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TD n°5 : CORRECTION

Intégrales doubles, triples, théorème de Green-Riemann, courbes paramétrées. .

a)

𝑡 −𝜋

2 −

𝜋

4 0 +

𝜋

4 +

𝜋

2

𝑥′ 𝑡 = 2𝑐𝑜𝑠 2𝑡 -2 - 0 + 0 - -

𝑥 𝑡 = 𝑠𝑖𝑛 2𝑡

0

0

1

-1 0

𝑦 𝑡 = 𝑐𝑜𝑠 𝑡

1

− 2

2

2

2

0 0

𝑦′ (𝑡) = −𝑠𝑖𝑛 𝑡 1 0 -1

Γ est donc bien un chemin fermé, on a 𝑀 −𝜋

2 = 𝑀

𝜋

2 = (0; 0) et on ne parcourt qu’une seule fois le chemin sur

l’intervalle donné.



b) Aire de S.

Calcul d’aires planes.

Avec 𝜔 𝑥, 𝑦 =1

2 −𝑦𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑦 , ou 𝜔 𝑥, 𝑦 = −𝑦𝑑𝑥 ou 𝜔 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑑𝑦 on a :

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 1

et donc : 𝐴𝑖𝑟𝑒 𝐷 = ∬ 1 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷

= ∬ 𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷= ∬ 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷= ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

𝛤= 𝜕𝐷

𝐴𝑖𝑟𝑒(𝐷) = 1

2 𝑥𝑑𝑦 − 𝑦𝑑𝑥 𝛤= 𝜕𝐷

= − 𝑦𝑑𝑥𝛤= 𝜕𝐷

= 𝑥𝑑𝑦𝛤= 𝜕𝐷

En coordonnées polaires cela donne : 𝐴𝑖𝑟𝑒(𝐷) = 1

2∫ 𝑟²𝑑𝜃𝛤= 𝜕𝐷

Attention ici, le sens de parcours n’est pas le sens direct :

𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = − 𝑥𝑑𝑦𝛤= 𝜕𝐷

= − sin 2𝑡 × (− sin 𝑡) 𝑑𝑡

𝜋2

−𝜋2

= 2 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 × (𝑠𝑖𝑛 𝑡) 𝑑𝑡

𝜋2

−𝜋2

= 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 × 𝑠𝑖𝑛² 𝑡 𝑑𝑡

𝜋2

−𝜋2

𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = 2 sin 𝑡 3

3 −

𝜋2

𝜋2

=𝟒

𝟑

c) ∬ 𝒙𝒅𝒙𝒅𝒚𝑺

Formule de Green-Riemann

Soit S un compact simple de ℝ2, on note Γ la courbe délimitant S, orientée dans le sens direct. On note Γ = ∂S le bord de S.

Soit 𝜔 une forme différentielle de classe C1 définie dans S. ∬

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃


𝑆= ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

Γ= ∂S

Avec 𝜔 𝑥, 𝑦 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 = −𝑥𝑦𝑑𝑥 on a : 𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 𝑥.

Puis on applique Green-Riemann (attention au sens de parcours)

𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆

= 𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃


𝑆

= − 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦Γ= ∂S

= 𝑥𝑦𝑑𝑥Γ= ∂S

= sin 2𝑡 × cos 𝑡 × (2 cos 2𝑡)𝑑𝑡

𝜋2

−𝜋2

∬ 𝑥𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆

= 0 car l’intégrande est impaire et on intègre sur un intervalle symétrique par rapport à 0.



𝒜𝑖𝑟𝑒 𝑆 = ∫ 𝑥𝑑𝑦𝛤= 𝜕𝐷

où 𝛤 = 𝛤1 ∪ 𝛤2 avec 𝛤1 = courbe paramétée par γ et 𝛤2 = segment de A 2π; 0 à O(0; 0)

∫ 𝑥𝑑𝑦𝛤1

= ∫ 𝑡 − sin 𝑡 × sin 𝑡 𝑑𝑡2𝜋

0 = ∫ 𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡

2𝜋

0 − ∫ sin 𝑡 2𝑑𝑡

2𝜋

0

𝑡 − sin 𝑡 × sin 𝑡 𝑑𝑡2𝜋

0

= sin 𝑡 − 𝑡 cos 𝑡 02𝜋 −

𝑡

2−

sin 2𝑡

4

0

2𝜋

= −2𝜋 − 𝜋 = −3𝜋

∫ 𝑥𝑑𝑦𝛤2

= 0

𝓐𝒊𝒓𝒆 𝑺 = 𝒕 − 𝐬𝐢𝐧 𝒕 × 𝐬𝐢𝐧 𝒕 𝒅𝒕𝟐𝝅

𝟎

= 𝟑𝝅



Sur 𝜞𝟏 :

Par passage en coordonnées polaires, 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 2 cos 𝑡𝑦 = 𝑦 𝑡 = 2 sin 𝑡

avec 𝑡 qui varie de 0 à 𝜋. Donc 𝑥′(𝑡) = −2 sin 𝑡

𝑦′ (𝑡) = 2 cos 𝑡

Sur 𝜞𝟐 :

𝑥 = 𝑥 𝑡 = 𝑡𝑦 = 𝑦 𝑡 = 0

avec 𝑡 qui varie de2 à − 2. Donc 𝑥′(𝑡) = 1

𝑦′ (𝑡) = 0

𝑎 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦𝛤1

= 8 − sin 𝑡 + 𝑐𝑜𝑠² 𝑡 sin 𝑡 𝜋

0

𝑑𝑡 = 8 cos 𝑡 − cos 𝑡 3

3

0

𝜋

= −𝟑𝟐

𝟑

𝑏 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦𝛤2

= −𝟏𝟔

𝑐 = ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑆

On passe en polaires

𝑐 = 𝑟² sin 𝑡 𝑑𝑡𝜋

0

2

0

𝑟𝑑𝑟 = 𝑟3

3

0

2

× − cos 𝑡 0𝜋 =

𝟏𝟔

𝟑

b)

En posant : 𝜔 𝑥, 𝑦 = 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦 , on a : 𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃

𝜕𝑦= 𝑦 − 0 = 𝑦

Formule de Green-Riemann

Soit D un compact simple de ℝ2, on note Γ la courbe délimitant D, orientée dans le sens direct. On note Γ = ∂D le bord

de D.

Soit 𝜔 une forme différentielle de classe C1 définie dans D. ∬

𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃


𝐷= ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

Γ= ∂D

Attention au sens de parcours.

𝑐 = ∬ 𝜕𝑄

𝜕𝑥−

𝜕𝑃


𝑆= ∬ 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆= ∫ 𝑃𝑑𝑥 + 𝑄𝑑𝑦

Γ1∪Γ2= ∂D = ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦

Γ1∪Γ2= ∂D

D’après le th. de Green-Riemann

𝑐 = ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 Γ1∪Γ2= ∂D

= ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 Γ1

− ∫ 4𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 Γ2

= 𝑎 − 𝑏

D’après la relation de Chasles

Donc 𝒂 = 𝒃 + 𝒄

A(2,0) B(-2,0)



On intègre sur un cylindre.

Il faut faire attention à l’ordre d’intégration.

Méthode 1 :

Le volume D est la région comprise à l’intérieur du cylindre d’équation : 4 = 𝑥² + 𝑦², sous le plan

horizontal d’équation 𝑧 = 1 et au dessus du plan (xOy).

𝐷 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3 , 𝑥² + 𝑦² ≤ 4 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1 .

On peut faire varier z de 0 à 1 et prendre (x ;y) dans le disque de centre O et de rayon 2.

𝐷 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐷𝑧 .

𝐷𝑧 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑥² + 𝑦² ≤ 4 = 𝐷𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑂; 𝑅 = 2 .

Par passage en coordonnées cylindriques on obtient :

𝐼 = 𝑧𝑥²+𝑦² 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧

𝑑𝑧2

0

= 𝑟 𝑧𝑟²𝑑𝑟𝑑𝑡1

0

2𝜋

0

𝑑𝑧2

0

En appliquant Fubini :

𝐼 = 𝑟 𝑧𝑟²𝑑𝑟𝑑𝑡1

0

2𝜋

0

𝑑𝑧2

0

= 𝑟 𝑧𝑟²𝑑𝑧1

0

𝑑𝑟2

0

𝑑𝑡2𝜋

0

𝐼 = 𝑟 𝑧𝑟²+1

𝑟² + 1

0

1

𝑑𝑟2

0

𝑑𝑡2𝜋

0

= 𝑟

𝑟² + 1𝑑𝑟

2

0

𝑑𝑡2𝜋

0

= ln(𝑟2 + 1)

2

0

2

𝑑𝑡2𝜋

0

𝑰 = 𝝅 𝐥𝐧𝟓

Méthode 2 :

𝐼 = 𝑟 𝑧𝑟²𝑑𝑡2𝜋

0

2

0

𝑑𝑟 𝑑𝑧1

0

= 𝝅 𝒛𝟒 − 𝟏

𝒍𝒏 𝒛

𝟏

𝟎

𝒅𝒛



Sphériques

𝑥 = 𝑟 sin 𝜑 cos 𝜃

𝑦 = 𝑟 sin 𝜑 sin 𝜃𝑧 = 𝑟 cos 𝜑

0 ≤ 𝑟 ≤ 2

𝜃 ∈ 0;𝜋

2

𝜑 ∈ 0 ; 𝜋

𝐝𝐞𝐭 𝑱 = −𝒓² 𝐬𝐢𝐧 𝝋

𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝐷

= 𝑓

𝑟 sin 𝜑 cos 𝜃 𝑟 sin𝜑 sin 𝜃

𝑟 cos 𝜑 × 𝒓² 𝐬𝐢𝐧 𝝋 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝜑

K=𝜙−1(𝐷)

𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

= 𝑟5 sin 𝜑 3 cos 𝜑 cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜑 𝑑𝜃

𝜋2

0

𝜋

0

2

0

𝑥𝑦𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧

𝑉

= 𝑟6

6

0

2

× sin 𝜑 4

4

0

2

× − cos² 𝜃

2

0

2

= 𝟎



a)

Le volume V est la région comprise à l’intérieur du paraboloïde d’équation : 𝑧 = 𝑥² + 𝑦², sous le plan horizontal d’équation

𝑧 = 1 .

𝑉 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3, 𝑥² + 𝑦² ≤ 𝑧 ≤ 1 .

On peut faire varier z de 0 à 1 et prendre (x ;y) dans le disque de centre O et de rayon 𝑧.

𝑉 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ3 , 0 ≤ 𝑧 ≤ 1, 𝑥; 𝑦 ∈ 𝐷𝑧 .

𝐷𝑧 = 𝑥; 𝑦 ∈ ℝ2, 𝑥² + 𝑦² ≤ 𝑧 = 𝐷𝑖𝑠𝑞𝑢𝑒 𝑂; 𝑅 = 𝑧 .

Par Fubini on obtient :

𝑉 = 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧

𝑑𝑧1

0

𝑉 = 𝜋 𝑧 2 𝑑𝑧

1

0

= 𝜋𝑧 𝑑𝑧1

0

= 𝜋 𝑧2

2

0

1

𝑽 =𝝅

𝟐

b) ∭ 𝑥²𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉

= ∫ ∬ 𝑥²𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧

𝑑𝑧1

0= ∫ 𝑧 ∬ 𝑥²𝑑𝑥𝑑𝑦

𝐷𝑧 𝑑𝑧

1

0

∬ 𝒙𝟐𝒅𝒙𝒅𝒚𝑫𝒛

On va passer en coordonnées polaires.

𝑥2𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧

= 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝑡 2 𝑑𝑡2𝜋

0

𝑧

0

𝑟𝑑𝑟 =𝜋𝑧2

4

𝑥²𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧𝑉

= 𝑧 𝑥²𝑑𝑥𝑑𝑦𝐷𝑧

𝑑𝑧1

0

= 𝑧 𝜋𝑧2

4 𝑑𝑧

1

0

=𝝅

𝟏𝟔



Autre exemple :



t de -20 à 20

t de -3 à 3

t de -2 à 2



a) Symétrie.

On utilise un changement de paramétrage pour Γ d’équation :

𝛾 𝑡 = 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 3𝑡² − 1

𝑦 = 𝑦 𝑡 = 𝑡3 − 3𝑡 sur 𝐼 = ℝ

Soit 𝑔 ∶ 𝑡 ↦ 𝑔(𝑡) de I dans I telle que 𝐼 = 𝐼′ ∪ 𝑔(𝐼′ ) et 𝐼′ ∩ 𝑔 𝐼′ = ∅ 𝑜𝑢 𝑢𝑛 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑙𝑒𝑡𝑜𝑛

Suivant la formule liant 𝛾𝑜𝑔 et 𝛾, on fait varier t dans I’, d’où une courbe Γ’, puis une courbe Γ’’

déduite de Γ’, et 𝛤 = 𝛤’⋃𝛤’’

Isométrie permettant de passer de Γ’ à Γ’’

𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡) Identité

𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥 𝑡 + 𝑎

𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦 𝑡 + 𝑏 Translation de vecteur 𝑎 𝑖 + 𝑏𝑗

𝑥 𝑔(𝑡) = −𝑥(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡) Symétrie par rapport à (Oy)

𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = −𝑦(𝑡) Symétrie par rapport à (Ox)

𝑥 𝑔(𝑡) = −𝑥(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = −𝑦(𝑡) Symétrie par rapport au point O

𝑥 𝑔(𝑡) = 𝑦(𝑡)

𝑦 𝑔(𝑡) = 𝑥(𝑡) Symétrie par rapport à la première bissectrice

Généralement on teste :

𝒈(𝒕) = −𝒕 pour 𝐼 = ] − 𝑎; 𝑎[ et alors I’ = [0; 𝑎[

𝒈 𝒕 = 𝒂 + 𝒃 − 𝒕 pour 𝐼 = [𝑎; 𝑏] et alors 𝐼’ = [𝑎 ;𝑎+𝑏

2[

𝒈 𝒕 =𝟏

𝒕 pour 𝐼 = ] 0; + ∞[ et alors I’ = ]0; 1]

Ici :

𝛾 −𝑡 = 𝑥 = 𝑥 −𝑡 = 𝑥(𝑡)

𝑦 = 𝑦 −𝑡 = −𝑦(𝑡) Donc pour 𝐼 = ] − ∞; ∞[ , on a I’ = [0; ∞[

On passe de Γ’ pour t dans I’ à Γ’’ par symétrie par rapport à l’axe Ox



b) Points réguliers et biréguliers de la courbes.

Définition.

Soit Γ la trajectoire de l’arc paramétré 𝛾: 𝑡 ⟼ 𝛾 𝑡 = 𝑀(𝑡) de classe 𝐶1

On dit que M(t) est un point régulier de Γ si et seulement si : 𝜸′ (𝒕) ≠ 𝟎

Si 𝛾 est de classe 𝐶2

On dit que M(t) est un point birégulier de Γ si et seulement si : la famille 𝒇’(𝒕) ; 𝒇’′(𝒕) est libre.

Pour les déterminer on écrit que le déterminant de la famille est non nul

Un point non régulier est dit stationnaire.

Théorèmes.

𝛾 un arc paramétré de classe 𝐶1

En tout point régulier M t de Γ, Γ admet une tangente et celle-ci est dirigé par 𝜸′ (𝒕).

Soit M t point régulier de Γ, et T(t) la tangente en M(t)à Γ.

Si 𝑥′ 𝑡 ≠ 0, T(t) a pour coeff. directeur : 𝑦 ′ 𝑡

𝑥 ′ 𝑡

Si 𝑥′ 𝑡 = 0, T t est parallèle à Oy dans ce cas on a y’ t non nul car M t régulier

Théorème.

𝛾 un arc paramétré de classe 𝐶𝑘 , et 𝐴(𝑡) = 𝛾 𝑡

Si l’un au moins des vecteurs dérivés successifs 𝒇’(𝒕) ; 𝒇’′(𝒕) ; … . ; 𝒇(𝒌)(𝒕) est non nul, alors Γ

admet en A(t) une tangente et celle-ci est dirigée par le premier vecteur dérivé successif qui soit

non nul.



Allure de la courbe au voisinage d’un point.

Soit p le plus petit entier ≥ 1 tel que : 𝒇(𝒑)(𝒕) ≠ 𝟎

Soit q le plus petit entier > p tel que : 𝒇 𝒑 𝒕 ; 𝒇 𝒑 𝒕 soit libre

Points réguliers de l’arc paramétré 𝜸.

Ici : 𝛾 𝑡 = 𝑥 = 𝑥 𝑡 = 3𝑡² − 1

𝑦 = 𝑦 𝑡 = 𝑡3 − 3𝑡 donc 𝛾′ 𝑡 =

𝑥′ 𝑡 = 6𝑡

𝑦′ 𝑡 = 3𝑡2 − 3

𝛾′ 𝑡 = 0 ⟺ 𝑥′ 𝑡 = 6𝑡 = 0

𝑦′ 𝑡 = 3𝑡2 − 3 = 0

ce qui est impossible car si 𝑥′ 𝑡 = 0, alors 𝑡 = 0 or 𝑦’ 0 = −3 ≠ 0

De ce fait l’arc paramétré 𝜸 est régulier car tous ces points sont réguliers.

Points biréguliers de l’arc paramétré 𝜸.

𝛾′ 𝑡 = 𝑥′ 𝑡 = 6𝑡

𝑦′ 𝑡 = 3𝑡2 − 3 donc 𝛾′′ 𝑡 =

𝑥′ ′ 𝑡 = 6

𝑦′ ′ 𝑡 = 6𝑡

Alors : 𝑥′ 𝑡 × 𝑦′′ 𝑡 − 𝑦′ 𝑡 × 𝑥′′ 𝑡 = 36𝑡² − 18𝑡² + 18 = 0

implique : 18𝑡² + 18 = 18 𝑡2 + 1 = 0.

Donc 𝑥′ 𝑡 × 𝑦′′ 𝑡 − 𝑦′ 𝑡 × 𝑥′′ 𝑡 ≠ 0 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑡𝑜𝑢𝑡 𝑟é𝑒𝑙 𝑡

De ce fait l’arc paramétré 𝜸 est birégulier car tous ces points sont biréguliers.



1°) 𝑓 𝑡 = cos3 𝑡sin3 𝑡

= 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

𝑓 −𝑡 est 2π-périodique, étude sur [-π ;π]

Symétries.

o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)

−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox , on réduit l’étude à 0 ;π .

o 𝑓 π − 𝑡 = −𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

donc Γ présente une symétrie / Oy), on réduit l’étude à [𝟎 ;𝝅

𝟐].

Remarque on pouvait encore réduire l’intervalle d’étude mais bon …

Variations.

𝑓′ 𝑡 = −3 sin t cos2 𝑡3 cos t sin2 𝑡

et tableau de variations aisé.

t 0 𝝅

𝟐

𝑥’(𝑡) 0 - 0

𝑥 1

0

𝑦 0

1

𝑦’(𝑡) 0 + 0

Points non réguliers.

Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 𝑜𝑢 𝝅

𝟐 , ce sont les deux seuls points non réguliers.



Etude aux points caractéristiques.

o Pour t=0 : En 𝑴(𝟎) = 𝑨(𝟏 ; 𝟎)

A=M(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0

On calcule : 𝑓′′ 0 = −30

, dirige la tangente en A.

𝑓′′′ 0 = 06 et 𝒇 𝟐 𝒕 ; 𝒇 𝟑 𝒕 est libre

donc p=2 et q=3, Γ présente en A un point de rebroussement de 1ère espèce.

o Pour 𝒕 =𝝅

𝟐 : En 𝑴(

𝝅

𝟐) = 𝑩(𝟎 ; 𝟏)

𝐵 = 𝑀 𝝅

𝟐 est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0

On calcule : 𝑓′′ 𝝅

𝟐

=

0−3

, dirige la tangente en B.

𝑓′′′ 𝝅

𝟐

=

−60

et 𝒇 𝟐 𝒕 ; 𝒇 𝟑 𝒕 est libre

donc p=2 et q=3, Γ présente en B un point de rebroussement de 1ère espèce.



2°) 𝑓 𝑡 = ch 𝑡 =

𝑒𝑥 +𝑒−𝑥

2

sh 𝑡 =𝑒𝑥−𝑒−𝑥

2


définie sur ℝ

Symétries.

o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)

−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox), on réduit l’étude à 0 ;+∞ .

Variations.

𝑓′ 𝑡 = 𝑠𝑕 𝑡𝑐𝑕 𝑡


t 0 +∞ 𝑥’(𝑡) 0 + 0

𝑥 1

+∞ 0

𝑦 0

+∞

𝑦’(𝑡) 1 +

Points non réguliers :

Il n’y a pas de points non réguliers car 𝑓′ 𝑡 ≠ 0 pour tous les t. En effet, si 𝑥′ 𝑡 ≠ 0 ∀ 𝑡 ∈ ℝ


o Pour t=0 : En 𝑴(𝟎) = 𝑨(𝟏 ; 𝟎)

𝐴 = 𝑀(0) , 𝑓′ 0 = 01 ≠ 0 qui dirige la tangente en A.

Branches infinies.

o Γ présente une branche infinie en +∞ car lim𝑡→+∞ 𝑓(𝑡) = +∞.

o lim+∞ 𝑥 𝑡 = +∞ = lim+∞ 𝑦(𝑡) donc on étudie le rapport 𝑦/𝑥

o lim𝑡→+∞

𝑦(𝑡)

𝑥 𝑡 = 1

lim𝑡→+∞ 𝑦 𝑡 − 1 × 𝑥 𝑡 = 0

,

alors Γ admet une pour asymptote la droite d’équation 𝒚 = 𝟏𝒙 + 𝟎 = 𝒙.



3°) 𝑓 𝑡 =

𝑡²

1+𝑡²

𝑡3

1+𝑡²


définie sur ℝ

Symétries.

o 𝑓 −𝑡 = 𝑥(𝑡)

−𝑦(𝑡) donc Γ présente une symétrie / Ox , on réduit l’étude à 0 ;+∞ .

Variations. : 𝑓′ 𝑡 =

2𝑡

1+𝑡² ²

𝑡²(3+𝑡2)

1+𝑡² ²


t 0 +∞

𝑥’(𝑡) 0 + 0

𝑥 0

1 0

𝑦 0

+∞

𝑦’(𝑡) 0 +


Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 , 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est le seul point non régulier.


o Pour t=0, 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0

On calcule : 𝑓′′ 0 = 20 , dirige la tangente en A.

𝑓′′′ 0 = 06 et 𝒇 𝟐 𝒕 ; 𝒇 𝟑 𝒕 est libre


Branches infinies.


o lim𝑡→𝑎 𝑦(𝑡) = +∞

lim𝑡→𝑎 𝑥 𝑡 = 1 ,

alors Γ admet pour asymptote la droite d’équation 𝒙 = 𝟏.



4°) 𝑓 𝑡 = 𝑡² + 𝑡4

𝑡² − 𝑡3 = 𝑥(𝑡)𝑦(𝑡)

définie sur ℝ

Aucune Symétrie.

Variations. : 𝑓′ 𝑡 = 2𝑡(2𝑡2 + 1)𝑡(2 − 3𝑡)


t -∞ 0 2/3 +∞ 𝑥’(𝑡) - 0 + 68/27 + 0

𝑥 +∞ 0

52/81

+∞ 0

𝑦 +∞ 4/27

-∞

𝑦’(𝑡) - 0 + 0 -


Sur l’intervalle d’étude, 𝑓′ 𝑡 = 0 ssi 𝑡 = 0 , 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est le seul point non régulier.


o Pour t=0, 𝐴(0; 0) = 𝑀(0) est un point non régulier car 𝑓′ 0 = 0

On calcule : 𝑓′′ 0 = 22 , dirige la tangente en A.

𝑓′′′ 0 = 0

−6 et 𝒇 𝟐 𝒕 ; 𝒇 𝟑 𝒕 est libre


o Pour t=2/3 : En 𝑴 𝟐

𝟑 = 𝑩

𝟓𝟐

𝟖𝟏 ;

𝟒

𝟐𝟕

𝐵 = 𝑴 𝟐

𝟑 est un point régulier car 𝑓′

𝟐

𝟑

=

68

27

0 ≠ 0 qui dirige la tangente en B.

Branches infinies.


o lim𝑡→±∞𝑦(𝑡)

𝑥 𝑡 = 0 ,

alors Γ admet une branche parabolique de direction asymptotique (Ox).



Intersection de la courbe avec l’axe (Ox).

𝑦 𝑡 = 0 𝑠𝑠𝑖 𝑡 = 0 𝑜𝑢 1 et 𝑥 0 = 0, 𝑥 1 = 2

Donc les points d’intersection de la courbe avec l’axe (Ox) sont les points : 𝑀 0 = 𝐴(0; 0)

𝑀 1 = 𝐶(2; 0)

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