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D. Totaro & C. Spannagel Funktionen und funktionale Beziehungen Ausgewählte Kapitel der Mathematik Wintersemester 2012 / 2013 D. Totaro & C. Spannagel

Funktionale Beziehungen

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Folien zur Vorlesung von D. Totaro und C. Spannagel im WiSe 2012/13 an der PH Heidelberg, "Ausgewählte Kapitel des Mathematikunterrichts"

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Page 1: Funktionale Beziehungen

D. Totaro & C. Spannagel

Funktionen und funktionale Beziehungen

Ausgewählte Kapitel der MathematikWintersemester 2012 / 2013

D. Totaro & C. Spannagel

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Welche Graphen sind Funktionsgraphen?

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Was ist eine Funktion?Eine Funktion (oder Abbildung) ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Definitionsmenge) genau ein Element der anderen Menge (Zielmenge) zuordnet.

A B C D E F

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Verschiedene Darstellungen

• Verbale Formulierung Beispiel: Jeder Zahl wird ihr Quadrat zugeordnet.• Term / Gleichung Beispiele: xx2 oder auch f(x) = x2

• Tabelle Beispiel: • Graph Beispiel:

x 0 1 -1 2

f(x) 0 1 1 4

x 0 1 2 3

f(x) 0 1 4 9

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Wechsel der Darstellungsformen

Vgl. Wittmann (2008): Elementare Funktionen und ihre Abbildungen. Heidelberg: Spektrum Verlag S, 17

VerbaleBeschreibung

Term / Gleichung

GraphWertetabelle

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Verschiedene Funktionstypen

Vervollständigen Sie die Steckbriefe zu den einzelnen

Funktionstypen.

Vervollständigen Sie die Steckbriefe zu den einzelnen

Funktionstypen.

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Eine Saisonkarte für das Skigebiet Hinterberg kostet 380 Euro. Stellen Sie einen Graph dar, der den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Besuche in dem Skigebiet und den Kosten zeigt.

Ein Packung mit 100 Pinnadeln kosten 1,79 Euro. Stellen Sie einen Graph dar, der den Zusammenhang zwischen Stückzahl und Geld darstellt.

Fabian hat für die Ferien ein dickes Buch mit 240 Seiten bekommen. Er will jeden Tag zwanzig Seiten lesen, dann hat er das Buch nach zwölf Tagen durch. Wann hat er das Buch gelesen, wenn er jeden Tag vierzig Seiten liest?

Weitere Beispiele

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Funktionale Beziehungen

Funktionale Beziehungen beschreiben die Abhängigkeit, die zwischen zwei Zahlen oder Größen besteht.

z.B.:• Der zurückgelegte Weg eines Radfahrers hängt bei

gleichbleibender Geschwindigkeit von der Fahrzeit ab.

• Der Pulsschlag beim Joggen hängt bei gerader Strecke von der Geschwindigkeit ab.

Weitere Beispiele?

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Es gibt viele inner-und außermathematische Situationen, in denen ein Zusammenhang zwischen zwei Größen besteht oder bewusst hergestellt wird.

Funktionale Beziehungen

Wenn Experimente durchgeführt und

ausgewertet werden

Wenn Daten erhoben und zueinander in Beziehung gesetzt

werden

Naturwissenschaften Technik

Wirtschafts- oder Sozialwissenschaften

Vgl. Wittmann (2008): Elementare Funktionen und ihre Abbildungen. Heidelberg: Spektrum Verlag S. 1

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Funktionale Beziehungen

Die zugeordneten Größen nennt man Variablen. Man unterscheidet abhängige und unabhängige Variablen.Die Temperatur hängt von der Tageszeit ab (zu unterschiedlichen Tageszeiten sind die Temperaturen verschieden). Das ist die abhängige Variable. Die Tageszeit ist unabhängig von der Temperatur.

Auf der x-Achse wird die unabhängige Variable eingetragen.

Auf der y-Achse wird die abhängige Variable eingetragen.

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Man unterscheidet zwei Betrachtungsweisen auf funktionale Zusammenhänge:

Funktionale Beziehungen

Welches f (x) gehört zu x? (und andersrum)

Wie verändert sich f (x) wenn x wächst / sich

verdoppelt / um 1 erhöht wird…

(und andersrum)

• statisch• fokussiert einzelne Werte

• dynamisch• Veränderungen werden

betrachtet• Die Entwicklung des

Graphen ist von Interesse

Zuordnungsaspekt Kovariationsaspekt

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Beispiel 1Welche Sportarten könnten das sein?

Beispiel 1: Beispiel 2:

Beispiel 3:Beispiel 4:

Vgl. Büchtner, A. / Henn, H-W. (2008): Der Mathekoffer: Funktionaler Zusammenhang. Stuttgart: Friedrich Verlag, Karte 2

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Beispiel 2

Abstand vom Stuhl - in m

Zeit - in s

Nehmen Sie einen Radiergummi (oder was Sie auch gerade vor sich liegen haben „als Stuhl“) und entfernen Sie sich mit ihrem Finger, wie es der Graph anzeigt.

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Beispiel 3

Wie könnten die Füllgraphen dieser Gefäße aussehen?

Bilder by: Christian Spannagel (CC-BY-SA)