TUMWorkshopMathematik2018

5. bis 10. Oktober 2018Medellín, Kolumbien

Technische Universität MünchenTUM School of EducationHeinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl fürDidaktik der Mathematik

In Kooperation mit:

Frank Reinhold, Stefan Hoch, Bernhard Werner,Jürgen Richter-Gebert, Kristina Reiss

Einsatz digitaler Medien imMathematikunterricht

Workshop Mathematik

Deutsche Version

Technische Universität München

TUM School of EducationHeinz Nixdorf-Stiftungslehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Arcisstraße 2180333 Munich, Germany

www.ma.edu.tum.defrank.reinhold@tum.de

In Kooperation mit:

Universidad de Antioquia, KolumbienSecretaría de Educación de Medellín, KolumbienTechnische Universität München, DeutschlandDeutsches Museum, DeutschlandSiemens Stiftung, DeutschlandHeinz Nixdorf Stiftung, Deutschland

Zitieren als:Reinhold, F., Hoch, S., Werner, B., Richter-Gebert, J., Reiss, K. (2018). Einsatz digitaler Medien im Ma-thematikunterricht. Workshop Mathematik (Deutsche Version). München: Technische Universität München.doi:10.14459/2018md1462083

Spanische Übersetzung des Workshops:Anni de Martinez, Dominikanische Republik;Zoraida Finger-Collazos, Deutschland;Marian Anguela González, Deutschland.

Spanische Übersetzung des Buches:Patricia Haller, Deutschland;Marian Anguela González, Deutschland.

Umschlaggestaltung:Frank Reinhold, Deutschland.

Layout:Frank Reinhold, Deutschland.

c© Technische Universität München, Deutschland, 2018.

Inhaltsverzeichnis

Spanisches Vorwort 7

Informationsverarbeitung und der Einsatz digitaler Medien im Mathematikunterricht 8Cognitive Load-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Kognitive Theorie des multimedialen Lernens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9Embodied Cognition-Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Adaptivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Feedback . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Digitale Medien im mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterricht der Sekundarstufe 18Einsatzmöglichkeiten, Umsetzung und Wirksamkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Graphisches Ableiten im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19GeoGebra zum Ableiten gewinnbringend einsetzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Bruchrechnen mit Tablet-PCs begreifbar machen 22Bruchzahlen als fachdidaktische Herausforderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Brüche als Teil vom Ganzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23Größenordnung von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Erweitern und Kürzen als Verfeinern und Vergröbern einer Einteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Größenvergleich von Brüchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

Literatur 30

6

Spanisches Vorwort

El siglo XXI es un siglo de numerosos desafíos. Por supuesto son diferentes en distintos lugares del mundo perohay muchos desafíos que son más o menos iguales en todos los países. Un desafío importante es la educaciónde los jóvenes para un mundo con muchos problemas globales. Las soluciones requieren mucho más que elconocimiento de los hechos, requieren la implementación de ideas creativas. Tenemos la responsabilidad debrindar una educación con sentido y renunciar a la mera instrucción, la mera transferencia de conocimientos delprofesor al alumno. Esto significa que los estudiantes tienen que explorar, experimentar y evaluar sus resultadosde una manera autónoma. Una buena enseñanza debe tener en cuenta incluir la creatividad de los alumnos.Para ello no necesitamos solamente una instrucción frontal sino una cultura de participación en clase.

Es indispensable preparar a todos nuestros estudiantes para el mundo real. Para lograr este objetivo necesitamosuna educación enfocada en competencias, donde los contenidos son importantes porque los aplicamos a lasolución de problemas reales. Solo así es posible enseñar para el siglo XXI y apoyar el pensamiento crítico ycreativo, la comunicación y la colaboración. Necesitamos involucrar a los estudiantes en actividades significativaspara desarrollar su potencial, su creatividad y su disposición a intervenir de manera responsable en su entorno.

La educación STEM es el lugar perfecto para apoyar a los estudiantes en desarrollar estas competencias.También es el lugar para utilizar la tecnología y para aprender sobre su uso en varios contextos. En este librointentamos combinar todos los aspectos. El objetivo principal es apoyar la comprensión de fracciones. Paraalcanzar este objetivo utilizamos tecnologías modernas que permiten un aprendizaje independiente de losalumnos. Además, la tecnología ofrece oportunidades para actuar en el entorno cotidiano e interiorizar lasacciones.

Esperamos que les gusten los ejemplos de las matemáticas. Y esperamos que las tareas ayuden a las alumnasy a los alumnos a explorar, comprender y aprender el contenido.

¡Que se diviertan!

Kristina ReissMúnich, 01 de octubre de 2018

7

Kapitel I

Cognitive Load-Theorie

Die Grundannahme der Theorie der kognitiven Be-lastung (en.: cognitive load theory; Sweller, Ayres &Kalyuga, 2011) ist eine beschränkte Kapazität desmenschlichen Arbeitsgedächtnisses. Man geht davonaus, dass sich die für das Erlernen einer Fähigkeitbenötigte kognitive Belastung aus drei Komponentenzusammensetzt:

� Intrinsische kognitive Belastung (en.: intrinsic load):Die dem Material selbst inhärente Schwierigkeit,die durch Vorwissen individuell unterschiedlich fürjeden Schüler und jede Schülerin ausfallen kann.

� Irrelevante kognitive Belastung (en.: extraneousload): Die kognitive Belastung, die durch die Artund Weise, wie das Material präsentiert wird, her-vorgerufen wird. Sie unterstützt keine Lernprozes-se.

� Lernbezogene kognitive Belastung (en.: germaneload): Elemente, die die Informationsverarbeitungunterstützen können und zur Entwicklung vonSchemata (d. h. Wissensstrukturen) beitragen kön-nen.

Es wird angenommen, dass Lernprozesse nur gelin-gen können, wenn die gesamte kognitive Belastungdie Kapazität des Arbeitsgedächtnisses nicht über-schreitet.

Beispiel

Die Addition gleichnamiger Brüche soll als neuer Un-terrichtsinhalt gelernt werden. Als erstes Beispiel wirddie sehr einfache Aufgabe 1

4 + 24 gewählt (niedrige in-

trinsische Belastung). Zur Veranschaulichung wirddas Kreismodell verwendet. Dieses Modell ist denSchülerinnen und Schülern als „Pizza-Modell“ be-kannt und kann ikonisch gut verdeutlichen, warumder Nenner bei der Addition gleich bleibt (niedrigeirrelevante Belastung). Soll die Rechnung gleichzeitignoch in eine andere ikonische Repräsentation (z. B.auf dem Zahlenstrahl) überführt werden, kann daszur Überforderung bei einzelnen Schülerinnen undSchülern führen (zu hohe lernbezogene Belastung).

Aufgabe

Entscheiden Sie, ob die schematisch dargestelltenLernprozesse nach der Cognitive Load-Theorie ge-lingen können, oder nicht. Übertragen Sie die sche-matische Darstellung auf eine konkrete Unterrichts-situation und formulieren Sie gegebenenfalls eineLösungsstrategie, um die Schülerin bei ihrem, bzw.den Schüler bei seinem individuellen Lernprozessunterstützen zu können.

intrin-sisch

irrele-vant

intrin-sisch

irrele-vant

intrin-sisch

irrele-vant

Kapazität desArbeits-gedächtnisses

Lösung

Die intrinsische kognitive Belastung eines Lernge-genstandes kann nicht verringert werden. Das Vor-wissen der Schülerinnen und Schüler ist hier vonentscheidender Bedeutung. Die irrelevante kognitiveBelastung kann durch gut aufbereitete Materialen re-duziert werden. Das hat einen hohen Anspruch andas Design von digitalen Lernumgebungen zur Fol-ge. Lernbezogene kognitive Belastung kann durchentsprechende Zusatzangebote in Lernumgebungenintegriert werden. Im Zusammenhang mit digitalenUnterrichtsmedien wird diskutiert, inwiefern sich sol-che lernbezogenen kognitiven Ressourcen aktivierenund fokussieren lassen.

8

Informationsverarbeitung und der Einsatz digitalerMedien im Mathematikunterricht

Kognitive Theorie des multimedialen Lernens

Die kognitive Theorie des multimedialen Lernens (en.:cognitive theory of multimedia learning; Mayer, 2014)gründet neben einer beschränkten Kapazität des Ar-beitsgedächtnisses auf weiteren Annahmen: Zumeinen geht man davon aus, dass Menschen einer-seits auditiv und visuell dargebotene Informationen injeweils unterschiedlichen kognitiven Strukturen verar-beiten. Weiter wird angenommen, dass auch in Tex-ten und Bildern dargestellte Informationen in wiederunterschiedlichen kognitiven Strukturen verarbeiten.Darüber hinaus wird Lernen als ein aktiver Prozessverstanden, bei dem Wissen durch gezielte Auseinan-dersetzung mit einem Lerngegenstand in bestehen-de Schemata (d. h. Wissensstrukturen) eingegliedertwerden muss.

Aufgabe

Achten Sie in folgendem Video darauf, wie auditivund visuell dargebotene Informationen zueinander inBeziehung stehen:

I www.youtube.com/watch?v=xSYHWFya2Rs

Erläutern Sie, welchen Mehrwert die Erklärung durchden Schüler gegenüber einer rein visuellen Darbie-tung der Rechnung haben kann.

Lösung

Der Schüler erklärt jeden seiner Rechenschritte wäh-rend er schreibt, zeichnet oder deutet: Die auditivdargebotenen Informationen können die visuell darge-botenen Informationen unterstützen, weil sie zeitlichpassend zueinander dargeboten werden.

9

Kapitel I

Ein Schulbuchausschnitt

Aufgabe

Nachfolgend sehen Sie einen Ausschnitt aus einemdeutschen Mathematikbuch für die fünfte Jahrgangs-stufe. Nennen und diskutieren Sie Schwierigkeiten,die sich durch die gemeinsame Darstellung von Tex-ten und Bildern ergeben können.

Bei geographischen Höhenangaben, Kontoständen oder Temperaturen können Zustände„unter Null“ vorkommen.

Die Höhe eines Berges und die Hö-henlage eines Ortes (z. B. Seen) wirdin Metern über dem Meeresspiegel,also „Normal-Null“, angegeben – mansagt kurz „in m über NN“. In der Ab-bildung ist ein sog. „Höhenprofil“ vonIsreal zu sehen. Man sieht dort aber,dass es auch Orte gibt (z. B. den Was-serspiegel des Toten Meeres), die un-ter NN liegen.

Ausschnitt aus einem deutschen Schulbuch

Lösung

Nach der kognitiven Theorie des multimedialen Ler-nens kann die Darbietung von Texten und Bilderndann vorteilhaft sein, wenn sich die Informationengleichzeitig verarbeiten lassen. Hier erscheint diesaus verschiedenen Gründen nicht möglich: Auf dieangesprochenen Kontostände wird an dieser Stellekein Bezug genommen. Der Text passt nur zu ei-nem der beiden Bilder (geographische Höhen). Daszweite Bild (Temperaturskala) wird im Text nicht er-wähnt. Die y-Achsen der beiden Diagramme sind inunterschiedlichen Einheiten und verschiedenen Grö-ßenordnungen angegeben. Dies kann suggerieren,dass die beiden Diagramme zusammengehörige In-formationen enthalten. Weiter ist das linke Bild einzweidimensionales Bild, das rechte Bild nur eindimen-sional. Insgesamt erscheint die Aufteilung unterein-ander wenig gewinnbringend. Durch die Darstellungkann sich für Schülerinnen und Schüler während derArbeit mit diesem Beispiel eine erhöhte irrelevantekognitive Belastung ergeben.

10

Informationsverarbeitung und der Einsatz digitalerMedien im Mathematikunterricht

Embodied Cognition-Theorie

Innerhalb der Embodied Cognition-Theorie (en.: em-bodied cognition theory; Wilson, 2002) wird davonausgegangen, dass Menschen dazu in der Lage sind,kognitive Belastung in Form von passenden Gestenoder Fingerbewegungen abzuladen. Ein Beispiel hier-für ist das Zählen mit den eigenen Fingern. Weiterwird angenommen, dass Handlungsschemata reinkognitive Prozesse losgelöst von ihren ursprüngli-chen sensomotorischen Zwecken unterstützen kön-nen. Beispielsweise kann beim Erwerb des Bruch-zahlbegriffs das konkrete Zerschneiden einer halbenPizza in zwei gleich große Stücke die Ausbildung ei-ner Vorstellung des Erweiterns als Verfeinern einerEinteilung unterstützen.

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 23. Versetzen Siesich in die Lage eines Kindes und bearbeiten Sie dieinteraktive Aufgabe 23 (en.: widget). Inwiefern sindAspekte der Embodied Cognition-Theorie in dieserAufgabe umgesetzt? Erläutern Sie, wie sich dieseAspekte verändern würden, wenn die Aufgabe aufeinem Computer mit einer Maus bearbeitet werdenmüsste.

Lösung

Die Pizza kann mithilfe von Fingerbewegungen zer-schnitten und verschoben werden. Wie bei den realenHandlungen folgt dabei die Blickbewegung der Handdes Nutzers – in diesem Fall auf dem Touchscreen.Die interaktive Aufgabe bedient sich dabei natürlichenGesten. Im Gegensatz dazu würde auf einem PC derBlick des Nutzers der Pizza auf dem Bildschirm –nicht der Maus auf dem Mousepad – folgen. Auch dieGesten zum Zerschneiden wären nicht mehr natür-lich.

Widget 23: Verteile die Pizzen gerecht an dieGäste.

Reflexion

Überlegen Sie, wie eine interaktive Aufgabe in ei-nem anderen mathematischen Kontext von natürli-chen Gesten profitieren könnte. Skizzieren Sie grobdas User Interface einer solchen Aufgabe. WelcheFunktionalität würden Sie sich hier wünschen? Wel-che Vorteile hätte Ihre interaktive Aufgabe gegenübereiner Aktivität mit Papier und Bleistift?

11

Kapitel I

Adaptivität

Aufgaben können in digitalen Lernumgebungen der-art implementiert werden, dass sie sich selbstständigan individuell unterschiedliche Lernprozesse einzel-ner Schülerinnen und Schüler anpassen (Leutner,1993). Derartige adaptive Aufgabenformate könneneinen geeigneten Umgang mit Heterogenität inner-halb einer Klasse ermöglichen. So können Schülerin-nen und Schüler unterschiedlicher Leistungsniveausgleichermaßen gefördert werden. Lernumgebungendieser Art werden als adaptiv bezeichnet, wenn dieEingaben von Schülerinnen und Schülern währenddes Arbeitens automatisiert zu Veränderungen derParameter dieser Lernumgebung führt.

Widget 13: Umrande den richtigen Anteil derObjekte.

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 14. Die interaktiveAufgabe 13 erhöht den Schwierigkeitsgrad ein einzi-ges Mal. Experimentieren Sie selbst mit der Aufgabe.Beschreiben Sie, wie in dieser interaktiven Aufga-be Adaptivität implementiert wurde: Wann wird derSchwierigkeitsgrad erhöht? Wie äußert sich der An-stieg der Schwierigkeit? Wie reagiert die interaktiveAufgabe auf falsche Antworten?

Lösung

Nach drei richtigen Antworten erhöht sich die Schwie-rigkeit der Aufgaben. Zunächst entspricht der Nennerdes Bruches der Anzahl der Elemente auf dem Bild-schirm. Im zweiten Schwierigkeitsgrad ist die Anzahlder Elemente ein Vielfaches des Nenners des Bru-ches. Somit ist ein zusätzlicher Schritt notwendig, umdie Aufgabe korrekt zu lösen.

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Informationsverarbeitung und der Einsatz digitalerMedien im Mathematikunterricht

Adaptivität im iBook

Widget 10: Markiere den Bruchteil des Kreises.

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 13. Finden Sie analogzum Beispiel in der interaktiven Aufgabe 10 die dreiunterschiedlichen Schwierigkeitsstufen heraus.

Lösung

In der interaktiven Aufgabe werden zunächst fünfAufgaben generiert, in denen der Nenner des Bru-ches ein Vielfaches von 2 (konkret: 2, 4 oder 8) ist.Werden diese korrekt beantwortet, werden fünf Auf-gaben generiert, in denen der Nenner 2, 5 oder 10ist. In der letzten Schwierigkeitsstufe werden zehnAufgaben mit beliebigen Nennern zwischen 2 und12 generiert. Werden innerhalb einer Stufe mehrereAufgaben falsch gelöst, verbleibt die Schülerin oderder Schüler innerhalb dieser Stufe.

13

Kapitel I

Zwei Schulbuchausschnitte

Aufgabe

Nachfolgend sehen Sie Ausschnitte aus zwei deut-schen Schulbüchern für unterschiedliche Jahrgangs-stufen und zu unterschiedlichen Themengebieten derMathematik. Wie verändert sich jeweils der Schwierig-keitsgrad in diesen Aufgaben? Welche Unterschiedeund Gemeinsamkeiten fallen Ihnen zwischen den bei-den Buchausschnitten und der interaktiven Aufgabe10 – bezogen auf die Veränderung des Schwierig-keitsgrades? Welche Vorteile kann eine adaptive An-passung der Aufgabenschwierigkeit haben?

Lösung

Im ersten Beispiel steigt der Schwierigkeitsgrad vonTeilaufgabe zu Teilaufgabe kontinuierlich an. Auchverändern sich die Operationen, die in den Teilauf-gaben durchgeführt werden müssen. Im zweiten Bei-spiel existieren – analog zur interaktiven Aufgabe imiBook – Blöcke, in denen Aufgaben des nahezu glei-chen Schwierigkeitsgrades zusammengefasst sind.Adaptive Aufgaben können vor allem für leistungs-schwächere Schülerinnen und Schüler hilfreich sein,wenn bei falschen Lösungen nicht schwierigere Tei-laufgaben, sondern Teilaufgaben derselben Schwie-rigkeitsstufe – oder sogar leichtere Teilaufgaben – ge-neriert werden.

Aufgabe 1. Übertrage die Teilaufgaben in dein Heft undvervollständige sie dann dort.

a) b)2 3 5 5 3 2 8 6 5 7 21 5 4 7 4 5 3 8 6 1

+ 3 8 9 + 8 3 2 1 1 6 5• • • • • • • • • • • •

c) d)1 3 3 9 5 1 2 3 • 8 1• • • • • 4 5 • 8 • 1

+ 3 7 2 + 2 • • 3 1 5 45 3 5 4 • 3 6 9 7 2 3 •

Aufgabe 2. Zeichne z. B. mithilfe einer Wertetabelle dieNormalparabel in ein Koordinatensystem sowie mitverschiedenen Farben die Graphen der durch dieFunktionsterme gegebenen Funktionen.

a) f1(x) = x2 − 3f2(x) = x2 + 2,5f3(x) = x2 − 4,5

b) g1(x) = (x + 1)2

g2(x) = (x + 4,5)2

g3(x) = (x − 3,25)2

c) h1(x) = (x − 1)2 − 3h2(x) = (x + 2)2 − 1h3(x) = (x − 2,5)2 + 3

Ausschnitte aus zwei deutschen Schulbüchern

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Informationsverarbeitung und der Einsatz digitalerMedien im Mathematikunterricht

Feedback

Neben einer Anpassung des Schwierigkeitsgradeskönnen digitale Lernumgebungen auch derart gestal-tet sein, dass Schülerinnen und Schüler automatischund umgehend eine auf ihre Antworten bezogeneRückmeldung (en.: Feedback) erhalten. Feedbackkann auf die Lösung einer Aufgabe fokussieren (en.:corrective feedback), um auf konkrete Fehlvorstel-lungen aufmerksam zu machen sowie Rückmeldungüber korrekte Antworten zu geben (Hattie & Timper-ley, 2007). Feedback kann sich aber auch auf denProzess der Bearbeitung einer Aufgabe beziehen(en.: explanatory feedback) und Schülerinnen undSchüler dabei unterstützen, vorhandene Vorwissens-lücken zu schließen, Fehlvorstellungen zu korrigierenund tiefgehendes Verständnis zu entwickeln (Hattie& Timperley, 2007).

Widget 86: Auf den beiden Kärtchen sindBrüche angegeben. Tippe auf den Bruch.

Aufgabe

Versetzen Sie sich in die Lage einer Schülerin bzw.eines Schülers der frühen Sekundarstufe. Bearbei-ten Sie einzelne Teilaufgaben der beiden interaktivenAufgaben 9 (S. 13 im iBook) und 86 (S. 65 im iBook).Beantworten Sie dabei Aufgaben sowohl richtig alsauch falsch. Achten Sie auf die Art der Rückmeldungin den Aufgaben. In welchen interaktiven Aufgabenwird korrigierendes Feedback (en.: corrective feed-back), in welchen Aufgaben erklärendes Feedback(en.: explanatory feedback) gegeben? Schätzen Sieden Nutzen von Feedback dieser Art für leistungs-schwächere und leistungsstärkere Schülerinnen undSchüler ein.

Lösung

Das Feedback in der interaktiven Aufgabe 9 ist korri-gierend und gibt als zusätzlichen erklärenden AspektAufschluss darüber, ob der fehlerhaft markierte Bruch-teil zu groß oder zu klein war. Detailliertere Informa-tionen über mögliche Ursachen für Fehler werdennicht generiert. In der interaktiven Aufgabe 86 wirdebenfalls zunächst nur korrigiert und eine falsche Ant-wort rot hervorgehoben. Entscheidet sich eine Schü-lerin oder ein Schüler für eine Erklärung, wird adaptivan das jeweilige Bruchzahlpaar eine Strategie zumGrößenvergleich der beiden Brüche ausgewählt undsowohl als Text als auch in ikonischer Darstellungillustriert. Leistungsschwächeren Schülerinnen undSchülern können diese Hinweise helfen, um Fehlvor-stellungen zu korrigieren. Leistungsstärkeren Schüle-rinnen und Schülern können so auf zusätzliche – inbestimmten Situationen geschicktere – Strategienhingewiesen werden.

15

Kapitel I

Feedback im iBook

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 18. In der interaktivenAufgabe 17 wird mit gestuften Lösungshilfen eine wei-tere Form von Feedback angeboten. Schülerinnenund Schülern können hier bereits vor der Bearbei-tung auf Hinweise zur Aufgabenlösung zurückgrei-fen. Setzen Sie sich mit den gestuften Lösungshilfenauseinander. Tippen Sie dazu oben rechts auf das„Ampel“-Symbol. Beschreiben Sie: Wie sind die Hin-weise aufgebaut? Welche Vorteile kann eine solcheOption für Schülerinnen und Schüler unterschiedli-cher Leistungsniveaus haben?

Lösung

Die Teilaufgaben der interaktiven Aufgabe 17 sindRoutineaufgaben. Zunächst soll das Ganze durchden Nenner des Bruches geteilt werden. Der ersteHinweis (grün) deutet diesen Schritt an. Im zweitenHinweis (gelb) erhält eine Schülerin oder ein Schü-ler das Ergebnis dieser Division und wird auf denzweiten notwendigen Schritt aufmerksam gemacht:Der Zähler des Bruches gibt an, wie viele solcherStücke genommen werden sollen. Der letzte Hinweis(rot) enthält die vollständige Lösung der Rechenauf-gabe. Durch die gestuften Lösungshilfen können leis-tungsschwächere Schülerinnen und Schüler einenImpuls erhalten, um die mehrschrittige Rechenauf-gabe – selbst, wenn ihnen einzelne Schritte nichtsofort gelingen. Durch die optionale Darbietung derLösungshilfen können leistungsstärkere Schülerin-nen und Schüler die Aufgabe auch ohne Hinweisebearbeiten. Dies kann auch die Fähigkeit zur Selbst-einschätzung positiv beeinflussen.

Widget 17: Bestimme den Bruchteil.

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Informationsverarbeitung und der Einsatz digitalerMedien im Mathematikunterricht

17

Kapitel II

Einsatzmöglichkeiten, Umsetzung und Wirksamkeit

Ergebnisse unserer Metaanalyse (Hillmayr, Reinhold,Ziernwald & Reiss, 2017) zeigen, Schülerinnen undSchüler im mathematisch-naturwissenschaftlichenUnterricht vom Einsatz digitaler Medien profitierenkönnen. Insbesondere deuten sich folgende Implika-tionen für den MINT-Unterricht (en.: STEM) an:

� Digitale Medien haben im MINT-Unterricht einengrößeren positiven Einfluss auf die Leistungen derSchülerinnen und Schüler, wenn sie ergänzend zutraditionellen Unterrichtseinheiten eingesetzt wer-den als wenn sie diese ersetzen.

� Der Einsatz digitaler Medien scheint erfolgreicherzu sein, wenn Schülerinnen und Schüler in Paarenund nicht alleine mit den Geräten arbeiten.

� Wirken Lehrerinnen und Lehrer während der Ar-beit mit digitalen Medien unterstützend, deutet sichein größerer positiver Effekt an als wenn die Schü-lerinnen und Schüler ohne Hilfestellung arbeitenmüssen.

� Es deutet sich an, dass der sog. „Neuheitseffekt“sich auch in der Leistung der Schülerinnen undSchüler bemerkbar macht: Kürzere Unterrichtsse-quenzen mit digitalen Medien haben einen größe-ren positiven Effekt als längere Sequenzen.

� Es zeigt sich, dass Schülerinnen und Schüler voneiner Ausbildung ihrer Lehrkräfte an den konkretendigitalen Geräten und der im Unterricht benutztenSoftware direkt profitieren können.

� Der positive Einfluss digitaler Medien zeigt sich ver-stärkt, wenn die Schülerinnen und Schüler selbstan den Geräten und mit den Programmen arbei-ten und diese nicht nur von den Lehrerinnen undLehrern vorgeführt werden.

18

Digitale Medien im mathematisch-naturwissenschaftlichenUnterricht der Sekundarstufe

Graphisches Ableiten im Mathematikunterricht

Das händische Ermitteln der Tangentensteigung anverschiedenen Punkten des Graphen der Funktion,die für eine Bestimmung des Graphen der Ableitungs-funktion notwendig ist, ist bei Kurven wechselnderKrümmung zum Teil ungenau. Die Software arbeitethier genauer, wobei zugleich die formal notwendigenSchritte erhalten bleiben (Hillmayr et al., 2017).

Aufgabe

Skizzieren Sie zunächst händisch mit Papier, Bleistiftund Taschenrechner den Graph der Ableitungsfunkti-on von f (x) = sin(x). Sie können dabei folgenderma-ßen vorgehen:

� Zeichnen des Graphen der Funktion f (x)� Markieren eines Punktes P auf Gf

� Zeichnen der Tangente t durch P an Gf mit Linealund Augenmaß

� Bestimmung der Steigung m von t mit Steigungs-dreieck

� Einzeichnen des Punktes Q mit der x-Koordinatevon P und y -Koordinate m

� Schritte für weitere Punkte auf Gf wiederholen

Aufgabe

Öffnen Sie nun das Programm GeoGebra auf deniPads und erstellen Sie ein interaktives Arbeitsblatt,in dem der Graph der Ableitungsfunktion zu f (x) =sin(x) interaktiv erstellt werden kann. Sie können da-bei nach folgenden Schritten vorgehen:

� Eingabe der Funktion f (x)� Erstellen eines „Schiebereglers“ a zur Variation des

Parameters� Eingabe des Punktes P = (a, f (a))� Generieren der Tangente t durch P an Gf durch

das Programm� Steigung der Tangente m durch das Programm

angeben lassen� Eingabe des Punktes Q = (a, m)� Spur von Q anzeigen lassen; a mit Schieberegler

variieren

19

Kapitel II

GeoGebra zum Ableiten gewinnbringend einsetzen

Aufgabe

Wie könnte eine Mathematikstunde zur Bestimmungdes Graphen der Ableitungsfunktion von sin(x) durchden Einsatz von GeoGebra gewinnbringend ergänztwerden? Nennen Sie konkrete Handlungsempfehlun-gen auf der Basis der Ergebnisse der oben genann-ten Metaanalyse.

Lösung

Die graphische Ableitung mittels GeoGebra kann gutergänzend zum klassischen Verfahren eingesetzt wer-den: Eine Durchführung des klassischen Verfahrensfür einen konkreten Punkt P kann die Umsetzung dernotwendigen Schritte in GeoGebra erheblich erleich-tern.

GeoGebra kann dabei kurzfristig in den eigenen Un-terricht etwa zur Exploration zu Beginn einer Un-terrichtsstunde oder Unterrichtseinheit eingebundenwerden. Das Verfahren kann im Laufe des Schul-jahres immer wieder knapp aufgegriffen werden: Miteinem anderen Funktionsterm f (x) können weitereFunktionen graphisch abgeleitet werden. Dabei soll-te allerdings beachtet werden, dass formale Verfah-ren – etwa die Bestimmung der Steigung mit einemSteigungsdreieck – nicht gänzlich dem PC überlas-sen werden sollten, sondern als Ergänzung hin undwieder auch händisch durchgeführt werden.

GeoGebra ist ein komplexes Tool. Es empfiehlt sichdaher, vor dem Einsatz im Unterricht die gestellteAufgabe selbst durchzuführen, um gegebenenfallsProbleme und Hürden zu erkennen.

Gerade der eigenständige Umgang mit GeoGebrakann die Lernenden dazu motivieren, die Softwareauch bei Problemen zu Hause zur Visualisierung zunutzen. Expertise und Kompetenz erhalten sie da-bei nur, wenn sie die Anwendung selbst erstellen.Eine Entlastung durch die Bereitstellung der fertigen„Black-Box“, in der lediglich noch der Schiebereglerbenutzt werden muss, erscheint daher eher ungeeig-net (Hillmayr et al., 2017).

20

Digitale Medien im mathematisch-naturwissenschaftlichenUnterricht der Sekundarstufe

21

Kapitel III

Bruchzahlen als fachdidaktische Herausforderung

Bei der Zahlbereichserweiterung von natürlichen Zah-len zu Bruchzahlen verändert sich das konzeptuelleVerständnis dessen, was man unter Zahlen versteht.Diese Unterschiede, die stets mit einer notwendigenVeränderung des Verständnisses von Zahlen einher-gehen, lassen sich grob in vier Teilbereiche einordnen(z. B. Obersteiner, Van Hoof, Verschaffel & Van Doo-ren, 2015):

� Während natürliche Zahlen eine eindeutige sym-bolische Darstellung haben, können wertgleicheBrüche durch verschiedene Symbole repräsentiertsein (z. B. 1

2 = 24 ). Sogar natürliche Zahlen ver-

lieren im Zahlbereich der rationalen Zahlen ihreeindeutige Darstellung (z. B. 2 = 4

2 = 63 ).

� Das von den natürlichen Zahlen wohlbekannteKonzept des Nachfolgers existiert im Kontext vonBruchzahlen nicht mehr, denn die rationalen Zah-len bilden eine dichte Teilmenge der reellen Zahlen.Jedoch kann an dieser Stelle in Klasse 6 kein fach-lich einwandfreies Konzept von Dichte vermitteltwerden.

� Die Frage nach der größeren von zwei vorgegebe-nen natürlichen Zahlen ist weitgehend einfach un-ter Rückgriff auf die Ziffernschreibweise zu beant-worten. Das Konzept der Größe von Bruchzahlenunterscheidet sich hiervon grundlegend. So ist et-wa 8

9 < 76 , obwohl 8 > 7 und 9 > 6. Dieser Schritt

bereitet Schülerinnen und Schüler zum Teil erhebli-che Schwierigkeiten, wenn sie an Konzepten natür-licher Zahlen festhalten. So sind Schülerantwortenkeine Seltenheit, in der 8

9 fälschlicherweise als dergrößere Bruch interpretiert wird, „weil der Zählergrößer ist“.

� Auch die Interpretation grundlegender Rechenope-rationen verändert sich bei der Zahlbereichserwei-terung. Gängige Grundvorstellungen, etwa der Mul-tiplikation als „wiederholtes Addieren“, verlierenoder verändern ihre Bedeutung. Auch, dass „Multi-plizieren vergrößert“ verliert seine allgemeine Gül-tigkeit. So kann z. B. die Rechnung 1

2 · 4 weder alswiederholte Addition von 4 erklärt werden, noch ist

das Ergebnis 2 größer als der zweite Faktor 4.

Man geht davon aus, dass Schülerinnen und Schülererhebliche Probleme bei der Entwicklung einer tragfä-higen Vorstellung von Bruchzahlen haben, wenn siean Konzepten natürlicher Zahlen festhalten. In derFachdidaktik und der Psychologie ist diese Schwie-rigkeit als Natural Number Bias bekannt.

Es hat sich gezeigt, dass eine Fokussierung im Un-terricht auf arithmetische Operationen sowie den Um-gang mit der formal-symbolischen Schreibweise vonBrüchen alleine meist nicht gewinnbringend ist. Viel-mehr wird angenommen, dass gerade im Anfangs-unterricht der Bruchrechnung die Verwendung bild-hafter Darstellungen sowie der durch die Lehrkraftangeleitete und beständige Wechsel zwischen un-terschiedlichen Repräsentationen von Brüchen sehrpraktikable fachdidaktische Herangehensweisen dar-stellen. Gerade in diesem Zusammenhang wird auchdigitalen Unterrichtsmedien bereits seit geraumer Zeitein großes Potential beigemessen (z. B. Lesh, Post &Behr, 1987).

22

Bruchrechnen mit Tablet-PCsbegreifbar machen

Brüche als Teil vom Ganzen

Das operative Vorgehen bei der Bildung eines „Teilsab vom Ganzen“ erfolgt für ikonische und symbolischeDarstellung gleich: Zunächst wird das Ganze identi-fiziert. Anschließend wird es in b gleich große Teilezerlegt (en.: partitioning). Von diesen Teilen werden aStücke genommen. Das Resultat ergibt den gesuch-ten Bruchteil (z. B. Behr, Lesh, Post & Silver, 1983).Diesem Vorgehen liegt eine operative Vorgehenswei-se zu Grunde. Es ist dabei unabhängig davon, obdas Ganze ikonisch kontinuierlich, diskret, oder for-mal symbolisch angegeben wird (Baturo & Cooper,1999).

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 18. In der interaktivenAufgabe 17 sollen Teile vom Ganzen nach dem obenerläuterten Schema berechnet werden. Erläutern Sie,wie eine vorhergehende Bearbeitung ikonischer Auf-gaben den Lernprozess in dieser interaktiven Aufga-be unterstützen kann. In welcher Form erfolgt dieseUnterstützung in der interaktiven Aufgabe?

Operatives Vorgehen bei der Bildung eines Teils vom Ganzen (Reinhold, 2018).

ikonisch,kontinuierlich

ikonisch,diskret

formal,symbolisch

Identifizierendes Ganzen

6

Zerlegen in dreigleich große Teile 6 : 3 = 2

Nehmen von zweisolchen Teilen

2 · 2 = 4

Lösung

Das operative Vorgehen kann für Schülerinnen undSchüler zu Beginn der Bruchrechnung eine erheb-liche Herausforderung darstellen. Eine Einführungzunächst anhand konkreter Handlungen und ikoni-schen Darstellungen kann hier zu einer kognitivenEntlastung führen und den Lernprozess von Kinderngeeignet unterstützen (Bruner, 1977). Das in der inter-aktiven Aufgabe implementierte System abgestufterLösungshilfen greift auf die Anschauungen der kon-kreten Handlungen „Zerlegen“ und „Vervielfachen“zurück.

23

Kapitel III

Teil mehrerer Ganzer

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 24. In der interaktivenAufgabe 24 sollen Schülerinnen und Schüler Schoko-lade von drei Schokoriegeln gerecht an vier Kinderverteilen. Im Anschluss daran sollen die Fragen inAufgabe 25 beantwortet werden. Erläutern Sie denUnterschied in der oben dargestellten operativen Vor-gehensweise zur Bildung von Anteilen von Ganzenund dem in Aufgabe 24 motivierten Vorgehen.

Lösung

In der bisher dargestellten operativen Vorgehenswei-se wurde zuerst „Zerlegt“ und anschließend „Verviel-facht“. Die konkrete Verteilungssituation in der interak-tiven Aufgaben 24 motiviert eine andere – gleichwer-tige – Vorgehensweise: Zuerst wird „Vervielfacht“ unddanach „Zerlegt“. Durch die zu beantwortenden Fra-gen können Schülerinnen und Schüler dazu angeregtwerden, über die Gleichwertigkeit beider Vorgehens-weisen nachzudenken.

Widget 24: Verteile die drei Schokoriegelgerecht an die vier Kinder.

24

Bruchrechnen mit Tablet-PCsbegreifbar machen

Größenordnung von Brüchen

Für die Entwicklung von tragfähigen Vorstellungenzum Bruchzahlbegriff kann neben der operativen Vor-gehensweise zur Bestimmung des „Teils vom Gan-zen“ auch ein konzeptuelles Verständnis für die Grö-ßenordnung (en.: magnitude) von Brüchen hilfreichsein (Meert, Grégoire & Noël, 2010). Eine solche eherintuitive Vorstellung von der „Größe“ eines Brucheskann durch Übungen an kontinuierlichen ikonischenDarstellungen ohne Unterteilungen unterstützt wer-den (Carraher, 1993).

Widget 10: Markiere den Bruchteil des Kreises.

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 13. In der interaktivenAufgabe 10 sollen Schülerinnen und Schüler einenvorgegebenen Anteil am Kreis markieren. BearbeitenSie einige Teilaufgaben. Überlegen Sie dann, warumdie Ausbildung intuitiver Vorstellungen zur Größen-ordnung von Brüchen eher mit dieser interaktivenAufgabe auf Touchscreens gelingen kann als mit ent-sprechenden Aufgaben auf Papier.

Lösung

Bei der Bearbeitung mit Papier und Bleistift tendierenSchülerinnen und Schüler eher dazu, auf operativeVorgehensweisen zur Bestimmung des Anteils zurückzu greifen: Etwa werden konkret Winkel berechnetund eingezeichnet. Durch die Verwendung von pas-senden Gesten und die Möglichkeit zum kontinuier-lichen Färben des Flächenstückes werden eher in-tuitive Lösungen angesprochen. Diese müssen nichtzwangsläufig vollständig korrekt sein – die interaktiveAufgabe bewertet auch „ungefähr“ richtige Antwortenals korrekt. Tatsächlich greifen Kinder hier auf andereLösungsstrategien zurück (Hoch, Reinhold, Werner,Richter-Gebert & Reiss, 2018).

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Kapitel III

Verfeinern und Vergröbern einer Einteilung

Aufbauend auf der „Teil vom Ganzen“-Vorstellungkann das Erweitern des Bruches 1

2 mit 2 als Ver-feinern der Einteilung eingeführt und veranschaulichtwerden – zunächst als Zerschneiden einer halbenPizza in zwei gleich große Stücke und im Anschlussals Einzeichnen einer geeigneten Linie im Kreisdia-gramm. Dann kann unter Rückgriff auf diese bildhaf-ten Darstellungen ein formal-symbolischer Zugangzum Erweitern als arithmetische Operation zur Er-zeugung wertgleicher Brüche motiviert und illustriertwerden: Das Zerschneiden der Pizza führt zum einendazu, dass die Pizzastücke halb so groß werden undzum anderen dazu, dass nun doppelt so viele Stückevorhanden sind – kurz 1

2 = 24 (z. B. Lamon, 2012).

Widget 35: In den Kreisen sind Brüchedargestellt. Es gehören drei zusammen.

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 34. In der interakti-ven Aufgabe 35 müssen Bruchzahlen in symbolischerDarstellung je zwei unterschiedlichen ikonischen Dar-stellungen am Kreisdiagramm zugeordnet werden.Bearbeiten Sie die interaktive Aufgabe. Nennen SieVorteile des Arbeitens auf dem Tablet-PC gegenübereiner ähnlichen Aufgabe auf Papier.

Lösung

Es kann eine unbegrenzte Anzahl an Teilaufgaben ge-neriert werden. Der Schwierigkeitsgrad kann adaptiverhöht werden. Die Bearbeitung einzelner Teilaufga-ben kann viel schneller erfolgen, als auf Papier. DieZuordnung geschieht über Antippen und Hervorhe-ben der entsprechenden Symbole – diese müssennicht umständlich verbunden werden. Bereits korrektzugeordnete Bruchzahlen verschwinden und stellensomit für die weitere Bearbeitung keine irrelevante ko-gnitive Belastung dar. Falsche Zuordnungen werdensofort zurückgemeldet.

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Bruchrechnen mit Tablet-PCsbegreifbar machen

Erweitern und Kürzen

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 36. Bearbeiten Sieeinige Teilaufgaben der beiden interaktiven Aufga-ben 43 und 45. Erläutern Sie Unterschiede und Ge-meinsamkeiten der beiden Varianten der Aufgabe.

Lösung

In beiden interaktiven Aufgaben soll das Erweiternvon Brüchen eingeübt werden. In Aufgabe 43 sind dieBrüche ikonisch im Rechteckdiagramm dargestellt,in Aufgabe 45 symbolisch als Bruchzahlen. Wird dieAufgabe korrekt gelöst, wird das Ergebnis zusätzlichdurch die jeweils andere Darstellungsebene veran-schaulicht. Bei falschen Antworten wird erklärendesFeedback gegeben. Den Schülerinnen und Schülernstehen zur Bearbeitung der Aufgaben gestufte Lö-sungshilfen zur Verfügung.

Erweitern und Kürzen von Brüchen (Reinhold, 2018).

GröbereEinteilung

6:28:2 = 3

4

Kürzen

Vergröbern

Weniger &größere Stücke

Zähler & Nen-ner durch 2

UrsprünglicheEinteilung

68

Erweitern

Verfeinern

Mehr & kleinereStücke

Zähler & Nen-ner mal 2

FeinereEinteilung

6·28·2 = 12

16

Widget 43: Mit welcher Zahl wurde der Brucherweitert?

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Kapitel III

Größenvergleich von Brüchen

Es zeigt sich, dass Schülerinnen und Schüler, diein Größenvergleichsaufgaben gute Leistungen erzie-len, über eine Vielzahl von unterschiedlichen Ver-gleichsstrategien verfügen, die sie flexibel und an diekonkrete Problemstellung angepasst einsetzen kön-nen (Clarke & Roche, 2009). Basis dieser Strategiensind dabei zum Teil spezifische Eigenschaften deszu vergleichenden Bruchpaares. Diese können etwaunter Rückgriff auf ein zugrundeliegendes Verständ-nis für die Größenordnung beider Brüche offengelegtwerden (Meert et al., 2010; Reinhold, Reiss, Hoch,Werner & Richter-Gebert, 2018).

Widget 77: Entscheide, ob der Bruch rechts oderlinks von ein Halb auf dem Zahlenstrahl liegt.

Aufgabe

Öffnen Sie das iBook auf Seite 58-59. In den interak-tiven Aufgaben 77, 78 und 79 wird sukzessive einesolche Größenvergleichsstrategie entwickelt. Arbei-ten Sie sich durch diese kurze Unterrichtssequenzhindurch. Wie ist die Sequenz aufgebaut? WelcheRolle nimmt das digitale Medium ein? Welche Eigen-schaften müssen Paare von Bruchzahlen erfüllen,damit sie nach diesem Vorgehen verglichen werdenkönnen? Was unterscheidet das Vorgehen vom ope-rativen Ablauf zum Größenvergleich zweier beliebigerBruchzahlen, der auf Seite 64 im iBook vorgestelltwird?

Lösung

Zunächst sollen die Schülerinnen und Schüler einkonzeptuelles Verständnis dafür entwickeln, wann einBruch kleiner oder größer als 1

2 ist. Hier wird im iBookmit zwei interaktiven Aufgaben mit unterschiedlichenikonischen Darstellungen gearbeitet: dem Rechteck-modell und dem Zahlenstrahl. Im Anschluss wird einetransitive Argumentationsstrategie dargestellt: Wennein Bruch weniger ist als die Hälfte (z. B. 2

5 ) und einBruch mehr ist als die Hälfte (z. B. 4

7 ), dann lassensie sich leicht vergleichen ( 2

5 < 12 < 4

7 ). Bei diesemVorgehen spielt ein konzeptuelles Verständnis vonBruchzahlen eine weitaus größere Rolle als algorith-misch abzurufende Regeln (Reinhold et al., 2018).

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Bruchrechnen mit Tablet-PCsbegreifbar machen

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Literatur

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