TI-Nachrichten

Ausgabe 2/05

Inhaltsverzeichnis

education.ti.com T I Te c h n o l o g y –B e y o n d N u m b e r s

D r. W. Zappe:MMM – Matrizen machen’s möglich . . . . . 1

L. Tscheschlok:Made in China . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

H. Warnung:Einsatz von CABRI GEOMETRY™ bereits in der 6. Schulstufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

F. Spirig:Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand . . . . . 6

H. Pichler:Fraktale auf dem TI-83 Plus/TI-84 Plus . . . . 8

W. Pröpper:Ein wirklich neues Betriebssystemfür CAS-Rechner! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

F. Liebner:Differenzen- und Differenzialquotientauch in der Chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

O. M. Keiser:Der Einsatz des Text-Editors imVoyage™ 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

G. Hinrichs:Ein Gang durch die BeurteilendeStatistik mit Quantilen . . . . . . . . . . . . . . . . 18

G. Heitmeyer:Übergangsmatrix und Bevölkerungs-wanderung im Grundkursabitur . . . . . . . . 21

U. Handschin:Konstruktive Geometrie auf demTI-83 Plus/TI-84 Plus . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

G. Dreeßen-Meyer:rref() – ist der Lösungsmatrix desVoyage™ 200 immer zu trauen? . . . . . . . . 26

Dr. H. Urban-Woldron:Wo liegt der didaktische Mehrwert beimEinsatz von TRANSFORMATION GRAPHING

& GUESS MY COEFFICIENTS? . . . . . . . . . . . . 27

S. Stachniss-Carp:Parabeln stehen Modell – Teil II . . . . . . . . 29

Texas Instruments:TI-Gewinnspiel in Österreich– ein schöner Erfolg . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

MMM – Matrizen machen’s möglichD r. W i l f r i ed Zappe

In einer kleinen ergänzenden Unterrichtsreihe im Leistungskurs Klasse 12 wurden Matrizenund Kegelschnitte behandelt. Eine Vernetzung beider Inhalte war u. a. durch folgendeUntersuchung angestrebt worden:

Bekanntlich wird durch die Abbildung

eine Streckung des Vektors in x-Richtung um d Einheiten bewirkt.

Wir wollen dies anwenden auf die Streckung eines Einheitskreises in x-Richtung. Der Kreis

möge durch seine Parameterdarstellung gegeben sein. Der Streckungsfaktor

betrage d = 3. Durch entsprechende Parameterdarstellungen wird die Abbildungveranschaulicht.

CAS

d xy

d xy

00 1

∗

=

⋅

OPM :MMM

=

xy

tt

cos( )sin( )

Abb. 1

Bild: RTL

2 TI-Nachrichten

Computer Algebra SystemTI-89, TI-89 Titanium, TI-92 Plus,Voyage™ 200

Zeichenerklärung: Graphische TaschenrechnerTI-82, TI-83, TI-83 Plus, TI-83 Plus Silver Edition,TI-84 Plus, TI-84 Plus Silver Edition

MesswerterfassungssystemCBL™, CBL 2™, CBR™

PC SoftwareDerive™, TI InterActive!™, Cabri Geometry II™

CAS GTR

CBL CBRPC

Liebe Leserinnen und Leser,

in dieser neuen Ausgabe der TI-Nachrichten erwarten Sie wieder viele Artikel aus der Unterrichtspraxis, die verdeut-lichen, dass Graphikrechner und Computer-Algebra-Systeme aus dem modernen Unterricht nicht mehr wegzudenkensind. Dieses geht auf eine Entwicklung zurück die Anfang der 90er Jahre mit Anbeginn der Verfügbarkeit vonGraphikrechnern auch im deutschsprachigen Raum begann. Einige Lehrerinnen und Lehrer hatten frühzeitig dasPotential, das in diesen Werkzeugen steckt, erkannt und entsprechende Unterrichtsprojekte und Schulversucheinitiiert. Es entstand recht bald der Wunsch, derartige Systeme ständig zur Verfügung zu haben. Schließlich kam1995 mit dem Modell TI-92 das erste entsprechende System auf den Markt. Kurz nach der Vorstellung des CAS-Taschencomputers TI-92 gab es bereits zahlreiche Modellversuche zum unterrichtlichen Einsatz dieses Rechners.Am bekanntesten ist hierbei wohl das breit angelegte TI-92–Projekt aus Österreich.

Bei allen Beteiligten reifte die Überzeugung, dass der Einsatz derartiger Taschencomputer so wertvoll und für denUnterricht so gewinnbringend ist, dass deren Verwendung ein Muss für alle Lehrerinnen und Lehrer sein sollte.Es wurde rasch klar, dass Strukturen geschaffen werden mussten, die eine flächendeckende Verbreitung derartigerSysteme fördern. Zunächst entstanden lokal Arbeitsgemeinschaften und Interessensgruppen, die ihre Erfahrungenuntereinander austauschten. Eine wichtige Institution dabei wurde das von Texas Instruments unterstützteLehrerfortbildungsnetzwerk T3.

Zusammenfassend ist festzustellen, dass heute kaum mehr ein Bundesland nicht Graphikrechner oder CAS bereitseingeführt hat oder doch wenigstens über diesen Schritt nachdenkt. Im Übrigen folgen die deutschen Bundesländerdamit einem internationalen Trend. Mit Ausnahme von Italien und Spanien sind in allen anderen europäischen undanglo-amerikanischen Industriestaaten einschließlich Australien Graphikrechner oder Computer-Algebra-Systemegängige Hilfsmittel im Unterricht.

Die gewinnbringende Nutzung von Graphikrechnern und CAS-Taschencomputern wird noch für viele Jahre ein wesent-licher Punkt der didaktischen Diskussion sein. Es lohnt sich also, sich weiterhin mit diesem Thema zu beschäftigen.

In diesem Sinne viel Spaß und Freude beim Lesen der aktuellen Ausgabe der TI-Nachrichten und natürlich bei Ihremtäglichen Unterricht wünscht IhnenIhr TI-Team

MMM – Matrizen machen’s möglich Fo r tse t zung

Wir erkennen: Das Bild des Kreises bei dieser Abbildung ist eineEllipse.

Durch die Abbildung

wird eine Drehung des Vektors um den Ursprung mit

dem Drehwinkel ϕ erreicht. Wir veranschaulichen das durch die

Drehung einer Ellipse um den Winkel . Abb. 2

Abb. 3 Abb. 4

−cos( ) sϕ iin( )sin( ) cos( )

ϕ

ϕ ϕ

⋅

xy

OOPxy

M :MM=

= ⋅ϕπ

3

TI-Nachrichten 3

MMM – Matrizen machen’s möglich Fo r tse t zung

Aufgabe:Versuchen Sie, möglichst viel von dem Logo einer bekanntenFernsehquizsendung mit dem oben beschriebenen Verfahrenauf Ihrem CAS-Rechner zu reproduzieren.

Ergebnisse von Schülern:

Der Autor:Dr. Wilfried ZappeSchleusinger Allee 4D-98693 Ilmenau E-Mail: wilfried.zappe@onlinehome.de

Abb. 5

Abb. 6

Abb. 7

Abb. 8

„Erzeugen Sie ein Bild auf Ihrem Taschencom-puter unter Verwendung der ihnen bekannten Funktionen.“

So lautete die Mathematikhausaufgabe zur Festigung der neuerlernten Potenzfunktionen.

Doch so einfach, wie es sich anhört, war diese Aufgabe ganzund gar nicht. Allein das Finden eines geeigneten undoriginellen Motivs stellte das erste Problem dar. Doch da sahich das Bild einer asiatischen Frau an meiner Zimmerwand,welches mir mein Großvater von einer China-Reise mitgebrachthatte. Da das Motiv der Chinesin weder zu einfach noch zualltäglich war, entschloss ich mich dafür.

Als größte Schwierigkeit stellte sich die Frisur der Chinesinheraus, denn das genaue Verbinden der Linien wollte nichtgelingen. Kurzzeitig überlegte ich, ob ich nicht ein anderes Bildwählen sollte. Doch nach weiteren Versuchen gelang es mir.Gesicht und Gewand der Frau waren danach weniger kompliziert nachzuempfinden.Durch die Anwendung der vielen verschiedenen Funktionsartenkonnte ich diese üben und mein Wissen festigen. Aber letztendlich war ich froh, als „meine“ Chinesin endlichfertiggestellt war.Dies sind die Funktionsgleichungen meiner Chinesin, erstelltmit einem Voyage™ 200:

Made in China L isa Tscheschlok

CAS GTR

Abb. 1

y x x and x12 1 1 5 1= + ≥ − ≤,

y x x22

1 2 1= −( ) + ≥ ,and x ≤1 5

, ,y x x and x= − + ≥ ≤3 9 1 1 53

y x=4 ++( ) + ≥ − ≤ −1 5 3 25 1 5 0 51 2

, , , ,/

x and x

= − −05 ,y x 66 3 0 5 13( ) + ≥ − ≤,x and x

0 5 4 764

= − +( ) + ≥, ,y x x −− ≤ −1 5 0 5, ,and x

4 TI-Nachrichten

Made in China Fo r tse t zung

Die Autorin:Lisa TscheschlokSchülerin der Goetheschule Ilmenau

Anmerkung des betreuenden Lehrers:Lisa Tscheschlok ist Schülerin der Klasse 10 unseres Gymnasi-ums. Das Zeichen von Bildern mit dem Taschencomputer istzwar nichts Neues, aber ich finde das Bild der Chinesin sehrgelungen und ihren Artikel authentisch. Wer so lange über das„Zusammenfügen“ von Kurven nachdenken muss, der hat vielMathematik gelernt und außerdem ästhetisches Empfindennachgewiesen.

Dr. Wilfried ZappeSchleusinger Allee 4D-98693 Ilmenau E-Mail: wilfried.zappe@onlinehome.de

= − +( ) + ≥ −0 05 0 5 4 7 076

, , ,y x x ,, ,5 1 4and x ≤

, ,2 6 5 0 9 08y x x and x= ⋅ + ≥ − ≤ − ,,7

, ,13

5 0 6 0 69y x x and x= − + ≥ − ≤

,1 6 5102y x= − + ,, , ,6 0 5 0 8x and x≥ − ≤

, ,12

1 7 0 411y x x a= + ≥ − nnd x ,≤ 0 1

y x x and x,= + ≥ − ≤12

3 0 3 012

y = −1413 xx x and x+ ≥ − ≤ −2 5 1 2 0 9, , ,

y x x= − ⋅ + ≥3 4 7 114 , ,and x ≤1 2

, ,y x x and= − −( ) + ≥ −13

0 5 1 1 2154

xx ≤2 2,

y x x and x= − −( ) + ≥ − ≤13

0 2 0 7 0 5 1164

, , , ,88

Einsatz des Voyage™ 200 in der 2.KlasseDa in der 2. Klasse die Geometrie eine sehr große

Rolle spielt und ich nicht den traditionellen Weg mit Zirkel,Lineal und Kreide (Bleistift) beschreiten wollte, wählte ich (mitgroßer Begeisterung von Seiten der Eltern) die Einführung des Voyage™ 200 bereits in dieser Schulstufe. Es war als „Experi-ment“ gedacht. Da ich jedoch mit dieser, mittlerweile viertenKlasse, die überaus positive Erfahrung gemacht habe, dass dieKinder über diese Technologie eine vollkommen andereBeziehung zur Mathematik bekamen (wesentlich mehr Spaß ander Materie, Problemlösungen werden algorithmischem, lang-weiligem Rechnen bevorzugt), ist für mich auf jeden Fall klar,dass man die Schüler früh genug auf diese mathematischeSchiene bringen soll. Nach meinen mittlerweile 28 Berufsjahrenund ca. 150 Mathematikklassen, kann ich behaupten, dass ichnoch nie eine mathematisch so begabte Klasse hatte.

Themengebiete, bei denen meiner Meinung nach der Voyage™200 zum Verständnis stark beitragen konnte, waren für mich:

• Streckensymmetrale (Mittelsenkrechte)• Winkelsymmetrale (Winkelhalbierende)• Kongruenzsätze• Satz von Thales• Pythagoräischer Lehrsatz• Flächeninhalt des Dreiecks

Einführung von CABRI GEOMETRY™Um alle diese geometrischen Themen mit CABRI GEOMETRY™ zubehandeln, war es notwendig, die Schüler in dieses Programmeinzuführen. Die ersten Schritte waren:

Zeichnen von Punkten, Strecken, Geraden und Kreisen. ZurÜbung sollten die Kinder beliebige Bilder zeichnen. Bereits inder ersten Unterrichtsstunde entstanden folgende Bilder:

Einsatz von CABRI GEOMETRY™ bereits in der 6. Schulstufe He idema r ia Wa rnung

Abb. 1

Abb. 2

PCCAS

TI-Nachrichten 5

Einsatz von CABRI GEOMETRY™ bereits in der 6. Schulstufe! Fo r tse t zung

StreckensymmetraleAufgabe: Zeichne eine Strecke und mit Hilfe des Befehls die Streckensymmetrale. 3 ; 4

Mit ein paar Hilfestellungen (z.B. zur Winkelmessung) konntefolgende Frage von den Schülern leicht beantwortet werden:

Welchen Abstand haben die Punkte auf der Streckensymme-trale von den Endpunkten der gegebenen Strecke? Zeichne dazu 3 beliebige Punkte auf der Streckensymmetraleund den Schnittpunkt der Streckensymmetrale mit der gegebe-nen Strecke (Abb.4). Miss nun die Abstände dieser Punktevon den Endpunkten der Strecke. ˆ

(Abb. 5).

⇒ Die Streckensymmetrale ... halbiert ... die gegebene Strecke.⇒ Die Streckensymmetrale ... verläuft normal ... zur gegebe-

nen Strecke.

Flächeninhalt eines DreiecksDie Schüler sollen an Hand dieser Aufgabe bereits mit derdirekten Proportionalität zweier Größen zueinander konfrontiertwerden. Die Flächeninhaltsformel muss bereits bekannt sein.

Aufgabe: Zeichne ein beliebiges Dreieck. Bestimme nunden Flächeninhalt dieses Dreiecks. 2 ˆ .Wie wirkt sich eine Veränderung der Länge der Seite c auf denFlächeninhalt aus? Wie wirkt sich eine Veränderung der Höhe des Dreiecks auf denFlächeninhalt aus?

Mit 2 kann die Länge der Seite c verändert werden. Diese Längen und die zugehörigen Flächeninhalte kön-nen im Data/Matrix Editor gespeichert werden.

⇒ Je ... kleiner ... die Seite c, desto ... kleiner ... der Flächen-inhalt.

Analog zum ersten Punkt wird die Höhe verändert. DieHöhe muss zuerst eingezeichnet und abgemessen werden. 4

Aufgabe:Perpendicular Bisector d

Segment;

1:Distance & Length (Abb

y:Perpendicular Bisector

eieck. Bestimme3:Triangle;

c e a2:Area.

3:Animation k

g1:Perpendicular Line

Abb. 3

Abb. 4

Abb. 5

Abb. 6

Abb. 7

Abb. 8

Dieser Beitrag greift nochmals das Problem „Kugel-stoßen mit Luftwiderstand“ auf, das Urs Oswald und

Hans Rudolf Schneebeli in den TI-Nachrichten 2/04 untersuchthaben.

Zuerst wird für den Voyage™ 200 ein Programm erstellt, dasdas Problem mit Hilfe des Euler-Verfahrens (sic!) und der Mit-telpunktregel hinreichend schnell und genau löst. Dann wirdgezeigt, wie das Problem auf Quadratur zurückgeführt werdenkann. Die dabei auftretenden Integrale werden mit demVoyage™ 200 numerisch ausgewertet.

1. Das ProblemDer schiefe Wurf mit Luftwiderstand wird durch das folgendeSystem gewöhnlicher Differentialgleichungen beschrieben:

(1)

Dabei sind x und y die Ortskoordinaten, u und v sind die x- bzw.y-Komponente der Geschwindigkeit. Der Punkt bezeichnet die Ableitung nach der Zeit t. Für die Konstante k und dieSchwerebeschleunigung g sowie für die Anfangsbedingungenzur Zeit t = 0 werden die Werte aus dem erwähnten Artikel vonOswald und Schneebeli genommen:

k = 0,00047225 [m-1] , g = 9,81 [ms-2]

u0 = 14,5 cos(42,552°) = 10,68163 [ms-1],v0 = 14,5 sin(42.552°) = 9,80576 [ms-1]

x0 =0 [m], y0 = 2 [m]

2. Numerische IntegrationDas folgende Programm „ “ integriert die Ge-schwindigkeitskomponenten u und v mit dem Euler-Verfahrenund die Ortskoordinaten x und y mit der Mittelpunktregel.

Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand Franz Spi r ig

6 TI-Nachrichten

Einsatz von CABRI GEOMETRY™ bereits in der 6. Schulstufe! Fo r tse t zung

⇒ Je ... kleiner ... die Höhe, desto ... kleiner ... der Flächen-inhalt.

Der Schüler soll nun zeigen, dass sich der Flächeninhalt einesDreiecks nicht verändert, wenn die Seite c und die Höhe zwargleich bleiben, die Form des Dreiecks sich aber verändert. Dazuwird der Eckpunkt C entlang einer Parallelen zur Seite cbewegt.

Schlussbemerkung:Dies war nur ein kleiner Ausschnitt dessen, was in dieser Klassean Mathematik mit Hilfe des Voyage™ 200 passiert ist. Für Fra-gen bezüglich der anderen mathematischen Inhalte stehe ichgerne bereit.Die Kinder waren in kürzester Zeit mit dem Handling des Programms CABRI GEOMETRY™ vertraut und konnten sichdadurch auf die mathematischen Inhalte, welche vermitteltwerden sollten, konzentrieren. Sie haben im Umgang mit demVoyage™ 200 gelernt, zu experimentieren und selbstständigerzu arbeiten, als dies im traditionellen, nicht technologieunter-stützten Unterricht möglich ist.

Die Autorin:Mag. Heidemaria WarnungGRG 12, Rosasgasse 1-3A-1120 WienE-Mail: hwarnung@gmx.at

Abb. 9

Abb. 10

Abb. 11

Xu k u v u= − + ⋅2 2

Xv k u v v g= − + ⋅ −2 2

Xx u=

Xy v=

kugelsto“

CAS

TI-Nachrichten 7

Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand Fo r tse t zung

Das Programm verlangt die Eingabe der Anfangswerte x0, y0,u0, v0 zur Zeit t = 0 und der Schrittweite h. Es berechnet Zeitund Ort des letzten Punktes mit positiver und des ersten Punk-tes mit negativer y-Koordinate und speichert diese unter tc, xc,yc bzw. t, x, y ab. Für h = 0,001 beträgt die Rechenzeit auf demVoyage™ 200 sieben Minuten.

Durch Lineare Interpolation ergibt sich: t = 2,182341,x = 23,167264, y = 0.

3. Lösung durch QuadraturDas Differentialgleichungssystem (1) ist autonom, d.h. dierechten Seiten von (1) hängen nicht explizit von der Zeit t ab.Zudem sind die Gleichungen für die Geschwindigkeitskompo-nenten u und v von den Gleichungen für die Ortskoordinaten xund y entkoppelt. Daher lässt sich v als Funktion von u auf-fassen. Für die Ableitung dieser Funktion gilt

d.h. v(u) genügt der Differentialgleichung

Der Ansatz v = u · z führt auf eine Differentialgleichung mittrennbaren Variablen:

Der Strich bezeichnet die Ableitung nach u. Trennen der Vari-ablen ergibt:

Diese Gleichung wird nun nach u integriert:

(2)

Die Integrationskonstante C wird aus den Anfangswerten u0

und v0 bestimmt. Mit

folgt C = 184,13146.

Die Auflösung von Gleichung (2) nach u liefert u als Funktionvon z: u = u(z). Ziel ist es nun, auch t, x, und y als Funktion vonz auszudrücken.

Die Ableitung des Ansatzes v = u·z nach t liefert zunächst:

Daraus folgt mit (1):

Integration nach t ergibt:

(3)

Weiter gilt

Integration nach t ergibt:

(4)

(5)

Für die folgenden Berechnungen wird die Gleichung (2) nach u2

aufgelöst und das Ergebnis als uq(z) gespeichert.

Als erste Anwendung soll mit dem Voyage™ 200 die maximaleHöhe y berechnet werden. Diese wird für v = 0, d.h. für z = 0erreicht:

Die Berechnung dauert etwa 40 Sekunden und ergibt 6,881:

Abb. 1

Abb. 2

XX

v uv( ) ='uu

,

vvu

g

k u v u' .= +

+ ⋅2 2

u zgk u z

' .⋅ = ⋅+2 2

1

1

z+ ⋅21 zzgk u

' .= ⋅13

zz In z z

g

ku

C+ + + +

= +

21

12

12

2 22 22

42 522 0 9180000

0

Zv

u= = ° =tan( , ) ,

v u z u= ⋅ +X X ⋅⋅ Xz .

− = Xg uz .

= − ∫tg

u z dzz

z( ) .

1

0

= =XX

x zxz

'( ) −− = = − = −ug

und y zyz

uvg

zug

2 2'( ) .

XX

=x x0 −− ∫1 2

0g

u z dzz

z( )

= − ∫10

2

0

y yg

zu z dzz

z( ) .

=ymax yyg

zu z dzz

z

021

0

− ∫ ( ) .

Abb. 3

8 TI-Nachrichten

Der schiefe Wurf mit Luftwiderstand Fo r tse t zung

Für z = -1,09872 und z = -1,09871 wird y = -0,00004 bzw. y = 0,00009:

Der Wurf endet also für z = -1,09872. Für diesen z-Wert wird t= 2,1823 und x = 23,1673:

4. Zum Schluss noch eine BemerkungEs ist natürlich verlockend, die Gleichung (5) für y = 0 mit demVoyage™ 200 nach z aufzulösen.

Der Rechner liefert nach einer Rechendauer von etwa40 Minuten nur die positive Lösung. (Der Schuss ging nachhinten los!)

Die Bedingung z1 < 0 hilft auch nicht weiter:

Hingegen führt der Näherungswert z1=-1 (Rechendauer gut 20Minuten) zur Lösung:

Der Autor:Franz SpirigWilenstrasse 10CH-9404 RorschacherbergE-Mail: franz.spirig@ksh.edu

Abb. 4

Abb. 5

Abb. 6

VorbemerkungWenngleich die Mode um Fraktale gottlob wieder abge-

klungen ist, bleibt ihre Faszination weiterhin bestehen, weil man

• als biederer Betrachter bei ihrer Ausformung immer wiederÜberraschungen erlebt,

• Querverbindungen zwischen Technik, Kunst, Natur einer-seits und Mathematik andererseits erahnt,

• als Informatiker einen meist einfachen Programmaufbauvorfindet und

• als Theoretiker ebenso „auf seine Rechnung kommt“.

Während sich der Beitrag von M. Bostelmann in denTI-Nachrichten 2/02 vorrangig dem letzten Punkt widmet,betont E. Bichler im Artikel „Fraktale Geometrie und Turtle-Grafik mit dem Voyage™ 200“ in der Ausgabe 2/03 eher dieersten drei Aspekte. Beide Arbeiten bedienen sich dazu des TI-92/Voyage™ 200, letztere allein deshalb, weil die Program-miersprache des Geräts zur automatischen Parameterüber-

tragung fähig sein muss, was eben nur für die genannten Rech-ner und den TI-89 zutrifft. Alle anderen TI-Grafikrechner stehendiesbezüglich im Out.

Um diesen Wermutstropfen zu beseitigen und Besitzer eines TI-83 Plus/TI-84 Plus ebenfalls am Erlebnis eines werdendenFraktals teilhaben zu lassen, seien für diesen Rechnertyp aufder TI-Materialienseite im Internet entsprechende Programmezum kostenlosen Download angeboten. Sie sind aus dem vor-genannten Grunde in ihrer Struktur zwangsläufig uneleganterals jene für CAS-Rechner und gestatten im Fall des „Giebels“und der „Laube“ aus Speichermangel auch nur eine sehrbeschränkte Rekursionstiefe; doch die Tatsache, dass der TI-83/84 Plus SE solcherart die Befähigung zur Behandlungdieses Kapitels erlangt und dass selbst bei den namentlichgenannten Programmen die erreichbare Tiefe schlussendlichgut zum beschränkten Auflösungsvermögen des Displayspasst, lässt den Betrachter alle Nachteile vergessen! Ein paarScreenshots (Abb. 1 - 6) mögen dies belegen:

Fraktale auf dem TI-83 Plus/TI-84 Plus He inz P ichle r

GTR

Abb. 7

Abb. 8

TI-Nachrichten 9

Fraktale auf dem TI-83 Plus/TI-84 Plus Fo r tse t zung

1. KOCHKURVEN

Abbildungen 1a bis 1e: Programm KOCHKURI/ Uferhecke

Abbildungen 2a bis 2c: KOCHKURI/Schmiedeeisen

Die Programme sind so ausgelegt, dass man mit der ENTER-Taste jeweils einen Schritt in der Rekursionstiefe (bis zum abge-bildeten Limit) vorankommt und so die Entstehung des Fraktalsleicht verfolgen kann. Die eingeblendeten numerischen Wertebeziehen sich auf die aktuelle Rekursionstiefe, auf die Anzahlder Teilstrecken, aus denen das Polygon besteht, und auf seineGesamtlänge, wenn die Ausgangsstrecke die Längeneinheit„1“ bildet.

Abbildungen 3a bis 3c: KOCHKURI/Hausgiebel

Abbildungen 4a bis 4c: KOCHKURI / Labyrinth

Abb. 1a Abb. 1b

Abb. 1c

Abb. 1e

Abb. 1d

Abb. 2a

Abb. 2c

Abb. 3c

Abb. 2b

Abb. 3a Abb. 3b

Abb. 4a

Abb. 4c

Abb. 4b

Abb. 5a Abb. 5b

Abb. 5c Abb. 5d

10 TI-Nachrichten

Fraktale auf dem TI-83 Plus/TI-84 Plus Fo r tse t zung

Abbildungen 5a bis 5e: KOCHKURI/Mauerkatze

Abbildungen 6a bis 6c: KOCHKURI / Pythagoräische Laube

2. VerzweigungsfraktaleDie den Kochkurven zugrunde liegende Programmstrukturwürde bei der Erstellung eines Verzweigungsfraktals den Spei-cherumfang des Rechners schon bei geringer Tiefe über-fordern. So wurde der Aufbau der folgenden Programme nichtin peripherer, sondern in sektoraler Abfolge verfasst, wobei jed-er Zweig des Fraktals erst in allen (konzipierten) Tiefen durch-laufen wird, ehe der nächste zum Zug kommt.Der Preis für die Befähigung des Rechners zum Entwurf solchdiffiziler Gebilde (Abb. 7 - 10) liegt im Verlust, ihre Geneseim fraktalen Sinn verfolgen zu können. Die Neugier des Betrachters bleibt aber trotzdem bis zum letzten Bildpunkt –und hoffentlich darüber hinaus – wach!

Wenn man Schüler die ersten Rekursionsebenen noch mitBleistift und Papier erarbeiten lässt, ehe sie zum „erlösendenRoboter“ greifen dürfen, wird nicht nur der Einblick ins Wesendes Fraktals vertieft, sondern meiner Erfahrung nach auch dieemotionale Spannung erhöht. (Die zugrunde liegendenVerzweigungswinkel und Streckenverhältnisse entnimmt mannäherungsweise der ersten Verzweigung im Bild oder exakt denentsprechenden Programmzeilen.) Außerdem werden dieSchüler durch diese Maßnahme viel toleranter gegenüber dem Zeitbedarf des Rechners und beginnen in der Situationdes Wartens die Rechenleistung des Geräts zu erkennen undwürdigen.

3. SIERPINSKI-DreieckIllustre Geschichten, die den Aufbau des Fraktals charakteri-sieren, hauchen den Fraktalen weiteres Leben ein und könnenselbst Kindern den Zugang zu dieser Materie öffnen, wie anfolgenden zwei Beispielen gezeigt werden soll:

„Unter Herrn Sierpinski's Rasen befindet sich ein Maulwurfs-bau mit drei Ausgängen, die zusammen die Form einesDreiecks ergeben. Die Maulwurfskinder treiben mit Sierpinski'sKatze, die wegen ihres lädierten Beines stets nur halb so weitspringt als sie sollte, ein böses Spiel. In planloser Wahl tauchensie an einem der Ausgänge auf und tauchen sofort wiederunter, wenn die Katze wild nach ihnen, doch eben um die Hälftezu kurz springt.Mehr noch als über seine Katze wundert sich Herr Sierpinskiüber das eigenartige Muster, nach dem sein Rasen strapaziertwird.“

Mache Dir von diesen Vorgängen ein Bild, indem Du• auf einem Blatt Papier die drei Eckpunkte eines möglichst

großen Dreiecks zeichnest und sie mit „12“, „34“ und „56“benennst (Maulwurfspunkte),

• innerhalb des Dreiecks einen Punkt einzeichnest (Katzen-startpunkt),

• mit einem Spielwürfel eine Augenziffer würfelst,• ein Lineal mit der Nullmarke auf den letzten Katzenpunkt

legst und zu jenem Maulwurfspunkt ausrichtest, der inseinem „Namen“ die gewürfelte Augenziffer trägt,

• die Strecke zwischen Nullmarke und Maulwurfspunkt halbierst und dort einen neuen Punkt zeichnest (AktuellerKatzenpunkt) und schließlich

• die vorangehenden drei Anweisungen geduldig wieder-holst! (Falls Du den letzten Katzenpunkt aus den Augen ver-loren hast, kannst Du bei einem beliebigen anderen, schoneingetragenen Katzenpunkt fortsetzen, ohne das Resultatwesentlich zu verfälschen.)

Nach etwa hundert Sprüngen kannst Du Dir ein vages Bild vonder Situation in Sierpinskis Garten machen! Vor allem hast DuDir aber die Bearbeitung des Problems durch den GrafikrechnerTI-83 Plus/TI-84 Plus/ redlich verdient! Dazu gibst Du das Pro-gramm zur Erstellung eines Sierpinski-Dreiecks aus dem Ab-schnitt 17 – 7 der Bedienungsanleitung in den Rechner ein undstartest es. Jetzt kannst Du Dich zurücklehnen und 3000 Sprün-ge der Katze verfolgen! Bald wirst Du Dich über das ent-stehende Muster genauso wundern, wie es Herr Sierpinski tat!

Abb. 6a

Abb. 6c

Abb. 6b

Abb. 7: FLOCKE Abb. 8: SCHIERL

Abb. 9: BAUM Abb. 10: FARN

Abb. 5e

TI-Nachrichten 11

Fraktale auf dem TI-83 Plus/TI-84 Plus Fo r tse t zung

Kannst Du ihm vielleicht eine Erklärung für die Schachtelungdes Musters anbieten?Tipp: Wo müsste sich die Katze vor einem Sprung in einenunberührten Teil des Rasens aufgehalten haben?

Auf der TI-Materialienseite im Internet findest Du noch ein kom-fortableres Programm zum Herunterladen, das eine beliebigeWahl der Eckpunktslagen und der Sprunganzahl gestattet unddie Sprünge sichtbar mitzählt (Abb. 11).

4. MANDELBROT´SCHES APFELMÄNNCHEN

„Auf einem rechteckigen Holzlagerplatz der Firma Mandelbrot(Programmzeile 2, 3; Displayfläche) liegen die Baumstämmesäuberlich ausgerichtet in 30 Lagen übereinander. Im linken,oberen Teil des Platzes befinden sich die längsten Stücke,rechts unten die kürzesten (P-Zeile 7). Plötzlich kommt einschlimmer Zyklon auf, der die zuoberst liegenden Hölzer in dieLuft reißt und um ihre Querachse wirbelt. Wild rotierend,reißen sie alsbald die darunter befindlichen Stämme mit sich (PZ 10,11) und bringen sie ebenfalls zum Schwirren. Diesspielt sich noch weitere 28-mal ab, bis die unterst liegendenHölzer erreicht sind (PZ 9). Dabei hängt das Ausmaß der Zerstörung auf dem Boden von der Länge der Baumstämmeund vom Winkel, unter dem sie aufeinander geprallt sind,ab (PZ 10).“

Das Programm spielt nun für alle (95*63) Pixel des Bildschirms(PZ 5,6) das Szenario durch und markiert die Stelle schwarz,wenn das Zerstörungsausmaß den Wert 2 übersteigt, undbelässt sie andernfalls hell (PZ 12).

Etwas überraschend verläuft die Grenze zwischen Todes- undSchadenszone nun nicht glatt, sondern zerzaust, ist aber fraktalgegliedert (Abb.12).

Zur Erstellung des fertigen Bildes benötigt der Rechner je nachModellvariante bis zu 3 Stunden. Immerhin hat er etwa 150.000Rechenschleifen auszuführen! Daher empfiehlt es sich, das fertige Bild sicherheitshalber mit der Anweisung zu konservieren.

5. ProgrammeSollten Sie Gefallen daran gefunden haben, dieses Kapitel auchmit einem „kleinen“ Grafikrechner von Texas Instruments bear-beiten zu können, laden Sie die dazu erforderlichen, voneinan-der unabhängig arbeitenden Programme KOCHKURI, FLOCKE,SCHIERL, BAUM, FARN, SIERPINS oder MANDBROT kostenlosvon der Materialienseite der TI-Homepage herunter. Sie stehennicht nur für den TI-83/84 Plus SE bereit, sondern könnenin funktionsähnlicher Weise auch für den TI-82 über dieAdresse des Autors angefordert werden. Da die Programmläufedem Rechner teils erheblichen Rechenaufwand abverlangen,sind Silver-Edition-Modelle mit ihrer bis zu 3,5-fachen Verar-beitungsgeschwindigkeit gegenüber den Grundmodellen fürdiesen Zweck klar im Vorteil!Sollte der unbändige Wunsch entstehen, mit dem Rechner dieKochkurven Nr.1,2,4,5 in höhere Rekursionsebenen zu treiben(unter Umgehung der Sperre sogar bis zum 998.Grad), habe ichauch für diese Fraktale sektoral vorgehende Programme ange-fertigt. Sie sind unter dem Gruppennamen KOCHKURA zu fin-den. Vom Programmaufbau her sind sie sogar durchsichtigerund kürzer, verbrauchen ungleich weniger an Speicherplatz undbieten letztendlich einen direkten Zugriff zu einer frei wählbarenRekursionsebene. Allerdings arbeiten sie deutlich langsamer alsein peripher vorgehendes Programm auf der betreffendenRekursionsebene. Zudem soll man berücksichtigen, dass dieRechenzeit mit Zunahme der Tiefe etwa quadratisch ansteigtund dass das optische Erscheinungsbild bei Übertreibung nurkurz gewinnt und bald verliert!

Viel Spaß wünscht der

Der Autor:Mag. Heinz PichlerLiesersteggasse 5A-9800 Spittal/DrauE-Mail: pichler_h@lycos.at

Abb. 11: SIERPINS

Abb. 12: MANDBROT

PROGRAM:MANDBROT

:PlotsOff:FnOff:Full

:ú.48-47/300üXmin:Ans+94/300üXmax:0üXscl

:.6-31/300üYmin:Ans+62/300üYmax:0üYscl

:ClrDraw:DispGraph

:For(X,Xmin,Xmax+.001,¾X)

:For(Y,Ymin,Ymax+.001,¾Y)

:X+àYüZ:ZüC

:1üN

:While abs(Z)<2 and N÷30

:ZÜ+CüZ

:N+1üN:End

:If N÷30:Pt-On(X,Y)

:End

:End

StorePic

12 TI-Nachrichten

Für das 4. Quartal 2005 hat Texas Instruments die Ver-sion 3.10 des Betriebssystems für den Voyage™ 200

und den TI-89 Titanium angekündigt. Der Autor konnte im Mai2005 eine Vorabversion testen. Und was hier zu sehen war istdazu angetan, den Kolleginnen und Kollegen einen Umstiegdringend zu empfehlen.

Die augenfälligsten Verbesserungen (für DERIVE-Anwendereigentlich schon längst überfällig) wurden beim Gleichungslösenimplementiert. löst nun auch Ungleichungen undVektorgleichungen. Einige Beispiele in Form von Abbildungensollen das zeigen:

Wir beginnen mit Bruch-Ungleichungen, die auf lineare Unglei-chungen führen und einfachen quadratischen Ungleichungen.

Nun ziehen wir die Daumenschrauben etwas an. Löst das neueBetriebssystem auch Polynom-Ungleichungen höheren Gradesoder gar schwierigere Bruch-Ungleichungen?

Ein Nebeneffekt ist, dass nun auch Doppel-Ungleichungen wie1 ≤ x < 3 erkannt und korrekt ausgewertet werden.

Vektorgleichungen kennen wir aus der traditionellen Analy-tischen Geometrie. Sie ergeben sich bei der Untersuchung vonLagebeziehungen.

Wir prüfen, ob die Gerade

die Punkte P(-3 | -2) bzw. Q(3 | 2) enthält und stellen fest, dass Pmit Parameterwert λ = -1 auf der Geraden liegt, der Punkt Qdagegen nicht.

Man kann die geometrischen Objekte aber auch als Vektor-funktionen darstellen und dann Lagebeziehungen untersuchen.Dazu deklarieren wir ein Geradenpaar g und h im IR3 als Vektor-funktionen g(r) und h(s). Gleichsetzen und Lösen der Vektorglei-chung nach den beiden Variablen r und s zeigt, dass sich dieGeraden mit den Parameterwerten r = -1 und s = 1 schneiden.Auch gemischte Gleichungen werden gelöst. Die 2. Gleichung inAbb. 4 zeigt, dass zwei identische Geraden vorliegen. DieBeziehung zwischen den Parametern ist r = 1 – 2s.

Weiter wurden zwei peinliche Fehler korrigiert. Der Logarith-mus von 0 ebenso wie 00 sind jetzt nicht mehr definiert. Aberdie einschlägigen Grenzwerte existieren und liefern korrekteErgebnisse.

Bei der automatischen Termvereinfachung wurden bisherzweifelhafte Resultate unkommentiert ausgegeben. In der Ver-sion 3.10 werden Warnhinweise in die Statuszeile eingebaut.So wird beispielsweise bei der Vereinfachung

von zu x bzw. von

der Hinweis gegeben, dass der Definitionsbereich des Ergebnis-ses größer sein könnte.

Ein wirklich neues Betriebssystemfür CAS-Rechner! Wol fgang P röppe r

CAS

solve( lös

Abb. 1

Abb. 4

:x =

−

+ ⋅

21

13

λ

x2 x

xz

−( )−

1

1

2

2uu

xx1

1−

+

Abb. 5

Abb. 2

Abb. 3

TI-Nachrichten 13

Ebenso wird bei der Vereinfachung von zu -1 darauf hin-gewiesen, dass bei der Umformung ein nicht-reelles Zwischen-ergebnis aufgetreten ist.

Im Graphik-Modus wird die automatische Vereinfachung sogar

unterdrückt, sodass z.B. nur für x ≥ 0 gezeichnet wird.

Die Anweisung (Radikand, Wurzelexponent) führt im Ein-gabeteil zur üblichen Wurzelschreibweise. Leider wird dieseSchreibweise dann nicht konsequent in den Ergebnisteil fort-

geführt, wie bzw. (x^3=2,x) zeigen. Da es sichbei der hier vorliegenden Fassung noch um eine ß-Versionhandelt, besteht durchaus noch die Hoffnung, dass sich bis zurendgültigen Fassung hier noch etwas tut.

Eine weiterer neuer Befehl ist (Numerus, Basis). Hier ist erfreulicherweise die Fortführung der indizierten Schreibweise indas Ergebnis schon realisiert.

Ein allerletzter Punkt, der noch explizit erwähnt werden soll, istim Graphik-Teil zu finden. Das Fenster, das ausdem oder dem Fenster mit ¥ Ô geöffnet wer-den kann, hat ein neues Mitglied bekommen: h

Wie der Name sagt, prüft diese Ausprägung, obeine Unstetigkeitsstelle (genauer gesagt: eine endliche oderunendliche Sprungstelle) vorliegt. Ist die Ausprägung einge-schaltet, werden die häufig störenden senkrechten Verbindungs-linien unterdrückt.

Leider greift die neue Funktion (noch) nicht bei stetig beheb-baren Definitionslücken. Hier kann man sich nach wie vor nurdurch eine passende Einstellung des Zeichenbereichs helfen.

Es gibt noch eine Reihe weiterer Verbesserungen:• Variable können in Matrizen umgewandelt werden.• Das Winkelmaß Neugrad wurde eingeführt.• Gleichungen in 2 Variablen können implizit differenziert

werden.• Die Desktop-Navigation wurde vereinfacht.• Einige neue Funktionen, die (nicht nur) Programmierern das

Leben erleichtern können:- (Art) löscht alle Variablen einer Art,- (Name) zeigt an, ob eine bestimmte Variable existiert

und- (Name) bzw. (Name) prüft, ob Varia-

ble archiviert oder gesperrt sind.

Spätestens bis Ende des Jahres wird die neue Version verfügbarsein und steht dann unter http://education.ti.com/deutschlandkostenlos zum Download zur Verfügung. Es lohnt sich also,in den kommenden Monaten öfters mal auf der TI-EducationWebsite vorbeizuschauen.

Der Autor:Wolfgang Pröpper, D-NürnbergE-Mail: w.proepper@wpro.franken.de

Ein wirklich neues Betriebssystem für CAS-Rechner! Fo r tse t zung

12

−

x2

324

.

root(

solve(

log(

pGRAPH FORMATS

$- ode %- F geöffnet werden kaDiscontinuity D,

y Detection. W

Abb. 10

Data - V

DelType(yp

isVar(

isArchiv( isLocked(

Autoren willkommen!Kritik erwünscht!

Ihr Beitrag zu den TI-Nachrichten ist herzlich willkommen, besonders natürlich Beispiele aus dem Unterricht. Ihre Kritik hilft uns,

Ihren Wünschen besser gerecht zu werden. Ihr Lob spornt uns an.

Senden Sie Ihre Beiträge an unsere Länderredaktion:D: Herrn Stefan Luislampe: rade.luislampe@t-online.deA: Frau Mag. Ingrid Schirmer-Saneff: i-schirmer@ti.com

CH: Herrn Urs Oswald: osurs@bluewin.ch

oder an

Texas Instruments, E&PS, TI-Nachrichten, Haggertystraße1,D-85356 Freising, E-Mail: ti-nachrichten@ti.com

Abb. 6

Abb. 7

Abb. 8

Abb. 9

14 TI-Nachrichten

VorbemerkungDer Einsatz eines grafikfähigen Taschenrechners

oder eines Rechners mit CAS ermöglicht eine neue Herange-hensweise an die Auswertung von Experimenten hinsichtlich derReaktionsgeschwindigkeit in der Chemie.

Am Beispiel der Umsetzung von Magnesium mit Salzsäure wer-den unterschiedliche Betrachtungsweisen vorgestellt.

1. Problemstellung und ExperimentDie Reaktion von Magnesium mit Salzsäure, bei der u.a. der gasförmige Wasserstoff entsteht, kann durch nachfolgendeGleichung beschrieben werden.

Mg + 2 H3O++ 2 Cl- < Mg2+ + 2 Cl-+ H2 + 2 H2O

Führt man das Experiment in einem geschlossenen Systemdurch, so kann das Volumen des entstehenden Wasserstoffs mit Hilfe eines Kolbenprobers zu verschiedenen Zeitpunktengemessen werden.

Bei der Reaktion von 10 ml Salzsäure der Stoffmengenkonzen-tration c=1mol · l-1 mit 0,5 g Magnesiumspänen wurden folgen-de Messwerte ermittelt.

Die Auswertung des Experimentes erfolgt mit demVoyage™ 200. Nach Eingabe der Messwerte in die Listen desStatistikmenüs werden diese grafisch dargestellt.

An dieser Stelle sollte eine erste Diskussion der Versuchsergeb-nisse stattfinden. Aus der Grafik ist ersichtlich, dass die Ände-rung des Volumens pro Zeiteinheit unterschiedlich ist. Dies istdarauf zurückzuführen, dass die Konzentration der Ausgangs-stoffe mit fortschreitender Reaktionsdauer abnimmt. Dadurchkommt es zu weniger wirksamen Zusammenstößen in ver-gleichbaren Zeiteinheiten und damit zu einer Verlangsamung derReaktion. Dies hat wiederum zur Folge, dass das Volumen angebildetem Wasserstoff mit fortschreitender Reaktionsdauerimmer geringer wird.

2. Auswertung: ReaktionsgeschwindigkeitDiese Interpretation der Grafik wird mittels der Reaktionsge-schwindigkeit hinterlegt. Die Reaktionsgeschwindigkeit ist derQuotient aus der umgesetzten Stoffmenge und der dazu benö-tigten Zeit

Da bei dem vorgestellten Experiment das Volumen des gebilde-ten Wasserstoffes ermittelt wurde, wird die zum Volumenproportionale Stoffmenge n betrachtet. Eine Umrechnung desVolumens in die Stoffmenge erfolgt mit Hilfe der Gleichung

Durch Eingabe der Formel in den Listenkopf kann eine komplet-te Umrechnung und eine anschließende graphische Darstellungder Daten erfolgen.

Mathematisch entspricht die Durchschnittsreaktions-Geschwin-digkeit dem Differenzenquotient. Sie wird, wie in nachfolgenderTabelle dargestellt, berechnet.

Differenzen- und Differenzialquotient auch in der Chemie Frank L i ebne r

CAS CBL

Zeit t in s 1 5 10 15 20

Volumen H2 in ml 2 16 35 47 54

Zeit t in s 30 40 60 80

Volumen H2 in ml 64 73 84 91

Abb. 1

Abb. 2

vnt

= ⋅Δ

Δ

n HV H

l mol( ) =

( )⋅ −2

2124 5,

.

Abb. 3

Abb. 4

TI-Nachrichten 15

Die Veränderung der Durchschnittsreaktionsgeschwindigkeitbestätigt obige Interpretation der Grafik.

Eine Berechnung der Momentanreaktionsgeschwindigkeit istmit Hilfe des Voyage™ 200 möglich. Mathematisch entsprichtdie Momentangeschwindigkeit dem Differenzialquotienten aneiner Stelle.

Um diese Berechnung durchführen zu können ist es notwendig,eine Funktionsgleichung zu finden, die den Zusammenhangzwischen der Stoffmenge des gebildeten Wasserstoffs und derZeit möglichst genau beschreibt. Mit der zur Verfügung stehen-den Regression wird eine Funktionsgleichung ermittelt.

Jetzt ist es möglich, die erste Ableitung der Funktion an jederStelle des Grafen zu berechnen und somit die Momentange-schwindigkeit zu erhalten. Diese entspricht im Gegensatz zurDurchschnittsgeschwindigkeit dem Anstieg der Tangente an denGrafen an einer Stelle.

Beispiel: Die Momentangeschwindigkeit zum Zeitpunkt t = 20 sbeträgt v = 0,044 mol·s-1. In Abbildung 7 wurde die Steigunggraphisch-numerisch über das Menü ( 5 ) sermittelt.

Das dargestellte Beispiel eignet sich zur Verdeutlichung desUnterschiedes von Differenzen- und Differenzialquotient.Erst durch den Einsatz entsprechender Rechner ist es möglich,Momentangeschwindigkeiten rechnerisch zu ermitteln. Eineexperimentelle Bestimmung ist nicht möglich.

3. Variationen, AusblickNeben den mathematischen Betrachtungen zur Reaktionsge-schwindigkeit, ermöglicht der Voyage™ 200 in Verbindung mitdem CBL 2™ und entsprechender Elektroden weitere Variatio-nen dieses Experimentes.

Mit Hilfe einer pH-Elektrode kann die Veränderung des pH-Wertes der Salzsäurelösung während der Reaktion mit Magne-sium erfasst und dokumentiert werden.

Differenzen- und Differenzialquotient auch in der Chemie Fo r tse t zung

Abb. 5

Abb. 7

Abb. 8

Abb. 6

Abb. 9

Zeitintervall in s Durchschnittsreaktions-geschwindigkeit in mol·s-1

5 - 15

20 - 30

30 - 40

nt

=−Δ

Δ

1 918 0, ,,,

65310

0 1265=

, ,,

2 612 2 20410

0 041=−

=Δ

Δ

nt

=Δ

Δ

nt

22 980 2 61210

0 037, ,

,−

=

0.lim=

→v

nttΔ

Δ

Δ

genau beLnReg

Math (igung gr

6:Derivatives er

16 TI-Nachrichten

Das Datenerfassungsprogramm DataMate liefert eine entspre-chende Grafik zur ersten Auswertung. Da alle Daten auch imStatistik-Menü des Voyage™ 200 zur Verfügung stehen, könnenanaloge Betrachtungen zur Reaktionsgeschwindigkeit vorge-nommen werden.

Es ist zu beachten, dass der pH- Wert durch die Umsetzungvon Hydronium-Ionen während der Reaktion steigt. DieVeränderung der Hydronium-Ionenkonzentration kann durch dieAnwendung der Definition des pH- Wertes dargestellt werden(c(H3O

+)= 10-pH; pH= - lg c(H3O+)).

Als Abschluss sei mir der Hinweis gestattet, dass sich das vor-gestellte Experiment auch ausschließlich zur Demonstration derAbhängigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit von unterschied-lichen Reaktionsbedingungen eignet. Durch den Einsatz von2 oder 3 pH- Elektroden kann auf anschauliche Weise die Abhän-gigkeit der Reaktionsgeschwindigkeit von z.B. der Stoffmengen-konzentration und der Temperatur der Salzsäure bzw. der Ober-fläche des Magnesiums verdeutlicht werden.

Nachfolgende Grafik entstand bei der Reaktion von gleichenVolumen gleichkonzentrierter Salzsäure mit gleichen MassenMagnesiumpulver bzw. Magnesiumspänen.

Sehr deutlich ist die Veränderung des pH- Wertes der einzelnenLösungen ersichtlich. Damit ist gezeigt, dass die Reaktionsge-schwindigkeit u.a. von der Oberfläche bzw. dem Verteilungsgradder Ausgangsstoffe abhängig ist.

Der Autor:Frank Liebner, D-HerrnhutE-Mail: Frank.Liebner@zi.sda.de

Differenzen- und Differenzialquotient auch in der Chemie Fo r tse t zung

Abb. 10

Abb. 11

Was ist ein Fulleren?Um 1985 entdeckten Chemiker, dass Kohlenstoff im

festen Zustand außer als Diamant und Graphit auch in Formkäfigartiger Moleküle vorliegen kann. Das berühmtestedarunter, das „Buckminsterfulleren“ C60, hat die Gestalt einesetwa auf 1nm verkleinerten Fußballs, d.h. die 60 C-Atomebilden ein von 12 regulären Fünf- und 20 regulären Sechseckenbegrenztes konvexes Polyeder [1]. Inzwischen wurde ein ganz-er „Zoo“ solcher „Fullerene“ gefunden und beschrieben, vomkleinsten „Buckybaby“ C28 bis zu „Buckyriesen“ C960 [1]. Allenist gemeinsam, dass es sich – aus chemischen Gründen –um Polyeder handelt, die von lauter Fünf- und Sechseckenbegrenzt sind. Schon Euler selber hat – die Überlegungen sindeinfach – aus seiner Polyederformel abgeleitet, dass einsolches Polyeder genau 12 Fünfecke enthalten muss.

Die Entdecker dieser neuen Kohlenstoffform erhielten 1996 denNobelpreis für Chemie [2]. Seither bin ich in der Mathematikimmer wieder auf dieses reichhaltige und anregende Thema zusprechen gekommen und bin dabei auf begeistertes Interesseder Schüler gestoßen. Sie haben mich ermuntert, hin undwieder in der analytischen Geometrie Fullerene zu berechnen.

Ein TetraederfullerenMan kann ein Fulleren C28 aus dem Tetraeder (Seite S) wiefolgt konstruieren [3]:• Man zeichnet auf jeder Tetraederseitenfläche um seinen

Schwerpunkt M ein reguläres Sechseck mit der Seite s,gemäß der Figur aus Abbildung 1.

Der Einsatz des Text-Editors im TI-89/Voyage™ 200Beispiel: Geometrische Berechnung des Fulleren C28 O t to M . Ke ise r

CAS

Skalarprodukte, Schwingungen, SignaleAuf dem neuen Bildungsserver www.swisseduc.ch/mathematik/gibt es einiges Material, das auf den Einsatz von CAS-Rechnernim Mathematikunterricht eingeht. H.R. Schneebeli und H.R.Vollmer stellen die zweite, überarbeitete und verbesserteAuflage ihres Textes „Skalarprodukte, Schwingungen, Signale"kostenlos zum Download zur Verfügung. Da der Text modul-artig aufgebaut ist, lassen sich Kapitel einzeln nutzen, so etwaeine rein geometrische Einführung in die Methode der klein-sten Quadrate. Ferner finden sich elementare Grundlagen undProgramme für die Datenauswertung mit diskreter Fourier-transformation auf dem Voyage™ 200 oder TI-89 Titanium.

H .R . Schneebe l i und H .R . Vol lme r

TI-Nachrichten 17

• Man ergänzt die Figur durch zwölf Fünfecke. Dabei sind jevier Punkte jedes Fünfecks bereits gezeichnet und diefünfte Ecke, die gemeinsame Ecke von je drei Fünfecken,kommt jeweils automatisch auf die entsprechendeTetraederhöhe zu liegen.

In diesem Beitrag soll nur die folgende Frage beantwortet werden:

Wie groß muss die Sechseckseite s gewählt werden, damit auchdie Kante XY die Länge s hat?

Bei dieser Wahl haben dann automatisch drei Fünfeckseiten dieLänge s. Ob dabei die Fünfecke regulär werden, kann durch dieSchüler selber, z.B. als Hausaufgabe, untersucht werden.

Die Berechnung von sDie Höhen in der Tetraederseitenfläche haben die Länge:

Die nachfolgenden Berechnungen beziehen sich auf dasangedeutete Koordinatensystem mit dem Ursprung auf derMitte der Seite AB, welche auf der y-Achse liegt. Die x-Achsegeht durch C. In diesem Koordinatensystem haben die Eck-punkte die folgenden Koordinaten:

Der Schwerpunkt M des ΔBCD hat den Ortsvektor

Für die Mitte N der Seite CD gilt:

Der Punkt X hat den Ortsvektor

Nun soll t so gewählt werden, dass

Weil XY symmetrisch zur xz-Ebene liegt und weil , ist dies äquivalent zu

Berechnung von s mit Hilfe des Text-EditorsHand aufs Herz: Wie oft ärgern Sie sich über sich, weil Sieeine Rechnung nach einem Tippfehler nochmals von vornebeginnen müssen. Für längere Sequenzen empfiehlt es sichdeshalb, die Formeln – quasi auf Vorrat – in eine neue Text-Editor-Datei zu schreiben (siehe untenstehendes Protokoll).

Außer dass die eingegebenen Formeln als Kommandozeilenzu kennzeichnen sind (1 ), ist nichts Neues zu beachten. Willkommen ist zudem die Möglichkeit, die Zeilenzu kommentieren, damit man später die automatischgespeicherte Datei besser versteht.

In aller Ruhe kann man zuletzt die Kommandos überprüfen undsie schließlich mit 4 schrittweise im Rechenfenster ausführenlassen. Dabei ist es über 2 möglich, den Bild-schirm horizontal zu teilen, damit man gleichzeitig die Text-Editor-Datei und das Rechenfenster sieht (mit <O kannman zwischen den beiden Fenstern hin- und herschalten.)

Der Einsatz des Text-Editors im TI-89/Voyage™ 200 Fo r tse t zung

Abb. 1

hS

=2

3 .

AS

BS

−

0

20 0

20, ,, ,C h 0 0( )

= + +( ) / .: : : :r r r rM B C D 3

= +( ) /: : :r r rN C D 22 .

, .: : M :MMM

(r r t MN wobei tX M= + ⋅ ∈

XXY s= .

Dh

S h3

023

22

−

.

s MX=

y MXX⋅ = .2

%1:Command),

se im Rechenfenster1:Script view

Abb. 2

Abb. 3

18 TI-Nachrichten

Erst jetzt erkennen wir den großen Vorteil unseres Vorgehens:Aufgrund von unvorhergesehenen Reaktionen des CAS könnenwir die Text-Editor-Datei nachträglich schmerzlos korrigierenund/oder ergänzen und die Kommandos mit 4 nochmals aus-führen lassen. In unserem Fall erweist es sich beispielsweise alssehr hilfreich,

• die Definition der Tetraederecke D mit der Information S>0einzugeben und

• die Gleichung unter den Bedingungen t>0 undS>0 zu lösen.

Die Ausführung des Skripts liefert:

Literatur[1] R. F. Curl; R. E. Smalley: Fullerene; Spektrum der

Wissenschaft, Dezember 1991[2] W. Andreoni: Fullerene: eine neue Ära in der Chemie;

NZZ, 30. Oktober 1996[3] H. R. Schneebeli: Zur Geometrie der Mikrocluster;

Elemente der Mathematik 1993, Vol. 48, No.1[4] J. Douglas Child: Scripting Guide for the TI-92 and TI-92

Plus: Precalculus and Calculus Applications,Texas Instruments 1998, ISBN 1-886309-20-5

Der Autor:Otto M. KeiserHochstrasse 44CH-8037 ZürichE-Mail: omkeiser@smile.ch

Der Einsatz des Text-Editors im TI-89/Voyage™ 200 Fo r tse t zung

y MXX⋅ =2

s S S=− ⋅

⋅ ≈ ⋅, .21 12 3

30 155

Zu den Standard-Inhalten von Statistik-Kursengehören Verfahren der Beurteilenden Statistik,

z.B. Intervallschätzer, Konfidenzintervalle und Hypothesentests.Die GTR- und CAS- Rechner von TI bieten in diesem Bereichsehr umfangreiche Hilfsmittel. Zugleich ermöglichen sie überInterpretationen zu diskutieren und andere als die üblichen(Binomial-, Normal-) Verteilungen zu behandeln (z.B. Poisson-verteilung, geometrische Verteilung, χ2-Verteilung). Wenn manbei der Erarbeitung der Verfahren Zeit einspart, kann man auchMaximum-Likelihood-Schätzer im Unterricht thematisieren, dieein Analysis und Stochastik verbindendes Verfahren zur Ermittlung optimaler Punktschätzer darstellen (siehe z.B.Barth/Haller [1]).

Die für den Unterricht nützlichen Funktionen der Taschenrech-ner werden im Folgenden aufgezeigt.

1. Was sind Quantile?Wahrscheinlichkeitsverteilungen lassen sich eindeutigbeschreiben durch die Angabe ihrer Verteilungsfunktion

Im TI-84 Plus1 sind z.B. die Verteilungsfunktionenl für die Normalverteilung,

für die Binomialverteilung,für die Poissonverteilung und

für die geometrische Verteilungimplementiert. Dabei sind µ, σ und p die üblichen Para-meter der Verteilungen. Leider benötigt die Funktion

l den zusätzlichen Parameter l, der dielinke Grenze des Integrals unter der Normalverteilungsdichte

angibt; hier müsste für die Verteilungsfunktion l = -∞ verwen-det werden, in der Praxis reicht meistens eine hinreichend„große“ negative Zahl aus, z.B. l = -100. Quantile entsprechendann quasi einer Umkehrung dieser Verteilungsfunktionen:xp ist (für unsere Zwecke) ein p-Quantil, wenn gilt

Ist die Verteilungsfunktion umkehrbar, so gilt .

Bekannt ist wahrscheinlich das 0,5-Quantil einer Verteilung, dersogenannte Median. Häufig verwendet werden auch die linkenund rechten Quartile, das 0,25- bzw. das 0,75-Quantil, z.B. beiBoxplots.

2. Wie bestimmt man Quantile?Quantile spielen in der Beurteilenden Statistik eine wichtigeRolle. Früher musste man sie in Tabellen nachschlagen oderden Lehrbüchern glauben; der Wert 1,96 der 1,96σ-Umgebun-gen bei den einschlägig bekannten Näherungsverfahren ist das gerundete 0,975-Quantil der Standardnormalverteilung(µ=0, σ=1)!

Zur graphisch-numerischen Bestimmung mit dem TI-84 Plusgibt man einfach die Verteilungsfunktion als eine Funktionein und die Wahrscheinlichkeit des gesuchten p-Quantils als eine andere. Im Beispiel wird das 0,95-Quantil der Bino-mialverteilung mit den Parametern n=100 und p=1/6 bestimmt:

Ein Gang durch die Beurteilende Statistikmit Quantilen Ge rd H in r ichs

GTR CAS

F x P X x( ) = ≤( ): .

normalcdf(l,x,),*) fü( , ,),binomcdf(n,p,x) fpoissoncdf(),x) für dp () )geometcdf(p,x) fü

normalcdf(l,x,),*) de

= ≤( ) ≥{ }inf : .x x P X x pp

= ( )−x F pp1 ..

1 Alle Angaben hier beziehen sich auf den TI-83 Plus/TI-84 Plus; für

die CAS-Rechner benötigt man die Applikation „Statistics with List

Editor“ und die Befehle haben leicht veränderte Bezeichnungen.Abb. 1 Abb. 2

TI-Nachrichten 19

Per numerischer Schnittpunktbestimmung erhält man schnell:x0,95≈23. Auch wenn es eigentlich keine Schnittpunkte gibt

bestimmt der TI-84 Plus automatisch das 0,95-Quantil der Verteilung:

3. Intervallschätzer (Schluss von der Gesamtheit auf die Stich-probe)Eine Standard-Aufgabe lautet: „Es sei bekannt, dass indeutschen 4-Personen-Haushalten mit mittlerem Einkommen in68,5% eine Geschirrspülmaschine vorhanden ist. Eine Stich-probe vom Umfang 720 wird durchgeführt.In wie vielen Haushalten dieses Typs wird man ein solchesGerät vorfinden?“ (vgl. z.B. [6])

Wenn man sich auf eine Sicherheitswahrscheinlichkeit (zumeist95%) festgelegt hat, braucht man lediglich noch die Quantileder zugehörigen Verteilungsfunktion zu bestimmen und hat die„Lösung“: Es sollen die 5% unwahrscheinlichsten Anzahlenausgeschlossen werden, bei denen die Stichprobe signifikantzu wenig oder zu viel Familien mit Geschirrspülmaschinenenthält. Also bestimmt man wie oben beschrieben das 0,025-und das 0,975-Quantil der Binomialverteilung mit den Parame-tern n=720 und p=0,685; von der Eignung der Annahme einerBinomialverteilung sollten Schüler sich natürlich überzeugenund auch die eben ausgeschlossenen 5% deuten. Der TI-84Plus liefert x0,025≈469 und x0,975≈517. Die Anzahl der Haushaltemit Geschirrspüler wird also mit 95%iger Wahrscheinlichkeitzwischen 469 und 517 liegen.

4. Konfidenzintervalle (Schluss von der Stichprobe auf dieGesamtheit)In der Praxis wird man sehr viel häufiger eine Stichprobeerheben und daraus auf die Gesamtheit schließen wollen.

Aufgabe:Bei einer Umfrage unter 836 Erwachsenen gaben 423 an, fürPartei „Blau“ stimmen zu wollen. Die Politiker dieser Parteiinteressiert nun, ob sie schon mit der absoluten Mehrheit derStimmen rechnen können oder ob sie ihren Werbeaufwandnoch verstärken sollten. Diesmal ist der Parameter p unbekannt. Geschätzt werden solldie zugrundeliegende Wahrscheinlichkeit. Hier hilft uns, dassdie Funktion fest implementiert ist. Erneut legt man die Sicherheitswahrscheinlichkeit z.B. zu 0,95 fest. Mansucht dann die Wahrscheinlichkeit p0,025, so dass der Anteil

gerade noch im entsprechenden Intervallschätzer der Bino-

mialverteilung mit den Parametern n=836 und p=p0,025 liegt.

Als Schnittstelle ergibt sich p0,025≈0,540. Analog erhält manp0,975≈0,473. Die zugrundeliegende Wahrscheinlichkeit wirdalso mit großer Wahrscheinlichkeit im Intervall [0,473; 0,540]

liegen; Partei „Blau“ kann sich der absoluten Mehrheit damitnoch nicht hinreichend sicher sein.

Verständnisfördernd kann eine ausführliche Interpretation derGraphen sein. Schwächeren Schülerinnen und Schülern bereit-et es enorme Schwierigkeiten, geeignete Fenstereinstellungenzu wählen; dies sollte insofern explizit thematisiert werden.

Man erkennt, dass auf diese Weise in der Beurteilenden Statis-tik leicht auf die Näherung durch die Normalverteilungverzichtet werden könnte. Meiner Meinung nach nimmt jenejedoch – auch historisch – eine derart wichtige Stellung ein,dass sie den Schülerinnen und Schülern nicht vorenthaltenwerden sollte. Verzichten kann man jedoch auf die in Lehrbüch-ern noch thematisierte Standardisierung von Zufallsvariablen

da die Normalverteilung mit beliebigem Erwartungswert µ undbeliebiger Standardabweichung σ fest implementiert ist.

Da der TI-84 Plus nur Funktionsterme einer Variablen inter-pretieren kann, ist es mit obigem Verfahren nicht möglich, dennotwendigen Stichprobenumfang abzuschätzen. Dazu kannman – wie auch bislang üblich – die Näherung durch dieNormalverteilung verwenden. Es gilt ja (unter geeignetenBedingungen)

Plant man eine Umfrage und möchte man die relativen Ergeb-nisse auf 1% genau schätzen, so geht man vom Ansatz

aus. Durch Umformen erhält man

Die Funktion minimal erforderlicher Stichprobenumfänge kannman erneut zeichnen lassen und interpretieren.

Interessant ist es an dieser Stelle, realistische Erhebungen ausden Medien zu diskutieren: War der Stichprobenumfang sogroß gewählt, dass die suggerierte Genauigkeit der Ergebnisseberechtigt ist?

5. Zweiseitige HypothesentestsDie mathematische Behandlung zweiseitiger Hypothesentestsmit einer Hypothese H: p=p0 und einer Alternative K: p≠p0 lässtsich sehr leicht auf die obige Diskussion von Intervallschätzernzurückführen. Man geht von der Richtigkeit der Hypothese ausund bestimmt einen Annahmebereich A so, dass Pp0(X∈A)≥1-αgilt (Beschränkung des Fehlers 1. Art), wobei α das Niveau desTests ist. Man bestimmt also den Intervallschätzer wie oben mit

dem Quantil und dem Quantil für den Annahme-

Ein Gang durch die Beurteilende Statistik mit Quantilen Fo r tse t zung

(binomcdf(100,1/6,23)&0,962%0,95), b

inf {x : binomcdf(100,1/6,x) $ 0,95}.

binomcdf() f

423836

Abb. 3 Abb. 4

: ,ZX

=−µ

σ

, ,1 96 0 95n

pn

− ≤

≈

σΡ

Χ..

, ,1 96 0 01σ

n≤

,,

1 960 01

12

n p p p( ) ≥

⋅ ⋅ −( ) .

Abb. 5 Abb. 6

α

2−

α1

2−

−

20 TI-Nachrichten

bereich. Dieses Verfahren funktioniert für die anderen imple-mentierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen genauso.

Spannender wird es, wenn man den Fehler 2. Art betrachtenmöchte. Dafür definiert man die Gütefunktion des Tests:

Der Fehler 2. Art ist dann für die zur Alternative gehörendenWahrscheinlichkeiten p gegeben durch 1-β(p).

Aufgabe:Bei einem Glücksspielautomaten beträgt angeblich die Gewinn-wahrscheinlichkeit p=0,3. Diese Angabe soll in 170 Spielrundenüberprüft werden.

Der Annahmebereich des Tests ergibt sich bei einem Testniveauα=0,05 aus dem 0,025-Quantil x0,025 und dem 0,975-Quantilx0,975 der Binomialverteilung mit den Parametern n=170 undp0=0,3 zu A=[40;63]. Liegt also das Stichprobenergebnis nichtin A, sollte man die Hypothese verwerfen.

Den Fehler 2. Art kann man nun mit Hilfe des Rechnersgraphisch darstellen:

Mit der Funktion kann man auf dem Graphen entlangfahren und erkennen, dass die Wahrscheinlichkeit für einenFehler 2. Art erst dann kleiner ist als z.B. 10%, wenn die wahreWahrscheinlichkeit kleiner ist als 0,193 oder größer ist als0,422; anderenfalls ist die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler2. Art nicht unbeträchtlich.

6. Einseitige HypothesentestsDiese lassen sich sehr ähnlich behandeln, man benötigt jedochnur ein Quantil für den Annahmebereich.

Aufgabe:An einer Schule fallen durchschnittlich 11% der Mathematik-Klassenarbeiten schlechter als ausreichend aus. Ein neuer Kollege hat nun im letzten Schuljahr aber 43 seiner insgesamt290 Mathematikarbeiten schlechter als ausreichend beurteilt.Ist er ein besonders „scharfer Hund“?

Zu testen ist H: p≤0,11 gegen K: p>0,11. Man bestimmt für einNiveau von α=0,05 das 0,95-Quantil der Binomialverteilung mitden Parametern n=290 und p=0,11 zu x0,95≈41. Die HypotheseH, dass er nicht ungewöhnlich viele schlechte Noten gibt, istalso zu verwerfen, wenn das Stichprobenergebnis außerhalbA=[0, 41] liegt; dieses ist der Fall: Die Hypothese muss verwor-fen werden, der neue Kollege scheint Klassenarbeiten tatsäch-

lich recht streng zu benoten. Er hat in

Fällen eine schlechtere Note als ausreichend gegeben. Be-stimmt man jedoch die Wahrscheinlichkeit für einen

Fehler 2. Art für diese relative Häufigkeit, ,(290;0,148;41)≈0,414, so sieht man, dass die Irrtums-wahrscheinlichkeit dieser Aussage noch relativ groß ist. Fürgenauere Aussagen müsste die Stichprobe vergrößert werden.

Über die geschickte Hypothesenwahl bei einseitigen Tests kannman sehr gut diskutieren – insbesondere dann, wennwirtschaftliche Argumente einbezogen werden können.

Auch die Testverfahren lassen sich analog mit anderen imple-mentierten Wahrscheinlichkeitsverteilungen behandeln.2

7. AusblickDie Rechner von TI haben auch feste Module für Konfidenzin-tervalle und Hypothesentests implementiert. Jene könnenjedoch nur als Black-Box eingesetzt werden und geben einenP-Wert an, so dass die Test-Module flexibel zu verschiedenenTestniveaus verwendet werden können. Der P-Wert ist ein Maß(aber keine Wahrscheinlichkeit) für die Verträglichkeit vonStichprobenausfall und Hypothese. Ist der P-Wert ≤ α, so wirddie Hypothese verworfen.3

Unter anderem ist auch ein Test-Modul zum χ2-Test vorhanden.Dieses ist nach der Behandlung der Hypothesentests imUnterricht sehr gut einsetzbar, da mit dem χ2-Test die Unab-hängigkeit mehrerer Zufallsvariablen sowie die Annahme derNormalverteilung von Zufallsvariablen untersucht werdenkönnen. Beide Annahmen setzt man im Allgemeinen unkritischvoraus.4

Literatur:[1] F. Barth, R. Haller: Stochastik Leistungskurs; Ehrenwirth

Verlag, München 1985[2] R. Puscher (Hrsg.): PROST – Problemorientierte Stochastik,

Stochastik-Sammlung 1; MUED e.V., Appelhülsen 2003[3] L. Sachs: Angewandte Statistik; Springer-Verlag, Berlin 2002[4] W. Stahel: Statistische Datenanalyse; Vieweg Verlag,

Braunschweig 2000[5] A. Warmeling: PROST – Problemorientierte Stochastik,

Stochastik-Sammlung 2, MUED e.V., Appelhülsen 2002[6] H. Griesel u.a.(Hrsg.): Elemente der Mathematik,

Leistungskurs Stochastik, Schroedel Verlag, Hannover 2003

Der Autor:Gerd HinrichsWeddigenstraße 9aD-26603 AurichE-Mail: gerd_hinrichs@web.de

: .β( ) = ∈( )p P X Ap

Abb. 7 Abb. 8

TRACE- Funk

,43290

0 1≈ 448

binomcdf(

Ein Gang durch die Beurteilende Statistik mit Quantilen Fo r tse t zung

2 Eine Übersicht über wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen mit

deren Kenngrößen und Anwendungsmöglichkeiten kann vom Autor

per E-Mail angefordert werden.

3 Näheres zum P-Wert findet man bei Stahel [4].

4 Näheres zum χ2-Test findet man bei Stahel [4] und im Schulbuch Ele-

mente der Mathematik [6] oder sehr ausführlich auch bei Sachs [3].

TI-Nachrichten 21

VorbemerkungStochastische Matrizen wurden als Unterrichtsgegenstand

gewählt, um Verbindungen zwischen Themen der Stochastikund der Linearen Algebra ziehen zu können. Der dem Unterrichtzur Verfügung stehende Zeitraum betrug etwa 5 Wochen. Neuwar für die Schüler im Abitur der Teil c), über den eineVerbindung auch zum Thema „beschränktes Wachstum“ ausder Analysis in der Prüfung möglich wurde.

AufgabeEin Land „XYZ“ sei aufgeteilt in drei Wirtschaftsregionen R1,R2 und R3. Zwischen diesen Regionen finde eine jährlicheBevölkerungswanderbewegung statt gemäß folgender Über-gangsmatrix

mit dem Startvektor

Die Zahlen im Startvektor sind in Millionen zu verstehen undsind in der Reihenfolge R1, R2 und R3 von oben nach unten imStartvektor (Anfangsverteilung im Jahre 0!) eingetragen.Entsprechend ist die Anordnung in der Matrix A zu sehen. Imbetrachteten Modell soll zunächst davon ausgegangen werden,dass sich im Land „XYZ“ Geburten und Todesfälle aufhebenund Veränderungen in den Regionen nur durch dieBevölkerungswanderbewegungen entstehen.a) Interpretieren Sie die Bedeutung der Werte in der Matrix A

und stellen Sie den Prozess graphisch dar. Finden Sieaußerdem mit Angabe der Begründung heraus, wie vielePersonen innerhalb der ersten 2 Jahre insgesamt vonRegion R2 zu Region R1 abwandern.

b) Versuchen Sie experimentell die Entwicklung in den näch-sten 50 Jahren zu ermitteln, zu beschreiben und zu deuten.Wählen Sie auch andere Startvektoren!

Lösen Sie die Gleichung

zur Bestimmung eines unbekannten Startvektors und ver-gleichen Sie mit den bisherigen Resultaten, wenn voraus-gesetzt wird, dass die Summe der drei Komponenten weit-erhin 60,00 Millionen ist. Stellen Sie Zusammenhänge mitden durchgeführten Experimenten her!

c) Aus den Daten von oben ergibt sich für die Region R1 fol-gende Entwicklung:

Begründen Sie, wie diese Tabelle entstanden ist, und findenSie eine geeignete Funktion, die diese Entwicklungbeschreibt. Bestimmen Sie möglichst rechnerisch das Jahr,in dem die Bevölkerungszahl von R1 mindestens 29,00 Mil-lionen beträgt! Zeichnen Sie den Graphen!

d) Versuchen Sie herauszufinden, wie sich die Bevölkerungvon „XYZ“ in den ersten drei Jahren entwickeln würde,wenn noch ein Wachstum von 3% vorhanden wäre,gemessen an der Bevölkerungszahl des Vorjahres in jedereinzelnen Region!

Hilfsmittel: Taschenrechner TI-83 Plus

Lösungshinweise:Aufgabenteil a)Die Bedeutung der Zahlenwerte aus der Übergangsmatrix wirdim nachfolgenden Übergangs-Graphen deutlich: 90% der Per-sonen aus R1 verbleiben in der Region, es kommen noch jew-eils 10% der Bevölkerung aus den Regionen R2 und R3 hinzu.

Im ersten Jahr gehen 20,6·0,1 Millionen Personen von R2 nachR1, im 2. Jahr sind es 22,344·0,1 Millionen, insgesamt2,06+2,2344=4,2944. Der Wert für das 1. Jahr ergibt sich direktaus der Aufgabenstellung, der Zahlenwert 22,344 ist die 2.Koordinate von

Die Lösung kann auch mit Hilfe eines Baumdiagramms ähnlichwie in der Stochastik gefunden werden!

Aufgabenteil b)

Übergangsmatrix und Bevölkerungswanderungim Grundkursabitur Gün te r He i tmeye r

GTR

A =

0 90 0 10 0 100 06 0 80 0, , ,, , ,220

0 04 0 10 0 70, , ,

14 402

,=

:x 00 60

25 00,,

.

⋅ =A x x: :

x:

Jahre 0 5 10

Bevölkerung R1 14,400 24,888 28,325

Jahre 20 30 40

Bevölkerung R1 29,820 29,981 29,998

Abb. 1

17 5,⋅ =A x:

2222 34420 136

,,

.

Abb. 2 Abb. 3

Abb. 4 Abb. 5

22 TI-Nachrichten

Aus den Abbildungen 2 – 9 ist für den gegebenen Startvektoreine Entwicklung zum „Grenzvektor“ erkennbar.Bei anderen Startvektoren ist die gleiche Entwicklung zubeobachten. Dies liegt daran, dass z.B. die Region R1 stabilergegen Abwanderung ist. Erst bei größerer Bevölkerung in R1wirken sich die niedrigeren Übergangswahrscheinlichkeiten inden Absolutzahlen aus, bis schließlich Zu- und Abwanderunggleich groß sind.

Hinweis: Ist allerdings beim Startvektor die Zahl von R1 größerals 30, dann fällt die Einwohnerzahl von R1 bis auf die Grenzsi-tuation „30“ ab!Die Gleichung legt die Bedingung für einen Startvektorfest, so dass sich beim Ergebnis nichts mehr ändert. Es ergibtsich ein Gleichungssystem, bei dem in der Hauptdiagonalengegenüber A überall „1“ abgezogen wird!

Es ist zu berücksichtigen, dass die Gesamtbevölkerung mit 60 Millionen als konstant angenommen wird. Gemäß Abb. 11ergibt sich dann für die Komponenten des Lösungsvektors:

Der Grenzvektor ist also gleich dem Fixvektor, es finden keineVeränderungen mehr statt.

Aufgabenteil c)Die Bevölkerungszahl in R1 ergibt sich jeweils aus den erstenKomponenten der in Aufgabenteil b) berechneten Vektoren.Überträgt man diese Werte in den Listeneditor, kann einegraphische Darstellung erfolgen:

Aus den Werten und der graphischen Darstellung erkennt man,dass der Graph nach oben gekrümmt ist und eine Schranke 30,die sich auch in b) ergibt, eine sinnvolle Angabe ist. Als Ansatzwird also gewählt:

siehe oben, Liste L3 in Abb. 12. Auf die Listen L1 und L3 wirdeine Exponentielle Regression angewandt.

Abb. 6 Abb. 7

Abb. 8 Abb. 9

⋅ =A x x: :

Abb. 10 Abb. 11

20= ∧ −z t x

770

137

0 60t y t x y z= ∧ − = ∧ + + =

207

137

60 40t t t t⇒ + + = ⇔ =4420 10 5⇔ =t ,

3019 510 5

⇒ =

x ,,

:

Abb. 12 Abb. 13

Abb. 14

3( ) =f x 00 30− ⋅ ⇔ ⋅ = −⋅ ⋅a e a e f xk x k x ( ) ,

Abb. 15 Abb. 16

Abb. 17 Abb. 18

Abb. 19

Übergangsmatrix und Bevölkerungswanderung im Grundkursabitur Fo r tse t zung

TI-Nachrichten 23

Um zu ermitteln, wann die Bevölkerung in der Region R1 auf29 Millionen angestiegen ist, wird folgende Gleichung gelöst:

Im 13. Jahr werden mehr als 29 Millionen Menschen in R1leben!

Aufgabenteil d)

Die Summe der Komponenten im jeweiligen Lösungsvektorerhöht sich um 3%, im ersten Jahr also z.B. um 1,8 Millionen.

Explizite Form:

dabei ist E die Einheitsmatrix (von den Schülern so allgemeinnicht zu erwarten!).

Es wäre als Modell aber auch denkbar, dass man die Neuge-borenen anteilmäßig gleich in die Wanderungen mit einbezieht.Dadurch ergeben sich geringe Unterschiede!

1. Jahr:

2. Jahr:

3. Jahr:

Explizite Form:

Bei den Lösungen der Schülerinnen und Schüler wurde das letzte Modell häufiger zur Lösung benutzt, die Ergebnissewurden iterativ gefunden, nicht über die explizite Form.

Der Autor:Günter HeitmeyerParkstraße 6D-31655 StadthagenSchule: Ratsgymnasium StadthagenE-Mail: guenter.heitmeyer@t-online.de

k x Ina

xIn a

k⇔ ⋅ =

⇔ =

( )=

1 112 293

/, . . .

29 301

= − ⋅ ⇔ =⋅a ea

ek x kk x⋅

Abb. 20 Abb. 21

Abb. 22

:: :x A E xn

n= + ⋅( ) ⋅0 03, ,

: :x A x= ⋅ ⋅ =1 03

18 0456

1 ,,

223 0143220 74008

,,

1 032 1 ,= ⋅ ⋅ =: :x A x

,,

,

21 234974424 35147424

18 067551361

= ⋅ ⋅ =: :x A x3 4 1 03

24 0539809125 0998517716

,,,,,40978732

,1 03= ⋅ ⋅: :x A xn

n n

Übergangsmatrix und Bevölkerungswanderung im Grundkursabitur Fo r tse t zung

Konstruktive Geometrie auf demTI-83 Plus/TI-84 Plus U rs Handschin

EinleitungZur konstruktiven Lösung geometrischer Probleme stehen

dem Benutzer des Voyage™ 200 die beiden Programme „CabriGeometry“ und „Sketchpad“ zur Verfügung. Diese erlaubenihm gleichzeitig, die Eigenschaften der dabei aufgebautenFiguren auch rechnerisch zu verfolgen, indem er sich Koordi-naten, Längen, Winkel etc. anzeigen lässt.

Dies ist auf dem TI-83 Plus/TI-84 Plus unmittelbar nichtmöglich. In den folgenden Zeilen soll gezeigt werden, wie sichhier ein wenig Abhilfe schaffen lässt.

Zeichenbefehle des TI-83 Plus/TI-84Zunächst sei erwähnt, dass auch ein TI-83/84 Benutzer mit Hil-fe von Befehlen im Menü (<S) Strecken und Kreisezeichnen kann. Eine Strecke ist dabei durch ihre beiden End-punkte E und F, ein Kreis durch Angabe von Mittelpunkt M undRadius r festzulegen. Die zugehörigen Befehle ( und

( funktionieren dabei etwas anders, je nachdem obman sich bei ihrem Aufruf auf dem Hauptbildschirm oder imMenü Q befindet. Im ersten Fall wird nach Eingabe von

( oder ( die Eingabe der Koordinaten von E und Fbeziehungsweise der Koordinaten von M und des Wertes für rerwartet. Im zweiten Fall sind E und F graphisch durch Ver-schieben des Graphikcursors an die gewünschten Positionenfestzulegen. Beim Kreis hat man entsprechend M sowie einenPunkt P auf der Peripherie zu wählen. Es ist ein Nachteil derzweiten Methode, dass die möglichen Positionen von E und Fbzw. M und P dabei auf die durch Drücken der Pfeiltastenerreichbaren Lagen, also auf die durch die Fenstereinstellungfestgelegten „Pixels“, eingeschränkt sind. Löschen lassen sichübrigens einzelne so gezeichnete Strecken oder Kreise nicht,vielmehr können sie nur in ihrer Gesamtheit (durch den Befehl

zum Verschwinden gebracht werden.

Weiter stehen die so erzeugten Strecken und Kreiseanschließend zwar als Bilder zur Verfügung. Man kann sie abernachträglich weder verändern noch in dem Sinne exakt „ver-werten“, dass man z.B. mittels <r oder

einzelne ihrer Punkte anzielt oder sie mittels miteinander zum Schnitt bringt. Durch Verschie-

ben des Graphikcursors ist eine ungefähre Ermittlung derartiger

GTR

[DRAW] (

Line(Circle(

Line( Circle(

ClrDraw) z

[CALC]1:value

2:zero5:intersect

24 TI-Nachrichten

Punkte natürlich möglich; man ist dabei aber wiederum auf diejeweils erreichbaren Pixels eingeschränkt.

Andere „selbstgebastelte“ ZeichenmethodenEine Alternative besteht nun darin, die einfachsten Grundge-bilde der Geometrie als Graphen von Funktionen aufzufassen.

Bei den Grundgebilden handelt es sich zunächst um Geraden.Um den Funktionsterm zur Verbindungsgeraden von E(e1|e2)und F(f1|f2) aufzufinden, verwendet man den Befehl RD

Genauer: Nach dem Erstellen der Listen {e1;f1} und {e2;f2} gibt man (ax+b)

ein. Nach ë ist der gewünschte Term dann ingespeichert. (Selbstverständlich ist statt auch ...möglich.) Der Ausnahmefall von Geraden, welche zur y-Achseparallel sind, lässt sich auf diese Weise exakt natürlich nichtbehandeln, wohl aber näherungsweise: Für die Gerade x = 4etwa kann man E = ( 4-H | -G) und F = ( 4+H | G) setzen,wobei man für H eine kleine und für G eine große Zahl zunehmen hat, z.B. H = 0,001 und G = 1000. Einfacher ist diedirekte Eingabe des Terms y = M·(x-4) mit einem großen Wertfür M, welcher die Steigung der Geraden darstellt.Ein Kreis mit Zentrum (u|v) und Radius r muss bei dieserMethode aus Halbkreisen zusammengesetzt werden. Um diezugehörigen Funktionsterme aufzufinden, hat man dieKreisgleichung

nach y aufzulösen. Man erhält so für den oberen bzw. unterenHalbkreisbogen

Wer dies ausprobiert, wird bald feststellen, dass diese Halb-kreisbögen in der Regel als Halbellipsen erscheinen, da die Ein-heiten auf den beiden Koordinatenachsen auf dem Display imAllgemeinen nicht als gleich lange Strecken wiedergegebenwerden. Um dies zu erreichen, müssen die Fenstereinstellun-gen speziell gewählt werden. Es ist eine reizvolle Aufgabe, sicheinmal im Einzelnen zu überlegen, wie man dabei vorzugehenhat. Man kann sich diese Mühe jedoch auch ersparen, indemman die zugehörige Operation q ausführt. Siebewirkt, dass das aktuelle Fenster derart vergrößert wird, dassachsenparallele Quadrate als solche und somit unsere Kurvenals wirkliche Halbkreise erscheinen.

Anmerkung: Vielleicht fällt uns erst bei dieser Gelegenheit einmerkwürdiger Unterschied auf: Beim Aufrufen des Zeichenbe-fehls ( aus den Menü Q heraus wird einKreis stets als Kreis gezeichnet, ohne Rücksicht auf dieaktuellen Fenstereinstellungen. Er passt somit in der Regelnicht zum Koordinatensystem! Dies ist jedoch der Fall, wennman ( vom Hauptbildschirm aus aufruft!

Bei dieser Art des Zeichnens ist man nun in der Lage, z.B.Schnittpunkte zwischen Geraden und Kreisen zu ermitteln. IhreKoordinaten lassen sich (mittels <r )in sehr anschaulicher Weise (d.h. insbesondere ohne Aufstel-lung von Gleichungssystemen!) und mit Taschenrechnerge-

nauigkeit bestimmen und anschließend in Variabeln speichern,wodurch sie zur weiteren Verwendung zur Verfügung stehen.Auf eine dabei gelegentlich auftretende Schwierigkeit sei nochhingewiesen: Unsere Halbkreisbögen erscheinen in der Näheihrer Endpunkte oft ungenau oder eventuell stückweise über-haupt nicht. Man hilft sich dann durch Verkleinern des Fenster-ausschnittes (am bequemsten mit q ).

Einige Beispiele von Anwendungen1. Beispiel: Die Aufgabe „SSS“Gesucht sind die Winkel α, β und γ eines Dreiecks, dessen Seit-en a, b und c gegeben sind; Beispiel: a = 4, b = 8 und c = 9.

Lösung: Wir wollen der Einfachheit halber annehmen, dass cdie längste Seite ist, was sich durch eventuelles Umbenennenstets erreichen lässt. Man legt die Ecken A und B des Dreiecksan die Positionen (0|0) und (c|0). Dann lässt sich die Ecke C (dieoberhalb der x-Achse liegen soll) konstruktiv finden, indem manzwei (obere) Halbkreise miteinander schneidet. Ihre Zentrenund Radien sind natürlich A und b, bzw. B und a. Ihre Funk-tionsterme lauten:

Bei Verwendung der oben vorgeschlagenen Zahlenwerte ergibtsich so für C der Punkt mit den Koordinaten u und v, derenungefähre Werte 7,167 und 3,555 sind. Für das Folgendesind jedoch u und v ungerundet zu speichern. Mit ihrer Hilfegewinnt man dann

Im Zahlenbeispiel sind ihre Werte gleich 26,384°, 62,720° und90,895°.

2. Beispiel: Drehen einer GeradenGegeben sei die Gerade g durch ihre Gleichung

y=0,37·x+1,52.

Gesucht wird das Bild h von g bei der Rotation mit dem (auf gliegenden) Zentrum Z(4|3) und dem Drehwinkel +23°.

Lösung: Es sei w die durch Z gehende Parallele zur x-Achse, Wder um eine Längeneinheit nach rechts verschobene Punkt Zund weiter G bzw. H die über W liegenden Punkte, welche denGeraden g bzw. h angehören.

(f1|f2) au n, [CALC] 4:LinReg(ax+b). G

L1={e)

L2={e LinReg(L1,L2,Y1 e Y1

Y1 g Y2, Y3, ...

x u y v r−( ) + −( ) =2 2 2

y v r x u bzw y= + − −( )2 2. == − − −( )v r x u2 2

.

sp en, inde5:ZSquare

[DRAW]9:Circle(

[DRAW]9:Circle(

[CALC]5:intersect) i

1:ZBox).

= − = − −(y b x und y a x c12 2

22 ))2

.

=

=

−

− −1 1tan , tanα β

vu

vc u

.und γ α β= °− −180

Abb. 1

Konstruktive Geometrie auf dem TI-83 Plus/TI-84 Plus Fo r tse t zung

TI-Nachrichten 25

Ferner seien die Längen mit a und b bezeichnet.Man gewinnt dann zunächst a als Differenz der y-Koordinatenvon G und W und daraus γ als , womit man schließlichzu gelangt. Damit ist auch der Punkt H bekan-nt, der zusammen mit Z die gesuchte Gerade h festlegt.Mit unseren Zahlen ergibt sich: Z = (4|3), W = (5|3); a = 0,37,y = 20,304°, b = 0,942, H = ( 5 | 3,942) und als Term für h fol-gt dann schließlich: y = 0,942·x - 0,770.

3. Beispiel: VorwärtseinschnittGegeben seien die Punkte P(104|389) und Q(895|207) sowiedie beiden Winkel α = 70,4° und β = 58,16°.

Gesucht wird dann die Position des Punktes U.

Lösung: Nach der Methode des zweiten Beispiels ermitteltman durch Drehen der Geraden (PQ) die Geraden (PU) und (QU)und bringt dieselben anschließend zum Schnitt. Man findet so:U = ( 578,540 | 1132,230 ).Zusatz: Als zweites Beispiel für dieselbe Aufgabe seiangegeben: P = (-8|7), Q = (-5|-3), α = 50°, β = 75°. Lösung: U = ( 3,307 | 2,130 ).

4. Beispiel: Rückwärtseinschnitt (Aufgabe von Snellius undPothenot)

Hier ist aus den bekannten Punkten P, Q und R sowie denWinkeln α und β die Position von T zu ermitteln.Als Beispiel sei gegeben: P = (-700|700); Q = (200|500); R = (700|800) sowie α = 30° und β = 18°.

Lösungsweg: Auch hier bildet man die konstruktive Lösungmit Hilfe unserer „rechnerischen Graphik“ nach: T liegt auf demSchnittpunkt der beiden Ortsbögen, welche zu den Sehnen PQbzw. QR und den Peripheriewinkeln α bzw. β gehören. DerRadius r des Ortsbogens über PQ lässt sich trigonometrisch aufGrund der Länge der Strecke PQ und des Winkels α ermitteln.Damit findet man sein Zentrum M durch Schneiden der Kreisemit den Zentren P und Q und dem Radius r. Entsprechendgewinnt man den Ortsbogen über QR. Das Resultat ist:T = ( 258,444 | -800,192 ).

Schlussbemerkungen:Wie man sieht, eröffnet die beschriebene Graphik neueMöglichkeiten zur Lösung geometrischer Probleme, die nor-malerweise mit klassischen trigonometrischen Methodenbehandelt werden. Zur Lösung von Beispiel 1 wird normaler-weise der Cosinussatz herangezogen, bei Nummer 3 der Sinus-satz, während Beispiel 4 unter den bekannten Vermes-sungsaufgaben wohl die schwierigste ist, weil zu ihrer konven-tionellen Lösung eine gehörige Portion an Trigonometrieherangezogen werden müsste.

Arbeitet man dagegen mit den oben beschriebenen gra-phischen Methoden, so werden alle vier Aufgaben (wie vieleandere auch) im Grunde genommen äußerst einfach: DieLösungswege sind sehr anschaulich und infolgedessen auchleicht zu entdecken. Weiter sind aus der Trigonometrie nur die Formeln zur Berechnung des rechtwinkligen Dreieckserforderlich!

Es zeigt sich hier, wie übrigens in anderen Gebieten der Schulmathematik auch, dass manche oft als unentbehrlichangesehene Hilfsmittel (wie hier Sinus- und Cosinussatz)ihre „Monopolstellung“ einbüßen, wenn man sich neue Wegeeinfallen lässt.

Der Autor:Urs HandschinCH-Riehen (bei Basel)E-Mail: urs_handschin@yahoo.de

WG und WH

" #1tan a& ," #ob tan 23- 0 $

Abb. 2

Abb. 3

Abb. 4

Konstruktive Geometrie auf dem TI-83 Plus/TI-84 Plus Fo r tse t zung

26 TI-Nachrichten

Wir wissen alle, dass ein CAS – egal ob DERIVETM oderder VoyageTM 200 – bei der Eingabe von Termen auto-

matische Zusammenfassungen durchführt. Das geschiehtsicherlich nach bestimmten Regeln, wie z.B. Rationalmachendes Nenners oder teilweises Wurzelziehen. Das benutzen wirdoch häufig auch sehr produktiv im Unterricht.

Aufgabe 1Erläutern Sie die Ergebnisse, die im Display gezeigt werden.

Das CAS fasst aber jetzt nicht nur Zahlenterme automatischzusammen. Terme mit Variablen werden ebenfalls „brutal“zusammengefasst. Durch Terme der Form (x-3) wird genausogeteilt wie durch Zahlen. Der Hinweis x ≠ 3 unterbleibt dabeileider:

Aufgabe 2Erläutern Sie, was hier passiert.

Bei der Angabe von m(x) ist der Linearfaktor (x-3) bereits ohneweiteren Hinweis herausgekürzt. Das Herauswerfen von für die Interpretation der Lösungsvielfaltwichtigen Termteile durch Kürzen passiert jetzt auch beim Ver-wenden des -Befehls.

Im Display aus Abb. 3 wurde eine Matrix eingegeben, diebereits Keunecke in [1] untersuchte. Der -Befehl formtdie Matrix um, das zugrunde liegende LGS muss als unlösbarinterpretiert werden. Es fällt auf, dass p vollständig herausge-fallen ist. Das muss stutzig machen. Formen wir die Matrix mitder Einschränkung p=-35 um (Abb. 4), so ergibt sich eineMatrix, die zu einem mehrdeutigen linearen Gleichungssystemgehört.

Ist eine Handrechnung jetzt notwendig oder wie kann dasCAS überlistet werden?Bisher ging ich nach einem Tipp von Heinz Lackmann aus Mün-ster davon aus, an die Matrix eine Kontrollspalte anzuhängen –vgl. Abb. 5, der Befehl fügt Spalten einer Matrix hin-zu. Die Kontrollspalte wird mit umgeformt. Es entstehenBrüche, die im Nenner die Spezialfälle enthalten.

Das klappte bisher immer ganz gut. Der Voyage™ 200 konnteebenso wie DERIVE™ die Spezialfälle immer anzeigen. Aber beider von Keunecke [1] verwendeten Matrix funktioniert das jetztnicht.

Was ist der Grund dafür?Überprüfen wir die einzelnen Spalten der umgeformten Matrixauf Komplanarität. Man erkennt: Die umgeformte Kontrollspal-te ist komplanar zu den beiden ersten Spalten der Matrix. Dasist der Grund!

– ist der Lösungsmatrix des Voyage™ 200 immer zu trauen? Gün te r D reeßen-Meye r

CAS

rref()

Abb. 1

Abb. 2

Abb. 3

rref()-B

Abb. 4

rref()-B

augment-

Abb. 5

− ⋅

+ ⋅

=

1351

1462

111

TI-Nachrichten 27

Fazit:Die Kontrollspalte sollte also so gewählt werden, dass sie nichtkomplanar zu den beiden ersten Spaltenvektoren ist. Wie mandie Koeffizienten dann wählt ist egal. Das CAS formt die Kon-trollzeile mit um: Die Nenner ergeben die Spezialfälle, die danngesondert untersucht werden müssen.

Der Autor:Günter Dreeßen-Meyer, D-BerlinE-Mail: G.Dreessen-Meyer@gmx.de

Literatur:[1] K.-H. Keunecke: Erlernen einer Lösungsstrategie für lineare

Gleichungssysteme mit Unterstützung von Derive oder TI-92 Plus/Voyage™ 200, TI-Nachrichten 1/04

Abb. 6

Abb. 7

– ist der Lösungsmatrix des Voyage™ 200 immer zu trauen? Fo r tse t zungrref()

Wo liegt der didaktische Mehrwert beim Einsatz vonTRANSFORMATION GRAPHING & GUESS MY COEFFICIENTS1?Applikationen, die den GTR zu einem hoch interaktiven Lerngerät machen – aber reicht das alleine schon aus D r. H i ldega rd U rban-Wold ron

VorbemerkungFunktionen sind aufgrund ihrer herausragenden Bedeutung

für die Beschreibung von Abhängigkeiten im gesamten Mathe-matikunterricht präsent. Das Ziel des Unterrichts muss dahersein, das Verständnis des Funktionsbegriffes sukzessive zuerweitern. Der GTR hat bisher entscheidend zur Entwicklung vonPrototypen beigetragen, indem er es erlaubt, verschiedene Dar-stellungsformen, insbesondere Gleichung, Tabelle und Graphweitgehend parallel zu betrachten.

Die beiden in diesem Artikel dargestellten Applikationen stelleneine zusätzliche Hilfe beim Ausbau eines inhaltlichen und struk-turellen Begriffsverständnisses dar, da die Lernenden durcherweiterte Formen der Interaktivität unmittelbar Rückmeldungenauf entsprechende Veränderungen von Eingabeparameternerhalten. Sie machen den GTR zu einem hoch interaktiven expe-rimentellen Werkzeug, wobei die Applikation TRANSFORMATION

GRAPHING sehr gut zur Erarbeitung neuen Lernstoffes geeignetist, während GUESS MY COEFFICIENTS eine interaktive Testan-wendung darstellt und eher in Übungs- oder Wiederholungs-sequenzen sinnvoll einsetzbar ist.

1. TRANSFORMATION GRAPHING

Mit dieser Flash-Applikation können Sie die Auswirkungen derÄnderung von bis zu vier Koeffizienten bei Funktionen vom Typy = f(x) beobachten, ohne den Graphikbildschirm zu verlassen.Die TRANSFORMATION GRAPHING Darstellung ist bei parametri-scher, polarer oder sequenzieller Kurvendarstellung nicht verfügbar.

Die Funktion y=ax2+bx+c soll untersucht werden. Es sollerarbeitet werden, wie sich die Veränderung der Zahlenwerte füra, b und c auf die graphische Darstellung der Funktion auswirkt.

Drücken Sie die O-Taste und wählen Sie . GebenSie dann im o-Editor die Funktionsgleichung ein (Abb. 2/Abb. 3).

GTR

Abb. 1

Abb. 2 Abb. 3

Abb. 4 Abb. 5

Transfrm.

28 TI-Nachrichten

Rufen Sie im Fenster WINDOW den Bildschirm SETTINGS aufund stellen Sie sicher, dass in der zweiten Zeile der Abspielmo-dus ( >|| ) passend eingestellt ist. Hier geben Sie auch dieAnfangswerte der Koeffizienten sowie die Schrittweite, um diediese erhöht werden sollen, an. Rufen Sie nun den Graphikbild-schirm auf. Die Funktion mit den aktuellen Werten der Koeffi-zienten A, B und C werden auf dem Bildschirm angezeigt. Mitder Taste ~ erhöhen Sie den Wert von A um STEP.

Sie können die dynamische Veränderung des Graphen auf demBildschirm verfolgen. Schülerinnen und Schüler können mit ent-sprechenden Aufgabenstellungen zum explorativen Arbeitenangeregt werden.

Beim gewählten Abspielmodus (>||) bestimmen Sie, welcherKoeffizient geändert werden soll und wann die Kurve dargestelltwird. Es stehen Ihnen noch zwei weitere Abspielarten zur Verfü-gung:(>) So können Sie eine Reihe von Bildern speichern und diesedann wie in einer Diavorführung nacheinander zeigen. Die Bilderwerden dann in einem kontinuierlichen Zyklus gezeigt, bis Siediesen anhalten. (>>) Beim Schnellabspielen wird eine Reihe von Bildern gespei-chert, die dann wie bei (>) in einer Diavorführung nacheinander,allerdings in rascherer Abfolge, gezeigt werden.

2. GUESS MY COEFFICIENTS

Im Gegensatz zu TRANSFORMATION GRAPHING hat die ApplikationGUESS MY COEFFICIENTS nach meiner Einschätzung nurbeschränkt eine bereits in der Software implementierte didak-tische Qualität. Es handelt sich um ein „Spiel“ und das bedeutetfür die Schülerinnen und Schüler Motivation und Herausforde-rung – Sie entscheiden als Lehrer, was Sie daraus im Unterrichtund für den Lernprozess der Schüler machen.

Wo liegt der didaktische Mehrwert beim Einsatz von TRANSFORMATION GRAPHING & GUESS MY COEFFICIENTS1? Fo r tse t zung

Abb. 6 Abb. 7

Abb. 13 Abb. 14

Abb. 8 Abb. 9

Abb. 10 Abb. 11

Abb. 12

Arbeitsaufgaben zu Untersuchung von Funktionen des Typs y=ax2+bx+c

Erstelle einen „Steckbrief“ (mit möglichst vielen Eigenschaften)der quadratischen Funktion. Verwende die folgenden Impuls-fragen als Anregung für deine Forschungsaufgabe!

• Welche Lage haben die Parabeln für b=0?• Was ändert sich, wenn du für b=0 und ein festes a nur den

Wert für c veränderst?• Wodurch unterscheiden sich die Graphen, wenn a<0 bzw.

wenn a>0 ist?• Für welche Parameterkonstellationen hat der Graph keinen

Schnittpunkt mit der x-Achse?• Finde eine Parameterkonstellation, so dass die Parabel

genau einen Schnittpunkt mit der x-Achse hat.• Den „höchsten“ bzw. „tiefsten“ Punkt nennt man

Scheitel – kannst du seine Koordinaten in Abhängigkeit der Parameter a, b und c angeben?

• Welchen Einfluss hat b auf das Aussehen des Graphen?

Abb. 15 Abb. 16

Abb. 17 Abb. 18

1 Detaillierte Informationen und Anweisungen zum Bezug und zur

Installation dieser und anderer Flash-Anwendungen finden Sie auf der

folgenden Internet-Seite: http://education.ti.com/guides

TI-Nachrichten 29

3. SchlussbetrachtungObwohl in beiden Applikationen bereits sehr viele ausgezeichne-te didaktische Aspekte implementiert sind, zeigt sich doch, dasssich Mathematikdidaktik nicht vollständig in einem auch noch soguten Medium abbilden lässt. Auch diese beiden digitalen Werk-zeuge müssen mit Hilfe von didaktischem Sachverstand zu Lern-medien und Lernwerkzeugen gemacht werden, wobei der Einsatzdurch die Erfordernisse des Lernens und Lehrens bestimmt wird.

Für die Qualität eines Lernangebotes sind vor allem die Lerner-variablen bestimmend – wie gut das Angebot (mit einer entspre-chenden Technologie) inhaltlich, methodisch und situativ auf denLernenden und seine Bedürfnisse abgestimmt ist. Qualität ent-steht erst bei der Interaktion des Lernenden mit dem Lernarran-gement. Daher gestaltet der Lernende mit seinem Lernprozessauch die jeweilige Lernqualität. Für uns Lehrerinnen und Lehrergeht es darum, mit Hilfe der heute zur Verfügung stehenden Viel-falt an technologischen Möglichkeiten Lernumgebungen für dieSchülerinnen und Schüler zu schaffen, wo der individuelle Lern-prozess optimal unterstützt wird.

Technologie und Applikationen können nicht als Mittler und Wis-sensüberträger angesehen werden, sondern erhalten die Funk-tion eines Werkzeugs und Hilfsmittels, das es Schülerinnen undSchüler ermöglichen kann, damit individuelles Wissen zu kon-struieren. Technologie ist keine Qualität an sich, bietet auch keinfertiges Wissen, das nur noch aufzunehmen ist, sondern istMaterial und System, das Erfahrungen zum selbstständigen Auf-bau von Wissensstrukturen ermöglicht und damit faszinierendeAspekte eröffnet.

Bieten Sie als Lehrer Ihren Schülerinnen und Schülern Lern-welten, in denen sie sich bewegen können, in denen sie Musterfinden, Strukturen, denen sie nachgehen können, Anregungen,

die in ihnen Fragen erzeugen und ihnen helfen, Antworten zu finden. So werden sie nicht in einer bestimmten Reihenfolgemit dargebotenen Fakten überhäuft, sondern es wird ihnengeholfen, Dinge zu entdecken, ihre Netzwerke im Kopf zu erweitern oder umzustrukturieren. Die Technologie hilft Ihnen alsLehrer dabei, den Lernprozess der Schülerinnen und Schüler zuunterstützen.

Das Ergebnis der didaktischen Aufbereitung sollte ein medialesAngebot, eine Lernumgebung sein, die zu bestimmten Tätigkei-ten einlädt aber auch für aktive, reaktive und proaktive Lernerausreichend Freiräume offen lässt. Damit sollte gewährleistetsein, dass für die proaktiven Lerner die Intensität der Ausein-andersetzung durch den Einsatz des medialen Lernmaterials stei-gen kann, für die durchschnittlichen Lerner aber hinreichendTätigkeiten definiert sind, die sie ausführen sollen und somitsteuernd auf ihren Lernprozess Einfluss genommen wird.Mit Einsatz von Technologie findet ein Umbruch beim Lernenstatt. Der Schwerpunkt verlagert sich dabei weg von der Passi-vität der Lernenden in eine Aktivität, mit der Wissen konstruiertwird. Entscheidend hierbei sind die Lernsituationen, die genü-gend Freiheit, aber auch Anregungen enthalten sollten, damitsich das Lernen entfalten kann.

Erst die qualitätsvolle pädagogische Arbeit der Lehrerinnenund Lehrer macht den didaktischen Mehrwert jedes neuenMediums und jeder neuen Technologie aus.

Die Autorin:Mag. Dr. Hildegard Urban-WoldronGymnasium Sacre Coeur PressbaumPäd. Akademie der ED WienE-Mail: hildegard.urban-woldron@phedw.at

Technischer Hinweis der Redaktion:Einige Applikationen wie z.B. TRANSFORMATION GRAPHING (oderz.B. auch die Sprachanpassung) verändern das Verhalten desRechners und arbeiten dabei unbemerkt im Hintergrund. Siekönnen den Rechner in seinen ursprünglichen Zustandzurückstellen, indem Sie die Anwendung erneut aus demMenü der Applikationen (O-Taste) aufrufen. Mit der Option

wird die im Hintergrund laufende Anwendungbeendet und kann dann später ggf. wieder neu gestartet werden.

Wo liegt der didaktische Mehrwert beim Einsatz von TRANSFORMATION GRAPHING & GUESS MY COEFFICIENTS1? Fo r tse t zung

Abb. 19

1: Uninstall

Vermessung digitaler FotosDie Vermessung von digitalen Fotos ermöglicht es,

Messdaten von Brücken, Bögen oder sonstigen Bauwerken zuerhalten und verhilft so zu einer Fülle von realitätsnahenAufgaben.

Die Bilddatei wird z.B. mit dem Windows-Programm Paintgeöffnet. Die Pixelwerte der Cursorposition sind in der

Statusleiste des Programms ablesbar und können als Koordinaten der Begrenzungspunkte erfasst werden. Dabeiliegt der Koordinatenursprung entsprechend der Pixel-zählung des Bildschirms in der oberen linken Ecke des Bildes. Da nur positive Pixelwerte angegeben werden,müssen die y-Werte mit einem negativen Vorzeichen versehenwerden, um eine dem Foto entsprechende Darstellung zu erhalten.

Parabeln stehen Modell – Teil II S iby l l e S tachniss -Ca rp

PCGTR

30 TI-Nachrichten

Aufgabe: Parabeln in der ProvenceEin Borie ist ein ohne Mörtel geschichtetes Steinhaus unddiente in früheren Zeiten zumeist als Unterkunft für Hirten undTiere. Solche Bories sind typisch für die Provence. Das Foto ausAbb. 1 zeigt die bogenförmige Bauweise eines solchen Borie.Die Begrenzung der Rückwand sieht auf den ersten Blickparabelförmig aus. Untersuche, ob es sich dabei tatsächlich umeine Parabel handelt.

LösungshinweiseDie folgenden Koordinaten werden abgelesen, in die Listen

und eingegeben und grafisch dargestellt. Mit q

wählt der Rechner automatisch die passendeFenstereinstellung.

Mit Hilfe des Rechners kann man eine passende Regressions-gleichung ermitteln: Mit R~ über-nimmt man die Anweisung QuadReg in den Home-Bildschirm,wobei die Listennamen für die x- und y-Werte zu ergänzen sind– hier und – sowie mit ê <Y-VARS> 1:Function...der Funktionsname angegeben werden kann, unter welchemdie ermittelte Regressionsfunktion gespeichert werden soll.

Aus dem Graphen in Abbildung 3d wird ersichtlich, dass dasModell „Parabel“ für diese Bauform sehr gut passt.

Aufgabe: Die Pont JulienHier wird ein Brückenbogen aus römischer Zeit vermessen, diePont Julien östlich von Avignon. Die folgenden Daten werdenaus dem digitalen Foto ermittelt:

Als Regressionskurve ist die gefundene Parabel mit der Funk-tionsgleichung

p(x); -0,001587x2+1,8012x -716,10nur bedingt geeignet, wie aus Abbildung 5d ersichtlich ist.

Es liegt näher, eine Kreisgleichung zur Modellierung zu verwenden. Allerdings bietet der graphikfähige Taschenrechnerein entsprechendes Regressionsmodul nicht an. Mit dem1., 6. und 9. Messpunkt lässt sich ein Gleichungssystem auf-stellen, das mit einem CAS – hier DERIVE™ – gelöst werdenkann. Folgende Kreisgleichung ergibt sich:

(x -557,8437)2+(y+741,8437)2=508,4969.

In der Abbildung sind die Messpunkte der Brücke, dieNäherungsparabel p(x) und der berechnete Kreis gezeichnet.Man erkennt, dass der Kreis den Brückenbogen wesentlichbesser approximiert als dies mit einer Parabel möglich ist.

Parabeln stehen Modell – Teil II Fo r tse t zung

Abb. 1

Abb. 4

e L1 und und einge9:ZoomStat

<CALC>

L1 L2 –rg

<Y-VARS> 1:Function...

gressionsgl5:QuadReg

lgendL2 einge

Abb. 2a Abb. 2b

Abb. 3a Abb. 3b

Abb. 3c Abb. 3d

Abb. 5a Abb. 5b

Abb. 5c Abb. 5d

Abb. 6

TI-Nachrichten 31

Aufgabe: Römische ArenaAuch die römische Arena von Arles enthält Rundbögen. Sucheeine passende Funktion für diesen Bogen.

LösungshinweiseWieder werden mit der Vermessung des Fotos am ComputerDatenpunkte ermittelt und diese in den Listeneditor des Rechners eingegeben. Der Datenplot ergibt folgendes Bild:

Auch hier scheint eine Kreisgleichung angemessen zu sein.Beispielsweise kann der 2., 8. und 11. Messpunkt verwendetwerden. Mit DERIVE™ findet man:

(x -827,3784)2+(y+685,7544)2=365,1332.

Fazit: Die Römer haben ihre Bögen kreisförmig gebaut.

Weiterführende AufgabeSuche weitere Motive in deiner Umgebung und fotografiere sie.Versuche einen geeigneten „Maßstab“ mit zu fotografieren, sodass auch tatsächliche Längen bestimmt werden können.

Die Autorin:Dr. Sibylle Stachniss-CarpAm Baumgarten 9, D-35094 LahntalE-Mail: Stachnisscarp@bop.de

Parabeln stehen Modell – Teil II Fo r tse t zung

Abb. 7

Abb. 8

Abb. 9

Im Herbst 2004 startete in Österreich die Aktion „Unterricht mitTexas Instruments Technologien“ in der Sekundarstufe II.Klassen aus ganz Österreich sendeten 2- 4 Seiten Erfahrungs-berichte zum Thema „Unterricht mit Texas Instrumentsnumerischen oder symbolischen Graphikrechnern“. Zu gewin-nen gab es TI-Rechner und dem Sieger winkten 1.000 € für dieKlassenkasse. Uns interessierten vor allem Fragen wie: „WelcheRechner verwendet Ihr? Wie wird unterrichtet? Was ist imMatheunterricht wichtig? Macht Ihr ein Projekt? Beschreibt wieIhr TI-Graphikrechner sinnvoll einsetzt.“ Das TI-Gewinnspiel2004 war ein schöner Erfolg – unterschiedlichste und vor allemvor Kreativität strotzende Beiträge wurden eingereicht.

Die folgenden Ergebnisse stammen von der Gewinnerschule(1. Preis) 5B des BG Dachsberg(Photo) mit ihrer Lehrerin Mag.Sonja Wiesinger. Die Klasseverfasste den TI-89-Rap undeine graphische Bearbeitungvon Romeo und Julia. Der Rapdürfte besonders viel Spaßgemacht haben, wie eineTextpassage zeigt:

TI-89 – wir gehen durch dick und dünnTI-89 – mit dir macht mathematik sinnMit ihm und in ihm sind gleichungen kein problemTI-89 – wir lieben ihn

Stellvertretend für das Gesamtergebnis an dieser Stelle einScreen-Shot mit Textpassage zu Romeo und Julia frei nachShakespeare:

Niemals gab es so ein hartes Los als Julias und ihres Romeos!

Die weiteren Preisträger waren die 6A des BG/BRG Tulln mitLehrer Mag. Alfred Eisler, die 4E des BG/BRG/BORG Polgar-straße mit ihrer Lehrerin Dr. Michaela Brunngraber, die 4Ader GWIKU Hainzingerstraße mit ihrer Lehrerin Mag. IraWerbowsky und die 6C des BG Perchtoldsdorf mit ihrem LehrerMag. Martin Walter. Die Gewinner wurden durch das TI-TeamÖsterreich ermittelt. Der Rechtsweg war ausgeschlossen.

Beitrag erstellt durch Mag. Ingrid Schirmer-Saneff undMag. Gerald Kniendl. Der ausführliche Beitrag findet sichauf der TI-Homepage: www.education.ti.com/oesterreich.Anfragen richten Sie bitte an: g-kniendl@ti.com.

TI-Gewinnspiel in Österreich – ein schöner Erfolg Texas Ins t rumen t s

Texas Instruments und seine Vertreter sind bemüht, die Richtigkeit der Kommentare und Darstellungen in dieser Publikation zu gewährleisten. Dennoch wird keineHaftung für inhaltliche Ungenauigkeiten, für Artikel oder Behauptungen von Autoren übernommen. Die hier abgedruckten Meinungen sind nicht unbedingt die Meinungenvon Texas Instruments. Alle Angaben ohne Gewähr. Texas Instruments behält sich das Recht vor, Produkte, Spezifikationen, Dienstleistungen und Programmeohne vorherige Ankündigung zu ändern. Alle erwähten Firmen-, Marken- und Produktnamen sind Warenzeichen bzw. Marken der jeweiligen Rechtsinhaber.

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