T-. RE~. Kubische Raumkurven.

Uber Beziehungen zwischen kub i schen

Yon

T~. R~.~ in StraSburg i. E.

R a u m k u r v e n .

Das System zweier kubischer Raumkurven biete~ der geometrischen Forschung, ebenso wie das zwe]er Kegelschnitte, mancherlei Probleme. Die folgende Zusammenstellung der zerstreuten S~tze, die bislang darfiber existieren, und mehrerer neuer dfirfte nicht ohne In te resse sein.

1. Zwei kubische Raumkurven k s, 1 s, die nicht d u r c h eine Fl~che _F~ zweiter Ordnung verbunden sind, haben zehn Bi sekan ten miteinander ge- mein*), die aber paarweise konjugier~ imaginiir se in , auch teilweise zu- sammenfallen k6nnen.

2. Der Ort einer Ebene, die mit den Raumkurven k 8, 1 s sechs Punk~e eines Kegelschni~es gemein ha~, ist eine Fl~che <b ~ vierter Klasse**), welche die zehn gemeinsamen Bisekanten yon k s u n d 18 enth~lt. Die Be- r~lhrungsebenen yon r sind paarweise konjugiert in bezug auf c~ 8 Fl~ichen r zweiter Klasse, die ein lineares r d r i f t e r Stufe bilden. Zehn yon diesen Fl~chen ~ reduzieren sich auf Punlr~epaare, die auf je einer gemeinsamen Bisekante yon k s und 18 liegen, und deren Punl~te beziiglich beider Raumkurven konjugier~ sin& Den Raumkurven ~s, 1 s sind je ~ : Sechsecke eiabeschrieben, deren Gegenebenen bez~iglich der cx~ s Fl~ichen des r konjugier~ sind und die Fl~che v ie r t e r Klasse r beriihren.

3. Wenn zwei kubische Raumkurven mehr als zehn Bisekanten ge- mein haben, so liegen sie au f einer Fl~che zwei ter Ordnung und haben die ~ 1 Strahlen einer Regelschar der Fl~che zu gemeinschaf~lichen Bi- sekanten. Die Fl~che kann auch ein Strahlenkegel zweiter Ordnung seia.

*) Cremon,. beweis~ 1861 (in Crelles Journal Bd. 60, Seite 191) dlesen 8atz f~r den Fall, dal~ eine der beiden Raumkurven in eine Gerade und einen Kegelschni%t zezfallt, Vollst~kudlge Beweise auf analytischer Grundlage gaben R. Sturm 1869 in den Anna]/ di Matemat~ca Bd. 3, S. 28 und Th. R e y e 1876 in Crel]es Journal Bd. 82, S. "18.

**) Reye in Crelles Journal Bd. 82, S. 79. M*themati~che A~u~len. LXVIII. 27

4 1 8 TR. REY~.

4. Zu einer kubischen Raumkurve k s stehen o~ 7 andere 1 s in der invarianten Beziehung, dab sie mit k s je ~ Bisekanten gemein haben. Die c~ ~ dutch k s gehenden Fl~ichen zweiter Ordnung enthalten je ~x> 5 dieser kubischen Raumkurven t ~ (vgl. Reye, Geometrie der Lage II, 4. Aufl., Seite 168).

5. Eine kubische Raumkurve k s hat im allgemelnen sechs Bisekanten, welche Biplanaren einer anderen kubischen Raumkurve 18 sind, d. h. in je zwei Schmiegungsebenen yon 1 s liegen. Diese sechs Strahlen k6nnen paarweise konjugier~ imagin~r sein, auch ~eilweise zusammenfallen. Der Satz erleidet Ausnahme ffir gowisse kubische Raumkurven 13. Diese haben je eine Schar yon ~ Bisekan~en der Raumkurve k s zu Biplanaren, stehen also zu k s in invarian~en Beziehungen. Wir kommen auf sie zurtiek.

6. Zum Beweise des Satzes 5 benutzen wir den Satz: V~er kollineare ~entrische Btindel erzeugen za dreien vier kubische Fl~chen~ die eine Raum- kurve sechster 0rdnung gemein haben; diese ist der Ort der Punkte, in denen sich je vier homologe Eb~nen der Bfindel schneiden*); sie kann in Linien niederer Ordnungen zerfallen. Bringen w~r die vier Btindel und die Raumkurve mit einer Ebene zum Sehnitt, so folgt hieraus: Liegen vier kollineare Folder in einer Ebene, so gibt es im allgemeinen seehs Punkte, in denen sich je vier homologe Strahlen der Fe]der schneiden. In besonderen F~llen aber k6nnen durch jeden Punk~ einer G~raden oder eines Kegelschnittos odor einer Kurve drifter Ordnung je vier homologe Strahlen der kollinearen Folder gehen.

7. Aus zwei Punkten der kubischen Raumkurve k s wird die Kon- gruenz ihrer Bisekanten durch zwei kollineare zentrische Bfinclel S, S 1 lorojizier~. Analog werden zwei Schmiegungsebenon % ~1 der Raumkurve l s durch deren Biplanaren kollinear aufeinander bezogen, indem sie mit jeder Biplanare yon l s zwei homologe Punkte gemein haben. Nun schneider aber ~ die kollinearen Biindel S, S 1 in zwei kollinearen Feldern, und diese werden durch die Biplanaren yon l s in zwei kollineare Felder iibergef~ihrt, die in ~1 liegen. Noch zwei andere zu ihnen kollineare Folder erhalten wir in ~ , indem wit die Btindel S, S 1 mit der Ebene ~ sehneiden. Jeder Punkt, worin sich vier homologe Strahlen dieser vier koUinearen, in ~h enthaltenen Folder sehneiden, liegt mi~ dem entsprechenden Punkte der Ebene ~ in zwei homologen Ebenen der Btindel S, $1, also auf einer Bisekan~e yon k s, die zugleich eine Biplanare yon l s is~. Der Satz 5 is~ damit auf die S~itze 6 zurtickgefiihrt.

8. Wenn mehr als seohs S~ahlen existieren, welche Bisekanten der

*) Vgl. Reye in Crelles Journal Bd 104, S. 229 und Geometrie der Lago HI, 4. Aufl., S. 239.

Kubisehe Raumkurven. 419

kubischen Raumkurve k s und zugleich Bip]anaren einer kubischen Raum- kurve I s sind, so gib~ es deren c~ ~. Sie bilden eine Regelschar, and zwar sind drei F~lle zu unterscheiden.

Erstens: Die ~ 1 Bisekanten yon k s, welche Biplanaren yon 1 s sind, bilden eine Regelsehar zwei~en Grades. Sie liegen mi~ k s auf einer Reget- fl~che zwei~en Grades, welche die Schmiegungsebenen yon l s berfihrt; der 014 der Beriihrungspunkte ist eine kubisehe Raumkurve, die mit k s die c~ 1 Bisekanten gemein hat. Es gibt ~ kubische Raumkurven I s, die zu einer gegebenen k s in dieser invarianten Beziehung stehen (vgl. Nr. 3).

9. Zwei~ens: Die c~ I Bisekanten yon k~ welehe Biplanaren yon l s sind, bilden eine Regelsehar vierten Grades, wenn sieh k s dutch eine Null- korrelation in die Raumkurve l s transformieren l~t~t. Sie sind die Bise- kanten yon k ~, die f~ir die Nullkorrelation invarian~, also in dem linearen Komplex ihrer Nullstrahlen enthal~en sind (vgl. Reye , Geometrie der Lage II, 4. Aufl., Seite 199). Die Regelfi~iche vierten Grades, auf der sie iiegen, hat k s zur Doppelpunktskurve und berahrt die Sehmiegungsebenen yon l s doppelt. Da die Nullkorrela~ion zugleieh 1 s in k s transformier~, so gibt es aueh ~ Bisekanten yon I s, welehe Biplanaren yon k s sind; auch sie bilden eine Rege]sehar vierten Grades und sind in jenem linearen Komplex en~halten. Zu ehmr gegebenen kubisehen Raumkurve k ~ steheh c~ ~ andere is in dieser inv~rianten Beziehung.

10. Drittens: Die r 1 Bisekanten yon ks~ welehe Bip]anaren yon ~ sind, bilden eine Regelschar seehs~en Grades, wena 1 s zu k s in der H u r - wi~zsehen Beziehung steht; die sie enthaltende Regelfl~che seehsten Grades hat k s zur dreifachen Kurve und ber~ihrt die Schmiegungsebenen yon 1 s je drehnal. Sie sind die Kanten yon ~ 1 Tetraedern, die der Raumkurve k s einbesehrieben sind, und deren Ebenen sich der Raumkurve l s an- sehmiegen. Die ~ Tetraeder sind Polar~etraeder eines polaren Raumes, in welehem k s und l s einander zugeordnet sind (vgl. R e y e a. a. O. II, Seite 207). Zu einer kubisehen Raumkurve k ~ stehen r 6 andere l s in der Hurwi tzschen Beziehung.

i1. Haben die kubisehen Raumkurven k~ t ~ einen Punkt P gemein~ so bes~nmen sie nicht nu t eine Fl~che F s drifter Ordnung, auf der sie liegen, sondern aueh eine Flgehe es drifter Klasse, deft 0r~ einer Ebene, die mi~ den Kurven sechs Punk~e eines Kegelsehnit~es gemein hat, abet nich~ dutch iP geht (vgl. I~r. 2). Yon den zehn gemeinschaftlichen Bisekanten der Raumkm~en k ~, 1 s gehen sechs nicht dutch ~ ; sie bilden die eine H~lfte einer Sehl~f l i schen Doppelsechs~ deren 12 Strahlen auf E ~ und zugleich auf es liegen.*)

*) In den ~Ia~h. Annalen Bd. 55, S. 25~264 habe ivh diese kovarianten FIKtchen F ~, @~ eingeh.end disku~iert.

2~*

420 Tm REYE.

12. Schneiden sich die Raumkurven U, 1 s in zwei Punkten P, Q, so ki~nnen sie dutch oe 1 kubische Fliiehen T '3 verbunden werden. Eine dieser Flilchen ist dutch/) , Q, je aeht andere Punkte der Raumkurven k s, Z sund einen beliebigen 19 ten Punkt bestimmt. Die 001 Fl~iehen/7~ haben aul]er k sund 1 s drei windschiefe Gerade a, b, c gemein, niimlich die drei gemeinschaft- lichen Bisekanten yon k s and t~ die weder durch P noch durch Q gehen; sie bilden einen FS-Biischel. Die dutch a, b u n d c gehende Fliiche zweiten Grades ist der Oft einer Ebene, die mi~ den Raumkurven k s, /3 sechs Punkte eines Kegelschnittes gemein hat, ohne durch P oder Q zu gehen. Sie sehneldet die co' kubischen Fl~ichen F s in a, b~ c und je drei mit a, b u n d c inzidenten Strahlen.

13. Wenn die Raumkurven k s, 1 s sich in drei Punkten .P, Q, R schneiden, liegen sie auf den oo ~ kubischen Ftiichen 2 "seines F3-Biindels. Von ihren zehn gemeinschaftlichen Bisekanten geht nur eine, g, nieht dureh P, Q oder /~; sie ist auf den oo s Fli~chen /~s enthalten. Der 0rt einer Ebene, die mit k sund 1 s sechs Punkte eines Kegelschnittes gemein hat~ ohne dutch P~ Q oder/~ zu gehen, is~ ein zentrisehes Biindel, dessen Mi~telpunkt S auf g liegt (vgl. Nr. 2); der Kegelsehnitt geht dutch S und hegt auf 001 Fliiehen des FS-Biindels. Je einen und nur einen tier Punkte P, @ /~. en~balten sechs gemeinschaftliche Bisekanten yon k s and lS; sie liegen paarweise in drei durch S gehenden Ebenen, und dutch sie ist der Punkt S, also auch die Bisekante g, eindeutig bestimmt.

, 14. A]s ,,Schmiegungsstrahlen" einer kubisehen Raumkurve k s be- zeichnet man die co ~ Strahlen, die mit je einem Punkte yon k s and mit seiner Schmiegungsebene inzident sin& Ihre Kongruenz ist drifter 0rdnung und drifter Klasse; sie sind in einem durch k s bestimmten linearen Strahlen- komplex entha]ten, dutch dessen ~ s S~rahlenbiischel jedem Punk~e des Raumes eine dutch ihn gehende Ebene, jedem Punkte yon k s seine Schmiegungsebene als ,,Nullebene" zugeordnet ist (vgl. Reye , Geom. d. Lage I_I, 4. Aufl., S. 111--113 and 177). Wit nennen k s eine ,,kubische lqullkurve" des linearen Komplexes und der zugeh~irigen, Nullkorre]ation. Die r ~ mit einer Geraden g inzidenten Strahlen des Komplexes bilden eine lineare Kongruenz, deren zwei Leitgeraden g, gl dutch den Komplex einander zugeordnet 'sind; doeh f~llt gl mit g zusammen, wenn g ein Strahl des Komplexes ist. Die oo 1 Strahlen tier linearen Kongruenz, die eine Gerade h schneiden, hegen auf einer Fliiche zwei~en Grades, und sechs yon ihnen treffen demnacb die Ranmkure k s. Die oo ~ mit g inzi- denten Schmiegungsstrahlen yon k s liegen folglich auf einer Regelfliiche sechsten Grades; diese hat die Punkte yon g und gl zu dreifachen Punkten. Wenn. g oder gl mit k s einen Punk-~ gemein ha~, zerf~llt die Fliiche in dessen Schmiegungsebene und eine Regelfliiche f'finften Grades.

Kubfsche Raumkurven. 421

15. Die gemeinschaftlichen Schmiegungsstrahlen yon zwei kubischen Raumkurven k s, ~s, die zwei verschiedene lineare Komplexe bestimmen, sind in der linearen Kongruenz enthalten, welche diese Komplexe mi~- einander gemein haben. Von k 8 enth~ilt die Kongruenz oo 1 Schmiegangs- strahlen, sie liegen auf einer Regelfl~iche seehsten Grades (vgl. Nr. 14). Die Raumkurve 1 s trifi% also 18 yon ihnen, und diese 18 sind die ge- meinschaftlichen Schmiegungsstrahlen der Raumkurven k s, 1 s. Wenn abet k s und l s einen Punkt P und dessen Sehmie~ungsebene ~r gemein haben, sind alle Strahlen des Bfischels (P, ~) Schmiegungsstrahlen beider Raumkurven.

16. Abgesehen yon diesem Ausnahmefall haben zwei kubische Raum- kurven k s, ~s nur dann mehr als 18 ~chmiegungsstrahlen gemein, wenn sie Nullkurven desselben linearen Komplexes sind. N~mlieh unter den r 1 Schmiegungsstrahlen yon k s, die eine Gerade g schneiden, gibt es 18, welche die Kurve ls treffen (Nr. 14); diese 18 aber sind alsdann auch yon ~s Schm~egungsstrahlen., Der Or~ der gemeinsamen Schmiegungs- strahlen yon k s and 1 ~ ist also eine Rege]fi~che 18 TM tirades. Sie hat die Punkte yon /c3 und I s zu dreifachen Punkten. Der dutch k s bestimmte lineare Komplex hat bekannflich o~ 7 kubisehe Nullkurven ls; unter ihnen sind gewisse oo ~ ausgezeichnet dutch noch andere invariante Be- ziehungen zu k s.

17. N~imlich dutch eine gescharte Involution, deren Achsen g, gl durch den linearen Komplex einander zugeordnet~ sind, wird der Komplex in sJeh'selbst, seine kubische Nullkurve k s also in eine andere Null- kurve Z ~ transformiert. Die oo t m i t g und gl inzidenten Schmiegungs- s~rahlen yon k saber sind zugleieh solehe yon 1 s, sie verbinden homologe Punkte yon k s und I s und bilden eine Regelschar sechsten Grades (Nr. 14). Die beiden Raumkurven haben aber noeh ~1 andere gemeinsame Schmie- gungss~rahlen, und diese bilden eine Regelschar zwglften Grades (Nr. 16). Aus der gesehart~en Involution und der Nullkorrela~ion, die k s und 18 zu Nullkurven ha~ resultiert eine andere Nullkorrelation, welche jede der beiden Raumkurven in die andere transformiert. Jede der Kurven k s, 1 s

"hat folglich eine biquadratische Schar yon Bisekanten, welche Biplanaren der andern Kurve sind (Nr. 9). Zu der kubischen Rauml~urve k 8 stehen oo ~ Raumkurven ~s in dieser invarianten Beziehung.

Hat ~8 mit einer der Involutionsachsen g, g~ einen Punk~ P gemein, so bilden die mi~ g und gl inziden~en gemeinschaftlichen Schmiegungsstrahlen yon k ~ and 1 s einen Strahlenb~isehel iP erster Ordnung und eine Regelsehar fiinften Grades. Sie bilden zwei Strahlenbiisehel erster Ordnung und eine Regelsehar vierten Grades, wenn g oder g~ eine Bisekante yon k s ist.

S~raBburg, den 7. Sep~br. 1909.