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Theoretische Elektrotechnik 2 (TET 2)

Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik (ATE) Abteilung für Elektrotechnik und Informationstechnik Fakultät für Ingenieurwissenschaften Universität Duisburg-Essen

Norbert Koster

Daniel Erni (BA 342, daniel.erni@uni-due.de)

(BA 337, norbert.koster@uni-due.de)

André Rennings (BA 345, andre.rennings@uni-due.de)

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Inhalt TET 2 �• Kurze Einführung

�• Magnetostatik

�• Quasistationäre Felder

�• Elektromagnetische Diffusion

�• Maxwell-Gleichungen

�• Maxwell-Gleichungen lösen

�• Schnellveränderliche Felder

�• Elektromagnetische Wellen

�• Energie und Impuls

Magnetisches Material in einem Drehfeld

7 GHz ETH Zürich

-2-

2

-3-

Einführung I Was Sie bereits kennen & können:

GET 1 und GET 2: Das elektrostatische Feld im stückweise homogenen, isotropen Raum. Das magnetische Feld im stückweise homogenen, isotropen Raum. Der elektrische Strom. Das quasistationäre, d.h. langsam veränderliche Magnetfeld: Induktionssatz. Bauelemente: R, L, C, Transformator,

Quellen. Beschreibung der harmonischen Zeit-

abhängigkeit von elektrischen Grössen: Wechselstromlehre. TET 1:

Das elektrostatische Randwertproblem.

Einführung II Was soll TET 2 leisten?

Anders gefragt: Wie soll der eigenständige Status der Felder untermauert werden?

Darstellung der allgemeinen Zusammenhänge erreichen («elektromagnetisches» Feld).

Will heissen: Verknüpfung des elektrischen und magnetischen Feldes.

Maxwell-Gleichungen als «das» Fundament etablieren.

Lösungsmethoden und -ansätze darlegen, Lösungsmengen analysieren.

Grenzen zwischen Feldtheorie und Stromlehre (Bauelemente & Netzwerke) aufzeigen.

Nach Möglichkeit einen Ausblick in verwandte Disziplinen (z.B. Optik) geben.

Konkret: Wollen wir uns auf die «Felder als solche» konzentrieren, dann benötigen wir:

Vektoranalysis

Integralsätze

Praktisches Vorstellungsvermögen bezüglich dieser Integralsätze!

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3

Einführung III Vorlesungsunterlagen

�• Lehrbuch: für beide Vorlesungen TET I & TET II

�• Companion Website zum Buch (Material & Bilder): www.pearson-studium.de

�• Ergänzende Unterlagen zur Vorlesung: Errata zum Buch Bildmaterial zum Buch Ergänzende Manuskripte Aufgabenstellungen Alles via Moodle-Server: http://moodle.uni-duisburg-essen.de/

Pascal Leuchtmann ETH Zürich Pearson Studium, 2005 608 Seiten, �€ 29.95

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-6-

Einführung IV Zum Gebrauch des Buches

�• Jedes Kapitel wird anhand des gleichen illustrativen Beispiels «visuell» eingeleitet.

�• Merksätze und Formeln werden hervorgehoben

�• Wichtige Beispiele werden vorgerechnet

�• Enthält vorgelöste Übungs- und Prüfungsaufgaben

�• Enthält Anhänge u.a. zu Koordinaten und Vektoren

Elektrostatik

Elektromagnetische Wellen

4

Einführung V Lecture Notes

�• English text book:

David J. Griffiths, «Introduction to Electrodynamics», 3rd Edition, Pearson / Benjamin Cummings, 2008, 580 pages, ca. �€ 60.00.

(also available from the library)

A very instructive introductory text book with lots of solved problems and exercises. Well written with a clear eye to common difficulties and to usually unpercieved pitfalls.

-7-

Einführung VI Vorlesungsunterlagen

�• Alternative Lehrbücher:

Ingo Wolff, «Maxwellsche Theorie �–

Grundlagen und Anwendungen», Springer Verlag, 1997, 459 Seiten,

(vergriffen, antiquarisch erhältlich).

Ingo Wolff, «Maxwellsche Theorie �– Grundlagen und Anwendungen Band 1: Elektrostatik», Neu: Verlagsbuchhandlung Dr. Wolff 2005, 312 Seiten, �€ 26.90.

Ingo Wolff, «Maxwellsche Theorie �– Grundlagen und Anwendungen Band 2: Strömungsfelder, Magnetfelder und Wellenfelder», Neu: Verlagsbuchhandlung Dr. Wolff, 2007, 348 Seiten, �€ 26.90.

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5

Einführung VII Vorlesungsunterlagen

�• Alternative Lehrbücher:

Günther Lehner, «Elektromagnetische Feldtheorie �–

für Ingenieure und Physiker», Springer Verlag, 2006, 670 Seiten, �€ 44.95. Sehr umfassendes Lehrbuch mit vielen physikalischen Hintergrundinformationen.

Heino Henke, «Elektromagnetische Felder �– Theorie und Anwendungen», (3. Aufl.), Springer Verlag, 2007, 481 Seiten, �€ 39.95. Sehr schön gestaltetes und kompaktes Lehrmittel zum gesamten Umfang der theoretischen Elektrotechnik.

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Einführung VIII Vorlesungsunterlagen

�• Zwei Klassiker:

Julius Adams Stratton, «Electromagnetic Theory», John Wiley & Sons / IEEE Press, 2007. 615 Seiten, �€ 78.99. Der Klassiker schlechthin, sehr theoretisch behandelt dafür sämtliche Aspekte der theoretischen Elektrotechnik.

Melvin Schwartz, «Principles of Electrodynamics», Dover Publications Inc., 1988.

344 Seiten, �€ 23.99. Kompaktes theoretisches Lehrbuch mit sehr guten Erklärungen, engagiert geschrieben:

«Electromagnetic theory is beautiful !»

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6

Einführung IX Verschiedenes

�• Vorlesungsbetrieb:

Übungen Seminare Tutorien Skript (Lehrbücher P. Leuchtmann oder I. Wolff) Vorlesungsfolien (PDF-Files via Moodle herunterladen)

�• Nomenklatur:

Referenzen auf Folien der Vorlesung «Theoretische Elektrotechnik 1» (TET 1) erfolgen gemäss der folgenden Schreibweise Folie 1-76, Folie 1-228, Folien 1-89-91.

�• Bitte:

Lesen Sie auch die zugehörige Literatur (Skript und Bücher) !

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3. Magnetostatik

Theoretische Elektrotechnik TET 2

�• Definition der magnetischen Feldgrössen

�• Das Gesetz von Biot-Savart

�• Das Durchflutungsgesetz

�• Magnetische Potentiale

�• Magnetischer Dipol und magnetisierte Materialien

�• Grenzbedingungen der Magnetfelder

�• Der magnetische Fluss [Buch Seite 89-121]

-12-

7

Die magnetische Flussdichte I Zur Definition der Feldgrösse*)

�• Leiterschleife im Magnetfeld.

�• Durch die Schleife fliesst ein Strom mit der Stromstärke i.

�• Beim beweglichen Leiter- stück 2 der Länge kann eine Kraftwirkung F gemes- sen werden.

�• Durch Variation der Experi- mentalparameter ergibt sich:

F

F i

(1) Experimentalanordnung:

�• Durch Drehung der Schleife um Achsen nicht

parallel zu . F = f Schleifenlage( )

*) Siehe GET1 Folien 1-171 bis 1-183.

-13-

Die magnetische Flussdichte II Zur Definition der Feldgrösse

�• Maximale Kraftvariation, wenn die Drehachse normal zum bewegli- chen Leiter steht.

�• Schleifenlage der maxi- malen Kraftwirkung wird mit nmax gekennzeichnet.

�• Phänomenologisch: Die Kraft variiert sinusförmig (maximal für = /2).

F sin ,nmax( )( ),nmax( ) :=

(2) Maximierung der Kraftwirkung in Abhängigkeit der Schleifenlage:

B := lim0

i 0

Fmaxi

B = B nmax

Betrag

Richtung

lokale Definition

-14-

8

Die magnetische Flussdichte III Zur Definition der Feldgrösse

�• Die über die Kraftwirkung definierte magnetische Flussdichte stellt demnach eine Wirkungsdefinition des magnetischen Feldes dar.

�• Die Einheit der magnetischen Flussdichte B ist Tesla:

�• Das Tripel {Kraft, Strombezugspfeil, magnetische Flussdichte} ist einander im Rechtsschraubensinn zugeordnet:

�• Kraftwirkung auf strom- durchflossenen Leiter:

(3) Geschlossene Beschreibung der magnetischen Flussdichte:

B := lim0

i 0

Fmaxi

F i B sin ,nmax( )( )×B

F = i ×B( )

B = F

i=

F[ ]i[ ] [ ] =

m kg s2

A m= VAs m

A m= Vs

m2 = T

-15-

i

+

+

+ J n

i

A

vDq+

Die magnetische Flussdichte IV Zur Definition der Feldgrösse

�• Kraftwirkung auf bewegte Ladungen:

(4) Mikroskopische Beschreibung der Kraftwirkung:

F = i ×B( ) = i( )×B vD n

i( ) = J n dAA

= vD n dAA

=

= vD dAA

= vD Q

F =Q vD ×B( ) dQ = q

�• Lorentzkraft: (allgemeine Trägerbewegung)

dF = q v ×B( )

-16-

9

i

+

+

+ J n

i

A

vDq+

Die magnetische Flussdichte V Zur Definition der Feldgrösse

�• Kraftwirkung auf das Strömungsfeld:

(4) Mikroskopische Beschreibung der Kraftwirkung:

dF = q v ×B( ) = dV v ×B( )dF = v ×B( ) dV = v( )×B dV

F= i ×B( ) = i( )×B =( J n dA)A

×B

=n

J n dA( )A

×B = J dVV

×B

dF = J ×B dV

�• einfacher:

-17-

i

w

Die magnetische Feldstärke I Zur Definition der Feldgrösse

�• Messungen des Magnetfeldes mit einer kleinen Schleife im Innern der Solenoidspule ergeben folgende phänomenologische Relationen:

(1) Experimentalanordnung mit Solenoidspule:

Magnetfeld im Innern Stromstärke i Magnetfeld im Innern Windungszahl w Magnetfeld im Innern

�–1

-18-

10

H N S

Die magnetische Feldstärke II Zur Definition der Feldgrösse

�• Aus dieser «Messvorschrift» ergibt sich folgende Definition für die magnetische Feldstärke:

�• Feldhomogenität im Innern erfordert lange Spulen, d.h. {Durchmesser} < / 10.

�• Der Grenzübergang trägt der lokalen De- finition der Feldgrösse Rechnung, muss aber die Bedingung für lange Spulen bei- behalten.

(2) Definition der magnetischen Feldstärke:

H = lim0

i 0

w iH = A

m

�• Die Feldrichtung verläuft entlang der Spulenachse und steht mit dem Be- zugspfeil der Stromstärke im Rechts- schraubensinn.

-19-

Die magnetische Feldstärke III Zur Definition der Feldgrösse

�• Dilemma: «Messvorschrift» erzeugt Messgrösse. Man kann die Solenoidspule auch zur Messung/Definition externer magnetischer Feldstärken benutzen indem durch Richtungs- und Stromvariation der Spule das Feld im Innern auf Null kompensiert wird.

�• Da die H-Feldlinien in die Solenoidspule sowohl austreten (N: Nord- pol) wie auch eintreten (S: Südpol), hat die Spule die Qualität eines (makroskopischen magnetischen) Dipols.

�• Die Definition der magnetischen Feldstärke H bezieht sich auf die Ursachen des magnetischen Feldes (reale und atomare Ströme).

�• Die magnetische Feldstärke H ist die Quantitätsgrösse des magne- tischen Feldes, währenddessen die magnetische Flussdichte B die Intensitätsgrösse des magnetischen Feldes darstellt (cf. DIN 1325).

�• Merke: In der Elektrostatik ist es gerade umgekehrt. Die E-Feldstärke stellt die Wirkungsdefinition (Kraft) des elektrischen Feldes dar und die Flussdichte D bezieht sich auf deren Ursache (Ladung). Warum?

(2) Definition der magnetischen Feldstärke:

-20-

11

N

S

pj

pi

ri

rj

rj ri

S

N

Die magnetische Feldstärke IV Gedankenexperiment «Magnetisches Coulombgesetz»

�• Magnetische Dipole so «entarten», dass die einzelnen Pole isoliert als «Punktpole» durch ihre Polstärken p beschrieben werden können.

�• Coulomb fand auch eine «Vortheorie» der Kräfte für die beiden magnetischen Polstärken:

�• Es sei pj p die «Probepolstärke» am Ort r :

(1) Magnetische Polstärken p:

Fj =1

4 µ0

pi pjrj ri

2 eij

F = p

4 µ0

pi r ri( )r ri

3

-21-

N

S

pj

pi

ri

rj

rj ri

S

N

Die magnetische Feldstärke V Gedankenexperiment «Magnetisches Coulombgesetz»

�• Magnetische «Feldstärke»:

�• Diskussion: Wie ist die Polstärke p definiert?

(a) Die Polstärke des verwendeten Punktpols ent- spricht der «Ladung» eines magnetischen Monopols. Die so definierte Feldstärke beruht demnach auf der Wirkung magnetischer Mono- pole und besitzt deshalb keinen physikalischen Realstatus.

(b) Wird die Polstärke über das magnetische Dipol- moment (später: m = p· = i·A) bestimmt, dann ist die «Feldstärke» die magnetische Flussdichte!

(2) Versuch einer alternativen Definition der magnetischen Feldstärke:

H = lim

p 0

Fp

=pi r ri( )

4 µ0 r ri3

-22-

12

is

H

F

i

B

Die magnetische Feldstärke VI Zusammenhang der magnetischen Feldgrössen

�• Kombination bzw. Verschränkung der beiden Experimentalanordnungen.

�• Oben: Spule und magnetische Feldstärke.

�• Unten: Stromdurchflossener Leiter und magnetische Flussdichte.

�• Da beide Experimente eine definitorische Qualität besitzen, muss der direkte Ver- gleich eine feste Beziehung der beiden magnetischen Feldgrössen in Vakuum

ergeben.

Magnetische Feldstärke und magnetische Flussdichte in Vakuum:

B = µ0 H

µ0 = 4 10 7 Vs Ammagnetische Feldkonstante

Konstitutive Beziehung (flux density law)

*)

*) Auch diese Beziehung ist in der Elektrostatik mit D = 0·E umgekehrt formuliert.

-23-

r

q1

v1

H

Die magnetische Feldstärke VII Fundamentales zum Aufbau des Magnetfeldes

�• Mit den Definitionen der beiden magnetischen Feld- grössen verfügen wir auch über zwei «Messvor- schriften» für eben diese physikalischen Grössen.

�• Phänomenologie der magnetischen Feldstärke H um den bewegten Ladungsträger q1 (mit v1 << c0) nach Betrag und Richtung (H. C. Ørsted, 1777-1852):

�• Die Kraftwirkung (auf andere bewegte Ladungen) gehört in den «Zuständigkeitsbereich» der magne- tischen Flussdichte B, welche (im Vakuum) anhand der Folie 23 direkt angegeben werden kann.

Magnetische Erregung durch stationär bewegte Ladungsträger:

H = q14 r 2 v1 ×

rr

B = q1µ04 r 2 v1 ×

rr

Das H-Feld hat seine Ursache in der bewegten Ladung !

-24-

13

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz I Zur «Rettung» des Coulombschen Gesetzes

�• Kombination der Lorentzkraft (Folie 16) mit der magnetischen Erregung (bzw. deren Kraftwirkung).

�• Ladungsträger 1 erzeugt das Magnetfeld:

B1 =

q1µ04 r r1

2 v1 ×r r1r r1

(1) Zwei bewegte Ladungsträger:

r2r1

q1

F1

+ �–

q2

F2

v1

v2

F 2 =q2 v2 ×B1( ) = q2 v2 ×q1µ0

4 r2 r12 v1 ×

r2 r1r2 r1

F 2 =q1q2µ0

4 r2 r12 v2 × v1 ×

r2 r1r2 r1

�• Lorentzkraft auf bewegten Ladungsträger 2:

-25-

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz II Zur «Rettung» des Coulombschen Gesetzes (1) Zwei bewegte Ladungsträger:

r2r1

q1

F1

+ �–

q2

F2

v1

v2

F 2 =q1q2µ0

4 r2 r12 v2 × v1 ×

r2 r1r2 r1

�• Lorentzkraft auf bewegten Ladungsträger 2:

�• Aus der Vektorrechnung:

a× b × c( ) = a c( )b a b( )c

F 2 =q1q2µ0

4 r2 r12 v2 e12( )v1 v1 v2( )e12 = q1q2µ0

4 r2 r12 v1 v2( )e12

e12

v1 v2( ) e12

-26-

14

�• Lorentzkraft auf bewegten Ladungsträger 2:

�• Mit ii (qi·vi) zeigt sich schön, dass die Ströme die Ursache der (magnetischen) Kraftwirkung sind.

�• Fernwirkungsgesetz bezüglich der Ströme.

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz III Zur «Rettung» des Coulombschen Gesetzes (2) Coulombsches Kraftgesetz:

r2r1

q1

F1

+ �–

q2

F2

v1

v2

F 2 =µ0 q1v1( ) q2v2( )4 r2 r1

2r2 r1r2 r1

F 2 =µ04

q1v1 q2v2r2 r1

2

-27-

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz IV Coulombsche Gesetze im Vergleich

r2r1

q1

Fc1

+ �–

q2

Fc2

r2r1

q1

F1

+ �–

q2

F2

v1

v2

F 1 = F 2 = µ0

4q1v1 q2v2r2 r1

2

Fc1 = Fc2 = 1

4 0

q1 q2r2 r1

2

B1/2 =

F 1/2

q1/2v1/2 E1/2 =

Fc1/2q1/2

Wirkungs- definition

Wirkungs- definition (cf. Folie 15 !)

umgekehrt ! (cf. Folie 23)

(a) Fernwirkung:

(b) Felddefinition:

(c) «Modernes» Kraftgesetz:

Fc = q E F = q v ×B( )

Ftot = q E+ v ×B( )

-28-

15

«Dynamisches» Coulomb-Gesetz V Coulombsche Gesetze im Vergleich

�• Für die physikalische Betrach- tungen der gesamten Anord- nung sind beide Kräfte ent- sprechend zu überlagern:

�• Die Coulomb-Kraft der Elektrostatik ist demnach wesentlich stärker als die Lorentz- kraft, zumal eine Äquivalenz hier erst bei der Lichtgeschwindigkeit erreicht wird. Ungleichnamige Ladungen ziehen sich an; ungleichnamige Ströme stossen sich ab.

r2r1

q1

Fc1

+ �–

q2

Fc2

r2r1

q1

F1

+ �–

q2

F2

v1

v2

Ftot =14 0

q1 q2r2 r1

2 1v1 v2c02

-29-

Der stromdurchflossene Leiter I Das Überlagerungsprinzip

�• Superposition der «Erregung» entlang der Linie :

(1) Bewegte Ladung im Linienleiter:

dQ = q q v =q dldt

= dQdt

dl = i dl

dH = q4 r r 2 v × r r

r r

dH = i4 r r 2 dl × r r

r r

H = i4

dl × r r( )r r 3 : Superposition

Der etwas unübliche und veraltete Begriff der «magnetischen Erregung» wurde hier gewählt, um den Aspekt der Ursache (d.h. Strom erzeugt Magnetfeld) hervorzustreichen. Ab sofort verwenden wir nur noch den Begriff der magnetischen Feldstärke.

r r

q

v

dH

P

dl

r r (siehe

Folie 24)

-30-

16

P R

dz

d

r r

q

v

dH

P

dl

r r

z

Der stromdurchflossene Leiter II Das Überlagerungsprinzip (2) Der unendlich lange Linienleiter:

H = i4

dl × r r( )r r 3 = i

4dz ×R

R3

H = i4

1R2 dz × R

R=

= e i4

sin( )R2 dz

R d = dz cos 2( ) = dz sin( )= R cos( )

i dl =q vR = r rdz = ezdz=dl

dz × eR =e sin( ) dz

-31-

z R

ba

ba< 0

P

H = e i4

sin( )R2 dz R =

cos( )

= e i4

R

R2 d

a

b

= e i4

dR2

2

= e i4

cos( ) d2

2

= e i2

Der stromdurchflossene Leiter III Das Überlagerungsprinzip

Die magnetische Feldstärke steht im Rechtsschrauben-sinn zur Stromrichtung. Das H-Feld ist radialsymmetrisch.

(2) Der unendlich lange Linienleiter:

H = i

2e

i

H

P

z

Merke: Bezugspfeile !

-32-

17

Der stromdurchflossene Leiter IV Das Überlagerungsprinzip

�• Ansatz analog zu Folie 31:

(3) Der endlich lange Linienleiter:

H = i4

dl × r r( )r r 3

a

b

H = e i4

cos( ) da

b

= i4

sin b( ) sin a( ) e

i8

2 e

Gedankenexperiment: Wir bewegen den Punkt P parallel zum Leiter in weite Ferne. Gemäss dem Verhalten von 2 wird das H-Feld ausserhalb des Leiterabschnitts monoton abnehmen. Irgendwie seltsam.

= b a : Öffnungswinkel

Gilt im fernen, parallel verschobenen Punkt !

-33-

H

i

Der stromdurchflossene Leiter V Das Überlagerungsprinzip

�• Irgendwie seltsam: Die magnetische Feldstärke im fernen Punkt P (z >> b, bzw. z << a) ist ein radial- symmetrisches Feld, welches sich scheinbar «um nichts» ausbildet (Ursache der «Erregung» fehlt).

�• Das H-Feld im fernen Punkt scheint von unphysi- kalischer Natur zu sein (formaler Beweis Folie 43).

�• Umgekehrtes Argument: Die Anregung ist unphy- sikalisch, da ein kurzes Leiterstück keinen ge- schlossenen Stromkreis darstellt. Es könnte in diesem Fall zudem eine geschlossene Hülle so gewählt werden, dass die Kontinuitätsgleichung des stationären Strömungsfeldes verletzt wäre.

�• Fazit: Das Überlagerungsprinzip ist physikalisch korrekt nur für den unendlich langen Leiter und für den in sich geschlossenen Leiter (Leiterschleife).

(4) Diskussion des Überlagerungsprinzips:

H

Naher Punkt:

Ferner Punkt:

-34-

18

Der stromdurchflossene Leiter VI Das Gesetz von Biot-Savart

�• Geschlossene Leiterschleife bezeichnet entweder den Stromkreis selbst, oder dann eine Leiterschleife mit sehr eng geführten (u.U. verdrillten) Zuleitungen.

�• Die meisten technischen Anwendungen lassen sich auf Schleifen reduzieren.

�• Die magnetische Feldstärke H eines in sich geschlossenen «Stromfadens»:

(1) Die «geschlossene» Leiterschleife:

Das Biot-Savartsche Gesetz

r r

q+

v

dH

P

dl

r r

i

H = i4

dl × r r( )r r 3

-35-

Der stromdurchflossene Leiter VII Das Gesetz von Biot-Savart (2) Wichtige Klarstellung:

�• Geschlossene Leiterschleife: Das Gesetz von Biot-Savart gilt demnach nur für ein geschlossenes, strom- führendes System (d.h. die Leiter- schleife als Ganzes).

�• Strengenommen erzeugen weder das isolierte, freistehende Leiterelement (i·dl) noch die bewegte Einzelladung (q·v) einen stationären elektrischen Strom, geschweige denn ein statisches magnetisches Feld.

�• Die Betrachtungen zu den bewegten Einzelladungen aus den Folien 23-28 gelten demnach nur näherungsweise (z.B. für kleine Geschwindigkeiten).

r r

dH

P

dl

r r

i

-36-

19

r r J

dH

P

r r

J

dV

V

Der stromdurchflossene Leiter VIII Das Gesetz von Biot-Savart

�• Die «dicke» Stromverteilung im angege- benen Leitervolumen V´ kann mittels eines «Bündels» von Stromfäden dar- gestellt werden.

�• Für die Überlagerung der Stromfäden gilt demnach mit:

(3) Das «dicke» Leitervolumen:

Das Biot-Savartsche Gesetz

H = 14

J × r r( )r r 3 dV

V

i dl = J n dA( ) n dl( ) = J dV

-37-

Das Durchflutungsgesetz I Das Ampèrsche Verkettungsgesetz

�• Zu Zeiten von André Marie Ampère (1774- 1836) war die Vektorrechnung noch nicht erfunden: daher musste aus Beobachtungs- daten logisch geschlossen werden.

�• Bisher zeigte das Biot-Savartsche Gesetz: «Das H-Feld windet sich um den Strom i, wobei der Strom gleichzeitig eine geschlos- sene Schleife bildet» (Folien 32, 35).

�• Ampère argumentiert umgekehrt, d.h. aus der Sicht des Stromes: «Der Strom i windet sich um das H-Feld» (geschlossene Feldlinie).

(1) Logische Weiterführung des Biot-Savartschen Gesetzes:

H i

i H

«Bewirtschaftung» der Stromschleife (Biot-Savart).

«Bewirtschaftung» der «Feldlinien- schleife» (Idee von Ampère).

-38-

20

�• Wir folgen Ampères Argument und berechnen das Umlaufintegral des H-Feldes auf einem kreisförmigen, konzentrischen Weg im Richtungssinn des H-Feldes um den unendlich ausgedehnten geraden Fadenstrom.

�• Nun lässt sich postulieren (Beweis folgt später):

Das Durchflutungsgesetz II Das Ampèrsche Verkettungsgesetz (1) Postulierung des Durchflutungsgesetzes:

H

i

H = i

2e

H dl = i2

e dl =dl =dl e i

2dl =

= i2

2 = i

H dl = i

Ampèrsches Verkettungegesetz

-39-

�• Da das H-Feld in der Stromrichtung (z-Achse) invariant ist, kann jede beliebige geschlossene Kurve auf die Ebene z = 0 projiziert werden und man erhält so die Kontur .

Das Durchflutungsgesetz III Das Ampèrsche Verkettungsgesetz (2) Beweis der Allgemeinheit:

dl = e d + e d

H dl = i2

e dl

e H : e H = 0

H dl = i2

d0

2

= i

-40-

21

�• Allgemeinere Interpretation:

Das Durchflutungsgesetz IV Das Ampèrsche Verkettungsgesetz (2) Beweis der Allgemeinheit:

H dl = i2

e dl

= ie dl2

= idl2

= i2

dl

d

= i2

H dl = i

2

=2 Q innerhalb

0 Q ausserhalb

-41-

�• Allgemeines Ampèrsches Verkettungsgesetz:

Das Durchflutungsgesetz V Das Ampèrsche Verkettungsgesetz (3) Hin zur Integral-Formulierung des Durchflutungsgesetzes:

H dl

A

= inn

=

�• Vorzeichen: Ströme, deren Bezugspfeil mit dem Umlaufsinn von A des Integrals ein Rechts- schraubensystem bilden, werden positiv gezählt. Die Grösse ist die Durchflutung.

�• Allgemeines Durchflutungsgesetz (für eine kontinuierliche Überlagerung von Stromfäden):

H dl

A

= J dFA

=�• Vorzeichen: Das vektorielle Flä- chenelement dF bildet mit A ein Rechtsschraubensystem.

-42-

22

�• Ähnlich wie beim Satz von Gauss der Elektro- statik (Folie 1-82) werden hier:

(a) Quellenterme mit den entsprechenden Feld grössen in Beziehung gesetzt;

(b) Verknüpft ein Gebietsintegral (A) mit einem Integral über den Gebietsrand ( A).

�• Die differentielle Form des Durchflutungsge- setzes ergibt sich aus dem Satz von Stokes

(siehe hierzu Folie 1-92).

Das Durchflutungsgesetz VI Zusammenfassung Weiterführende Betrachtungen zum Durchflutungsgesetz:

rotH = J

H dl

A

= J dFA

=

H dlA

= rotH dFA

= J dFA

Integralform des Durchflutungsgesetzes

(Ampèrsches Verkettungsgesetz)

Differentialform des Durchflutungsgesetzes

(Ampèrsches Verkettungsgesetz)

-43-

Nachtrag «endlicher Leiterabschnitt»

�• Das Umlaufintegral im fernen Punkt PF ergibt gemäss dem Feld aus Folien 33 und 34 stets einen endlichen Wert:

�• Es wurde auf A aber kein Quellenterm (Stomstärke) umlaufen!

�• Die von A aufgespannte Fläche A wird von keinem Strom durch- flutet!

H dl

A

0

Einige Beweisargumente:

Unphysikalische magnetische Feldstärke

Die durch das endliche Stromsegment implizier- te Unstetigkeit im H-Feld ist unphysikalisch.

-44-

23

B= µ04

J × r r( )r r 3 dV

V

= µ04

J ×r r( )r r 3 dV

V

=

= µ04

J × grad 1r r

dVV

grad 1r r

=r r( )r r 3

= µ04

J × 1r r

dVV

= µ04

×J r( )r r

dVV

«Ladungsfreiheit» des Magnetfeldes I Betrachtung der magnetischen Flussdichte

Vektoranalysis, (cf. Folie 1-42)

(1) Umformung des Biot-Savartschen Gesetzes (aus Folie 37):

u × v = v ×u( )

× s v( ) = s × v + s × v = v × s

fällt weg da v nur von den Quellenkoordinaten abhängt.

-45-

«Ladungsfreiheit» des Magnetfeldes II Betrachtung der magnetischen Flussdichte

�• Dieses Integral ist fast identisch mit dem Coulomb- Integral aus Folie 1-31 !

�• Aus der Vektoranalysis gilt:

(2) Umformung hin zu einem Grundgesetz des Magnetfeldes:

B= µ04

×J r( )r r

dVV

= µ04

×J r( )r r

dVV

div rot( ) = 0

divB = µ0

4×

J r( )r r

dVV

= 0

divB = 0

(3) Das Grundgesetz des Magnetfeldes:

�• Die Divergenzfreiheit der magnetischen Flussdich- te bedeutet: Es gibt keine magnetischen Quellen!

-46-

24

«Ladungsfreiheit» des Magnetfeldes III Betrachtung der magnetischen Flussdichte (4) Fazit

divB = 0

B dFV

= 0

Quellenfreiheit des B-Feldes.

z.B. über Divergenzsatz (Folie 1-75)

B = 0 ×E= 0

�• Die Integraldarstellung des B-Feldes in der Schreibweise aus Folie 46 ähnelt der Gestalt eines (vektoriellen) Poten- tialfeldes. Aus diesem Grund korrespondieren die beiden statischen Grundgesetze sinngemäss (zur Verdeutlichung in der Nabla-Schreibweise):

�• Die Quellenfreiheit des B-Feldes impliziert nicht, dass dem Magnetfeld keine Quellen zugrunde liegen, sondern (in Anlehnung an die elektrische Flussdichte D) dass es keine magnetischen Ladungen gibt, d.h. keine magnetischen Monopole (siehe auch Folien 20-22).

�• Magnetische Quellen sind demnach linienförmig ausgeprägt, (d.h. gerichtet, oft auch dipolartig), im Gegensatz zu den (monopolartigen) Punktladungen in der Elektrostatik.

�• Demnach zeigt rot H die «reale Quelle» an und nicht div B.

-47-

Vektoranalysis I Motivation zur Einführung von Potentialfeldern Allgemeine Betrachtungen:

Aus der Elektrostatik und Folie 46 wissen wir nun, dass die vektoranalytischen Identitäten gelten müssen:

Man kann nun den umgekehrten Weg gehen und diese Identitäten zur Definition von neuen, besser handhabbaren Feldern nutzen: die Potentiale.

Hierbei ist das Skalarpotential (zugehörig zum u-Vektorfeld) und A das Vektor-potential (zugehörig zum w-Vektorfeld). Die formale Verknüpfung zu den Quel-lengrössen erfolgt z.B. gemäss der Poissonschen Vektoridentität (Folie 49).

div rot i( ) 0 rot grad i( ) 0

rot grad i( ) 0 rotu = 0 u = ±grad

div rot i( ) 0 divw = 0 w = rotA

-48-

25

v = grad + rotA : A :

Vektoranalysis II Das Poissonsche Theorem (1) Die Poissonsche Vektoridentität:

Skalares Potential

v = 1

4graddivv rot rot v

r rdV

V

= 14

vr r

dVV

(2) Einführen von Potentialen (als reine Hilfsgrössen):

Vektorpotential

grad + rotA = 14

graddivvr r

dV + 14

rot rot vr r

dVVV

= 14

divvr r

dV + 0V

A = 14

rot vr r

dVV

+ A0

v =O r r 2( )

(siehe hierzu auch Folie 1-198 ff.)

-49-

B = grad + rotA : A :

Magnetische Potentiale I Aus der Vektoranalysis (1) Feldgrössen und zugeordnete Potentiale:

magnetisches Skalarpotential

magnetisches Vektorpotential

(2) Magnetisches Skalarpotential:

= 14

divBr r

dV + 0V

divB= 0= 0

(A) Das Potential ist frei wählbar. Aus dem inhomo-genen Lösungsansatz aus Folie 49 lässt sich vorerst kein magnetisches Skalar-potential finden.

(B) Dies übrigens auch nicht, wenn im betrachteten Feld- raum eine Stromdichte J existiert (rot H zeigt Quelle

an und nicht div B):

rotH = J

rotH = 0 H = grad

Lässt sich diese Definition trotzdem verallgemeinern?

(C) Alternativer Zugang: Für das Feldgebiet ausserhalb des stromführenden Gebiets V ', d.h. ausserhalb von J, gilt hingegen:

v B

-50-

26

Magnetische Potentiale II Das magnetische Skalarpotential Eindeutige und mehrdeutige Definition:

�• Das magnetische Skalarpotential ergibt sich analog zur Elektrostatik aus einem Weg- integral entlang des Weges .

�• Umfasst das stromführende Gebiet, dann kann durch Wahl eines Be- zugspunktes ein Potentialfeld definiert werden. Doch:

H = grad

= H dlP0

P

Das magnetische Skalarpotential ist ent-weder mehrdeutig und stetig, oder eindeu-tig und unstetig.

�• Umfasst kein stromführendes Gebiet, dann ist das Skalarpotential eindeutig.

-51-

Magnetische Potentiale III Das magnetische Vektorpotential (1) Definitionsgleichungen:

(A) Magnetisches Vektorpotential:

A = 14

rotBr r

dVV

+ A0 =µ04

rotHr r

dVV

+ A0

A = µ04

Jr r

dVV

+ A0

B = rotA

divB = 0Es ist A das magnetische Vektorpotential zum

B-Feld, für welches ja gemäss Folie 48 gelten muss:

(B) Aus der Poissonschen Vektoridentität: (cf.Folie 49)

�• Das magnetische Vektorpotential ist bis auf den Term A0 bestimmt und daher nicht eindeutig.

�• Bei geeigneter Wahl von A0 hat dieser Term keinen Einfluss auf das B-Feld: Diese Wahlfreiheit heisst Eichfreiheit.

-52-

27

Magnetische Potentiale IV Das magnetische Vektorpotential

1. Freiheitsgrad: Potentiale sind über Ableitungen mit den realen Feldgrössen verknüpft und daher nur bis auf eine Konstante bestimmt (Folie 50). Gesucht ist daher z.B. A0, so dass die Feldgrösse B nicht verändert wird. Mit anderen Worten: Die Potentiale sind so «abzugleichen» (mittels Eichtransformationen), dass die elektromagnetischen Grundglei-chungen stets erfüllt bleiben (d.h. eichinvariant sind).

rot A A( ) = B B = 0

A A = gradA0 = grad

(2) Die Eichung der Potentiale:

A A = A + A0 : Eichtransformation

B = rotA := rotA : Eichinvarianz

A = A + grad

Diese Eichtrans- formation lässt die magnetische Feld-grösse invariant.

Folie 48

-53-

Magnetische Potentiale V Das magnetische Vektorpotential

2. Freiheitsgrad: Frei verfügen bedeutet, wir dürfen zusätzlich für die Divergenz von A jeden beliebigen funktionalen Zusammenhang annehmen. Die Wahl der Divergenz von A heisst Eichung von A. Aus später ersichtlichen Gründen wählen wir die Coulomb-Eichung.

(2) Die Eichung der Potentiale:

A = A + grad Das B-Feld ist demnach durch unendlich viele verschiedene

Vektorpotentiale A darstellbar. Welche Wahl treffen wir ?

Das Theorem von Helmholtz: Ein Vektorfeld ist im homogenen unbegrenzten Raum dann eindeutig bestimmt, wenn dessen Rotation und dessen Divergenz vorgegeben sind (siehe Folie 49 !) und zusätzlich das Vektorfeld im Unendlichen verschwindet.

Beim Vektorpotential A haben wir nur dessen Rotation vorgegeben, über die Divergenz können wir demnach noch «frei verfügen».

divA = 0

divA = divA + div grad( ) = 0 grad = const.

-54-

28

Magnetische Potentiale VI Das Gesetz von Biot-Savart Formulierung für das magnetische Vektorpotential:

�• Die Darstellung aus Folie 52 entspricht der «Potentialversion» des Coulomb-Integrals aus der Elektrostatik (Folie 1-31) bzw. dem Integral aus Folie 46. Diese Darstellung entspricht der Formulierung des Gesetzes von Biot-Savart für

die «dicke» Stromverteilung J (Folie 37).

�• Im Sinne von Folie 37 Folie 35 gilt auch hier für den Fadenstrom i:

�• Analog dazu ergibt sich das Gesetz von Biot- Savart für das magnetische Vektorpotential.

�• Auch hier erzeugt nur das geschlossene Leiter- system realistische Felder (Vektorpotentiale). Die Felder von Leiterabschnitten dienen lediglich der stückweisen Beschreibung von Systemen.

A = µ0

4J

r rdV

V

A = µ0 i

4dlr r

J dV = J n dA( ) n dl( )= i dl

-55-

rotH = J

divA = 0rotB= rot rotA( )=grad divA( )

= 0

A=µ0J

A= µ0J

Magnetische Potentiale VII Die Grundgleichungen der Magnetostatik (1) Poisson-Gleichung für das magnetische Vektorpotential:

Poisson-Gleichung für das magnetostatische Randwert-problem, wobei der Ansatz von Biot-Savart die partikuläre Lösung darstellt.

(2) Laplace-Gleichung für das magnetische Skalarpotential:

Strömungsfeld im Feldgebiet

H = graddivB = 0

divB = div µ0H( ) = div µ0 grad( )( )= µ0 = 0

=0

Kein Strömungsfeld im Feldgebiet

Laplace-Gleichung für das magnetostatische Randwertpro- blem (gilt nur für Feldgebiet ausserhalb des Strömungsfeldes).

-56-

29

Magnetische Potentiale VIII Die Grundgleichungen der Magnetostatik (3) Zu den Problemstellungen der Magnetostatik:

�• Überall wo die Stromdichte J verschwindet kann mit dem magnetischen Skalarpotential gerechnet werden.

�• Später: Das Skalarpotential kommt oft bei magnetisierten Materialien zur Anwendung.

�• Berechnung des Einflusses von Stromdichten J auf das resultierende Magnetfeld wird mit Hilfe des magnetischen Vektorpotentials behandelt.

�• Anders als bei den elektrostatischen Aufgaben, treten in der Magneto- statik kaum Randwertprobleme mit vorgegebenem Potential auf dem Rand des Feldgebiets auf.

�• Grund: Potentialdifferenzen sind in der Magnetostatik nicht einfach zu bestimmen weil die Ränder keine Äquipotentialflächen darstellen.

�• Randwertprobleme degenerieren deshalb oft zu Szenarien mit Quellen (Ströme oder magnetisierte Materialien) und unendlich fernen Rändern.

-57-

i

H

x

H

A

z

L

L

0

P

Magnetische Potentiale IX Veranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials (1) Das Vektorpotential des geraden stromdurchflossenen Leiters:

(A) Infinitesimal kleiner Leiterabschnitt 2L = dz (macht nur Sinn bei der Berechnung von Teilabschnitten in infinitesimal kleinen geschlossenen Leiterstrukturen).

Das magnetische Vektorpotential hat die gleiche Richtung wie der Bezugspfeil

der Stromstärke auf der Leiterachse.

A = dA = ddz

µ0 i4

dlr r

dz

A = ezµ0 i4

dzr r

dl =dz ez

-58-

30

i

H

x

H

A

z

L

L

0

P

r rdz

Magnetische Potentiale X Veranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials (1) Das Vektorpotential des geraden stromdurchflossenen Leiters:

(B) Endlich langer Leiterabschnitt: (macht nur Sinn bei der Berechnung von Teilabschnitten in geschlossenen Leiter-

strukturen).

A = µ0 i4

dz ezr rL

L

=

= ezµ0 i2

dzz2 + 2

0

L

=

= ezµ0 i2

lnL + L2 + 2

-59-

i

H

x

H

A

z

L

L

0

P

r rdz

Magnetische Potentiale XI Veranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials (1) Das Vektorpotential des geraden stromdurchflossenen Leiters:

(B) Endlich langer Leiterabschnitt:

A = ezµ0 i2

lnL + L2 + 2

A = ezµ0 i2

ln 2L L

A = ezµ0 i2

ln( )+C

(C) Unendlich langer Leiterabschnitt 2L :

C AMerke: Richtungssinn von A wird durch

das Vorzeichen des ln(.) beeinflusst !

ln 2L( )

-60-

31

i

H

x

H

A

z

L

L

0

P

Magnetische Potentiale XII Veranschaulichung des magnetischen Vektorpotentials (1) Das Vektorpotential des geraden stromdurchflossenen Leiters:

(D) Endlich «dicker» Leiter 0 > 0: Wir wollen für einmal von der Beziehung für

das B-Feld (Folie 32) ausgehen.

B = e µ0 i2

= rotA = eAz

Az = µ0 i2

Az =Az d

0

= µ0 i2

ln( ) +CMerke: Richtungssinn von A wird durch das Vorzeichen des ln(.) beeinflusst !

ln 0( )

(endliche Konstante !)

-61-

m

dx

x

y

zP

dy

r1

r2

r3

r4

r

A

i

Magnetische Potentiale XIII Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

A = µ0i

4dx 1

r3

1r1

ex + dy1r4

1r2

ey

(A) Für die infinitesimal kleine Schleife gilt (siehe Folie 58):

(B) Umformung des Ausdrucks :

1r3

1r1= r1 r3r1 r3

= r1 r3r1 r3

r1 + r3r1 + r3

=

= r12 r3

2

r1r3 r1 + r3( )

-62-

32

m

dx

x

y

zP

dy

r1

r2

r3

r4

r

A

i

Magnetische Potentiale XIV Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

(B) Umformung des Ausdrucks :

1r3

1r1= r1

2 r32

r1r3 r1 + r3( )

r12 r3

2 = r dy2( ) r dy

2( ) r + dy2( ) r + dy

2( )= 2 r dy

1r3

1r1= 2 r dyr1r3 r1 + r3( )

r1 r3 r r dyr 3

Kompakte Näherung des Ausdrucks :

-63-

m

dx

x

y

zP

dy

r1

r2

r3

r4

r

A

i

Magnetische Potentiale XV Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

(C) Umformung des Ausdrucks : (analog zu )

1r4

1r2= r2

2 r42

r2 r4 r2 + r4( )

r22 r4

2 = r + dx2( ) r + dx

2( ) r dx2( ) r dx

2( )= 2 r dx

1r4

1r2= 2 r dxr2 r4 r2 + r4( )

r2 r4 r

+ r dxr 3

Kompakte Näherung des Ausdrucks :

-64-

33

Magnetische Potentiale XVI Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

(D) Das magnetische Vektorpotential der infinitesimal kleinen Schleife:

A = µ0i4

dx 1r3

1r1

ex + dy1r4

1r3

ey =

= µ0i4

dx r dyr 3 ex + dy + r dx

r 3 ey =

=µ0i dx dy4 r 3 r ey( ) ex + +r ex( ) ey =

=µ0i dx dy4 r 3 ry( ) ex + +rx( ) ey

rx = r exry = r ey

-65-

Magnetische Potentiale XVII Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (1) Infinitesimal kleine, quadratische Schleifenanordnung:

(D) Das magnetische Vektorpotential der infinitesimal kleinen Schleife:

A =µ0i dx dy4 r 3 ry( ) ex + +rx( ) ey

rx = r cos( ) sin( )ry = r sin( ) sin( )

A =µ0i dx dy4 r 2 sin( ) ex + cos( ) ey sin( )

=µ0i dx dy4 r 2 e sin( ) = µ0i dA

4 r 2 sin( ) e dA = dx dy

Frage: Lässt sich dieser Ausdruck für das Vektorpotential noch weiter vereinfachen?

-66-

34

m

dx

x

y

zP

dy

r1

r2

r3

r4

r

A

i

Magnetische Potentiale XVIII Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (2) Das magnetische Dipolmoment:

(D) Das magnetische Dipolmoment m der Schleife:

A = µ0i dA4 r 2 sin( ) e

ez × er = ez × er e = sin( ) e

A =

µ0i dA ez4 r 2 × er m = i dA ez

A = µ04 r 2 m × er( ) = µ0

4m × rr 3

Merke: Das magnetische Vektorpotential «windet» sich im gleichen Sinn wie der Strom in der Schleife (siehe auch Folie 58).

-67-

Magnetische Potentiale XIX Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (3) Direkte Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

A =

µ0 m4 r2

sin( ) e = A er = rm = i dA

B = rotA = 1r sin( ) A sin( )( ) er 1

r rr A( ) e

= 1r sin( )

µ0 m4 r2

sin( )2 er1r r

µ0 m4 r

sin( ) e

=µ0 m4 r2

1r sin( )

2 sin( ) cos( )( ) er 1r

sin( )( ) e

(siehe Folie 67) Siehe Vektor- analysis für sphärische Koordinaten

-68-

35

Magnetische Potentiale XX Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (3) Direkte Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B =µ0 m4 r2

1r sin( )

2 sin( ) cos( )( ) er 1r

sin( )( ) e

=µ0 m4 r2

1r2cos( )( ) er + 1r sin( ) e

=µ0 m4 r3

2 cos( ) er + sin( ) e{ }

B =µ0 m4 r 3 2 cos( ) er + sin( ) e{ } Die magnetische

Flussdichte des magnetischen Dipols.

-69-

Magnetische Potentiale XXI Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B = rotA = µ0

4rot m× r

r 3

Vektor- analysis (Folie 45):

grad 1r

= rr 3

B = µ04

rot m×grad 1r

= µ04

× m× 1r

= µ04

× 1r

×m u × v( ) = v ×u( )Vektor- rechnung:

× u × v( )= v( )u +u v( ) u( )v v u( )Aus der

Vektoranalysis:

-70-

36

Magnetische Potentiale XXII Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

× 1r

×m = m( ) 1r

+ 1r

m( )

1r

m m 1r

Begründung der Streichung : Das Dipolmoment ist eine konstante Grösse!

mm

00

Begründung der Streichung : Der Laplaceoperator auf ein Potential- feld angewendet ergibt definitions gemäss Null (ausserhalb von r = 0).

1r

0

-71-

Magnetische Potentiale XXIII Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B = µ04

× 1r

×m = µ04

m( ) 1r

= µ04

m( ) rr 3

= µ04 m

rr 3

Zum Vektor- gradienten siehe Folie 1-142

Kann dieser Ausdruck noch vereinfacht werden? Ja, mit Hilfe der vektoranalytischen Beziehungen aus Folie 1-143.

-72-

37

Vektoranalysis Zum Operator «Vektorgradient»

(4) Vektoridentität für den Vektorgradienten

(aus Folie 1-143)

grad u v( ) = u grad( )v + u × rot v( ) ++ v grad( )u + v × rotu( )

Stark vereinfachter Fall:

u :v :

Konstantes Vektorfeld, bzw. konstanter Vektor

Konservatives Vektorfeld; bedeutet: rot v = 0

grad u v( ) = u grad( )v

-73-

Magnetische Potentiale XXIV Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B = µ04

m( ) rr 3 =

µ04

m rr 3 = µ0

4m 1

r

Aus der Vektoranalysis:

B = µ04

m rr 3 f g( ) = f g + g f

f = m r

g = 1 r 3

B =µ04

m r 1r 3 + m

r 3 = µ04

m r 3 err 4 + m

r 3

-74-

38

B = µ04

m r 3 err 4 + m

r 3 = µ04 r 3 3 m r( ) r

r 2 m

B = µ04 r 3 3 m r( ) r

r 2 m

Magnetische Potentiale XXV Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

Dies ist eine identische Darstellung wie das elektrische Feld des elektrostatischen Dipols aus Folie 1-61. Der magnetostatische Dipol und der elektrostatische Dipol zeigen eine formale Analogie.

B =µ0 m4 r 3 3 m r

m rrr

mm

=µ0 m4 r 3 3 cos m,r( )( ) er em

Alternative Darstellung: (vergleiche Folie 1-61)

-75-

Magnetische Potentiale XXVI Beispiel: «Kleine Leiterschleife» (4) Die allgemeine Bestimmung der magnetischen Flussdichte:

B =µ0 m4 r 3 3 cos m,r( )( ) er em

m

x

y

zP

r

em

er

e

cos m,r( )( ) = cos( )em = cos( ) er sin( ) e

B =µ0 m4 r 3 2 cos( ) er + sin( ) e

Dies ist die identische Darstellung wie auf der Folie 69 bei der direkten Berechnung der magnetischen Flussdichte.

-76-

39

P

R

i

m

z

r

dr

rP

r dr

n

1

2r dr( )

A

Magnetische Potentiale XXVII Nachtrag zum magnetischen Dipolmoment (4) Die allgemeine Bestimmung des magnetischen Dipolmoments:

m = iAn Betrag entspricht

der Dreieckfläche

m = i n dAdFA

= i2

r ×drA

m = i2

r ×drA

= i 12

r ×drA

= i 12

rP +R( )×drA

= i 12

rP ×drA

= 0

+ i 12

R×drA

=A n

Kreisstrom

-77-

Magnetische Potentiale XXVIII Nachtrag zum magnetischen Dipolmoment (5) Das magnetische Dipolmoments einer «dicken» Stromverteilung:

m = i

2r ×dr

A

�• Das Dipolmoment des geschlossenen Stromfadens:

�• Das Dipolmoment der «dicken» Stromver- teilung ergibt sich aus der bündelweisen Überlagerung von geschlossenen Strom- fäden. Dieses Bündel hat das Volumen V' = A × Ar.

m = 1

2r × J( )

V

dV i dr =dQ v =dV v =dV J

-78-

40

Äquivalenz von Magnet und Strom Felder von Kreisstrom und magnetischem Dipol

�• Die Quellen des magnetischen Feldes sind anisotrop, d.h. «linienförmig gerichtet», d.h. dipolartig (cf. Folien 20, 67).

�• Magnetfelder werden sowohl von magnetisiertem Material, als auch von «freien» Strömen (besser: von Kreisströmen bzw. von Stromkreisen) erzeugt.

�• Der magnetische Dipol ist völlig äquivalent zum Magnetfeld eines «gebundenen» Kreisstromes.

�• Ampèrsche Hypothese: Auch die Magnetfelder in magneti- sierten Materialien rühren von atomaren Kreisströmen her.

�• Permanentmagnete (magnetisierte Materialien) können demnach über eine «äquivalente Kreisstromdichte» bzw. über die magnetische Dipoldichte M beschrieben werden.

�• Atomare Kreisströme gehen demnach aus der Überlagerung der Ladungsbewegungen in den Elektronenbahnen hervor.

Konsequenzen dieser Analogie:

-79-

Magnetisierte Materialien I Die Magnetisierung

�• Es gibt keine magnetischen Ladungen (cf. Folie 47). Formal kann man gegebenenfalls fiktive Ladungen einführen um die Berechnung zu vereinfachen (später).

�• Die Quelle aller statischen Magnetfelder sind Kreis- ströme, bzw. alle statischen magnetischen Felder rühren von magnetischen Dipolen her (Äquivalenzprinzip).

�• Magnetisiertes Material wird demnach über die Dipol- dichte, bzw. die Magnetisierung beschrieben:

M = lim

V 0

1V

mii

Kontinuums-

näherung

dmdV

(1) Was sind die Quellen des Magnetfeldes?

M = dm

dVMagnetische Dipoldichte bzw. Magnetisierung

-80-

41

A = µ04

m × r r( )r r 3

m=M dV A = µ04

M r( )× r r( )r r 3 dV

V

Magnetisierte Materialien II Die Magnetisierung

(A) Magnetisches Potential des Kreisstroms (Folie 67):

(2) Überlagerung von magnetischen Dipolen bzw. deren Dipolfeldern:

(B) Umformungen:

A = µ04

M r( )× r r( )r r 3 dV

V

= µ04

M r( )× 1r r

dVV

= + µ04

M r( )× 1r r

dVV

grad gradrgrad gradr = gradr

-81-

Magnetisierte Materialien III Die Magnetisierung (2) Überlagerung von magnetischen Dipolen bzw. deren Dipolfeldern:

(B) Umformungen:

A = + µ04

M r( )× 1r r

dVV

(C) Aus der Vektoranalysis:

rot s v( ) = s rot v v ×grad s × s v( ) = s × v( ) v × s

A = µ04

×M r( )r r

dVV

+ µ04

×M r( )r r

dVV

v := M r( )

s := 1r r

Ziel: weiteres umformen von

und !

-82-

42

divv dVV

= c rotu dVV

= u × c( ) dFV

= c rotu dVV

= u × c( ) dFV

= c u ×dF( )V

rotu dVV

= u ×dFV

Vektoranalysis Herleiten einer nützlichen Integralbeziehung

Alternative Variante des Satzes von Gauss

I( ) divv dVV

= v dFV

v = u × cc = const.

II( ) div u × c( ) = c rotu u rot c = c rotu

Variationen zum Satz von Gauss:

-83-

Magnetisierte Materialien IV Die Magnetisierung

(D) Umformen der Beziehung mit Hilfe der hergeleiteten Integralbeziehung:

(2) Überlagerung von magnetischen Dipolen bzw. deren Dipolfeldern:

µ04

×M r( )r r

dVV

= + µ04

M r( )×dFr rV

A = µ04

×M r( )r r

dVV

+ µ04

M r( )×dFr rV

A = µ04

rot Mr r

dVV

+ µ04

M ×nr r

dFV

(E) Lösung: magnetisches Vektorpotential aus der Volumenverteilung von Dipolen:

Identische Darstellungen

-84-

43

JF

Magnetisierte Materialien V Die Magnetisierung

�• Mit Blick auf Folie 55: Dies ist die «Materie-Darstellung» des Biot-Savartschen Gesetzes (selbst wenn über ein Volumen V' integriert wird berücksichtigen wir stets geschlossene atomare Stromkreise).

(3) Nochmals: Was sind die Quellen des Magnetfeldes?

A = µ0

4rot Mr r

dVV

+ µ04

M ×nr r

dFV

Jm = rot M

�• Das magnetisierte Material (Volumenverteilung von Dipolen) lässt durch eine Verteilung von Stromdichten Jm und einer Verteilung von Flächenstromdichten JF repräsentieren.

JF = M ×n

Magnetisierungsstromdichte Magnetisierungsstrombelag

Merke: Dies sind gebundene Ströme!

-85-

�• Beispiel: Für einen Zylinder wie im nebenstehenden Bild mit konstanter und homogener Magnetisierung M, welche achsenparallel orientiert ist, gilt:

und

�• Das Magnetfeld des magnetisierten Zylinders wird demnach nur durch die Flächenstrombeläge wiedergegeben. Die im Volumen verteilten Kreisstromdichten heben sich gegenseitig auf (siehe auch Skizze !).

JF

Magnetisierte Materialien VI Die Magnetisierung (3) Nochmals: Was sind die Quellen des Magnetfeldes?

Jm = 0

JF = M ×n

-86-

44

Magnetisierte Materialien VII Die Magnetisierung

�• Definitionsgleichung des magnetischen Potentials (Folie 51):

(4) Das magnetische Skalarpotential eines magnetisierten Volumens:

H = grad rotH = 0�• Das B-Feld des Kreisstromes (Folie 74):

B = µ0

4m r r( )r r 3 = µ0 ( )

= 14

m r r( )r r 3 = 1

4M r( ) r r( )

r r 3 dVV

�• Das magnetische Skalarpotential des Kreisstromes (Dipols):

(keine freien Ströme)

-87-

Magnetisierte Materialien VIII Die Magnetisierung (4) Das magnetische Skalarpotential eines magnetisierten Volumens:

= 14

M r( ) r r( )r r 3 dV

V

= + 14

M r( ) 1r r

dVV

�• Aus der Vektoranalysis (cf. Folie 1-111 ):

div s v( ) = s divv + v grad ss v( ) = s v + v s

-88-

45

Identische Darstellungen

Magnetisierte Materialien IX Die Magnetisierung (4) Das magnetische Skalarpotential eines magnetisierten Volumens:

= 14

M r( ) 1r r

dVV

= 14

M r( )r r

dVV

14

M r( )r r

dVV

= 1

4M r( )r r

dVV

+ 14

M r( )r r

dFV

= 14

div Mr r

dVV

+ 14

M nr r

dFV

-89-

Magnetisierte Materialien X Die Magnetisierung

�• Interpretation der Quellenterme als fiktive magnetische Ladungsdichten:

(4) Das magnetische Skalarpotential eines magnetisierten Volumens:

= 14

div Mr r

dVV

+ 14

M nr r

dFV

magn = div M magn = M n

Fiktive magnetische Raumladungsdichte Fiktive magnetische Flächenladungsdichte

Merke: Die fiktiven magnetischen Ladungsdichten sind reine Rechen-grössen und haben keinen physi-kalischen Realstatus!

Qmagn = magn dVV

F =Qmagn H

�• Es gilt vollständige Analogie zur Elektrostatik: Diese Analogie ist in der Praxis nicht relevant; die Beziehungen zum Skalarpo- tential hingegen schon.

-90-

46

�• Beispiel: Für einen Zylinder wie im nebenstehenden Bild mit konstanter und homogener Magnetisierung M, welche achsenparallel orientiert ist, gilt:

und

�• Das Magnetfeld des magnetisierten Zylinders wird demnach nur durch die fiktiven magnetischen Flächenladungsdichten wiedergegeben. Die im Volumen verteilte fiktive magneti- sche Raumladungsdichte ist Null.

Magnetisierte Materialien XI Die Magnetisierung (5) Nochmals: Was sind die Quellen des Magnetfeldes?

magn = 0

magn = M n

magn

+

M

magn

-91-

Zylinder mit konstanter und homogener Magnetisierung M, welche achsenparallel orientiert ist.

Magnetisierte Materialien XII Beispiel: «Der homogen magnetisierte Zylinder»

magn

+

M

magn JF

M

H B

-92-

47

Magnetisierte Materialien XIII Zur magnetischen Feldstärke H

Merke: Diese Gleichung ist für die Praxis nicht von Bedeutung, da eine Differentiation unter dem Integral vorkommt. Es gibt einfachere Berechnungsverfahren (Folie 98).

Poissonsche Vektoridentität:

H = 14

graddivH rot rotHr r

dVV

rotH = J

divH =AnalogieFolie 90

magn = divM

H = 14

rot J +grad div Mr r

dVV

H = 14

rot J +grad magn

r rdV

V

divH = divMMagnetisierung ist

Quelle des H-Feldes:

�ˆD = �ˆD; �ˆD1 �ˆD2 = �ˆD1 �ˆD2

�ˆD :Differentialoperator

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Magnetisierte Materialien XIV Zur magnetischen Flussdichte B

(A) Nützliche Beziehung aus dem Vektorpotential (Folie 81):

Direkte Bestimmung für das magnetisierte Material:

A =+ µ04

M r( )× 1r r

dVV

B = ×A = rotA

B = µ04

× M r( )× 1r r

dVV

B = µ04

rot M r( )× grad 1r r

dVV

(B) Kommentar: Dies ist eine alter-

native Beziehung zum H-Feld aus Folie 93.

-94-

48

Magnetisierte Materialien XV Die Flussdichte B und die Feldstärke H (1) Magnetische Polarisation: �• Im Vakuum sind das B-Feld und das H-Feld

fast identisch, d.h. proportional zueinander (Folie 23).

�• Im magnetisierten Medium sind die beiden Feldgrössen unterschiedlich (cf. Folie 92 !), d.h. es braucht beide Feldgrössen zur Be- schreibung des Magnetfeldes in magnetisier- ten Medien.

�• Sämtliche Magnetfeldbeiträge (i.e. Quellen) berücksichtigen!

�• Ansatz:

rotB = µ0Jtot Jtot = J + Jm= J + rotM

rotB = µ0 J + rotM( )

gebundene Ströme

freie Ströme

rot B

µ0M = J

(totales Magnetfeld)

-95-

Magnetisierte Materialien XVI Die Flussdichte B und die Feldstärke H (2) Magnetische Feldstärke in magnetisch polarisierbaren (magnetisierbaren) Medien:

�• «Aufdröseln» des totalen Magnetfeldes nach dem bekannten Beitrag:

rot Bµ0

M = J = : rotH

H = Bµ0

M

freie Ströme

�• Umgekehrt ergibt sich die Materialgleichung:

B =µ0 H +M( )

Identische Darstellungen

(das Magnetfeld erhält in Materie mit M einen zusätzlichen feld- stärkeartigen Beitrag)

-96-

49

Magnetisierte Materialien XVII Die Flussdichte B und die Feldstärke H (3) Magnetische Suszeptibilität und magnetische Permeabilität:

�• Durch freie Ströme erzeugtes Magnetfeld (H) polarisiert die Materie via Kraftwirkung (B), was wiederum eine feldstärkeartige «Reaktion» M (Dipolbildung) bewirkt.

�• Annahme einer linearen Abhängigkeit zwischen «Reaktion» M und der (bekannten) «Erregung» H:

M = m H m : Magnetische Suszeptibilität

B = µ0H +µ0 mH =

=µ0 1+ m( ) H =µ0µr H =

= µ H

µ :Permeabilität

µr :Permeabilitätszahl

µ0 :magn. Feldkonstante B = µ H

µ = µ0µr

µr = 1+ m

-97-

Magnetisierte Materialien XVIII Fazit zum Magnetfeld in magnetisierbaren Materialien (4) Die Materialgleichung des Magnetfeldes:

�• Bei der Berechnung der magnetischen Feldstärke spielen nur die freien Ströme eine Rolle. Der Anteil der gebundenen Ströme (Magnetisierung) ist in der Materialbeziehung zwischen dem B- und dem H-Feld «versteckt».

�• Die Permeabilität µ enthält demnach alle mikroskopischen Eigenschaften des linearen magnetischen Materials.

�• Magnetische Materialien sind eine häufige Quelle des Magnet- feldes. Es geht also nicht nur um die Polarisation des Materials in einem externen Magnetfeld, wie in der Elektrostatik (dort sind hingegen die fest polarisierten Materialien (Elektrete) eher selten).

�• Ein Material ist diamagnetisch: m < 0 µr < 1

�• Ein Material ist paramagnetisch: m > 0 µr > 1

�• Ein Material ist ferromagnetisch: m >> 1 µr >> 1 (weichmagnetisch, d.h. linearisiert)

B = µ H

-98-

50

Magnetisierte Materialien XIX Fazit zum Magnetfeld in magnetisierbaren Materialien (5) Übersicht:

(A) Felder freier Ströme:

rotH = J

divH = 0

rotB = µ0JdivB = 0

(B) Felder magnetisierbarer Materie:

(C) Felder freier Ströme und magnetisierbarer Materie:

rotH = J

divH = divM

rotB = µ0 J + rotM( )divB = 0

rotH = 0divH = divM

rotB = µ0 rotMdivB = 0

H = rot J

A = µ0J

=divM

H = grad

H = rot J graddivM�• Fälle superponieren: H = HJ + HM

�• Lösungen: Folien 84 und 89.

-99-

Grenzbedingungen der Magnetfelder I Magnetische Flussdichte B

(1) Das Grundgesetz des Magnetfeldes zur «Ladungsfreiheit» des Magnetfeldes (Folie 47):

B dF

V

= 0

divB = 0

Integralform bezüglich der «Integrationsbox» V wobei V = Ai ist.

Differentialform

(2) Wir verwenden an der Grenzschicht für den Operator «div» die Flächendivergenz (siehe hierzu Folie 1-96 ff.):

DivB = 0

n12 B2 B1( ) = 0 DivB = n12 B2 B1( ) = 0

Normalkomponenten der magnetischen Flussdichte sind stetig!

-100-

51

Grenzbedingungen der Magnetfelder II Magnetische Feldstärke H

Integralform mit A = i

(1) Das Grundgesetz des Magnetfeldes zu den Quellen des Magnetfeldes: das Durchflutungs- gesetz aus (Folie 43):

Differentialform

(2) Wir verwenden an der Grenzschicht für den Operator «rot» die Flächen- bzw. Sprungrotation (Folie 1-99 ff.) und an Stelle der Stromdichte J ergibt sich die (freie) Flächenstromdichte JF.

RotH = JF n12 × H2 H1( ) = JF

rotH = J

H dl

A

= J dFA

RotH = n12 × H2 H1( )

Tangentialkompo- nenten der magne- tischen Feldstärke sind stetig!

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Grenzbedingungen der Magnetfelder III Das Brechungsgesetz des Magnetfeldes

(1) Kombination der Grenzbedingungen:

(2) Beispiele:

I( ) µ1 > µ2 : 1 > 2 µ1 < µ2 : 1 < 2

II( ) µ2 , µ1 = endlich : 1 = 0 2 = 2

B1 n12 =B2 n12 µ1 H1 n12 =µ2 H2 n12H1 t = H2 t

µ1 H1 cos 1( )= µ2 H2 cos 2( )H1 sin 1( )= H2 sin 2( )

untere Gleichung 2( )obere Gleichung 1( )

tan 1( )tan 2( ) =

µ1µ2

Das Brechungsgsetz des Magnetfeldes

-102-

52

-103-

Grenzbedingungen der Magnetfelder IV Magnetische Dipoldichte bzw. Magnetisierung M

(A) Tangentialkomponenten:

H = Bµ0

M RotH =n12 × H2 H1( ) = 0RotH = 1

µ0RotBJF

n12 × M 2 M1( ) = 0

n12 × M 2 M1( ) = JF

(B) Normalkomponenten:

B = µ0 H +M( ) DivB=n12 B2 B1( ) = 0DivB = µ0 DivH

magn

+µ0n12 M 2 M1( ) = 0 n12 M 2 M1( ) = magn

n12

M

1 M

2

JF

magn

In Übereinstimmung mit früheren Ergeb-nissen. Vergleiche die Darstellung aus Folie 92 !

Im Gegensatz zu Folie 101 ist dies eine gebundene Flächenstromdichte (Folie 85: Magnetisierungsstrombelag).

Zu den Randwertproblemen Bemerkungen im Kontext der Magnetostatik

Welche Randwertprobleme? Mit Bezug auf Folie 57 kommen «echte» Randwertprobleme in der Magnetostatik eher selten vor, da die Ränder der betrachteten Objekte jeweils keine Aquipotentiallinien/-flächen darstellen.

Überlagerung mit Randbedingungen: Randwertprobleme «degenerieren» deshalb oft zu Szenarien mit Quellen (Ströme oder magnetisierte Mater- ialien) und unendlich fernen Rändern.

Spezielle Quellen: Im Sinne des Äquivalenzprinzips (Folie 79) können magnetisierte Materialien auch durch eine (Flächen-) Stromdichteverteilung bzw. durch magnetische Ladungsdichten repräsentiert werden. Eine solche äquivalente Quelle kann aus einer magnetischen Dipolschicht (das magne- tische Blatt), aus magnetischen Flächenladungsdichte oder gar aus einer äquivalenten Spule bestehen (Wolff: Seite 139 ff.).

Magnetische Kreise: Kanonisches «Randwertproblem», welches das Füh- ren der geschlossenen Feldlinien im magnetischen Material mit grosser Permeabilität betrachtet. Dadurch findet alles nur im magnetischen Kreis statt und es entsteht ein Analogon zum elektr. Stromkreis (Wolff: Seite 157 ff.).

-104-

53

Der magnetische Fluss Definitionen

(A) Aus der magnetischen Flussdichte:

m = B n dAdFA

m[ ] = Vsm2m2 = Vs

Betrachtungen an einer Spulenanordnung:

Simulation des Magnetfeldes einer kurzen Spule © COMSOL.

(B) Aus dem magnetischen Vektorpotential:

rotAB

dFA

= A dlA

m = A dlA

Satz von Stokes !

Merke: Der magnetische Fluss m hat einen Bezugspfeil ( in Richtung von n ).

( im Rechts- schraubensinn zum Weg A)

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