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L. H e r m a n n : Ueber Brechung bei schiefer Incidenz, etc. 291
(Aus dem physiologischen Laboratorium in Ziirich.)
Ueber Brechung bei schiefer Incidenz,
m i t b e s o n d e r e r B e r i i c k s i c h t i g u n g des Auges.
III. T h e i l . ( S c h l u s s . )
(Vergl. dies Arehiv Band XVIII, p. 443 und Bd. XX, p. 370 2).)
Von
L. H e r m a n n .
l l . Zus~tze zu den beiden ersten Theilen dieser Arbeit.
Unablassige Beschaftigung mit dem vorliegenden Gegenstande, welehe seit Jahren meine Mussestunden ausfiillt, hat mich auf eine Anzahl von Vereinfaehungen und interessanten neuen Beziehungen gefiihrt~ welehe kurz mitgetheilt werden m~gen, ehe die Aufgabe selber zum Absehluss gebraeht wird. Die Besehr~nkung auf kleine Incidenzwinkel habe ieh seit der letzten Publication prineipiell aufgegeben, so dass a l les F o l g e n d e in a l ler S t renge , ohne i rgend w e l e h e V e r n a c h l ~ s s i g u n g k l e i n e r GrSssen~ ffiiltig ist (mit Ausnahme von Gleiehung 37).
a. E i n fUhrung e in ige r Beze ichnungen .
Die bisher mit dem Index 2 bezeiehneten Brennlinien, resp. deren Lagen, sollen fortan ira Texte als t tauptsehni t t -Brœ linien, und in den Ausdrtieken dureh den Index * bezeiehnet wer- den, und die mit dem Index 1 figurirenden als K r e u z s e h n i t t -
1) Ira zwei™ Theil ist durch einen Sehreibfehler in den Gleichungen 1
78 (Banc] XX, 13. 383) reehterseits der Factor ~_ weggelassen.
E. PI]figer, &rehiv f. Phys io log i e . Bd. XXVII, 2 0
292 L. H e r m a n n :
Brennlinien, in dan Ausdrtieken dureh ~- gekennzeiehnet. Die Be- nennungen rechtfertigen sich von selbst, und die Abschaffung der Indices 1 und 2 rechtfertigt sich durch das Bd. XX, p. 376 Anm. Gesagte; blosse Vertauschung der Indices wtirde Vcrwirrung her- vorrufen.
b. V e r b e s s e r t e F o r m d e r A u s d r i i e k e fi �8 e ine e i n z e l n e F l l i che .
Sind dic Winkel zwischen Strahlenbtindel und Einfallsloth 90 auf der convexcn, a auf der concaven Seite, e und f die ent- spreehenden Bildweiten, ferner das Brechungsverhiiltniss n, so dass s i nep=n sina, endlich r der Krtimmungsradius, so hatten wir die Beziehungcn gefunden:
~ r ~ r co82(~ fy = nnd f t ~---
r n Cos a - - cos q) - - - -
e*
Da aber
o n eosy cos ™ œ cos~™
so lassen sich schreiben:
{ s ina 4 sinr __ sin(q~--a) e. fy r
(1) und e�8 t f f r s inacos2~ s in™ _
Hieraus leitet sich ab �9 e, = e t ---- e:
cos~a coseq~ _ sin™ und c~ (2) f t f* r f t
ftir f *~ f t - - - f : _ _ cos2q ~ cos~™ cos~"a sina s in (™ und
(3) eT e, - - r e�8 f t i r e = vo :
sin ™ sin ™ eos'~a. (4) F , = ~s in(™ und F f = r s in(ef - -a ) '
fiir f = o e : s ina sinacos ~q~.
(5) E , = ~ s in (™ und /~�8 = r sin(ep--a) '
sin (™ - - a) n c o s a - - c o s ™ = sina '
die t t a u p t g l e i e h u n g e n auch �9
sin ( ™ a).
1 __ s in™ f . e
1 _-- sincpsina. e . f '
Brechung bei schiefer Incidenz, mit besonderer Berlieksichtigung d. Auges. 293
woraus folgt:
(6) E , Fy Et Ff + - - 1 und -t - - 1. e, f , œ f t
e. A u s d r i i c k e fu r a ine L i n s e vom I n d e x n.
An der verderen Fl~tehe seien die Bezeichnungen wie bisher, die hintere habe den Radius q, die Winkel fl innen und ~# aussen; die Dicke der Linse sel d. Setzt man das in der Linse verlaufende Sttick des Strahlenbtindels = T, so ist
T ~ r ces a q- œ eos fl - - l / i f + q - - d) 2 - - (r sin a + q sin ff) 2. Nennt man e und f die Entfernungen zweier conjugirter Punkte von den Linsenfi~ehen und e' and f die Abstande ihrer dureh die nlichste Linsenfiiiehe gelieferten Bilder von dieser Flliehe, so muss sein
e' + fl - ~ T.
Die Werthe e' und f' ergeben sich nus den Gleichungen 1, unter Berticksichtigung der niithigen Einsetzungen, und man erhiilt
\ q f , ] - - - - . - F - - - - - e , q [y
(7) und (A e~231176 ]\0 e~ O)
e t ] +e~ \~, ft ]_1'
worin A - sin(qo--a) und B--~ sin(~p--fl). sina sinfl
Aus diesen Gleiehunien (identiseh mit den G1. 26, 27 d. II. Theils) lassen sieh leieht die Werthe ven E*, E t , / z , F t ableiten.
d. A u s d r t i e k e ftir D u r e h g a n g du reh den o p t i s c h e n M i t t e l p u n k t .
Hier wird a----ff, q o = % A = B und
T = (r + e)eos a - - VD2--(r+e)~sin2c~, (D = r + e --” wodurch sieh die Gleiehungen 7 sehr vereinfaehen (vgl. G1. 35 und 36 des II. Theils).
Sehon im II. Theil wurde die B e m e s s u n g de r B i l d o r t e von den B i l d e r n des o p t i s c h e n M i t t e l p u n k t e s ans einge- ftihrt, dureh welehe die Ausdrticke besonders einfaehe Formen an-
294 L . H e r m a n n :
nehmen. Der optische Sinn dieser Bemessung ist folgender: Damit die von zwei Punkten a und b ausgehenden Strahlen nach der Brechung an der ersten Linsenfl~ehe dureh den optisehen Mittel- punkt c gehen, dtirfen sic nicht auf einen und dœ Punkt der vorderen Fliiche geriehtet sein, sondern sic mtissen geriehtet sein anf das Bild c', welehes die vordere Flitchœ vom Punkte c entwirft. Da also c' der gefordertœ gemeinsame Punkt der ein- faUenden Strahlen ist, so ist aueh c'a un” c'b das richtigœ Distanz- mass der Objecte a und b, und ebœ c"a und c"fl das riehtige Mass der Bilddistanz, wenn c" das Bild vonc durch die hintere Linsenfliiche, nnd a und fl die Bilder von a und b sind. Denn offenbar wird ab : y c'a : c"a sich verhalten. Die Punkte c' und c" spielen ~lso ftir den sehiefen Durebgang dieselbe Rolle, wie die Hauptpunkte der Linse Nr den normalen Durehgang. Es giebt aber ftir jede Incidenzsehiœ z w e i P aa r e solcher Cardinal- pnnkte, n~mlieh c'c, c"y und c't und c"t (in den fraheren Theilen mit ™ ~p~ und ™ ~P~ bezeiehnet). Von diesen Punkten ans ge- reehnet, ergeben sieh als tlauptbrennweiten der Linse
�9 y
{E , = F y = ~ ~ ~, wo�9 �87171 = ~(~ + ~) s i n ( ™ 1 7 1 T
.y sm lep--a) stuc (8) ro sin™ cos~cp cos~ a " 2 sin(q~--a) ~
�9 s l n a
Nœ man e den I n c i d e n z w i n k e 1, d. h. rien Winkel zwischen dem einfallenden Strahl und der Axe, ferner & den Winkœ zwisehen dem durehgehenden gebrochenen Strahl nnd der Axe, so ergeben sieh ans der geometrisehen Betracbtung (s. Fig. 6 im II. Theil sowie nnten Fig. 1) folgende Beziehungen:
e = - # + ™
(r-t-q)sina ~ Ds ina
s in (a - -y r r+ , s in(a--a) T--= (r+q) cosy ~ - - / ) sina = ( e) s-�9
sine (r + e) sine ˜ ~
\sina --- ( r + ™ ~ s ~ ~ - - s m op
so dass
1!! ~ (o, ~. _(~§ sine s in(™ sin ~ sin q~
1 [ 1 . l ' ~ ( s i n o e - - s i n a s i n e p s i n c ~ ) s i n ( q ~ - - a )
- ~r t 0-) s in# sinrfcos~efcos~a �9 F J-
Brechung bei schie�9 Ineidenz, mit besonderer Beriicksiehtigung d. Auges. 295
Der Abstand der Bilder des optischen Mittelpunktes von den zu- @eh(irigen Flaehen (d. h. der �87 and der ,Seitenpuncte") ist
r T r Teos2™ ~ . _ _ ~T Q Tcos2™ ™171187 ™ � 8 7 ' - - V ' W t = P i "
Der @e@enseitige Abstand der beiden Direetionspuncte ist
A, = D sin (~--a)sin(qo--a) r + Q
und der ge@ensš Abstand dcr beiden Seitenpuncte 1) sin@sinqo--sin e sine
A�8 - - sin a ~ ~ ~ Vsin ~ (# + e#) -t- cos ~ a cos ~ ™
Zahlreiche andere Beziehun@en, welche sich aufstellen lassen, unter- lasse ich hier anzuftihren.
e. Die P e r i s e o p i e bei D u r c h g a n g d u r e h den o p t i s e h e n M i t t e l p u n k t .
I) Der Ausdruck fur die Bildgiite.
Die Bildgtite B ist, wie schon im II. Theile angefiihrt, zu bemessen naeh der Differenz der BildgriJssen, bezogen auf ihre absolute Graisse, so dass, da die Bild@r~issen den Distanzen von den Cardinalpunkten proportional sind,
1 = f * - - f ' L B f ,
Ftir unendlich entfernte Objecte ergiebt sieh dnrch Einsetzung von G1. 9
1 1 sin oe c~ ~™ c~ (10) B = s ine-- sinasin™ sina
Zu dem @leichen Werthe gelangt man, wie schon im II. Theil gezeigt worden ist, noch auf einem anderen Wege. Nennt man niimlich Gy und Gt die Entfernungen der vorderen Brennlinien der erstcn Linsenfl~che von den zu@eh~irigen Cardinalpunkten, so dass G , : E y + q~, etc. (•y ans G1. 5 entnommen), so crgiebt sich
Gy : G � 8 : F t , so dass man auch setzen kann
1 - - 1 Gt (11) B G,
Fiir die Bildgtite kommt also der Werth von e nicht in Betracht; es gentigt (Darch@ang durch den optischen Mittelpunkt vorausge-
296 L. Hermann:
setzt) die Kenntniss des einen Linsenabsehnittes, z. B. des vor- deren Krtimmungsradius and des vorderen Theils der Linsendieke (bis zum opt. Mittelpunkt). Dieser wichtige Satz ist allgemein- gttltig -and erleiehtert die Berechnung ftir zusammengesetzte Linsen, welche einen optischen Mittelpunkt haben, bedeutend (s. unten).
Der eben angeftihrte Satz bat seinen tieferen Grund in der ganz allgemeinen, auch ftir don normalen Durehgang geltenden Beziehung, dass der reciproke Werth der Brennweite einer Linse gleieh ist der Summe der reciproken Werthe der Entfernungen zwischen rien iiusseren Einzelbrennpunkten der Linsenfli~chen und don zugehSrigen Hauptpunkten; bezeiehnet man diese Entfernungen mit G und H, so ist
1 1 1 =~+~ und ebenso fiir sehieIbn Dureh@ang
1 1 1 Fy Gy H.
1 1 1 Ft -- Gt ~ Ht
Da sich ferner ~ : H verhlilt wie r:@, und ebenso Ge :Ho und G t : H t , so folgt G. : G t = F* : F t .
2) I)ie eorrigirende Cylinderliuse.
Als don der Wahrheit ni~ehsten Ausdruek fiir die Kraft einer corrigirenden Cylinderlinso haben wir ira I‡ Theil angenommen
1 1 1 -~ - - F t Fy
dabei aber bemerkt, dass diese Linse eigentlich nieht existirt, da die verglichenen Brennweiten von v e r s c h i e d e n e u Punkten aus ziihlen, niimlich von don beiden Cardinalpunkten q~. und ™ (oder ~py und ~#).
Es ist mir seitdem gelungen, einen vollkommen exacten Ausdruck ftir ein corrigirendcs CylinderglaS zu bcstimmen, weleher seine theoretische Strenge u. A. dadurch zu erkennen @iebt, dass er nicht bloss far die Correction bei unendlicher Entfernung des Objectes, sondern ftir j e d e b e l i e b i g e O b j e e t d i s t a n z g t i l t i g b l e i b t , was bei dem obigen Ausdruek nur ann•hernd der Fall war (vgl. Theil II, p. 384).
Breehung bel sehiefer Ineidenz~ mit besonderer Beriicksiehtigung d. Auges. 297
Das durch den optischen Mittelpunkt c (Fig. 1) gehende Btindel wird parallel mit sieh selbst um eine gewisse GrOsse ( ~ - - " z/y sine) versehoben. Denken wir uns diese Verschiebung beseiti•t, d. h. den @ebroehenen Strahl c.' a' in die Verliingerunff des einfallenden, naeh c. a" verlegt, so liisst sieh die Wirkung des Systems anf die zweier Linsen reduciren, welehe zu a a" nor- mal stehen. Die Hauptsehnitt- breehun• erfol@t dureh eine un-
endlich diinne Linse, welehe nur E inen Hauptpunkt, und zwar ira Directionspunkt c, hat, die Kreuzsehnittbreehung dage@en dureh eine Linse mit den zwei Hauptpunkten et und et". Das corri- girende Glas ist also so zu wi~hlen, wie fur einœ Linse mit den beiden Hauptpunkten e t und et" und der Brennweite F t , und eine zweite Linse mit der Brennweite T'c, deren Hauptpunkt c y in den optischen Mittelpunkt der ersten Linse fi~llt; die Kraft der zweiten Linse ist mit negativem Vorzeiehen zu nehmen.
Zur L5sung dieser Aufgabe habe ieh folgenden Weg einge- sehlagen:
1. Wir substituiren ftlr die dieke Linse mit den Hauptpunkten c t and ci" zwei unendlieh diinne Linsen (Fig. 2), jedoeh so, dass das System dieselben Cardinal- punkte behiilt. Nennen wir die Brennweite der dicken Linse, p, q die Distanzen ihrer Haupt- punkte vom optischen Mittelpunkt
(ce et und cy et"), fœ f~ g, d Brennweiten und @egenseitigen Abstand der substituirten Linsen�87 endlieh x und y deren Abstand von den (negativ liegenden) ttauptpunkten, so erhalten wir die Bedingungsgleiehungen
d ~ x - - p + y - - q ~ - f + g fg
x : y - - p : q 1 1 1 1 1 1
x - - $ x - - f und g , y - - q Y
298 L. ttermann:
woraus sieh ergiebt
1 f=~
d = (p+q) \ \p q~
2. Jetzt werde eine dritte Linse von der Brennweite h in den optischen Mittelpunkt des Systems f, g, d gestellt and die Cardinalpunkte des ganzen Systems der drei Linsen gesucht. Die Entfernungen der mittleren Linse von den beiden ~usseren mSgeu mitZv und w bezeichnet werden, so dass
df ” v - - f + g , w = f - T y "
Verfolgt man die Abbildung eines Punktes von gegebener Lage successive dureh die drei Fllichen hindureh, so kann man die Lage der Brenn- und Hauptpunkte des Systems leicht nach be- kannten Prineipien berechnen, und erhalt als Brennweite
F -~ fgh fg+h(f + g) + vw--v(g +h) -- w(f + h)'
und mit Einsetzung der Werthe von v~ w und der Brennweite Z des Systems f~ g ftir sieh:
e
Als Hauptpunktdistanz ergiebt sieh ” 2
I t = d - - f - -g '
d. h. die Lage der Hauptpunkte wird, wie vorauszusehen war, dureh die Einftigung" der diinnen Linse h in den optischen Mittel- punkt nicht ver~ndert.
3. Nun endlieh mtissen ftir f~ g, d ihre oben ffefundenen Werthe eingesetzt werden, so dass sieh ergiebt
1 1 1 ~ 1 1 ~- V ----- 1-- �9 F--)~ ~ h - [ 1 - Pq (p+q)~ ] ~ + ~ _ _
P q
Brechung bai schiefer Incidenz~ mit besonderer Beriicksieh~igung d. Auges. 299
Weiter ist, um unsere Aufgabe zu l(isen, einzusetzen: Ft fur Z, _/7y fU r h, c*ct-~™171231 ftir/o, und c, cf" ~~P*--~Pt ftir q, so dass
l -v ~~ .i ~ ~ - 1 1 1 - ~ - ; 1 (12) �9 F~- .
™231 ~Tz---~t_l d.en v~l l ig s t r e n g e n und fttr j e d e O b j e c t d i s t a n z @tilti@en Ausdruek ftir die Kraft des in cy zu legenden corrigirenden Cylinder- glases darstellt.
Setzt man ftir 2',, _/F~, er, etc. ihre oben gefundenen Werthe ein~ so erh~tlt man naeh vielfachen Umformun@en
1 (1 ~)s ino ~ ( ) ~ = r + s i~( tg™ sin~ 1 + tg™
(12a) + 2(c~171231 (sine--sin™ 7"
als strengen und allgemein@tilti@en Werth ftir die Astigmasie bel sehie�9 Durchgan@ durch die Mitte einer dieken Linse.
12. Sohiefer Durchgang d.roh geschichtete Linsen.
Wir beschriinken uns auf solche Linsen, welche einen opti- sehen Mittelpunkt haben und auf Durch@an@ durch diesen Mittel- punkt. Ein optiseher Mittelpunkt�87 d. h. ein Punkt von der Eigen- sehaft, dass jeder dureh ihn gehende Strah| vor und naeh der Brechung gleiche Richtun• zur Axe hat, wird in dem Falle existiren, wo das vordere und das hintere Sehichtensystem symmetrisch oder doeh zu einem Punkte proportional angeordnet sind.
Naeh dem oben S. 296 auf@estellten Satze ist es ftir unsere Auf•abe nur n~ithig, die vorderen Brennweiten des vorderenSchiehten- systems ftir sich, bemessen von den zug'eh~irigen vorderen Cardinal- punkten~ zu bestimmen. Wir nehmen zun~chst nur Eine, und zwar der ausseren Fliiche (Radius r�87 Breehungsverhi~ltniss n) concen- trisehe Grenzfiitche an, und bestimmen deren Einfluss. Ihr Krtim- mun@sradius (Fig. 3) sei r' und ihr Breehungsverhi~ltniss p~ so dass also der Index des Kerns ~ np ist. Der vordere Theil der Linsendicke, d. h. der Abstand des optischen Mittelpunktes von der vorderen Linsenfi~che, sel 6.
300 L. Hermann:
Nennen wir die Winkel des Strahles der ersten Breehung wie bisher ep und a, bel der zweiten op' und a*, fer- ner oe den Winkel des einfallenden Strahles mit der Axe und ~ den des an beiden Flachen ge- broehenen Strahles mit der Axe (ara optisehen Mittelpunkt), so haben wir aus dem Breehungs- gesetz und aus der tri- gonometrisehen Bœ tung der Figur 3 iblgende Beziehungen.
(13) sincp ---- ns ina (14) r ~ sin ™ ~ r sina
(15)
(16) (17)
mit dem Radius bei
sin ™ ~- psina ' oder �9 sin a' = p s m a
(r--~)sin,~ ---- r 's ina ' oder p ( r - -d ) s in& = rs ina ~ ----- ~-t- qD--a + q~'--a'.
Um nun die zut Au�9 der G1. 11 erforderliehen Griissen Gy und G f zu bereehnen, dienen die Hauptgleichungen 1. Die vorderen Brennweiten des vorderen Systems far sieh m(igen, von der vorderen Linsenfli~ehe aus bemessen, mit g. und g f bezeiehnet
werden; es ist dann Gy ---- g+--™171 G � 8 = g f - - ™
worin ™ q~f wie bisher die Entfernungen der vorderen Bilder des optisehen Mittelpunktes von der vorderen Linsenfiache bedœ (werden diese GrSssen absolut genommen, so miissen sic mit + Vorzeiehen stehen; so wurde es in den vorigen Theilen bezeiehnet).
Die GrSssen ge, gf, of+, q~f sind leicht naeh demselben Ver- fahren zu finden, welehes zur Auffindung der Gleiehung 7 diente. Soll niimlich eine vordere Brennweite der ersten Flaehe, z. B. e, eonjugirt sein zu einer hinteren Brennweite der zweiten Fliiehe, z. B. f , so mtissen die zu e und f gehtirigen eonjugi�9 Weiten e' und f als algebraisehe Summe die Lange des Strahlenabsehnittes zwisehen beiden Flaehen ergeben�87 d. h. in unserem Falle die Lange A B - - - r e o s a - - r'cos ™
B r e c h u n g bel schiefer Incidenz, m i t b e s o n d e r e r Ber f icks ich t igung d. Auges . 301
Nun ist g* eonjugirt zu f l y
gt ,; ,, f ' t = o e ™ ,, , f ' * = : B C : r ' c o s a ' - - ( r - - ~ ) c o s ~
™ , �87 f ' t = t ~ C ~ - r ' c o s a ' - - ( r - - ~ ) c o s ~ .
Die Berechnun@, beispielsweise ftir g , , gestaltet sieh also fo]gender- massen: Setzt man in G1. 1 f l~--oe, so erhi~lt man
r' sin a' e', -- s in@'- -a ' ) '
setzt man ferner e,-----g*, so erhiilt man
fy ___-- sin ™ sin(ef--a) s ina
r g y
nnd da sein muss f , + e ' , = A B ---- rcosa--r 'eos™
so ergiebt sich
r' sin a' sin ™ ------ r cos a - r' cos q~', (18) s i n (™ + sin ((p--a) s ina
r g *
welehe Gleichun@ ftir g* zu l~sen ist. Ebenso erhiflt man auf dem ~ngegebenen Wege ftir die drei anderen gesuehten GrSssen die Bedin@ungs@leichungen:
(19) r ' s i na ' e~231 sin™176 ~a s i n ( ™ + sin(ef--a) sinacos2q~ ~ r e o s a - - r ' c o s ™
r g t sina' sine#
(20) sin(™ - - a') sin er' + sin(~--a) s ina r' r ' c o s a ' - - ( r - - d ) e o s ~ r er*
?" eo8 c~-- r ~ ™ �99
sina' cos e ™ sin ™ cos sa sin(™ s in™ ' + sin (q~--a) sine coseep
(21) r' r' cos a ' - - ( r - -~) cosa r ™
r COS 5~-- ?'~ COS q)~.
L~st man diese 4 Gleiehnngen fiir ge, gt , ™171 ™ so erh~lt man ziemlich eomplicirte Ausdriicke; dieselben vereinfachen sieh aber schon betr~chtlich~ wenn man daraus die eigentlieh gesuchten GrSssen G* und G t bildet, noch mehr aber, wenn man fiir die
r J .�87 - - ~ GrSssen r ' r' n . s . w , die ans den Gleiehungen 13--16 sich
ergebenden Sinusquotienten einftihrt und �9 sieh bemtiht, iiberall
302 L. Ite rmann:
Tangenten einzufiihren. So erhiilt man nach mannigfachen Um- formungen die lchrreichen Gleichungcn:
sin ~ sin ™ (22) G, ~ g , - - ™ ~ r.
sine sin (er ~ a + ™ a') (23) G? = g t ~™
�9 t g a ---- r. sm ep ~-g q & tg a + tgep' ~ t g a ' ) (tg˜ + tgq~ -- tga + tgqr - - tga')
Setzt man hierin (24-) tg™ + tg™ = tgz. (25) t g ~ + t g z ~ tg~p, und berlicksichtigt man, dass e ~- 0 + ~f--y + ep'--a', also sin (cp--a + ™ = sin (e--~) , so ergeben sich die ungemein ein�9 Gleichungen
sin ™ tg~ ( 2 6 ) G, = r . .
smecose " t g e - - tg~ tg~
(27) G-�8 = r . sin q)'-tgx tg~p'
also ftir die Bildgtite 1 t g e - - t g ~
(28) -- = 1--s ine cose B tgX tg ~p
oder, da tg~ = tg~p--tgz,
1 1-- sin e cos e (cotg~p--cotg Z + tge cotg~p cotg~)- (29) ~ =
Diese vNlig strenge und dabei iiberrasehend einfache Gleiehung ftir die Bildgtite einer concentrisch geschiehteten Linse erweist sich zugleieh als vNlig allgemeingtiltig, wie v ie le S e h i c h t e n m a n auch a n n e h m e n mSge; denn aus dem Ausdruck ftir tgx ergiebt sich, dass derselbe, wenn noch eine dritte Grenzsehicht mit den Winkela ep', a" und noeh weitere hinzukommen, die Form behiilt (30) tgz ~ tg™ + tg™ tg™ a" +. . . = ~(tgq~--tg a) und ebenso (31) rg ~p = tg ~ + 2 ( t g ™ tg a).
Auch kann man sich leicht tiberzeugr dass die ffir die homogene Linsœ gefundene Gleichung 10 mit der Gleicbung 29 identisch wird, wenn man setzt tgx = tg™ tg~p = tg~ + t g q & t g a .
Die eingeftihrten Winkel X und #, haben aber eine leicht deilnirbare g e o m e t r i s c h e Bedeutung. Zieht man n~imlich vom Krttmmungsmittelpunkt K (Fig. 3) gerade Linien zu den Punkten g*, g t uad ™ und bestimmt die Winkel, welche dieselben mit
Brechung bei schiefer Incidenz, mit besonderer Beriicksiehtigung d. Auges. 303
dem einfallenden Strahl L ™ bilden, so ergiebt sieh aus dem
Drsissk A g t K (worin A g t = gt): s inAgtK : sin(™ ---~ r: gt,
und durch Einsstzung des aus GL 19 abgeleiteten Werthes von gt findet man
t g A g t K = t g c f - - t g y tg™ -- tga', also
Winkcl A g t K = %. In gleicher Weisc ergiebt sich ans dcm Dreieck A ™ worin
A™231 sin~,™ : s in(™231231 r :™
und durch Einsetzung des Werthes von ™ (aus G1. 21) rg 9 * g t K == tg 0 + rg 9 - - tga + rg 9 ' - - tga',
also Winkel ™231 = ~.
Dis drei in dsr Gleichung 29 vorkommenden Winkel siud also einfaeh dis Winkel, wslchs der einfallende Strahl an den Cardinalpuukten mit den zum Krtimmungsmittelpunkt gehendsn Graden einschliesst, und die Tangcnten dieser Winkel stehen zu den Winkeln ™ a, ™ a' etc. und oe in der durch Gleichung 30 und 31 ausgedrtickten eiufachen Bezichung.
Der Winkel bei g* ist ebeufalls leicht auszudrticken. Aus der Eigenschaft des Punktss g* folgt niimlieh direct, dass Kgy parallsl sein muss mit C2~; also ist Winkel g*2~C-~ ~ und Winksl
A g * K = e--~7. Mittels dieser Winkelbestimmungcn lasssn sich aueh dis GrSssen G * = ~ , g , und G t = ™ 2 3 8 direct aus den Dreiecken g * ™ und g t ™ K ableiteu, und man e�9 so dis Gleichungen 26 und 27.
Sshliesslich soll noeh die c e n t r a 1 e vordere Partialbrennweite G fur gesehichtete Linsen anfgestellt werdsn. Man crh~lt sis am einfashsten�87 wenn man in Gleichung 22 oder 23 die Winkel bis zum Versshwindsn klsiner werden liisst; man srhiilt so
1 r
(82) a = n ~ . ~'~--~ [n--i+P~ 71 ;] 1 r io--1 r l .r [ ~ . _ - = œ �87 .~j oder
(aa) ~ = p r ~ ~o
804 L. H e r m a n n :
13. Der Einfluss der (oonoentrischen) Sohiohtung auf die Perisoopie.
Die Frage ist hitr se zu stellen, ob von zwei Linsen glticher eentraltr Brtnnweite (G) und gleicher ~ussertr Ferre (r, 6), bei gegebener Ineidenzsehitfe (e) dit homo•enœ oder die in gewisser Weist gesehiehtete Linse ein besseres Bild, d. h. eintn h~heren Werth von B (G1. 29), liefert.
Legt man eine Trennung'sschicht rem Radius r' und dem Breehungsverh~ltniss io in die Linst, se geht dieselbe in diœ ho- mogent Linse tibtr, wenn p = 1 wird; der Ktrn ist f t rntr st~rktr oder sehw~eher brtehend als die Halle, je naehdem2 grossir oder kleiner als 1 ist. Man kann nun also die Frage mathtmatiseh se formuliren: Wie andert sieh bti gegebenem G, r, 6, e dtr Werth von B mit Aenderung" von p ? Mit andern Worttn, es ist unter
bB den ange`234 Voraussetznngen der Werth ~ - aufzusuchen und
sein Vorzeichen zu btstimmen. Da aber in G1. 29 .B um se grSsser wird, je gr5sser der in Klammer stehende Ausdruek
eotg~ -- eotg• + tge eotg~pcotgx = C, se gtniigt es, das u von
bC @
6B zu unttrsuehen, da - ~ dasselbe Vorzeiehen haben muss.
Da y constant ist, se ist bC hO bg2, bC bz _ t g ~ + t g z b~p tg .~ - - t ge b! . 6 p - = b ~ ' ~ - r b ~ Op sin2~ptgz 6~v + sin~ztg~p b~
6tp und 6Z Die Werthe von ~ - - ~ sind aus dtn Gltiehungen 30 und 31
zu ermitteln; es ist n~mlich b~P __ha b_~ __b ~ b~_' by bp _ 2bp_~A 5p 6p bp 5p
e o s 2 ~ eu~ ~, eos2 ~ cos~ a "4- eosUef e o s / a ,
bx ~™ ha b9~' ha' ~-~ -~~ ~-~ ~_ ~p ~p
t0S 20~ tOS ~ ~t' und e o s 2 x ~ eos~™ ~ e ~ /
Dit Differentialquotitnttn der Winkel ~, er, y etc. ans dertn Beziehungen: Es folgt
t rgtben sieh
Breehung beischie~rIneidenz, mitbesonderer Berfieksicht~ungd. Auges.
ans G1. 13:
ans G1. 14:
ausG1. 15:
aus GI. 16:
305
~a ~n e o s ™ ----- neosa ~ + sin a
~'~eOS~ ~ ~ r eOSCe~
,~tg ~" eos et ~~
aa p(r--c~)eos#bb-~ + (r--~)sin,~ = rcosa
ans G1. 17: b_�9 O,)=d# bqD dat b™ da'. dp-- ~+d~ dp ap dp
Aus diesen 5 Gleiehungen lassen sich die 5 Werthe bestim- r men, indem man fiir 7 etc. immer wieder die Sinusquofienten ein-
ftihrt :
aa tga (tg#--tga' tgr dn)
d(~_' tg™ ' tg™ dn) ap = tgqJ \ p n da' tga ' (tgz ~ tga ' ) dp tg~p + tg~ an
d_.�9 ~ _ tg a (tgx + tga' 4- tg ™ 6n~
an Um endlich noeh bp zu bestimmen, dient Gleiehung 33, in weleher
G constant sein soll, so dass, wenn wir die reehte Seite mit f(p, n) bezeiehnen,
a_f - - 1 4- ~v p ~~-, ~ 1 an dp ~ _ n
(34) ~-~------~f ~~ i o - - l r ) ( - - - l r r ) a-~ _~ ~ 1 P p r' p(r--~)
Setzt man den letzteren Bruch ----- -IV, so ist d n _ ~N, dp p
und mit Einsetzung aller Werthe findet man sehliesslieh
1) Weil ~ constant ist.
306 L. Her rn a n n :
0C (35) ---=p tg~~ tg~ z ~ -----
rg eos 2 a']A
, t g a + tg'z(tg e +rg Z) (Ntg™ � 9
worin zur Abkiirzung gesetzt ist ~o ~ tg™ rgy tg•' tga'
eOS2~ cOS~a ~= eos=~™ e o s 2 a '
5C Ans Glelchung 35 ist das Vorzeichen von -~p nieht leieht zu
Ubersehen. Da aber bel eontinuirlieh geschiehteten Linsen an jeder Trennungsfl~ehe p nur unmerklieh vert 1 versehieden sein kann, so gent�8 es vollkommen, nur die Frage zu beantworten, welehen Einfiuss es auf die Bildgtite bat, wenn p von 1 auf 1 • h (h eine unmerklich kleine GrOsse) ttbergeht, d. h. wenn von dem homo- genen Zustand der Linse (p = 1) ttbergegangen wird auf den ge- schichteten Zustand, indem an die Flgche mit dem Radius r ein unmerklich kleines Breehungsverhgltniss 1 + h verlegt wird, und zwar ohne Aenderung von G, r, ~, s. Um diese Frage zu beant- worten, ist einfaeh in Gleichung 34 und 35 �9 = 1 zu setzen, und
bC das Vorzeichen v o n - ~ zu ermitteln. Es wird dann ™ a' und e
und ~ nehmen die Werthe an, die sic bei homogener Linse haben wtirden: s - - O + + - - a und ( r - -d ) s in~ ~ rsina.
Da aber ferner bei eontinuirlicher Sehiehtung der Abstand zweier hTiveauflaehen sehr klein ist, so k5nnen wir weiter diesen Abstand als eine unendlich kleine GrSsse erste�9 Ordnung setzen, also, wenn k aine solehe GrOsse bedeutet, annehmen
r _ l + k oder r--r'-----kr' .
Nunmehr wird �9 = 1 +kR,
worin /~ zur Abkttrzung steht fur
t w 2n(r--c~) -- (r--2~) n~=(r--~)+~
Ferner wird far die angenommenen Werthe von p und r'
tga' ~ tg™ ~ tga +k~:~-�9 ~
tga' __ tga + k tga k tgSa COS ~=~ ' eOS~OE COS 20~ eOS 2(z
Brechung bei schiefer Incidenz, mit besonderer Beriicksichtigung d. Auges. 307
Der Werth yon ~o besehr~inkt sieh, da q~'= a', auf seine beiden ersten Glieder.
Setzt man diese Werthe in die Gleichung 35 ein, so erh~lt man dureh mehrfaehe Vereinfachungen (unter Bert~cksichtigung yon G1. 24 und 25) die Gleiehung
tg3~Ptg2z b C__(tg~_tg&) (tg~p + tgx)~/+ tg ~ tga \ / - t g a \ k
tg 3 a tg & tg a - - t g ~ ( ~ costgCe~a + ~ ) } +tgx(tg~+tgX)co--0s~(/~tg'~--c---ofia)"
Um nun aus dieser v~llig strengen Gleiehung Sehltisse ziehen zu kSnnen, besehr~nken wir uns auf solehe Winkel, dass die 5. Potenz der Tangente gegen die 1. und 3. vernachl~ssigt werden kann. Entwickelt man den Ausdruek fiir tge (e~9+~--a, da q~'~a' ; vgl. G1. 17), so erh~lt man bis anf GrSssen 5. Ordnung genau
tge = tg~p + tgz(tg~ptga--tgq~tga), und weiter folgt hieraus, dass bis auf GrSssen 5. Ordnung genau
(tge -- tg&) (tg~p + tgz) = tgx(tge + tgz); so dass man erh~lt, indem man bertieksiehtigt, dass
tg~ : = tg 9+ tg~q % cos
nnd dass tg~ + tgcp -- tga = tg~p,
bis auf Grt~ssen 5. Ordnung genau:
(37) tg~ptgz ~ C /c(tge + tgz) bp
tg ~p (Rtg sq~ + tg ~a) -- (tg ~,9 + tg a(p _ tg aa) (Rtg q~ -- tg a). bC
Die Untersuehung dieses Ausdrneks ergiebt, dass ~ pos i t iv istl),
gewisse extreme F~lle ausgenommen, d. h. dass eine gegebene Linse bei gegebener Ineidenzsehiefe e ein bes- seres Bild, als bei homogener Beschaffenheit, dann liefert, wean man, ohne Veranderung der eentralen Brennweite, in die Nahe der ~usseren Fl~che eine eoneentrisehe Grenzfl~ehe mit positivem
1) ./~ ist in allen Fiillen ein wenig kleiner als 1; die rech~e Seite der
Gleichung 37 kann erst dann negativ werden, wenn 3 grSsser wird als 2/~+. in welchem Falle die Linse schon nahezu Kugelges~alt hii~e; dies gil~
fiir alle Werthe yon n, die unter 2 liegen ; ffir n ~ 1,2 miisste sogar ff gr5sser als
s[~ r werden, damit die rechte Seite der Gleichung negativ werden kann.
E. Pit, get, Archly f. Physiologie. Bd. XXVII. 21
308 L. Hermann:
Werthe des Brechungsverh~ltnisses verlegt, w~hrend umgekehrt bei negativem Werthe das Bild sich versehlechtert.
Da jede neue Grenzfl~che yon derselben Art ebenso wirken muss 1), so l~sst sieh welter der Satz aufstellen:
Eine Linse yon constant bleibender centraler Brennweite und gegebener Incldenzschiefe gewinnt an Bildgtite dureh eoncen- trische Schichtung yon der Art, dass in coneentrischen Niveau- fl~chen das Brechungsverm~gen nach innen zunimmt.
Dieser Satz ist in aller Strenge nur innerhalb des allerdings schon recht betr~tchtliehen Winkelbereiehes bewiesen, fiir welchen tg~e gegen tge vernachl~ssigt werden daft. Doeh unterliegt es kaum einem Zweifel, dass er auch ftir noch gr~ssere Winkel gilt, obwohl sieh hier der Beweis nicht mehr tibersichtlieh fiihren l~sst. Ftir sehr k 1 e i n e Winkel (erster Ordnung) gilt er im Gegentheil noeh nicht, wie mir die Untersuchung gezeigt hat; man sieht dies schon aus Gleichung 37, deren reehte Seite ~ 0 wird, wenn man dis dritte Potenz der Tangenten vernachl~ssigt; d. h. fur den ersten Winkelbereich ist die BildgUte unabhangig yon p. Das Gleiehe ergiebt sich direct aus Gleiehung 29, welehe, da fiir Winkel erster Ordnung e ~ ~p wird, tibergeht in
1 ~ sin'2e.
Dieselbe Beziehung hatten wir schon frUher (Theil II. S. 371) fur Linsen yon verschwindender D i e k 6, und zwar hier far a 11 e Winkelbereiehe gefunden.
Das Resultat lautet also: Die Bildgiite ist u n a b h ~ n g i g yon der Beschaffenheit der Linse (in Bezug auf Schichtung oder Homogenit~t), 1. far sehr dtinne Linsen, 2. ftir sehr kleine Ineidenzwinkel. Sis wird dagegen in allen gew~hnlichen F~llen durch eine schichtweise Index- zunahme nach Art der Krystalllinse vergr i}sser t (bewiesen zun~chst fur den angegebenen Winkelbereich, far grSssere Winkel wahrseheinlich noch gtinstiger).
Die Begttnstigung der Periscopic dureh schiehtweise Index- zunahme ist im Vorstehenden zunaehst ftir e o n c e n t r i s che Sehich-
1) Fiir die innen folgenden Grenzfl~ichen wird 3 im u zum
0U positiv sein Radius immer kleiner, so dass fiir sic ers~ recht der Werth
muss, wenn er es filr die erste F1]s war.
Brechung bei schiefer Ineidenz, mit besonderer Berlicksichtigung d, Auges. 309
tung bewiesen, fur welehe sieh die Rechnung einfaeh und sogar elegant gestaltet. F~ir nieht coneentrische Sehichtung ist vermuth- lleh die Begiinstigung noch grSsser, sobald (wie bei der Krystall- linse) die KrUmmungen raseher zunehmen als bei concentrischer Beschaffenheit; denn hierdureh werden die inneren Brechungen immer normaler. Sehon frtiher habe ich darauf hingewiesen~ dass eine kuglige Kernbesehaffenheit einen ungemein g~instigen Fall darstelltl), und diesem Verhalten das bezeichnete Kfiimmungs- verh~ltniss sieh mehr ann~hert als das eoncentrisehe.
14. Die Differentialgleiohungen for eine Linse mit continuirlicher Indexzunahme.
Obgleieh die yon mi rvo r 8 Jahren aufgeworfene Frage, ob die Schichtung der Krystalllinse far die Bilder bei schiefer Inci- denz giinstig ist, im Vorstehenden bejahend beantwortet ist, und zwar grade far den Fall eontinuiflicher Indexzunahme, wird es doch nUtzlieh sein, ftir den letzteren Fall aueh direete Gleichungen auhustellen. Aueh hier besehr~nke ich mieh auf c o n c e n t r i s c h e Anordnung der l~iveaufl~ehen.
a) D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g fur den t t a u p t s c h n i t t .
Der Radius einer beliebigen ~Niveaufl~che sei e (Fig. 4), der In- dex auf der inneren, eoncaven Seite ~, auf der Kusseren, nach welsher die Radien zunehmen, p+d~L; fer- ner seien die Winkel des dureh- gehenden Strahles mit dem Ein- fallsloth wiederum aussen ~, innen a, so dass
s,n =(1 )sino; 1) Bei diesem Anlass muss ich reich gegen einen kleinen Irrthum ver-
wahren; Matthiessen (dies Archly, Bd. XIX, p. 521) sagt, dass ich die Hypothese aufgestell~; habe, der Kern der Krystalllinse sei kuglig. Ich bin aber davon welt entfernt; gewesen, sondern habe nur, zu einer Zeit, wo ich noch nicht Gleichungen ffir dieke gesehichtete Linsen aufgestellt hatte, die kuglige Kernform als ein besonders einfaches Beispiel yon st~irker gekr~immtem Kern der Rechnung unterzogen; es heisst an der betreffenden Ste]le (Ueber sehiefen Durehgang etc., 1874, p. 20): ,,Die Formeln werden noch einigermassen ~ibersehbar, wenn man die Kernlinse kugelig annimmt" etc.
310 L. H e r m a n n :
es wird dann, da
nach G1. 1:
(38)
sin (q~--a) ~ dt~ sin a g cos a'
e \ tt ] ~ ~ tt~cosa"
Nun ist aber die vordere Bildweite e. der Flliche q identiseh mit der hinteren Bildweite der ni~chst tiusseren Fliiehe (q+dq), wean man diese Bildweite negativ nimmt und zugleieh um das Sttick A/~----- t vermindert, d. h. es ist
e~ = - - ( f~+d f* - - t ) . Um den Werth yon t zu finden~ beaehte man, dass
t ~--- A D - - B D = (Q+dQ)cosa'--ecoscp, dtt sin ~a
oder, da a' -~- a+da und cos~f = eosa-~ 4tt eostz
t = e . /
Zur Bestimmung yon da dient das Dreieck abe, in welehem ,osin~ ~--- (Q+dQ)sina'~ also mit Einsetzung der Werthe:
oder
(39) eotga da+ d~ + d~ _=_ O. ~ Q
PUhrt man den hieraus folgenden Werth yon da in die Gleiehung Nr t ein, so findet man
t - - de COS ct
so dass nunmehr mit Einsetzung yon
in die Gleiehun~ 38 sieh ergiebt
(40) tt~ § ~cosa(f* ~- - t~dd~) --- f . ~ dt~
Ferner ergiebt die Integration der Gleiehung 39 lg sina + lg # § lg e ----- eonst.,
oder (41) tlesina : k.
Brechung bei schiefer Incidenz, mit besonderer Beriioksichtigung d. Auges. 311
Setzt man dies in Gleiehung 40 ein, so ergiebt sich
1 f 2 k 2 [ . dtt df*'~ .= t.,~dtt. . o + .
de In dieser Difierentialgleichung ist noeh die Beziehung zwischen
# und 0 disoonibel, tiber welche eine Annahme zu machen ist, etwa den Verhiiltnissen der Krystalllinse entsprechend.
b) D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g ftir d e n K r e u z s e h n i t t .
Aus Gleichung 1 ergiebt sich ftir die Fliiche 0, wenn man die Beziehung zwischen ~ und a bcrtieksichtigt,
(43) c~ ( 1 - - ~ ) cos~a # , = dft
e t + f~- gOcosa'
and da (vgl. oben) do ~
e r --- - V ? + a f t -
(44) ~ocos~.+ocos~[ft~(1 ~ft + sin ~a)-~-d~- cos ,~] =r L aO " dO '
woraus wiederum der Winkel a mittels der Gleichnng~-41 zu eli- miniren~ und dann die Annahme hinsiehtlich der Beziehung zwischen It und e einzuftihren ist.
c) D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g ftir n o r m a l e n D u r c h g a n g .
Hier wird a = 0 , und die Gleichungen 40 trod 44 reduciren sieh auf
[ ~ d t t df f~ dtL (45) rio + o~f ~ - - t L ~ ) = , do' worin wiedcrum die Beziehung von # und 0 einzufiihren ist. Die Gleichung 45 liisst sich auch leicht direct ableiten.
15. Integration vorstehender Differentialgleichungen fur einen Speoialfall,
Die einzuftihrende willktirliche Bezichnng zwischen tt und Q muss so sein, dass tt zunimmt~ wenn r abnimmt; das betr. Gesetz ist aber ftlr die Krystalllinse nicht nigher bekannt. Die einfachste unter alien Annahmen ware #Q ----- const.; sie trifft freilich ftir die Krystalllinse nicht zu~ dcren Index nicht so raseh zunimmt wie
312 L. H e r m a n n :
die Radien abnehmen, welehe iibrigens auch nieht coneentrisch gesehiehtet ist; jedoch ist schon die strenge Durchfiihrung eines einzigen Falles lehrreieh.
Setzt man also /~e-" c, so folgt aus G1. 41, dass a ~ eonst., d. h. das Strahlenbtindel durehli~uft alle Niveaufl~tehen unter glei- ehem Winkel, und bildet eine l o g a r i t h m i s e h e Spi ra le .
Die Integration gestaltet sieh nunmehr folgendermassen, da d~ c k de - - - - 7 und s i n e = - : c
oder
a) fiir d e n H a u p t s e h n i t t .
Gleichung 40 nimmt die Gestalt an:
e "~ 0 O' '
+ o \ d e
Setzt man, behufs Trennung der Veranderlichen,
f , df+ d~ --q -~- Z: a l s o dQ - - Qd-Q~' ~:
so erhiilt man, naeh gehtiriger Umformung,
d~ = cosa d~ e l - - 2 z c o s a + z z
woraus, da cos a constant ist, dureh Integration folgt - - COS Ct
lgQ --~ cotga .arc tg s i n ~ + const.
1,. - _ cotga, are tg (q s ~ - c o t g a ) + const.
Zur Bestimmung der C6nstante nennen wir r den Radius der vor- deren Grenzflliche und f , den Werth yon f+ fiir Q ~ r , so dass
(5: ) lgr = cotga, arc tg a- -C~ + const.,
also
(46) lg~ ----- cotga.arctg
oder wenn man setzt
(47)
1+ -- e o s a + - ~ -
r l g~ . tga ~ ~,
Brechung bet schiefer Incidenz, mit besonderer Beriicksichtigung d. Auges. 313
(48) ( f , e , \ /,, f , = tg 4. 1 + \ r - - ~ - / " } e ~ --r --e
Die geometrische Bedeutung yon 2~ ergiebt sich aus den Eigensehaften der logarithmischen Spirale, welche in unserem Falle vom Strahle gebildet wird. Die Polargleichung einer solehen Spirale ist niimlich, wenn eo der Polarwinkel, e der Radius Vector, a tier eonstante Winkel zwischen Vector und Tangente~ endlieh r der Werth van e ftir eo-~O,
Q ~ r e - - w c o t g a ,
woraus folgt
m = lg~-. tga.
Ist also in Figur 5 L A das einfallende Btindel, A D (Radius r) nnd A'D' (Radius e) die Grenzen des gesehichteten Systems und A B das spiralige Curvensttick, welches das Btindel im System zurUcklegt, so entsprieht der Winkel A K B der Bedentung yon co, und sein Werth ist, wie man sieht, ~ 4.
b) ftir den Kreuzschn i t t .
Gleichung 44 geht fiir p Q ~ c tiber in
cosUa- cosa(~( l+s in~a)~ d~fQ+ c o s ~ ) : - - ~ .
Setzt man behufs Integration
f t - - z , also ~ - - - -~cosa C ) ~ + z , Q COS
so ergiebt sich
(l--z) ~ ----- Q e o s ~ a ~
oder dq _ cos~ a dz - ( 1 _
314 L. t t e r m a n n :
Die Integration ergiebt
qc~ + c o n s t . - ec~ ]@e = 1 - - z e e o s ~ - - / t + c ~
Setzt man wiederum fiir O = r, f t --= f ' t , so folgt ?'COS3 C~
lgr - - + const, r e o s a - - f ' t
also
ft #f r r
(49) lg - ----- cos a a . o ( -cos a)(f--- eos )
oder mit Berticksichtigung yon G1. 47
f'# ft r Q
sin cr cos ~ a
e) f t i r den n o r m a l e n D u r e h g a n g .
Setzt man ~ = O, so folgt arts G1. 46 oder 49 (oder aueh ab- leitbar aus G1. 45, indem man ~t q = c setzt):
f' __(f (51) r 0 - - lg r_.
( ~ - - - 1 ) ( f - - i ) q
16, Bereohnung der Brennweiten und der Bildgiite fiJr eine Linse yon der angenommenen eontinuirlJchen $ohiofltung.
Wir nehmen wieder die Existenz eines optischen Mittelpunktes (vergl. oben S. 290) und Durchgang der Strahlen dutch denselben an. Die Sehichtun@ ers~trecke sieh yore Radius r his zum Radius Q, innerhalb des letzteren bleibe der zugehSrige Index his zam opti- sehen Mittelpunkt, so dass r die Grenze eines homogenen Kerns bedeutet. Jenseits r sei der Index 1, und die Sehichtung beginne bei r mit dem Index n, so dass also der Kern den Index hat
r n - . Endlich sei wieder 6 der Abstand des optisehen Mittelpunktes
Q yon der ersten Linsenfl~tehe.
•ennt man e*, et, e die Abstiinde des leuchtenden Punktes
Brechung bei schiefer Incidenz, mit besonderer Beriicksichtlgung d. Auges. 315
yon tier 1. Linsenfl~che, so findet vermi~ge der Breehung an dieser Fli~chc die durch die Gleichungen 1 gegebene Beziehung start zwisehen e* und f'* (G1.48), et und f'j" (G1.50) etc., und man kann so direct Beziehungen finden (unter Elimination yon f+, f t ) zwisehen den conjugirten Bildweiten, die vordere gemessen yon der 1. Lin= senfli~che (r) nach vorn, die hintcre yon der Kernfliiche (q) naeh hinten. Man findct so aus 1 und 48, in 1 f'* fiir f* eingesetzt:
r~ sink +sin (a--A) sinq~
(52) s i n @ - - a ) " r sina ~, sin (a +)~)--,sinZ
I
aus 1 und 50, in 1 f t ftir f t eingesetzt:
(53) s in~eosa _ _ )~ /1 - -~c~ a ) - s inae~
sin (q~-- a) -- e-~COS ~ sina )~(1- -~ cosa ) - - ~cos~as ina '
endlich aus diesen, mit a-----0, oder aus 51:
(54) r - - Q
Setzt man in diesen drei Gleichungen f----- oo und 15st f~r e, so erh~lt man die Abst~nde der vorderen Brennpunktc des vor- deren Systems (g*, gt, g); setzt man in denselben Gleichungen ftir f ein
sin(O--a) _ q cos a -- (r--6) cos a, C~ ~-- e sina
und liist ftir e, so crhiilt man die Abstiinde dcr vordcrcn Haupt- punkte yon der 1. Fl~che (~-, ~% (p), und hat dann nur die Wcrthc G~---g.--?, etc. zn bilden.
Ftihrt man diese Reehnung aus, was hier nieht in cxtenso dargestellt wird, so gelangt man nach vielfachen vereinfachenden Umformnngen zu den Ausdrticken
(55) G* = r sin 9o sin (9-- a + ),) ]-cos(9--a +)~) + cotg ~9 sin(9--a +)~)]"
r sinOsin ~o cos~ eos4a (56) G? =[cosa s in(9-- a) + )~eos~] [cosa (cos,gsin(~-- a) + sinaeosgeosa) + ;~eos,gcos~]
316 L. t I e rmann:
(57) G = nre
Die Gleiehungen 55 und 56 vereinfaehen sich aber bedeutend, wenn ma~ den Ineidenzwinkel ~ einfiihrt. Figur 5 ersieht man leieht, dass
wodureh man erh~lt (da ~ a +~, = e - - 6 ~) sin~ tga
(5s) G , = r . . sme eose' tg~--tg,, ~
(59) Gt = rsinT, tg a r tga r tga
noeh sehr Aus der
Gleichung 58 ist identisch mit Gleichung 26, und Gleiehung 59 wird identisch mit Gleichung 27, wenn man setzt
(60) tgq0--tga+lg r tga e costa ~ tgz, und tg,,~+tgx ---~ tg~p.
In der That ergiebt sich, dass das Glied lg r tga nichts ande- Q COSta
res ist, als die Summe oder das Integral aller Differenzen zwisehen den Tangenten des Einfalls- nnd Breehungswinkels an jeder Niveau- ft•ehe, w~hrend t g ~ - - t g a diese Differenz flir die 1. Linsenflaehe darstellt. Da der Breehungswinkel iiberall == a ist, so ist der Ein- fallswinkel ~ an einer Niveaufigche bestimmt dutch
sin~ = ( 1 - - ~ ) s i n ~ =- (1 + ~ ) s i n a ,
woraus folgt ( dO) do tga
tg~ = tge 1 + oe~ a- oder t g ~ - - t g a = - - e cos ~a" Integrirt man diesen Werth yon e his r, so erffiebt sieh, wie naeh G1. 30 zu erwarten war,
r
tg~--tga)dQ , r tga
Als Ausdruek fur die B i ldg t i t e gilt also aueh hier die Gleichung 29, wenn man far ~p und X die dureh Gleiehnng 60 bestimmten Werthe einsetzt.
~ach dem S. 808 Gesagten muss die Bildgtite einer solehen Linse grSsser sein, als die einer homogenen Linse yon gleieher
Brechung bet schiefer Incidenz, mit besonderer Beriicksichtigung d. Auges. 317
eentraler Brennweite (diese letztere dureh GI. 57 bestimmt); dies bestiitigt sieh dutch numerische Beispiele, und zwar auch ftir die allergrSssten Incidenzwinkel.
17. Die Gleichungen f'dr eine Linse mit continuirlicher index~nderung beliebiger Art in concentrischen Niveaufl~ichen.
In den beiden vorigen Paragraphen sind die Differential- gleichungen der continuirlich gesehichteten Linse nur flit eine ganz specielle Annahme beziiglich des Verh~ltnisses zwischen tt und 0 integrirt worden (vgl. S. 311 f.). Wit haben aber nunmehr ein Mittel, die strengen Gleichungen ftir Brennweiten und Bildgtite direct fur j e d e s Schiehtungsgesetz aufzustellen~ indem wir die Gleichung 30 benutzen. In dieser hiingt tg~ -- tga veto Brechungs- verhliltniss an der vorderen Linsenfliiche ab, dagegen stellen die folgenden Glieder ein Integral dar, welches die Differenzen der Tangenten des Einfalls- und Brechungswinkels an allen lqiveau- fliichen bis zur Grenze des Kerns nmfasst. Um diesen Integral- werth aufzustellen, beachte man, dass an jeder Niveaufl~che (vgl. S. 309)
woraus sich ableitet
also
tga'[1 dp tg~v' ~ \ t~ c -~Y~ a' ] '
tg~ ~ - tga' ----- d# tga' ~t COS2a J~
wofiir man, unter Beriicksiehtigung yon Gleichung 39, auch setzen kann
t g ~ ' - - t g a ' - - tga' Q da' COS2a ' d _~ Cos2a ''
so dass (Gleichung 30) T
(61) t g g = t g ~ - - t g a + ("{ ..,tga' dQ da' \ J \ eos~a' e + ~ ) " r
Unter dem Integralzeichen liisst sich mittels Gleichung 41, wonaeh tt0sina' ~ k,
sowohl a' als da' auf Functionen yon r reduciren, sobald eine be- stimmte Annahme tiber die Beziehung zwisehen tt und q, d. h. das Gesetz der Index~inderung, gemaeht ist.
318 L. H e r m ~ n n :
Ferner ist stets auch a und e leieht zu bestimmen; es muss namlieh immer sein (vgl. Fig. 3 oder 5)
Qsina" -= ( r - -d)s in6 ~, wenn man Q den Radius der Kernflache und a" den Werth des Breehungswinkels ftir diese Ft~ehe nennt, der sich stets aus dem Vorstehenden ermitteln l~sst. Ebenso ist stets, wie man aus Fig. 5 entnehmen kann,
wenn a" die eben angegebene Bedeutung hat 1), und )~ den Winkel zwisehen dam ersten und letzten Einfallsradius bezeichnet; aueh dieser Winkel ist immer angebbar. Da nunmehr alle Daten far die Aufstellunff der Gleichungen 307 31 und 26--29 vorhanden sind, so lassen ftir alle Sehichtungsannahmen, sobald dieselben in- tegrirbare Ausdri~cke erffeben, Brennweiten und Bildgiite sieh genau bereehnen. Die centrale Brennweite ist ebeufalls dann immer leieht zu finden, indem man die Winkel versehwinden lasst.
18. Schlussbemerkungen,
Der Weg, noeh andere Arten geschichteter Linsen auf die Bildgiite bei sehiefem Durchgang zu untersuehen, ist in dieser Arbeit so vollstandig vorgezeiehnet, dass Jeder, der die Aufgabe welter verfolgen will, die Anknttpfungspunkte vorfindet. Der naehste Sehritt ware der Uebergaug zur hie ht coneentrisehen Sehiehtung; ist in diesem Falle der Abstand der Kriimmungsmittelpunkte naeh Gr~sse und Vorzeiehen gegeben, so lassen sieh ohne Sehwierigkeit Gleiehungen wie No. 13--17 aufstellen, welehe aber, ebenso wie die aus ihnen abgeleiteten Ausdriieke far G+, Gt- et% ungemein complicirt ausfallen.
Es erseheint unn~thig, diese Bereehnunffen hier auszufiihren, da die prineipielle Frage bereits entsehiedeu ist. Sehon bei eon- centriseher Sehichtung ist das Bild fib" den Schiehtungsfall inner- halb welter Grenzen besse~ als far die gleiehwerthige homogene Linse, sobald, wie bei der Krystalllinse, der Breehungsindex naeh innen zunimmt; ftir niehtconeentrisehe Schiehtung muss dies, wie schon angeftihrt, noeh allgemeiner der Fall sein, sobald wie bei der Krystalllinse die Krtimmung raseher zunimmt als im coneen- trisehen System.
1) Bei dem in dem vorigen Paragraphen behanclelten Falle war a constant,
und daher a " - -~ a .
Brechung bei schiefer Incidenz, mit besonderer Beriickslehtigung d. Auges. 319
Als ich im Jahre 1874 darauf hinwies~ dass die Schiehtung der Krystalllinse das Auge periscopischer maehe, konnte ieh nur fiir unendlich dtinne Linsen die sehiefwinklige Abbildung be- rechnen. Es ergab sich, dass ganz allgemein solche Linsen homo- centrischere Bilder, d. h. kiirzere Brennstrecken geben, als gleieh- werthige homogene Linsen 1). Allein spi~ter Iand ieh, dass die Bildgtite dadurch noch nicht verbessert wird, weil in gleichem Masse wie die Brennstreeke aueh die GrSsse des Bfldes durch die Schiehtung verkleinert wird. Der riehtig bemessene Werth tier Bildgiite zeigt sich ftir unendlieh dilnne Linsen unabh~ngig yon der Sehichtung~). Seitdem ist es mir gelungen~ aueh dicke ge- schichtete Linsen in roller Strenge zu berechnen und nun zeigt sich, dass diese, wenn sic nach Art der Krystalllinse gesehichtet sind, in der That grSssere Bildgtite, also grSssere Periscopie haben als gleichwerthige homogene Linsen. Dieser Vorzug wird erst ftir unendlich dtinne Linsen, oder ftir unendlich kleine Ineidenzschiefe gleieh Null (vgl. S. 308).
Unterdessen ist in meinem Laboratorium yon M. P e s c h e 1 der Grad der Periscopic des menschlichen Auges, sowie der iso- lirten Krystalllinse direct empirisch bestimmt, und in der That wesentlich gr(isser als der gleichwerthiger homogener Systeme ge- funden worden3). Die vorstehenden Bereehnungen liefern zum Verstiindniss dieser Thatsache den Sehltissel. Freilich ist yon M ~ t t h i e s s e n und dessen Sehtilern noch auf ein andres Moment hingewiesen worden, welches die Periscopie des Auges begtinstigt, niimlieh auf die Abweiehung der brechenden Fliiehen yon der Kugelgestalt ~). Ieh bin welt entfernt, die Mitwirkung dieses Mo- mentes zu bezweifeln, zumal wit ja auch auf anderen Gebieten zahlreiche 0rganisationseigenthtimlichkeiten zu demselben Resultate zusammenwirken sehen; indess seheint mir das yon mir hervor- gehobene Moment das entschieden wirksamere und in der Thierwelt am allgemeinsten verwirklichte.
1) ,,Ueber sehiefen Durchgang etc." Gra~ulationsschrift fiir Ludwig. Ziirich 1874~ p. 18ft.; ferner Poggendorff~s Annalen~ Bd. CLIII~ p. 470.
2) Dies Arehiv, ]3d. XX~ p. 371. 3) Dies Archiv, Bd. XVIII, p. 504 und Bd. XX~ p. 338. 4) Dies Archiv~ Bd. XIX~ p. 522 und Bd. XX, p. 264.
