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Synchronisation
Vortrag von Johannes Dörr und Thomas WanschikFachpraktikum Nichtlineare Dynamik, Universität Göttingen
Beispiele Metronome Orgelpfeifen Glühwürmchen Millennium Bridge Tagesrhythmus
Gegenbeispiel Wolf-Hase-System
Was ist Synchronisation?
Globale Synchronisation (all-to-all)
Einseitige Synchronisation (Master/Slave)
Was ist Synchronisation?
Voraussetzungen Selbsterregte Schwingungen
Dissipation Stabilität, Nichtlinearität
Keine zu starke Kopplung Gegenbeispiel:
Was ist Synchronisation?
Relevante Größen
Phase frei bei selbsterregten Schwingungen Anschaulich: Schiefe Ebene
Amplitude Stabil Anschaulich: Minimum
Was ist Synchronisation?
Relevante Größen
Frequenzen Eigenfrequenzen (ohne Kopplung): Frequenzdifferenz: Beobachtete Frequenz (mit Kopplung):
Definition von Synchronisation „Feste“ Phasendifferenz (Phase Locking) „Festes“ Frequenzverhältnis (Frequency Locking)
...,, )2(0
)1(0
)2(0
)1(0
...,, )2()1(
Einseitige Synchronisation
Mathematische Beschreibung:
Periodische, externe Kraft mit Periodendauer T
)...,,,(),,()(d
d21 Mxxxt
t xxpxf
x
Externe Kraft
klein
Einseitige Synchronisation
Definition der Phase
Problem: System nie genau auf Limit Cycle Lösung: Isochronen definieren Phase an
jedem Ort
Eigenfrequenz:
0}*)(lim|{*))((
)()()()(
0
xxxx
xxxn
n
I
Ttt
0d
)(d
t
x
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
Man erhält für Änderung der Phase:
Es folgt für die Phasendifferenz:
),(d
d0 tQ
t
tqt
,mit)(
d
d000
2π-periodisch, T-periodisch
2π-periodisch
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
sin
d
d
t
Einfachster Fall: Störung q Sinus-förmig Adler-Gleichung:
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
Wenn gilt: Phasendifferenz wird konstant (Phase Locking)
)(d
d q
t
maxmin qq
0
stabil instabil
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
Arnold-Zunge
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
Übergang zur Synchronisation
Beat Frequency:
Einseitige Synchronisation
Phasendynamik
Vorstellung als Potential Ohne Kopplung
Synchronisation
Kopplung zu schwach
Synchronisation höherer Ordnung
Stroboskopische Beobachtung
Bisher: Synchronisation auf selbe Frequenz Auch möglich: rationales Verhältnis Betrachtung: Stroboskopisch
Zeitintervall wie Periode T des antreibenden Systems
)(01 nnn FT
Synchronisation höherer Ordnung
Impulsanregung
Synchronisation höherer Ordnung
Arnoldzungen für höhere Ordnungen
Synchronisation höherer Ordnung
„Teufelstreppe“
Synchronisation höherer Ordnung
Genauere Definition von Synchronisation
Frequency Locking:
Phase Locking:
mn
const. mtn
Globale Synchronisation
Eigenschaften Oszillatoren „einigen“ sich auf gemeinsame
Frequenz Quenching möglich: „Tod der Oszillationen“
Globale Synchronisation
Kuramoto-Modell Für zwei Oszillatoren:
Änderung der Phase für N Oszillatoren:
),()(d
d),,()(
d
d )1()2()2()2()2()2(
)2()1()1()1()1()1(
xxpxfx
xxpxfx
tt
N
jkjk
k
Nt 1
)sin(d
d
Globale Synchronisation
Änderung der Phase bei N Oszillatoren ergibt sich zu:
Oszillator wird von einem „mittlerem Feld“ getrieben Mittlere Amplitude: Mittlere Phase:
)sin(d
dkk
k Kt
K
Chaotische Oszillatoren
Phasensynchronisation
Problem: Wie führen wir die Periodendauer ein?
/)(20 N
Chaotische Oszillatoren
Ähnelt einem Oszillator überlagert mit Rauschen Potentialbild:
Kraft darf nicht zu groß aber auch nicht zu klein sein!
Chaotische Oszillatoren
Complete Synchronization
Betrachte zwei identische Systeme
ixx ii 21
