Uber Analytische Deformationen Eines Rechtecks

Annals of Mathematics

Uber Analytische Deformationen Eines RechtecksAuthor(s): G. PolyaSource: Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 34, No. 3 (Jul., 1933), pp. 617-620Published by: Annals of MathematicsStable URL: http://www.jstor.org/stable/1968184 .

Accessed: 01/09/2013 02:10

Your use of the JSTOR archive indicates your acceptance of the Terms & Conditions of Use, available at .http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp

.JSTOR is a not-for-profit service that helps scholars, researchers, and students discover, use, and build upon a wide range ofcontent in a trusted digital archive. We use information technology and tools to increase productivity and facilitate new formsof scholarship. For more information about JSTOR, please contact [email protected].

.

Annals of Mathematics is collaborating with JSTOR to digitize, preserve and extend access to Annals ofMathematics.

http://www.jstor.org

This content downloaded from 128.151.244.46 on Sun, 1 Sep 2013 02:10:09 AMAll use subject to JSTOR Terms and Conditions

http://www.jstor.org/action/showPublisher?publisherCode=annals

http://www.jstor.org/stable/1968184?origin=JSTOR-pdf

http://www.jstor.org/page/info/about/policies/terms.jsp


UBER ANALYTISCHE DEFORMATIONEN EINES RECHTECKS1*

VON G. POLYA.

Eine lVberlegung von L. Ahlfors, die uibrigens in seinen vielversprechenden Untersuchungen uber den Picardschen Satz eine wesentliche Rolle spielt2, fuihrte mich zu einer geometrischen Aussage uber analytische Abbildungen, die wegen ihrer Einfachheit und Anschaulichkeit einer Mitteilung wert zu sein scheint (vgl. Satz I); mit ihrer Hilfe und zu ihrer Erlauterung will ich noch einen wohlbekannten funktionentheoretischen Hilfssatz (vgl. Satz II) auf neue Art und in verscharfter Form (vgl. Satz III) beweisen.

I. Ich spreche im folgenden, der Kurze halber, von der Deformation des

Rechtecks, wo ich eigentlich genauer von der Deformation des Rechtecks- randes sprechen sollte.

Alle Figuren, die wir im folgenden zu betrachten haben, liegen in einer Ebene, deren Punkte auf die uibliche Weise mit komplexen Zahlen bezeichnet sind. Unter Deformation eines Rechtecks verstehe ich eine eindeutige (aber im allgemeinen nicht ein-eindeutige!) stetige Abbildung des Rechtecksrandes. Die Deformation des Rechtecks ergibt also eine ge- schlossene stetige Kurve, die mehrfache Punkte haben kann.

Unter einer analytischen Deformation des Rechtecks verstehe ich eine Abbildung des Rechtecksrandes, die durch eine im abgeschlossenen Recht- eck regulare analytische Funktion entworfen wird. Heift eine solche Funktion f(z), so wird der Punkt w =f (z) die aus der analytischen Deformation resultierende Kurve dann durchlaufen, wenn z den Rand des Rechtecks beschreibt.

Zu je zwei gegeniuberliegenden Seiten des Rechtecks gehort ein Parallel- streifen; ich verstehe darunter das ins Unendliche sich erstreckende offene Gebiet, das zwischen den beiden Geraden liegt, in welche die betreffenden Rechtecksseiten verlangert werden konnen. Unter einer einseitigen Kom- pression des Rechtecks verstehe ich eine solche spezielle Deformation des Rechtecks, bei welcher die Bilder zweier gegentiberliegenden Rechtecksseiten ganz innerhalb des entsprechenden Parallelstreifens, die der beiden anderen

I Received March 8, 1933. 2Comptes Rendus, 194 (1932), pp. 245-247. Vgl. Lemma I.

617



618 G. P6LYA.

Rechtecksseiten hingegen ganz auflerhalb des zu ihnen gehorigen Parallel- streifens, u. zw. nach verschiedenen Seiten davon zu liegen kommen (wie

beispielsweise in Fig. 1, wo das Ent- I sprechen der Teile von Urbild und Ab-

bild durch gleiche Ausziehung hervor- gehoben ist). Die Seiten des Rechtecks und die entsprechenden Bogen der Bild- kurve sind als abgeschlossen zu denken. Es gilt der Satz:

I. Eine analytische Deformation cines Rechtecks ist nie eine einseitgqe Kompression.

I i~~ - -~~ ~ ~~ Die Konformitat der analytischen Ab- bildung laBt diese Aussage als ziemlich ,,plausibel" erscheinen. Der Beweis ist

Fig. 1. sehr einfach. Es darf angenommen werden, daB die Seiten des in der

z-Ebene gelegenen Rechtecks achsenparallel sind, die Siidwestecke des Rechtecks sei mit a + ib, die Nordostecke mit a + a + i (b + f) bezeichnet, so daBI a, b reell, a, fi positiv sind. Die die Deformation des Rechtecks- randes hervorbringende, im abgeschlossenen Rechteck regulare analytische Funktion heiBe

w ==f(z) - f(x+iy) = u(x,y)+iv(x,y);

es ist z x + iy gesetzt, x, y, u, v sind reell. Es genuigt offenbar, den Fall zu betrachten, in welchem die Bilder der beiden vertikalen Recht- ecksseiten aullerhalb des durch sie bestimmten offenen vertikalen Streifens liegen. Ferner darf man annehmen, daB3 das Bild der rechten Vertikal- seite rechts, das der linken links vom Streifen liegt. (Ware es umgekehrt, o genfigte es, die Bildfigur um den Mittelpunkt des Rechtecks um 1800

zu drelhen: lineare ganze Transformation von f(z)!) Die vorausgesetzte Situation der Bilder der beiden Vertikalseiten ergibt die Ungleichung

(t) Min [(a+a,y)- u(a,y')] > a. b',Iy, y'_cb+p

Urn so mehr gilt (2) a < Min [u(a+a,y) -u(a,y)].

- b'yb-b+#

Man beachte, daB f (z) dz (it+iv) (dx+idy),

entlang des betrachteten Rechtecksrandes erstreckt, verschwindet. Das Verschwinden des Imaginarteils ergibt



ANALYTISCHE DEFORMATIONEN. 619

fb+ [u (a+ a, y)- u(a, y)] dy =f [v(x, b?+ v-(x, b)] dx.

Folglich ist f8 * Min [u(a+a, y)- u(a, y)] < a Max [v(x, b + )-v(x, b)].

byb+,B a < wx aba

Dies mit (2) konfrontiert, ergibt

(3) ,6? Max [v(x, b+,8) -v(x, b)]. a < 'x aba

Um so mehr gilt (4) Max [v(x, b+,6) v(x', b)] _ .

ax, x'<a+a

Wir haben (4) aus (1) erschlossen. Das bedeutet aber: Wenn (vgl. (1)) die Bilder der Vertikalseiten aus dem offenen Vertikalstreifen von der Breite a ganz ausgeschlossen sind, so konnen (dies besagt (4)) die Bilder der Horizontalseiten nicht ganz in den offenen Horizontalstreifen von der Breite ,6 eingeschlossen werden. Damit ist aber der ausgesprochene Satz bewiesen.

II. Der eben bewiesene Satz I kann zu einem, wie mir scheint, neuen Beweise

des folgenden wohlbekannten Satzes' verwendet werden. II. Die analytische Funktion f (z) sei reguldr im Halbstreifen

(5) 1 < x < 1, y ? O

(z x+iy; x, y reell). Ferner sei

(6) lim f(-1+iy) = a, lim f(1+iy) - b. Y--+o y--+oo

Wenn a + b, so nimmt f (z) im Streifen (5) beliebig grojfe Werte an. Ohne Beeintrachtigung der Allgemeinheit darf angenommen werden, daf3

a = -2, b = 2 ist. Es gibt dann, gemaB (6), ein y,, so daB3

(7) 9ftf( 1 1+iy)<-1, 91f (1 +iy) >1 fiir y >yj

( w iheiBt Realteil von ?V). Es sei Y2 > yl. Die Vertikalseiten des Rechtecks

-1 < x < 1, Y, ? y ? Y2

werden durch f (z) auf Kurvenbogen abgebildet, die aus dem diesen Seiten entsprechenden Vertikalstreifen, gemaB (7), ganz hinausgedrangt sind; daher konnen, gemaB3 Satz I, die Bilder der Horizontalseiten des Rechtecks, ent-

3E. Lindelof, Memoire sur certaines inegalites etc., Acta Societatis Scientiarum Fennicae, 25 (1908), No. 7; vgl. S. 28.



620 G. POLYA.

worfen sei es durch f (z), sei es durch f(z) + ic, wo c reell, nicht ganz in den durch das Rechteck bestimmten Horizontalstreifen hineingedrangt sein: Fur passende x1, x2, wo -1 ? xi, x2 < 1, muBl somit

f (x2 + iy2) -f (xi+ iyi) I > Y2-Y

sein. Die rechte Seite wird aber mit y2 beliebig groB: Dies beweist den Satz II.

Eigentlich haben wir etwas mehr bewiesen, namlich: III. Die analytische Funktion f (z) sei reguldr im Halbstreifen (5), und

se soll fur x = -1 nur Werte annehmen, die einer abgeschlossenen Halb- ebene A, und fir x = +1 nur solche Werte, die einer abgeschlossenen Halbebene B angehdren, wobei A und B keinen gemeinsamen Punkt haben. Dann ist f (z) im Streafen (5) unbeschrankt.

Es kann Satz III, wie Satz II, durch konforme Abbildung verallgemeinert werden, was ich wohl nicht genauer auszufuhren brauche.

PRINCETON UNIVERSITY, PRINCETON, N. J.



Documents

Uber Analytische Deformationen Eines Rechtecks