The ore tische Un tersuch ungen iiber das Verhalten geladener Teilchen

in Saffelpankten elektrischer Wechselfelder Von Aclolf M u l l e r

Mit 17 Abbildungeii

Inhaltsiibersicht In dieser Arbeit wird die Bewegung eines geladenen Teilchens in elektri-

schen Gleich- und Wechselfeldern unter Beriicksichtigung der Reibung und des Erdfeldes untersucht ; insbesondere interessieren periodische Losungen der (nicht-linearen) Bewegungsgleichung auf den Synimetrieachsen von eben- und axialsymmetrischen Potentialfeldern in Sattelpunktnahe. Es werden unter anderen die Bedingungen angegeben, unter denen sich das geladene Teilchen im Sattelpunkt eines Wechselfeldes ,,frei aufhangen" lafit. Auch das Verhalten von zwei gleichen Teilchen in der Symmetrieebene axialsymme- trischer Potentiale wird kurz untersucht. Zur Bestimmung von Ladung und Masse des Teilchens ergeben sich neue MeBmethoden.

I. Einleitung Nach Experimeriten von H. S t r a u bel l ) 2 , konnen elektrisch geladene

Teilchen mit Massen zwischen 10-8 und gr (Durchmesser etwa 3 - lop3 bis 3 0-2 em) und Ladungen um 10-12 As in einem Drahtring oder einem System von zwei parallelen Drahten frei ,,aufgehangt" werden, wenn man an die Drlhte ejne niederfrequente Wechselspannung (bis etwa 20 kV) anlegt. Man stellt verschiedene Typen von periodischen Bewegungen mit der ganzen und auch der halben Frequenz des Wechselfeldes fest, welche von der Zahl der Teilchen, der gewahlten Anordnung und den Werten von Ladung, Masse, lteibung, Frequenz und Amplitude abhangen. Die Teilchen schwingen zum grol3ten Teil auf Symmetrieachsen oder in Symmetrieebenen der Anordnungen in der Nahe eines Sattelpunktes. D:LS Erdfeld bewirkt ein ,,Durchhangen" der Teilchen, bei mehreren Teilchen kommt die gegenseitige AbstoBung hinzu. Als auBerordentlich gunstig fur Messungen empfiehlt sich die Anordnung eines Kreislochblendenkondensators. Es sol1 im folgenden versucht werden, einige dieser Phiinomene mathematisch zu erfassen. Die Bewegungsgleichungen dieser Teilchen sintl im allgemeinen nichtlineare Differentialglcichungen mit periodi- schen Koeffizienten. Ihre Behandlung fuhrt in den relativ jungen Zweig der

H. S t raubel , Naturwissenschaften 1956, 42. 2, H. St raubel , Z. Elektrochemie 60, H. 9/10 (1956).

A. Niiller: Geladem Teilcheiz in SuttelpurLkten, elektrischer Wecksdjrlder 207

theoretischen Mechanik, die niehtlineare Mechanik3-14). Leidcr existiert gegenwartig noch keine Theorie zur Losung der uns hier interessierenden Dif- ferentialgleichungen. Unser Vorgehen wird daher so sein, da13 wir den von H. S t r a u be1 durchgefulirten Experimenten Lbsungsansatze entnehmen und dann die Parameter bestimmen, wobei wir uiis auch auf Losungstypen tler (linearen) ill a t h i e u schen Differentinlgleichung stutzen konnen.

11. Die Bewegungsgleiehung eines geladenen Teilehens Es wird die Gultigkeit des linearen Reibungsgesetzes --x . i anpenominen

(x > 0 : Reibungskonstante, r: Ortsrelrtor, i.: Geschwindigkeit des Teilehens). Das elektrische Feld Q (r, t ) wird atis einem vorgegebenen Potential der Art p- (r, t ) = p= (r) + p,- (r) . cos u) t berechnet (quasistationar, OJ: Kreisfrequenz. t : Zeit). 1st g die (gerichtete) Erdbeschleunigung und B, ein zusiitzliches homo- genes Gleichfeld, so lautet also die Bewegungsgleichung eines geladenen Teil- chens

m y + -xi - e (E (c, t ) + F,} - rn 0 = O (1)

(m: Masse, e : Ladung des Tei1cher.s). )lit der Transformation OJ . t = 2 7 i ind

den Abkiirzungen

ergibt sieh ails (1)

r” + 2 y t’ + 2 Q (grad F== (2) + cos 2 z . grad 9- (r)} +I = 0; ( 2 )

ein System von 3 im allgemeinen niehtlinearen, gewohnlichen und inhomogenen Differentialgleichungeri 2. Ordnung mit periodischen Koeffizienten.

111. Liisungen bei linearer Annaherung des Feldes in Sattelpunktnahe Wir beschranken unsere Betrachtungen auf Schwingungen in Symmetrie-

Achsen oder -Ebenen. Wird init q die entsprechende transformierte Koordinate

3, J. J. Stol icr , Eon-linear vibrations in mcchanical and electrical systems, Sew

4, X. Minorsky , Introduction to Non-linear Mechanics, Ann Arbor (USA) 1947. 5, Pi. K r y l o v u. N. Bogol jubov, Introduction to Non-linear Nechanics, Princeton

6 , S. Lefsche tz , ContribnLions to the TheorJ- of Non-linear Oscillations, Princvton

7, Pi. W. X c Lachlan , Ordinary non-linear differential equations in engineering and

8 , A. A . Andronow u. C. E. Chailiin, Theory of Oscillations, Princeton 1949. 9 , Proceedings of the Spniposiiim on Son-linear Circuit Analysis, Polyt. Inst. of

lo) 1. 0. Mallrin, Metoda Liapunowa i Poincare w Teorii Xelinejnych Kolehanij,

11) K. I?. T c o d o r t s c h i k , Awtokolebatelnye Sistemy, Gostechisdat 1952. 12) K. Klo t t e r , Neuerc Methodcn und Ergebnisse auf dem Gebiet der nichtlinearen

13) C,. J. C o h n u. B. S a l t z b e r g , J. 4pp1. Phys. 24, 2 (1953); 25, 2 (1954). 14) L. W. K a n t o r o w i t s c h 11. 11’. J. Krylov , Kkherungsmcthoden der hbheren

York 1950.

1950.

physical sciences, Oxford 1950.

Brooklyn, Kew York 1953 (April).

Gostechisdat 1949.

Schwingungen, T7Dl-Rerichte Bd. 4 (1955).

Analysis, Berlin 1956.

208 Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 6. 1960

bezeichnet , ist die Bewegungsgleichung des Teilchens in diesem Falle vom Typ

F ( q ) charakterisiert den Feldverlauf, a ist der angelegten Gleichspannung U = und /3 der Wechselspannung U , proportional. In Sattelpunktnahe ist bei sehr kleinen Auslenkungen F ( q ) = q, so da13 mit

eine inhomogene Mat hie u sche Differentialgleiehung mit Reibungsglied vorliegt. Mit y = k = 0 wurde (4) bercits weitgehend u n t e r s u ~ h t ~ ~ ) ~ 6 ) ~ 7 ) , deshalb fuhren wir nur die fur weitere Betrachtungen wichtigen Ergebnisse an. Die beiden linear unabhangigen Losungen sind fur y = k = 0

q (z)" + 2 y q (z)' + (a - 2 /3 . cos 2 z) F (q) + k = 0, (3)

q" + 2 yq ' + (a - a / . cos 2 t) q + k = 0 (4)

(5) +: ql,2-9tZ&-00 C,,(a,B) . e i ( zn*v) ' ,

falls der ,,charakteristische Exponent" v = J. - i ,u (A, ,u reell) keine ganze Zahl ist. 1st ,u = 0 (d. h. v reell), sind beide Losungen beschrankt, man spricht von ,,stabilen" Bereichen in der a, ,B-Ebene (siehe Abb. 1, schraffiert). In den

Abb. 1. Stabilitatskarte der Mathieuschen Difforen- tialgleichung

12 = 0 durch die Transformation q = e-VT

nichtschraffierten Be- reichen ist v komplex, beide Losungen also in - m < z <co unbeschrankt (8p =/= 0, ii ganze Zahl). Diese Be- reiche werden durch Grenz- kurven aen (,B) bzw. a,, (,B) getrennt, auf denen v = il eine ganze Zahl ist; ql und q2 sind dort linear abhan- gig; die linear unabhangige Losung von q1,2 ist nicht beschrankt (- 7). Auf 0 1 ~ 2 ~ ~

und a, Z n + 2 gibt es Losun- gen der Periode n, auf

Periode 2 n (n = 0,1 ,2 . . .). Falls y > 0, geht (4) mit

, lj in eine Mathieusche

asZn+l und & c Z n + l der

- Differentislgleichung mit ol = a - y2, /? = uber. Fur q ergeben sich damit ,,Dampfungsgrenzkurren", gekennzeichnet durch I , i ] = y [f i = ,u (a - y2, p ) ] . Auf ihnen gibt es eine stabile periodische Losung, die andere klingt ab. 1st 1,G I > y , sind die Losungen unbeschrankt (instabile Rereiche) ; ist dagegen l,G [ <y, klingen beide Losungen ab (q --f 0, ,,dampfungsstabilisierte" Bereiche). Die Abb. 2 zeigt die Grenzkurven (mit a: bezeichnet) fur n = 1 bei y = 10,004; 0,2; lG und 1/G (gestrichelte Kurven hinreichend genaue Werte ausls),

15) J. Meixner u. F. W. Schafke , Mathieusche Funktionen, Berlin-Qottigen- Heidelberg 1954.

16) K. W. McLachlan, Theory and Application of Math ieu Functions, Oxford 1947.

17) &f. J. 0. S t r u t t , Lamesche, Mathieusche und verwandte Funktionen, Berlin 1932.

Is) G. Kotowski , Z. angew. Math. Mech. 1943, 23.

-

A. Miiller: Geladene Teilchen in Sattelpunkten elektrischer Wechselfelder 209

ausgezogene Kurven nach der 1. Naherung p2 - (a; - 1)2 = 4 y2). Der Fall k =+ 0 gibt AnlaB zu einer partikularen Losung qe der Periode x (siehe auchIs)), die im allgemeinen beschrankt ist ; auf den Gyenzkurven, wo Losungen der homogenen Differentialgleichung mit der Periode x vorkommen, tritt jedoch ,,Resonanz" auf, dort geht qe bei y = 0 mit t2 und bei y > 0 mit z gegen Unendlich.

Zusammenfassend kann man sagen : fur ],ill < y klingen alle Losungen von (4) ab und es bleibt nur die partikulare Losung qp der Periode n; fur \,ill > y wachst immer eine Losung unbegrenzt; fur = y ist eine Lo- sung periodisch, die andere klingt ab; auf a:, zeigt qe Resonanzverhalten (n = 0, 1, 2 . . .). Im Falle einer eben- symmetrischen Anordnung (x, y-Ebene, Feld soll nicht von x abhangen, z. B. Paralleldraht-System) sind die Be- wegungsgleichungen eines Teilchens im Sattelpunkt in linearer Naherung ( x soll nicht weiter interessieren)

(6) X'' + 2 y 5' - (a - 2 p . cos 2 z) 5

+ k, = 0,

( 7 ) y" + 2 y y' + (a - 2 p . cos 2 z) y

+ k , = 0.

2.5

t 2'o u 15

7.0

0-5

0

-0.j

P- 1

Abb. 2. Grenzkurven a: fur n = 1 und y = 1/0,004; 0,2; 1/@; 1/G in 1.Nahe- rung (ausgezogen) und exakt (gestrichelt)

Liegt mit ci auch - ci in stabilen Bereichen, d. h. ist ],u (a - y2, p) I < y und zugleich Ip (- ci - y2, p) I < y , dann klingen die Losungen der homogenm parametergekoppelten Gleichungen ab, es bleihen nur die partikularen Lo- sungen der Periode x. Falls k , = k, = 0, sind dann x = 0 und y E 0 asympto- tisch stabile L o ~ u n g e n ~ ~ ) . Dies bedeutet physikalisch, daB man das geladene Teilchen im Sattelpunkt frei ,,aufhangen" kann (siehe auch1)2) 20). Nur mit Gleichspannung ( p = 0) ist ein ,,Aufhangen" nicht moglich, da bei p = 0 mit ci nie zugleich\-a in einem stabilen Bereich liegt (Abb. l), nur mit Wechsel- spannung ist dies jedoch fur bestimmte p-Bereiche moglich, z. B. 0 < <& (fii: Schnittpunkt der Diimpfungskurve ___- cii mit der P-Bchse). Fur /3: erhalt man in 1. NBherung & = 1'1 + 4 y2, in 2. NBherung

~ _ _ _ _ - ______- (&)Z = 4 (99 + 1 2 y2) - I/$ (99 + 1 2 y2)2 - (I + 'I y2) (81 + 36 7 2 )

m 0,8245 -t 4 y2 (8)

19) Es wird eine Losung po dann als stabil bezeichnct, wenn eine ,,Stiirung" 6p fur alle T > T~ beschrankt bleibt; geht auWerden1 6q -+ 0 fur T + 00, ist po asymptotisch stabil.

20) R. F. Wuerker u. a , , J. Appl. Phys. 30, 3 (1958). Ann. I'hysik. 7. Folge, Bd. 6 14

210 Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 6. 1960

(bis &' M 2 ist der Fehler kleiner als I%, bei p i M 1 nur 0,03%, ,!?: = 0,90805). Wird bei a = 0 > &, so werden die Schwingungen in x- und y-Richtung gleichzeitig instabil.

Im Falle einer axial-symmetrischen Anordnung ( r , y , x : Zylinderkoordi- naten) sind die Bewegungsgleichungen in linearer Naherung im Sattelpunkt (mit y' = 0 und nur k, +. 0)

zll + 2 y + (a - 2 j9 * cos 2 z) z + k, = 0, (9) r r r + 2 y r r - + ( a - 2 @ - c c o s 2 z ) r = O . (10)

Hier miissen mit a und p auch - 4 a und - + B in stabilen Bereichen liegen, damit das Teilchen ,,aufgehangt" werden kann. Ein Blick auf Abb. 1 zeigt, daB man das Hauptaugenmerk auf den 1. stabilen Bereich zu legen hat, d. h., es muB wieder 0 < /pi < /3: sein bei a = 0 und y < 1, damit das Teilchen ,,schweben" kann. Es ist zu bemerken, daR die Losung x = 0 (bei k, = 0) eher als r I 0 instabil wird, wenn man die Wechselspannung (p ) erhoht, da aich die Parameter um den Faktor - + unterscheiden (r E 0 ist also noch fur 0 < 1/31 < 2 /3: stabil). Dieser Sachverhalt wurde experimentell bestatigt.

Sind die Auslenkungen aber nicht mehr sehr klein, mussen die nicht- linearen Glieder der Bewegungsgleichungen berucksichtigt werden, was im folgenden geschehen soll.

IV. Periodisehe Losungen auf den Symmetrieaehsen der Anordnungen in nichtlinearer Annaherung des Feldes

Das Experiment zeigt', daB auf den Symmetrieachsen der Anordnungen unter bestimmten Bedingungen periodische Schwingungen eines Teilchens mit groBerer Amplitude moglich sind, obwohl nach der linearen Naherung die Losungen dann unbeschrankt wachsen sollten. Dies ist eine Folge der Nicht- lineaxitat des Feldes, wodurch die Parameter a und /3 effektiv verandert werden. Wie man nun leicht ableiten kann, 1aRt sich der Felclverlauf auf den Achsen in der Nahe des Sattelpunktes q = 0 ( lq ] < 1) durch

F- (q-) = 4- (1 - 4 3 oder F+ (4+) - 4+ (1 + 4:) (11) darstellen (q* entsprechend transformierte Koordinate). F- entsprieht einer ,,weichen", P+ einer ,,harten" Riiokstellkraft. Somit ist bei nichtlinearer An- naherung des Feldes die Differentialgleichung

q" + 2 y q' + (a - 2 @ . cos 2 Z) 4 (1 - q2) + k ,= 0 (12) zu untersuchen, da (12) mit q2 -+ -q? und k2 + -k: auch p+ beschreibt.

Wir gehen nun so vor, daI3 wir die Schwingung mit bekannter Frequenz ansetzen und die Amplituden in Abhangigkeit von den Paramet,ern in Naherung ermitteln. Ohne Beriicksichtigung der Reibung ist dies eine gewisse Willkur, da im Experiment die erforderlichen Anfangsbedingungen wohl kaum realisicrt werden konnen. Bei Reibung jedoch stellt sich die periodische Losung (Periode z oder 2 z) ein. Die BuRerst urnstandlichen Rechnungen werden hier ganz weggelassen und nur einige Ergebnisse angefuhrt. Es wird angesetzt

q+ w A, + A, cos z + B, . sin z + A , . cos 2 z + B, . sin 2 z, (13)

q- m a, + a, . cos z + 6, . sin z + a2 . cos 2 z + b, . sin 2 z. (13)

A. Miiller: Celadene Teilchen i n Sattelpunkten elektrischer Vechwlfelder 211

1. F a l l : Losungen dcr Periode 2n in 1. Naherung bei y = k = 0 (A, =

Man erhalt q- m B, . sin t nahe asl mit a + p 2 1; q- m A, . cos t nahe a,, mit a - 13 2 I;

q+ m a,. c o s t nahe a,, mit a - p 5 I;

A, = B, = 0).

q+ m b, . sin z nahe asl mit a + p 5 1; (15)

hierbei ist

a Z = - A 1 :; b: =,- B;. Die Abb. 3 zeigt Bl iiber der angedeuteten a, /j- Ebene. Man erhalt die cos- aus der sin-Schwingung, wenn man ,B dnrch -p ersetzt. Die Stabilitat der Losungen wurde untersucht, das Ergebnis zeigt

R-

4- Abb, 3. Amplitude B, iiber cx, P-Ebene

Abb. 4. Ganz allgemein kann man sagen, daB die Xchwingungen stabil sind, wenn a , in ,,instabilen" Bereichen der linearen Differentialgleichung (Abb. 1) liegen ; anderenfalls sind sie instabil (was experimentell bestatigt wurde).

2. F a l l : Losungen der Periode 271: in 1. Naherung bei k = 0, y > 0. Mit A, = A, = B, = 0 ergibt sich fur A,/& eine Bestimmungsgleichung 4. Grades. Speziell fiir a = 0 erhalt man ( p > 0; y4 < 1) die Naherung

q rn C, . sin (t + x) mit tg x = ~ 2 Y .

(16) 1 + P '

w - 1 - 4 VI ru 4- 8 1 2 + 4 PI p (I + p,s --- -. c2 =

Die Abb. 5 zeigt C, fur y2 = 0 und y2 = 0,025. Fur q- existicrt diese Lo- sung nur fur p, - (a - 1 ) 2 > 4 y2 (im ,,instabilen" Bereich der Abb. 1) und i e t dort asymptotisch stabil. Fur q+ mussen a, im ,,stabilen" Bereich liegen, jedoch ist dicse Schwingung instabil und nur q+ = 0 dort asymptotisch stabil.

14*

212 Annalen der Physik. 7. Folge. Band 6. 1960

Solange also (bei a = 0) 0 < 1/31 < gilt, ist q- = 0 die sich fur z -+ 00 einstellende asymptotisch stabile Losung. Diese wird fur 181 2 & instabil und q- beginnt zu wachsen, bis der nichtlineare Faktor (1 - 42) den

Abb. 4. Bereiche der mijglichen stabilen und instabilen Schwin- gungenin der a, B-Ebene (1. Kahe-

rung) Abb. 6 . Amplitude C, mit yz = 0 und 0,026 in Ab-

hangigkeit yon /3

Wert von /3 effektiv so verkleinert hat, daB wieder eine periodische Losung moglich ist, die wegen der Reibung fur grol3e t auch angenommen wird. Die Abb. 5 zeigt,, daB die Amplitude Cl bei 8; sprunghaft einsetzt (a = 0), es gilt

ac, - lim - -moo. s-sy a/3

Hiermit ist eine sehr empfindliche MeBmethode gegeben (siehe Abschnitt VIIIa). Zur Art der Losung q+ ist zu sagen, daB (z. B. bei a = 0) q+ = 0 fur 0 < ]/?I <&' asymptotisch stabil ist. Im Interval1 0 < 1/31 < &' ist auch noch eine 2 n- periodische Losung moglich, sie ist aber instabil, wie im Experiment bestatigt wurde.

3. Fa l l : Es wurden ebenfalls die n-periodischen Losungen bei y = k = 0 in 2. Naherung untersucht in der Nahe der Grenzkurve ac0 m - 4 /I2. Es wird jedoch nicht naher darauf eingegangen, da sie in diesem Zusammenhang geringeres physikalisches Interesse haben.

4. Fal l : Die ,,partikulare" Losung qp unterscheidet sich nur geringfiigig (bei q$ < 1) von der partikularen Losung der linearen Differentialgleichung (z. B. fur a = 0, 0 < < PI:

und zwar ist qp+ etwas kleiner und qp- etwas groBer, z. B. (a = 0)

q, = A,, + A,, cos 2 z + B,, . sin 2 z; B,% w - y . ADa;

Man beachte k2 --f k2 > 0 und k2 + - k$ < O ! Beide Losungen q,+ und qs- sind asymptotisch scabil, sie wurden im Experiment beobachtet, die Art der Abweichung durch Messungen bestatigt. Das Erdfeld bewirkt also das :,Durchhangen" der Tdlchen.

A . Niil ler: Geladene Teilchen in Sattelpunkten elektrischer Wechselfelder 213

Dies bewirkt, daIJ die Schwingung der Periode 27c nicht genau auf der Dampfungsgrenzkurve einsetzt, da das nichtlineare Glied die Parameter effektiv andert. Fur 1 k2/ < 1 (fur Erdfeld sehr gut erfullt) wird (bei a = y = 0)

105 p: = 81 + 4 * k2,

wobei also jetzt die Schwingung bei J,B] = p! einsetzt.

V. Spezielle symmetrische Potentialfelder Den bisherigeri Untersuchungen lagen ganz allgemein syinmetrische

Potentiale zugrunde, jedoch beschrankten wir uns bei des Diskussion der Be- wegungsgleichungen auf die unmittelbare Umgebung eines Sattelpunktes. Wir wollen nun gro13ere Amplituden betrachten und auf spezielle Potential- felder eingehen, die im Experiment Verwendung finden (Paralleldrahtsystem, Kreisring, Schlitzblenden-Kondensator und Kreislochblenden-Kondensator). Es sollen kurz die Koordinatentransformationen (auf q) , die Parameter 01,

und die den Feldverlauf auf den Achsen beschreibenden Funktionen P (a) angegeben werden.

a) Paralleldrahtsystem (siehe Abb. 6)

Die Drahte sollen das Potential U = + U , cos w t haben und sich in einem grooen, geerdeten Hohlzylinder vom Durchmesser 2 D befinden. Dann ist

' fiir fur q = y/l und F 3 __ 1 + n 2 1 --p2

P Der Feldverlauf auf den Achsen ist F = q = x / l .

Y . t

Sbb. 6. Paralleldrahtsystem Abb. 7. Kreisring

b) Kreisring (;2bb. 7)

-

auf des Z-Achse gilt fiir Werte q = Genauiglreit, F ( q ) w q / ( l + q2) (Fehler 5 1,ioh).

5 . z < 0,5 ebenfalls mit ausreichender 2 R =

214 Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 6. 1960

c ) Schlitzblenden-Kondensator (,4bb. 8)

Es wird D >> h > R vorausgesetzt. Man erhalt

wobei q+ = q- = 0 und qo = U = + U , . cos GO t angenommen wurde. Den Feldverlauf auf der y-Achse karin man wieder annahern durch F = ltmz

rnit q = -- und auf der x-Achse durch F E ~- mit q = --' der

Fehler ist fur \ q / 2 0,5 kleiner als 1%.

P

P X Y 1/2 . R 1 - q 2 12. R'

9' Z t t ! h I

i, I

i (P- I

f 0 Abb. 8. Schlitzblenden-Kondensator Abb. 9. Kreislochblenden-Kondensator

d) Kreislochblenden- Kondensator (Abb. 9)

Wie unter c) wird hier

Eine gute Naherung fur den Feldverlauf auf der z-Achse ist F m q - fur

vt i, fur sehr groBe Werte ist F = -. signum q eine IpI 5 O , j mit q = -.-

guteNaherung. Auf der r-Achse gilt hier genahert P M 1. ~. Zum SchluB sol1 darauf hingewiesen werden, daB bei der Verwendung von

einem symmetrischen Vierpolfeld mit hyperbolischen Elektroden 21) 22) 23) bei exakter Ausfiihrung keine nichtlinearen Glieder auftreten, was sich in der Praxis nur annahernd verwirklichen laat.

1 + q 2 n 4

1 . ~~ mit q =

2 1-qz 12 * R

VI. Periodische Losungen auf den Symmetrieachsen der speziellen Anordnungen Im vorigen Abschnitt wurde gezeigt, daB sich die Feldverlaufe auf den

Achsen der speziellen Anordnungen fur \ q ( 5 0,5 durch Fl = 9- und

durch F2 = annahern lassen. Wir untersuchen daher jezt die periodischen + q?

- q:

21) W. P a u l u. S te inwedel , Z. Naturforschg. 1953, 8a. 22) W. P a u l u. M. l t a e t h e r , Z. Physik 140, 262 (1955). 23) W. P a u l u. a., Z. Physik 152, 143 (1958).

A . Muller: Geladene Teilchen in Sattelpunkten elektrischer Wechselfelder 215

Losungen der Differentialgleichung

y” + 2 y y ! + (a - a p . cos 2 t) .&+ k = 0

(fiir q2 < 1 ergibt sich (12)).

.sind in 1. Naherung durch Die Amplituden der Schwingung Bl. sin z + A , . cos t bei k = oi = 0

gcgeben. In der Abb. 10 ist die Amplitude A aus q = A . sin (t + xl) mit d, = tg x1 fur y = 0; 0,l ; 0,3 und 0,5 eingezeichnet. Die allgemeinen Aussagen des Abschnittes 3 treffen hier naturlich auch zu (z. B. Stabilitat).

Die 2. Naherung wurde nur fur y = a = k = 0 .durchgefuhrt. AulJer der Er- hohung der Genauigkeit fiir ,p (> 0) nahe 0,908 erklart diese 2 . Naherung zusatzlich eine experimentell beobach- tete Schwingung mit groBer Amplitude zwischen den pamllelen Dra’hten (auf 2-

Achse, d. h. q+). < 0,908 ist y+ E 0 stahil; er- reicht, \pi den Wert 0,9098 (der exakte Wert ist 0,90805!), wird q+ = 0 instabil, q+ beginnt sich auf- zuschwingen. Dadurch wird effektiv vergrofiert, bis etwa Ip I / ( 1 - 1 q+ I I M / ~ )

m 7,51 wird (Wert der Grenzkurve), wo wieder eine stabile Schwingung mog- lich ist.

Abb. 10. Amplitude A fur y = 0 ; 0, l ; 0,3 und 0,5 in Abhangigkeit von 8 bei LY = 0

Abb. 12. Vergleich zwischen gemessener Abb. 11. Maximale Amplitudein 1. und 2. Nahe- und berechneter Amplitude fur drei

Teilchen rung bei iy = y = k = 0

In Abb. I1 ist die maximale Amplitude von q- = B l . sin z + B 3 . sin 3 z fiir j > 0 eingetragen, man erkennt die Abweichung der ersten Naherung

216

von der zweiten. Der Wert 8 = 1 Bl I + 1 B3 I 1aRt sich sehr gut durch

Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 6 . 1960

annahern (siehe kleine Kreise in Abb. 11). Das Experiment bestatigt innerhalb der MeRgenauigkeit und der gemachten

Naherungen den Verlauf der Amplitude. In Abb. 1 2 sind MeBpunkte von drei versehiedenen Teilchen und die Kurve nach (19) eingetragen. Die Reibung wurde dabei vernachlassigt, was bei diesen Teilchen einen Fehler kleiner als 3% bedeutet ( k = 0 lafit sich durch geeignetes homogenes elektrisches Gleich- feld E, immer erreichen).

Die Schwingung der Periode n, verursacht durch das Erdfeld, wurde mit LX = y = 0 und 1 k21 < 1 untersucht, Bezeichnung q- = A, + A, . cos 2 z bzw. q+ = a, + a, . cos 2 z. Die Abb. 13 und 14 geben A,, und a,, uber j3 auf-

4

I 3 A.

2

7

0

0 lo 15 8 -

Abb. 13. A, als Funktion von /? bei y = oi = 0 und k = 0,Ol so-

wie k = 0,04

- 7

getragen fur k = 0 , O l und zum Teil k = 0,04 an, die Stxbilitat der mBglichen Schwingung ist gleichfalls angegeben ( k > 0). Experimentell wurde bestatigt, daB fur A, < 0 das Teilchen bei Verkleinerung der Wechselspannung immer starker ,,durchhangt", bis es bei einem be- stimmten A, (nach Rechnung M -0,362) aus

8- Abb. 14. A , bzw. a, als Funktion yon /? bei y = cx = 0,

und k = 0,Ol

der Anordnung fallt (Messungen ergaben den Wert -0,35 & 0,02). Die Xchwin- gungen mit A, > 1,529 wurden ebenfalls beobachtet. Fur q+ (x- oder r-Achse) sind n-periodische Losungen moglich, falls 0 < laO/ 5 1. Das Teil- chen fallt nicht aus dem System, sondern auf den Rand der Anordnung, falls ,B --f 0 geht (da LX = 0). Diese Losung ist stabil.

VII. Zwei Teilchen gleicher Ladung und Masse in axial-symmetrischen Potentialfeldern

Bisher wurde nur die Bewegung eines einzigen Teilchens verfolgt. Es sol1 nun kurz darauf eingegangen werden, wie sich mehrere (insbesondere 2) Teilchen, die zur Vereinfachung der Rechnung alle gleiche Masse und Ladung

A. &!iiller: GeladerLe Teilchen in Xattelpunkten elektrischer V'echselfeldcr 21 7

haben mogen, in der Umgebung von Sattelpunkten axialsymmetrischer Po- tentiale verhalten. Das Experiment zeigf,, daB die Teilchen fur 1/31 < p; in der Ebenc z = 0 mit der aufgepragten Frequenz o gegeneinander schwingen (Bezeichnungen wie oben). Zwei Teilchen ordnen sich so an, daB r, = - r2 gilt (sjehe Abb. 15). Bei n Teilchen betragt der gegenseitige Winkelabstand 360"ln. Es konnen sich bei vielen Teilchen auch einige ,,konzentrische Ringe"

Abb. 15. Anordnung zweier Teil- chen in der Symmetrieebene Abb. 16. a, (,?I) bei a = k = 0 mit p = 10-3; 10-4; des axialsymmetrischen Systems bei y = 0 und p = 10-3 bei yz = 0,5

aus mehreren Teilchen bilden20). Die Bewegung von zwei gleichen Teilchen konnen wir bei z1 = z2 = 0 und vi = yk = 0 durch eine eindimensionale

Differentialgleichung beschreiben. Mit den Bezeichnungen q+ = 1/- - . r

(0 = v+ fur Kreislochblenden-Kondensator, 0 = v; fur Kreisring und der Feldannaherung y+/(1 - q:) erhalt man die Gleichung (Bezeichnung wie oben)

- 3 0

l 4 Q+ y;r + 2 y q; - /3 . cos 2 z . - 2 - 4 = 0

1 - 9+ Q+ mit

ff '3 (c0: Dielektrizitatskonstante). e2

Wir machen den durch das Experiment begrundeten Naherungsansatz

y+ = a. (1 + dl . cos 2 z + d, . sin 2 z).

In den Versuchen von H. S t r a u b e l ist > p > 30-6. Die Abb. 16 zeigt einige Kurven a,, (p) mit p und y als Parameter. Die Pfeile geben die Amplitude an. Mit wachsender Wechselspannung nahern sich die Teilchen dem Sattel- punkt r = z = 0, wobei die Amplitude wachst. Fur > & treten auch sprunghaft 2 n-periodische Schwingungen in z-Richtung auf, wie das Ex- periment bestatigte .

218 Annulen der Physik. 7 . Folge. Band 6. 1960

VIII. Meflmiiglichkeiten zur Bestimmung von Ladung e und Masse m des Teilehens

In die Bewegungsgleichung eines Teilchens gehen elm und iiber die Rei- bungskonstante x die Masse m als gewohnlich zu messende GroSen ein, die nnderen Parameter sind bekannt.

Fur ~t m 0 kann man aus den vorangegangenen Untersuchungen nur Me& moglichkeiten fur elm ableiten. Nur wenn die Reibung beriicksichtigt wird, welche als Funktion der Masse und der Geschwindigkeit des Teilchens bekannt sein muS, ist mit Hilfe dieser Untersnchungen eine Bestimmung von Ladung und Masse selbst moglich. Wir konnen hier x als Funktion von m nur dann explizit angeben, wenn wir S t o kessche Reibung mit allen Einschrankungen der Gultigkeit annehmen24). Bei den von H. S t r a u b e l durchgefuhrten Ex- perimenten waren die Parameter so gewahlt, daB IBl < 2 und $< 1 erfullt war. Der Parameter y = wurde unter der Annahme x = G n qz ro

(S to kessche Reibung) fur Bewegung in Luft bei Zimmertemperatur und m u

Icm? -- 70-3 10-8 ro.? 10'~ 70" ' 70'

70

I T 4 .T

C%J

lo'

I I I I I I I I I I I N

Abb. 17. Reibungskonstante y in Abhiingigkeit vom Teilchenradius ro bei 50 Hz

2 10' 5.70.' 10" ,&'f- 570'

IX = 100 ' ns-labgeschatzt, siehe hierzu Abb. 1 7 (d, = Dichte des Teilchens, qs = Zahigkeit der Luft m 1,82 . Poise; r,: Radius des Teilchens zwischen 3 . 10-3 und 10-2cm). Man sieht, daB fast fur alle Teilchen y < 1 gilt, meist sogar y2 < 1 (di rn 0,8 . . . 1,0 gr/ em3). Somit sind die in den vorangegangenen Abschnit- ten abgeleiteten Naherungs- losungen sinnvoll und brauchbar.

Es sollen nun kurz die sich aus den obigen Unter- suchungen ergehenden MeB-

moglichkeiteri skizziert werden. Diese MeBmethoden konnen iatiirlich noch aus anderen Zusammen hangen abgeleitete hinzugefiigt werden (z. B. direkte Wagung oder Ausmessung des Durchmessers bei festen Teilchen, Streu- lichtmessungen, langsamer Fall der Teilchen im Erdfeld u. a.).

a) ,, Sprungpunktmessungcc Das Einsetzen der subharmonischen Schwingung (Periode 2 n) auf der

z-Achse axialsymmetrischer Anordnungen liefert cine sehr empfindliche und genaue MeSmoglichkeit (siehe Abschnitte 3 und 5). ZweckmaSig hebt man durch ein homogenes elektrisches Gleichfeld die Wirkung des Erdfeldes auf ( k , = O ! ) , so daS sich das Teilchen fur 181 < /3; im Sattelpunkt in Ruhe befindet. Die

24) W. Cer lach , Handbuch d. Physik XXII/l, 1933.

A. Hicller: Geladene Teilchen in Saftelpunkten elektrischer Wechselfelder 219

Arinahme S t o kesscher Reibung ist dann gerechtfertigt. Niiherung gilt

In brauchbarer - , _ _ ~ ~ -~

p1y rn j /0 ,82x l $- 4 y 2 .

Hieraus ergibt sich wegen /3 - e U,!m w2 und y - l / w . m'/3 der Zusammen- hang

worin S, und S, bekannte Konstanten sind (ohne Reibung S, w 0). Diese Messung liefert also einen Zusammenhang zwischen m und elm. Fiir relativ grof3e Teilchen ist y2 < 1 und man erhalt mit S2 w 0 eine gute Annaherung fur e l m . Durch eine weitere unabhhgige Mcssung kann man dann e uncl m bestimmen.

b) Amplituden- und Phasenmessungen Die Messung der Amplitude der subharmonischen Schwingung liefert einen

weiteren Zusammenhang zivischen elm und m, der den entsprechenden Ab- schnitten zu entnehmen ist. Diese Methode ist aber weniger empfindlich und ungenauer durch die Naherungsansatze. Naturlich konnen auch die anderen abgeleiteten Amplitudenbeziehungen zu Messungen benutzt werden. Des- gleichen konnen Messungen der Phasenverschiebung x (siehe oben) durch- gefiihrt werden; in Naherung gilt oft (y2 < 1, ]PI w /I;) tg x = 7 , so daI3 hier y (und damit die Mwsse) direkt abgeschatzt werden kann.

cj Ststische Messung von elm

Man hebt unter der Bedingung 1/31 < /7; die Wirkung dea Erdfeldes (g, etwa in z-Richtung) durch ein homogenes elektr Gleichfeld auf (E,,). Dann gilt wegen k, = 0 die Beziehung elm = q/E,. Fiir //I I nahe ist diese Xethode sehr unempfindlich, deshalb muB man soweit als moglich /3 (d. h. U,) ver- ringern. Diese Methode hat den Vorteil. da13 man mit dem Wechselfeld d:ts Teilchen noch ,.festhalten" kann, solange nicht exakt k , = 0 ist. Die Durch- fiihrung von Messungen bestatigte insbesondere die Vorteile der vom Ver- fasser vorgeschlagenen Iireislochblenden-Anordnung fur diese Messungen. Zur Messung von e und m empfiehlt sich also eine Kombination der ,,Sprung- punkt-" und der statischen Methode, die am empfindlichsten sind und kurz nncheinander angewendet werden konnen.

d j Relativmessungen Oft iriteressiert man sich fur langsame zeitliche Veranderungcn von e . rn

oder elm (z. B. Verdampfen u. a.). Dureh Sprungpunktmessungen zu den Zciten t , und t , ergibt sich die Relation

220 Annalen der Physik. 7 . Folge. Band 6. 1960

e) Bei annahernd gleichen Teilchen kann man e2/m bestimmen durch Messung des gegenseitigen Abstandes 2 A und der Amplitude C (siehe hierzu Abschnitt VII), es gilt

e2 m _ - - 2 4 n Eo CO' a A * c2.

1st elm bereits bekannt, geniigt bei y2 < 1 die Messung von A ; man berechnet dann e2/m (und damit e bzw. rn) aus

3 2.A3

8 (1

Zum SchluB sei noch darauf hingewiesen, daB sich die Ladung des Teilchens

p = _- . -L-

auch bei konstanter Masse im Wechselfeld zeitlich merklich andert.

Die vorliegende Arbeit wurde im Theoretisch-Physikalischen Institut der Universitat Jena angefertigt.

Herrn Prof. Dr. K. Schus te r mocht,e ich an dieser Stelle meinen Da,nk fur die Forderung dieser Arbeit aussprechen. Fur wertvolle Anregungen und Unterstiitzung von der experimentellen Seite her bin ich Herrn Prof. Dr. H. S t r a u b e l zu Dank verpflichtet.

Berl in -Pankow, Wissenschaftlich-Technisches Biiro fur Reaktorbau.

Bei der Redaktion eingegangen am 18. Dezember 1959.