Struktur-Funktions-Modelle von Pflanzen- Sommersemester 2010 -

Winfried Kurth

Universität Göttingen, Lehrstuhl Computergrafik und Ökologische Informatik

7. Vorlesung: 10. 6. 2010

zuletzt:

• stochastische Ausbreitungsmodelle

• kontextsensitive L-Systeme

• Interpretationsregeln

als nächstes:

• Graphen als mathematische Grundstruktur

• topologische Analyse von Verzweigungsstrukturen

• Graph-Ersetzungsregeln

• zwei Regeltypen: L-System- und SPO-Regeln

Der Schritt zu Graph-Grammatiken

Nachteil von L-Systemen:

• in L-Systemen mit Verzweigungen (über Turtle-Kommandos) nur 2 mögliche Relationen zwischen Objekten: "direkter Nachfolger" und "Verzweigung"     

Erweiterungen:

• Zulassen weiterer Relationstypen (beliebig wählbar)• Zulassen von Zyklen

Graph-Grammatik

Ein Graph: eine Art, Daten zu organisieren

Def.: eine Menge von Knoten, (teilweise) verbunden durch (gerichtete) Kanten (Relationen).

T

II

T

I

T

T IKnoten

(T = Trieb, I = Internodium)

Kantentypen (Relationen):

Nachfolgerbeziehung

Verfeinerungsbeziehung

Eine Zeichenkette (string): ein sehr einfacher Graph

Eine Zeichenkette kann man als 1-dimensionalen Graphen mit nur einem Kantentyp auffassen

Nachfolger-Kanten (successor relation)

ABA AAC CAB

Finden Sie so eine Struktur irgendwo im realen Leben wieder?

SR S BS

B

B

BS

B

B

BS

B

B

S BS

B

B

BS

B

B

BS

B

B

S BS

B

B

BS

B

B

BS

B

B

vielleicht jetzt?

Bud

Shoot

Shoot

Shoot

Shoot

Bud

Bud

BudShoot

Shoot

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud Shoot

Shoot

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud

Bud

Root

3 Knotentypen Wurzelkompartiment Jahrestriebe Knospen

2 Kantentypen Nachfolgerrelation (selbe Achse) Verzweigungsrelation (neue Achse)

es handelt sich um einen Baum. Bäume sind spezielle Graphen.

1

2

3

4

zugrundeliegendes Teilgebiet der Mathematik: Topologie

zwei isomorphe Graphen:

dichotom Fischgräten

Graph-Grammatik (Beispiel)

Regel:

nun werden die Graphen zeitlich veränderlich gemacht!

Graph-Grammatik (Beispiel)

Regel:

Anwendung:

hier nicht anwendbar! (falscher Kantentyp)

Eine relationale Wachstumsgrammatik (RGG)* (spezieller Typ von Graph-Grammatik) enthält:

ein Alphabet – die Definition aller erlaubten

• Knotentypen• Kantentypen (Typen von Relationen)

das Axiom – ein initialer Graph, der aus Elementen des

Alphabets zusammengesetzt ist eine Menge von Graphersetzungsregeln.

* relational growth grammar

Erinnern Sie sich?

Bud

Shoot

Shoot

Shoot

Shoot

Bud

Bud

BudShoot

Shoot

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud Shoot

Shoot

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud

Shoot

Bud

Bud

Bud

Bud

Root

Eine relationale Wachstumsgrammatik enthält:

ein Alphabet – die Definition aller erlaubten

• Knotentypen• Typen von Relationen

das Axiom – ein initialer Graph, der aus den Elementen des

Alphabets zusammengesetzt ist eine Menge von Graphersetzungsregeln

ShootRoot Bud

Root Shoot Bud

Nachfolger Verfeinerung

Was sind nun diese Graphersetzungsregeln

(RGG-Regeln) ?

und wie wendet man sie an?

Graphersetzungsregeln sind

Regeln für die Transformation eines Graphen (Teilgraphen) in einen anderen Graphen.

eine Regel besteht im wesentlichen aus:

linker Regelseite ==> rechter Regelseite

Wie eine RGG-Regel angewandt wird

jede linke Regelseite beschreibt einen Teilgraphen (ein Muster aus Knoten und Kanten, das im Gesamtgraphen gesucht wird), welches ersetzt wird bei der Regelanwendung.

jede rechte Regelseite definiert einen neuen Teilgraphen, der als Ersatz für den entfernten Teilgraphen eingefügt wird.

einfaches Beispiel mit Zeichenkette

Jedes Vorkommen des in der linken Regelseite definierten Teilgraphen wird ersetzt!

A B C A

D B C D

A Dwird ersetzt durch

2 Regelanwendungen im selben Zeitschritt.

C

C

eine vollständige RGG-Regel kann 5 Teile enthalten:

(* Kontext *), Linke Regelseite, ( Bedingung ) ==>

Rechte Regelseite { imperativer XL-Code }

Kontext-Beispiel

(* Kontext *), Linke Regelseite, (Bedingung)

==>

Rechte Regelseite { imperativer XL-Code }

A B C A

D C

DA wird ersetzt durchB

A

Beispiel:

(* *)

B C

C

Bedingungs-Beispiel

(* Kontext *), Linke Regelseite, ( Bedingung ) ==> Rechte Regelseite { imperativer XL-Code }

A B C A

D C

Da:A wird ersetzt durchB

A

Beispiel:

( a[length] > 10 )

A B C A

2 mögliche Ergebnisse, abhängig vom aktuellen Längenparameter des A-Knotens

C

C

C

RELATIONALE WACHSTUMSGRAMMATIKEN (RGG: Relational Growth Grammars, parallele Graph-Gramm.)

Zusammenfassung: Aufbau einer Regel einer RGG

RGG als Verallgemeinerungen von L-Systemen:

Zeichenketten entsprechen speziellen Graphen

In Textform schreiben wir allgemeine (selbstdefinierte) Kanten als -kantensorte->

Kanten des speziellen Typs "Nachfolger" werden meist als Leerzeichen geschrieben (statt -successor->)

• Grammatik modifiziert direkt den Graphen, Umweg über String-Codierung entfällt (bzw. wird nur noch für Regel-Eingabe gebraucht)

2 Regeltypen für Graph-Ersetzungsregeln in XL:

● L-System-Regel, Symbol: ==>

sorgt für Einbettung der rechten Seite in den Graphen (d.h. ein- und ausgehende Kanten werden beibehalten)

● SPO-Regel, Symbol: ==>>

Ein- und ausgehende Kanten werden gelöscht (sofern ihre Beibehaltung nicht explizit in der Regel angegeben wird)

„SPO“ von „single pushout“ - ein Fachbegriff aus der universellen Algebra

a:A ==>> a C (SPO-Regel)

B ==> D E (Regeln vom L-System-Typ)

C ==> A

Ausgangs-graph: A B C

Beispiel:

a:A ==>> a C (SPO-Regel)

B ==> D E (Regeln vom L-System-Typ)

C ==> A

A B C

D E A

a:A ==>> a C (SPO-Regel)

B ==> D E (Regeln vom L-System-Typ)

C ==> A

A B C

D E A

a:

a:A ==>> a C (SPO-Regel)

B ==> D E (Regeln vom L-System-Typ)

C ==> A

A AD Ea:

C= Endergebnis

Testen Sie das Beispiel sm09_b27.rgg :

module A extends Sphere(3);

protected void init()[ Axiom ==> F(20, 4) A; ]

public void runL()[ A ==> RU(20) F(20, 4) A;]

public void runSPO()[ A ==>> ^ RU(20) F(20, 4, 5) A;]

(^ bezeichnet den Wurzelknoten im aktuellen Graphen)

Hausaufgabe zum 15. 6. (Dienstag, 9:15 Uhr):

- Frischen Sie Ihre Kenntnisse zum dtd-Code wieder auf (siehe Teil 1 des Folienskripts)

- Studieren Sie auf der „Grogra-CD“ (http://elan.forst.uni-goettingen.de/grogracd/index.htm) den Abschnitt „Vom Messen zum Modell“ (ohne den Unterabschnitt „Umsetzen“).