Struktur-Funktions-Modelle von Pflanzen- Sommersemester 2010 -

Winfried Kurth

Universität Göttingen, Lehrstuhl Computergrafik und Ökologische Informatik

3. Vorlesung: 22. 4. 2010

letztes Mal:

• Laden von dtd-Dateien

• erste Analysen von Verzweigungssystemen

• Programmierparadigmen (imperativ, objektorientiert, regelbasiert)

• Turtle-Geometrie

• deren Ausführung mit GroIMP

Beispiel: Zeichnen eines Dreiecks

protected void init() [ Axiom ==> RU(30) F(10) RU(120) F(10) RU(120) F(10) ]

siehe Datei sm09_b01.rgg

heute:

• einfache L-Systeme (Zeichenketten-Ersetzungssysteme)

• ihre Ausführung mit GroIMP

• einfache Verzweigungsmuster, modelliert mit L-Systemen

Regelsysteme zur Ersetzung von Zeichenketten

in jedem Ableitungsschritt parallele Ersetzung aller Zeichen, auf die eine Regel anwendbar ist

von A. Lindenmayer (Botaniker) 1968 zur Modellierung des Wachstums von fadenförmigen Algen eingeführt

L-Systeme (Lindenmayer-Systeme)

Aristid Lindenmayer (1925-1989)

Dynamische Strukturbeschreibung

L-Systeme mathematisch:

Ein L-System ist ein Tripel (, , R); darin ist:

eine Menge von Zeichen, das Alphabet,

eine Zeichenkette mit Zeichen aus , das Startwort (auch "Axiom"),

R eine Menge von Regeln der Form

Zeichen Zeichenkette;

darin sind das Zeichen auf der linken Regelseite und die Zeichenkette aus entnommen.

zum Vergleich:

Grammatik für natürliche Sprache:

Satz S P O

S Max

S Tina

P lernt

O Englisch

O Französisch

mögliche Ableitungen:

Satz Satz

S P O S P O

Max lernt Französisch Tina lernt Englisch

Ein Ableitungsschritt (rewriting) einer Zeichenkette besteht aus der Ersetzung aller ihrer Zeichen, die in linken Regelseiten vorkommen, durch die entsprechenden rechten Regelseiten.

Man vereinbart: Zeichen, auf die keine Regeln anwendbar sind, werden unverändert übernommen.

Ein Ableitungsschritt (rewriting) einer Zeichenkette besteht aus der Ersetzung aller ihrer Zeichen, die in linken Regelseiten vorkommen, durch die entsprechenden rechten Regelseiten.

Man vereinbart: Zeichen, auf die keine Regeln anwendbar sind, werden unverändert übernommen.

Ergebnis:

Ableitungskette von Zeichenketten, die sich durch wiederholte Anwendung des Ersetzungsvorgangs aus dem Startwort ergeben.

1 2 3 ....

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

A

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

B

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

AB

parallele Ersetzung

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

BAB

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

BAB

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

ABBAB

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

Ableitungskette:

A B AB BAB ABBAB BABABBAB

ABBABBABABBAB BABABBABABBABBABABBAB

...

Beispiel:

Alphabet {A, B}, Startwort A

Regelmenge:

A BB AB

Ableitungskette:

A B AB BAB ABBAB BABABBAB

ABBABBABABBAB BABABBABABBABBABABBAB

...

wie lang ist die n-te Zeichenkette in dieser Ableitung?

was für die Modellierung von grafischen und biologischen Strukturen noch fehlt:

eine geometrische Interpretation

was für die Modellierung von grafischen und biologischen Strukturen noch fehlt:

eine geometrische Interpretation

Füge also hinzu:

eine Abbildung, die jeder Zeichenkette eine Teilmenge des 3-dimensionalen Raumes zuordnet

dann: "interpretierte" L-System-Abarbeitung

1 2 3 ....

S1 S2 S3 ....

S1, S2, S3, ... können als Entwicklungsstufen eines Objekts,

einer Szene oder eines Organismus interpretiert werden.

Für die Interpretation der Zeichenketten:

Turtle-Geometrie

Der Turtle-Befehlsvorrat wird zu einer Untermenge der Zeichenmenge des L-Systems.

Symbole, die nicht Turtle-Befehle sind, werden von der Turtle ignoriert.

Für die Interpretation der Zeichenketten:

Turtle-Geometrie

Der Turtle-Befehlsvorrat wird zu einer Untermenge der Zeichenmenge des L-Systems.

Symbole, die nicht Turtle-Befehle sind, werden von der Turtle ignoriert.

Verbindung mit dem imperativen Paradigma

Beispiel:

Regeln

A ==> F0 [ RU(45) B ] A ;B ==> F0 B ;

Startwort A

(A und B werden normalerweise nicht geometrisch interpretiert.)

InterpretationdurchTurtle-Geometrie

was für eine Struktur liefert das L-System

A ==> [ LMul(0.25) RU(-45) F0 ] F0 B;

B ==> [ LMul(0.25) RU(45) F0 ] F0 A;

mit Startwort L(10) A ?

was für eine Struktur liefert das L-System

A ==> [ LMul(0.25) RU(-45) F0 ] F0 B;

B ==> [ LMul(0.25) RU(45) F0 ] F0 A;

mit Startwort L(10) A ?

äquivalente Regel:

A ==> [ LMul(0.25) RU(-45) F0 ] F0 RH(180) A;

Flächenfüllende Kurve:

Axiom ==> L(10) RU(-45) X RU(-45) F(1) RU(-45) X;

X ==> X F0 X RU(-45) F(1) RU(-45) X F0 X

weiteres Beispiel:

Flächenfüllende Kurve:

Axiom ==> L(10) RU(-45) X RU(-45) F(1) RU(-45) X;

X ==> X F0 X RU(-45) F(1) RU(-45) X F0 X

Flächenfüllende Kurve:

Axiom ==> L(10) RU(-45) X RU(-45) F(1) RU(-45) X;

X ==> X F0 X RU(-45) F(1) RU(-45) X F0 X

indisches Kolam-Muster„Anklets of Krishna“

Beispiel für ein Fraktal:

Koch'sche Kurve

Axiom ==> RU(90) F(10);

F(x) ==> F(x/3) RU(-60) F(x/3) RU(120) F(x/3) RU(-60) F(x/3)

.

vergleiche Beispieldatei sm09_b02.rgg :

geschlossene Koch-Kurve, entwickelt aus Dreieck

protected void init ()[ Axiom ==> RU(50) F(10) RU(120) F(10) RU(120) F(10); ]

// oeffentliche Methode zur interaktiven Verwendung in GroIMP// (ueber Button):public void anwendung ()// Regeln muessen in []-Klammern gesetzt und mit ; beendet werden[

// jedes F() wird durch 4 kleinere F() ersetzt// die Laenge des F auf der rechten Regelseite wird// durch das x auf die linke Seite mit heruebergemomen

F(x) ==> F(x/3) RU(-60) F(x/3) RU(120) F(x/3) RU(-60) F(x/3);]

Verzweigungsbeispiel:

F0 ==> F0 [ RU(25.7) F0 ] F0 [ RU(-25.7) F0 ] F0 ;

Ergebnis nach 7 Schritten:

(Startwort L(10) F0)

Verzweigungsbeispiel:

F0 ==> F0 [ RU(25.7) F0 ] F0 [ RU(-25.7) F0 ] F0 ;

Ergebnis nach 7 Schritten:

(Startwort L(10) F0)

nicht sehr botanisch!!

Beispieldatei sm09_b03.rgg :/* Sie lernen an diesem Beispiel:- wie Sie ein einfaches Pflanzenmodell (nach dem Architekturmodell Schoute) erstellen- wie sie Verzweigungen (Subgraphen) mit [ ] angeben */

// Example of a simple tree architecture (Schoute architecture)

//----------- Extensions to the standard alphabet ----------//Shoot() is an extension of the turtle-command F() and stands for an annual shootmodule Shoot(float len) extends F(len);

// Bud is an extension of a sphere object and stands for a terminal bud// its strength controls the length of the produced shoot in the next timestepmodule Bud(float strength) extends Sphere(0.2){{ setShader(RED); setTransform(0, 0, 0.3); }};//-----------------------------------------------------------

protected void init ()[ // Startzustand (eine Knospe) Axiom ==> Bud(5);]

public void run ()[ // a square bracket [] will indicate a branch (daughter relation) // Rotation around upward axis (RU) and head axis (RH) // Decrease of strength of the Bud (each step by 20%)

Bud(x) ==> Shoot(x) [ RU(30) Bud(0.8*x) ] [ RU(-30) Bud(0.8*x) ];]

Verzweigung, alternierende Zweigstellung und Verkürzung:

Axiom ==> L(10) F0 A ;

A ==> LMul(0.5) [ RU(90) F0 ] F0 RH(180) A ;

in XL muss hier A zuvor als eigenes Modul deklariert werden:

module A;

welche Struktur liefert

Axiom ==> F(10) A ;

A ==> [ RU(-60) F(6) RH(180) A Sphere(3) ] [ RU(40) F(10) RH(180) A Sphere(3) ];

Sphere ==> Z; ?

(F(n) liefert Linie der vorgegebenen Länge n,Sphere(n) eine Kugel mit Radius n)

Erweiterung des Symbol-Konzepts:

Lasse reellwertige Parameter nicht nur bei Turtle-Kommandos wie "RU(45)" und "F(3)" zu, sondern bei allen Zeichen

parametrische L-Systeme

beliebig lange, endliche ParameterlistenParameter werden bei Regel-Matching mit Werten belegt

Beispiel:

Regel A(x, y) ==> F(7*x+10) B(y/2)

vorliegendes Zeichen z.B.: A(2, 6)nach der Regelanwendung: F(24) B(3)

Parameter können in Bedingungen abgeprüft werden(logische Bedingungen mit Java-Syntax):

A(x, y) (x >= 17 && y != 0) ==> ....

Welche Struktur wird von folgendem L-System erzeugt?

Axiom ==> [ RU(90) M(1) RU(90) A(1) ] A(1);

A(n) ==> F(n) RU(90) A(n+1);

Welche Struktur wird von folgendem L-System erzeugt?

Axiom ==> [ RU(90) M(1) RU(90) A(1) ] A(1);

A(n) ==> F(n) RU(90) A(n+1);

Variante:

in der zweiten Regel "RU(90)" etwa durch "RU(92)" ersetzen.

Hausaufgabe:

Lesen Sie Chapter 1, Section 1.1 – 1.6 (ohne 1.4) im Buch „The Algorithmic Beauty of Plants“ von P. Prusinkiewicz und A. Lindenmayer (online verfügbar, siehe Literaturseite zur Veranstaltung). (= S. 1-27 ohne Abschnitt 1.4).