimmen Sie das durch die Bremse zu erbringende Moment, für eine Rotationsgeschwindigkeit des

Wasserrades.

Abbildung 5: Nahansicht einer Schaufel des Wasserrades

geg: D = 0,1 m h4 = 3 m c4 = 6 m/s

= 15° 120 rad/min

= 1000 kg/m³ pU = 105 Pa g = 9,81 m/s²



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3. Gasdynamik (8 Punkte)

Eine Rohrleitung zur Versorgung eines Labors mit Helium (mit Gaskonstante R und Isentropenexponent )

ist mit einer konvergenten Querschnittsverengung in einiger Distanz vor dem Austritt versehen. Die Leitung

liefert den Massenstrom . An der Stelle 1 hat das Rohr den Querschnitt d1. Dort strömt das Gas mit Ma1 bei

der herrschenden Temperatur T1.

Abbildung 6: Rohrleitung Heliumversorgung

Bestimmen Sie den Durchmesser der Verengung d2 an der Stelle 2 für eine Strömung mit Ma2. Es ist das

Temperaturverhältnis T2/T1 bekannt. Berechnen Sie zudem die Drücke an den Stellen 1 und 2.

Gegeben:



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4. Couette-Viskosimeter (15 Punkte)

In einem Couette-Viskosimeter kann die Viskosität eines Fluids in Abhängigkeit von der Scherspannung

bestimmt werden. Das Viskosimeter besteht aus einem rotationssymmetrischen Behälter mit Innenradius RB,

in dem ein runder Kolben mit Radius RK und Höhe L hängt (siehe Abbildung 7)

Abbildung 7: Draufsicht (links) und Seitenansicht (rechts) des Couette-Viskosimeters . Der Radius des

Behälters ist RB. Der Radius des Kolbens ist RK und dessen Höhe L. Die Winkelgeschwindigkeiten ωK

und ωB sind gleichgerichtet.

Der Kolben dreht mit der Winkelgeschwindigkeit ωK. Der äußere Behälter ist ebenfalls drehbar und hat die

Geschwindigkeit ωB. Die Winkelgeschwindigkeiten sind gleichgerichtet. Der Kolben wird mit dem Moment

M beaufschlagt. Die Strömung ist in vertikaler Richtung voll ausgebildet. Das Fluid sei inkompressibel und

stationär.

Die Geschwindigkeit des Fluids ist abhängig von der radialen Position im Zwischenraum. Für das

Moment und die Scherspannung gilt:



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Die Kontinuitäts- sowie die NS-Gleichungen in Zylinderkoordinaten sind:

Kontinuitätsgleichung:

Navier-Stokes-Gleichungen:

r-Komponente:

-komponente:

z-Komponente:

a) Vereinfachen Sie die NS Gleichungen und begründen Sie jeden Schritt (d. h.: jeden gestrichenen Term).

b) Lösen Sie nach und nehmen dabei an, dass

ist (bestimmen sie also A und B)

c) Leiten Sie einen Ausdruck her für die dynamische Viskosität η, in dem A und B als Variablen

vorkommen (d. h.: Ergebnis von b) nicht ausschreiben), jetzt unter der Bedingung .



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Musterlösung

1. Kurzaufgaben (13 Punkte)

Hinweis: Die Ergebnisse mit Einheit der Kurzaufgaben sind in die dafür vorgesehenen Kästen

einzutragen. Es gibt bei Kurzaufgaben keine Punkte auf den Rechenweg. Lösungen auf Zetteln werden

nicht bewertet!

1.1. Multiple-Choice (4 Punkte)

Kreuzen Sie richtige Aussagen an oder tragen die Lösung in die dafür vorgesehene Kästchen. Es können pro

Frage mehrere Antworten richtig sein.

(nur vollständig richtig beantwortete Fragen werden gewertet)

Überströmte ebene und gekrümmte Oberfläche

Eine zu Beginn ebene und im weiteren Verlauf gekrümmte Oberfläche wird mit zeitlich konstanter

Zuströmgeschwindigkeit überströmt. Entlang der Oberfläche stellen sich dabei lokal unterschiedliche

Geschwindigkeitsprofile ein.

Ordnen Sie alle dargestellten Geschwindigkeitsprofile (A-D) den vorgegebenen Positionen zu.

A

D

C

B



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Umströmte Körper

Die Abbildungen A-D zeigen einen Querschnitt durch das Strömungsfeld eines angeströmten Zylinders und

eines Tragflügelprofils. Die geometrischen Abmaße des Zylinders und des Tragflügels sind in den

Abbildungen A und B bzw. C und D identisch. Die Zuströmbedingungen des Zylinders und der

Anstellwinkel des Tragflügels wurden variiert. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.

Der Widerstandskoeffizient des Zylinders in Abbildung A ist im Verlgeich zum Zylinder in

Abbildung B größer.

Bei zunehmender Anströmgeschwindigkeit bewegt sich der Ablösepunkt in D in Richtung der

Vorderkante des Tragflügels (stromaufwärts).

Der Druckwiderstand des Tragflügels in Abbildung C ist größer als der Druckwiderstand des

Tragflügels in Abbildung D.

Im Vergleich zwischen einer laminaren und einer turbulenten Umströmung des Tragflügelprofils in

Abbildung C bei sonst gleichen Bedingungen, weist die turbulente Umströmung einen höheren

Reibungswiderstand auf.



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Druckverlust

Abbildungen A bis C zeigen einen durchströmten Carnot-Diffusor, einen Bernoulli-Diffusor und ein gerades

Rohr. Sowohl der Eintrittsquerschnitt aller dargestellten Geometrien als auch die Autrittsquerschnitte der

Diffusoren sind gleich groß. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an.

Für den gleichen Eingangs-Massenstrom und

gleiche Oberflächenbeschaffenheit der

Wände weist der Diffusor in Abbildung A im

Vergleich zum Diffusor in Abbildung B einen

höheren Druckverlust auf.

Für den gleichen Eingangs-Massenstrom im Rohr

in Abbildung C sind die Druckverluste bei einer

turbulenten Durchströmung im Vergleich zu einer

laminaren Durchströmung größer.


laminaren Strömungsbedingungen weist eine


einer hydraulisch rauen Oberfläche höhere

Druckverluste auf.


turbulenten Strömungsbedingungen weist eine


einer hydraulisch rauen Oberfläche niedrigere

Druckverluste auf.

Laminare Grenzschicht

Die Abbildung zeigt den Verlauf der Grenzschichtdicken zweier unterschiedlicher, laminarer

Grenzschichten eines Mediums mit kinematischer Viskosität auf einer überströmten, ebene Platte in einem

unendlich ausgedehnten Strömungsfeld. Die Indizes entsprechen der Benennung der Grenzschichtprofile.

Für die oben gezeigten Grenzschichtverläufe können folgende Aussagen zutreffen:



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Aufgabe 1.2.1: Mit C lässt sich die größte Genauigkeit erzielen (Massendifferenz 25 mg).

Ansatz: Betrachtung der verdrängten Masse bei 1 °C (1K) Temperaturänderung

A (Wasser):

C (Tetrachlorkohlenstoff):

D:

Antwort: C

1.2.2:

( –

)

1.2.3:

Antwort: A



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Aufgabe 2.1: Pumpleistung Es wird ein stationäres Verhalten vorausgesetzt, so dass die Wasserstände h1 und h2 konstant bleiben. Da der

untere Behälter (Reservoir) offen ist und der obere Behälter (Becken) darüber liegt und diese miteinander

verbunden sind, wird der Massenstrom des Systems durch den Fluidstrom aus dem oberen Behälter in den

unteren Behälter vorgegeben. Würde mehr oder weniger aus dem unteren Behälter gepumpt, würden sich die

Wasserstände h1 und h2 ändern.

Bestimmung des Massenstroms:

Bernoulli 1 --> 2':

Randbedingungen:

Einsetzen und Auflösen nach c2' (h2' kürzt sich raus):

Berechnung der Pumpleistung:

Bernoulli 2-->3

Randbedingungen:

Druckverluste:

Reynolds-Zahl:

--> Re >2300 --> turbulent



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kS/D = 4 e-3

aus Moody-Diagramm:

= 36250 Pa

Bernoulli nach Pumpleistung umstellen und alles einsetzen:

Aufgabe 2.2 Bremsmoment

Das gesuchte Bremsmoment ist das durch das Fluid wirkende Moment bei einer Rotationsgeschwindigkeit .

Momentenbilanz um Nabe:

Kraft F aus Impulsbilanz um Schaufel:

Geschwindigkeit caus folgt aus Bernoulli von Eintritt zum Austritt aus Bilanzebene:



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Die Geschwindigkeit am Eintritt der Bilanzebene cein entspricht nicht der Geschwindigkeit am Austritt des

Rohres. Zum einen erfolgt eine Beschleunigung des Wassers durch die Erdanziehung. Zum anderen soll eine

Rotation der Schaufel angenommen werden. Somit ergibt sich die Geschwindigkeit am Eintritt zu:

entspricht der Geschwindigkeit des Wassers auf Höhe der Schaufel aufgrund der Erdbeschleunigung.

Durch die Beschleunigung des Wassers wird der Querschnitt des Strahls verjüngt (Konti muss gelten; Masse

bleibt konstant):

Die Geschwindigkeit zur Berechnung der Kraft ergibt sich zu:

Einsetzen in die Impulsbilanz führt zu:



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Aufgabe 3

Ansatz aus Konti-Gleichung

An Stelle 1 Dichte bestimmen für Druck

2P

1P

Dichte Stelle2

1P

Mit

1P

Druck Stelle2

1P

Durchmesser über Massenstrom:

2P

Aufgabe 4

Aus Konti:

,

Weil:

Umfangsgeschwindigkeit konstant

keine Geschwindigkeitsänderung über Höhe l (dz) 1 P.

r-Komponente bereinigt:

Weil:

stationär

keine Strömung in radialer Richtung:

(keine Geschwindigkeitsänderung von in Umfangsrichtung sowie in z-Richtung)

Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit über Umfang (Moment konstant) 1P

theta-Komponente bereinigt:

Weil:



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(redundant: stationär)

Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit in z-Richtung

(Geschwindigkeit )

Keine Druckänderung über den Umfang

(Keine Änderung der Umfangsgeschwindigkeit über Umfang) 1P

z-Komponente bereinigt:

Weil:

Keine Geschwindigkeit in z-Richtung:

Z-Komponente gleich Null: kein Druckgradient, vollausgebildet 1P

Randbedingungen ableiten aus Skizze:

1. 2. 1P

Umformung Zylinderkoordinaten theta-Komponente:

1P

Ansatz: Substitution

Bestimmung der Ableitungen:

;

;

;

2P

Es folgt für theta-Komponente:

1P

Anwendung der Randbedingungen:

1P

Es resultiert für B:

Einsetzen in

liefert

Umformen

Koeffizienten A und B:

1P



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1P

Bestimmung der dynamischen Viskosität η für mit A und B:

Über Scherrate an Wand

1P

mit

1P

Für Kolbenwand

1P

1P

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