Technische Mechanik - Fakultät für Maschinenbau ... · 6 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Schwerpunkte −→r S = 1 m Xn i=1 mi −→r i (Schwerpunkt

Technische Mechanik

Formelsammlung

Vektor- und Tensorrechnung / Indizierte Tensornotation

Orthonormalbasis ~ex, ~ey, ~ez bzw. ~e1, ~e2, ~e3 / ~ei

~ex ~ey, ~ex ~ez, ~ey ~ez / ~ei ~ej fur i 6= j (Orthogonalitat)

~ex = ~ey = ~ez = 1 / ~ei = 1 fur i = 1, 2, 3 (Normiertheit)

Vektordarstellungen

u , v , w , . . . (symbolische Schreibweise)

v =

{vx ~ex + vy ~ey + vz ~ezv1 ~e1 + v2 ~e2 + v3 ~e3 = vi ~ei

(Komponentenschreibweise)

v =

vx

vy

vz

(Spaltenschreibweise)

ui, vj , wk (Indexschreibweise)

Linearkombination von n Vektoren

c1v1 + c2

v2 + . . . + cnvn mit c1, . . . , cn R

Skalarprodukt ~ei ~ej = ij

v w :=v

w

cos

[v,w

]

= vx wx + vy wy + vz wz = vj wj

Das Skalarprodukt ist kommutativ: v w = w v .

Kreuzprodukt ~ei ~ej = ijk ~ek

v w = (vy wz vz wy)~ex + (vz wx vx wz)~ey + (vx wy vy wx)~ez

= vi wj ijk ~ek

vx

vy

vz

wx

wy

wz

=

vy wz vz wy

vz wx vx wz

vx wy vy wx

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ: v w = w v .

2 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher

Mehrfaches Kreuzprodukt

u (v w) = un vi wj ijk nkm ~em

= uj vi wj ~ei ui vi wj ~ej

= (u w)v (u v )w

Spatprodukt (~ei ~ej ~ek) = ijk

(u v w ) := (u v ) w =

ux uy uzvx vy vzwx wy wz

=

ux vx wxuy vy wyuz vz wz

= ux vy wz + uy vz wx + uz vx wy ux vz wy uy vx wz uz vy wx

= ui vj wk ijk

Das Spatprodukt ist alternierend:

(u v w ) =

{

(v w u ) = (w u v ) (zyklisch)

(u w v ) = (v u w ) = (w v u ) (antizyklisch)

Kronecker-Kronecker-Kronecker- und Levi-CivitaLevi-CivitaLevi-Civita-Symbol

ij :=

{

1 fur i = j

0 fur i 6= jvgl. Einheitsmatrix E (Kronecker)

ijk :=

1 fur i j k zyklisch = 1 2 3

1 fur i j k zyklisch = 1 3 2

0 sonst

(Levi-Civita)

ijk nkm = ijk mnk = im jn in jm (Entwicklungssatz)

EuklidEuklidEuklidische Vektornorm (Vektorbetrag)

v

=

v2x + v2y + v

2z =

v2j ( j ist gebundener Index!)

Normaxiomev

> 0

v

= 0 v = ~0

}

(Nichtnegativitat)

c v

= | c |

v

(Homogenitat)

v + w

6

v

+

w

(Dreiecksungleichung)

Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher 3

Tensorbasis (der N -ten Stufe)

~ei1 ~ei2 . . . ~eiN oder kurzer ~ei1 ~ei2 . . . ~eiN

Darstellung von Tensoren der Stufe N > 1

a ,B(2),

C(3),

T (N), . . . (symbolische Schreibweise)

a = ai ~eiB(2) = Bij ~ei ~ejC(3) = Cijk ~ei ~ej ~ekT (N) = Ti1i2...iN ~ei1 ~ei2 . . . ~eiN

(Komponentenschreibweise)

a =

a1

.

.

.

an

, B =

B11 . . . B1n

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Bn1 . . . B(nn)

(Spalten-/Matrixschreibweise)

ai , Bij , Cijk , . . . , Ti1i2...iN (Indexschreibweise)

Tensorielles ProduktV(N)

W(M) =

U(N+M) (allgemein)

v w =U(2) (Dyadisches Produkt)

Verjungendes Produkt (Beispiele)

v

1. Stufe

w

1. Stufe

= (vi ~ei) (wj ~ej) ( = 1)

= vi wj ~ei ~ej

= vi wj ~ei ij

= vi wi

0. Stufe

B(2)

2. Stufe

a

1. Stufe

= (Bij ~ei ~ej) (ak ~ek) ( = 1)

= Bij ak ~ei ~ej ~ek

= Bij ak ~ei jk

= Bij aj ~ei

1. Stufe

Schema () ()T (4)

4. Stufe

B(2)

2. Stufe

= (Tijk ~ei ~ej ~ek ~e) (Bmn ~em ~en) ( = 2)

= Tijk Bmn ~ei ~ej ~ek ~e ~em ~en

= Tijk Bmn m ~ei ~ej ~ek ~en

= Tijk Bn ~ei ~ej kn

= Tijk Bk ~ei ~ej

2. Stufe

.


Schema () : ()

T (4)

4. Stufe

:B(2)

2. Stufe

= (Tijk ~ei ~ej ~ek ~e) : (Bmn ~em ~en) ( = 2)

= Tijk Bmn ~ei ~ej ~ek ~e : ~em ~en

= Tijk Bmn km ~ei ~ej ~e ~en

= Tijk Bkn ~ei ~ej n

= Tijk Bk ~ei ~ej

2. Stufe

.

U(N)

()

V(M) =

W(N+M2) mit { N | 6 (N + M)/2 }

Uberschiebung (Beispiele)

vi wi = c

Bij vj = ui

Tijk Bk = Wij bzw. Tijk Bk = Wij

Transformationen

v = A v / vi = aij vj

v = A v / vj = ajk v

k

}

(Koordinatentransformation)

A = A1 bzw. A A = A A = E / aij ajk = ik (allgemein)

A = AT , det A = det A = 1 / aji = aij (orthogonal)

~ei = aij ~ej

~ej = ajk ~e

k

}

(Basistransformation)

Statik der Starrkorper

Zusammenfassung von Kraften/Momenten zuResultierenden

R [A] =

i

Fi [A] (Resultierende Kraft im Punkt A)

MR [A] =

i

Mi [A] (Resultierendes Moment bezugl. Punkt A)

Mi [A] =

(ri rA

)Fi (Moment der Kraft

Fi bezugl. Punkt A)

Der Ortsvektor ri beschreibt den Angriffspunkt der KraftFi. Der Bezugspunkt

A ist frei wahlbar! Er ist nur bedeutsam fur die Momentenwirkung von Kraften.


Kraftegleichgewicht(KG)R =

0 (vektoriell)

i

Fx,i = 0 ,

i

Fy,i = 0 ,

i

Fz,i = 0 (komponentenweise)

Momentengleichgewicht(MG) um beliebigen BezugspunktMR =

0 (vektoriell)

i

Mx,i = 0 ,

i

My,i = 0 ,

i

Mz,i = 0 (komponentenweise)

Statische Bestimmtheit

Notwendige Bedingung fur ebene/raumliche KorpersystemeE2 : t + r 3 pE3 : t + r 6 p } = k > 0 k-fach statisch unbestimmt= 0 statisch bestimmt< 0 |k|-fach kinematisch verschieblich

mit

t = Anzahl der Lagerreaktionen

r = Anzahl der Zwischenreaktionen (an den Verbindungsstellen)

p = Anzahl der Teilkorper

Notwendige Bedingung fur ebene/raumliche FachwerkeE2 : t + s 2 gE3 : t + s 3 g } = k > 0 k-fach statisch unbestimmt= 0 statisch bestimmt< 0 |k|-fach kinematisch verschieblich

mit

t = Anzahl der Lagerreaktionen

s = Anzahl der Stabe

g = Anzahl der Gelenke

Notwendig und hinreichend fur statische Bestimmtheit ist, da das (inhomogene)lineare Gleichungssystem

A x = b

eine eindeutige Losung x besitzt. Das ist ingenieurmaig gesehen der Fall, wenndie Koeffizientenmatrix A quadratisch und regular (detA 6= 0) ist. (Allgemein istRg (A|b) = Rg (A) zu fordern!)


Schwerpunkte

rS =1

m

n

i=1

miri (Schwerpunkt aus n Massenpunkten mi)

rS =1

m

K

r dm0=

1

V

V

r dV (Korperschwerpunkt)

rS =1

A

A

r dA (Flachenschwerpunkt)

Die Relation0= bedeutet Gleichheit unter Voraussetzung homogenen Materials mit

(x, y, z) 0 = const.

Haftung (auch: Haftreibung)

R0 6 0 N (Haftungsbedingung)

R0,max = 0 N (Grenzfall)

tan 6 0 (Reib-Kegel)

S2 6 S1 e0 fur S2 > S1 (Seilhaftung am Zylinder)

Haftkrafte sind Reaktionskrafte!

Reibung (auch: Gleitreibung)

R = N

v

v = N (~ev) (vektoriell)

R = N mit < 0 (betragsweise)

S2 = S1 e0 fur S2 > S1 (Seilreibung am Zylinder)

Reibkrafte sind eingepragte Krafte!

Der Umschlingungswinkel ist grundsatzlich im Bogenma einzusetzen und kannauch > 2 (Mehrfachumschlingung) sein!

Vorzeichenregel fur Schnittgroen

Am positiven (negativen) Schnittufer sind die Schnittgroen in positiver (ne-gativer) Richtung anzutragen!


Elastostatik

Spannungszustand

(2) = ij ~ei ~ej (Spannungstensor)

=

x xy xz

yx y yz

zx zy z

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(Spannungsmatrix)

Gleichgewichtsbedingungen

(2) +f =

0 (KG)

xx

+yxy

+zxz

+ fx = 0

xyx

+yy

+zyz

+ fy = 0

xzx

+yzy

+zz

+ fz = 0

jixj

+ fi = 0 oder ji,j + fi = 0

= T / ij = ji (MG)

CauchyCauchyCauchysche Spannungsgleichung

(2) n =t / ij nj = ti

n = t oder ausgeschrieben

x xy xz

yx y yz

zx zy z

nx

ny

nz

=

tx

ty

tz

Hauptspannungen

~ejHA ~ek

+ so, da (2) = 1 ~e1+~e1

+ + 2 ~e2+~e2

+ + 3 ~e3+~e3

+ (Hauptachsen-transformation)

+ =

I 0 0

0 II 0

0 0 III

=

1 0 0

0 2 0

0 0 3

(Hauptspannungsmatrix)


( E

)n = 0 / (ij ij) nj = 0 (Ansatz)

det( E

)= 0 / det (ij ij ) = 0

3 I1 2 + I2 I3 = 0

}

(Charakteristische Gl.)

I1 := x + y + z = sp = ii

I2 := xy + yz + xz 2xy

2yz

2xz

= 12 (ii jj ij ij)

I3 := det = det (ij)

(Invarianten)

I, II, III / 1, 2, 3 (Eigenwerte = Hauptspannungen)

(

E

)n

= 0 / (ij (k) ij)n(k)j = 0 = I, II, III

n =

n2x

+ n2y

+ n2z

= 1/

nk =

n 2(k)j = 1

nI,n

II,n

III/ nk = nkj ~ej = ~ek

+ (Eigenvektoren = Basisvektorender Hauptachsen)

Mohrscher Spannungskreis fur den ebenen Spannungszustand

(x y

2

)2

+ 2xy

R2

=

(

x + y

2

)2

X 2

+ 2

Y2

(Kreisgleichung)


() = x cos2 + 2 xy cos sin + y sin

2

() = (y x) cos sin + xy(cos2 sin2

)

}

(Parameter-darstellung)

Verzerrungszustand

u = u~ex + v~ey + w~ez = ui ~ei (Verschiebungsvektor)

:=(L0 + L) L0

L0=

L

L0(eindimensionale Dehnung)

x =u

x

y =v

y

z =w

z

(Dehnungen)

xy = yx =u

y+

v

x

yz = zy =v

z+

w

y

xz = zx =u

z+

w

x

(Scherungen oder Gleitungen)

(2) = ij ~ei ~ej (Verzerrungstensor)

=

x12xy

12xz

12yx y

12yz

12zx

12zy z

=

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(Verzerrungsmatrix)

ij =1

2

(uixj

+ujxi

)

und speziell ij =1

2ij fur i 6= j

= T / ij = ji (Symmetrie)

Elastizitat

= E (Hookesches Gesetz)


(2) =E (4) : (2) / ij = Eijk k (allg. Elastizitatsgesetz)

ij = kk ij + 2 ij (verallgemeinertes Hookesches Gesetz)

= E

(1 + ) (1 2), = G =

E

2 (1 + )(Lamesche Konstanten)

x,y,z =1 +

Ex,y,z

EI1

yx =1

Gxy

yz =1

Gyz

xz =1

Gxz

ij =1 +

Eij

Ekk ij

Festigkeitshypothesen

V = max[ I II

,

II III

,

I III

]

(Tresca)

2 2V =(I II

)2+

(II III

)2+

(I III

)2(Huber v. Mises)

V =

2x + 2y +

2z x y y z x z + 3(

2xy +

2yz +

2xz)

=

I21 3 I2

=

32 ij ij

12 ii jj

V = max[I , II , III

](Normalspannungshypothese)

Zusammenhang zwischen Spannungen und Schnittgroen

N(x) =

A

x dA =

A

x(x, y, z) dy dz (Normalkraft)

Qy(x) =

A

xy dA =

A

xy(x, y, z) dy dz (Querkraft in y-Richtung)

Qz (x) =

A

xz dA =

A

xz(x, y, z) dy dz (Querkraft in z-Richtung)


MBy(x) =

A

x z dA =

A

x(x, y, z) z dy dz(Biegemoment um

die y-Achse)

MBz (x) =

A

x y dA =

A

x(x, y, z) y dy dz(Biegemoment um

die z-Achse)

MT(x) =

A

(xz y xy z) dA =

A

[xz(x, y, z) y xy(x, y, z) z

]dy dz

(Torsionsmoment um die x-Achse)

Axialdehnung gerader, prismatischer Stabe

=F

EA(Verlangerung/Verkurzung)

Kesselformeln

=d

2sp (Tangentialspannung)

z =d

4sp (Axialspannung)

Flachentragheitsmomente

Iy =

A

z2 dA (Axiales Flachentragheitsmoment um die y-Achse)

Iz =

A

y2 dA (Axiales Flachentragheitsmoment um die z-Achse)

Iyz =

A

y z dA (Deviationsmoment)

I0 =

A

r2 dA = Iz + Iy (Polares Flachentragheitsmoment)

(Ebene) BernoulliBernoulliBernoullische Balkenbiegung

EIy w = M(x) mit w :=

d2w

dx 2(DGl der Biegelinie)


w(x) = M(x)

EIy

w(x) = 1

EIy

M(x) dx + c (Tangentenverlauf)

w(x) = 1

EIy

[

M(x) dx

]

dx + c x + c (Biegelinie)

w(x = x) = 0 (RB 1. Art fur die Lagerstelle x = x)

w(x = x) = 0 (RB 2. Art fur die Lagerstelle x = x)

wlinks(x = x) = wrechts(x = x)

wlinks(x = x) = wrechts(x = x)

(UBen an der Bereichsgrenze x = x)

x(x, z) =M(x)

Iyz (Normalspannungsverlauf)

z(x, y) 0 (neutrale Faser mit x(x, y, z) 0)

|x|max =|M(x)|max

Iy|z|max =

|M(x)|maxWy

(max. Normalspannung)

(Raumliche) BernoulliBernoulliBernoullische Balkenbiegung,Schiefe Biegung

E [ Iy w Iyz v

] = MBy(x)

E [Iyz w + Iz v

] = MBz(x)(DGlen der raumlichen Biegelinie)

mit w :=d2w

dx 2, v :=

d2v

dx 2

E w = 1[MBy(x) Iz + MBz(x) Iyz

]

E v = 1[MBy(x) Iyz + MBz(x) Iy

] (entkoppeltes DGl-System)

mit := Iy Iz I2yz = II III

x(x, y, z) =1

[ (MBy(x) Iz MBz(x) Iyz

)z +

(MBy(x) Iyz MBz(x) Iy

)y

]

(Normalspannungsverlauf)

z(x, y) =MBz(x) Iy MBy(x) IyzMBy(x) Iz MBz(x) Iyz

y (neutrale Faser mit x(x, y, z) 0)


|x|max liegt in dem Punkt (des Querschnitts mit |MBy(x)|max) vor, welcher amweitesten von neutralen Faser entfernt ist!

Bereichseinteilung und RB/UBen sind analog zum ebenen Fall zu formulieren!

EulerEulerEulersche Knickfalle

EulerEulerEuler-Fall 1 2 3 4

Sta

bla

nge

(i

mungeknic

kte

nZust

and)

Fkrit =2 EI

422 EI

220,19

EI

242 EI

2

Torsion einer Welle mit Kreis(ring)querschnitt

GI0 = MT(x) mit

:=d

dx(DGl des Torsionsverlaufs)

(x) =MT(x)

GI0

(x) =1

GI0

MT(x) dx + c (Torsionsverlauf)

(x = x) = 0 (RB fur die Lagerstelle x = x)

links(x = x) = rechts(x = x) (UB an der Bereichsgrenze x = x)

(x, r) =MT(x)

I0r (Schubspannungsverlauf)


max =|MT(x)|max

I0

d

2=

|MT(x)|maxWT

(max. Schubspannung)

Dynamik

Bahnkurve

r = r (t) = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez = xi(t)~ei (kartesisch)

s = s(t) (Bahnkoordinate)

|ds | = dr =

x2j (t) dt (Bogenelement)

Geschwindigkeit

v (t) =dr

d t=

dx

dt~ex +

dy

dt~ey +

dz

dt~ez =

dxidt

~ei

x ~ex + y ~ey + z ~ez = xi ~ei

vx ~ex + vy ~ey + vz ~ez = vi ~ei

(kartesisch)

v (t) = v(t) ~et(s(t)

), v(t) =

dr

dt|v | = v =

x2j(t)(Bahn-kurve)

Beschleunigung

a (t) =

dv

dt=

dvxdt

~ex +dvydt

~ey +dvzdt

~ez =dvidt

~ei

= vx ~ex + vy ~ey + vz ~ez = vi ~ei

ax ~ex + ay ~ey + az ~ez = ai ~ei

d2r

dt2=

d2x

dt2~ex +

d2y

dt2~ey +

d2z

dt2~ez =

d2xidt2

~ei

= x ~ex + y ~ey + z ~ez = xi ~ei

(kartesisch)

a (t) =d

dt

[

v(t) ~et(s(t)

) ]

=dv

dt~et +

v2

R~en (Bahnkurve)

at =dv

dt(Tangential- oder Bahnbeschleunigung)

an =v2

R(Normal- oder Zentripetalbeschleunigung)


Begleitendes Dreibein

~et =dr

ds(Tangenteneinheitsvektor)

~en = Rd~etds

= Rd2r

ds 2=

d2s /ds2

d2s /ds2(Hauptnormalenvektor)

~eb = ~et ~en (Binormalenvektor)

Es zeigt ~et in Richtung wachsender s -Werte, wahrend ~en auf den Krummungs-mittelpunkt gerichtet ist. Die Orientierung von ~eb ergibt sich aus Forderung nacheinem Rechtssystem.

Winkelgeschwindigkeit

(t) =

dxdt

~ex +dydt

~ey +dzdt

~ez =didt

~ei

x ~ex + y ~ey + z ~ez = i ~ei

x ~ex + y ~ey + z ~ez = i ~ei

(kartesisch)

(t) = (t) ~eD , (t) =

d

dt(Rotation um feste Drehachse(=D))

Geschwindigkeit bei Rotation um festen Punkt

v = r (vektoriell)

v = r (Bahngeschwindigkeit bei Rotation um feste Drehachse)

~ex = ~ex

~ey = ~ey

~ez = ~ez

~ei = ~ei (rotierende Vektorbasis)

Relativkinematik

r = r0 +r

xi(t) ~ei = x0

j(t) ~ej + xk(t) ~e

k(t)

(Ort)

v = r0 + r + v

xi ~ei = x0

j ~ej + xk ~e

k + x

k ~e

k

(Geschwindigkeit)


a = r0 + r +

( r

)+ 2 v + a

xi ~ei = x0

j ~ej + xk ~e

k +

( xk ~e

k

)+ 2 xk ~e

k + x

k ~e

k

(Beschleunigung)

mit

Absolut-

Ort r (t) = xi(t) ~ei

Geschwindigkeit v (t) = vi(t) ~ei = xi ~ei

Beschleunigung a (t) = ai(t) ~ei = xi ~ei

Relativ-

Ort r (t) = xk(t) ~ek(t)

Geschwindigkeit v(t) = vk(t) ~ek(t) = x

k ~e

k(t)

Beschleunigung a(t) = ak(t) ~ek(t) = x

k ~e

k(t)

Fuhrungsgeschwindigkeit r0 + r = x0j ~ej +

xk ~e

k

Fuhrungsbeschleunigung r0 + r +

( r

)=

= x0j ~ej + xk ~e

k +

( xk ~e

k

)

Coriolis-Beschleunigung 2 v = 2 xk ~ek

Korperfeste Ableitung

d

dtr (t) =

d

dt

[

xk(t) ~ek(t)

]

=d

dt

[xk(t)

]~ek = x

k ~e

k =

v(t)

d

dtv (t) =

d

dt

[

xk(t) ~ek(t)

]

=d

dt

[xk(t)

]~ek = x

k ~e

k =

a(t)

Bei dieser Operation wird also die Zeitabhangigkeit der Relativbasis ~ek(t) de-finitionsgema ignoriert, so wie es der Sichtweise des mitbewegten Beobachtersentspricht!

NewtonNewtonNewtonsches Grundgesetz (im Inertialsystem)

i

Fi =

dI

dt=

d

dt

[mv

](allgemein)

i

Fi = m

dv

dt= ma (Standardfall fur m(t) const)

i

Fx,i = m x ,

i

Fy,i = m y ,

i

Fz,i = m z (komponentenweise)


i

Ft,i = m at = mdv

dt,

i

Fn,i = m an = mv2

R(Bahnkurve)

NewtonNewtonNewtonsches Grundgesetz im Relativsystem

i

Fi +

Ftr +

Frot +

FZ +

FC

Scheinkrafte

= m a

Ftr = m r0 (translat. Tragheitskraft)

Frot = m r (rot. Tragheitskraft)

FZ = m

( r

)(Zentrifugalkraft)

(Fuhrungskraft)

FC = 2 m v (Coriolis-Kraft)

Gedampftes Feder-Masse-System mit harmonischer Kraftanregung

x + 2 D x + 20 x =F0m

sin [ t ] (lineare Bewegungs-DGl)

xh + 2 D xh + 20 xh = 0 (zugehorige homogene DGl)

xh(t) = et (Ansatz)

2 + 2 D + 20 = 0 (Charakteristische Gleichung)

1,2 = D

D2 20 (Eigenwerte der homogenen DGl)

x1(t) = e1t , x2(t) = e

2t (Basislosungen der homogen. DGl)

xh(t) = c1 x1(t) + c2 x2(t) (Homogene Losung)

a) Zwei reelle Eigenwerte 1 6= 2 D2 > 20

1,2 = D

D2 20 Rxh(t) = c1 e

1t + c2 e2t


b) Ein (doppelter) reeller Eigenwert 1 = 2 D2 = 20

1,2 = D Rxh(t) = c1 e

1t + c2 t e2t = ( c1 + c2 t ) e

Dt

c) Konjugiert komplexe Eigenwerte D2 < 20

1,2 = D j1 C mit 1 := 20 D2xh(t) = c

1 exp

[(D + j1) t

]+ c2 exp

[(D j1) t

]

= eD t(c1 e

j 1t + c2 ej 1t

)

= eD t( (

c1 + c2

)cos [1 t ] + j

(c1 c

2

)sin [1 t ]

)

= eD t(

c1 cos [1 t ] + c2 sin [1 t ])

xp(t) = A sin [ t ] + B cos [ t ]

(

Faustregelansatz furF0m

sin [ t ]

)

x(t) = eD t(

c1 cos [1 t ] + c2 sin [1 t ])

= xh(t)D2 < 20

+ H sin [ t ]

= xp(t)

H :=F0

m

(2D)2 + (20 2)2

= arccos

[

20 2

(2D)2 + (20 2)2

]

Sonderfall: Keine Anregung (F0 = 0)

H = 0 , xp(t) 0

x(t) xh(t) = eD t

(c1 cos [1 t ] + c2 sin [1 t ]

) (abklingendeSchwingung)

Sonderfall: Keine Dampfung (D = 0)

1 = 0 , xh(t) = c1 cos [0 t ] + c2 sin [0 t ]


H =F0

m20

2

, =

{

0 fur < 0

fur > 0

Achtung! H fur 0 (Resonanzfall)

x(t) = c1 cos [0 t ] + c2 sin [0 t ] + H sin [ t ]

Sonderfall: Keine Anregung und keine Dampfung

x(t) xh(t) = c1 cos [0 t ] + c2 sin [0 t ]

= A cos [0 t ]

(ungedampfteDauerschwingung)

Hauptsatze der Korperdynamik

F =

dI

dt(Impulssatz)

I :=

K

v dm = mvS (Impuls)

F = m

dvSdt

(Schwerpunktsatz)

M [ 0 ] =

r0 F =

dL0dt

(Impulsmomentensatz bezugl.raumfestem (Lager-)Punkt 0)

L0 :=

K

r0m v0m dm

(Impulsmoment bezugl.raumfestem (Lager-)Punkt 0)

M [ S ] =

rS F =

dLSdt

(Impulsmomentensatz bezugl.(bewegtem) Schwerpunkt S)

LS :=

K

rSm vSm dm

(Impulsmoment bezugl.(bewegtem) Schwerpunkt S)

L0 =

LS + m

r0S v0S

(Zusammenhang zwischenden Impulsmomenten)


Einachsige Rotation (x3-Achse sei Drehachse(=D))

= ~e3 = ~e3

L0 = J13 ~e1 + J23 ~e2 + JD ~e3

i M,1[ 0 ] = J13 J23 2

i M,2[ 0 ] = J23 + J13 2

i M,3[ 0 ] =

M [ D ] = JD

JD = J33 :=

K

(x21 + x

22

)dm =

K

r2 dm (Massentragheitsmoment)

Hier ist r der (Orthogonal-)Abstand von dm zur Drehachse!

J13 :=

K

x1 x3 dm

J23 :=

K

x2 x3 dm

(Deviationsmomente)

Haufiger Sonderfall: Rotor ist dynamisch ausgewuchtet (J13 = J23 = 0)

L0 = JD

M,1[ 0 ] = 0 ,

M,2[ 0 ] = 0 ,

M [ D ] = JD

J0 = JS + m s2 (Satz von Steiner)

Das Massentragheitsmoment JS ist immer das kleinstmogliche!

Mehrachsige Rotation (allgemeiner Fall)

Es gelten gleichermaen fur den raumfesten (Lager-)Punkt 0 mit

L0,

J(2)0 / L0i, J

0ij

sowie fur den (bewegten) Schwerpunkt S mit

LS,

J(2)S / LSi, J

Sij

(unter Fortlassung der Indizes 0 bzw. S) die folgenden Gleichungen:


= 1 ~e1 + 2 ~e2 + 3 ~e3 = j ~ej

L = Li ~ei (Impulsmomentenvektor)

J(2) = Jij ~ei ~ej (Tragheitstensor)

Jij :=

K

(x2k ij xi xj) dm =

K

(r2 ij xi xj) dm(Massenmomente

2. Ordnung)

Hier ist r mit

x2k = x21 + x

22 + x

23 =: r

2 =

{r0m

2

rSm2

der Abstand von dm zum Punkt 0 bzw. S. Im einzelnen sind:

J11 =

K

(x22 + x

23

)dm

J22 =

K

(x21 + x

23

)dm

J33 =

K

(x21 + x

22

)dm

(Massentragheitsmomente)

J12 = J21 =

K

x1 x2 dm

J13 = J31 =

K

x1 x3 dm

J23 = J32 =

K

x2 x3 dm

(Deviationsmomente)

J =

J11 J12 J13

J21 J22 J23

J31 J32 J33

(Tragheitsmatrix)

L =

J(2) / Li = Jij j

L = J oder ausgeschrieben

L1

L2

L3

=

J11 J12 J13

J21 J22 J23

J31 J32 J33

1

2

3


M [ 0/S ] =

d

dt

L 0/S +

L 0/S

M,i = Jij j + Jk n nki

(Impulsmomentensatz)

Sonderfall: Koordinatensystem x1, x2, x3 nur teilweise korperfest

= j ~ej (Rotation des Korpers (wie bisher))

= k ~ek (Rotation des Koordinatensystems (neu!))

M [ 0/S ] =

d

dt

L 0/S +

L 0/S

M,i = Jij j + Jk

k nki

(Impulsmomentensatz beiteilweise korperfestem

Koordinatensystem)

Mehrachsige Rotation um Haupttragheitsachsen

Da der Tragheitstensor reell besetzt und symmetrisch ist, hat dieser die gleichenmathematischen Eigenschaften wie der Spannungstensor. Es existiert daher stetsein (orthogonales) Hauptachsensystem mit

J(2) = J1 ~e1

+~e1+ + J2 ~e2

+~e2+ + J3 ~e3

+~e3+

J+ =

J1 0 0

0 J2 0

0 0 J3

.

(Tragheitsmatrix bei Rotationum Haupttragheitsachsen)

Dynamisches Auswuchten bedeutet, eine durch Lagerung erzwungene Dreh-achse gewissermaen

nachtraglich durch geeignete Massenmanipulation zu ei-

ner durch den Schwerpunkt verlaufenden Haupttragheitsachse zu machen. Diesesschliet statisches Auswuchten mit ein!

M,1 = J1 1 (J2 J3) 2 3

M,2 = J2 2 (J3 J1) 1 3

M,3 = J3 3 (J1 J2) 1 2

(Eulersche Gleichungen)


Arbeit und Leistung (Translation)

dW :=F dr

= F dr cos mit =

F, dr

= F cos |ds |

W12 =

~r2

~r1

F dr (Arbeit)

W12 =

t2

t1

F (t)

d~r

dtdt =

t2

t1

F v dt

W12 =

s2

s1

F (s)

d~r

dsds =

s2

s1

F ~et ds

(Kurvenpara-metrisierung)

P :=dW

dt=

F

d~r

dt=

F v (Leistung)

W12 =

t2

t1

P (t) dt

~r2

~r1

i

Fi

alle Krafte!

dr = Ekin2 Ekin1 (Arbeitssatz)

~r2

~r1

i

Fi

ohne Schwerkraft!

dr = Ekin2 Ekin1 + E

pot2 E

pot1 (Arbeitssatz)

Ekin :=m

2v2 (kinetische Energie)

Epot := m g z + Epot0 mit Epot0 = E

pot(z = 0) (potentielle Energie)

Hier ist z die der Schwerkraft entgegengerichtete Vertikalkoordinate!


Arbeit und Leistung (Einachsige Rotation)

dW := M d

W12 =

2

1

M d (Arbeit)

W12 =

t2

t1

M(t)d

dtdt =

t2

t1

M dt (Parametrisierung)

P :=dW

dt= M

d

dt= M (Leistung)

W12 =

t2

t1

P (t) dt

2

1

i

Mi[D] d = Ekin rot2 E

kin rot1 (Arbeitssatz)

Ekin rot :=JD2

2(kinetische Energie dereinachsigen Rotation)

Stovorgange

t = 0 (Zeitpunkt unmittelbar vor dem Sto)

t = (Zeitpunkt unmittelbar nach dem Sto)

lim0

0

F (t) dt und lim

0

0

M(t) dt sind endlich (Stoannahme)

S :=

0

F (t) dt (Stoantrieb)

R :=

0

M(t) dt (Drehantrieb)


i

Si =

I ()

I (0)

= m(vS()

vS(0))

(Impulssatz in Integralform)

i

Ri [ 0/S ] =

L 0/S()

L 0/S(0) (Impulsmomentensatz in Integralform)

i

Ri [ 0/S ] = J0/S(() (0)

)(dto., ebene Bewegung)

SK ,

SR (Stoantrieb in der Kompressions-/Restitutionsphase)

:=SR

SK

=SRSK

= v2n() v1n()

v2n(0) v1n(0) [0, 1] (Stoziffer)

= 0 (vollkommen unelastisch)

] 0, 1[ (teilweise elastisch)

= 1 (vollkommen elastisch)

E1() + E2() = E1(0) + E2(0)(Erhaltung der kinetischen Energiebeim vollkommen elastischen Sto)

v1() =v2() , 1() = 2()

(Kleben beim vollkom-men unelastischen Sto)

Version: 2.1 (02/2008)

Hauptsatze der Korperdynamik

Bewegung Ursache Tragheit Bewegungsgroe Satz Spezialfalle

result. Kraft Impuls Impulssatz Schwerpunktsatz

Translation

F m

I = mv

F =

dI

dtm const

F = m

dv

dt

result. Moment Impulsmoment Impulsmomentensatz Impulsmomentensatz

einachsige

Rotationum

Haupttragheitsachse D

M [D] JD LD = JD

M [D] =dLDd t

JD const

M [D] = JDd

dt

result. Moment Impulsmoment Impulsmomentensatz Indexschreibweise fur 0/S

mehrachsige

Rotationum 0/S

M [0/S]

J(2)

L0/S =

J(2)0/S

M [0/S] =

dL0/Sd t

M,i = Jij j + Jk k nki

0/S bedeutetraumfester Lagerpunkt 0 oder Schwerpunkt S

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Technische Mechanik - Fakultät für Maschinenbau ... · 6 Technische Mechanik (V 2.1) Prof. Dr.-Ing. F. Mestemacher Schwerpunkte −→r S = 1 m Xn i=1 mi −→r i (Schwerpunkt