Stromverdrangungsef¨ fekte bei Millikenleiternplc.ets.uni-duisburg-essen.de/Joachim_Diss.pdf · Vorwort Die vorliegende Dissertation entstand wahrend¨ meiner T¨atigk eit als wissenschaftli-cher

Stromverdrangungseffekte

bei Millikenleitern

Vom Fachbereich Elektrotechnik derGerhard–Mercator–Universitat–Gesamthochschule Duisburg

zur Erlangung des akademischen Grades einesDoktors der Ingenieurwissenschaften

genehmigte Dissertation

vonDipl.-Ing. Dominik F. P. Joachim

ausBremen

Referent: Prof. Dr.-Ing. W. RasquinKorreferent: Prof. Dr.-Ing. W. Fritz

Tag der mundlichen Prufung: 14. Januar 1998

Vorwort

Die vorliegende Dissertation entstand wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftli-cher Mitarbeiter im Fachgebiet Elektrische Energieubertragung des FachbereichesElektrotechnik an der Gerhard–Mercator–Universitat–GH Duisburg.

Mein besonderer Dank gilt Herrn Prof. Dr.-Ing. W. Rasquin, dem Leiter des Fach-gebietes. Er initiierte die Arbeit und trug in vielen Diskussionen durch wertvolleRatschlage und kritische Hinweise wesentlich zu ihrem Gelingen bei.

Herrn Prof. Dr.-Ing. W. Fritz danke ich fur das große Interesse, welches er der Arbeitentgegenbrachte, als auch fur die Ubernahme des Korreferates.

Den Mitarbeitern des Fachgebietes mochte ich an dieser Stelle danken fur zahl-reiche Anregungen und Diskussionen sowie fur die tatkraftige Unterstutzung beimAuf- und Umbau der Versuchsanordnungen. Ohne diese Hilfe waren viele Experi-mente in der vorgegebenen Zeit nicht durchfuhrbar gewesen.

Schließlich mochte ich der Firma Felten & Guilleaume Energietechnik AG, Koln,meinen Dank aussprechen, die die Arbeit im Rahmen eines Drittmittelprojektesforderte. Erst durch die großzugige finanzielle Unterstutzung wurde diese Arbeitmoglich.

Dominik F. P. Joachim

Duisburg, im Januar 1998.

INHALTSVERZEICHNIS i

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Stand der Technik 3

2.1 Stromverdrangungserscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.1.1 Skineffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.2 Proximityeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Typischer Aufbau eines Millikenleiters . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 IEC Publication 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Meßverfahren 17

3.1 Auswahl des Meßverfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 Aufbau der Meßanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Meßfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.1 Gleichstrommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.3.2 Wechselstrommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3.3 Temperaturmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3.4 Gesamtfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.4 Uberprufung des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4 Messung der Stromverdrangungseffekte 43

4.1 Daten der untersuchten Millikenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2 Meßergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.1 Unterschiedlicher Anpreßdruck . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.2 Gegenwart eines Trankmittels . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.3 Temperaturabhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Vergleich mit dem Schrifttum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.4 Diskussion der Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

ii INHALTSVERZEICHNIS

5 Berechnung der Stromverdrangungseffekte 59

5.1 Entwicklung des Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.1.1 Analytisches Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1.2 Iteratives Losungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Berechnung eines verseilten Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

6 Maßnahme zur Reduzierung des Skineffektes 79

6.1 Wirkung der Ringe mit hoher Permeabilitat . . . . . . . . . . . . . 79

6.2 Abschatzung des Skineffektes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.3 Konsequenzen und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Zusammenfassung 94

Schrifttum 96

Verwendete Formelzeichen und Abkurzungen 103

Curriculum vitae 106

1

1 Einleitung

Elektrische Energie ist die Voraussetzung fur die Wirtschaft und die Gesellschaftin den modernen Industrielandern unserer Tage. Viele Dinge, die heute fur jedenselbstverstandlich sind und auf die niemand mehr verzichten will und auch kann,sind ohne elektrische Energie undenkbar. Sei es im privaten Bereich oder am Ar-beitsplatz, taglich ist elektrische Energie erforderlich.

Technische Realisierbarkeit und wirtschaftliche Gesichtspunkte, aber auch umwelt-politische Argumente machen es unmoglich, elektrische Energie an jedem Ort zuerzeugen, an dem sie benotigt wird. Die Konsequenz ist die dezentrale Energiege-winnung in Energieversorgungsunternehmen. Leitungsgebunden, uber Freileitun-gen und besonders in stadtischen Bereichen in zunehmendem Maße uber Energie-kabel, wird die elektrische Energie dorthin ubertragen, wo sie umgewandelt werdensoll. Dieses geschieht aber nicht verlustlos.

Allein 1993 betrugen die Leitungsverluste in den alten Bundeslandern der Bun-desrepublik Deutschland 2,4 Mio. t SKE

[56], das entspricht einer Energiemengevon 20 Mrd. kWh, die jahrlich in den Leitungen und Kabeln in Warme ungewan-delt und an die Umgebung abgegeben wird. Legt man einen Erzeugungspreis von0,10 DM je kWh zugrunde, dann entsteht jedes Jahr ein wirtschaftlicher Schadenvon 2 Mrd. DM allein durch den Transport von elektrischer Energie.

Ein Großteil der Leitungsverluste entsteht aufgrund der endlichen elektrischen Leit-fahigkeit der eingesetzten und einsetzbaren Leitermaterialien. Durch den ublicher-weise vorherrschenden Drehstrombetrieb bedingt treten zudem frequenzabhangi-ge Verluste auf. Besonders bei großen Leiterquerschnitten, wie sie Extreme HighVoltage Kabel (EHV-Kabel) aufweisen, werden sogenannte Stromverdrangungser-scheinungen spurbar, die einen wirtschaftlich sinnvollen Einsatz der Ubertragungs-strecke verhindern konnen. Man setzt daher haufig Millikenleiter ein, bei derenFertigung bereits geeignete konstruktive Maßnahmen getroffen wurden, die einegleichmaßigere Stromverteilung erzwingen und damit den elektrischen Wechsel-stromwiderstand wie auch die ohmschen Leitungsverluste verringern. Dieser Effektist jedoch von einer Vielzahl von Parametern abhangig, so daß in der IEC Publica-tion 287

auch fur Millikenleiter mit einem Leiterquerschnitt großer als 1500 mm2

bisher keine Vorschrift zur Berechnung des Wechselstromwiderstandes definiertwerden konnte.

SKE – Steinkohleneinheit, als W armeinhalt von 1 kg Steinkohle mit dem Brennwert von rd.29300 kJ definierte technische Energieeinheit.

Die IEC Publication 287 ist das international anerkannte Standardwerk zur Berechnung derBelastbarkeiten von Energie ubertragungssystemen.

2 1 EINLEITUNG

Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, nicht nur einen Beitrag zum besseren Verstand-nis der Stromverdrangungseffekte bei Millikenleitern zu liefern, sondern auch Mog-lichkeiten aufzuzeigen, wie eine gleichmaßigere Stromverteilung uber dem Leiter-querschnitt erreicht werden kann.

Ausgangspunkt der Untersuchungen sind zwei Millikenleiter, die einen Leiterquer-schnitt von 2000 mm2 bzw. 2500 mm2 und einen nahezu identischen Aufbau besit-zen. Basierend auf einem thermischen Meßverfahren, das sich durch Zuverlassig-keit und eine sehr kleine Fehlerschranke auszeichnet, werden unterschiedlicheEinflußgroßen auf die Stromverdrangungserscheinungen herausgearbeitet und an-schließend mit Meßergebnissen aus dem Schrifttum verglichen. Zur rechnerischenUntersuchung verseilter Leiterstrukturen wird ein erweitertes Teilleiterverfahrenentwickelt, welches die Ubergangswiderstande zwischen verseilten Einzeldrahteneines Leiters berucksichtigt. Auf Basis der durch die Berechnungen gewonnen Er-kenntnisse wird eine neue Methode vorgestellt, mit der die Stromverdragungser-scheinungen bei Millikenleitern herabgesetzt werden konnen.

3

2 Stand der Technik

Wird ein elektrischer Leiter von einem Wechselstrom durchflossen, so treten Strom-verdrangungserscheinungen auf. Aufgrund des Skin- und Proximityeffektes fließtder Strom nicht mehr gleichmaßig uber dem Leiterquerschnitt verteilt, der effek-tive elektrische Widerstand des Leiters erhoht sich mit wachsender Frequenz desStromes.

Die nachfolgenden Unterpunkte zeigen, welche physikalischen Mechanismen derGrund fur diese Stromverdrangungserscheinungen sind, wie in der Praxis versuchtwird, diesen Effekten mit einer besonderen Leiterkonstruktion entgegenzuwirken,und mit welchen formeltechnischen Zusammenhangen man versucht, die Wider-standserhohung zu quantifizieren.

2.1 Stromverdrangungserscheinungen

Betrachtet werden soll, dem Charakter der Aufgabe entsprechend, eine Hohlka-nalleiteranordung gemaß Bild 2.1 in Zylinderkoordinaten. Ein beliebiger Punkt imRaum wird durch die Koordinaten r, , z gekennzeichnet. Der Innenradius desHohlkanalleiters ist durch ri und Außenradius durch ra festgelegt; die Leitfahigkeitdes Leitermaterials betragt , die Permeabilitat µ. Beim Betrieb mit Gleichstrom(dc) sind alle Großen, die das elektrische und das magnetische Feld beschreiben,zeitlich konstant, so daß keine Induktionsvorgange auftreten. Da die z-Komponenteder elektrischen Feldstarke innerhalb des Leiters nicht vom Radius abhangt, ist auchdie Stromdichte im gesamten Leiterquerschnitt konstant. Der auf die Lange bezo-gene elektrische Gleichstromwiderstand R

dc ist somit nur noch von der Geometrie,

sprich dem Leiterquerschnitt

AL, und der Leitfahigkeit abhangig:

Rdc 1

AL (2.1)

Der Einfluß der Leitertemperatur auf die Leitfahigkeit kann fur die ublichen Lei-termaterialien und die zu erwartenden Temperaturintervalle durch den linearen Zu-sammenhang

0

1 0 (2.2)

Mit Leiterquerschnitt ist hier und im folgenden die zum Stromfluß beitragende Querschnitts-fl ache des Leitermaterials gemeint.

4 2 STAND DER TECHNIK

erfaßt werden. Der Temperaturkoeffizient ist materialabhangig und fur alle gangi-gen Werkstoffe bekannt. Die Große

0 kennzeichnet die Bezugstemperatur. Ubli-

cherweise wird hier

0

20 C bzw.

0

293 15 K gewahlt. Der langenbezogeneGleichstromwiderstand laßt sich somit berechnen:

Rdc 1 0

0 AL (2.3)

Beim Betrieb mit einem sich zeitlich andernden Strom (ac) sind die Zusammen-hange ungleich komplizierter. Durch das eigene magnetische Wechselfeld im Leiterwerden Wirbelstrome induziert, die die Stromdichte im Leiterinneren schwachenund zur Oberflache hin verstarken. Man spricht vom sogenannten Skineffekt oderauch Hauteffekt. Eine zusatzliche Stromverdrangung tritt auf, wenn ein benachbar-ter Leiter einen Wechselstrom fuhrt. Abhangig von der Richtung des Stromflusseswird durch den sog. Proximityeffekt oder Naheeffekt die Stromdichte im Leiter aufder dem Fremdleiter zugewandten Seite verstarkt oder geschwacht. Beide Effekteuberlagern sich und konnen so zu einer deutlichen Zunahme des effektiven elektri-schen Widerstandes fuhren, wie nachfolgend gezeigt werden soll.

ri ra

rz

I

Bild 2.1: Zylindersymmetrische LeiteranordnungRadius des Hohlkanals ri, Radius des Leiters ra, Leitfahigkeitdes Leitermaterials , Leitertemperatur

, Permeabilitat

2.1 Stromverdr angungserscheinungen 5

2.1.1 Skineffekt

Ausgang der Untersuchung ist die Hohlkanalleiteranordnung, wie sie in Bild 2.1dargestellt ist. Unter der Voraussetzung, daß

sowohl elektrische als auch magnetische Feldgroßen eine harmonische Zeit-abhangigkeit besitzen,

der Verschiebungsstrom vernachlassigbar ist und

ein Leiter mit homogenen Werkstoffeigenschaften vorliegt,

konnen die erste Maxwell’sche Gleichung, die den Zusammenhang zwischen ma-gnetischer Feldstarke

H und elektrischer Stromdichte

S beschreibt,

rotH

S (2.4)

und die zweite Maxwell’sche Gleichung, welche die Beziehung zwischen der elek-trischen Feldstarke

E und der magnetischen Induktion

B wiedergibt,

rotE ∂

B

∂t(2.5)

im leitenden Material zu folgender Differentialgleichung verknupft werden [62]:

∆E

j E (2.6)

Da die Hohlkanalleiteranordnung nach Bild 2.1 ein ebenes Feldproblem darstellt,sind alle Feldgroßen unabhangig von der z-Koordinate. Ferner kann angenommenwerden, daß in einer Ebene z

const alle Feldgroßen nur vom Radius r abhangen,

so daß sich Gl. 2.6 unter Verwendung des Zylinderkoordinatensystems vereinfachtzu

d2Ez

dr2 1r

dEz

dr p2Ez

0 (2.7)

mit der Abkurzung

p2 j (2.8)

und den Variablen


Ez z-Komponente der komplexen elektrischen Feldstarke,j Imaginare Einheit

1,

Kreisfrequnenz, Permeabilitat, Elektrische Leitfahigkeit.

Die Losungsfunktionen der Differentialgleichung nach Gl. 2.7 sind im Schrifttumangegeben, z.B. bei [9] [18] [62]. Es handelt sich um die modifizierte Besselfunk-tion 1. Art, 0-ter Ordnung I 0

pr

und die modifizierte Bessselfunktion 2. Art, 0-terOrdnung K 0

pr

mit dem Argument

pr

j r (2.9)

Der allgemeine Ansatz fur die z-Komponente der komplexen elektrischen Feldstarkeim Leiter

Ezr

C1 I0pr C2 K0

pr

(2.10)

enthalt die beiden noch unbekannten Konstanten C1 und C2. Aufgrund der Zylin-dersymmetrie hat die magnetische Feldstarke im Leiter nur eine vom Radius r ab-hangige Komponente in -Richtung

Hαr 1

j dEz

dr

j

p

C2 K1pr C1 I1

pr

(2.11)

und enthalt die modifizierte Besselfunktion 1. Art, 1. Ordnung I 1pr

und die mo-difizierte Besselfunktion 2. Art, 1. Ordnung K 1

pr. Mit den Randbedingungen,

daß die -Komponente der magnetischen Feldstarke an der Grenzflache Leiter-Hohlkanal identisch Null ist

Hαri

0 (2.12)

und an der Leiteroberflache dem negativen Quotienten aus komplexem LeiterstromI und Leiterumfang entspricht,

Hαra I

2πra(2.13)

kann mit Hilfe der Materialgleichung

Szr Ez

r

(2.14)


die z-Komponente der elektrischen Stromdichte im Hohlkanalleiter bestimmt wer-den:

Szr

Ip

2πra I0

pr K1

pri K0

pr I1

pri

I1pra

K1pri

I1pri K1

pra

(2.15)

Da aus Gl. 2.15 die Verteilung der Stromdichte uber dem Leiterradius aufgrund dermit komplexen Argumenten behafteten Besselfunkionen nur schwer ersichtlich ist,soll ein massiver Hohlkanalleiter, wie in Bild 2.1 dargestellt, untersucht werden,dessen Abmessungen und Leiterkenngroßen Tabelle 2.1 zu entnehmen sind.

Große Formelzeichen Einheit Wert

Innenradius des Hohlkanalleiters ri mm 6

Außenradius des Hohlkanalleiters ra mm 31

Leitertemperatur

C 80

Permeabilitatszahl r — 1

Leitermaterial — — Kupfer

Temperaturkoeffizient K 1 3 93 10

3

Gewichtete Leitfahigkeit†

0

Ωm

1 49 90 106

Tabelle 2.1: Daten des berechneten Hohlkanalleiters

Geometrie und leiterspezifische Daten entsprechen denen eines Millikenleiters, derzu einem spateren Zeitpunkt Gegenstand der Untersuchung ist. Zusatzlich wird dieLeitfahigkeit des Hohlkanalleiters mit dem Fullfaktor F ugewichtet, der berucksich-tigt, daß sich der geometrische Querschnitt AG des Millikenleiters von seinem Lei-terquerschnitt AL unterscheidet:

0 0 F u

0AL

AG (2.16)

In Bild 2.2 ist die z-Komponente der Stromdichte im Hohlkanalleiter bezogen aufdie konstante z-Komponente der Stromdichte bei Gleichstromspeisung als Funkti-on des Radius dargestellt. Parameter ist die Frequenz des Stromes. Mit steigenderFrequenz ist eine deutliche Zunahme der Inhomogenitat der Stromdichteverteilungzu beobachten, was zu einer Erhohung des effektiven elektrischen Widerstandes R

ac

fuhrt.†Der durch die Wichtung der Leitf ahigkeit entstehende Fehler ist vernachl assigbar klein.


mm

1 2

3

0

0 5 10 15 20 25 30 350,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

S r

Sz

z,

( )

0

r

Bild 2.2: z-Komponente der Stromdichte Szr

im Hohlkanalleiter be-zogen auf die konstante z-Komponente der Stromdichte beiGleichstromspeisung Sz 0 als Funktion des Radius rDaten des Hohlkanalleiters gemaß Tabelle 2.10: Frequenz des Stromes f

0 Hz

1: Frequenz des Stromes f

16 23 Hz

2: Frequenz des Stromes f

50 Hz3: Frequenz des Stromes f

60 Hz


Die je Langenelement im Leiter aufgrund der endlichen Leitfahigkeit in Warmeumgewandelte Verlustleistung P

W kann einerseits durch Integration der Verlustlei-

stungsdichte uber den geometrischen Querschnitt errechnet werden

PW

AG

Re Ezr

Re Szr

dAG (2.17)

andererseits aber auch uber den Leiterstrom I und uber den gesuchten Widerstands-belag

PW

Rac Re I

2 (2.18)

Aus Gl. 2.17 und Gl. 2.18 kann unter Berucksichtigung der MaterialgleichungGl. 2.14 und der Zylindersymmetrie eine Bestimmungsgleichung fur den Wech-selstromwiderstand angegeben werden:

Rac 2π

ra

ri

Re Sz

r 2 r dr

Re I

2 (2.19)

Bezieht man diesen auf den Gleichstromwiderstandsbelag Rdc, so laßt sich die Zu-

nahme des Widerstandes durch

Rac

Rdc

1 ys (2.20)

beschreiben. Dabei ist der Skineffektfaktor ys ein Maß fur die”Inhomogenitat“ der

Stromdichteverteilung. In Tabelle 2.2 sind die Skineffektfaktoren zu den Kenn-linienverlaufen in Bild 2.2 aufgelistet.

f Hz 0 1623 50 60

ys % 0 4,1 56,7 70,4

Tabelle 2.2: Skineffektfaktor ys als Funktion der Frequenz f fur dennach Tabelle 2.1 berechneten Hohlkanalleiter

Bei der ublichen Betriebsfrequenz von 50 Hz tritt wegen des Skineffekts eine ef-fektive Erhohung des elektrischen Widerstandes von mehr als 56 % auf. Leiterver-luste und damit auch die Leitertemperatur steigen ebenfalls um mehr als 56 % undkonnen einen wirtschaftlich sinnvollen Betrieb verhindern.


2.1.2 Proximityeffekt

Zusatzlich zum Skineffekt tritt eine weitere Stromverdrangung auf, wenn sich einLeiter in einem sich andernden magnetischen Fremdfeld befindet, wie es beispiels-weise von benachbarten Wechselstrom durchflossenen Leitern hervorgerufen wird.Der Proximityeffekt schwacht oder verstarkt die Stromdichte im Leiter abhangigvon der Phasenlage des Fremdfeldes. Lassen sich bei einfachen geometrischen Ge-bilden wie dem Hohlkanalleiter die den Skineffekt beschreibenden Differentialglei-chungen noch analytisch losen, so ist dieses fur den Proximityeffekt bereits fur eineflach verlegte 3-Leiter-Anordnung, wie sie in Bild 2.3 skizziert ist, nach dem der-zeitigen Stand der Kenntnis nicht mehr moglich.

Im betrachteten Leiter werden aufgrund des magnetischen Wechselfeldes der ubri-gen Leiter Wirbelstrome induziert, die wiederum die Stromdichteverteilungen derLeiterstrome beeinflussen, die das Fremdfeld hervorrufen. Diese Kopplung fuhrtzu unsymmetrischen Stromdichteverteilungen in den Leitern, welche nur noch mitden aus dem Schrifttum bekannten numerischen Losungsmethoden wie dem Teil-leiterverfahren [7], dem darauf basierenden iterativen Teilleiterverfahren [8] oderanderen Verfahren [20] [29] ermittelt werden konnen.

2ri2ra

L3L2

zI1 I2

r

I3

2aa

L1

ϕ

2ra

ϕ

2ri 2ri2ra

ϕ

Bild 2.3: Flach verlegte 3-Leiter-Anordnung, Achsabstand a

0 2 mDaten der drei identischen Leiter gemaß Tabelle 2.1


Mit dem erweiterten Teilleiterverfahren, das im weiteren Verlauf dieser Arbeit nochvorgestellt werden wird, ist die in Bild 2.3 skizzierte Anordnung untersucht worden.Fur einen Achsabstand von a

0 2 m und den in Tabelle 2.1 aufgelisteten leiter-

spezifischen Kenngroßen ist in Bild 2.4 die z-Komponente der Stromdichte bezogenauf die Gleichstromverteilung als Funktion des Umfangswinkels aufgetragen.

Deutlich ist zu erkennen, daß die Stromdichte an der Leiteroberflache nun aufgrunddes Proximityeffektes nicht mehr konstant ist, sondern eine ausgepragte Abhangig-keit vom Umfangswinkel besitzt. Wegen der raumlichen Nahe zu den benachbartenLeitern zeigt die Stromdichte in Leiter 2 eine starkere Inhomogenitat als in Lei-ter 1 und Leiter 3. Zur Leiterachse hin wird der Einfluß des Proximityeffektes im-mer geringer, wie die Verteilung der gestrichelten Kennlinie in Bild 2.4 beweist.In den außeren Schichten des Leiters werden Strome induziert, deren magnetischesWechselfeld dem Fremdfeld bis zum Leiterinneren soweit entgegenwirkt, daß dortder Proximityeffekt fast nicht mehr spurbar ist. Die Folge des Proximityeffektesist eine weitere Erhohung des effektiven elektrischen Widerstandes. Analog zumSkineffektfaktor, siehe Gl. 2.20, wird diese formeltechnisch durch den sog. Proxi-mityeffekfaktor yp berucksichtigt:

Rac

Rdc

1 ys yp (2.21)

Dieser ist im Gegensatz zum Skineffektfaktor von der Leiteranordnung, bei Flach-verlegung also vom Achsabstand abhangig. Wie Bild 2.5 zeigt, ist der Proximityef-fekt normalerweise vernachlassigbar, wenn die Leiter mit einem Achsabstand von0,5 m und mehr verlegt werden. Je naher die Leiter jedoch zusammenrucken, destostarker beeinflußt der Proximityeffekt den effektiven elektrischen Widerstand, biser bei Achsabstanden unterhalb von 0,1 m gegenuber dem Skineffekt sogar domi-nierend wird.

In der Praxis wird eine so dichte Verlegung in der Regel vermieden. Ferner be-schrankt man sich bei der Abschatzung der Stromverdrangungseffekte meist aufden worst case, also den ungunstigsten Fall. In der Literatur finden sich normaler-weise nur Angaben uber den Leiter, der den hochsten Proximityeffekt aufweist. Ineiner flach verlegten 3-Leiter-Anordnung ist es, wie auch in Bild 2.5 deutlich wird,stets der mittlere Leiter.


0,0 0,5 1,00,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

0,0 0,5 1,00

0,5

1

1,5

2

2,5

0,0 0,5 1,00

0,5

1

1,5

2

2,5

ϕπ

L1 L2 L3

ri ri ri

ra ra ra

0

S r

Sz

z,

( )

0

00 0

Bild 2.4: z-Komponente der Stromdichte im Hohlkanalleiter Szr

be-zogen auf die konstante z-Komponente der Stromdichte beiGleichstromspeisung Sz 0 als Funktion des Umfangswinkel gemaß Bild 2.3Parameter: Radius des Leiters rFrequenz des Stromes f

50 Hz, Achsabstand a

0 2 m

Daten des Hohlkanalleiters gemaß Tabelle 2.1


0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

5

10

15

20

25

30

35

yp

m

a

%

L1

L 2

L3

Bild 2.5: Proximityeffektfaktor yp der flach verlegten 3-Leiter-Anord-nung nach Bild 2.3 als Funktion des Achsabstandes a der dreiLeiter


2.2 Typischer Aufbau eines Millikenleiters

In der Energietechnik werden zur Ubertragung hoher Leistungen haufig naturlich-gekuhlte Drehstromkabel eingesetzt. Die Leiter solcher Energiekabel besitzen tech-nisch bedingt normalerweise so große Querschnitte, daß schon bei ublichen Be-triebsfrequenzen Stromverdrangungserscheinungen spurbar werden.

Eine Reduktion der Stromverdrangungserscheinungen erreicht man durch besonde-re Leiterkonstruktionen. Meist werden sogenannte Millikenleiter eingesetzt. Dieserspezielle Leitertyp ist aus verseilten, elektrisch isolierten Segmenten aufgebaut, dieihrerseits aus verseilten Einzeldrahten bestehen und zum Ende des Fertigungspro-zesses in die notwendige Form gewalzt werden. Einen typischen Millikenleiter zeigtBild 2.6.

Da ublicherweise Einzeldrahte mit unbehandelter Drahtoberflache verwendet wer-den, kann sich auf dieser eine elektrisch isolierende Oxydschicht bilden, welcheaber durch mechanische Deformationen beim Walzvorgang wieder zerstort wer-den kann. Somit existieren zwischen den Einzeldrahten unbekannte Ubergangswi-

Bild 2.6: Millikenleiter

2.3 IEC Publication 287 15

derstande, deren Werte uber eine große Leiterlange betrachtet zwar konstant sind,aber je Langenelement einer stochastischen Verteilung unterliegen. Aufgrund dieserUbergangswiderstande und der Verseilung wird erreicht, daß der Großteil des Lei-terstromes nicht zur Oberflache des Leiters hin verdrangt wird, sondern gezwungenist, dem Verlauf des jeweiligen Einzeldrahtes zu folgen.

Ergebnis ist eine wenigerinhomogene Stromdichte uber dem Leiterquerschnitt und somit eine weniger starkeErhohung des effektiven elektrischen Widerstandes.

Der in Bild 2.6 dargestelle Millikenleiter ist typisch fur Energiekabel, die eine Ol-Papier-Isolierung besitzen. Sechs Segmente sind im Linksschlag um eine Stutzspi-rale verseilt, die einen Hohlkanal fur das Trankmittel offenhalt. Soll VPE

als Ma-terial fur die elektrische Isolierung verwandt werden, so ist der Millikenleiter nor-malerweise aus nur funf Segmenten aufgebaut, wobei anstelle des Hohlkanals jetztzusatzliches Leitermaterial im Zwickel ein Verrutschen der Segmente verhindert.Besonders bei weniger großen Leiterquerschnitten sind auch Millikenleiter mit nurvier Segmenten zu finden, Millikenleiter mit mehr als sechs Segmenten werden ubli-cherweise nicht eingesetzt, da eine noch hohere Segmentzahl keine Vorteile mehrbietet [68].

Weitere Freiheitsgrade sind die Schlagrichtung, welche innerhalb eines Segmentesnicht zwangslaufig identisch sein muß, sondern auch entgegengesetzt gerichtet seinkann. Man spricht in diesem Fall von Gleich- bzw. Wechselschlag. Die Schlaglange,d.h. die Strecke in Richtung der Leiterachse, bis der verseilte Einzeldraht bzw. dasverseilte Segment wieder die Startposition erreicht hat, unterscheidet sich aufgrundherstellungstechnischer Vorgaben normalerweise von Lage zu Lage.

All diese frei wahlbaren Großen beeinflussen das elektrische Verhalten des Milli-kenleiters und mussen bei einer rechnerischen Bestimmung von Skin- und Proximi-tyeffekt berucksichtigt, zumindest aber abgeschatzt werden, um ein Energiekabelnicht ganzlich falsch auszulegen.

2.3 Stromverdrangungsfaktoren nach IEC Publication 287

Die IEC Publication 287 [33] ist das international anerkannte Standardwerk zur Be-rechnung der Belastbarkeiten von Energieubertragungssystemen. Der Skineffekt-

Die Wechselwirkung zwischen den Einzeldr ahten eines einzigen Leiters d urfen nicht mit demProximityeffekt verwechselt werden. Dieser bezeichnet ausschließlich die in der IEC Publicati-on 287 definierte Erh ohung des Gesamtwiderstandes eines Leiters durch magnetische Fremdfelder.

VPE – Vernetztes Polyethylen


faktor wird dort durch die allgemeingultige Gleichung

ys x4

s

192 0 8 x4s

(2.22)

mit der Abkurzung

x2s 8π f

Rdc

10 7 ks (2.23)

festgelegt, wobei eine Differenzierung nach Leitertypen lediglich durch die Kon-stante ks getroffen wird. Fur Millikenleiter besitzt diese den Wert ks

0 435 und

darf nur unter folgenden Einschrankungen verwandt werden:

Der Millikenleiter besteht aus vier Segmenten,

der Leiterquerschnitt ist nicht großer als 1500 mm2,

die Einzeldrahte sind im Gleichschlag verseilt und

xs 2 8 muß erfullt sein.

In der Praxis laßt sich somit nur ein Bruchteil der existierenden Millikenleiter be-rechnen, solche mit großen Leiterquerschnitten scheiden im vorhinein aus. Geradebei diesen ware aber die Kenntnis der Stromverdrangungsfaktoren wegen der zuerwartenden Großenordnung sehr wichtig.

Der Proximityeffektfaktor berechnet sich nach IEC Publication 287 analog zumSkineffektfaktor aus

yp x4

p

192 0 8 x4p

dc

s 2 0 312

dc

s 2

1 18

x4p

192 0 8 x4p 0 27

(2.24)

mit der Abkurzung

x2p 8π f

Rdc

10 7 kp (2.25)

wobei allerdings der Leiterdurchmesser dc sowie der Achsabstand s berucksich-tigt werden. Der Koeffizient kp besitzt fur Millikenleiter, die ebenfalls obigen Ein-schrankungen genugen mussen, den Wert kp

0 37.

17

3 Meßverfahren

Basis dieser Arbeit ist die experimentelle Bestimmung der Stromverdrangungs-effekte. Zuverlassigkeit, Reproduzierbarkeit und eine sehr kleine Fehlerschrankesind wichtige Kriterien, denen das Meßverfahren genugen muß. Aber auch der Ver-suchsaufbau selbst darf keine Fehlerquellen enthalten, deren Große nicht abschatz-bar ist.

Nachfolgend wird ein Meßverfahren ausgewahlt, das auf dem thermisch stationarenPrinzip basiert und diesen hohen Anforderungen entspricht. Eine ausfuhrliche Be-schreibung des Meßaufbaus und der notwendigen Leiterpraparation dokumentiertjeden die Untersuchung vorbereitenden Schritt und vermittelt so das notwendigeWissen zur Durchfuhrung eigener Messungen. Eine Fehlerdiskussion mit abschlie-ßender experimenteller Verifizierung zeigt auf, wie gering der Meßfehler tatsachlichist.

3.1 Auswahl des Meßverfahrens

Grundsatzlich konnen die Stromverdrangungsfaktoren von Energiekabeln mit dreiunterschiedlichen Meßprinzipien bestimmt werden [4] [58]: einem elektrischen, ei-nem thermisch dynamischen und einem thermisch stationaren. Allen drei Verfahrenist gemein, daß stets zwei Messungen durchgefuhrt werden mussen, um Gleich-strom- und Wechselstromwiderstand bzw. das Verhaltnis beider ermitteln zu kon-nen. Daruber hinaus unterscheiden sich die Verfahren erheblich. Jede Meßmethodehat spezielle Vorteile, jedoch konnen zwei der drei Verfahren die hohen qualitativenAnforderungen nicht erfullen.

Elektrische Messung

Die elektrische Messung ist die in der Vergangenheit am haufigsten angewandteMeßmethode. Die Messung ist schnell durchzufuhren, denn der zu untersuchendeLeiter braucht lediglich auf die gewunschte Temperatur geheizt zu werden. Einebesondere Praparation des Leiter ist nicht notwendig. Ferner erwecken die digi-talen Displays moderner Meßgerate den Eindruck einer niedrigen Fehlertoleranzdurch die Angabe von Nachkommastellen, die oft weit unter der Empfindlichkeitdes Meßgerates liegen.

Im Schrifttum ist eine Vielzahl von Versuchsaufbauten zu finden, die eine sehr klei-ne Fehlerschranke versprechen, z.B. [4] [10] [35] [41] [58] [67]. Allen Aufbauten

18 3 MESSVERFAHREN

ist aber gemein, daß stets Meßschleifen aufgespannt werden mussen, um Potential-differenzen zu messen. Bei frequenzabhangigen Vorgangen werden in diese Meß-schleifen immer Storsignale induziert, deren Einflusse auf das Meßsignal nur groboder gar nicht abgeschatzt werden konnen.

Soll ein Leiter eines 3-Phasen-Systems untersucht werden, bei dem die beiden be-nachbarten Leiter aber in so großem Abstand verlegt sind, daß der Einfluß des Ma-gnetfeldes von diesen benachbarten Leitern vernachlassigt werden kann, dann hatsich auch die induktive Komponente der Leiterimpedanz vergroßert. Als Folge da-von besitzt der Leiterstrom in bezug zur Spannungsdifferenz langs des Leiters ei-ne Phasenverschiebung, die gegen 90 tendiert, da der Realteil der Leiterimpedanzkonstant bleibt. Aber gerade dieser soll bestimmt werden.

Ein weiteres Argument, das gegen eine elektrische Messung spricht, ist die For-derung nach einem Drehstromsystem konstanter Amplitude und Phasenverschie-bung. Schon Schwankungen der Speisespannung um wenige Promille, wie es in denoffentlichen Netzen die Regel ist, bewirken ein Pendeln der Meßsignale um den je-weiligen Mittelwert. Eine sinnvolle Messung ohne rechnerische Datenerfassung undstatistische Auswertung unter Berucksichtigung der unterschiedlichen Tragheitender Meßgerate ist somit ausgeschlossen.

Diesen Nachteil haben die beiden thermischen Verfahren aufgrund ihres integrie-renden Charakters nicht.

Thermisch dynamisches Verfahren

Die thermisch isolierten Leiter, siehe Bild 3.1, mussen sich auf Umgebungstem-peratur befinden und werden zunachst mit einem konstanten Gleichstrom geheizt.Nach dem Abkuhlen auf Umgebungstemperatur wird der Heizzyklus mit einemDrehstrom konstanter Amplitude und Frequenz wiederholt. Die in jedem Leiter ent-stehenden Wirkverluste je Langeneinheit P

W werden uber den thermischen Wider-

standsbelag der thermischen Isolierung RTherm an die Umgebung abgefuhrt, aber

auch auch in den Leitern und in der Isolierung gespeichert:

PW ∆

t

RTherm

C d∆

t

dt (3.1)

Erst wenn die Differenz zwischen Umgebungstemperatur

0 und zeitabhangigerLeitertemperatur

t, im folgenden nur noch als Leiterubertemperatur ∆

t

be-zeichnet, gegen einen Grenzwert strebt und jeder Leiter demnach die stationare

3.1 Auswahl des Meßverfahrens 19

Endtemperatur erreicht hat, wird keine Energie mehr in der Anordnung gespeichert.Diesen Zusammenhang berucksichtigt in Gl. 3.1 das Produkt aus Warmekapazitats-belag C

und Anderung der Leiterubertemperatur. Der Verlauf der Leiterubertempe-

ratur wird durch eine Exponentialfunktion beschrieben und formeltechnisch durchden Zusammenhang

∆

t

PWR

Therm 1

e

t

RThermC

(3.2)

wiedergegeben. Erfaßt man wahrend der beiden Aufheizvorgange kontinuierlich dieTemperaturen der Leiter, so kann man mit geeigneten statistischen oder graphischenMethoden die Steigung des Ubertemperaturverlaufs bei Versuchsbeginn ermitteln:

d∆

t

dt t

0

PW

C (3.3)

Aus dem Verhaltnis dieser Anfangssteigungen fur Gleich- und Drehstromheizenkonnen unter Zuhilfenahme von Gl. 2.18 die Erhohung des effektiven elektrischen

I

′PW

123

Bild 3.1: Prinzipielle Darstellung des thermisch isoliertenMillikenleiters1: Hohlkanal2: Leiter3: thermische Isolierung

20 3 MESSVERFAHREN

Widerstandes und die Stromverdrangungsfaktoren bestimmt werden:

Rac

Rdc

Idc

Iac 2 d∆

t

dt t

0 ac d∆

t

dt t

0 dc

1 ys yp (3.4)

Es brauchen also nur die Leitertemperatur sowie der Leiterstrom gemessen werden.Gegenuber dem elektrischen Verfahren hat das thermisch dynamische den großenVorteil, daß keine Storsignale durch Fremdfelder in die Meßleitung induziert wer-den, weil keine Meßschleifen aufgespannt werden mussen - dieses wird spater nochbewiesen -.

Voraussetzung fur den Einsatz des thermisch dynamischen Verfahrens ist, daß derAufheizvorgang des segmentierten, aus verseilten Einzeldrahten aufgebauten Lei-ters thermisch als Einkorperproblem angesehen werden kann. Aufgrund der hohenWarmeleitfahigkeit des Leitermaterials ist diese Bedingung in der Regel erfullt.Dennoch sollte stets uberpruft werden, ob die Erwarmungsfunktion tatsachlich nureine Zeitkonstante besitzt.

Abhangig von der Hohe der eingestellten Heizstrome und der verwendeten thermi-schen Isolierung, deren thermischer Widerstand die Zeitkonstante der Anordnungdominiert, ist eine Messung nach diesem Verfahren ebenfalls wenig zeitintensiv.Jedoch muß neben dem Fehler der Leiterstrommessung auch der Fehler bei der Be-stimmung der Leitertemperatur berucksichtig werden, so daß der Gesamtmeßfeh-ler im Vergleich zu dem nachfolgend vorgestellten thermisch stationaren Verfahrendeutlich großer ist.

Ein weiterer Nachteil zeigt sich, wenn die Stromverdrangungsfaktoren nicht beiUmgebungstemperatur bestimmt werden sollen, sondern bei dem in der Praxis in-teressanteren Fall, daß die Leiter sich auf Betriebstemperatur befinden. Um dannmittels des thermisch dynamischen Verfahrens eine quantitative Aussage treffen zukonnen, muß die vorhandene Meßapparatur in der Lage sein, zusatzlich zu demStrom, der die Leiter auf Betriebstemperatur erwarmt, einen weiteren Heizstromeinzupragen. Dieses war mit den vorhandenen Stromquellen nicht realisierbar.

Das im folgenden vorgestellte thermisch stationare Verfahren ist mit den thermischdynamischen eng verwandt. Durch eine Ausdehnung der Versuchsdauer gelingt es,alle oben erwahnten Nachteile zu eliminieren.

3.1 Auswahl des Meßverfahrens 21

Thermisch stationares Verfahren

Auch bei diesem Verfahren mussen die Leiter zuvor mit einer thermischen Iso-lierung versehen werden, siehe Bild 3.1. Dann werden sie mit einem konstantenGleichstrom solange geheizt, bis sich die stationare Endubertemperatur ∆

∞ einge-

stellt hat, deren formeltechnische Beschreibung unmittelbar aus Gl. 3.2 fur t ∞folgt:

∆

∞

PWR

Therm (3.5)

In einem zweiten Schritt werden die Leiter mittels Drehstrom erwarmt, bis sichdieselbe Endtemperatur einstellt. Da die Endtemperaturen der beiden Messungenidentisch sind und der Aufbau nicht verandert wurde, mussen nicht nur die thermi-schen Widerstandsbelage R

Therm zwischen den Leitern und der Umgebung gleich

sein, sondern auch, wie aus Gl. 3.5 ersichtlich, die in den Leitern entstehendenWirkverluste P

W je Langenelement:

RdcI2

dc

RacI2

ac (3.6)

Die Summe der Stromverdrangungseffektfaktoren eines jeden Leiters folgt somitfur die eingestellte Endtemperatur aus:

Rac

Rdc

Idc

Iac 2 1 ys yp (3.7)

Um nur den Skineffektfaktor ys zu ermitteln, muß der Achsabstand der Leiter sogroß gewahlt werden, daß der Proximityeffektfaktor yp zu Null gesetzt werden kann.

Dieses thermisch stationare Verfahren, das im folgenden angewandt werden soll, hatmehrere entscheidende Vorteile, die den großeren zeitlichen Aufwand rechtfertigen:

Skin- und Proximityeffektfaktoren konnen frei von induktiven Storsignalenbei unterschiedlichen Betriebstemperaturen ermittelt werden. Die Messungist zuverlassig, jederzeit reproduzierbar und besitzt eine außerst kleine Feh-lerschranke.

Der absolute Fehler der Temperaturmessung hat keinen Einfluß auf dieStromverdrangungsfaktoren, sofern die Temperaturen mit einer Meßappara-tur gemessen werden, die eine hochgenaue Reproduzierbarkeit gewahrleistet.Wichtig ist nur, daß exakt die gleiche Temperatur bei beiden Heizvorgangenerreicht wird.

22 3 MESSVERFAHREN

Wegen ihrer thermischen Tragheit besitzt die Anordnung integrierenden Cha-rakter, d.h. Schwankungen des Heizstromes haben keinen Einfluß auf dieMessung, solange diese Schwankungen kurz sind im Vergleich zu der Zeit-konstante des Aufheizvorganges.

Jedoch mussen schon beim Aufbau der Meßanordnung bestimmte Regeln eingehal-ten werden, damit Fehlerquellen im vorhinein ausgeschlossen werden.

3.2 Aufbau der Meßanordnung

Der Meßstand sollte an einem Ort errichtet werden, dessen Raumtemperatur durchKlimatisierung oder aber eine geeignete Luftung konstant gehalten werden kann.Ferner muß er so konstruiert sein, daß die zu untersuchenden Leiter in genugenderEntfernung zum Boden, zur Decke, zu den Wanden oder zu sonstigen Gegenstandenpositioniert sind, die metallene Aufbauelemente aufweisen konnen. Ein Mindestab-stand von 1,5 m hat sich als notwendig erwiesen. Doch auch der Meßstand selbermuß bis auf die Leiter frei von Metall sein. In der Praxis hat sich Holz als Werkstoffbewahrt. Es ist nicht nur leicht zu bearbeiten, sondern besitzt gezapft und verleimtauch die notwendige Festigkeit, um den Belastungen durch die Leiter standzuhal-ten.

Die Große des Meßstandes folgt zwingend aus der erforderlichen Lange der zuuntersuchenden Leiter. Diese sollte das Funffache der langsten Schlaglange, nor-malerweise die der Segmente, mindestens aber 10 m betragen. Erst ab dieser Lei-terlange kann gewahrleistet werden, daß im mittleren Bereich des Leiters hinrei-chend wenig Warme in axialer Richtung stromt und daß der Einfluß der Streufelderim Bereich der Leiterenden, verursacht durch Anschlußleitungen oder Heiztrans-formatoren, vernachlassigbar ist. Bild 3.2 zeigt den realisierten Meßstand, dessenLange so dimensioniert wurde, daß Millikenleiter mit einer Lange von 17 m undmehr untersucht werden konnten.

Um die Leiterenden mit Zuleitungen verbinden zu konnen, empfiehlt es sich, zuvorjedes Leiterende mit einer Hulse zu verloten, wie in Bild 3.3 dargestellt ist. DieLeiterenden sind somit mechanisch fixiert und unempfindlich gegenuber außerenKraftwirkungen, wie sie beispielsweise beim Verandern der Leiteranordnung auf-treten. Die Ubergangswiderstande Hulse-Einzeldrahte der Leiter sind somit nichtnur zeitlich konstant, sondern eigenen Messungen zufolge auch vernachlassigbarklein. D.h. werden die Zuleitungen, wie in Bild 3.3 skizziert, mittels einer Klemme

3.2 Aufbau der Meßanordnung 23

an der Hulse befestigt, dann ist stets eine gleichmaßige Einspeisung des Stromesgewahrleistet.

Die Leiter selbst mussen fur die Messung mit einer thermischen Isolierung verse-hen werden, die nicht altern darf und nach zwei Aspekten ausgelegt werden muß.Ist der thermische Widerstand der Isolierung zu groß, so wird zum Heizen der Lei-ter zwar nur ein kleiner Strom benotigt, aber die Endtemperatur stellt sich erst nachsehr langer Zeit ein. Ist der thermische Widerstand zu klein, so ist einerseits zumErwarmen des Leiters ein sehr großer Strom erforderlich, andererseits wird dieZeitkonstante der Erwarmungsfunktion so klein, daß der Leiter zu empfindlich aufaußere Einflusse, wie z.B. Schwankungen der Raumtemperatur, reagiert.

Bild 3.2: Meßstand, Lange der Millikenleiter je Phase: 17 m

24 3 MESSVERFAHREN

Bild 3.4 zeigt eine sinnvolle Losung. Die thermische Isolierung ist durch Acrylglas-rohre realisiert, die langs geschlitzt als Halbschalen um die Leiter gelegt wurdenund mit PE

-Einwegverschlussen fixiert sind. Da Acrylglas leicht zu bearbeiten ist,zeigen die Stoßstellen aufgrund glatter Schnittflachen eine gute Passung. Durch diezusatzliche Abdichtung mit einem Faserband wird eine fast gleichmaßige thermi-sche Isolierung erzielt, die außerdem eine optische Kontrolle und Uberwachungerlaubt. Eine Gummischicht zwischen der Leiterunterseite und dem Acrylglasrohrschutzt nicht nur das Acrylglas vor Uberhitzung, sondern stellt eine zusatzliche ther-mische Isolierung dar, weil sonst ein Großteil der Warme uber die Leiterunterseitenan die Auflageflachen abgefuhrt wurde. Die Zeitkonstante der Erwarmungsfunktionder in Bild 3.4 dargestellten Anordnung liegt in der Großenordnung von 6 Stunden.

12345

Schnitt AA'A

A'

Bild 3.3: Verbindung des Leiters mit der Zuleitung1: Leiter, 2: Lot, 3: Hulse, 4: Klemme, 5: Zuleitung

PE – Polyethylen


Bild 3.4: Thermisch isolierter Millikenleiter

26 3 MESSVERFAHREN

Gleichstrommessung

Zum Aufheizen mit Gleichstrom werden die Leiter in Reihe geschaltet und mit ei-nem Gleichstromgenerator verbunden. Wie aus Bild 3.5 ersichtlich, ist somit einRuckleiter erforderlich, der denselben Gleichstrom fuhren konnen muß und in ei-nem Abstand von mindestens 3 m zu den Leitern verlegt ist. Abhangig vom Lei-terquerschnitt, der gewunschten Endtemperatur und der verwendeten thermischenIsolierung muß der Generator einen hohen Gleichstrom bei einer kleinen Klem-menspannung von ca. 2 V erzeugen. So ist beispielsweise ein Gleichstrom in derGroßenordnung von 2500 A notwendig, um den wie in Bild 3.4 dargestellten undisolierten Leiter (Kupferquerschnitt: 2500 mm2) auf eine Endtemperatur von 80 C

... ϑϑ

ϑ

I

1

23

±

Bild 3.5: Meßaufbau fur die Gleichstrommessung1: Meßstellenumschalter2: Platin Dunnfilmthermometer Pt 1003: Gleichstromgenerator


zu erwarmen. Die beim Aufheizen von vier (drei Leiter plus Ruckleiter) 17 m lan-gen Leitern an den Generatorklemmen anliegende Spannung betragt dabei wenigerals 3 V.

Unter diesen Betriebsbedingungen arbeitet der Gleichstromgenerator mit einemschlechten Wirkungsgrad. Die bei der Gleichrichtung des Drehstromes entstehen-den Verluste konnen leicht 10 kW oder mehr erreichen und mussen abgefuhrt wer-den, um nicht die Umgebung des Meßstandes zusatzlich zu erwarmen. Ein Gene-rator mit Wasserkuhlung stellt nicht nur dieses sicher, sondern verfugt meist ubereinen wassergekuhlten Meßwiderstand, durch den der gesamte zu messende Gleich-strom fließt. Da auch diese Verluste abgefuhrt werden, wird dieser hochprazise Wi-derstand immer auf derselben Temperatur gehalten und erlaubt in Verbindung mitdem eingesetzten Spannungsmeßgerat die Bestimmung des Gleichstromes mit ei-nem zu vernachlassigenden Fehler.

Weithin muß der Gleichstromgenerator nicht nur die Stabilitat und Reproduzierbar-keit eines einmal eingestellten Stromes gewahrleisten, sondern auch einen Gleich-strom liefern, der idealerweise keine meßbare Restwelligkeit besitzt.

Drehstrommessung

Fur das Heizen mit Drehstrom werden die Energiekabelleiter in Stern geschaltet,wie aus Bild 3.6 ersichtlich. Schon flach verlegte Leiter mit gleichem Achsabstandstellen fur den Generator eine unsymmetrische Belastung dar. Soll in allen drei Lei-tern vom Betrag her der gleiche Strom fließen, so ist ein Ruckleiter erforderlich. Ob-wohl der Ruckleiter haufig nur mit 5 % bis 10 % des Leiterstromes belastet wird, ister in einer Entfernung von 3 m zu der Meßanordnung positioniert worden. Gespeistwird die Anordnung von einem symmetrischen Drehstromsystem, das je Phase auseinem Stelltransformator und einem Heiztransformator besteht, die jeweils in Sterngeschaltet sind. Die Heiztransformatoren mussen in einem Abstand von mindestens3 m zu den Leitern aufgestellt werden, um eine Beeinflussung der Messung durchihre Streufelder zu verhindern. Ferner stellen sie Warmequellen dar, deren Einflußes ebenfalls zu verringern gilt.

Die Stelltransformatoren, welche die Eingangsspannung der Heiztransformatorenvorgeben, sollten stufenlos verstellbar sein und idealerweise uber eine Regelungihrer Ausgangsspannung verfugen, um Schwankungen der Netzspannung auszu-gleichen. Andert sich beispielsweise die Netzspannung um 1 %, so wird sich derHeizstrom aufgrund der nahezu konstanten Last ebenfalls um 1 % andern. Da dieEndubertemperatur der Leiter proportional zur Verlustleistung und damit zum

28 3 MESSVERFAHREN

Stromquadrat ist, sinkt oder steigt die Endubertemperatur um ca. 2 %. Lage alsodie Leitertemperatur um 60 K uber der Umgebungstemperatur, so wurde sich derLeiter um 1,2 K erwarmen bzw. um 1,2 K abkuhlen. Meßwerte, die solchen zeit-lichen Schwankungen unterliegen, mussen mit einem geeigneten mathematischenVerfahren aufgearbeitet werden, das im weiteren Verlauf dieser Arbeit noch vorge-stellt werden wird.

Der Strom in jedem Leiter wird mittels Durchsteckstromwandlern gemessen. Dabeisind die Stromwandler moglichst mit dem maximal zulassigen Strom zu belasten,da ihr relativer Fehler dort am geringsten ist. Wie in Bild 3.6 zu sehen, empfiehlt es

... ϑϑ

ϑI

1

23

4

5

Bild 3.6: Meßaufbau fur die Drehstrommessung1: Meßstellenumschalter2: Platin Dunnfilmthermometer Pt 1003: Stelltransformator4: Heiztransformator5: Durchsteckstromwandler


sich weiterhin, die Durchsteckstromwandler in Leiternahe um die Zuleitungen zumontieren. So ist die Entfernung zu den Heiztransformatoren groß genug, und dieLeiter lassen sich besser positionieren.

Die Spannungsdifferenz an der Burde des Durchsteckstromwandlers wird mit einemSpannungsmeßgerat erfaßt, das wegen der hohen magnetischen Wechselfelder min-destens 3 m von dem Meßstand entfernt aufgestellt werden sollte. Die Meßleitungenvon den Burden zu Spannungsmeßgerat sind zu verdrillen, damit keine Leiterschlei-fe aufgespannt wird, in die Storsignale induziert werden. Das Spannungsmeßgeratmuß zur automatischen Meßwerterfassung und zur spateren mathematischen Aus-wertung mit einem Rechner gekoppelt werden.

Temperaturmessung

Wahrend der Heizvorgange muß standig die Leitertemperatur gemessen werden.Dazu wurden Platinmeßwiderstande, kurz Pt 100 genannt, eingesetzt. Die Pt 100mussen speziell zur Messung von Oberflachentemperaturen geeignet sein und sokleine Abmessungen (Breite: 1 mm, Lange: 5 mm, Hohe: 1,5 mm) besitzen, daß sieauf einem einzelnen Draht des verseilten Leiters aufgeklebt werden konnen, wie inBild 3.7 dargestellt ist.

Die Fixierung der Pt 100 erfolgt mit einem Klebstoff auf Keramikbasis, so daßder thermische Kontakt des Pt 100 mit dem Einzeldraht des Leiters unabhangig istgegenuber thermischer Ausdehnung oder mechanischer Beanspruchung des Leiters.Eine hohe Reproduzierbarkeit der Temperaturmessung ist somit gewahrleistet.

Es ist sinnvoll, mehrere Pt 100 je Leiter in konstanten Abstanden von 1 m in Lei-terlangsrichtung zu montieren, um neben dem Temperaturverlauf auch das Tempe-raturprofil langs des Leiters zu erhalten und so Warmestrome in axialer Richtungzu uberwachen.

An die Anschlußdrahte des Pt 100 muß eine geschirmte Meßleitung nach dem Prin-zip der 4-Drahtmessung gelotet werden, um die Temperaturen unabhangig von derMeßleitungslange erfassen zu konnen. Ferner ist darauf zu achten, daß sich die er-sten 0,5 m der Meßleitung auf dem gleichen Temperaturniveau befinden wie derMeßwiderstand, damit uber die Meßleitung keine Warme nach außen an die Umge-bung abgefuhrt wird.

Das Temperaturmeßgerat muß neben einem kleinen Meßfehler auch uber eineSchnittstelle zur automatischen Meßwerterfassung verfugen, um Langzeitversuche

30 3 MESSVERFAHREN

automatisch protokollieren zu konnen und damit die Versuchsanordnung hinsicht-lich der Einhaltung hochstzulassiger Temperaturen uberwacht werden kann.

In der Nahe des Meßstandes ist ein weiteres Widerstandsthermometer thermischisoliert zu plazieren, mit dem die Raumtemperatur gemessen wird. Selbst in klima-tisierten Raumen reicht allein die Anwesenheit von Personen aus, um die Umge-bungstemperatur um einige zehntel Grad anzuheben. Da sich bei Verwendung derin Bild 3.4 vorgeschlagenen thermischen Isolierung der Leiter die Raum- und dieEndtemperatur der Leiter nahezu gleichzeitig andern und nur wenige Zehntelgradum einen Mittelwert pendeln, ist es sinnvoll, nur die Differenz beider Temperaturen,die sogenannte Endubertemperatur, zu betrachten.

Bild 3.7: Fixierung der Platin Dunnfilmthermometer (Pt 100) auf demMillikenleiter(Das Streichholz dient dem Großenvergleich)

3.3 Meßfehler 31

3.3 Meßfehler

Die Messung nach dem thermisch stationaren Verfahren ist sehr zuverlassig und un-terliegt einer sehr kleinen Fehlerschranke. Neben den reinen Meßfehlern der Meß-gerate muß eine Vielzahl anderer Einflußgroßen untersucht werden, um die Aus-wirkungen auf die Messung abschatzen zu konnen. Im folgenden sind die auf zahl-reichen Messungen und Untersuchungen basierenden Erfahrungen beim Aufspurenund Eliminieren von Fehlerquellen wiedergegeben. Die Fehlerschranke wird quan-titativ unter Berucksichtigung der Fehlerfortpflanzung nach der VDI/VDE-Richt-linie 2620 [71] [72] erfaßt.

3.3.1 Gleichstrommessung

Meßshunt

Verwendet wurde ein im Gleichstromgenerator fest installierter kalibrierterMeßwiderstand. Die Kalibrierung wurde nach DIN ISO 9001 durchgefuhrtund der Gleichstromwiderstand bei einer Temperatur von 23 C zu

R

83 564 10 6 Ω (3.8)

mit einem Meßfehler von∆Rmess

Rmess

0 02 % (3.9)

gemessen. Der Meßwiderstand wurde wahrend des Betriebs gekuhlt, so daßdie Temperatur des Shunts maximal zwischen 10 C und ca. 60 C schwankte.In diesem Bereich kann die Temperaturabhangigkeit des Leitermaterials, eshandelte sich um Manganin, als linear angenommen werden. Der dazugeho-rige Temperaturkoeffizient betragt:

10

5 K 1

(3.10)

Der Fehler aufgrund der temperaturabhangigen Widerstandsanderung ist dem-zufolge:

∆RϑRϑ

0 027 % (3.11)

Der Gesamtfehler des Meßwiderstandes berechnet sich nach statistischer Er-gebnisfehlergrenze zu:

∆Rges

Rges

∆Rmess

Rmess 2

∆RϑRϑ 2

0 034 % (3.12)

32 3 MESSVERFAHREN

Spannungsmeßgerat

Die Spannungsdifferenz am Meßshunt wurde mit dem Digital Multimeter5100 der Firma DANA gemessen. Der Fehler in dem verwendeten Meßbe-reich bis 200 mV ist:

∆Udc

Udc

0 009 %

Anzeigewert

8 digits (3.13)

Der maximale relative Fehler bei der Gleichspannungsmessung tritt bei mini-maler Spannung am Meßshunt auf, d.h. bei minimalem Strom:

∆Udc

Udc

0 009 %

0 008 mV167 mV

0 014 % (3.14)

Restwelligkeit

Die Restwelligkeit des Gleichstromes wurde bei folgendem Versuchsaufbaubestimmt: Flachverlegung, Achsabstand a

0 5 m und a

0 1 m, Leiter-

querschnitt 2000 mm2 und 2500 mm2, Gleichstrom 1000 A, 2000 A und3000 A. Zwischen die Verbindung Leiter-Ruckleiter wurde ein externer Meß-shunt (1000 A

600 mV) geschaltet, der induktionsarm aufgebaut ist. Die

Meßleitungen des Shunts wurden von beiden Seiten symmetrisch bis zur Mit-te verlegt und von dort aus verdrillt herausgefuhrt. Als Spannungsmeßgeratdiente ein HP Gigasampler.

Zunachst wurde bei den drei Stromen die Gleichspannung am Meßshunt ge-messen, anschließend der Wechselspannungsanteil erfaßt.

Als Resultat der Messung bleibt festzuhalten, daß mit dem verwendeten Meß-gerat kein Wechselspannungsanteil der Gleichspannung gefunden werdenkonnte, d.h. der Spitze-Spitze-Wert des Wechselspannungsanteils muß klei-ner als das Rauschen des Meßgerates sein

Uac SS 0 5 mV (3.15)

Bezogen auf die dem minimalen Meßstrom entsprechende Gleichspannungvon Udc

1 2 V betragt der Wechselstromanteil maximal

Uac eff

Udc 0 015 % (3.16)

und ist somit vernachlassigbar klein.

3.3 Meßfehler 33

Stabilitat

Bei einem Dauerversuch mit fest eingestelltem Gleichstromwert konnte kei-ne Schwankung des Gleichstromes oder eine tendenzielle Veranderung desGleichstromverlaufes mit den vorhandenen Meßgeraten festgestellt werden.Temperatur, Speisespannungsschwankungen, Anderung der Frequenz derSpeisespannung oder ahnliches haben keinen erfaßbaren Einfluß.

Reproduzierbarkeit

Die erste Messung einer Meßreihe muß stets am Ende der Meßreihe wieder-holt werden. Nur so kann ausgeschlossen werden, daß sich der Leiter bzw.die gesamte Anordnung wahrend der Versuchsdauer nicht verandert hat.

Meßfehler

Nach obigen Betrachtungen ergibt sich der Meßfehler der Gleichstrommes-sung zu:

∆Idc

Idc

∆Rges

Rges 2

∆Udc

Udc 2 0 037 % (3.17)

Er ist so gering, daß der Einfluß auf den Gesamtmeßfehler praktisch ver-nachlassigt werden kann.

3.3.2 Wechselstrommessung

Stromwandler

Zur Messung der Wechselstrome wurden Durchsteckstromwandler der FirmaKWK Meßwandler, Kerpen, verwendet. In den Wandlern ist eine Burde ein-gebaut, so daß bei primarem Nennstrom von 2500 A eine Spannungsdifferenzan der Burde von 2 5 V entsteht. Wandler und Burde besitzen die Klasse 0,1,was durch eine DIN-gerechte Prufung nachgewiesen wurde.

Der großte Meßfehler entsteht bei Angabe einer Guteklasse beim kleinstenprimaren Stromwert. Dieser war 1940 A. Somit folgt fur den maximalen Feh-ler des Stromwandlers:

∆IWandler

IWandler

0 1 % 2500 AIac min

2 5 A1940 A

0 13 % (3.18)

Zusatzlich wurde eine Kennlinie (Polynom 4. Grades) fur jeden Wandler be-rechnet, mit deren Hilfe die am Wandler gemessenen Werte auf Basis der Re-ferenzmessung korrigiert wurden. Der auftretende Meßfehler wird also deut-lich unterhalb des oben angegebenen Großtfehlers liegen.

34 3 MESSVERFAHREN

Spannungsmeßgerat

Zur Messung der an der Burde der Stromwandler entstehenden Spannungs-differenz wurde das Digital Multimeter PM 2534 von der Firma Philips ver-wendet. Fur den Meßbereich bis 3 V, Messung mit Filter (40 Hz

50 kHz)

und der Meßgeschwindigkeit 2 und 3 wird der Fehler der Wechselspannungs-messung mit

∆Uac

Uac

0 3 %

Anzeigewert

0 1 %

Bereichsendwert

(3.19)

angegeben. Da die minimal zu messende Wechselspannung 1 8 V betrug, laßtsich der maximale Fehler der Spannungsmessung bestimmen zu:

∆Uac

Uac

0 3 %

3 V1 8 V

0 1 %

0 47 % (3.20)

Hohere Harmonische

Das Vorhandensein hoherer Harmonischer wurde mit einem selektivem Pegel-messer der Firma Wandel & Goltermann, Enningen, uberpruft. Dazu wur-de wahrend einer Wechselstrommessung bei dem maximalem Achsabstandvon a

0 5 m der Oberschwingungsgehalt des Stromes sowohl durch die

Spannungsdifferenz an einem im Stromkreis eingebauten Meßshunt als auchdie Spannungsdifferenz an den in den Durchsteckstromwandlern eingebautenShunts bestimmt. Die Transformatoren waren auf Betriebstemperatur aufge-heizt ( 60 C). Es ergab sich, daß Leiter 2 einen hoheren Oberschwingungs-gehalt aufweist als die Leiter 1 und 3, weswegen nachfolgend nur Leiter 2betrachtet wird. Im einzelnen konnten folgende hohere Harmonische nachge-wiesen werden:

150 Hz :

60 dB,250 Hz :

58 dB,

350 Hz :

64 dB.

Die gleiche Messung wurde fur den kleinsten Achsabstand von a

0 1 mdurchgefuhrt, wobei sowohl die Leiter ihre Endubertemperatur erreicht hattenals auch die Transformatoren ihre Betriebstemperatur besaßen. Analog zurobigen Messung wurde auch hier der hochste Anteil hoherer Harmonischerim Leiter 2 beobachtet:

150 Hz :

59 dB,250 Hz :

57 dB,

350 Hz :

73 dB.

3.3 Meßfehler 35

Bei der funften Oberwelle tritt die kleinste Dampfung auf. Dem Pegelwertvon

57 dB bei der 250 Hz-Welle entspricht eine Amplitude, die 0,14 % der

Amplitude der Grundschwingung betragt und somit vernachlassigt werdenkann.

Stabilitat

Durch sich stetig andernde Lasten im Versorgungsnetz traten Spannungs-schwankungen in der Großenordnung von ca. 1 % auf. Um eine sinnvol-le Messung durchfuhren zu konnen, mussen diese Schwankungen entwederdurch eine vorgeschaltete Regelung unterdruckt oder mittels eines geeignetenmathematischen Verfahrens rechnerisch berucksichtigt werden.

Der Einsatz einer Regelung ist der elegantere und schnellere Weg, da die ein-gepragten Strome eine uber der Zeit konstante Amplitude besitzen und diesenStromen damit sofort eine eindeutige Endubertemperatur zugeordnet werdenkann.

Doch auch ohne eine solche Regelung ist eine sinnvolle Messung moglich.Durch die Schwankungen der Speisespannung begrundet treten Stromschwan-kungen beim Heizen der Leiter in der Große von ∆Iac

1 % auf. Da das

Stromquadrat naherungsweise proportional der Endubertemperatur ist unddie Schwankungen im Bereich der Zeitkonstante der Anordnung liegen, mußwie folgt vorgegangen werden, um einem gemessenen Strom dennoch einedefinierte Endubertemperatur zuweisen zu konnen.

Die Anordnung wird uber einen Zeitraum, der dem Funf- bis Siebenfachender Zeitkonstanten der Anordnung entspricht, mit einem Strom aufgeheizt,der in etwa dem Strom fur die gewunschte Endubertemperatur entspricht.Schwankungen der Leiterubertemperatur treten nun nur noch als Folge derStromschwankungen auf, nicht aber aufgrund des eigentlichen Aufheizens,da die Anordnung ihren stationaren Temperaturendwert erreicht haben mußte.Fur die Dauer von weiteren 10 bis 12 Zeitkonstanten werden nachfolgend al-le 20 Minuten die Ubertemperaturen der Leiter und alle zwei Minuten dieWechselstrome erfaßt und gespeichert.

Tragt man nun, wie in Bild 3.8 dargestellt, das Wechselstromquadrat uber derZeit auf, so kann man eine Ausgleichsgerade g festlegen, die uber folgendeBedingungen definiert wird:

– Die Flache zwischen der Kennlinie (in Bild 3.8 gestrichelt dargestellt)und der Ausgleichsgeraden g muß identisch Null sein, damit die Geradedie mittlere aufgenommene Leistung wiedergibt.

36 3 MESSVERFAHREN

– Die Summe der Betrage von der Flache oberhalb der AusgleichsgeradenAo und der Flache unterhalb der Ausgleichsgeraden Au muß minimalsein, so daß aus der Steigung der Geraden geschlossen werden kann,wie die Zunahme der Energieaufnahme ist.

Ist die Steigung positiv, dann nimmt das System immer mehr Energie auf, istdie Steigung negativ, so nimmt das System mit fortschreitender Zeit weni-ger Energie auf. Erst wenn die Steigung der Ausgleichsgeraden Null ist, d.h.die Zunahme der Energieaufnahme ebenfalls identisch Null ist, dann kannaus den Stromquadraten bzw. aus den entsprechenden Stromen auf den mitt-

0 2 4 6 8 100

5

10

15

20

25

30

t

Iac2

Ao

Au

g

Bild 3.8: Prinzipielle Darstellung der Schwankungen des Quadrates desDrehstromes I2

ac uber der Zeit tAo: Flache oberhalb der Ausgleichsgeraden gAu: Flache unterhalb der Ausgleichsgeraden g

3.3 Meßfehler 37

leren Strom sowie aus den zugehorigen Temperaturwerten auf die mittlereEndubertemperatur bei obigem mittlerem Strom geschlossen werden. Ent-spricht diese mittlere Endubertemperatur der geforderten Endubertemperatur,so ist der gesuchte Strom der mittlere gemessene Wechselstrom.

Wenn die Meßwertaufnahme sinnvollerweise automatisiert ist, liegen die Da-ten in binarer Form vor und konnen leicht mit einem entsprechend program-mierten Algorithmus ausgewertet werden.

Diese rechnerische Methode wurde uberpruft, indem uber einen hinreichendgroßen Zeitraum die Wechselstrome manuell nachgeregelt wurden.

Reproduzierbarkeit

Analog zur Gleichstrommessung ist es auch hier zwingend erforderlich, dieerste Messung zum Schluß der Meßreihe zu wiederholen, um eine Verande-rung in der Anordnung auszuschließen.

Meßfehler

Der Meßfehler bei der Wechselstrommessung (Meßkette: Stromwandler, Bur-de und Wechselspannungsmeßgerat) ergibt sich unter Berucksichtigung derstatistischen Ergebnisfehlergrenze zu:

∆Iac

Iac

∆Uac

Uac 2

∆IWandler

IWandler 2 0 49 % (3.21)

3.3.3 Temperaturmessung

Pt 100

Zur Bestimmung der Leitertemperaturen wurden Platin Dunnfilmthermome-ter der Firma Telemeter Electronic, Donauworth, eingesetzt. Element: Pt 100,Modell-Nr.: S104 PD 4A, Temperaturbereich:

50 C bis 400 C und To-

leranzklasse: A nach DIN 43760. Nach IEC 751 (darauf wird in DIN 43760verwiesen) ist die Grenzabweichung der Temperatur fur ein Widerstandsther-mometer nach Toleranzklasse A:

∆

Pt100

0 15 0 002

C

C (3.22)

Diese Dunnfilmthermometer wurden mit einem speziellen Klebstoff auf demLeiter fixiert. Der ausgehartete Klebstoff besitzt eine geringe elektrische Leit-fahigkeit, weist aber gleichzeitig eine sehr gute thermische Leitfahigkeit auf,

38 3 MESSVERFAHREN

so daß ein ausgezeichneter Kontakt zwischen Leiter und Widerstandsthermo-meter existierte.

Die Messungen erfolgten bei Leiterendtemperaturen von ungefahr 80 C. DerFehler der Platin Dunnfilmthermometer bei dieser Temperatur ist:

∆

Pt100Pt100

0 39 % (3.23)

Temperaturmeßgerat

Mit einem digitalen Meßgerat, Typ 2180 A, der Firma Fluke wurden diean den Platin Dunnfilmthermometern anliegenden Spannungsdifferenzen ge-messen. Fur einen Temperaturbereich von 0 C bis 204 C wird der maximaleFehler mit

0 229 C angegeben, wenn die Kalibrierung weniger als ein Jahr

zuruckliegt. Fur die hier betrachteten Leitertemperaturen von ungefahr 80 Cist der Fehler des Meßgerates demnach:

∆

FlukeFluke

0 29 % (3.24)

Meßleitungen

Die Temperatur der Widerstandsthermometer wurde mit obigem digitalenMeßgerat erfaßt. Dazu wurden die Dunnfilmthermometer mit Hilfe von 4-Draht-Leitungen am Meßgerat kontaktiert. Die Messung erfolgte also lei-stungslos und war somit unabhangig von der Meßleitungslange.

Beeinflussung durch Fremdfelder

Um eine Verfalschung der Messung durch Fremdfelder auszuschließen, ins-besondere durch die Magnetfelder, die durch die hohen Leiterstrome hervor-gerufen werden, muß der Leiter sowohl mit Gleichstrom als auch mit Wech-selstrom auf eine Endubertemperatur erwarmt werden. Ist die Endubertempe-ratur erreicht, wird die Temperatur nochmals gemessen und dann der Gleich-bzw. Wechselstrom abgeschaltet. Aufgrund der Tragheit der Anordnung darfsich unmittelbar nach dem Abschalten keine meßbare Temperaturanderungergeben. Eine Beeinflussung der Temperaturmessung konnte nicht festgestelltwerden.

Konvektion, Warmestrahlung und -kopplung

Dem Meßprinzip folgend werden die Leiter nacheinander mit Gleichstromund Drehstrom auf dieselbe Endubertemperatur geheizt. Da sich die Geo-metrie wie auch die Werkstoffeigenschaften nicht andern, bleibt auch der

3.3 Meßfehler 39

Warmewiderstand der Anordnung gleich. Dabei ist unerheblich, wie großder Anteil der Konvektion bzw. Warmestrahlung ist. Warmekopplung konntenicht nachgewiesen werden, da bei Gleichstrombetrieb und dem geringstenAchsabstand von a

0 1 m alle drei Leiter im Rahmen des Fehlers die glei-

che Endubertemperatur erreichten.

Spannbander

Zur Simulation der Krafte, die auf einen Millikenleiter im Kabel wirken, wur-den Edelstahlbander elektrisch isoliert um die Millikenleiter montiert, welchemit einer Zugkraft von bis zu 3300 N gespannt werden konnten. Bei Wech-selstrombetrieb wurden in den Edelstahlbandern Wirbelstrome induziert. Wieeine Abschatzung zeigte, betrug der Zusatzverlustanteil, der durch die Wir-belstrome hervorgerufen wurde, weniger als 3 45 10

4 % der Verluste, die ineinem Leiterstuck gleicher Lange entstehen. Ein Einfluß der Edelstahlbanderauf die Messung ist demnach ausgeschlossen.

Meßfehler

Der gesamte Fehler der Temperaturmessung ergibt sich zu:

∆

gesges

∆

Pt100Pt100 2

∆

FlukeFluke 2

0 49 % (3.25)

Anmerkung:

Die Temperaturmessung erfolgte durch Platin Dunnfilmthermometer, welcheeinen temperaturabhangigen Widerstand besitzen. Wie aus der Fehlerbetrach-tung fur die Pt 100 folgt, weicht der Wert des Widerstandes zwar von seinemSollwert ab, jedoch ist diese Abweichung zeitlich konstant. Da es bei demthermisch stationaren Verfahren nur darauf ankommt, daß dieseble Enduber-temperatur beim Aufheizen mit Gleich- und Wechselstrom erreicht wird, istdie Messung der Stromverdrangungseffekte unabhangig vom Meßfehler derTemperatur.

Soll jedoch eine Aussage getroffen werden, bei exakt welcher TemperaturSkin- und Proximityeffektfaktor bestimmt wurden, so muß bei Angabe dieserTemperatur selbstverstandlich der in Gl. 3.25 angegebene Meßfehler beruck-sichtigt werden. Doch ist in der Praxis eine solch kleine Fehlerschranke beider Temperatur vernachlassigbar.

40 3 MESSVERFAHREN

3.3.4 Gesamtfehler

Skineffektfaktor

Bevor mit dem thermisch stationaren Verfahren der Skineffektfaktor bestimmtwerden kann, muß sichergestellt sein, daß der Proximityeffekt vernachlassigtwerden darf. Dazu wird eine Leiteranordnung mit entsprechend großem Achs-abstand zuerst mit Gleichstrom auf die gewunschte Endubertemperatur er-hitzt. Anschließend wird die Messung mit Drehstrom wiederholt, wobei derWechselstrom in jedem Leiter so eingestellt werden muß, daß sich die glei-che Temperaturverteilung wie bei der Geichstrommessung einstellt. Tritt keinProximityeffekt auf, so muß der Betrag der Wechselstrome identisch sein undder Skineffektfaktor kann bestimmt werden:

ys

Idc

Iac 2 1 (3.26)

Da der Fehler der Gleich- und Wechselstrommessungen quadratisch in dieBestimmung des Skineffektfaktors eingeht und nach der statistischen Ergeb-nisfehlergrenze berucksichtigt wird, erhalt man den Gesamtfehler der Strom-messungen zu:

∆ IdcIac 2

IdcIac 2

2 ∆Idc

Idc 2

2 ∆Iac

Iac 2 0 98 % (3.27)

Fur den Skineffektfaktor kann damit nach [71] und [72] folgender relativerFehler angegeben werden:

∆ys

ys

∆ IdcIac 2

IdcIac 2 1

Idc

Iac 2 1

0 98 % 1

Idc

Iac 2 1 (3.28)

Der maximale absolute Fehler betragt:

∆ys

0 01 (3.29)

Proximityeffektfaktor

Analog zum Skineffektfaktor ys wird der Proximityeffektfaktor yp aus

yp

Idc

Iac 2 1

ys (3.30)

3.4 Uberpr ufung des Verfahrens 41

bestimmt, wobei der Achsabstand zuvor auf die gewunschte Große eingestelltwerden muß. Berucksichtigt man, daß der Fehler des Ausdrucks

Idc

Iac 2 1 (3.31)

der Fehler des Skineffektfaktors ist, dann kann der relativen Fehler des Proxi-mityeffektfaktors nach der statistischen Ergebnisfehlergrenze angegeben wer-den:

∆yp

yp

∆ys

ys 2

∆ys

ys 2 2 ∆ys

ys (3.32)

Der maximale absolute Fehler des Proximityeffekfaktors betragt:

∆yp

0 02 (3.33)

3.4 Uberpr ufung des Verfahrens

Bei der meßtechnischen Ermittlung der Stromverdrangungsfaktoren wird durch diestatistische Ergebnisfehlergrenze das unwahrscheinliche Ereignis berucksichtigt,daß gleichzeitig alle Meßgerate einer Meßkette mit dem großten Fehler arbeiten.Bei der Abschatzung der Fehler der einzelnen Meßgerate wurde nach dem worst-case-Prinzip vorgegangen. Es ist also zu erwarten, daß der tatsachliche Meßfehlernoch deutlich kleiner ist als der in Gl. 3.29 und Gl. 3.33 angegebene.

Um dieses zu bestatigen und um gleichzeitig zu beweisen, daß die Anordnung kei-ne versteckten Fehlerquellen enthalt, ist ein zylinderformiger, massiver Leiter un-tersucht worden, dessen Stromverdrangungsfaktoren analytisch im Fall des Skin-effektes und numerisch fur den Proximityeffekt hergeleitet werden konnen. DerLeiter, dessen Werkstoffeigenschaften und dessen Geometrie in Tabelle 3.1 wie-dergegeben sind, wurde auf seiner gesamten Lange von 18 m nach der in Bild 3.4vorgeschlagenen Methode thermisch isoliert, als mittlerer Leiter einer flach verleg-ten 3-Leiter-Anordnung mit einem Achsabstand von 0,5 m verlegt und nach demthermisch stationaren Prinzip untersucht.

Bevor eine mathematische Bestimmung der Stromverdrangungsfaktoren dieses Lei-ters vorgenommen werden kann, mussen die leiterspezifischen Daten ermittelt wer-den. Sowohl die geometrischen Großen wie der Leiterradius und der daraus folgen-de Leiterquerschnitt als auch die Leitfahigkeit des Leitermaterials und der zugehori-ge Temperaturkoeffizient, siehe Gl. 3.13 und Gl. 3.17 lassen sich mit vernachlassig-bar kleinem Fehler bestimmen. Mit der in Punkt 2.1.1 beschriebenen analytischen

42 3 MESSVERFAHREN

Methode ist der Skineffektfaktor des mittleren Leiters berechenbar. Die Bestim-mung des Proximityeffektfaktors bei dem realisierten Achsabstand von a

0 5 m

erfolgt mit dem bereits in Punkt 2.1.2 erwahnten Verfahren, das im weiteren Verlaufdieser Arbeit noch entwickelt werden wird.


Radius des Leiters r0 mm 30,03

Leiterquerschnitt AL mm2 2833

Leiterubertemperatur ∆

∞ K 61,3


Leitermaterial — — Al–Legierung


3

Leitfahigkeit 0Ωm

1 33 311 106

Tabelle 3.1: Daten des berechneten massiven Leiters

In der Tabelle 3.2 sind die numerisch und die meßtechnisch ermittelten Stromver-drangungsfaktoren gegenuber gestellt. Die Summe aus Skin- und Proximityeffek-faktor ist bei beiden Verfahren identisch und beweist damit, daß alle Fehlerquellenmit spurbarem Einfluß auch tatsachlich erkannt worden und beseitigt worden sind.

numerisch meßtechnisch

ys 0,356 —

yp 0,010 —

ys yp 0,366 0,366

Tabelle 3.2: Vergleich der numerisch und der meßtechnisch bestimm-ten Stromverdrangungseffektfaktoren des mittleren Leiterseiner mit dem Achsabstand von a

0 5 m flach verlegten

3-Leiter-Anordnung, Leiterkenngroßen: siehe Tabelle 3.1

43

4 Messung der Stromverdrangungseffekte

In dem vorherigen Abschnitt wurde mit dem thermisch stationaren Verfahren undmit der ausfuhrlichen Beschreibung des Versuches die Grundlage fur die folgen-den Messungen geschaffen. Von zwei Millikenleitern mit unterschiedlichen Quer-schnitten, aber identischem Aufbau, werden nun die Stromverdrangungsfaktorenbestimmt. Besonderes Augenmerk wird dabei auf mogliche Einflußgroßen fur denSkin- und Proximityeffekt gerichtet.

4.1 Daten der untersuchten Millikenleiter

Alle Millikenleiter haben im Prinzip den gleichen Aufbau. Der Leiter besteht ausmehreren Segmenten, die aus verseilten Einzeldrahten aufgebaut sind. Diese sehrallgemeine Definition erlaubt eine so große Zahl konstruktiver Freiheitsgrade, daßeine Messung der Stromverdrangungsfaktoren nur mit vollstandiger Angabe allerAufbaumerkmale der untersuchten Millikenleiter sinnvoll ist. Denn haufig bestim-men neben den Anforderungen an elektrische Eigenschaften auch mechanische As-pekte den Aufbau eines solchen Millikenleiters, wie das Biegeverhalten beim Trom-meln.

Wie aus Tabelle 4.1 hervorgeht, werden zwei Millikenleiter mit unterschiedlichenQuerschnitten betrachtet. Beide haben einen Hohlkanal, der durch eine Stutzspi-rale aus Stahl offengehalten wird, s. Bild 2.6. Das Leitermaterial ist Kupfer undbesitzt eigenen Messungen zufolge bei Umgebungstemperatur (20 C) eine elektri-sche Leitfahigkeit von 58 0 106 Ωm

1.

Querschnitt Leitermaterial Segmentzahl Hohlkanal- Außen-durchmesser durchmesser

mm2 — — mm mm

2000 Kupfer 6 12 56

2500 Kupfer 6 12 62

Tabelle 4.1: Charakteristische Aufbaumerkmale der untersuchtenMillikenleiter

44 4 MESSUNG DER STROMVERDRANGUNGSEFFEKTE

Die sechs Segmente sind durch Papiereinlagen elektrisch gegeneinander isoliert.Sie bestehen aus Einzeldrahten, deren Oberflachen vor und wahrend der Produktionnicht gesondert behandelt wurden, so daß sich dort eine Kupferoxidschicht bildenkann.

Wie Bild 4.1 zeigt, sind diese Einzeldrahte lagenformig um unverseilte Einzel-drahte in der Segmentmitte, die sogenannten Herzdrahte, angeordnet. Jede Lagebesitzt charakteristische Konstruktionsmerkmale, wie aus Tabelle 4.2 ersichtlichist. So unterscheiden sich die einzelnen Lagen nicht nur hinsichtlich der Drahtzahlund der Schlaglange, sondern sie sind auch aus Einzeldrahten mit unterschiedli-chen Querschnitten aufgebaut. Der Grunde hierfur sind einerseits konstruktionsre-striktive Faktoren, die zur Einhaltung des geforderten Leiterquerschnitts bestimmteDrahtquerschnitte je Lage verlangen, da die Drahtzahl je Lage nicht beliebig ge-wahlt werden kann. Andererseits werden die Segmente nach dem Aufbringen ei-

Bild 4.1: Aufbau eines Segmentes

4.1 Daten der untersuchten Millikenleiter 45

ner jeden Lage in die entsprechende Segmentform gewalzt, so daß lagenabhangigunterschiedliche Krafte auf die Einzeldrahte ausgeubt werden. Die so verdichte-ten Leiter weisen Fullfaktoren auf von F u

0 85 fur den Millikenleiter mit einem

Leiterquerschnitt von 2000 mm2 bzw. F u

0 86 fur den Leiter mit 2500 mm2 Lei-terquerschnitt.

Querschnitt Aufbau- Draht- Drahtquer- Verseilung Schlag-element zahl schnitt lange

mm2 — — mm2 — m

2000 Herzdrahte 3 5,9 unverseilt —

1. Lage 12 5,9 unverseilt —

2. Lage 18 5,8 Linksschlag 0,30


Segment 56 — Linksschlag 1,75


1. Lage 13 7,4 unverseilt —



Segment 55 — Linksschlag 2,15

Tabelle 4.2: Aufbau und Verseilung der untersuchten Millikenleiter


4.2 Meßergebnisse

Heutzutage werden viele Energiekabelsysteme flach verlegt. Der mittlere Leiter be-grenzt aufgrund seiner besonderen Position die Belastbarkeit des Systems, da erim Vergleich zu seinen Nachbarleitern unter anderem einen starker ausgepragtenProximityeffekt aufweist. Dieser praxisrelevante Fall wurde mit dem in Bild 3.2dargestellten Meßstand bei einer Systemlange von 17 m untersucht. Falls nicht ex-plizit erwahnt, findet die Messung bei der ublichen Betriebstemperatur von 80 Cmit nicht getrankten Millikenleitern statt.

4.2.1 Unterschiedlicher Anpreßdruck

Die Abhangigkeit der Stromverdrangungsfaktoren von der Kraft, die auf den Leiterim Kabel wirkt, soll zunachst an dem Millikenleiter untersucht werden, der einenLeiterquerschnitt von 2000 mm2 besitzt. Flach verlegt in einer 3-Leiter-Anordnungwerden um diese Leiter elektrisch isoliert Edelstahlbander montiert, um unterschied-liche Krafte realisieren zu konnen. Das Spannen der Edelstahlbander mit einer Zug-kraft von 10 N simuliert einen geringen Druck, eine Zugkraft von 3300 N entsprichteinem hohen Druck, wie er in VPE-Kabeln herrschen kann.

In Bild 4.2 sind die Stromverdrangungsfaktoren des mittleren Leiters uber demAchsabstand aufgetragen. Wird auf den Leiter ein geringer Druck ausgeubt, so sinddie Ubergangswiderstande zwischen benachbarten Einzeldrahten groß. Die Strom-verdrangung ist schwach ausgepragt, wie ein Vergleich mit der nach IEC Publicati-on 287 [33] berechneten Kennlinie beweist. Diese Messung findet zwar außerhalbdes Gultigkeitsbereiches von IEC Publication 287 (der Leiterquerschnitt ist großerals 1500 mm2) statt, soll aber dennoch mit in die Diskussion einbezogen werden, daes derzeit keine Alternative zu dieser Vorschrift gibt. Bei einer Zugkraft von 3300 Nist der Leiter einem so hohen Druck ausgesetzt, daß sich die Ubergangswiderstandeerheblich verringern. Die Stromverdrangung tritt deutlicher in Erscheinung. Auf-grund der Druckzunahme steigt der Skineffektfaktor von 8,6 % auf 13,7 % undliegt oberhalb des nach IEC Publication 287 berechneten Wertes von 12,4 % undsomit nicht mehr auf der

”sicheren Seite“. Im Gegensatz zu der nach IEC Publicati-

on 287 berechneten Kennlinie zeigen die beiden gemessenen Kennlinien fast keineAbhangigkeit vom Achsabstand, d.h. der Proximityeffekt ist deutlich schwacherausgepragt, als nach IEC Publication 287 zu erwarten ist. Bei der Messung unterhohem Druck liegt er in der Großenordnung von 1 %, bei geringem Druck ist ernicht meßbar.

4.2 Meßergebnisse 47

4.2.2 Gegenwart eines Trankmittels

In einer zweiten Meßreihe wird ein Millikenleiter untersucht, der einen Leiterquer-schnitt von 2500 mm2 besitzt. Edelstahlbander, die elektrisch isoliert um die Leitermontiert sind, simulieren wiederum Krafte, die auf einen Leiter im Kabel wirkenund diesen zusammenpressen. Zusatzlich werden die Leiter, deren Edelstahlbandermit der hohen Zugkraft (3300 N) gespannt sind, mit Isolierol getrankt.

Bild 4.3 zeigt den Stromverdrangungsfaktor des mittleren Leiters der flach verleg-ten 3-Leiter-Anordnung als Funktion des Achsabstandes. Wie zu erwarten ist dieStromverdrangung aufgrund des großeren Leiterquerschnitts wesentlich deutlicherausgepragt als bei dem Millikenleiter mit 2000 mm2 Leiterquerschnitt. Die Skin-effektfaktoren fur geringen und hohen Druck haben sich gegenuber dem kleinerenLeiter nahezu verdoppelt, und schon bei geringem Druck, d.h. bei großen Uber-gangswiderstanden zwischen benachbarten Einzeldrahten, ist der Proximityeffektnicht mehr zu vernachlassigen. Die Stromverdrangungsfaktoren zeigen jetzt einedeutliche Abhangigkeit vom Leiterachsabstand. Diese Abhangigkeit ist bei hohemDruck, also bei kleinen Ubergangswiderstanden, besonders stark ausgepragt. BeiVerringerung des Achsabstandes von 0,5 m auf 0,1 m erhohen sich die Stromver-drangungsfaktoren von 23,0 % auf 43,6 % als Folge des Proximityeffektes. Wegendes großen Leiterquerschnitts und der kleinen Ubergangswiderstande erreicht die-ser die Großenordnung des Skineffektes und ist damit bei kleinen Achsabstandeneine maßgebliche Große.

Trankt man nun diese mit hohem Druck zusammengepreßten Leiter mit einem Iso-lierol, so halbieren sich die Stromverdrangungsfaktoren, wie aus Bild 4.3 ersicht-lich. Das Isolierol legt sich vermutlich als dunner elektrisch isolierender Film umdie Einzeldrahte und vergroßert damit die Ubergangswiderstande. Die Auswirkun-gen dieses Effektes sind so groß, daß der Proximityeffektfaktor bei 0,1 m Achs-abstand von 20,6 % (hoher Druck, ohne Isolierol) auf 1,7 % (hoher Druck, mitIsolierol) reduziert wird.

4.2.3 Temperaturabhangigkeit

Da die elektrische Leitfahigkeit des Leitermaterials Kupfer eine Funktion der Tem-peratur ist, liegt der Schluß nahe, daß auch die Stromverdrangungseffekte von derLeitertemperatur beeinflußt werden. Zur Untersuchung dieser Vermutung wurdendie Skineffektfaktoren der Millikenleiter bei unterschiedlichen Leitertemperaturenbestimmt, nachdem die Edelstahlbander mit der hohen Zugkraft von 3300 N ge-spannt worden waren.


Bild 4.4 zeigt die gemessenen Skineffektfaktoren als Funktion der Leiterubertem-peratur. Zum Vergleich sind die entsprechenden Kennlinien aufgetragen, die sichaus der IEC Publication 287 (sie befindet sich nach wie vor außerhalb des Gultig-keitsbereiches) ergeben. Mit sinkender Leiterubertemperatur vergroßert sich derSkineffektfaktor, da einerseits der Gleichstromwiderstand der Millikenleiter kleinerwird, andererseits der Wechselstromwiderstand durch den bei hoherer Leitfahigkeitstarker ausgepragten Skineffekt zunimmt. Wahrend die Skineffekfaktoren des quer-schnittskleineren Millikenleiters zumindest im mittleren betrachteten Ubertempera-turbereich durch die IEC Publication 287-Kennlinie treffend beschrieben werden,ist dieses fur den Millikenleiter mit 2500 mm2 Leiterquerschnitt nicht der Fall. DieIEC Publication 287 liefert stets zu kleine Werte, deren Abweichung zu den Meß-werten mit steigender Leiterubertemperatur noch zunimmt.


0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

m

y ys p+

a

1

2

3

Bild 4.2: Vergleich der Stromverdrangungseffektfaktoren ys yp desmittleren Millikenleiters einer flach verlegten 3-Leiter-Anordnung als Funktion des Leiterachsabstandes aDer Leiterquerschnitt betragt 2000 mm2 und die Leitertempe-ratur 80 C1: geringer Druck2: hoher Druck3: IEC Publication 287 (außerhalb des Gultigkeitsbereiches)


0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,50

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

m

y ys p+

a

1

2

3

4

Bild 4.3: Vergleich der Stromverdrangungseffektfaktoren ys yp desmittleren Millikenleiters einer flach verlegten 3-Leiter-Anordnung als Funktion des Leiterachsabstandes aDer Leiterquerschnitt betragt 2500 mm2 und die Leitertempe-ratur 80 C1: geringer Druck2: hoher Druck3: IEC Publication 287 (außerhalb des Gultigkeitsbereiches)4: hoher Druck, Millikenleiter mit Isolierol getrankt


0 20 40 600

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1

2

ys

K∆ϑ ∞

3

4

Bild 4.4: Vergleich der Skineffektfaktoren ys von Millikenleitern ei-ner flach verlegten 3-Leiter-Anordnung als Funktion der Lei-terubertemperatur ∆

∞

1: Leiterquerschnitt 2500 mm2, hoher Druck2: Leiterquerschnitt 2500 mm2, IEC Publication 2873: Leiterquerschnitt 2000 mm2, hoher Druck4: Leiterquerschnitt 2000 mm2, IEC Publication 287


4.3 Vergleich mit dem Schrifttum

Die mittels des thermisch stationaren Meßprinzips bestimmten Skineffektfaktorender beiden Millikenleiter sollen nachfolgend den Ergebnissen anderer Untersu-chungen gegenubergestellt werden. Besonderer Wert wurde bei der Auswahl einerreprasentativen Vergleichsmessung darauf gelegt, daß die Leiterquerschnitte allerMillikenleiter identisch sind und die Skineffektfaktoren bei der gleichen Leiteruber-temperatur gemessen wurden. Denn wie im Unterpunkt 4.2.3 gezeigt, ist die Tem-peraturabhangigkeit des Skineffektes eine nicht zu vernachlassigende Große.

In Bild 4.5 sind die gemessenen Skineffektfaktoren unterschiedlicher Millikenleitermit einem Leiterquerschnitt von 2000 mm2 aufgetragen. Die eigenen Meßwerte,durch dunkle Balken gekennzeichnet (Messung a,d), liegen zum Teil erheblich unterden Ergebnissen anderer Messungen. So ist der Skineffektfaktor, der von P. Metraund L. Ruhe [48] mit einem elektrischen Verfahren ermittelt wurde (Messung g),um den Faktor 2,5(!) großer als der der eigenen Messung bei geringem Anpreßdruck(Messung a). Der nach der IEC Publication 287 ermittelte Wert ist als grauer Balken(Messung c) dargestellt.

Die Skineffektfaktoren der Millikenleiter, die einen Leiterquerschnitt von2500 mm2 besitzen, weichen weniger stark voneinander ab, siehe Bild 4.6. DasErgebnis der Messung G ist aber immer noch um den Faktor 1,7 großer als das derMessung A.

4.4 Diskussion der Ergebnisse

Die Stromverdrangungsfaktoren zweier Millikenleiter wurden mittels eines zuver-lassigen thermisch stationaren Verfahrens bestimmt, das eine Messung mit einemaußerst kleinen Fehler erlaubt. Auf Grundlage dieser Messungen konnen wichtigeKonsequenzen fur den Skin- und Proximityeffekt bei Millikenleitern mit großenQuerschnitten gezogen werden.

Energiekabel, die einen Millikenleiter mit einen Leiterquerschnitt von 2000 mm2

oder mehr besitzen, werden in der Regel flach mit einem Achsabstand von 0,3 moder mehr verlegt. Wie die Messungen gezeigt haben, ist ab diesem Achsabstandder Proximityeffekt gegenuber dem Skineffekt vernachlassigbar und unabhangigvom Anpreßdruck oder der Gegenwart eines Trankmittels. Unterhalb dieses Achs-abstandes verstarkt sich der Proximityeffekt ab Leiterquerschnitten von 2000 mm2

so sehr, daß er die dominierende Große wird und von einer Verlegung mit solchkleinen Achsabstanden dringend abgeraten werden muß.

4.4 Diskussion der Ergebnisse 53

Der Skineffekt eines Millikenleiters hangt von so vielen Parametern ab, daß einemMillikenleiter nicht mehr nur ein Skineffektfaktor zugeordnet werden kann, wennnicht genaue Informationen uber den Aufbau des Millikenleiters und seinen Zustandbei der Messung angegeben werden.

Wie aus den Messungen folgt, beeinflussen der Anpreßdruck, die Temperaturdes Leiters und die Gegenwart eines Trankmittels den Skineffekt erheblich. DieAbhangigkeit von weiteren Faktoren wird deutlich, wenn man zusatzlich Meßer-gebnisse anderer in die Betrachtung mit einbezieht. Diese sind zwar mit Meßver-fahren ermittelt worden, deren Fehlerschranken oft gar nicht oder nur unzureichenddokumentiert sind, jedoch scheinen die zum Teil erheblichen Unterschiede beimSkineffektfaktor hauptsachlich folgenden Grund zu haben: Die Angaben uber dieuntersuchten Millikenleiter sind in der Regel so unvollstandig, daß sie gar nichterst mit anderen verglichen werden durfen. So, wie bewiesenermaßen Anpreß-druck, Leitertemperatur und Gegenwart eines Trankmittels den Skineffekt bestim-men, werden auch ein Hohlkanal, die Segmentzahl und die gesamte Art der Versei-lung (Schlaglange, -richtung, Drahtzahl, -durchmesser, etc.) die Stromverdrangungentscheidend beeinflussen.

Wie Bild 4.7 zeigt, ist es im Sinne von IEC Publication 287 unmoglich, die Skin-effektfaktoren von Millikenleitern durch eine Funktion des Leiterquerschnitts an-zunahern, da die Streuung der Meßwerte viel zu groß ist. Ebenso gelingt es nicht,eine Kennlinie auf die sichere Seite zu legen, denn unter Umstanden ware dannein Millikenleiter nicht nur elektrisch uberdimensioniert, sondern vor allen Dingenware ein Einsatz aus wirtschaftlichen Gesichtspunkten nicht empfehlenswert.

Fazit: Da es nicht gelingen kann, fur einen Millikenleiter nur einen Skineffektfaktoranzugeben, muß dieser fur jeden Millikenleiter meßtechnisch ermittelt werden. DasMeßverfahren, nach dem die Stromverdrangungsfaktoren bestimmt werden, sowiedie Meßvorschrift, wie die Messung durchzufuhren ist, sollte in einer Norm festge-legt werden. So ware gewahrleistet, daß die Messungen einerseits mit einem kleinenFehler behaftet sind, und andererseits konnten dann unterschiedliche Messungenmiteinander verglichen werden, da sie auf den gleichen Voraussetzungen beruhen.Das thermisch stationare Verfahren scheint hierfur sehr gut geeignet zu sein.


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

ys

a b c d e f g

Bild 4.5: Vergleich der Skineffektfaktoren ys von Millikenleitern mit ei-nem Leiterquerschnitt von 2000 mm2

a, d: eigene Messungenc: IEC Publication 287

b, e, f, g: andere MessungenWeitere Angaben siehe Tabelle 4.3


Nr. Messung von Angaben zu den untersuchtenMillikenleitern

Meß-verfahren

ys

a Eigene Messung geringer Anpreßdruck,s. Tabelle 4.1,s. Tabelle 4.2

therm.stationar

0,086

b M. Takaoka,T. Motai,S. Yoshida,M. Mochizuki,K. Watanabe[68]

Leiterquerschnitt: 2000 mm2,Frequenz: 50 Hz,Leitertemperatur: 80 C,Leitermaterial: Kupfer,Trankmittel: Ol,6 Segmente

elektr. 0,010

c IEC Publ. 287[33]

(außerhalb ihresGultigkeitsbereiches)

— 0,124

d Eigene Messung hoher Anpreßdruck,s. Tabelle 4.1,s. Tabelle 4.2

therm.stationar

0,137

e M. Takaoka,T. Motai,S. Yoshida,M. Mochizuki,K. Watanabe[68]

Leiterquerschnitt: 2000 mm2,Frequenz: 50 Hz,Leitertemperatur: 80 C,Leitermaterial: Kupfer,5 Segmente

elektr. 0,160

f F. Castelli,L. Maciotta-R.,P. Riner[10]

Leiterquerschnitt: 2000 mm2,Frequenz: 50 Hz,Leitertemperatur: 80 C,Leitermaterial: Kupfer

elektr. 0,230

g P. Metra,L. Ruhe[48]

Leiterquerschnitt: 2000 mm2,Frequenz: 50 Hz,Leitertemperatur: 85 C,Leitermaterial: Kupfer,Verseilungsart: Gegenschlag

elektr. 0,232

Tabelle 4.3: Quellen, verwendete Meßverfahren und Aufbaudaten derMillikenleiter zu Bild 4.5


0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

ys

A B C D E F G

Bild 4.6: Vergleich der Skineffektfaktoren ys von Millikenleitern mit ei-nem Leiterquerschnitt von 2500 mm2

B, C, F: eigene MessungenD: IEC Publication 287

A, E, G: andere MessungenWeitere Angaben siehe Tabelle 4.4


Nr. Messung von Angaben zu den untersuchtenMillikenleitern

Meß-verfahren

ys

A M. Takaoka,T. Motai,S. Yoshida,M. Mochizuki,K. Watanabe[68]

Leiterquerschnitt: 2500 mm2,Frequenz: 50 Hz,Leitertemperatur: 80 C,Leitermaterial: Kupfer,Trankmittel: Ol,6 Segmente

elektr. 0,140

B Eigene Messung hoher Anpreßdruck,Trankmittel: Ol,s. Tabelle 4.1,s. Tabelle 4.2

therm.stationar

0,151

C Eigene Messung geringer Anpreßdruck,s. Tabelle 4.1,s. Tabelle 4.2

therm.stationar

0,152

D IEC Publ. 287[33]

(außerhalb ihresGultigkeitsbereiches)

— 0,189

E K. Sugiyama,K. Hayashida[65]

Leiterquerschnitt: 2500 mm2,Frequenz: 50 Hz,Leitertemperatur: 80 C,Leitermaterial: Kupfer

elektr. 0,200

F Eigene Messung hoher Anpreßdruck,s. Tabelle 4.1,s. Tabelle 4.2

therm.stationar

0,230

G M. Takaoka,T. Motai,S. Yoshida,M. Mochizuki,K. Watanabe[68]

Leiterquerschnitt: 2500 mm2,Frequenz: 50 Hz,Leitertemperatur: 80 C,Leitermaterial: Kupfer,5 Segmente

elektr. 0,232

Tabelle 4.4: Quellen, verwendete Meßverfahren und Aufbaudaten derMillikenleiter zu Bild 4.6


0 1000 2000 30000

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

mm2

ys

AL

Bild 4.7: Vergleich der nach IEC Publication 287 bestimmten Kenn-linie mit meßtechnisch ermittelten Skineffektfaktoren ys inAbhangigkeit vom Leiterquerschnitt AL

Weitere Angaben siehe Tabelle 4.3 und Tabelle 4.4 eigene Messungen andere Messungen

59

5 Berechnung der Stromverdrangungseffekte

Auf Basis des bekannten Teilleiterverfahrens [7] [8] wird eine neue Rechenmetho-de vorgestellt, die es erlaubt, Stromverteilungen und Stromverdrangungsfaktorenbei beliebigen, verseilten Leiterstrukturen unter Berucksichtigung der Ubergangs-widerstande zwischen den Einzeldrahten zu berechnen [36]. Am Beispiel eines ver-seilten Leiters wird die Leistungsfahigkeit der Rechenmethode demonstriert und einWeg aufgezeigt, wie sich Stromverdrangungseffekte reduzieren lassen.

5.1 Entwicklung des Verfahrens

Gegenstand der Untersuchung ist eine Anordnung, die aus mges Leitern besteht, wiein Bild 5.1 dargestellt. Die Lange der Leiteranordnung wird in dem zylindrischenKoordinatensystem durch die Ebenen z

0 und z

z0 festgelegt, innerhalb de-

rer die geradlinigen Leiter beliebig positionierbar sind. Da Verlegeart, Leiterformsowie Schlaglange und -richtung der Verseilung eines jeden Leiters frei wahlbar

z

xi

j

mges

... z0 ...

Bild 5.1: Schematische Darstellung der untersuchten Anordnung, diedie Lange z0 besitzt und aus mges Leitern besteht

60 5 BERECHNUNG DER STROMVERDRANGUNGSEFFEKTE

sein sollen, wird einerseits jeder Leiter m in ngesm

Teilleiter hinreichend kleinenQuerschnitts zerlegt, so daß fur jedes Flachenelement eine konstante Stromdichtevorausgesetzt werden kann und der Teilleiterquerschnitt nicht großer als der einesEinzeldrahtes ist. Andererseits werden die Leiter durch die parallelen Ebenen

z h

hges z0

h

1 hges (5.1)

in hges aquidistante Abschnitte unterteilt, innerhalb derer alle Leiter und Teillei-ter naherungsweise parallel zueinander verlaufen. Ist die Abschnittszahl hges hin-reichend groß, so kann, wie in Bild 5.2 dargestellt, in jedem Abschnitt h allenTeilleitern geometrisch eine definierte Position zugeordnet werden. In Bild 5.3 istdargestellt, wie es dann moglich ist, sowohl Ubergangswiderstande zwischen den

z

x

1

......

n(i)

h ...

n(j) ...... ......

nges(i)

nges(j)

n mges ges( )

hges

gn(i),n(j)

Bild 5.2: Schematische Darstellung der Unterteilung der untersuchtenAnordnung in hges Abschnitte, in denen alle Teilleiter n

m

eines jeden Leiters m parallel zueinander verlaufen

5.1 Entwicklung des Verfahrens 61

Einzeldrahten zu definieren als auch die magnetischen Kopplungen der Teilleiteruntereinander festzulegen.

Ausgehend von der Maxwellschen Formel fur die Gegeninduktivitat zweier Schlei-fen und der Einfuhrung von mittleren geometrischen Abstanden zweier Teilleiter,gn i n j , bzw. eines Teilleiters von sich selbst, gn i n i , gelingt es, die Koppelin-duktivitat zwischen zwei Leitern zu bestimmen, wenn sich die Anordnung in einemleitenden Hullzylinder befindet [7] [8] [30] [39] [40] [52]. Ist die Stromsumme imQuerschnitt der Anordnung Null, dann ist die Koppelinduktivitat unabhangig vomRadius A des Hullzylinders. Mit dem ohmschen Widerstand eines Teilleiters RThn i

I Th(m)

1

U Th(m)

2

U Th(m)

nges(m)

U Th(m)

n(m)

I Th(m)

nges(m)

I Th(m)

2

U Th(m)

1 Z Üh(m)

1,2Z Üh

(m)

1,n(m)Z Üh

(m)

1,nges(m)

Z Üh(m)

2,nges(m)Z Üh

(m)

2,n(m)

Z Üh(m)

n(m),nges(m)

I Üh(m)

n(m),nges(m)I Üh

(m)

2,nges(m)I Üh

(m)

1,nges(m)

I Üh(m)

1,n(m)

I Üh(m)

1,2

I Üh(m)

2,n(m)I Th

(m)

n(m)

I Th 1(m)

1+

I Th 1(m)

2+

I Th 1(m)

n(m)+

I Th 1(m)

nges(m)+

... ...

...

...

......

.........

...

...... ...

...

Bild 5.3: Schematische Darstellung der Unterteilung des Leiters m innges

m

Teilleiter, die miteinander durch Ubergangsimpedan-

zen Z m Uh

verknupft sind


laßt sich die Impedanzmatrix der Teilleiter fur den Abschnitt h aufstellen:

Z

Th

Z 1 1

Th Z 1 mges

Th...

. . ....

Z mges 1

Th Z mges mges

Th

(5.2)

Deren Untermatrizen

Z i j

Th

Z i j Th1 1 Z i j

Th1 nges j ...

. . ....

Z i j Thnges i 1 Z i j

Thnges i nges j

(5.3)

sind symmetrisch bezuglich ihrer Hauptdiagonalen und setzen sich zusammen ausden Elementen:

Z i j Thn i n j

j

µ0l2π ln A

g i j n i n j

h

1 hges;

i j

1 mges;i j;ni

1 ngesi;

nj

1 ngesj;

Z i i Thn i n i

R i

Thn i j µ0l2π ln A

g i i n i n i

h

1 hges;

i

1 mges;ni

1 ngesi

(5.4)

Die Ubergangswiderstande im Abschnitt h werden durch die Ubergangsimpedanz-matrix

Z

Uh

Z 1

Uh 0

0

0

Z 2

Uh. . .

......

. . . . . . 0

0

0

Z mges

Uh

(5.5)


beschrieben. Die Untermatrizen

Z m

Uh

0 Z m Uh1 2 Z m

Uh1 nges m Z m

Uh2 1 0. . .

......

. . . . . . Z m Uhnges m 1 nges m

Z m Uhnges m 1 Z m

Uhnges m nges m 10

(5.6)

setzen sich aus den Ubergangsimpedanzen zwischen den einzelnen Teilleitern desjeweiligen Leiters zusammen und mussen daher symmetrisch bzgl. ihrer Haupt-diagonalen sein. Die uber die Ubergangsimpedanzen fließenden Strome werden injedem Abschnitt h durch die Ubergangsstrommatrix

I

Uh

I 1

Uh 0

0

0

I 2

Uh. . .

......

. . . . . . 0

0

0

I mges

Uh

(5.7)

erfaßt, deren Aufbau prinzipiell dem der Ubergangsimpedanzmatrix entspricht. Dem-nach stellt

I m

Uh

0 I m Uh1 2 I m

Uh1 nges m I m

Uh2 1 0. . .

......

. . . . . . I m Uhnges m 1 nges m

I m Uhnges m 1 I m

Uhnges m nges m 10

(5.8)

die Matrix der Ubergangsstrome des Leiters m im Abschnitt h dar. Nach dem Kirch-hoffschen Gesetz muß der Ubergangsstrom vom Teilleiter i zum Teilleiter j gleichdem negativen Ubergangsstrom vom Teilleiter j zum Teilleiter i sein

I m Uhi j

I m Uhj i (5.9)


so daß sich die Untermatrizen vereinfachen zu:

I m

Uh

0 I m Uh1 2 I m

Uh1 nges m I m

Uh1 2 0. . .

......

. . . . . . I m Uhnges m 1 nges m

I m Uh1 nges m

I m

Uhnges m 1 nges m 0

(5.10)

Werden alle Teilleiterstrome im Abschnitt h durch den Vektor

ITh

I

1 Th

I

2 Th...

I

mges Th

(5.11)

berucksichtigt, dessen Untervektoren

I

m Th

I m Th 1

I m Th 2...

I m Th nges m

(5.12)

sich aus den TeilleiterstromenI m

Th n m (5.13)

des jeweiligen Leiters m im Abschnitt h zusammensetzen, dann lassen sich nachKirchhoff die Teilleiterstrome im Abschnitt h 1 aus der Differenz der Teilleiter-strome und der Ubergangsstrome des Abschnitts h berechnen:

ITh

1

ITh

I

Uh 1 1 1 T

Dim Nges

(5.14)

Hierbei ist die Dimension des transponierten Vektors identisch mit der Summe derTeilleiter aller Leiter:

Nges mges

∑m 1

ngesm (5.15)


Berucksichtigt man, daß alle ngesm

Teilleiter eines Leiters m am Anfang des er-sten und am Ende des letzten Abschnitts kurzgeschlossen sind, dann ist die Span-nungsdifferenz langs eines Teilleiters fur alle nges

m

Teilleiter des Leiters m gleich.Diese Langsspannung kann aber fur unterschiedliche Leiter durchaus unterschied-liche Werte annehmen, so daß die Langsspannung

UL

U

1 L

U

2 L...

U

mges L

(5.16)

ebenfalls als Vektor dargestellt wird, dessen Untervektoren

U

m L

U m 0

U m 0...

U m 0

U m 0 1 1 1

T

Dim nges m (5.17)

die fur den jeweiligen Leiter konstante Langsspannung U m 0 enthalten. An jedem

Teilleiter nm

des Leiters m im Abschnitt h entsteht eine Spannungsdifferenz, diedurch den Vektor der Teilleiterspannungen

U

m Th

U m Th 1

U m Th 2...

U m Th nges m

(5.18)

beschrieben wird. Fur alle mges Leiter konnen die Teilleiterspannungen nun wiederdurch Untervektoren dargestellt werden, woraus die Teilleiterspannungsmatrix desAbschnitts h folgt:

UTh

U

1 Th

U

2 Th...

U

mges Th

(5.19)


Mit Hilfe dieser Teilleiterspannungen kann der Strom berechnet werden, der uberdie Ubergangsimpedanz zwischen den Teilleitern i und j des Leiters m imAbschnitt h fließt. Hierzu addiert man alle Spannungsdifferenzen in der Masche,die von den entsprechenden Teilleitern i und j des Leiters m, dem kurzgeschlossenAnfang im ersten Abschnitt und von der Ubergangsimpedanz selbst aufgespanntwird:

I m Uh i j

h∑

k 1U m

Tk j

h∑

l 1U m

Tl i Z m

Uh i j

i j (5.20)

Die Ubergangsstrommatrix des Abschnitts h kann demzufolge berechnet werden:

I

Uh 1 1 1

T Y

Uh h

∑k 1

UTk

(5.21)

Die dabei auftretende Ubergangsadmittanzmatrix des Abschnitts h

Y

Uh

Y 1

Uh 0

0

0

Y 2

Uh. . .

......

. . . . . . 0

0

0

Y mges

Uh

(5.22)

setzt sich ihrerseits wieder aus Untermatrizen zusammen. Jede dieser Untermatrizen

Y m

Uh

Y m Uh1 1 Y m

Uh1 nges m ...

. . ....

Y m Uhnges m 1 Y m

Uhnges m nges m

(5.23)

ist symmetrisch bezuglich ihrer Hauptdiagonalen. Die einzelnen Elemente lassen


sich bestimmen durch:

Y m Uh i i nges m

∑k 1k

i

1Z m

Uh i k

h

1 hges;

m

1 mges;i

1 ngesm;

Y m

Uh i j 1Z m

Uh i j

h

1 hges;

m

1 mges;i j

1 ngesm;

i j

(5.24)

Da zwischen allen Teilleitern im Abschnitt h eine magnetische Kopplung existiert,die durch die Impedanzmatrix berucksichtigt wird, kann man die Teilleiterspan-nungen in jedem Abschnitt h aus dem Produkt von Impedanzmatrix und Teilleiter-stromen des jeweiligen Abschnitts berechnen:

UTh

Z

Th ITh (5.25)

Die Ubergangsstrome des Abschnitts h sind somit nur noch eine Funktion von Teil-leiterimpedanzen und Teilleiterstromen aller vorherigen Abschnitte sowie der Uber-gangsadmittanzen des betrachteten Abschnitts:

I

Uh 1 1 1 T Y

Uh h

∑k 1

Z

Tk ITk

(5.26)

Fur die Teilleiterstrome im Abschnitt h 1ITh

1

ITh

I

Uh 1 1 1 T (5.27)

folgt demnach:ITh

1

ITh

Y

Uh h

∑k 1

Z

Tk ITk

(5.28)

Hieraus lassen sich - ist die Stromverteilung am Anfang erst einmal bekannt - dieTeilleiterstrome der nachsten Abschnitte aus den Teilleiterstromen des ersten Ab-


schnitts berechnen

ITh

1

K

h

1 IT1

h

1 hges

1

(5.29)

mit

K

1

E

Einheitsmatrix der Ordnung Nges

K

2

E

Y

U1 Z

T1K

h

1

E

Y

Uh Z Th K h

Y

Uh

h

1

∑k 1

Z

Tk K

k

h

2 hges

1

(5.30)

Es ergeben sich, wie anschließend vorgestellt wird, zwei Moglichkeiten, die ge-suchte Eingangsstromverteilung zu ermitteln. Beim ersten Losungsweg werden dieTeilleiterstrome des ersten Abschnitts je Leiter unter Berucksichtigung der vorge-gebenen, eingepragten Strome analytisch bestimmt, wozu jedoch eine zweimali-ge Invertierung einer komplexen Matrix notwendig ist. Dieses kann besonders beieiner großeren Matrixelementzahl zu numerischen Problemen fuhren, liefert abersonst direkt das gewunschte Ergebnis. Das zweite Losungsverfahren bietet sich be-sonders bei der Untersuchung komplexer Leiterstrukturen an und basiert auf eineriterativen Methode.

5.1.1 Analytisches Losungsverfahren

In jedem Abschnitt h ist K

h eine quadratische Matrix der Ordnung Nges, die imallgemeinen keine Symmetrieeigenschaften mehr besitzt.

Um die letzte unbekannte Große, die Stromverteilung im ersten Abschnitt, zu er-mitteln, wird wie folgt vorgegangen: Alle nges

m

Teilleiter eines Leiters m sind amAnfang und am Ende der Anordnung kurzgeschlossen, so daß sich der Vektor derLangsspannungen aus der Summe der Teilleiterspannungen aller hges Abschnitte


berechnen laßt:UL

hges

∑h 1

UTh (5.31)

Da die Teilleiterspannungen uber die Impedanzmatrix mit den Teilleiterstromen indem betrachteten Abschnitt verknupft sind

UTh

Z

Th ITh (5.32)

und sich die Teilleiterstrome im Abschnitt h 1 ferner durchITh

1

K

h

1 IT1 (5.33)

ausdrucken lassen, kann fur den Langsspannungsvektor ein Ausdruck der FormUL

C IT1 (5.34)

gefunden werden. Die in der Gleichung auftretende Matrix C

ist wie K

h eine qua-dratische Matrix der Ordnung Nges ohne Symmetrieeigenschaften:

C hges

∑h 1

Z

Th K

h (5.35)

Durch Multiplikation mit der inversen Matrix von C

gelingt es, die Gleichung 5.34nach der Eingangsstromverteilung aufzulosen:

IT1

C

1

UL

D UL (5.36)

Diese inverse Matrix D

wird analog zu vorherigen Matrixbetrachtungen wieder inUntermatrizen aufgeteilt:

D

D 1 1

D 1 2

D 1 mges

D 2 1

D 2 2 ...

.... . .

...

D mges 1

D mges mges

(5.37)

Jede Untermatrix D i j

besitzt ngesi

Zeilen und ngesj

Spalten:

D i j

D i j 1 1 D i j

1 nges j ...

. . ....

D i j nges i 1 D i j

nges i nges j

(5.38)


Wird jedem Leiter m am Anfang der Anordnung ein Strom I m 0 eingepragt, dann

muß in jedem Abschnitt die Summe der Teilleiterstrome eines Leiters gleich demeingepragten Strom sein:

I m 0

1 1 1

Dim nges m I m

Th (5.39)

So auch im ersten Abschnitt, wo nach Gleichung 5.36 der Vektor der Teilleiter-strome durch das Produkt von D

– Matrix und Langsspannungsvektor ersetzt wer-

den kann:

I m 0

1 1 1

Dim nges m mges

∑k 1

D m k

U k L (5.40)

Die Langsspannung ist aber fur alle Teilleiter eines Leiters eine konstante Große,so daß sich die Matrix-Vektor-Verknupfung durch eine Multiplikation ersetzen laßt

I m 0

mges

∑k 1

Fm k U k 0 (5.41)

und Fm k durch die Summation der Matrixelemente

Fm k

1 1 1

Dim nges m D m k 1 1 1

T

Dim nges k (5.42)

berechnet werden kann. Die eingepragten Strome aller Leiter werden jetzt durch

I0

F U 1

0 U 2 0 U

mges 0 T

Dim mges

(5.43)

erfaßt, und die Gleichung kann nach den Langsspannungen aufgelost werden:

U 1 0 U 2

0 U mges 0 T

Dim mges

F

1

I0

G I0 (5.44)

Damit konnen nun die Vektoren der Teilleiterlangsspannungen fur alle Leiter auf-gestellt werden:

U

m L

U m

0 1 1 1 T

Dim nges m (5.45)


Die Teilleiterstrome im ersten AbschnittIT1

D UL (5.46)

und in den folgenden AbschnittenITh

1

K

h

1 IT1 (5.47)

sind somit berechenbar.

5.1.2 Iteratives Losungsverfahren

Mit steigender Abschnittzahl hges und Ubergangsimpedanzen, die sich in der Gro-ßenordnung des ohmschen Widerstandes des Teilleiters befinden, wird die Berech-nung der Eingangsstromverteilung nach dem analytischen Losungsverfahren zuneh-mend empfindlicher in bezug auf die Stabilitat.

Da die Matrix K

h

1, wie aus Gl. 5.30 hervorgeht, sukzessiv bestimmt wird, tretenunter obigen Bedingungen verstarkt Matrixelemente auf, die sich leicht um vieleZehnerpotenzen unterscheiden konnen. Der numerische Fehler bei der Matrixin-vertierung wird so groß, daß die Eingangsstromverteilung nicht mehr analytischerrechnet werden kann, sondern mittels eines anderen Verfahrens iterativ bestimmtwerden muß.

Wie bei jedem iterativen Verfahren hangt die Anzahl der notwendigen Iterations-schritte unmittelbar mit der Qualitat des Startwertes zusammen. Je naher dieser ander eigentlichen Losung liegt, desto schneller fuhrt das Verfahren zum Erfolg. Sehrgute Startwerte liefern folgende zwei Methoden:

Die in hges Abschnitte unterteilte Anordnung wird zunachst fur h

1 mit demanalytischen Losungsverfahren berechnet. Die Eingangsstromverteilung, dieman fur h

1 erhalt, dient dann als Startwert fur eine neue Berechnung nach

dem iterativen Losungsverfahren, wobei die Abschnittszahl fortwahrend er-hoht wird, bis die Eingangsstromverteilung fur hges Abschnitte gefunden ist.

Die gesamte in hges Abschnitte unterteilte Anordnung wird fur sehr große

UbergangsimpedanzenZ m

Uh i k ∞, d.h. Y

Uh

0

, nach dem analytischen

Losungsverfahren berechnet. Die so gewonnene Eingangsstromverteilung istStartwert fur neue Berechnungen nach dem iterativen Losungsverfahren,wobei die Ubergangsimpedanzen stetig verringert werden, bis die Eingangs-stromverteilung letztendlich fur die gewunschten Ubergangsimpedanzen ge-funden ist.


Beide Methoden liefern sehr gute Startwerte. Erstere ist weniger rechenintensiv, danicht jedesmal die gesamte Anordnung durchgerechnet werden muß, dafur liegendie Startwerte der zweiten Methode dichter an der eigentlichen Losung.

Mit dem Startwert fur den q-ten IterationsschrittI

#qT1 laßt sich der Vektor der Teil-

leiterspannungen im ersten Abschnitt berechnen:U

#qT1

Z

T1 I

#qT1 (5.48)

Der Vektor der Teilleiterstrome im nachsten Abschnitt folgt fur h

1 aus

I

#qTh

1

I#qTh

Y

Uh h

∑k 1

U

#qTk

(5.49)

so daß mit Gl. 5.48 und Gl. 5.49 die Vektoren der TeilleiterspannungenU

#qTh und

-stromeI

#qTh sukzessive in allen hges Abschnitten bestimmt werden konnen.

Der Vektor der Teilleiterlangsspannung ergibt sich aus:

U

#qL hges

∑h 1

U

#qTh (5.50)

Stimmt der Startwert der q-ten IterationI

#qT1 mit dem exakten Losungsvektor

IT1

uberein, so sind die Teilleiterlangsspannungen innerhalb eines jeden Leiters m iden-tisch:

U m #qL

U m

0 1 1 1 T (5.51)

Weichen die Teilleiterlangsspannungen eines Leiters voneinander ab, wie in Bild 5.4skizziert, so muß ein neuer Startwert gefunden werden. Dazu bildet man aus allen

Teilleiterlangsspannungen eines jeden LeitersU

m #qL n m den Mittelwert

U m #q0

1nges

m

nges m ∑i 1

U m #qL i (5.52)

und sucht den Teilleiter n1, dessen Langsspannung U m #qL n1

von dem errechnetenMittelwert die großte Abweichung besitzt. Wie in Bild 5.5 schematisch dargestelltist, wird dieser Spannungswert in Richtung des von ihm in der komplexen Ebene am

weitesten entfernten Punktes, der Teilleiterspannung U m #qL n2

verschoben. Es ergibtsich der Wert

U

m # q 1

L n1

U

m #qL n1

k U

m #qL n1

U

m #qL n2 (5.53)


wobei k ein Faktor ist, der im Intervall k 0 1 liegt und dessen Große mit zuneh-

mender Abschnittszahl hges immer kleiner gewahlt werden sollte.

Ist Z m #q0 die Impedanz des Leiters m aus dem q-ten Iterationsschritt, so ergibt sich

der (q+1)-te Startwert fur den Teilleiter n1 aus der Gleichung:

I m # q 1

T1 n1

U m # q 1

L n1

ngesm Z m #q

0 (5.54)

Damit die Summe aller Teilleiterstrome des Leiters m wieder dem eingepragten

Strom I m 0 entspricht, muß der Strom des Teilleiters n2 angepaßt werden:

I m # q 1 T1 n2

I m

0

nges m ∑i 1

i n2

I m # q 1

T1 i (5.55)

Re

Im

U0(m)

U0(m)#qUL,n

(m)#q1

Bild 5.4: Prinzipielle Darstellung des iterativen Losungsverfahrens zumAuffinden des Teilleiters, dessen Langsspannung die großteAbweichung vom Mittelwert besitzt


Alle ubrigen Startwerte bleiben unverandert. Die Iteration startet wieder mit Gl. 5.48und wird solange wiederholt, bis bei der x-ten Iteration die Langsspannungen allerTeilleiter n(m) der mges Leiter unterhalb der gewunschten Fehlerschranke liegen:

U m #x0 U m #x

L n m

(5.56)

Re

Im

UL,n(m)#q

1

UL,n(m)#q

2

UL,n(m)#(q 1)

1

+

Bild 5.5: Prinzipielle Darstellung des iterativen Losungsverfahrens zurBestimmung des (q+1)-ten Startwertes

5.2 Berechnung eines verseilten Leiters 75

5.2 Berechnung eines verseilten Leiters

Um die Leistungsfahigkeit des erweiterten Teilleiterverfahrens zu demonstrieren,werden die Stromverdrangungseffekte einer 1-phasigen Leiterschleife untersucht,wie sie in Bild 5.6 dargestellt ist.

Hinleiter ist ein verseilter Leiter, dessen charakteristische Daten in Tabelle 5.1 auf-gefuhrt sind. Der Ruckleiter wird durch einen im Abstand a verlegten Linienleiternachgebildet, so daß die Stromsumme im Querschnitt der Anordnung identisch Nullist. Die Berechnung hangt somit nicht vom Radius des fiktiven Hullzylinders ab.

Die 1-phasige Anordnung wird in hges

100 parallele aquidistante Abschnitte un-terteilt und die Lange eines einzelnen Abschnitts gleich dem minimalen Quotientenaus Schlaglange und Drahtzahl der zugehorigen Lage gesetzt. Diese Maßnahmestellt sicher, daß die Position eines Teilleiters im nachsten Abschnitt sich um nichtmehr andert als die Position, die der benachbarte Teilleiter im jetzigen Abschnitteinnimmt. Wie aus dem Aufbau der Verseilung, der in Tabelle 5.2 wiedergegebenist, hervorgeht, tritt der minimale Quotient bei der 3. Lage auf. Ein Abschnitt istsomit 1 cm lang, die Lange der gesamten Anordnung betragt z0

1 m, was dem

Dreifachen der großten Schlaglange entspricht. Dieser Wert hat sich bei der Unter-suchung als ausreichend erwiesen.

In Bild 5.7 sind die Stromverdrangungsfaktoren des verseilten Leiters in Abhangig-

z

a

x

y

−I+I

Bild 5.6: Schematische Darstellung der untersuchten 1-phasigen An-ordnung, der Hinleiter ist ein verseilter Leiter, der Ruckleiterwird durch einen Linienleiter gebildet


keit vom Leiterachsabstand aufgetragen. Parameter der Kennlinien sind die Uber-gangswiderstande zwischen benachbarten Teilleitern, die auf den ohmschen Wider-stand eines Teilleiters je Abschnitt bezogen sind. Da die Teilleiterflache so gewahltwird, daß sie der Querschnittsflache eines Drahtes entspricht, kann der bezogeneUbergangswiderstand wie folgt berechnet werden:

rU RU

RT

RU

hges 0 ADraht

z01 ∆

∞ (5.57)

Wie aus Bild 5.7 ersichtlich, ist der Skineffekt unabhangig von den Ubergangswi-derstanden. Schon zu Beginn teilt sich der Leiterstrom dem Skineffekt entsprechenduber dem Leiterquerschnitt auf und andert sich nicht mehr, da jeder Einzeldraht desverseilten Leiters immer den gleichen Abstand zur Leiterachse besitzt.

Anders verhalt sich der Proximityeffekt. Bei sehr kleinen Ubergangswiderstandentreten ahnlich wie bei einem massiven Leiter sehr hohe Proximityeffektfaktoren auf,wenn der Achsabstand klein ist, siehe Bild 5.7, Kennlinie 1. Sind die Ubergangs-widerstande hingegen sehr groß, so muß der Strom den Teilleitern folgen. Es wirdeine gleichmaßigere Stromverteilung erzwungen, die sich durch einen kaum mehrspurbaren Proximityeffektfaktor bemerkbar macht, siehe Bild 5.7, Kennlinie 3.

Die Kennlinie 2 gibt die Stromverdrangungsfaktoren fur einen bezogenen Uber-gangswiderstand von rU

7 wieder und entspricht gleichzeitig den nach IEC Pu-

blication 287 berechneten Werten fur den verseilten Leiter. Da die IEC-Vorschriftfur diesen Leitertyp innerhalb ihres Guligkeitsbereiches liegt und sich uber einenlangen Zeitraum bewahrt hat, sind somit die im Leiter existierenden Ubergangswi-derstande bestimmt.

Kennlinie 4 wurde unter der Einschrankung berechnet, daß die Ubergangswider-stande zwischen den Teilleitern unendlich groß sind, die sich oberhalb der x-Achsebefinden, unterhalb der x-Achse jedoch den Wert rU

7 besitzen, wie aus Bild 5.6

ersichtlich. Durch diese zunachst willkurlich erscheinende Bedingung werden dieStrome gezwungen, in den Teilleitern zu fließen, solange sich diese von dem Ruck-leiter wegbewegen. Als Konsequenz verringert sich der Proximityeffekt, wie einVergleich mit der Kennlinie 2 verdeutlicht.

Aufgrund dieser die Stromverdrangung reduzierenden Erscheinung wird im folgen-den Kapitel eine Moglichkeit vorgestellt, den Skineffekt bei Millikenleitern zu ver-ringern.

5.2 Berechnung eines verseilten Leiters 77


Radius des Leiters r0 mm 30,9

Leiterquerschnitt AL mm2 630

Fullfaktor F u — 0,84

Leiterubertemperatur ∆

∞ K 60,0


Leitermaterial — — Kupfer


3

Leitfahigkeit 0Ωm

1 58 0 106

Tabelle 5.1: Charakteristische Daten des berechneten verseilten Leiters

Querschnitt Aufbau- Draht- Drahtquer- Verseilung Schlag-element zahl schnitt lange

mm2 — — mm2 — m






Tabelle 5.2: Aufbau der Verseilung des untersuchten Leiters


0 0,1 0,2 0,30,00

0,05

0,10

0,15

0,20

m

y ys p+

a

1

2

3

4

Bild 5.7: Stromverdrangungseffektfaktoren ys yp des verseilten Lei-ters der 1-phasigen Anordnung nach Bild 5.6 als Funktion desLeiterachsabstandes aParameter ist der Ubergangswiderstand zwischen benachbar-ten Teilleitern bezogen auf den ohmschen Teilleiterwiderstandje Abschnitt1: rU

1 2: rU

7 und IEC Publication 287 3: rU

∞

4: rU

7 fur Teilleiter unterhalb der x-Achse undrU

∞ fur Teilleiter oberhalb der x-Achse

79

6 Maßnahme zur Reduzierung des Skineffektes

Aus den bisherigen Untersuchungsergebnissen lassen sich Ruckschlusse ziehen,wie der Skineffekt eines Millikenleiters durch außere Einflußgroßen reduziert wer-den kann. Haufig aber laßt sich der Zustand, indem sich ein Millikenleiter im Ener-giekabel befindet, nicht oder nur unzureichend verandern, da viele Faktoren aus fer-tigungstechnischen Gesichtspunkten festgelegt sind. Da auch konstruktive Maßnah-men zur Verminderung der Stromverdrangung wie die Erhohung der Segmentzahl,die Isolierung der Lagen oder die Isolierung der Einzeldrahte oft sehr aufwendigund mit technischen Schwierigkeiten verbunden sind [37] [65] [67] [68], soll imfolgenden eine weitere Moglichkeit zur Reduzierung des Skineffektes vorgestelltwerden.

Durch das Aufbringen von Ringen mit hoher Permeabilitat wird eine gleichmaßi-gere Stromverteilung im Millikenleiter erzwungen. Der verringerte Skineffekt wirdim Experiment nachgewiesen und auf Grundlage dreier Vergleichsmessungen ab-geschatzt. Ein Ausblick auf eine technische Realisierbarkeit erganzt die Betrach-tung.

6.1 Wirkung der Ringe mit hoher Permeabilitat

Ein Millikenleiter setzt sich aus verseilten Segmenten zusammen, die ihrerseitsaus verseilten Einzeldrahten aufgebaut sind. Aufgrund dieser Verseilung besitzt dieStromdichte in einem Einzeldraht

S i nicht nur eine Komponente in Richtung der

Leiterachse S iz , sondern auch Anteile in radialer S i

r und in azimutaler Richtung S iα,

wie in Bild 6.1 dargestellt.

Wegen der Verseilung hangt die Impedanz eines Einzeldrahtes nicht von der Positi-on innerhalb einer Lage ab. Betrachtet man jedoch ein im Vergleich zur Schlaglagekurzes Einzeldrahtstuck, so wird dessen Impedanz aufgrund des Skineffektes mitzunehmender Entfernung von der Leiterachse geringer, und der Leiterstrom ist be-strebt, vorwiegend in den Einzeldrahten der außeren Lagen zu fließen.

Durch die Ubergangswiderstande zwischen den Einzeldrahten wird der uberwiegen-de Anteil des Leiterstromes gezwungen, dem Verlauf der Einzeldrahte zu folgen.Ein Teil des Stromes fließt jedoch uber die Ubergangswiderstande wieder zuruck inRichtung der außeren Einzeldrahte, wahrend sich ein Einzeldraht von der außerenPosition in Richtung der Leiterachse bewegt.

80 6 MASSNAHME ZUR REDUZIERUNG DES SKINEFFEKTES

Die Folge ist eine inhomogene Stromverteilung uber dem Segmentquerschnitt. Umden Skineffekt bei einem Millikenleiter zu vermindern, muß demnach der Anteildes Stromes reduziert werden, der uber die Ubergangswiderstande in die außerenEinzeldrahte fließt. Dieses ist, wie gezeigt werden soll, durch Ringe mit einer hohenPermeabilitat moglich, die koaxial um einen Millikenleiter montiert sind.

Ausgehend von der in Bild 6.1 skizzierten Zerlegung der Stromdichte in drei Kom-ponenten konnen zwei Ersatzanordnungen definiert werden.

Bild 6.2 zeigt die z-Komponente der Stromdichte im Millikenleiter, den ein Ringmit hoher Permeabilitat umgibt. Der Stromfluß in axialer Richtung hat ein magneti-sches Feld in azimutaler Richtung zur Folge, welches im Ring Strome in Richtungder Leiterlangsachse induziert. Unter Vernachlassigung des Luftspaltes laßt sich derRing in radialer Richtung in zwei Bereiche unterteilen. Im inneren Bereich fließt derinduzierte Strom dem Leiterstrom entgegen, im außeren in Richtung des Leiterstro-mes. Jeder Bereich hat die gleiche Wirkung wie ein koaxial um den Millikenleiterangeordneter Hullzylinder, in dessen Querschnitt ein Strom eingepragt wird, dessenGroße dem induzierten Strom entspricht. Da aber das Innere eines stromdurchflos-

SiSα

i

Sri Sz

i

Bild 6.1: Komponenten der StromdichteS i im Einzeldraht i eines

Millikenleiters

6.1 Wirkung der Ringe mit hoher Permeabilit at 81

senen Hohlzylinders feldfrei ist, gibt es keine Ruckwirkung auf den inneren Leiter.Wie auch aus Gl. 2.15 hervorgeht, haben die in dem Ring induzierten Strome keinenEinfluß auf die Verteilung der z-Komponente der Stromdichte im Millikenleiter.

Anders aber sind die Zusammenhange bei der in Bild 6.3 dargestellten r -Kom-ponente der Stromdichte im Millikenleiter. Aufgrund des Stromflusses in radialerund azimutaler Richtung besitzt das magnetische Feld eine Komponente in Rich-tung der Leiterachse. In dem Ring mit hoher Permeabilitat werden Strome in -Richtung induziert, die eine Ruckwirkung auf den Millikenleiter besitzen, weil dasdie induzierten Strome umgebende Magnetfeld die Querschnittsflache eines Seg-mentes durchdringt. Die Folge ist eine Zunahme der -Komponente der Strom-dichte in den außeren Einzeldrahten der außersten Lage, die sich in Richtung derHerzdrahte schnell abschwacht wegen der großer werdenden Entfernung zu dem

Sz

rz

Iind

Bild 6.2: z-Komponente der Stromdichte im Millikenleiter Sz und indu-zierter Strom Iind in einem Ring mit hoher Permeabilitat undLuftspalt, der koaxial um den Millikenleiter montiert ist


Material mit hoher Permeabilitat. Die Ubergangswiderstande zwischen benachbar-ten Einzeldrahten innerhalb einer Lage verringern sich scheinbar in Richtung desSchlages, wenn sich die Einzeldrahte in der von der Leiterachse entferntesten Posi-tion befinden.

Die den Skineffekt reduziernde Wirkung der Ringe mit hoher Permeabilitat beruhtdemzufolge darauf, daß der Strom in den außeren Einzeldrahten der außeren La-gen verstarkt in azimutaler Richtung zur Segmentgrenze und durch die Verseilungdann in Richtung der Leiterachse abfließt. Die Verteilung der Stromdichte uber demSegmentquerschnitt wird gleichmaßiger, der Skineffekt geringer.

rz

Sr

Sα

Iind

Bild 6.3: r -Komponente der Stromdichte im Millikenleiter Sr, S undinduzierter Strom Iind in einem Ring mit hoher Permeabilitatund Luftspalt, der koaxial um den Millikenleiter montiert ist

6.2 Absch atzung des Skineffektes 83

6.2 Abschatzung des Skineffektes

Die Ringe mit hoher Permeabilitat, die bei dieser Untersuchung zum Einsatz kom-men, sind aus einem speziellen Band gefertigt, dessen Werkstoffdaten und geo-metrische Abmessungen in Tabelle 6.1 aufgelistet sind. Um das erforderliche Ma-terialvolumen zu erreichen, muß jeder Ring aus 100 Schichten des Bandes her-gestellt werden. Die hohe Permeabilitat des eingesetzten Werkstoffes wird bis zueiner Sattigungsfeldstarke von 200 Am

1 garantiert. Da die zu erwartenden ma-gnetischen Feldstarken oberhalb dieses Grenzwertes liegen, werden die Bander soangeordnet, daß die Ringe einen Luftspalt besitzen. Durch diesen Luftspalt werdendie magnetische Feldstarke in den Ringen herabgesetzt und zusatzlich ein Ausbrei-ten von Wirbelstromen in Richtung des Leiterumfanges unterdruckt.

Auf der Oberflache des Bandes befindet sich eine Beschichtung, die den Ubergangs-widerstand zwischen zwei Schichten des Bandes erhoht. Dieser liegt mehrere Zeh-nerpotenzen oberhalb des elektrischen Widerstandes des Materials und verhindertein Ausbreiten der Wirbelstrome von Bandlage zu Bandlage.

Um den thermisch isolierten Millikenleiter werden insgesamt 10 Ringe mit hoherPermeabilitat montiert, deren Anordnung und Abmessungen in Bild 6.4 schema-tisch dargestellt sind. Der Abstand zwischen zwei Ringen wird so gewahlt, daß die10 Ringe insgesamt ein Leiterstuck bedecken, das der mittleren Schlaglange der



Sattigungsfeldstarke Hmax Am 1 200

Leitfahigkeit 0Ωm

1 0 77 106

Material — — VITROVAK

6030

Breite des Bandes b mm 25

Dicke des Bandes s mm 0,025

Tabelle 6.1: Materialdaten des in Form eines Bandes vorliegendenWerkstoffes mit hoher Permeabilitat

VITROVAK ist ein eingetragenes Warenzeichen der VACUUMSCHMELZE GMBH, Hanau.


Lagen des Millikenleiter mit einem Leiterquerschnitt von 2500 mm2 entspricht.Fur diese Untersuchung wird bewußt der querschnittsgroßere Millikenleiter mit ho-hem Anpreßdruck ausgewahlt, da bei diesem der Skineffekt starker ausgepragt istund die den Skineffekt reduzierende Wirkung der Ringe mit hoher Permeabilitatdeshalb deutlicher wird, siehe Bild 4.2 und Bild 4.3.

Zum Abschatzen des reduzierten Skineffektes kann das thermisch stationare Ver-fahren nur bedingt verwendet werden, denn die fur den Einsatz dieses Meßprin-zips notwendige Voraussetzung, daß kein Warmestrom in axialer Richtung existiert,kann nicht erfullt werden. Im dem Bereich des Millikenleiters, den die Ringe mithoher Permeabilitat umgeben, entstehen aufgrund des reduzierten Skineffektes we-niger Verluste. Da das Leitermaterial aber eine sehr große thermische Leitfahigkeitbesitzt, fließt ein so hoher Warmestrom in den Bereich des Millikenleiters, um dendie Ringe montiert sind, daß dort keine verminderte Erwarmung gemessen werdenkann.

Um diesen unerwunschten Warmestrom zu verkleinern, wird im mittleren Bereichdes thermisch isolierten Millikenleiters eine Zusatzisolierung aufgebracht. Aufgrund

100105 256

7

...

...

Bild 6.4: Skizze der Ringe mit hoher Permeabilitat und deren koaxialeAnordnung um den Millikenleiter(Die Langen sind in Millimetern angegeben)


des erhohten thermischen Widerstandes tritt im mittleren Bereich der Zusatzisolierungein sogenannter hot spot auf. Werden um diese heißeste Leiterstelle nun die Ringemit der hohen Permeabilitat montiert, so fließt der großte Teil des Warmestromesnach wie vor von dem mit der Zusatzisolierung umgebenen Bereich des Milliken-leiters in Richtung des normalisolierten Millikenleiters. Aber das Temperaturmaxi-mum des hot spots wird durch die geringeren Verluste im Bereich der Ringe kleinerwerden.

Aus dieser Absenkung der maximalen Leitertemperatur kann der reduzierte Skin-effekt iterativ bestimmt werden, wenn alle thermischen Widerstande bekannt sind.Dazu sind die im folgenden nacheinander durchgefuhrten Messungen notwendig.

Messung A

Wie aus Bild 6.5 hervorgeht, wurde zunachst der Millikenleiter bei der gewunschtenLeiterubertemperatur mittels des thermisch stationaren Verfahrens untersucht. We-gen der gleichmaßigen thermischen Isolierung und der großen Leiterlange tretenkeine axialen Warmestrome auf. Nach den in Bild 6.5 festgelegten Bezeichnun-gen sind die Erwarmungen in den Bereichen 1, 2 und 3 gleich groß, so daß in derLeitermitte die Leiterubertemperatur ∆

L der stationaren Endubertemperatur ∆

∞

entspricht:

∆ 1

L

z

0

∆ 1

∞ (6.1)

Wenn der Skineffektfaktor ys des Millikenleiters bestimmt ist, kann der thermischeWiderstandsbelag der Isolierung fur den thermischen Bereich 1 errechnet werden

R 1 Therm

∆ 1

∞

Rdc1 ys

I2ac

(6.2)

wobei Rdc den Gleichstromwiderstandsbelag des Leiters bei der eingestellten Tem-

peratur wiedergibt.

Messung B

Im mittleren Bereich des Millikenleiters wurde eine Zusatzisolierung aufgebracht,wie in Bild 6.5 dargestellt ist. Wird der Millikenleiter mit dem gleichen Wechsel-strom wie bei Messung A geheizt, so tritt in der Mitte des Leiters ein hot spot auf,

dessen Ubertemperatur ∆ 2

L

z

0

gemessen wird.


d c

c

b

b

b

a

a

aI

I

I

A

B

C

0 zz2 z1

123

′PW( )1

′PW( )3

′PW( )2

∆ϑ L( )3

∆ϑ L( )2

∆ϑ L( )1

Bild 6.5: Darstellung der Versuchsaufbauten der drei zur Bestimmungdes Skineffektes notwendigen MessungenA: ungestorter FallB: mit ZusatzisolierungC: mit Zusatzisolierung und Ringen mit hoher Permeabilitata: Millikenleiterb: thermische Isolierungc: thermische Zusatzisolierungd: Ringe mit hoher PermeabilitatBereich 1: normale IsolierungBereich 2: ZusatzisolierungBereich 3: Zusatzisolierung, Ringe mit hoher Permeabilitat


Aus dem Leiterstuck, das mit der Zusatzisolierung umgeben ist (Bereich 2), fließtjetzt ein axialer Warmestrom in Richtung des Leiterbereiches 1. Die Leitertempe-ratur in Leiterlangsrichtung ist nicht mehr konstant, kann aber nach [7] bestimmtwerden:

∆ 1

L

∆ 1

∞ B1 e

1 z z z1

∆ 2

L

∆ 2

∞ B2 cosh

2 z z 0 z1

(6.3)

Die beiden Konstanten B1 und B2 lassen sich aus Randbedingungen herleiten:

1. An der Bereichsgrenze stimmen die Ubertemperaturen uberein:

∆ 1

L

z1

∆ 2

L

z1 (6.4)

2. Der Warmefluß in der Bereichsgrenze ist identisch:

d∆ 1

L

z

dz

z1

d∆ 2

L

z

dz

z1 (6.5)

Die Große ∆

∞ gibt die Endubertemperatur des Leiters an, die sich einstellt, wennder gesamte Leiter mit der Isolierung des entsprechenden Bereiches versehen ist.Fur den Bereich 1 ist diese Große bereits bekannt, fur den Bereich 2 muß sie nochbestimmt werden.

Die Variable

i wird im thermischen Bereich i bestimmt durch

i

1 R

dc 0

1 ys

I2ac R

i Therm

LAL R i Therm

i

1 2 (6.6)

mit

Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstandes,Rdc 0 Gleichstromwiderstandsbelag bei Umgebungstemperatur,

ys Skineffektfaktor bei ∆ i

L

z

0,

L thermische Leitfahigkeit des Leitermaterials,AL Leiterquerschnitt,Iac Wechselstrom,

R i Therm thermischer Widerstandsbelag des Bereiches i.


Da alle Großen des Bereiches 1 bekannt sind, kann

1 bestimmt werden. Wird derSkineffektfaktor bei ∆

2 L

z

0

durch Extrapolation der in Bild 4.4 dargestell-ten Kennlinie 1 ermittelt, so hangt

2 nur noch von dem unbekannten thermischen

Widerstand des Bereiches 2 ab.

Um die letzten beiden unbekannten Großen aus Gl. 6.3, die Endubertemperatur

∆ 2

∞ und den thermischen Widerstandsbelag der Isolierung R 2 Therm, zu ermitteln,

wird nach folgendem iterativen Verfahren vorgegangen:

1. Festlegung des Startwertes fur ∆ 2

∞ .

2. Bestimmung von ys∆ 2

∞

aus Bild 4.4, Kennlinie 1.

3. Berechnung des thermischen Widerstandsbelag aus:

R 2 Therm

∆ 2

∞

Rdc∆ 2

∞ 1 ys

∆ 2

∞ I2

ac (6.7)

4. Bestimmung von

2 nach Gl. 6.6.

5. Berechnung von ∆ 2

L

z

0

nach Gl. 6.3 und Vergleich mit der gemessenen

Ubertemperatur. Sind beide Ubertemperaturen identisch, dann sind ∆ 2

∞ und

R 2 Therm bestimmt, andernfalls muß ein neuer Startwert fur ∆

2 ∞ gewahlt und

die Berechnung wiederholt werden.

Messung C

In der letzten Messung wurden die Ringe mit hoher Permeabilitat um den Milli-kenleiter montiert, wie in Bild 6.5 skizziert. Wird die Anordnung mit dem glei-chen Wechselstrom wie bei Messung A und B geheizt, dann kann wiederum die

Leiterubertemperatur ∆ 3

L

z

0

in dem mittleren Bereich der Ringe mit hoherPermeabilitat erfaßt werden. Da der Bereich 3 ebenfalls mit der Zusatzisolierungdes Bereiches 2 versehen ist, mussen die thermischen Widerstandsbelage identischsein:

R 2 Therm

R 3 Therm (6.8)

Dieses kann nachgewiesen werden, wenn beide Anordnungen B und C mit einemGleichstrom identischer Hohe erwarmt werden und sich die dieselben Leiteruber-temperaturen in der Mitte der Anordnungen bei z

0 einstellen, siehe Tabelle 6.2.


Beim Heizen mit Wechselstrom aber unterscheiden sich die beiden Leiterubertem-peraturen in der Mitte der Anordnung, da in dem Bereich der Ringe mit hoher Per-meabilitat der Skineffekt reduziert ist und somit weniger Wirkverluste je Langenele-ment entstehen. Aus dieser Temperaturdifferenz kann der verminderte Skineffektfaktory

s bestimmt werden.

Die Ubertemperaturverteilung langs des Leiters wird nach [7] durch das folgendeGleichungssystem beschrieben:

∆ 1

L

∆ 1

∞ C1 e

1 z z z1

∆ 2

L

∆ 2

∞ C21 sinh

2 z C22 cosh

2 z z1 z z2

∆ 3

L

∆ 3

∞ C3 cosh

3 z z z2

(6.9)

Die vier Konstanten C1, C21, C22 und C3 lassen sich wiederum aus den Randbe-dingungen berechnen, daß sowohl Ubertemperaturen als auch Warmeflusse an denBereichsgrenzen stetig sein mussen:

∆ i

L

zi

∆ i 1

L

zi

i

1 2

d∆ i

L

z

dz

zi

d∆ i 1

L

z

dz

zi

i

1 2

(6.10)

Alle die Bereiche 1 und 2 beschreibenden Großen aus Gl. 6.9 sind bereits bekannt.Unter Berucksichtigung von Gl. 6.8 kann in Analogie zu Gl. 6.6 die Variable

3

errechnet werden aus

3

1 R

dc 0

1 y

s

I2ac R

2 Therm

LAL R 2 Therm

(6.11)

wobei der durch die Ringe mit hoher Permeabilitat verminderte Skineffektfaktor

y

s ebenso wie die Leiterendubertemperatur ∆ 3

∞ zunachst noch unbekannt sind.Diese beiden Großen konnen aber durch folgende Iteration bestimmt werden:

1. Festlegung des Startwertes fur ∆ 3

∞ .

2. Berechnung des reduzierten Skineffektfaktors bei ∆ 3

∞ :

y

s∆ 3

∞ ∆

3 ∞

R 2 ThermR

dc∆ 3

∞ I2

ac

1 (6.12)


3. Naherung des Skineffektfaktors bei ∆ 3

L

z

0

mittels der gemessenen Tem-peraturabhangigkeit nach Bild 4.4, Kennlinie 1:

y

s∆ 3

L

z

0

y

s∆ 3

∞

ys∆

L

ys∆

∞ gemessen

(6.13)

4. Bestimmung von

3 nach Gl. 6.11.

5. Berechnung von ∆ 3

L

z

0

nach Gl. 6.9 und Vergleich mit der gemesse-

nen Ubertemperatur. Sind beide Ubertemperaturen identisch, dann sind ∆ 3

∞

sowie y

s∆ 3

L

z

0

und y

s∆ 3

∞

bestimmt, andernfalls muß ein neuer

Startwert fur ∆ 3

∞ gewahlt und die Berechnung wiederholt werden.

Ergebnis der Messungen

Die Messungen A, B und C wurden an dem Millikenleiter mit dem Leiterquer-schnitt von 2500 mm2 durchgefuhrt, dessen Daten in Tabelle 4.1 und Tabelle 4.2angegeben sind. Unter der Zusatzisolierung, deren Lange 2z1

3 m betrug, wurden

gemaß Bild 6.4 insgesamt 10 Ringe mit hoher Permeabilitat koaxial um den mitt-leren Millikenleiter einer flach verlegten 3-Leiter-Anordnung montiert. Der Achs-abstand der Millikenleiter wurde so groß gewahlt, daß kein Proximityeffekt meßbarwar (a

0 5 m).

In Tabelle 6.2 sind die Leiterubertemperaturen der drei Messungen angegeben, diesich beim Heizen der Anordnung mit einem Drehstrom konstanter Amplitude Iac

einstellten.

Wie zu erwarten war, lag die Temperatur in der Mitte der Zusatzisolierung (Mes-sung B) deutlich uber der Temperatur fur den ungestorten Fall (Messung A), konnteaber durch das Aufbringen von 10 Ringen mit hoher Permeabilitat um 3,8 K redu-ziert werden.

Daß die Ringe mit hoher Permeabilitat den thermischen Widerstandsbelag der Iso-lierung nicht beeinflußten, konnte mit der Gleichstrommessung bewiesen werden.Wie aus Tabelle 6.2 ersichtlich, wurden fur die Meßanordnungen B und C im Rah-men des Temperaturmeßfehlers die gleichen Leiterubertemperaturen gemessen.Demzufolge konnte die Reduzierung der Leiterubertemperatur beim Drehstrom-heizen nicht von thermischen Einflußgroßen abhangen, sondern mußte aus einerReduzierung des Skineffektes basieren.

6.3 Konsequenzen und Ausblick 91

Messung Iac ∆

L ys Idc ∆

L

bei z

0 bei ∆

L und z

0 bei z

0

— A K — A K

A 2233 60,0 0,23 — —

B 2233 79,0 0,22 2153,7 60,4

C 2233 75,2 0,03 2153,7 60,3

Tabelle 6.2: Ergebnisse des Messungen nach Bild 6.5.

Nach Tabelle 6.2 verringerte sich zwar der Skineffektfaktor geringfugig, wenn nurdie Zusatzisolierung aufgebracht war. Dieses war aber Folge der erhohten Lei-terubertemperatur, bei der die Leitfahigkeit des Leitermaterials abnahm und so demSkineffekt entgegenwirkte, siehe auch Bild 4.4. Unter dem Einfluß der Ringe mithoher Permeabilitat hingegen verringerte sich der Skineffektfaktor soweit, daß ernur noch 0,03 betrug und damit 20 Prozentpunkte unterhalb des Wertes fur denungestorten Fall lag.

Es ist somit eine Moglichkeit gefunden worden, wie der Skineffekt von Millikenlei-tern reduziert werden kann. Durch die Tatsache, daß die Ringe mit hoher Permea-bilitat außen um den Millikenleiter aufgebracht werden mussen, kann ein Milliken-leiter weiterhin nach den bekannten und bewahrten Produktionverfahren hergestelltwerden. Es sind keine aufwendigen und kostenintensiven Neukonstruktionen not-wendig. Wie im folgendem gezeigt wird, laßt sich der Aufwand zur Reduzierungdes Skineffektes noch weiter verringern, indem die Ringe mit hoher Permeabilitatdurch verseilte Bander mit hoher Permeabilitat ersetzt werden.

6.3 Konsequenzen und Ausblick

In der Kabeltechnik wird man solche Gebilde wie Ringe mit Luftspalt auf der Ober-flache von Leitern und Kabeln nicht einsetzen. Einerseits lassen sie sich nur tech-nisch aufwendig realisieren, andererseits versucht man immer Asymmetrien sowie


scharfe Kanten zu vermeiden, da die Einflusse und Auswirkungen auf die Lebens-dauer der Kabel kaum abschatzbar sind.

Wie in Bild 6.6 dargestellt, besteht jedoch die Moglichkeit, die Ringe mit hoherPermeabilitat durch Bander mit hoher Permeabilitat zu ersetzen, die um den Leiteroder um die elektrische Isolierung verseilt sind. Dazu muß die Schlaglange l desBandes so gewahlt werden, daß der Abstand zwischen zwei Bandern der gefordertenLuftspaltlange

entspricht:

l

2πr0 tan

arcsin

b2πr0 (6.14)

Werden viele Schichten des Bandes verseilt, um das notwendige Volumen des Mate-rials mit hoher Permeabilitat zu erlangen, so muß darauf geachtet werden, daß sich

l

δ

bB

z

2 0πr

Bild 6.6: Verseilung des Bandes mit hoher Permeabilitat uber derLeiteroberflache oder der elektrischen Isolierungl: Schlaglangeb: Breite des Bandes

: Luftspaltlange

r0: Innenradius des Ringes mit hoher Permeabilitat

6.3 Konsequenzen und Ausblick 93

die magnetischen Feldlinien nicht uber unterschiedliche Bander schließen konnen,ohne einen Luftspalt der Lange

durchlaufen zu haben.

Sollen 100 Schichten des Bandes je Schlaglange aufgebracht werden, dann mußsich entweder auf der Oberflache eines jeden Bandes eine Schicht befinden, die dieDicke s

0 01

besitzt und deren relative Permeabilitat der von Luft entspricht.Oder es werden zwischen den Bandern mit hoher Permeabilitat zusatzliche Banderverseilt, die ebenfalls die Dicke s und die Permeabilitat von Luft aufweisen mussen.Durch die Verseilung vergroßert sich zwar der Weg, den die magnetischen Feld-großen im Material mit hoher Permeabilitat zurucklegen, jedoch andern sich beikleinen Schlaglangen die magnetischen Eigenschaften der Anordnung nicht.

Somit ist eine elegante Moglichkeit gefunden, die Ringe durch verseilte Bander zuersetzen, da unter Umstanden beim Verseilen sogar auf Erfahrungen zuruckgegrif-fen werden kann, die bei der Leiterproduktion gewonnen wurden.

94 7 ZUSAMMENFASSUNG

7 Zusammenfassung

Hohe elektrische Leistungen werden in der Energietechnik ublicherweise mit Dreh-stromsystemen ubertragen. Besonders bei großen Leiterquerschnitten, wie sie Ka-bel fur hohe und hochste Spannungsebenen besitzen, werden zur Reduzierung derStromverdrangungseffekte Millikenleiter eingesetzt. In der IEC Publication 287,dem international anerkannten Standardwerk zur Berechnung der Belastbarkeitenvon Energieubertragungssystemen, werden Millikenleiter aber nur bis zu einem Lei-terquerschnitt von 1500 mm2 berucksichtigt.

Zur experimentellen Untersuchung großerer Querschnitte ist ein thermisch statio-nares Meßverfahren eingesetzt worden. Meßaufbauten und -vorschriften wurdenso optimiert, daß versteckte Fehlerquellen im voraus erkannt und ausgeschlossenwerden konnten. Eine ausfuhrliche Dokumentation des Meßverfahrens sowie einevollstandige Fehlerdiskussion vermitteln nicht nur das Wissen zur Durchfuhrungweiterer Messungen auf diesem Gebiet, sondern zeigen auch die hohe Zuverlassig-keit, die Reproduzierbarkeit und die außerst kleine Fehlerschranke dieses Meßver-fahrens.

Wie aus der Untersuchung des Skin- und Proximityeffektes von zwei Millikenlei-tern hervorgeht, die bei nahezu identischem Aufbau einen Leiterquerschnitt von2000 mm2 und 2500 mm2 besitzen, beeinflußt eine Vielzahl von Parametern dieStromverdrangungseffekte. Abhangig von dem Druck, der auf einen Millikenlei-ter ausgeubt wird, von der Gegenwart eines Trankmittels oder von der Temperaturdes Millikenleiters sind die Stromverdrangungseffekte unterschiedlich stark ausge-pragt. Die Abweichungen sind so groß, daß es aus energietechnischer wie auchaus wirtschaftlicher Sicht nicht empfehlenswert ist, fur einen Millikenleiter nureinen Skin- oder Proximityeffektfaktor anzugeben. Wie ein Vergleich mit Messun-gen anderer Untersuchungen bestatigt, mussen die Stromverdrangungseffekte furjeden Millikenleiter experimentell ermittelt werden. Es erscheint somit sinnvoll, dasMeßverfahren und die Meßvorschrift zu normieren, nach denen Skin- und Proximi-tyeffekt bestimmt werden. Hierfur ist das thermisch stationare Verfahren sehr gutgeeignet.

Um die Stromverdrangungserscheinungen zusatzlich numerisch erfassen zu kon-nen, wurde ein erweitertes Teilleiterverfahren entwickelt. Mit diesem ist es moglich,Stromverteilungen und Stromverdrangungsfaktoren von beliebig verseiltenLeiterstrukturen zu berechnen unter Berucksichtigung der Ubergangswiderstandezwischen benachbarten Einzeldrahten. An einem verseilten Leiter wurde untersucht,wie sich die Stromverdrangungseffekte durch gezielte Beeinflussung der

95

Ubergangswiderstande reduzieren lassen. Die so gewonnenen Erkenntnisse konn-ten auf einen Millikenleiter ubertragen werden.

Durch Ringe mit einer hohen Permeabilitat, die koaxial um einen Millikenleiter an-geordnet sind, kann der Skineffekt dieses Leiters fast vollstandig unterdruckt wer-den. Wie experimentell nachgewiesen wurde, reduziert sich der Skineffektfaktordurch das Aufbringen der Ringe mit hoher Permeabilitat um 20 Prozentpunkte vonys

0 23 auf ys

0 03.

Im Hinblick auf eine technische Realisierung wird gezeigt, daß die Ringe mit hoherPermeabilitat durch verseilte Bander ersetzt werden konnen, wenn deren Materialeine ahnlich hohe Permeabilitat besitzt. Dieses hat den Vorteil, daß nicht nur derMillikenleiter weiterhin nach den bekannten und bewahrten Fertigungsverfahrenhergestellt werden kann, sondern daß unter Umstanden vorhandene produktions-technische Einrichtungen auch fur das Verseilen der Bander mit hoher Permeabilitatgenutzt werden konnen. Eine Reduzierung des Skineffektes bei Millikenleitern istsomit leicht zu realisieren.

96 SCHRIFTTUM

Schrifttum

[1] AIEE Committee Report: AC Resistance of Pipe-Cable Systems with Segmen-tal Conductors. AIEE Trans., January 1952, Vol. 71, part III, pp. 393-414.

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[70] VDE 0414: Meßwandler. Mai 1985.

[71] VDE/VDI-Richtlinie 2620: Fortpflanzung von Fehlergrenzen bei Messungen -Grundlagen. Januar 1973, Blatt 1.

[72] VDE/VDI-Richtlinie 2620, Fortpflanzung von Fehlergrenzen bei Messungen -Beispiele zur Fortpflanzung von Fehlern und Fehlergrenzen. Juli 1974, Blatt 2.

102 SCHRIFTTUM

[73] VDI-Warmeatlas, Berechnungsblatter fur den Warmeubergang. VDI-Verlag,6. erw. Aufl., Dusseldorf, 1991.

[74] Zaborsky, J.: Skin and Spiraling Effect in Stranded Conductors. AIEE Trans.,August 1953, pp. 599-602.

VERWENDETE FORMELZEICHEN 103

Verwendete Formelzeichen und Abk urzungen

In dieser Arbeit wird zur Unterscheidung bestimmter Großen von Indizes und Hoch-indizes Gebrauch gemacht. An dieser Stelle wird auf eine vollstandige Angabe allerdadurch entstehenden Bezeichnungsmoglichkeiten verzichtet.

Lateinische Formelzeichen

A Querschnittsflachea AchsabstandB magnetische Induktionb BreiteC Warmekapazitatd DurchmesserE elektrische FeldstarkeF u Fullfaktorf Frequenzg mittlerer geometrischer AbstandH magnetische Feldstarkeh IndexI Stromi Indexj Indexj

1 imaginare Einheit

k IndexL Indexl Schlaglangem Indexn IndexP Verlusteq IndexR Widerstandr bezogener Widerstandr RadiusS elektrische Stromdichtes Achsabstands Dicke

104 VERWENDETE FORMELZEICHEN

Lateinische Formelzeichen (Fortsetzung)

T Indext ZeitU SpannungU Indexx KoordinateY Admittanzy Koordinateyp Proximityeffektfaktorys SkineffektfaktorZ Impedanzz Koordinate

Griechische Formelzeichen

zylindrische KoordinateParameter

∆ Prafix fur Differenzen∆ Delta-Operator

Luftspaltlange

FehlerschrankeTemperatur

elektrische LeitfahigkeitWarmeleitfahigkeit

Permeabilitatπ Kreiszahl

Winkel Kreisfrequenz

Kennungen

A

MatrixA VektorA komplexe Große

VERWENDETE FORMELZEICHEN 105

Abkurzungen

ac alternating currentdc direct currentEHV Extreme High VoltagePE PolyethylenPt 100 Platin DunnfilmthermometerSKE SteinkohleneinheitVPE Vernetztes Polyethylen

Curriculum vitae

Personliche Daten

Name Joachim, Dominik Fritz PeterGeburt 22.10.1966 in Bremen

Familienstand Ledig

Schulbildung

1973-1977 Gemeinschaftsgrundschule Uckerath1977-1986 Gymnasium Hennef

Abschluß: Allgemeine Hochschulreife

Wehrdienst

1986-1987 Grundwehrdienst bei der Luftwaffeder Bundeswehr

Studium

Okt. 1987 Studium der Elektrotechnik an derGerhard-Mercator-Universitat-Gesamthochschule Duisburg

Mai 1992 Abschluß: Diplom-Ingenieur

Berufstatigkeit

Seit Juni 1992 Wissenschaftlicher Angestellter an derGerhard-Mercator-Universitat-Gesamthochschule Duisburg imFachgebiet Elektrische Energieubertragung

Documents

Stromverdrangungsef¨ fekte bei Millikenleiternplc.ets.uni-duisburg-essen.de/Joachim_Diss.pdf · Vorwort Die vorliegende Dissertation entstand wahrend¨ meiner T¨atigk eit als wissenschaftli-cher