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ARTICLE IN PRESSZEMEDI-10499; No. of Pages 10
ORIGINALARBEIT
Theoretische Untersuchung der Sättigungskorrektion vonIonisationskammern in gepulsten Strahlungsfeldern beibeliebiger Pulsdauer
Leonhard Karsch ∗, Jörg Pawelke
OncoRay – National Center for Radiation Research in Oncology, Dresden
Eingegangen am 23. Juli 2013; akzeptiert am 16. Oktober 2013
Zusammenfassung
In Ionisationskammern wird infolge der Rekombinationvon Ladungsträgern nicht die gesamte durch die Strah-lung frei gesetzte Ladung gesammelt. Dieser Effekt wirddurch den Sättigungskorrektionsfaktor kS berücksichtigt.Die physikalische Beschreibung des Korrektionsfaktors fürgepulste Strahlung ist etabliert. Jedoch gilt sie nur unterder Annahme, dass die Pulsdauer kurz gegen die Sammel-zeit der Ionisationskammer ist.In diesem Beitrag wird eine Beschreibung der Sätti-gungskorrektion für Strahlungspulse beliebiger Längeentwickelt. Dazu wird ein Differentialgleichungssystemiterativ gelöst. Die Lösung wird anhand bereits ver-öffentlichter Experimente mit einer Rooskammer (PTWTM34001) in einem gepulsten Elektronenstrahl überprüft.Die Ergebnisse des iterativen Verfahrens beschreiben dieexperimentellen Daten gut. Die Berechnungen sind auchfür experimentell nicht zugängliche Strahleinstellungenmöglich und tragen so zum Verständnis und zur korrek-ten Beschreibung der Sättigungskorrektion bei beliebigenPulsdauern bei. So ergeben sich unter anderem die von derPulsdauer abhängigen Ladungsträgerverteilungen in derIonisationskammer, einschließlich des Übergangs zu denVerhältnissen bei kontinuierlicher Bestrahlung.Ferner wird gezeigt, dass die Formel für kS nach Hochhäu-ser und Balk [1] auch bei beliebiger Pulsdauer anwendbarist, wenn für die Parameter a und p von der Pulsdauerabhängige Effektivwerte benutzt werden. Diese Effektiv-
Theoretical investigation of the saturationcorrection for ionization chambers irradiatedwith pulsed beams of arbitrary pulse length
Abstract
In ionization chambers, not all released charge is collecteddue to the recombination of charge carriers. This effect istaken into account by the saturation correction factor kS. Aphysical description of the correction factor has been esta-blished for pulsed radiation. However, it is only accuratewhen the pulse length is short compared with the collectiontime of the ionization chamber.In this paper we develop a description of the saturation cor-rection for radiation pulses of arbitrary length. For this, asystem of partial differential equations is solved iteratively.The numerical solutions are verified experimentally for aRoos ionization chamber (PTW TM34001) exposed to apulsed electron beam.The results of this iterative procedure describe the expe-rimental data well. The calculations are also possible forbeam structures which are experimentally hard to get andthereby contribute to a better understanding and correctdescription of the saturation correction at arbitrary pulselength. Among other things the pulse length dependent dis-tributions of the charge carriers in the ionization chamberis calculated, inclusive of the transition to the conditionsprevailing in the case of continuous irradiation.
werte werden für die Rooskammer für Pulsdauern bis zu300 �s bestimmt.
∗ Korrespondenzadresse: Leonhard Karsch, OncoRay, Fetscherstr. 74, PF 41,
Z. Med. Phys. xxx (2013) xxx–xxxhttp://dx.doi.org/10.1016/j.zemedi.2013.10.007http://journals.elsevier.de/zemedi
Furthermore is shown that the formula for kS establis-hed by Hochhäuser and Balk [1] is applicable even at
01307 Dresden, Tel.: +0351 4587437.
ARTICLE IN PRESS
2 L. Karsch, J. Pawelke / Z. Med. Phys. xxx (2013) xxx–xxxSchlüsselwörter: Ionisationskammern,Sättigungskorrektion, beliebige Pulslänge
arbitrary pulse length, if pulse duration dependent effectivevalues are used for the parameters a and p. These effectivevalues have been determined for the Roos chamber at pulselengths up to 300 �s.
Keywords: Ionization chambers, saturation correction,arbitrary pulse length
1 Einleitung
Wenn ionisierende Strahlung auf das empfindliche Volu-men einer Ionisationskammer trifft, werden die Moleküledes Füllgases, i. d. R. Luft, ionisiert. Die dabei frei gesetz-ten Ladungsträger, positive Ionen und Elektronen, driften imangelegten elektrischen Feld und werden an den Elektrodengesammelt. Während der Drift treten bereits Wechsel-wirkungen der Ladungsträger untereinander und mit denverbliebenen Atomen auf. Insbesondere lagern sich einigeder freien Elektronen an elektroaffine Moleküle, z.B. O2, an.Die so gebildeten negativen Ionen driften ebenfalls zur Elek-trode. Auf dem Weg können sie jedoch das Elektron wiederan ein positives Ion abgeben, so dass nicht die gesamte, durchdie Strahlung freigesetzte Ladung an den Elektroden gesam-melt wird. Neben dieser sogenannten Volumenrekombinationgibt es weitere Effekte, die eine vollständige Sammlung derLadung verhindern: Beispielsweise können die Elektronendurch Diffusion die eigentlich abstoßende Elektrode erreichen(Rekombination durch Diffusion). Auch sind die freigesetz-ten Ladungen nicht gleichmäßig im Kammervolumen verteilt,sondern häufen sich entlang der Spuren der Strahlungsteil-chen. Deshalb kommt es zu einer erhöhten Rekombinationzwischen denjenigen Ladungsträgern, die auf Ionisationspro-zesse ein und desselben Strahlungsteilchens zurückzuführensind (Anfangsrekombination). Nur die Volumenrekombina-tion führt auf eine Sättigungskorrektion, die mit steigenderPulsdosis wächst. Deshalb sollte sie bei hohen Pulsdosen dengrößten Beitrag zur Messwertverminderung durch Rekombi-nationseffekte liefern und nur diese wird hier berücksichtigt.
Die Rekombination von Ladungsträgern wird bei Messun-gen mit Ionisationskammern durch einen KorrektionsfaktorkS berücksichtigt. Er ist definiert als das Verhältnis der freigesetzten Ladung QG zu der an den Elektroden gesammeltenLadung QA:
kS = QG
QA
(1)
Tritt keine Rekombination auf, so ist kS = 1. Da bei auftre-tender Rekombination QG > QA gilt, ist kS > 1.
verschiedene Ladungsträger, gedacht ist an positive und nega-tive Ionen, in der Ionisationskammer berücksichtigt.
In den Lösungen für gepulste Strahlenquellen wird bisherangenommen, dass die Pulsdauer im Vergleich zur Driftzeitder Ionen verschwindend kurz und der Pulsabstand größerals die Sammelzeit ist. Die Sättigungskorrektur [5,6] ist danneine Funktion der in der Kammer frei gesetzten Ladung QGim Puls und einer kammerspezifischen Konstanten a:
kS = aQG
ln(1 + aQG)(2)
Die kammerspezifische Konstante a (Einheit: C−1) lässtsich für Flachkammern darstellen als [7]:
a = μd2
UV(2a)
Dabei ist:
d . . . Elektrodenabstand (Einheit: m)U . . . angelegte Spannung (Einheit: V)V . . . empfindliches Kammervolumen (Einheit:
m3)μ = α
(k1+k2) . . . ein Faktor, der die Eigenschaften des Füll-gases erfasst (siehe aber auch die späterenBemerkungen; Einheit: Vm/C)
α . . . Rekombinationskoeffizient (Einheit: m3/Cs;in anderer Literatur wird oft α/e benutzt)
k1, k2 . . . Beweglichkeit der positiven bzw. negativenIonen (Einheit: m2/Vs)
Für zylindrische Ionisationskammern gilt ebenfalls Gl. (2),in Gl. (2a) muss d jedoch durch einen effektiven Platten-abstand ersetzt werden [7]. Diese Arbeit beschränkt sichwegen der Einfachheit des Verfahrens und der experimen-tellen Datenlage nur auf eine spezielle Flachkammer, die oftgenutzte Rooskammer der PTW (TM34001).
Oft wird Gl (2.) auch mit der applizierten Dosis statt derfrei gesetzten Ladung angegeben. Die Dosis D, berechnetsich aus dem Produkt der frei gesetzten Ladung, dem Kali-
Der Bestimmung von kS sind seit über 100 Jahren vieleArbeiten gewidmet worden. Die frühen Arbeiten lösen dazuein Differentialgleichungssystem für kontinuierliche [2,3,4]und gepulste Strahlenfelder [5,6]. Dabei werden nur zwei
brierfaktor für die Wasserenergiedosis Nw und dem Produktk der Korrektionsfaktoren für Strahlungsqualität, Temperaturund Druck usw.: D = QGNwk. Die Berechnung der Sätti-gungskorrektur ist jedoch theoretisch nur unabhängig von der
ARTICLE IN PRESSd.
Rekombination und für die Bewegung der Ladungsträgerbeschrieben wurde [3]. In Analogie können die Vorgänge inder Ionisationskammer unter zusätzlicher Berücksichtigung
Abbildung 1. Zur Lösung des Differentialgleichungssystems wirddie Geometrie einer plan-parallelen Ionisationskammer auf eineDimension reduziert. Aufgrund der Symmetrie hängen alle physi-kalischen Größen im sensitiven Volumen der Kammer (schraffiert),
L. Karsch, J. Pawelke / Z. Me
Strahlenqualität, wenn sie mittels der frei gesetzten LadungQG dargestellt wird. Allerdings kann experimentell auch beiDarstellung mittels der Dosis keine Abhängigkeit von derStrahlenqualität gefunden werden [8].
In einer späteren Arbeit wurde auch berücksichtigt, dassein Anteil p der Elektronen als freie Elektronen, also ohneAnlagerung an die elektroaffinen Moleküle, an den Elektro-den gesammelt wird [1]. Unter der Annahme, dass nach demAbsaugen der freien Elektronen die negativ geladenen Ionenhomogen in der Kammer verteilt sind, verändert sich dasErgebnis von Gl. (2) zu:
kS = aQG
ln(
1 + eapQG−1p
) (3)
Damit alle bei der Herleitung von Gl. (3) gemachtenAnnahmen erfüllt sind, müssten die Vorgänge in der Ionisati-onskammer folgende Reihenfolge haben:
1) Die Strahlung ionisiert in der Kammer homogen das Füll-gas.
2) Die Elektronen werden sehr schnell abgesaugt, wobei sichein Anteil (1-p) an die elektroaffinen Moleküle anlagert.
3) Die Ionen haben sich während des Strahlungspulses nochnicht bewegt und driften nun zu den Elektroden, und nurwährend dieses Prozesses tritt die Rekombination zwi-schen den positiven und negativen Ionen auf.
Bei Strahlpulsen endlicher Dauer treten jedoch die Neu-bildung sowie die Bewegungen und Reaktionen (Anlagerungund Rekombination) von Ladungsträgern gleichzeitig auf,wobei die Elektronen eine zirka tausendfache Beweglich-keit gegenüber den Ionen besitzen. Demzufolge sind dieseAnnahmen nur für kurze Strahlpulse sinnvoll, bei denen dieBewegung der Ionen während des Pulses vernachlässigt wer-den kann.
Boag, Hochhäuser und Balk [9] versuchten eine verbesserteBeschreibung der Sättigungskorrektion durch Berücksichti-gung der Ladungsverteilung der Ionen nach Beendigung desStrahlpulses. Jedoch rechtfertigt die dadurch erreichte Genau-igkeit nicht die Komplizierung des Formalismus.
In der vorliegenden Arbeit wird die Annahme der kurzenPulsdauer aufgegeben, und es wird versucht, den Einfluss derPulsdauer auf die Sättigungskorrektion für die Rooskammer(TM34001, PTW Freiburg) zu beschreiben. Dabei werdennur genügend große, homogene Strahlenfelder betrachtet,so dass die Faltungskerne [10] keine zusätzliche Korrektionbewirken. Auch die Beeinflussung durch aufeinanderfolgendePulse bleibt unberücksichtigt, d.h. Pulsabstand ist größerals die Sammelzeit. Dazu wird die Sättigungskorrektion
aus einem modifizierten Differentialgleichungssystem nume-risch bestimmt. Zur Festlegung freier Parameter dienen diebereits publizierten experimentellen Daten [11] mit denendie Sättigungskorrektion für verschiedene Pulsdauern undPhys. xxx (2013) xxx–xxx 3
Pulsdosen für gepulste Elektronenstrahlen bei einer angeleg-ten Spannung von 100 V bestimmt wurde. Anschließend wirdgezeigt, wie der Sättigungskorrekturfaktor kS nach Gl. (3)durch Effektivwerte von a und p modifiziert werden kann, umihm auch für beliebige Pulsdauern Gültigkeit zu verleihen.
2 Materialien und Methoden
Die Beschreibung der Vorgänge in einer Ionisationskam-mer ist für eine Kammer mit ebenen, parallelen Elektrodenwesentlich einfacher als für zylindrische Kammern. Hierkann das elektrische Feld als homogen betrachtet werden.Da der Strahl durch eine der Elektroden in das empfindlicheKammervolumen eindringt, ist der gesamte Aufbau rotati-onssymmetrisch um die Strahlachse. Wird die Kammer (inGedanken) in Scheiben senkrecht zur Strahlrichtung zerlegt,so sind alle physikalischen Größen (beispielsweise die elek-trische Feldstärke und die Raum-Ladungsdichten) innerhalbeiner Scheibe konstant. Damit ist es ausreichend, die Abhän-gigkeit von nur einer Ortskoordinate x, die der Strahlachseentspricht, zu betrachten (Abb. 1).
Das Differentialgleichungssystem der früheren Arbeitenbeinhaltete zwei Gleichungen, in denen die zeitliche Ände-rung der freien Ladungsträger mit drei Termen für dieErzeugung der Ladungsträger durch Ionisation, für die
in dem auch die Rekombination stattfindet, nur von einer Koordi-nate x entlang der Strahlachse ab. Der zur Berechnung verwendeteBereich von –L bis d+L ist größer als die tatsächliche Ausdehnungder Kammer von 0 bis d.
ARTICLE IN PRESSed
4 L. Karsch, J. Pawelke / Z. Mder freien Elektronen durch folgende drei gekoppelten Diffe-rentialgleichungen beschrieben werden:
∂ρ+∂t
= R − αρ+ρ− + ∂(v+ρ+)
∂x
∂ρ−∂t
= −αρ+ρ− + γρe − ∂(v−ρ−)
∂x
∂ρe
∂t= R − γρe − ∂(veρe)
∂x
(4)
Dabei ist:
ρi = ρi(x, t)... Ladungsdichte der Ladungsträger i am Ort xzur Zeit t (i= +... positive Ionen, i = -... negativeIonen, i = e... Elektronen; Einheit: Cm−3),
R = R(x, t)... Erzeugungsrate der positiven Ionen und freienElektronen durch die ionisierende Strahlung(Einheit: Cm−3s−1),
α... Koeffizient für die Rekombination von positi-ven und negativen Ionen (Einheit: C−1m3s−1),
γ ... Koeffizient für die Anlagerung von Elektronenan die elektroaffinen Moleküle (Einheit: s−1),
vi... Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger vomTyp i (Einheit: ms−1) und
e . . . Elementarladung (Einheit: C).
Die vier Terme auf der rechten Seite der drei Gleichungenbeschreiben die Bildung der positiven Ionen und der freienElektronen, die Elektronenanlagerung und die Rekombina-tion der Ionen sowie die Drift der freien Ladungsträger imelektrischen Feld.
Das Gleichungssystem (4) könnte eingeschränkt werdenauf das Gebiet, wo sich die Ionisationskammer in Realitätbefindet, also 0 ≤ x ≤ d. Zur einfacheren Berechnung wirddieses Gebiet in dieser Arbeit erweitert auf 0 − L ≤ x ≤ d + L(Abb. 1). Dabei bezeichnet L die Breite eines Sicherheits-raums, der hilft, die gesammelten Ladungen einfach zuberechnen. Alle Ladungen, die rechnerisch durch die Driftin den Sicherheitsraum gelangen, werden physikalisch an derElektrode gesammelt. Der Sicherheitsraum ist groß genug,damit an den Rändern des neuen Definitionsbereiches keinefreien Ladungen mehr auftreten.
Für einen Strahlpuls, der die Ladungen innerhalb der Ioni-sationskammer gleichmäßig verteilt freisetzt, kann für dieErzeugungsrate eine zweidimensionale Stufenfunktion
ρ+(xj, tk+1) =(
Rj,k − αρ+(xj, tk)ρ−(xj, tk) + v+ρ+(xj, t
ρ−(xj, tk+1) =(
−αρ+(xj, tk)ρ−(xj, tk) + γρe(xj, tk) − v−
ρe(xj, tk+1) =(
Rj,k − γρe(xj, tk) − ve
ρe(xj, tk) − ρe(xj−��veΔt/Δx�
. Phys. xxx (2013) xxx–xxx
R(x, t) ={
QG⁄(TAd)
0f ur
0 ≤ t ≤ T und 0 ≤ x ≤ d
t > T oder sonst(5)
verwendet werden. Dabei bezeichnen T die Pulsdauer, d denElektrodenabstand, A die Elektrodenfläche und QG die insge-samt freigesetzte Ladung. Damit können freie Ladungsträgerim Sicherheitsraum nur durch Hineindriften erzeugt werden.Da die Drift für verschieden geladene Ladungsträger entge-gengesetzte Richtungen hat, ist in einem Sicherheitsraum auchnur eine Ladungssorte vorhanden. Damit ist sichergestellt,dass in dem Sicherheitsraum keine Rekombination mehr auf-tritt und die Berechnungen durch ihn nicht beeinflusst werden.
Mehrere physikalisch bekannte Effekte sind in den Glei-chungen (4) vernachlässigt. Dazu gehören unter anderem dieRekombination von freien Elektronen mit den positiven Ionenund die Diffusion der Ladungsträger entgegen dem elektri-schen Feld. Diese Einflüsse könnten in späteren Arbeitenuntersucht werden.
Dieses System nichtlinearer Differentialgleichungen (4)lässt sich nicht allgemein analytisch lösen. Es besteht aberdie Möglichkeit der numerischen Integration. Dazu werdenRaum und Zeit diskretisiert, d.h. die Ladungsdichten ρi = ρi(x,t) werden nicht für jeden beliebigen Punkt, sondern nur für ein-zelne Punkte im Raum xj und Zeit tk berechnet: ρi = ρi(xj, tk).Dabei bezeichnen j, k ∈ N die Nummern des jeweiligen Punk-tes. Die Punktabstände Δx = xj+1 − xj und die ZeitintervalleΔt = tk+1 − tk werden in dieser Arbeit konstant gewählt.
Zunächst wird zur Vereinfachung angenommen, dass dieDriftgeschwindigkeiten in der Kammer konstant sind. Damitwird allerdings die Abschirmung der Elektroden durchdie driftenden Ladungsträger vernachlässigt. Die partiellenAbleitungen nach dem Ort vereinfachen sich aber: ∂(viρi)
∂x=
vi∂ρi
∂x. Die zeitlichen Ableitungen werden durch die Dif-
ferenzenquotienten aufeinanderfolgender Zeitpunkte ersetzt:∂ρi
∂t(xj, tk) = ρi(xj,tk+1)−ρi(xj,tk)
Δt. Die räumlichen Ableitungen
werden durch die Differenzenquotienten der Punkte, diein etwa der zurückgelegten Strecke viΔt in einem Zeitab-schnitt Δt entsprechen, ersetzt. Wegen der Diskretisierungwerden genau genommen die mit der Aufrundungsfunktion�.� berechneten Werte �viΔt/Δx� Δx benutzt: ∂ρi
∂x(xj, tk) =
ρi(xj,tk)−ρi(xj−�viΔt/Δx�,tk)�viΔt/Δx�Δx
. Indem man außerdem die Termeρ+(xj, tk) und ρ−(xj, tk) auf die rechte Gleichungsseite bringt,entsteht aus den Differentialgleichungen eine Vorschrift, umdie Ladungsdichten auf den Punkten iterativ zu berechnen:
k) − ρ+(xj−�v+Δt/Δx�, tk)
�v+Δt/Δx� Δx
)Δt + ρ+(xj, tk)
ρ−(xj, tk) − ρ−(xj−�v−Δt/Δx�, tk)
�v−Δt/Δx� Δx
)Δt + ρ−(xj, tk)
veΔt/Δx�, tk))
(6)
ΔxΔt + ρe(xj, tk)
ARTICLE IN PRESSd.
+
ante F die Ionengeschwindigkeiten in der Weise geändert, dass
L. Karsch, J. Pawelke / Z. Me
Für die Rj,k sind die orts- und zeitabhängigen Werte unterBerücksichtigung der Pulsdauer einzusetzen. Die Dichte derLadungsträger zum Zeitpunkt tk+1 (linke Seite von Gl. 6) kannsomit aus den Dichten des vorherigen Zustandes zum Zeit-punkt tk (rechte Seite) berechnet werden. Folglich könnenausgehend von den Anfangsbedingungen
ρ+(xj, t0 = 0) = ρ−(xj, t0 = 0) = ρe(xj, t0 = 0) = 0 (7)
mit diesen Gleichungen die Ladungsdichten an allen Punk-ten xj für bestimmte Zeiten tk, also die zeitlichen undräumlichen Entwicklungen der Ladungsdichten, berechnetwerden. Alle interessierenden Größen, insbesondere auch dieSättigungskorrektion kS, können daraus berechnet werden.Zur Berechnung der Sättigungskorrektion kS können beideLadungsträger (positive und negative) benutzt werden. WegenGl. (6) sollten die Ergebnisse gleich sein:
kS =
∑j
∑k
Rj,k
∑j
∑k
ρ+(−L < xj < 0, tk)= ∑
j
∑k
ρ−(d < xj < d
Die im Puls frei gesetzte Ladung QG und Pulsdauer Tkommen in der Gl. (8) nicht direkt sichtbar vor. Jedoch sinddie Erzeugungsrate Rj,k und die Ladungsdichten ρi(xj, tk) alsFunktion von Ort und Zeit auch von den Strahlparameternabhängig. Um die Abhängigkeiten der Sättigungskorrektionzu erkennen, muss die numerische Berechnung von kS fürverschiedene Werte der Parameter ausgeführt werden.
Die Terme zur Erzeugung der freien Ladungsträger Rj,kkönnen für jeden Ort xj und jede Zeit tk individuell gewähltwerden. In dieser Arbeit werden sie aber für alle Zeitpunkte,zu denen die Kammer bestrahlt wird, alle auf den gleichenWert gesetzt. Durch die Pulslänge T und die Geometrie derIonisationskammer (Plattenabstand d) ist dann
Rj,k =
⎧⎪⎨⎪⎩
QG
Δt
T
Δx
d
0
f ur
tk ≤ T
tk > T
und
oder
0 < xj < d
sonst
festgelegt (9)
Zur Berechnung der Sättigungskorrektion nach dem ite-rativen Verfahren (Gl. (6)) müssen insgesamt 7 Parameter(Δx, Δt, v+, v−, ve, α, γ) geeignet gewählt werden. Für dieParameter v+, v−, ve, α und γ mit physikalischer Bedeutungsind Richtwerte aus der Literatur vorhanden bzw. aus Mes-sungen bekannt. Dagegen können Δx und Δt (nahezu) freigewählt werden.
Zunächst wurde ausgehend von den Literaturwerten (sieheTab. 1) durch Probieren eine Kombination für die Parame-ter gesucht, die die Messergebnisse gut beschreibt (VarianteA). Um den Einfluss der einzelnen Parameter zu erkennen,wurde die numerische Rechnung nach Gl. (6) mit 6 ver-
schiedenen Parametersätzen A-F ausgeführt. Dabei wurdenimmer zwei Parameter so geändert, dass die Wirkung sich imPhys. xxx (2013) xxx–xxx 5
∑j
∑k
Rj,k
L, tk) +∑
j
∑k
ρe(d < xj < d + L, tk)(8)
einfachen Modell ohne Berücksichtigung der Pulsdauer (wieoben dargestellt) aufheben sollte.
Beispielsweise wird in Variante B die Lebensdauer derElektronen verdoppelt (immer verglichen mit Variante A).Damit werden nur halb so viele negative Ionen gebildet. Daskann kompensiert werden, indem der Rekombinationskoeffi-zient α verdoppelt wird. Dann ist die Rekombinationsrate beigleicher Ladungsträgerdichte doppelt so groß.
In Variante C wird die doppelte Rekombinationsratedadurch kompensiert, dass die Ionen doppelt so schnell abge-saugt werden und damit nur die halbe Zeit rekombinierenkönnen. Oder in Variante D wird die Lebensdauer der Elek-tronen verdoppelt. Damit lagern sie sich halb so schnell andie elektroaffinen Moleküle an. Das wird kompensiert, indemdie Geschwindigkeit halbiert wird. Dadurch befinden sich die
Elektronen doppelt so lange in der Kammer und können sichdementsprechend länger anlagern.
Die numerischen Lösungen des Differentialgleichungs-systems werden ohne weitere Näherungen ausgeführt. DieUnsicherheit der berechneten Sättigungskorrektion durchRundungsfehler wird dadurch ermittelt, dass sowohl diegesammelte positive als auch die gesammelte negative Ladungberechnet wird (s. die beiden Terme in Gl. (8)). Als Korrekti-onsfaktor wird der Mittelwert aus beiden angegeben und diehalbe Differenz liefert ein Maß für die Unsicherheit, wenigerals 10−8%.
Die numerische Lösung des Differentialgleichungssystemsstimmt jedoch mit einer exakten Lösung nur dann überein,wenn die Intervalle Δx und Δt infinitesimal klein gewählt wer-den. Das ist praktischerweise nicht möglich, denn dann wärenunendlich viele Rechenschritte auszuführen. Um die Größedes Diskretisierungsfehlers abzuschätzen, wurde in VarianteE die Rechnung mit halb so großen Intervallen wie in VarianteA ausgeführt.
Weiterhin hängt die Sättigungskorrektion für gepulsteStrahlung nach den etablierten Gl. (2) bzw. (3) nicht vonden einzelnen Ionengeschwindigkeiten, sondern nur von derSumme v+ + v− ab. Bei der Herleitung dieser Formeln wur-den positive und negative Ionen gleich behandelt. Wegen derErzeugung der negativen Ionen durch die Anlagerung derElektronen, die keine homogene Verteilung in der Kammerhaben, ist in der hier durchgeführten Rechnung nach Gl. (6)die Gleichbehandlung jedoch nicht gegeben. Zur Kontrolle inwieweit eine Gleichbehandlung sinnvoll ist, wurden in Vari-
die Summe den gleichen Wert wie in Variante A annimmt, dieeinzelnen Werte aber voneinander abweichen.
ARTICLE IN PRESS6 L. Karsch, J. Pawelke / Z. Med. Phys. xxx (2013) xxx–xxx
Tabelle 1Die zur numerischen Bestimmung verwendeten Parameter. Unterschiede zu Variante A sind dick gedruckt.
Variante A Variante B Variante C Variante D Variante E Variante F Literatur
Δx in nm 16,4 16,4 16,4 16,4 8,2 16,4 -Δt in ns 2,5 2,5 2,5 2,5 1,25 2,5 -v1 in m/s 8,19 8,19 16,38 8,19 8,19 5,46 6,5 [13]v2 in m/s 10,92 10,5 [13]v in 103 m/s 10,92 10,92 10,92 5,46 10,92 10,92 10 [14]
5,44 2,72 2,72 2,72 1,6 [13]22 44 22 22 25 [14]
-110 1 10 2101
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3 ABCDEF
μs in T
Sk
Abbildung 3. Sättigungskorrektion k in Abhängigkeit von der Puls-
3
α in 10−31 m3/Cs 2,72 5,44
Lebensdauer der Elektronen �t/� in ns 22 44
Nach der Untersuchung dieser grundlegenden Eigenschaf-ten des Verfahrens ist es möglich, die Sättigungskorrektionfür beliebige Pulsdauern und Pulsdosen zu berechnen. Fer-ner wird die Abhängigkeit der Sättigungskorrektion von derPulsdosis bei verschiedenen Pulsdauern berechnet.
3 Ergebnisse
Zunächst wird die Abhängigkeit der Sättigungskorrektionvon der Pulsdosis bei einer konstanten Pulsdauer von 4 �sbetrachtet (Abb. 2). Offensichtlich beschreiben alle Varian-ten, außer Variante B, bei geringen und mittleren Pulsdosendie experimentellen Daten gut. Der Einfluss der einzelnenParameter kommt erst bei hohen Pulsdosen zur Geltung.
Weiter wird die Abhängigkeit der Sättigungskorrektion von
der Pulsdauer für bestimmte Pulsdosen betrachtet (Abb. 3). Esist nicht überraschend, dass wiederum Variante B abweicht,führt sie doch schon bei einer Pulsdauer von 4 �s auf eine10 32
1
1.5
2
2.5
3
ABCDEF
in nCG
Q
Sk
Abbildung 2. Sättigungskorrektion kS in Abhängigkeit von der freigesetzten Ladung QG. Das Ergebnis für jede Variante der Berech-nung ist durch eine Linie dargestellt, auch wenn nur einzelne Punkte(10 Punkte für dieses Diagramm) berechnet wurden. Der Unterschiedzwischen Variante A und F ist sehr gering. Die Messwerte sind aus[11] (offene Kreise) und [12] (volle Kreise) entnommen. Da die expe-rimentellen Daten mit einer Kammerspannung von 100 V ermitteltwurden, gelten die hier benutzten Parameter und alle darausfolgen-den Werte für diese Kammerspannung.
S
dauer für zwei verschiedene Werte der frei gesetzten Ladung,nämlich 0,48 nC (untere Kurven) und 1,55 nC (obere Kurven).Für Photonenstrahlung unter Kalibrierbedingungen entspricht das42 bzw. 133 mGy. Die Messwerte (volle Symbole) sind wiederum[11] entnommen. Die Ergebnisse der einzelnen Varianten sind durch
Linien dargestellt. Der Unterschied zwischen Variante A und F istsehr gering.falsche Sättigungskorrektion (s. oben). Weiterhin weicht nurVariante C bei großen Pulsdauern deutlich ab. Das ist insofernebenfalls nicht überraschend, als mit der höheren Ionenge-schwindigkeit (verglichen mit Variante A) die Sammelzeitentsprechend kürzer wird. Damit werden schon während einerlangen Bestrahlung mehr Ladungen abgesaugt und stehen fürdie Rekombination nicht mehr zur Verfügung.
Insbesondere zeigt Variante F nahezu keine Abweichung zuVariante A. Die unterschiedliche Geschwindigkeit positiverund negativer Ionen spielt also für die Sättigungskorrek-tion keine Rolle. Die Näherung, dass alle Ionen die gleicheGeschwindigkeit haben, ist für zukünftige Theorien sinnvoll.
Mit dem hier vorgestellten Verfahren sind nun quantita-tive Untersuchungen der Vorgänge in der Ionisationskammermöglich. In Tab. 2 ist die zeitliche Entwicklung der Ladungs-träger bei Freisetzung von insgesamt QG = 110 pC (entspricht100%) für verschiedene Pulsdauern in charakteristischen Zah-
len zusammengefasst. Diese Ladung wird mittels positiverIonen und Elektronen freigesetzt. Da ein Teil der Elektro-nen abgesaugt wird, wird nur eine geringere Ladung in Form
ARTICLE IN PRESSL. Karsch, J. Pawelke / Z. Med. Phys. xxx (2013) xxx–xxx 7
Tabelle 2Verschiedene Anteile (in Prozent) der Ladungsträger bei Bestrahlung der Roos-Ionisationskammer, wobei stets insgesamt 110 nC freigesetztwerden.
Tin �s Ladungs-trägerart
InduzierteLadung
GesammelteLadung
GesammelteLadung bis T
RekombinierteLadung
RekombinierteLadung bis T
4 + 100 87,4 0,02 12,63 0,01- 88,4 75,7 0,01e 100 11,6 8,42 -
20 + 100 88,2 4,48 11,81 1,78- 88,4 76,6 4,46e 100 11,6 11,62 -
100 + 100 90,8 21,9 9,15 5,52
- 88,4 79,2e 100 11,6
von negativen Ionen freigesetzt. In der Tabelle ist dann wei-ter aufgeführt, welche Anteile jeweils insgesamt und bis zumBestrahlungsende abgesaugt und an den Elektroden gesam-melt werden. Zusätzlich ist angegeben, welcher Anteil derpositiven Ionen rekombiniert.
Es ist ersichtlich, dass der Anteil der rekombiniertenLadung am Bestrahlungsende kleiner ist als der Anteil derbis dahin abgesaugten Ladung. Und außerdem ist erkennbar,dass ungefähr die gleiche Ladung an positiven und negati-ven Ionen während der Bestrahlung abgesaugt wird. Das magetwas überraschen, denn prinzipiell sind weniger negative alspositive Ionen in der Kammer vorhanden. Allerdings ist derenVerteilung durch die Bewegung der Elektronen nicht homo-gen, sondern an der Sammelelektrode konzentriert.
Das hier vorgestellte Verfahren bietet auch die Möglichkeit,die Ladungsverteilungen nach Beendigung des Strahlpulseszu berechnen. Boag, Hochhäuser und Balk [9] nähern diesedurch Rechteckverteilungen mit unterschiedlicher Dichteund Ausdehnung, aber immer in Rechteckform, an. Abb. 4zeigt einige nach Variante A berechnete Verteilungen beiBestrahlungsende für die insgesamt frei gesetzte Ladung vonQG = 110 pC.
4 Diskussion und Aufstellung einerGleichung für kS bei erhöhter Pulsdauer
Die allgemeine Übereinstimmung der unterschiedlichenVarianten der iterativen Lösung des Systems von Differenti-algleichungen (ausgenommen B) zeigt, dass die Werte für dieSättigungskorrektion nur schwach von einzelnen Parameternabhängen. Ein eventueller Fehler in einem Parameter kanndurch eine entsprechende Änderung in einem oder mehrerenanderen Parameter ausgeglichen werden. Das Verfahren bietetalso nur eine schwache Kontrolle der verwendeten Parameter.Die in der Variante A benutzten Parameter stehen jedoch inguter Übereinstimmung mit den Literaturwerten (s. Tab. 1).
Die Abweichung der Variante B (Abb. 2) wird durch diebekannten Zusammenhänge verständlich: Die Halbierung derRekombinationsrate α in der Variante B, verglichen mit derVariante A entspricht einer Halbierung von a in Gl. (3).
21,611,6 -
Die Verdoppelung der Elektronengeschwindigkeit bewirktanschaulich eine Verdoppelung der abgesaugten freien Elek-tronen, also von p. Der Anstieg von kS(QG) für kleinePulsdosen folgt aus der Reihenentwicklung von Gl. (3) und istproportional zu a(1 − p). Wenn nicht p = 1/3 gilt, so muss sichder Anstieg bei kleinen Pulsdosen ändern. Das verursacht diestarke Abweichung.
Variante E liefert etwas andere Ergebnisse als Variante A.Für eine optimale Beschreibung müssten demzufolge die phy-sikalischen Parameter geändert werden. Andererseits zeigt dernur kleine Unterschied zwischen den Varianten A und E aberauch, dass der Einfluss der gewählten Werte von Δx und Δtauf die Ergebnisse klein ist. Eine weitere Verkleinerung vonΔx und Δt würde also keine wesentlich anderen Ergebnisseliefern, sondern nur die Rechenzeit vergrößern.
Durch die Lösung der Gl. (4) hat sich ein übersichtli-ches physikalisches Bild der von der Pulsdauer abhängigenLadungsträgerverteilung in einer Ionisationskammer ergeben(Abb. 4). Hieraus wird ersichtlich, dass für sehr kurze Puls-dauern (78 ns) die Verteilung der positiven Ionen tatsächlichgut durch eine Rechteckverteilung beschrieben werden kann.Für die negativen Ionen ist diese Annahme bereits ungenauer,denn die Bewegung der Elektronen ist auch bei dieser kurzenPulsdauer nicht zu vernachlässigen. Die Driftzeit von einerElektrode zu anderen beträgt für Elektronen nur 100 ns. Diemittlere Dichte der Elektronen ist also an der positiven Sam-melelektrode höher als an der anderen Elektrode. Dort werdendann auch die meisten negativen Ionen gebildet.
Für größere Pulsdauern (4 �s) ist am Pulsende ein erheb-licher Anteil der Elektronen bereits abgesaugt. Deshalbsind zum Zeitpunkt des Bestrahlungsendes nahezu keineElektronen mehr in der Kammer vorhanden. Die am Bestrah-lungsende vorhandene Dichte der negativen Ionen ist in weitenTeilen der Kammer gleich der Dichte der positiven Ionen.Dies ist darauf zurückzuführen, dass ein freies Elektron mit100% Wahrscheinlichkeit an eines der O2-Moleküle angela-
gert wird, sofern für die Drift des Elektrons ein ausreichenderWeg innerhalb des Kammergases zur Verfügung steht.Für noch größere Zeiten (20 �s) ist dann auch die Bewe-gung der Ionen nicht mehr zu vernachlässigen: Die Annahme
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-100 -50 0 50 100 150 200
310×0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
sμ20 +
-
-100 -50 0 50 100 150 200
310×0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
sμ300 +
-
-100 -50 0 50 100 150 200
310×0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
sμ4 +
-
-100 -50 0 50 100 150 200
310×0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
0.07
0.08
0.09
78 ns +
-
e
in a.u.x
in a
.u.
ιρ
gstrhie
zusammengestellt, und Abb. 6 zeigt die Änderung von a undp mit der Pulsdauer: a nimmt mit zunehmender Pulsdauer ab,p nimmt mit zunehmender Pulsdauer zu.
Tabelle 3Effektivwerte von a und p als Ergebnis zur Anpassung der bekann-ten Formel (Gl. 3) an die numerischen Lösungen bei verschiedenenPulsdauern (s. auch Abb. 5).
T in �s a in nC−1 p (einheitenlos) a(1-p)/2in nC−1
Abbildung 4. Nach Variante A berechnete Verteilungen der LadunElektronen – gepunktet) nach Beendigung der Bestrahlung für versc
der Rechteckverteilung für die positiven Ionen wird immerungenauer. Bei sehr langen Bestrahlungsdauern (300 �s) hatsich bei Bestrahlungsende bereits die für kontinuierlicheStrahlung typische Dreiecksverteilung eingestellt. Für diepositiven Ionen ergibt sich die exakte Dreiecksverteilung ausder stationären Lösung, d.h. dρ+/dt = 0, der ersten Gleichungvon Gl. (4) unter Vernachlässigung der Rekombination. AusTab. 2 ist ersichtlich, dass der Anteil der bis dahin rekom-binierten Ladung mit 5% relativ gering ist, so dass eineAbweichung in der Verteilung noch nicht deutlich ist. DieVerteilung der negativen Ionen weicht zusätzlich wegen derErzeugung durch Anlagerung von Elektronen, die selbst einekomplexere Verteilung haben, von der idealisierten Dreiecks-verteilung ab.
Aufgrund des durch die iterative Lösung des Gleichungs-systems (4) gewonnen physikalischen Bildes kann nun eineneue Form der Sättigungskorrektion kS entwickelt werden,
die bei beliebiger Pulsdauer in der Praxis anwendbar ist. Ausder Diskussion der experimentellen Ergebnisse [11] ist bereitsbekannt, dass man kS auch bei beliebiger Pulsdauer formalnach Gl. 3 berechnen kann, wenn man für die Parameter aäger (positive Ionen – durchgezogen, negative Ionen – gestrichelt,dene Pulsdauern.
und p Effektivwerte einsetzt. Diese Effektivwerte sollen nundurch Anpassung von Gl. (3) and die nach Gl. (8) theoretischhergeleiteten kS-Werte in Abhängigkeit von der frei gesetztenLadung QG für vier verschiedene Pulsdauern von T = 4 �s bis300 �s bestimmt werden.
Abb. 5 zeigt das sehr genaue Ergebnis dieser Anpassung.Die gefundenen Effektivwerte von a und p sind in Tab. 3
4 3,156 0,138 1,3620 3,169 0,184 1,29100 2,500 0,269 0,91300 1,497 0,352 0,49
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0.5 1 1.5 2 2.5 31
1.5
2
2.5
3
μsμsμsμs
4 20
100 300
in nCG
Q
Sk
Abbildung 5. Werte der Sättigungskorrektion für verschiedene Puls-dauern, berechnet nach Gl. (8) für Variante A, in Abhängigkeit vonder frei gesetzten Ladung. Das Ergebnis einer Anpassung von Gl. (3)mit Hilfe geeigneter Effektivwerte von a und p ist durch die Liniendargestellt.
1 10 2100
1
2
3
4
0
0.1
0.2
0.3
0.4
a
p
μs in T
-1 in
nC
a
p
Abbildung 6. Aus der Kurvenanpassung in Abb. 5 gewonnene Effek-
gen (10) für gepulste und (11) für kontinuierliche Strahlenmit a(1−p)
2 ∼ 1T
ineinander über. Diese Abhängigkeit hat das
tivwerte von a und p in Abhängigkeit von der Pulsdauer. Die Punktewurden zur Interpolation durch eine Spline-Funktion verbunden.
Die formale Anwendbarkeit von Gl. (3) bei Modifikationder Werte von a und p lässt sich dadurch verstehen, dassGl. (3) unter der Annahme abgeleitet ist, dass eine Ionen-rekombination nur im Zeitraum nach dem Strahlungspulsstattfindet, dass aber bereits vor dem Beginn dieser Rekom-binationsphase ein Ladungsanteil p (in der Originaltheoriedie unangelagerten freien Elektronen) zur Sammelelektrodetransportiert worden ist. Gl. (3) beschreibt daher auch beiAnwendung mit modifizierten Parametern a und p die Phaseder Ionenrekombination nach dem Strahlungspuls. Der ver-kleinerte Effektivwert von a bringt dabei zum Ausdruck, dassdie mittlere Dichte der rekombinationsfähigen Ionen durch
die schon während des Strahlungspulses auftretende Ladungs-sammlung verringert ist. Der erhöhte Effektivwert von pzeigt, dass wegen der Anhäufung der negativen Ionen an derPhys. xxx (2013) xxx–xxx 9
Sammelelektrode durch die Elektronenbewegung, ein höhe-rer Anteil an negativen Ionen als an positiven Ionen bis zumBestrahlungsende gesammelt wurde.
Es sei aber noch einmal ausdrücklich vermerkt, dass essich bei den Werten von a und p nach Tab. 3 um Effektiv-werte handelt. Der in Form von freien Elektronen abgesaugteLadungsanteil p hängt physikalisch nicht von der Pulsdauerab, denn die durch die ionisierende Strahlung frei gesetztenElektronen lagern sich an oder werden abgesaugt. Dieser Vor-gang wird allein durch die dritte Differentialgleichung vonGl. (4) beschrieben. Hier treten keine Wechselwirkungen zwi-schen den Elektronen oder den Ionen auf. Jedes Elektron kannunabhängig von den anderen betrachtet werden. Deshalb wirdder Anteil der freien Elektronen p allein durch die Parame-ter ve und γ festgelegt. Also haben a und p bei beliebigenPulsdauern die Bedeutung von phänomenologischen Effek-tivwerten, deren bekannte physikalische Bedeutung nur beiverschwindender Pulsdauer zutrifft.
An klinischen Beschleunigern werden selbst bei Entfer-nung des Ausgleichsfilters nur kleine Pulsdosen erreicht [15],so genügt es von Gl. (3) nur den linearen Term einer Reihen-entwicklung zu berücksichtigen. Es ergibt sich
kS = 1 + a(1 − p)
2QG (10)
Dadurch wird deutlich, dass die Pulsdauer, wegen derAbhängigkeit von a und p, über die Volumenrekombina-tion auch einen Einfluss auf die Sättigungskorrektion beikleinen Pulsdosen hat (s. Tab. 3). Die DIN-Norm [16] gibtunter Kalibrierbedingungen für 1,7 pC < QG < 5,8 pC eben-falls eine lineare Funktion für die Sättigungskorrektion an,wobei der Absolutterm im Unterschied zur Reihenentwick-lung nicht 1 beträgt und prinzipiell die anderen Effekteder unvollständigen Ladungssammlung erfasst. Der Anstieg,der die Volumenrekombination beschreibt, beträgt für eineangelegte Kammerspannung von 100 V unter Kalibrierbedin-gungen 1,457 nC−1. Dieser Wert stimmt gut mit den hiergefunden Werten bei kurzen Pulsdauern überein.
Zum Verstehen des Übergangs zu unendlich langen Puls-dauern, also kontinuierlichen Bestrahlungen, kann aus dendann vorherrschenden, bereits oben erwähnten Dreiecksver-teilungen der Ladungsträgerdichten die Sättigungskorrektion
kS = 1 + 1
6
αd4
ek1k2U2V
QG
T(11)
berechnet werden [7]. Im einfachsten Fall gehen die Gleichun-
gleiche Monotonieverhalten, wie die hier gefundenen Ergeb-nisse (Tab. 3), auch wenn die Zahlenwerte sie nicht genauwiderspiegeln.
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5 Schlussfolgerungen und Ausblick
Es wurde ein iteratives Verfahren zur Beschreibung derAnlagerungs-, Rekombinations- und Driftvorgänge in derIonisationskammer entwickelt. Damit kann insbesondere dieSättigungskorrektion für beliebige Pulsdauern und Pulsdosenberechnet werden. Die experimentellen Daten der Sätti-gungskorrektion werden gut beschrieben. Die Werte der zurBerechnung notwendigen Parameter stimmen ebenfalls gutmit Literaturwerten überein. Das Zusammenspiel der Para-meter verhindert aber eine genauere Festlegung einzelnerParameter.
Auch ergeben sich mit dem iterativen Verfahren unteranderem die von der Pulsdauer abhängigen Ladungsträger-verteilungen in der Ionisationskammer. Damit wird auch derÜbergang von den Verhältnissen bei gepulster zu kontinuier-licher Bestrahlung sichtbar.
Es ist bekannt, dass es bei hohen Pulsdosen notwendig in, inder Sättigungskorrektion kS die abgesaugten freien Elektronenzu berücksichtigen. Das hier vorgestellte Verfahren zeigt eineMöglichkeit, auch die Pulsdauer in der Sättigungskorrektionzu berücksichtigen. Gl. (3) liefert eine gute Beschreibung,wenn für die Parameter a und p von der Pulsdauer abhängigeEffektivwerte benutzt werden.
Es ist wünschenswert, dass das Verfahren auf weitere Ioni-sationskammern angewendet wird, um die Gültigkeit desVerfahrens und das Zusammenspiel der Parameter zu untersu-chen. Insbesondere sollte die Abhängigkeit der Effektivwerteder Parameter a und p vom Elektrodenabstand studiert wer-den, da auch die zum Transport der Ionen zu den Elektrodenbenötigte Zeit in Konkurrenz zur Pulsdauer steht.
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.sciencedirect.com
Direct
