TuRANsche Determinanten, mit elliptischen Funktionen gebildet

Von LOTEAR KOSCHMIEDER in Bagdad

Dem Gedenken an HERMA" LUDWIG SCHXID gewidmet

(Eingegangen am 23.10.1957)

1. In einer voraufgehenden Mitteilungl) bewies ich, da13 JACOBIS ellip- tische Funktionen ym (u) = I. sn mu, 11. cn mu, 111. cd m u , IV. sd mu *) (m = 1, 2 , 3 , . . .) je eine 'IhmANsche Folge bilden, d. h. darj hinsichtlich der reellen Veranderlichen u die HmxLschen Determinanten

negativ sind in einem Cebiet, dessen Liinge von m unabhangig ist. In den Fallen I , . . . , IV hat jedes Gebiet diese Eigenschaft, bei Ausschlul3 der Punkte u = 2 h K mit ganzem h , in denen %,,,(u) = 0 ist. Abweiohend davon liefern die Funktionen V. dn mu, VI. nd mu keine MAmchen Folgen .

Hier werde ich die Untersuchung auf die sechs iibrigen JAcoBIschen Funktionen ausdehnen. Das ist leicht bei den vier Funktionen VII. ns mu, VIII. nc mu, IX. dc mu, X. ds mu, die die Kehrwerte von I., II., III., IV. rind : in verstandlicher Bezeichnung ist

Die beiden ubrigen Funktionen XI. sc mu, XII. cs mu erfordern eine etwas weitladigere Erorterung ; obwohl auch sie Kehrwerte voneinander rind, werde ich sie gesondert behandeln.

Da %,(u) fur alle zwolf Funktionen die Periode 2K besitzt, kann man sich damit begniigen, sb, (u) in --R < u 5 K zu priifen; da 9, (u) ferner

1) J..Ber. Deutsch. Math.-Verein. 80, 3-6' (1957); weiterhin rnit A angefuhrt. 1) Ich bediene mich der von GUSHER herriihrenden Bezeichnung (siehe A. G. GREEX-

BILL, The Applications of Elliptic Functions, London 1892, S. 17), auch fur die Funktionen 80 u, c8 u , die meiat tn u , ctn u genannt werden. - In bezug auf die iibrigen in JACOBIS. Lehrgebiiude herktiimmlichen Zeichen, die ich ohne Erkkwng benutze, sei auf GREEXJ~ILLS Buch oder auf F. TIUCOMI, Funzioni ellittiche, Bologna 1937, verwiesen. - Wie in A. 80 gdte euoh hier O < E < 1.

266 Koschmieder, Turhnscbe Determinanten elliptischer Funktionen

eine gerade Funktion ist, dad man sich sogar auf den Bereich 0 5 usa beschiinken, der 8 heiSe. - Ich werde mich der bequemen Abkiirzung(l s n u = s , o n u = c , d n u = d , anmu=& cnmu=C, dnnzu=D dienen. Es wird sich zeigen, daS keine der Folgen VII., . . .) XII. von TUB&

scher Art ist. Die reellen Stellen des Zeichenwechsels der DeterminmM %,,,(u) bei ihrem Durchgang durch Null oder das UnendIiche werden drSicklich angegeben werden.

A, (2.1) mit a = 1, /? = 0 2. Fiir Q = sn(m - 1) u , B = an mu, L = sn(m + l)u fand eich i#

folglich erhalt man im Falle VII nach (1.2) fiir m = 2 , 3 , . . . ns(m-1 )u nsmu nsmu n s ( m + l ) u

% (u) =I (1 -kk8S') .') 8%

= ns (m- 1) 'ZL ns2 m u ns (m+ 1 ) u - kL 8l

Der We& u = 0 ist ein doppelter Pol von %I,,,@). Der letzte Ausdrua dieser Determinante zeigt, dal3 sie daa Vorzeichen des Mdwertes

P(u) = an (m + 1) usn(m - 1) u hat. Die Nullstellen seiner beiden Malteile, alle einfach, sind

K , 0 < 2 1 S m + l ; 21 (2.1) v, =m+7

mit ganzen 1, p . Zwei davon fallen dann und nur dam zusammen, we- mit A > P ,

'=- A P A + P - m ; -- r n f l m-1 ' A - p

wegen 1 + p l ; m tria dies nur zu, w e n n 1 + p = r n , 1 - p = l 1 , d.4, wenn m ungerade und (2.3) A = (m+ 1)/2) /A='("- 1)/2

ist. Bei u = + 0 beginnt Sm(u) seinen Lauf mit positivem Zeichen; dM Stellen des Zeichenwecheels von B,(u) sind, der GroSe nach geordnet,

(2.4) V , < W * < V , + 1 , 0 < 2 v s m - 1-

Bei ungeradem m ist die letzte, auf den Zeiger v = (m - 1)/2 beztigliou dieser Ungleichungen [mit v + I = 1, Y = ,u in (2.3)] durch die folgenb zu ersetzen:

m - 1 (2.5) V(,- I)/$? = m+l K (~(,-1)/2=K=v(,+l,/,.

8 ) .Man leae m* mu = (ns mu)% und entapreohend in lhnlichen Fillen.

Koschmieder, Turhnsche Determinanten elliptischar Funktionen 267

Aus (2.1), (2.2) und (2.4) entnimmt man

(es bedarf hier und weiterhin nur grober Abachiitzung fur fast alle m).

Bei ungeradem m ist der letzte Unterschied v ( , + ~ ) ~ ~ - w ( , - , ) ~ ~ nach (2.5) gleich 0 . Wie dem auch sei, die Strecken, auf denen %,(u) sein Zeichen behlllt, haben Liingen, die von m abhiingen und mit m + 00 gegen 0 streben. Daher liefern die Funktionen VII. ns m u keine ”mdmche FoIge.

3. Fiir Q = cn (m - 1) u , El = cn m u , L = cn (m + 1) u ergab sich in A, (3.1) mit a = 1, = 0

( D 4 f k 2 k ” S 4 ) , 81

1 - &‘a’ 8 8 G L - H 2 = -

und dies fiihrt nach (1.2) zu

n c ( m - 1 ) u ncmu no mu no (m+ 1 ) u

8s .

(u) , von der 5Dm (u) in 9 mit positiven Werten eintritt. %,(u) hat das Voneichen des Malwertea Q (u) E cn (m - 1) u cn (m + 1) u . Die Nullstellen seiner beiden Malteile, alle einfach, sind, mit ganzen A , p,

% (4 = 1 = nc (m - 1) u nc*mu nc (m + 1) u l -kLg8s8r (D* + kg k’a84) .

= 0 liefert eine doppelte Nullstelle von

K , 0 < 2 A + l S m + l , 28+1 v, = - (3.1) rn+ l

(3.2) w , , = 2 g ~ , 0 < 2 p + l < m - 1 ,

A + p + 1 I; m . Nur dann fallen v1 und w,, zusammen, wenn, mit A> p , 28+1-21*+1 A+p+l m + l m - 1 ’ A - p = m ; I + p + l = m , A - p = l , ---

so daI3 m gerade sein muB und (3.3) A = mf2, p = m/2- 1

wird. - Die Stellen des Zeichenwechsels von sS,(u) sind, nach der GroDe geordnet,

(3.4) V” < wv < vv+l , 0 < 2 Y + 1 I; rn - 1 .

1st m gerade, so tritban Stelle der letzten, auf den Zeiger Y = (m - 2) /2 beziigliohen Ungleichung [mit v + 1 = A , N = p in ( 3 4 1 die folgende

m-1 (3.5) v(m- e)/z = mfl K < u ( m - z)/e = K = Vmp.

268 Koschmieder, Turhnscbe Determinanten elliptiscber Funktionen

Aus (3.1), (3.2) und (3.4) folgert man, da13

(3.6)

(3.7)

Bei geradem m wird der letzte Unterschied nach (3.5) von 0 vertreten.

{nc mu) keine TmtdNsche Folge ist. Nach diesen Formeln schlieot man wie am Ende der Nr. 2, deS VIII,

4. I n A, 4. wurde bewiesen, dal3 die Determinante cd(nh-l)u cdmu

a m (11) = I cd mu cd (m + 1) u

entlang der ganzen u-Achse negativ ist mit Ausnahme der Punkte u = 2 h K, wo %,(u) = 0. Nach (1.2) ist die Determinante der Kehrwerte

dc(m-1)u dcmu m m (u) = 1 dc mu dc (n+ 1) u

dn (m - l )udn* mu dn(m + 1 ) u cn (m - 1) u cns mu cn (m + 1) u 'm (u)* L- -

Da der Zahler des Bruches rechts immer positiv ist, so hiingt das Zeichen der linken Seite von dem in Nr. 3 erorterten des Malwerts &(u) ab. Man erkennt so, daB IX. {dc mu> keine ToRANsche Folge ist.

5. In A, 4. war such gezeigt, daI3 die Determinante (sd (m- 1) u sd mu

sd (m.+ 1) u %am (4 = Isd uberall negativ ist, die Punkte u = 2 h K ausgenommen, wo am(u) = 0, Nach (1.2) findet man fur m = 2, 3, . . .

ds (m-1) u ds m u 6 m (u) = (dsmu ds.(m + 1) u

dn (m - 1 ) u dn2 mu dn (m + I)u an (m - 1) u an2 m u En (m + 1 ) u

-- (u) a --

Das Zeichen der Determinante Bm(u) richtet sich daher nach dem in 2, besprochenen des Malwertes P(u) . Mithin ist auch X. (ds mu} keine T W I N . sche Folge.

6. Um jetzt zu XI. qrn (u) = sc mu uberzugehen, ersetze.man u in A, (2.1) durch i u und bediene sich der Verwandlung') sn (i z , k) = i ac (2, k') ; mi4 # = s n [ ( m - l ) i u , k ] , H = s n ( m i u , k ) , L=sn[ (nz+ I ) i u , E ] erhiilt

4 ) Siehe TRzc01161, Funzioni ellittiche, BoIogne 1937, S. 116.

Koschmieder, Turhnsche Det.erminanten elliptischer Funktionen 269

LZIbn 1 sc [(m - 1) u , k'] sc (mu, k') ISC (mu,k ' ) s c [ ( m + 1 ) u , k ' ]

G L - H2 = - i

- -- (l--k'T4)! wo i=sC(u,k'), T = s c ( m u , k ' ) . it - _ _ - -

1 - k'te T? Driickt man den gefundenen Wert durch sn (u, k') = S , cn (u, k') = C,

dn (u , k') = d , sn ( m u , k') = S, cn (m u , k') = C, dn (m u , k') = D aus, so dmmt er die Gestalt an

- - -

Man unterdriicke jetzt die Querstriche, d. h. man ersetze k' durch k ; drnn wird auf Grund der Forme16) sn (u + K) = cd u die mit sc (m u, k) pbildete TuRANsche Determinante

1 sc [(m- 1) U, k] sc (mu, k) (') = 1 sc (mu, k) sc [(m+l)u, kl (6.1)

Dieses Ergebnis kann man bestltigen, indem man von der entsprechen- den mit mu) = dn m u gebildeten Determinante A, (3.1) ausgeht und die Beziehungen5) dn ( z + K + i K') = i k' sc z und sn ( z + K + i K') = (dc z)/k rechts anwendet.

7'. Das Vorzeichen des Ausdrucks (6.1) bestimmt der letzte in ihm auf- tretende Bruch. Bedenkt man, daB cs ( K / 2 ) = 1/v ists), so sieht man, daB die Nullstellen seines Zlhlers u1 = (2 A + 1) K/(2 m) , 2 1 + 1 < 2 m , sind. Bie sind alle einfach; denn die Ableitung z. B. des Malteils C - l/gS, niimlich - m D (S + YFC), hat dort den Wert f m vk' (1 + k') + 0 . Ahn- liche tfberlegung fur den zweiten Malteil C + S. Die beiden Malteile haben keine Nullstelle gemein. - Die Nullstellen des Nenners in (6.1) Bind vp = ( 2 p + 1) K / ( m + 1) und, wenn m> 1 ist, wp = ( 2 p + 1) K / ( m - l), 2p + 1 5 m 1. Sie sind dann gleichfalls alle einfach, wovon man sich wie folgt uberzeugt : Man betrachte den Malteil M (u) = sn mu - sn (u + K) . seine Ableitung ist

M' (u) = m cn mu dn m u - cn (u + K) dn (u + K)

cnmv = f1 - sn2mv = f c n (v + K), dn mv = dn (v + K) oder, weil H ( v ) = 0 ') und daher

i d , (6.2) M'(v ) = ( & m - 1) cn (v + K) dn (v + K).

5 ) Siehe TRroxr, a. a. O., 6. 119. a) Siehe T B I c o ~ , a. a. O., S. 121. 1 ) u eteht kurz far u1.

270 Koschmieder, Turhnsche Determinanten elliptischer Funktionen

Der erste Malteil verschwindet nur fur den vorher bei Seite gelassene8 Sonderwert m = 1, der nach (6.1)

sb,(u) = - so2 (u, k) liefert ; sbl (u) verachwindet also in 9 nur an u = 0 . - Der dritte Maltdl von (6.2) ist stets positiv; ware der' zweite 0, so ware v = 2 h K mit gem zem h , was auBer dem schon behandelten v = 0 nicht in Betracht kommb, - Ebenso beweist man die Einfachheit der Nullstellen des Malted N ( u ) = an m u + an (u + R) . - Wie im AnschluB an (3.1) gezeigt wurdbr stimmen endlich v, und wp nur in dem Ausnahmefalle (3.3) uberein.

Die Werte u, weichen im allgemeinen von denen der vp, w,, ab; denu fielen z. B. u, und v,, zusammen, so hatte man m = (2 1 + 1)/(4 p - 2 1 + 1) mi% einem Zahler < 2 m . Daher kann der Nenner (eine game Zahl, dh positiv sein muB, da sonst der Bruch negativ ware) den Wert 1 nicht i i b d schreiten, ist folglich gleich 1. Der Zlihler mu13 dann m sein, so da13

1 = (m - 1)/2, 4 p - 2 1 = 0 , p = (m - 1)/4, m E 1 (mod 4)

zu schliel3en ist. Fiir solche Werte von m , 1 , p stimmt ausnahmsweise U,

mit up iiberein, und beider gleicher Wert ist K/2 . - Eine entsprechend0 uberlegung zeigt, daB u, mit w,, nur dann zusammenfallt - und zwar in K / 2 -, wenn

ist. 1 = (m - 1)/2, p = (m - 3)/4, m E 3 (mod 4)

8. Nach der GroBe geordnet, sind die Stellen des Zeichenwechsels

(8.1) fiir v = (m - 3)/4, v = 3 (mod 4) haben die beiden letzten Glieder dieser Ungleichung den gemeinsamen Wert K/2, der daher (wie auch in ent- sprechenden weiteren Fallen) als Zeichenwechselstelle ausgeloscht wird, und statt (8.1) gilt

% v < v, < w, < u ~ , , + ~ , wenn v < (m - 3)/4;

Dagegen ist (8.2) v, < u2,< u ~ ~ + ~ < w,, fur v = (m - 1)/4, v =- 1 (mod 4) gilt statt dessen

wenn Y > (m- 1)/4;

E k e Ausnahme macht der Fall m = 2 (mod 4) ; dann gibt es zwischen (m - 3)/4 und (m - 1)/4 eine natiirliche Zahl, namlich (m - 2)/4, und reiht sich zwischen (8.1) und (8.2) eine weitere Ungleichung, niimlich

Koschmieder, Turhnsche Determinanten elliptischer Funktionen 27 1

%(4=

Die positiven Unterschiede benachbarter Zeichenwechselstellen sind b (8.1)

cs (m- 1) u cs m u 8 2 ca - s= l)a I=@ S2-@ * c s ( m + l ) u , carnu

a d , weil 2 9 + 1 < 2 m , in (8.2)

h e r beim nergange von (8.1) zu (8.2) [d. h. mit dem kleinsten natiirli- dben Y > (m - 1)/4]

Sie hangen alle von m ab und etreben mit m -+ 00 gegen 0. - Das- ,#lbe gilt beim ubergange von (8.1) zu (8.3), und von (8.3) zu (8.2),

272 Koschmieder, Turhnsche Determinnnten elliptischer Funktionon

Hierin sind erster und dritter Malteil von 0 verschieden, der zw#l ware nur fiir v = K gleich 0, also ist W ( v ) =# 0 im Innern von 9. Iola sprechendes gilt fur den zweiten Malteil N(u) = sn m u + sn u von fl Die Werte vp, w, sind nach 2. - von der Ausnahme (2.3) abgeaehen' a

paameise verschieden. Das trifft im allgemeinen auch auf die Paare d Zahlen u, , up und u, , wp zu; denn sonst hatte man nach deren oben anS( gebenen Werten

(10.1)

(10.2) 2 6 + 1 m=f 4 p - 2 6 - 1

Man nehme erstens das positive Zeichen. Dann mu13 in (10.2) der giq( zahlige Nenner positiv sein; er darf, da der Zahler 2 1 + 1 ;< 2 m ist, Wert 1 nicht uberschreiten und ist somit genau gleich 1. Folglich ist

4 p - 2 2 - 1 = 1, 1 = (m - 1)/2, p = (m + 1)/4, m = 3 (mod 4)

i Der in diesem .Ausnahmefalle gemeinsame Wert von u und v ist K / 2 , Gilt in (IO.l), (10.2) das negative Zeichen, so ist der Nenner in (10, negativ; ahnlich wie vorher schlieBt man

21--4p+1=1, 1=(m-1)/2, p=(rn-1 ) /4 , m s l ( m o d . 4 ) ,

11. Der GroBe nach folgen die Stellen des Zeichenwechsels so aufeln ander : (11.1)

(11.2)

Fur v = (m - 1)/4 gilt statt (11.1)

a2v- l< v, < w, < u Z v ,

v, < u2, - < uz < w, , wenn v < (m- 1)/4 ;

wenn v > (m + 1)/4.

und fur v = (m + 1)/4 statt (11.2)

Im Ausnahmefall m = 0 (mod 4) schiebt sich zwischen (1 1.1) und (1 1 ,I die weitere Ungleichung ein

Die positiven Unterschiede benachbarter Zeilenwechseletellen sind 4 (11.1)

m-4v-1 1 ue,,- w, = -- 2m (m- 1) K < s K

Koschmieder, Turhsche Determinanten elliptischer Funktionen 273

,#M, weil 2 v + 1 < 2 m , in (11.2)

mlbr beim Obergange von (11.1) zu (11.2) [d. h. mit dem kleinsten natiir-

3 m - 4 v f 3

Nohen Y > (m + 1)/4] 1 K < , K . %- Un*-e = zrn (m+ 1 )

Beim ffbergange von (11.1) zu (11.3), und von (11.3) zu (11.2) gilt

Alle aufgeziihlten Unterschiede hiingen von m ab und streben mit m r, 00 gegen 0. Mithin ist XII. {cs m u> keine M h s c h e Folge.