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b~ber Beziehungen zwischen kubischen Raumkurven.

Yon

Tm RErE in StraSburg ~/E.

iI.*)

18. Beztiglich einer kubischen Raumkurve k s, d.h. beziiglich der ~ durch k s gehenden Fl~chen zweiter Ordnung, isl bekannflich einem be- liebigen Punk~e P ein Pnnkt P ' konju~er~ (vgl. G. &L. II, S. 180--184).**) Er liegt mit /~ auf einer Bisekante b yon k s und ist yon ~P harmonisch ge~rennt durch die Schniltpunkte yon k s und b, falls diese reell sin& Auf jeder Bisekant~ yon k s bilden die Paare konjugierler Punkte eine In- volution, deren Doppelpunkte auf k s liegen. Einem auf k s gelegenen Punkte slnd atle Punkte seiner Tangente konju~er~.

Den Punkten einer Geraden 1 oder Ebene q~ sind bezfiglich k a die Punkte einer ~aumkurve 13 oder Fl~iche F 8 driver Ordnung konjugier~. Es gibt also oo ~ kubische Raumkurven 1 s, deren Punk~e den Punklen je einer Oeraden 1 konjugier~ sind bezfiglich k s. Ist l eine Unisekante yon k 3, so zerf~llt 1 s in eine Tangente yon k s und einen Kegelschnitt. Ist ins- besondere l ein Schmiegungsstrahl yon kS~ so zerfgllt der Kegelschnitt in die Tangente nnd einen Schmiegungsstrahl l ' yon k s. Den Punkten einer Schmiegungsebene yon k s sind die Punkte einer kubischen Regelfl~che konjugiert, welche oo 1 Schmiegungsstrahlea yon k s enth~ilt (G. d. L. II S. 184).

19. Wit nennen ,auiokonju~er~" bezfiglich der kabischen Raum- kur#e k ~ jede Kurve oder Fl~che, deren Punkte paarweise konjugiert sind beziiglich k ~. Jede durch k 8 gehende F l ~ h e zweiter Ordnung ist auto- konjugiert beziiglich ks (18.). Ist eine kubische Raumkurve Z s autokonju- gier~ beziiglich k s, so liegt sie mit k 3 auf einer Regelfl~che ~ zweiter Ordnnng; denn sie hat mit ks die ~ Bisekant~n gemein, die ihre in be- zug auf k s konjugier~en Punk~e verbinden. Diese Bisekan~en sehneiden k ~ and 1 z in je zwei Punktepaaren, die, wenn sie reell sind, einander" har- monisch trennen. Jede der Raumkurven k s, 1 s ist also autokonjugier~ be-

*) Zusatz zu der Mi~teitung in den M~th. Ann. 68, S. A17--421. ~) Mit ,G. d. L." zitieren wir Reye, Geometrie der Lage, ~, Aufl., Bd. II u~ HI~

Leil~ig 1907--t0.

Kubische Rs-m~urven H. 587-

zfighch der ancleren. In jedem Schni~punkte yon k s und 1 s wird eine der beiden Raumkurven yon einer Geraden der Fl~che/~ berfihr~.

Abet gibt es denn kubische Raumkurven l ~, die bezfiglich einer ge~ gebenen k 3 au~okonjugier~ sind? Und wenn es solche gibe, wie bes~immt man sie?

20. Wir gelangen zu einer Beantwortung dieser Fragen mi~ Hilfe spezieller x~'~-Gebfische, die je sechs Punkte yon k s zu Grundpunlr~en haben. Ein solches Gebfisch bes~eht aus den c~ s Fl~chen $,2 zweiter 0rdo nung, die dutch sechs atff/~ gegebene Punkte 1, 2, 3, 4, 5, 6 gehen. Es en~h~l~ oo ~ Kegelfl~ichen, und deren Mit~elpunt~e liegen auf einer Fl~cheK 4 vierter Orduung. Diese ,Kernfl~che" K 4 des Gebtisches is~ autokonjugier~ beztiglich k 3 (vgl. G. d. L. III, S. 159); sie hat die sechs Grundpunt~ zu konischen Doppelpunkten und geht dutch deren 15 Verbindungsstrahlen, durch k s und die Doppelstrahlen der zehn Ebenenpaare des Gebtisches. Konjugier~e Punkte yon K ~ liegen auf je einer Bisekante b der Raum- kurve k 3 und sind dutch die Scbnittpunkte yon b und k s harmonisch ge- trennt, falls diese reell sin& Die Bisekante b sctmeidet alsdann K ~ in vier harmonischen Punkten. Daraus fotg~ (G. d. L. III, S. 160), dat~ die Kernfl~che K 4 yon den Tangenten der Raumkurve k 3 oskulier~ wird, also k s zur Haupttaugentenkurve h a t . - Das F~-Gebfisch is~ dutch k 3 und eine beliebige seiner o~ s Fl~chen bestimm~, seine Grundpunkte 1, 2,3,4~ 5,6 sind die sechs Schnittpunkte yon k s mi~ dieser Fl~che; sie k6nnen paar- weise konjugier~-ima~n~r sein, aueh kSnnen zwei oder mehrero yon ihnen zusammenfallen.

21. Die dttrch k 3 und die zwei Bisekanten 34, 56 gelegte Regel- fl~iche /~* zweiter Ordnung schneide~ die Kernfl~he K ~ in k ~, 34, 56 und einer kubischen Raumk-urve 1 s. Dieso U is~ zugleich mi~ K ~ und R * au~okonjugier~ beztiglich der Raumkurve k s. Sie schneide~ k s in den zwei Doppelpunk~en 1, 2 yon K ~ und in den Beriihrungspunkten A, B der auf 1~ liegenden zwei Tangenten yon k'~; diese oskulieren ja K * in A und B, sie kSnnen aber imagin~r seim In den Punk~en 1, 2 berahr~ die Rau m- kurve 1 s zwei der oO a u f / ~ liegenden Bisekanten yon k s (19.). Sie is~ durch die vier Punkte 1, 2, A, B und diese Tangenfen eindeu~ig bestimm~.

22. Die Grundpunkte 1, 2 des F*-Gebtisches k6nnen auf k ~ je oo ~ Lagen annebmen; auf der dutch k s gelegten Fl~che R * zweiter Ordnung gib~ es deshalb oo * lrabisehe Raumkurven l s, die bezfiglich der Raum- kurve k ~. au~okonjugiert sin&*) Durch einen Punlr~ P yon 1~* und den

�9 ) Die Raumkurve ~ ~indert auf /~' ihre Lage niche, wenn die Punk~epaare 3, ~ und 5, 6 mi~ zwei anderen vertausch~ werden, in denen k~ yon zwei it~rer ~o ~ auf ~ liegenden Bisekauten geschni~en wird. Sie ~mder~ sich abet mit der Lage der Pun_~e I, 2.

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ibm konjugierten ~" gehen ~1 yon ihnen. Sie bilden a u f / ~ einen Kurven- bfischel und schneiden die ~1 auf / ~ liegenden Bisekanten yon k s in Paaren konjugier~er Punkte. Zwei Paare beziiglich ~3 konjugierter Punkt~ LP, P ' und Q, Q', die auf _R ~, nicht aber auf derselben Bisekante Iiegen, kSnnen durch eine tier autokonjugierten Raumkurven 1 s verbunden wer- den; diese geht dutch die Berfihrungspunk~e A, B der zwei auf R ~ ent- hattenen Tangenten yon k s.

Ohne Benutzung der Punk~e A, B, die ja ima~niir sein kiinnen, be- s~immen wir diese Raumkurve 1 s wie fol~. Auf/~2 gehen dutch P , 1 )', Q und Q" o~ 1 kubische Raumkurven; sie schneiden eine a u f / ~ liegende Bisekante b yon k 3 in den Punktepaaren einer Involution. Diese hat mit der Iuvolution der bezfiglich k 3 konjugier~en Punk~e yon b ein Punkte- paar _R,/~' gemein, welches mit /), 1)' und Q~ Q' au~ jener autokonju- gierten Raumkurve I s liegt und sie bestimmt.

23. Beziiglich einer kubischen Raumkurve k s sind o~ ~ andere 1 a auto- konjugierk Jede tier c~ 2 Regelfli~chen /~ zweiter Ordnung, die dutch k ~ gehen, en~hi~li~ ~ yon ihnen. Durch zwei Punkte .P, Q, die nicht auf derselben Bisekante yon k s liegen, und die ihnen konjugierten / ) , Q' geht eine der Raumkurven l s (22.). Durch vier Punl~e yon k ~ gehen seehs yon ihnen; sie liegen auf je einer der sechs Fl~chen zweiter Ord- hung, welche k s mit den Tangenten yon je zwei der vier Punkie ver- binden ('21.). Die Kernfiiiche K ~ jedes speziellen F~-Gebfisches, d~s sechs reelle Punkte yon k s zu Grundpunkten ha~, enthiilt 45 der beziiglich k 3 autokonju~erten Raumkurven l 3.

24. Einer RegeIfliiche /~-~ zweiten Grades, die zwei ffir einander au~- konju~er~e kubische Raumkurven /;s, /3 enth~lt, sind t~ings tier Kurven zwei kubisehe Ebenengewinde ~ , s umbeschrieben. Diese sind bzw. zu k 3, 1 a polar beziiglich /~, sie haben die ~ auf /~ gelegenen Bisekanten yon k s und ~ zu gemeinsamen Biplanarer~ und bestehen aus den Schmie- gungsebenen yon zwei anderen kubischen l~mnkurven. Die in je einer tier Biplanaren sich schneidenden Ebenen yon ~ (oder ~s) sind konjugier~ in bezug auf ~ (bzw. is), also harmonisch ge~rennt dureh zwei Ebenen dieses anderen Gewindes, falls lelziere reel] sind. Deshalb nennen wir jeeles der babischen Ebenengewinde u~ 1 s ,,aut, okonjugiea4" beziiglieh des anderen.

25. B e z ~ c h eines kubischen Ebenengewindes u s sind o~ a andere ).~ autokonjugier~: Jeder Regelfl~che/~ zweRen Grade% die yon u s eine Schar Biplanaren enth'~tt~ sind c~ ~ dieser ~ umbesehrieben (22.). Sie schicken dureh jede der Biplanaren Ebenenpa~ e einer Involution, deren Doppel- ebene~ in dem Ge~vi~de ~s li~en. Die Involution is~ symmetrisch bezf~g- lieh einer jeden ihrer zwei Doppelebenen, wenn diese sieh r ech~nk l ig

Kubisehe R~mkurv~ It. ~

sehneiden. Nun kann aber das Ebenengewinde z s der Fl~ohe ~ so umr beschrieben sein, da$ sieh in jeder seiner r ~ Biplanaven auf / ~ zwei seiner Ebenen reehtwinklig sehneiden; es mSge in diesem Falle ,ortJao- gonal-involutorisch" heil~en. Die e J der 2~ ~ umbesekriebenen Ebenen- gewinde )2 sehieken dann dureh jede der c~ 1 Biplanaren Paare yon Ebenen, deren Fl~ehenwinkel yon zwei Ebenen des Gewindes x s gehElf~ef werden. Eine Konstruktion des orthogonal-involutorischen Ebenengewindes ergib~ sieh aus folgenden Erwiig~mgen.

26. Die Schnittgeraden yon je zwei zueinander normalen Ebenen eines kubisehen Ebenengewindes liegen auf einer Regelfi~iehe seehs~en Grades*); im FaUe unseres orthogonal-involutorischen Gewindes x~ abet zerfgllt diese F1Kche in ~'~ und eine Fl'~he vierten Grades. Die in den Biplanaren a u f / ~ sieh rech~winktig sehneidenden Ebenen yon x a sind in einem ge- schar~ involutorischen Raume ~ einander zugeordnet (G. d. L. II, S. 174);

~-.sie und die iibrigen oo ~ Paare normaler, in .,~ einander zugeordne~er Ebenen "umhfillen ein gleichseitiges Paraboloid H ~ (G. d. L. II, S. 289). Das bi- quadra~ische Gewinde der gemeinsamen Berfihrungsebenen y o n / ~ und enth~It demnach aUe Ebenen des Gewindes x3 und ze~Rtl~ in x~ and einen orthogonal-involutorischen Ebenenbfischel erster Ordnung, dessen Achse v eine Fokalachse yon 2~ ist und a u f / ~ und //~ liege.

27. Der involu~orische Raum 2S is~ eindeutig bestimmt dutch seine Fokalachse v und die sie enthaltende Regel f l~he/~ zweiten Grades. Denn die Strahlen der einen Regelschar yon /~ sind in 2~ so gepaart, dab sie aus v dureh die Ebenenpa~re einer orthogonalen Ebeneninvolution pro- jizier$ werden, die andere Regelsehar abet besteh~ aus Doppelsta'ahlen yon 2?. Die S~rahleninvolu~ion der ers~eren Sehar wird aus den yon v verschie- denen S~rahlen der lekz~eren Schar dutch ov ~ in 2~ enthaltene Ebenen- involu~ionen projizier~; die oo i Paare normaler Ebenen dieser Involutionen bilden das or~hogonal-involutoMsehe Gewinde xs.

Da die Achse v a u f / ~ verschiedene oo ~ Lagen haben kann, so lassen sich der Regelfl~iche ~ zweiten Grades ~ x orthogonal-involutorische ku- bisehe Ebenengewinde umbeschreiben. Unter den oo ~ kubischen Ebenen- gewinden gib~ es demnach o~ ~ orthogonal-involutorische.

28. tiler mSgen einige Bemerkungen folgen fiber kubische Raum- km~ven k ~,/~, yon denen eine auf der Tangentenfl~che der anderen liegt. Die Tangenten yon k ~ sind auf einer abwickelbaren Ft~che T ~ vierter Ord- nung gelegen (G. d. L. It, S. 198); sie uncl die Sehmiegungsstrah!en yon ]~ sind sieh selbs~ ~geordne~ dutch die Nullkorrelation ~,, yon wele.her k ~ eine kubische Nullkurve is~. Durch v ist j e d ~ dutch k s gehenden t~e_k

*) Heinr. Kr~iger, Die Fokaleigenschaften der lml~_sehen R~aknrve~ ~ua~g.~ Diss.), Breslau 1885.

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fliiche R ~ zwei~en Grades eine F l ~ h e / ~ zweiten Grades zugeordnet. Eine Tangente yon L ~ nun beriihr~ nich~ nut zugle ich /~ sondern,' da sie sich selbst zugeordne~ ist, auch /~1~; ihr Berfihrungspunk~ mit / ~ (oder 2 ~) is~ dutch y der sie entJaal~enden Beriihrungsebene yon / ~ (bzw. Rt ~) zu- geordneh In den Punkten yon k saber wird die Fl~iche/~ yon den Ebenen eines kubischen Ebenengewindes ~s berfihrl, das zu der kubischen Raum- kurve k s polar ist in bezug auf R ~. Diesem Gewinde zs ist dutch die Nullkorrelation v eine kubisehe Raumkurve 1 ~ auf/~i ~ zugeordne~, und jede Ebene yon x 3 schneider l S in ihrem Nullgunkte , dem Beriihrungs- punk~e yon / ~ mit einer Tangente yon k S. Die Fliich6 _P~e zwelten Gra- des ber'ti_hr~ also jede Tangente yon k ~ in einem Pun]de yon l ~, sic be- riihrt folglieh die-Tangen~enfl~che T ~ yon k s liings der kubischen Raum- kurve l S.

29. Die durch k a geleg~ Regelfi~iche / ~ zweiten Grades e n t h ~ die Tangenten a, b zweier reeller oder imaginiirer Punkte A, B yon ks; ihre Beriihrungsebenen a, fl in A mid :B sind Schmiegmagsebenen yon k ~ und schneiden//~ bzw. in a, b mid je einem Schmiegungsstrahle yon k s. Die Fl~chen /~, R1 ~ gehea beide durch a, b und diese zwei Schmiegungs- s~ral~Jen (28.), sie beriihren sich also in A und B. Mit k S ha~ deshalb die Raumkurve l S die Punk~e A, B, deren Tangenten a, b und deren Sehmie- gungsebenen a, fl gemein (28.). Die Fl~he P ~ mid die Tangentenfl~che T ~ yon k S beriihren sieh l~4ngs der kubischen Raumkurve l a und schneiden sieh in deren zwei Tangenten a, b.

30. Die Beriihrungsebenen yon R ~ in den Punkten yon k S bilden, wie gesag~, ein kubisches Ebenengewinde us; sie sind also die Schmi%-mngs- ebenen einer kubischen Raumkurve l~ ~ und umhiillen deren Tangenten- fli4che T1 ~ (G. d. L. II, S. 177). D-arch die Nullkorrelation ~,, yon welcher k "~ eine kubische Nullkurve ist, sind die Raumkurven l s, li S projekt:iv so aufeinander bezogen, dab jedem Punkte der einen die Schmiegungsebene des enf, sprechenden Punktes der anderen als :Nullebene zugeordne~ ist. Die homologen Pmakte yon l S und /~a liegen also auf je einem gemeinsamen Schmiegmagssh'ahle dieser Raumkurven. Die drei Raumkurven k ~, 1 S, /1 a sind projektiv mad zu dem Ebenengewinde ~s perspektiv; ihre homologen Punkr liegen in je einer Schmlegungsebene yon ll ~, und ihre homologen Se.hmiegungsebenen sehneiden sich in je einem P u n l ~ yon I a. Die Tan- genCen yon k S verbinden je zwei homologe Pnnl~e yon k S mad l ~, dureh sie gehen je zwei homologe S'chmiegungsebenen yon k z lind ll ~.

31. Die Tangentenfl~ehen T ~ yon k a mid T11 vo~ /1 ~ sind zueinander polar bezfiglieh tier Fliiehe R ~ und haben mit R ~ n n d / ~ die zwei Strahlen a, b gemein. Je zwei in bezug a u f / t ~ polare Tangenten yon k ~ und ll a sehneiden sieh ~in einem Punk~e yon k ~ mid bertikren in ibm die Flii~he 2 ~.

Kublsche R a V e n II. ~ t :

Die Tangentenfl~che T1 ~ yon ~s berilh~ dem,~h die F17s~e R ~ L~gs der Raumkurve k s, und 11 s steht zu ks in derselben invarianten Beziehung wie

zu 13 Die Tangenten yon ~s verbinden je zwei homologe Punkte yon /1 ~ und ks. Die Rsumkurven Z1 s, k s sind projektiv so aufeinander bezogan, dab die Schmiegungsebene jedes Punktes der einen den entsprechenden Punkt der anderen zum Pol hat bezfiglieh J~. Die drei kubischen Raum- kurven ll s, k s, 1 s beriihren einander und die Stn~hlen a~ b in zwei Punk- ten A, .B, sie haben die Tangentialebenen a, #5 yon /~s in A und .B zu gemeinsamen Schmiegungsebenen (vgL 29.).

32. Dutch eine kubisehe Raumkurve k s gehen die Tangentenfl~chen yon ~ s anderen t~lbischen Raumkurven Ii s, sie berfihren l ~ g s der Kurve k s je eine d e r o c "~ dutch k s gehenden Regelfl~hen R s zweiten Grades (31.). Die TangentenflRche T ~ yon k s enth~ilt cr s andere kubisehe Raumkurven ls, sie berfihrt l~ings jeder yon ihnen eine Fl~che J~ls zweiten Grades (29.). Die ~o s Fl~ichen R12 sind je einer dutch ks gehenden Fl~iehe/~s zugeordnet dutch die Nullkorrelation v (28.). Die oc s Raumkurven l s und /1 s sind auf ks and aufeinander projektiv bezogen, so dab homologe Pankte der l ~ auf je einer Tangente yon k ~ liegen, und homologe Schmiegungsebe~en der /1 -~ sich in je einer Tangente yon /~s schneiden (30.).

Die Nullkorrelstion v ordnet jedem Punkte yon k s seine Schmlegungs- ebene zu, sie transformiert homologe Punkte, Tangenten, Schmiegungs- ebenen der vc~ Rsumkurven /1 ~ in homologe Schmiegungsebenen, Tan- genten~ Punkte der 13 (30.). Homologe Tangenten der Raumkurven /1 s schneiden sieh in je einem Punkte yon ~ (31.); homologe Tangenben der l s liegen in je einer Schmiegungsebene yon k s. Die Pole einer Sehmie- gungsebene e~ yon ks beziiglich der ~ r dureh ~ gehenden Fl~chen R s sind homologe Ptmkte der Raumkurven l~ s (31.); sie sind je einem Pn,kte yon q~ konjugiert bezfiglich k a und liegen auf einer kubischen Regelfl~che, die cc ~ Sehmiegungsstrahlen yon k s enth~lt (18.). Ilmen sind oo 3 homo- loge Schmie~oxmgsebenen der l~umkurve 1 s dutch ~ zugeordnet, and diese umhfillen dieselbe kubische Regelfl~iche.

S t r a S b u r g , den 7. M~rz 1914.