Tema 1:Fundamentos MatemáticosFundamentos Matemáticos

Antonio González Fernández

ánde

z Departamento de Física Aplicada IIIUniversidad de Sevilla

nzál

ez F

erná

Parte 4/7

Anto

nio

Gon

Parte 4/7 Flujo, divergencia yt d G

© 2

010,

A teorema de Gauss

Concepto de flujo de un campo t i lvectorial

Es una medida de la “cantidad de campo” que atraviesa

Es una medida de la cantidad de campo que atraviesa una superficie.

vS ·dS

v S

El flujo es una cantidad

ánde

z

nv S

El flujo es una cantidad escalar con signo:

Ф>0: el campo va

nzál

ez F

erná · ·S v n v S Ф>0: el campo va

sobre todo en el mismo sentido que dS

Anto

nio

Gon

d d v Ssentido que dSФ<0: el campo va sobre todo en el

© 2

010,

A

2

sobre todo en el sentido opuesto a dS

Ejemplo de flujo de un campo no ifuniforme

El fil d P i ill t l fl j ilEl perfil de Poiseuille representa el flujo en un capilar (cilindro muy delgado)

2

1v v u Z

a

ánde

z

0 21 zva

v u

nzál

ez F

erná

·dS

v S 2

2

0 2·d 1 · d da

z zSv

v S u u 2

2

0 2·d 1 · d da

z zSv

v S u u 2

2

0 2·d 1 · d da

z zSv

v S u uIntegrando

Anto

nio

Gon S 2

00S a

200

23

d d

S

a

a

200

223 2 4

0d d

S

a

a

v aa a

sobre una sección circ lar

© 2

010,

A

0 200

d dva

0

0 02 200

d d 22 4 2

v aa av va a

3

circular z = cte

Flujo a través de una superficie cerradaj p

El concepto de flujo puedeEl concepto de flujo puede extenderse a una superficie cerradacerrada

·dS

A S

ánde

z

SLa normal debe ser la exterior

nzál

ez F

erná

Ф>0: hay una producción neta

Ф<0: hay una absorción neta

Ф=0: no hay una producción neta

Anto

nio

Gon de campo en el

interior: manantiales

de campo en el interior: sumideros

de campo en el interior

© 2

010,

A

4

manantiales sumideros

Ejemplo físico de flujo: campo de lé t icargas eléctricas

En S1, Φ1=0

q

S1 En S Φ <0

En S2, Φ2>0

S4S2

ánde

z

S1 En S3, Φ3<0

En S4, Φ4=0

4

nzál

ez F

erná

-q

S4, Φ4

S3 Las cargas son manantiales

Anto

nio

Gon

gy sumideros de campo eléctrico

© 2

010,

A

5

Dos ejemplos de cálculo de flujo en fi i dsuperficies cerradas

·d r S

A través de un cubo de lado 2acentrado en el origen

A través de una esfera de radio a centrada en el

ánde

z

gorigen 6

1k

k ·d

kk kS

r S

·d r S

nzál

ez F

erná

6 ·d

· d d

zz aa a

x y a x y

r S

u u u u 2 2

0 0· sen d dr ra a

u u

Anto

nio

Gon

3

· d d

d d 4

x y z za aa a

x y a x y

a x y a

u u u u23 3

0 0sen d 4a d a

© 2

010,

A

61 2 6 324a

En los dos casos resulta Φ = 3×(volumen)

a a

Divergencia: para localizar las fuentes h di i i l lhay que disminuir el volumen

Tomando el límite de superficies cada vez menores (hasta reducirla a un punto)

1· lim ·d A A S

se obtiene la divergencia

ánde

z

0· lim ·d

A A S

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

7

Hay que dividir por Δτ para que el límite no tienda a 0

Divergencia, manantiales y sumideros; l id lcampos solenoidales

La divergencia produce · r ALa divergencia produce un campo escalar a partir de uno vectorial

r A

ρ: Fuentes escalares del campo vectorial Apartir de uno vectorial del campo vectorial A.

Dondei l d

ánde

z

ρ > 0: Manantial de Aρ < 0: Sumidero de A

q

nzál

ez F

erná ρ = 0: A carece de fuentes-q

Anto

nio

Gon Un campo que carece de

fuentes escalares en todol i ( )

Ejemplo:

B

© 2

010,

A

8

el espacio (·A = 0) sedenomina solenoidal

x yy x B u u u

Expresión de la divergencia en dif t i t d d ddiferentes sistemas de coordenadas

Aplicando la definición de divergencia a un volumen de lados

E ió l C t i

Aplicando la definición de divergencia a un volumen de lados paralelos a las líneas coordenadas resulta

Expresión general 1 2 3 1 2 3 1 2 31·A h h h A h h h A

h h h q q q

A

Cartesianas

· yx zAA Ax y z

A

ánde

z

1 2 3 1 2 3h h h q q q x y z

Cilíndricas

Esféricas 2

nzál

ez F

erná 1 1· z

A A Az

A

2

2

sen1 1 1·sen sen

rr A AAr r r r

A

Anto

nio

Gon

Ejemplo: A = r · 1 1 1 3x y yx y z

r

© 2

010,

A

9

21 2· 0 1 3z

z

r 3 2

2 2

1 3· 0 0 3r r

r r r

r

La divergencia como aplicación del d bl

La divergencia

operador nabla

La divergenciapuede calcularse como

31 21 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3

· · A A Ah q h q h q

uu uA u u u

cia

te

ánde

z

verg

enc

radi

ent

nzál

ez F

erná

La divergencia cumple las reglas de derivación ordinarias

DivGr

Anto

nio

Gon

Suma: Producto:

La divergencia cumple las reglas de derivación ordinarias

© 2

010,

A

10

· A B · A · · A A· · A B

Teorema de GaussG

La divergencia da las fuentes escalares de un campo · ALa divergencia da las fuentes escalares de un campo

Sumando todo lo que se produce y

A

q p yrestando lo que se absorbe en el interior de τ se obtiene el flujo al exterior

ánde

z Σmanantiales – Σsumideros = producción neta

nzál

ez F

erná

τ d ·d A S

Teorema de Gauss

· d ·d A A S

Anto

nio

Gon

τ Ya incluye el signo· d ·d

A A S

© 2

010,

A

11

Permite pasar de integrales de volumena integrales de superficie y viceversa

τ: fronterade τ

Ejemplos de aplicación del teorema de GGauss

Para el campo A = r Para el campo A = rse cumple siempre

·d

r S 3 d · d

r 3

1.10 Para el campo vectorial A = (x − y)ux + (x + y)uy + zuzcalcule su flujo a través de las siguientes superficies cerradas:

( ) U b d i é i l i i

ánde

z

(a) Un cubo de arista a, con un vértice en el origen y aristas aux, auy y auz.

(b) Un cilindro circular de altura h y radio R con el eje Z

nzál

ez F

erná (b) Un cilindro circular de altura h y radio R, con el eje Z

como eje y sus bases situadas en z = 0 y z = h.(c) Una esfera de radio R en torno al origen de coordenadas.

Anto

nio

Gon

( ) gHalle el flujo por integración directa y por aplicación del

teorema de Gauss.

© 2

010,

A

12

Solución

El problema del campo r/r3p p

S l 1 E t lSea el campo 3 2

1rr r

rA u Es un campo central

Las líneas de campoLas líneas de camposon radiales

hacia afueraAparece muy a menudo en E&M

ánde

z

hacia afueramenudo en E&M

nzál

ez F

erná

Este campo posee al menos un manantial en el origen

Hallando la · 1 r ?????? r 3 3 ·r r

Anto

nio

GonHallando la

divergencia 3 3

1·r r

r r ??????

á

3· ·r

rA 03 5

3 3r r

r r

© 2

010,

A

13

Este cálculo no es aplicable a r = 0,donde el campo es singular

Precisamos nuevas herramientas

Ángulo sólido: extensión a 3D del ángulo lplano

En 2D el ángulo abarcado por ΓEn 2D el ángulo abarcado por una curva desde un punto se obtiene dividiendo un arco de

OLR

αcircunferencia por un radio O L

R

ánde

z

El ángulo sólido Ω es la misma idea extendida al espacio

SS ES

nzál

ez F

erná

O

RSE 2

E

RS

Se mide en estereorradianes

Anto

nio

Gon O Puede calcularse como

·d

r S S: superficie

Si O no es el origen 0

3

·d

r r S

© 2

010,

A

14

3S r

original 3

0S r r

Ángulo sólido de una superficie cerradag p

Si O está en el interior

2

2

4 4R OR

Si O está en el interior

2RSi O está en el exterior

ánde

z

3 3

·d · d 0d 0S r r

r S r

nzál

ez F

erná

Superficie cerrada

S r r

Podemos usar este resultado para

Anto

nio

Gon 4

0OO

resultado para otros problemas

4 6

© 2

010,

A

15

4 64 6

La distribución delta de Dirac es la d id d d tdensidad de un punto

Para una esfera de Cuando R → 0Para una esfera deradio finito

M r R

Cuando R → 0

0 r r 034 3

0

r RR

r R

D fi i ió d d lt

d 1 r

r

ánde

z

d M

r

Definición de deltade Dirac

nzál

ez F

erná

Propiedades de la delta de Dirac

1d

0

0r

0

Anto

nio

Gon

0 0 df f

r r 0

01d

rr r

© 2

010,

A

16 0 0df f

r r r r 0

0

d0

r r

r

Solución al problema del campo r/r3

Sabemos que

p p

Para saber qué pasaSabemos que

3· 0r

r r 0

Para saber qué pasa en r = 0, integramos en un volumen τr

O t i (0 ) O interior (0τ)

ánde

z

O exterior (0τ)

3· d 0r

rO interior (0τ)

3· d

r3

·d

r S 4

nzál

ez F

erná r 3r

Por tanto

3r

Anto

nio

Gon Por tanto

3· 4

r r

Si O no es el origen se haceuna traslación

003· 4

r r r rr r

© 2

010,

A

17

3r una traslación 0

r r

Una integral de superficie que no es un fl jflujo

1.8 Halle el valor de la integral condS A cotg A u u1.8 Halle el valor de la integral con y la superficie de integración una esfera de radio R centradaen el origen.

dS A cotg r A u u

Esta integral no esun flujo d ·dS A A S

Usando coordenadas esféricas

2 2 d dR

I

ánde

z

Sabemos que

un flujo d dS A A S

2

0 022

cotg sen d d

cos sen d d

r R

R

I u u

u u

nzál

ez F

erná

24 R I u¿¿ ??Sabemos que

2

00 0cos d d 2 sen 0

0 0

cos sen d drR u u

Anto

nio

Gon

¿¿

2

00 0sen d d 2 cos 4

Los vectores de la

base dependen de

© 2

010,

A

18

base dependen de la posición

22 2 2

0 0d d 2z zR R

I u u

Sevilla octubre de 2010

ánde

z

Sevilla, octubre de 2010

nzál

ez F

erná

Anto

nio

Gon

© 2

010,

A

19