Technische Mechanik für Wirtschaftsingenieure

Ulrich Gabbert, Ingo Raecke

ISBN 3-446-22807-1

Leseprobe

Weitere Informationen oder Bestellungen unter http://www.hanser.de/3-446-22807-1 sowie im Buchhandel

2.5

Torsion

173

2.5

Torsion

Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Spannungen und Verfor

mungen in

geraden Stäb

en infolge eines Torsionsmomentes

M

t

.

Bei einer Torsionsbeanspruchung werden die Stäbe um ihre Stabachse

z

verdreht.

Abhängig von der Querschnittsgeometrie kann es dabei auch Verformungen

(Verwölbung

en) in Richtun

g der Stabachse geben. Das folgende

Bild

2

.

60

zeigt drei

typische Fälle der Torsionsverformungen in Abhängigkeit von der Querschnitts

-

ge

o

metrie.

z

B

A

A

BMt

Mt

Kreis- und Kreisringquerschnitte:Querschnitte bleiben eben (Punkt Pvor und nach Verformung in der gleichen Ebene; keine Verwölbung)

Allgemeine offene und geschlossene Querschnitte:Querschnitte verwölben sich im Allgemeinen (Punkte Averschieben sich in z-Richtung; Punkte B entgegen der z-Richtung)

z

Mt

Mt

ϕϕ

P ••••

z

verformte (verwölbte)Profilmittellinie

A

B

Verwölbung verhindert

••••

Mt

••••

• •••

b)a) c)

Bild

2

.

60

a) Torsion e

ines Kreisquerschnitts, b) Torsion eines dünnwandigen offenen Querschnitts

c) Torsion eines Rechteckquerschnitts

Der Aufwand zur Berechnung der Spannungen und Verformungen infolge Torsion

s-

beanspruchung hängt wesentlich von der Querschnittsgeometrie des St

abes ab. Wir

beschränken uns nachfolgend auf den einfachsten Fall der in der Praxis häufig

vorkommenden Kreis

-

und Kreisringque

r

schnitte (z. B. Wellen, Achsen, Rohre).

2.5.1

Torsion von Stäben mit Kreis

-

und Kreisringquerschnitten

2.5.1.1

Annahmen und Voraussetzungen

In diesem Kapitel sollen folgende Annahmen und Voraussetzungen gelten:

•

Die Balkenachse (

z

-

Achse) ist gerade und die Querschnittsgeometrie unabhängig

von

z

.

174

2

Festigkeitslehre

•

Es liegt reine Torsionsbeanspruchung vor. Das To

rsionsmoment

M

t

ist konstant

und die Resultierende der in tangentialer Richtung verlaufenden Schubspannu

n-

gen τ

zϕ

= τ (

siehe auch

Bild

2

.

62

).

•

Die

Querschnittsform bleibt bei der Torsion erhalten.

•

Die Querschnitte verdrehen sich wie starre Scheiben gegeneinander und bleiben

eben.

•

Die Torsionsverformung wird durch den Verdrehwinkel

ϕ

beschrieben, der im

gleichen Drehsinn wie das

Torsionsmoment

M

t

am positiven Schnittufer positiv

gezählt wird (siehe

Bild

2

.

61

).

•

Die Verformungen (Verdrehwinkel ϕ

) sind klein.

differentielles Element aus dem Stab links:

Mt

R

r

verformteMantellinie

z

ϕ(z) + dϕ ϕ(z)

dz

ϕ

dzz

r

dϕϕ(z)

ϕ(z) γ

Bild

2

.

61

Verformungen eines auf Tor

sion beanspruchten Kreisquerschnitts

2.5.1.2

Berechnung der Torsionsspannung

An dem differentiellen Element in

Bild

2

.

61

kann für kleine Verformungen der

folgende Zusamme

n

hang zwischen der Gleitung γ

und dem Verdrehwinkel ϕ

ab

gelesen werden:

( ) zrr dd ⋅=⋅ γϕ

Mit der Drillung ϑ

folgt aus dieser Formel

( )rr

zγϕϑ ==

dd

Drillung

(Verdrehwinkel pro Längenei

n

heit)

(

2

.

57

)

Aus dem

H

OOKE

schen Gesetz (siehe

Gle

ichung

(2.12)

,

Seite

128

) folgt mit γ

(

r

)

=

ϑ⋅

r

nach

Gleichung

(2.57)

für die Torsionsschubspannung

( ) ( ) rGGrr ⋅⋅=⋅= ϑγτ

(

2

.

58

)

Beachte:

Wir erkennen aus

(2.58)

bereits, dass die Schub

spa

n

nung τ

(

r

) linear von

r

abhängig ist. Sie wird bei

r

=

0 Null und hat für

r

=

R

ihren größten Wert (siehe

auch

Bild

2

.

62

)!

2.5

Torsion

175

Die noch

unbekannte Drillung ϑ

kann aus einer

Äquivalenzbedingung zwischen dem Torsionsm

o-

ment

M

t

und dem resultierenden Moment der

Schubspannu

n

gen τ

zϕ

= τ

bestimmt werden. Es muss

gelten (vgl.

Bild

2

.

62

):

( )( ) ( )

∫∫ ⋅=⋅⋅=AA

t ArGArrM dd 2ϑτ

(

2

.

59

)

Mit der Abkürzung

( )∫=A

P ArI d2

polares Flächenträgheitsmoment

(

2

.

60

)

folgt aus

Gleichung (2.59)

Pt GIM ⋅= ϑ

bzw. nach der Drillung aufgelöst

P

t

GIM

=ϑ

(

2

.

61

)

Setzen wir nun

(2.61)

in

(2.58)

ein, so erhalten wir die Torsionsschubspannung für

Kreis und Kreisringquerschni

t

te zu:

( ) rIM

rτP

t=

(

2

.

62

)

Hinweis:

Zum polaren Flächenträgheitsmoment siehe

Kapitel 1.10.1

. Danach gilt:

Kreisquerschnitt (Durchme

s

ser

d

):

32π 4dI P =

(

2

.

63

)

K

reisringquerschnitt (Auße

n

durchmesser

D

,

Innendurchme

s

ser

d

):

( )44

32π dDI P −=

(

2

.

64

)

Die maximalen Torsionsschubspannungen für Kreis und Kreisringquerschnitte

treten am Außenrand auf und betragen (sieh

e dazu auch

Bild

2

.

62

):

t

t

WM

τ =max

(

2

.

65

)

Die Abkürzung

W

t

bezeichnet man als

Torsionswiderstandsmoment

, das sich aus

Gleichung

(2.62)

mit

r

=

r

max

wie folgt erg

ibt:

maxrI

W Pt =

rdA

R

τ(r)⋅dA

τ(r)

Mt

τmax

Bild

2

.

62

Torsionsschubspannung

176

2

Festigkeitslehre

Für Kreis

-

und Kreisrin

g

querschnitte erhalten wir damit:

16π 3dWt =

für Kreisquerschnitt (Durchmesser

d

)

(

2

.

66

)

( )44

16π dD

DWt −

⋅=

für Kreisringquerschnitt

(

2

.

67

)

(Außendurchmesser

D

, Innendurchmesser

d

)

Hinweis:

Man beachte die Analogie zur Berechnung der Biegespannungen (siehe

Kapitel

2.3.2

Gleichungen

(2.32)

und

(2.33)

).

Torsion:

( ) rIM

rτP

t=

Biegung:

( ) ( )y

IzM

y,zσxx

bxz =

t

t

WM

τ =max

( ) ( )min

maxbx

bxz W

zMzσ =

Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsschubspannung

(2.62)

und

(2.65)

gelten streng genommen nur, w

enn gilt:

M

t

=

konst. und

I

P

=

konst. Aber auch bei

einer schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können die Gleichungen mit

ausreichender Genauigkeit für praktische Berechnu

n

gen verwendet werden. Es gilt

dann:

( ) ( )( ) rzIzM

z,rτP

t=

bzw.

( ) ( )( )zWzM

zτt

t=max

(

2

.

68

)

2.5.1.3

Berechnung der Verformung (Verdrehwinkel ϕ

)

Aus den

Gleichungen

(2.57)

und

(2.61)

erhalten wir den folgenden Zusammenhang

zwischen der Drillung ϑ

, dem Verdrehwinkel ϕ

und dem Torsionsmoment

M

t

:

P

t

GIM

z==

ddϕϑ

(

2

.

69

)

Das Produkt

GI

P

aus Gleitmodul

G

und polarem Flächenträgheitsmoment

I

P

bezeic

h

net man als

Torsionssteifigkeit

.

Gleichung

(2.69)

ist eine Differentialgleichung

1. Ordnung, aus der wir durch Integration den

Verdrehwinkel ϕ

berechnen können.

Man beachte hier die Analogie zur Verfo

r

mungsb

e

rechnung bei auf Zug/Druck

belasteten Stäben (

Kapitel

2.2.1.2

). Die Integration von

Gleichung

(2.69)

liefert:

( ) CzGIM

CzGIM

zP

t

P

t +=+= ∫ dϕ

(

2

.

70

)

2.5

Torsion

177

Die Integrationskonstante

C

in

(2.70)

kann aus einer

Randbedingung berechnet werden. Beispiele für

mö

gliche Randbedi

n

gungen bei Torsionsproblemen

finden wir in den folgenden drei Aufgaben zur

Torsion.

Häufig wird in der Praxis der

relativen Verdrehwinkel

∆ϕ

zweier Querschni

t

te im Abstand

l

benötigt. Der

relative Verdrehwinkel ist wie folgt definiert (vgl.

Bild

2

.

63

):

( ) ( ) lGIM

zlzP

t=−+=∆ ϕϕϕ

(

2

.

71

)

Die Gleichungen zur Berechnung der Torsionsve

r

formungen

(2.70)

und

(2.71)

gelten

streng genommen nur, wenn gilt:

M

t

=

konst. und

I

P

=

konst. Aber auch bei einer

schwachen Veränderlichkeit dieser Größen können die Gleic

hungen mit ausreiche

n-

der Genauigkeit für praktische Berechnungen verwendet werden (vgl. entspr

e

chende

Bemerkung zur Berechnung der Torsion

s

spannung im

Kapitel

2.5.1.2

). Es gilt dann:

( ) ( )( ) CzzGIzM

zP

t += ∫ dϕ

bzw.

( ) ( ) ∫+=

=

=−+=∆lzz

zz P

t zGIM

zlz dϕϕϕ

(

2

.

72

)

Beispiel

2

.

13

Abgesetzter Torsionsstab

Gegeben:

D

=

60

mm,

d

=

40

mm,

l

1

=

1

m

l

2

= 1,5

m,

M

B

=

3

kN m

M

C

=

0,6

kN m

G

=

0,8·10

5

N/mm

2

Gesucht:

Betragsmäßig größte Torsions

-

schubspannung und Verlauf des

Verdrehwi

n

kels

Torsionsmomentenverlauf:

mkN421 ,MM)(zM CBt =−=

mkN602 ,M)(zM Ct −=−=

Maximale Schubspannungen:

Zur Berechnung der maximalen Schubspa

n-

nung im Torsionsstab muss zunächst in

beiden Bereichen die maximale Torsion

s

schubspannung berechnet werden, um dann aus

dem Vergleich die absolut größte

Tors

i

onsschubspannung angeben zu können. Mit der

∆ϕ

Mt

Mt

lz

ϕ(z)ϕ(z)

Bild

2

.

63

Relativer Verdrehwinkel

Mt -Verlauf+2,4 kN m

-

-1,21º

+1,35º

ϕ -Verlauf

z2z1 l1

∅D∅dBA C

l2

MB MC

0,6 kN m

Bild

2

.

64

Torsionsstab mit Momentenverla

uf

und Verlauf des Torsionswinkels

178

2

Festigkeitslehre

Gleichung (2.66)

für das Torsionswide

r

standsmoment und der Gleichung für die maximale

Torsion

s

spannung

(2.65)

ergeben sich die in den zwei Bereichen auftretenden maximalen

Torsionsschubspannu

n

gen zu:

1. Ber

eich:

Mit

16π 3

1DWt =

folgt

( ) ( )

231

1max1 mm

N56,6

π16

=⋅−

==DMM

WzM

τ CB

t

t

2. Bereich:

Mit

16π 3

2dWt =

folgt

( )

232

2max2 mm

N7,47π

16−=

⋅−==

dM

WzM

τ C

t

t

Damit tritt die vom Betrag größte Torsionsschubspannung im 1. Bereich auf und beträgt

2max1max mmN

56,6== ττ

Verla

uf des Verdrehwinkels:

Mit der

Gleichung

(2.63)

für das polare Flächenträgheitsmoment und der

Gleichung

(2.70)

für den Torsionswinkel erhalten wir für die zwei Bereiche:

1. Bereich:

( ) ( ) ( )11411

1

111 π

32Cz

DGMM

CzGI

zMz CB

P

t +−

=+=ϕ

2. Bereich:

( ) ( )22422

2

222 π

32Cz

dGM

CzGI

zMz C

P

t +−=+=ϕ

Die beiden

Integrationskonstanten können wir aus den folgenden zwei Randbedingungen

bestimmen:

( ) 0011 ==zϕ

01 =⇒ C

( ) ( )022111 === zlz ϕϕ

( )

214π32

ClDG

MM CB =−

⇒

Einsetzen der Integrationskonstanten in die Funktionen für die Torsionswin

kel liefert:

1. Bereich:

( ) ( )1411 π

32z

DGMM

z CB −=ϕ

2. Bereich:

( ) ( )l

DGMM

zdG

Mz CBC

42422 π32

π32 −

+−=ϕ

Die Werte an den B

e

reichsenden ergeben sich zu:

( ) "35102360111 ,,lz ===ϕ

und

( ) "211021200236004480222 ,,,,lz −=−=+−==ϕ

Der Verlauf des Verdre

h

winkels ϕ

ist in

Bild

2

.

64

dargestellt.

2.5

Torsion

179

Beispiel

2

.

14

Vergleich von Voll

-

und Rohrquerschnitt bei Torsionsbelastung

Gegeben:

M

t

=

2 kN m, τ

zul

=

160 N/mm

2

Material und Stablänge sind für

beide Stäbe gleich!

Gesucht:

1.

Durchmesser

D

V

und

D

R

2.

Verhältnis des Material

-

ei

n

satzes

3.

Verhältnis der r

e

lativen

Verdre

h

wi

nkel

1.

Bestimmung von

D

V

und

D

R

(Dimensionierung):

a)

Vollquerschnitt:

Aus

(2.65)

zult,V

t τWM

τ ≤=max

mit

(2.66)

16π 3

Vt,V

DW =

folgt

mm939π16

3zul

,τM

D tV =≥

.

Wir wählen:

mm04=VD

b)

Rohrquerschnitt:

Aus

(2.65)

zult,R

t τWM

τ ≤=max

mit

(2.67)

−=

44

109

16π

RRR

t,R DDD

W

folgt

mm756901π

163 4

zul,

),(τM

D tR =

−≥

.

Wir wählen:

mm57=RD

2.

Verhältnis des Materialeinsatzes:

Das Verhäl

t

nis des Materialeinsatzes ist gleich dem Verhältnis der Querschnittsflächen.

Wir erhalten:

( )

3860901

2

22,

D,D

AA

V

R

V

R =−

=

⇒

Bei dem Rohrquerschnitt werden nur 38,6

% Material gegenüber einem Vol

l-

querschnitt bei gleicher maximaler Torsionsschubspannung b

e

nötigt.

3.

Verhältnis der relativen Verdrehwinkel:

Mit dem relativen Verdrehwinkel nach

Gleichung

(2.

71)

und den polaren Flächenträ

g-

heitsm

o

menten nach den

Gleichungen

(2.63)

und

(2.64)

lGIM

P

t=∆ϕ

32π 4

,V

VPD

I =

und

( )[ ]44, 9,0

32π

RRRP DDI ⋅−=

DV

Mt

RD10

9DR

Mt

Bild

2

.

65

Voll

-

und Rohrquerschnitt

180

2

Festigkeitslehre

erhalten wir für das g

e

suchte Verhältnis der relativen Verdrehwinkel

( )( ) ( ) 705,0

9,019,032π

32π

44

4

44

4

,

,

,

, =−

=⋅−

===∆∆

R

V

RR

V

RP

VP

VP

t

RP

t

V

R

D

D

DD

D

II

lGI

M

lGI

M

ϕϕ

⇒

Bei dem Rohrquerschnitt beträgt der Verdrehwinkel nur 70,5

% des Verdreh

-

wi

n

kels des Vollquerschnitts bei gleicher Länge, gleicher Belastung, gleichem

Material und bei gle

i

cher maximaler Torsionsschubspannung.

Beispiel

2

.

15

Welle

-

Rohr

-

Verbindung (statisch unbestimmt)

Zwei Torsionsstäbe (Welle, Rohr) sind

bei

A

eingespannt und bei

B

mit einer

starren Scheibe, über die das

Gesam

t-

moment

M

C

eingeleitet wird, verbunden.

Gesucht:

1.

Aufteilung des Momentes

M

C

auf Welle und Rohr

2. Verdrehwinkel bei

B

Zunächst führen wir einen Schnitt durch

die Welle und das Rohr. An der Schnit

t-

stelle der Welle wird das Torsionsm

o-

ment mit

M

W

und an der Schnittstelle des

Rohres wird das Torsionsmoment mit

M

R

(siehe

Bild

2

.

66

) bezeichnet. Zur Ermit

t-

lung der Schnittgrößen kann man am Schnittbild die Momentengleichg

e

wichtsbedingung

um die Läng

s

achse aufschre

iben:

:

0=−− RWC MMM

(1)

Beachte:Beachte:Beachte:Beachte:

In der Gleichgewichtsbedingung

(1)

sind die beiden Schnit

t

größen

M

W

und

M

R

unbekannt. Die Aufgabe ist einfach statisch unbestimmt! Zur

L

ö

sung

des Problems

müssen Verformungsbetrachtungen ang

e

stellt werden.

Mi

t dem Tors

i

onsmoment in der Welle

M

W

und im Rohr

M

R

werden die Verdrehwinkel

von Welle und Rohr nach

Gleichung

(2.70)

berechnet. Wir erhalten:

Welle :

( ) 1CzGIM

zP,W

WW +=ϕ

(2)

Rohr:

( ) 2CzGIM

zP,R

RR +=ϕ

(3)

a

∅Da ∅d

BA CMC∅Di

starrRohr

Welle

B C

MC

z

MWMR

Bild

2

.

66

Welle

-

Rohr

-

Verbindung

2.5

Torsion

181

Für die Ermittlung der vier Unbekannten

M

R

,

M

W

,

C

1

und

C

2

benötigen wir neben der

Gleichung

(1)

noch drei weitere Gleichungen, die wir aus den folgenden Randbedingungen

erhalten:

1.

( ) 00 ==zWϕ

01 =⇒ C

2.

( ) 00 ==zRϕ

02 =⇒ C

3.

( ) ( )azaz WR === ϕϕ

WP,W

P,RR M

II

M =⇒

(4)

Mit den

Gleichungen

(1)

und

(4)

haben wir zwei Gleichungen zur Berechnung der unb

e-

kannten Schnittgrößen in der Welle und im Rohr. Die Auflösung der Gleichungen liefert:

44

4

4

44

11

11

ia

C

P,R

P,W

CR

ia

C

P,W

P,R

CW

DDd

M

II

MM

dDD

M

II

MM

−+

=+

=

−+=

+=

Der Verdrehwinkel bei

B

kann mit den jetzt bekannten Schnittgrößen

M

W

bzw.

M

R

aus

(2)

oder

(3)

berechnet werden. Wir erhalten:

( ) ( ) ( ) ( )444π

32

ia

C

P,RP,W

CRWB

DDdG

aMIIGaMazaz

−+

⋅⋅=+⋅===== ϕϕϕ

2.5.2

Hinweise zur Torsion allgemeiner Querschnitte

•

Die im

Kapitel

2.5.1

vorgestellten Formeln für Torsionspannungen und Torsion

s-

verformungen (Verdrehwinkel) gelten nur für Kreis

-

und Kreisringque

r

schnitte.

•

Für andere Querschnittsformen müssen spezielle Formeln hergeleitet werden,

wobei zwischen

SSSS

AINTAINTAINTAINT

----

VVVV

ENANENANENANENAN

TTTT

scherscherscherscher

17171717

Torsion Torsion Torsion Torsion

(Verwölbungen können sich frei

ausbilden) und

Wölbkrafttorsion

(Verwölbungen sind behindert) unterschieden

werden muss.

•

Eine besondere praktische Bedeutung kommt den dünnwandigen offenen

Querschnitten zu. Die Torsionsschubspannungen und die Verformungen sind

hier wesentlich gr

ö

ßer als bei anderen Querschnittsformen. Infolge erheblicher

Querschnittsve

rwölbungen, die bei einer Torsionsbeanspruchung auftr

e

ten (siehe

17

A. J. C. B

ARRÉ DE

S

AINT

V

ENANT

(1797

-

1886), französischer Physiker

182

2

Festigkeitslehre

Bild

2

.

60

,

Seite

173

,

b) Torsion eines dünnwandigen offenen Querschnitts

), erg

e

ben

sich bei einer Behinderung der Verwölbung (z.

B. infolge einer Einspannung) sehr

große Normalspannu

n

gen in

z

-

Richtung.

Unter der Voraussetzung einer

SSSS

AINTAINTAINTAINT

----

VVVV

ENANTENANTENANTENANT

schen Torsion lassen sich die für Kreis

-

und Kreisringquerschnitte hergeleiteten Formeln für die Berechnung der m

a

ximalen

Torsionsschubspannu

ngen und der Verdrehwinkel auch für allgemeine Quer

-

schnitts

formen veral

l

gemeinern:

t

t

WM

τ =max

mit

W

t

-

Torsionswiderstandsmoment

(

2

.

73

)

t

t

GIM

z==

ddϕϑ

m

it

I

t

-

Torsionsträgheitsmoment

(

2

.

74

)

Beachte:

Das Produkt

GI

t

ist die

Torsionssteifigkeit

.

I

t

und

W

t

sind in Abhängi

g

keit

von der Querschnittsgeom

e

trie zu berechnen (siehe

Tabelle

2

.

8

). Nur für Kreis

-

und Kreisringquerschnitte gilt

I

t

≡

I

P

.

Tabelle

2

.

8

Berechnung von

I

t

und

W

t

in Abhängigkeit von der Querschnittsgeome

t

rie

Querschnittsart

Berech

nung von

I

t

und

W

t

allgemeine

I

t

und

W

t

aus einer Torsionsfun

k

tion

Φ

,

für die eine

P

OISSON

sche Differentia

l-

gleichung zu lösen ist.

dünnwandig,

einzellig

s δ

Am

A

m

=

von Profilmittellinie

eingeschloss

e

ne Fläche

B

REDT

sche Formeln:

min

2

2

)(d

4δAW

sδs

AI mt

mt ⋅==

∫

dünnwandig,

mehrzellig

Modifizierte

B

REDT

sche Formeln.

dünnwandig, offen

δi li

Näherungsfo

r

mel:

( ) max

3

31

δI

WδlI tti

iit ≅≅ ∑

dünnwandig, ein

-

oder mehrzellig

und offene Teile

l0l0

Im Allgemeinen Vernachläss

i

gung der

offenen Teilabschnitte

l

0

.

Begrü

n

dung: Siehe folgendes Beispiel.

2.5

Torsion

183

Beispiel

2

.

16

Torsion dünnwandiger offener und geschlossener Querschnitte

Für einen dünnwand

igen Stab mit geschlo

s-

senem bzw. in Längsrichtung aufgeschlit

z-

tem Kreisringquerschnitt (

Bild

2

.

67

) sollen

die maximalen Torsionsschubspannungen

und die relativen Verdrehwinkel der

En

d

que

r

schnitte allgemein ermittelt und

für

R

/δ

=

10 mitei

n

ander vergleichen werden.

a) Geschlossener Kreisringquerschnitt:

Die Berechnung des Torsionsträgheitsm

o-

mente

I

t

und des Torsionswiderstandsm

o-

mentes

W

t

soll hier mit Hilfe der

B

RED

T

schen Formeln (siehe

Tabelle

2

.

8

) erfolgen. Es wird:

( )

( )δR

δR

R

sδdsA

I mt,a

3222

π2π2π44

===

∫

und

δRδAW mt,a2

min π22 =⋅=

Die maximale Schubspannung folgt aus

Gleichung

(2.73)

und der relative Verdrehwinkel

aus

Gle

i

chung

(2.71)

, in die bei Kreisquerschnitten

GI

P

=

GI

t

eingesetzt wird. Wir e

rhalten:

δR

MWM

τ t

t,a

t,a 2max π2

==

und

δRG

lMGI

lM t

t,a

ta 3π2

==∆ϕ

Hinweis:Hinweis:Hinweis:Hinweis:

Die Berechnung für den geschlossenen Kreisring kann natürlich auch wie in

Kapitel

2.5.1

für Kreis

-

und Kreisringquerschnitte durchgeführt we

r

den

. Zur Übung

sollte man die Vergleichsrechnung einmal durchführen. Je geringer die Wandstärke

des Kreisringes wird, um so besser stimmen die Ergebnisse mit den hier nach den

B

REDT

schen Formeln

berechneten Ergebnissen überein.

b) Geschlitzter Kreisringquersc

hnitt:

Die Berechnung des Torsionsträgheitsmomentes

I

t

und des Torsionswiderstandsmome

n-

tes

W

t

erfolgt nach den Näherungsformeln aus

Tabelle

2

.

8

für dünnwandige offene Que

r-

schnitte. Für die maximale Schubspannung und den

relativen Verdrehwinkel erhalten wir:

( )

33 π32

31 RδδlI i

iit,b =≅ ∑

und

2

maxπ

32 Rδ

δI

W t,bt,b =≅

2max π23

RδM

WM

τ t

t,b

t,b ==

und

3π23

RδGlM

GIlM t

t,a

tb ==∆ϕ

lMt Mt

δ

R

δa) b)

R

Bild

2

.

67

Geschlossener und geschlitzter

Kreisringquerschnitt bei Torsion

184

2

Festigkei

tslehre

Wir vergleichen die Ergebnisse am anschaulichsten miteinander, wenn wir das Verhältnis

der max

i

malen Spannung

en und der relativen Verdrehwinkel aufschreiben. Wir erhalten:

303max

max ==δR

ττ

,a

,b

und

3003 2

2==

∆∆

δR

a

b

ϕϕ

Wir erkennen, dass für dieses Beispiel die maximale Spannung im Torsionsstab mit off

e-

nem Querschnitt (ansonsten aber identischen Werten) 30

-

mal größer ist und der Ve

r-

drehwinkel sogar 300

-

mal größer ist als im geschlossenen Kreisringquerschnitt.

Schlussfolgerung:Schlussfolgerung:Schlussfolgerung:Schlussfolgerung:

Das Ergebnis ist typisch und zeigt das geringe Vermögen dünnwa

n

d

i-

ger offener Querschnitte Torsionsmomente zu übertragen.

2.6

Scherbeansp

ruchung

Das Ziel dieses Kapitels ist die Berechnung der Scher

-

oder Abscherspannu

n

gen τ

a

infolge von unendlich dicht nebeneinander liegenden parallelen und entgegeng

e-

setzt gerichteten Querbelastungen, die eine Querschnittsfläche (Sche

r

fläche) auf

Schub belasten (Verformungsberechnungen werden bei Scherbea

n

spruchungen

in der Regel nicht durc

hgeführt).

Scherbeanspruchungen trete bei entsprechender Belastung vorrangig bei Schneidvo

r-

gängen, Niet

-

, Bolzen

-

, Schweiß

-

und Klebeve

r

bindungen auf. Einige typische

Scherbeanspruch

ungen sind in

Bild

2

.

68

dargestellt.

Schneiden, Stanzen NietverbindungSchweiß- bzw.

Klebeverbindung

∅d

h

FS

AS = πdh

∅d

FS

FS

AS = πd214

FS

FS

AS

FS

FS

AS = Schweißnahtflächebzw. Klebefläche

Bild

2

.

68

Beispiele für typische Scherbeanspruchungen

Bevor wir die Ber

echnung der Scherspannung behandeln, soll die Frage geklärt

werden, was die Scherbeanspruchung von der Querkraftschubbea

n

spruchung (vgl.