Uber das asymptotische Verhalten von Funktionen, die durch Reihen nach Zylinderfunktionen dargestellt werden konnen.

Von JOSEF MEIXNER in Aachen.

(Eingegangen am 24. 9. 1949.)

Es sind Usungen der Mathieuschen Differentidgleichung

3 + (A - 2h2cos2z) y = 0 aza

bekannt, welche aich durch Reihen nach Zylinderfunktionen darstellen lassenl) , Unter den zahlreicheq Reihen dieser -4rt sei als Beispiel

erwiihnt. Der Index v hangt von den Parametern A und h ab. Dasselbe gilt fur die Koeffizienten cer, die sich als Losungen eines gewissen dreigliedrigen Rekursionssystems ergeben. Von diesen Koeffizienten kennt man die Eigenschif t

(3)

Uie Funktionen 8 in (2) stellen einen Satz von Zylinderfunktionen dar, d s o etwa Besselsche Funktionen oder Hankelsche Funktionen erster oder xweiter Art. Aus den Rekursionsformeln der Zylinderfunktionen schlieSt man, daB stets eine der Beziehungen

gilt. Mit Hilfe von (3) und (4) ist nun leicht zu zeigen, daS die Reihe (2) min-

destens fur 1 < I cow I < 00 ebsolut konvergiert, und aus gewissen Abschatzungen der Zylinderfunktionenz) folgt weiter, daB die Konvergenz in jedem abge- schlossenen Bereich der z-Ebene, dessen Punkte die eben genannten Redingungen erfiillen, eine gleichmiil3ige iat.

Ober das asymptotische Verhalten der durch die Reihe (2) dargestellten Funktion fur grol3e CRz weiS man &us den Satzen uber Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten 1) [( 1) liist sich in eine solche iiberfuhren, indem

l) Vgl. N. W. MCLACELAN, Theory and Application of Mathieu Functions. Oxford 1947. a) J. MEIXNER, Arch. Math., Oberwolfach I (1949), 43-40.

10 Meixner, Ober das asymptotische Verhalten von Reihen nach Zylinderfunktionen.

man etwa cosz als neueveranderliche einfuhrt], dal3 in n n < arg hcosz < ( n f 2 ) n ( n = O , & l , & 2 , . . .)

y (z) ( h cos 2)- 4 [ A , e2ih C 0 8 z + Bn e-2ah c 0 8 q (5 )

gilt, wobei die Koeffizienten An, B,, in jedem dieser Winkelbereiche eindeutig bestimmt sind, aber fur zwei vervchiedene dieser Winkelbereiche, d. h. fur verschiedene n , nicht dieselben zu sein brauchen (Stokessches Phanomen fur die kritischen Richtungen argyz

Welche Werte habcn niin die Koeffizienten A,, B,, in einem konkreten Fall, wie er beispielsweise bei der Reihe (2) vorliegt? Es liegt nahe, diese Frage so zu beantworten: Man setze in (2) die bekannten asymptotischen Reihen der Zylinderfunktionen fur grol3en Betrag des Arguments ein, vertausche dann die Summationen und fuhre jene nach r aus. Dann ergeben sich fur die Funk- tionen y ( ~ ) Reihendarstellungen, deren erstcs Glied die Gestalt ( 5 ) mit be- stimmten Werten der Koeffizienten A,, B, hat.

Die asymptotischen Reihen der Zylinderfunktionen sind aber nur dann anwendbar, menn 12h C O S Z ~ , > 1 und ,> I Y + 2rl. Die% Bedinsungen lassen sich aber nicht gleichzeitig fur alle Reihenglieder in (2) erfullen. Dennoch l&Bt sich das formale Einsetzen der asyniptotischen Reihen der Zylinderfunktionen in (2) rechtfertigen.

0 und -= n mod2n).

Es gilt namlich der

Satz: Es sei m

Hierin ist v eine beliebige komplexe Konstante, uo eine beliebige nicht negative reelle Znhl und HL':, die erste Hankelsch Funktion. Dann besitzt die durch die Rcihe (6) dargestellte und fur uo < ]uI < co definierte Funktion i m Winkel- bereich --3t + 26 argu 5 2n - 26, um Li eine beliebig kluine potdive Zahl ist , die asymptotische Reihe

ZUT Abkiirzung i d hier

( , v , m ) = - nv + + (m = 0 , 1 , 2 , . . .) m! r ( Y - nz + #)

gesetzt. Zuniichst bemerkon wir, daB die Reihe (6) wegen (4) und (7) mindestenv

fur w,, < Iu1 < 00 absolut konvergiert. Aus der erwiihnten Abschiitzung der Zylinderfunktionen.) folgt weiter, daB die Konvergenz in uo + 6, < Iu1 <

1) G. HOEEISEL, J. reine angew. Mat,h. 153 (1924), 228-244. 8 ) J. MEIXNEX, loo. cit. FuBnote 2 S. 9.

Meixner, a b e r das asymptotische Verhalten von Reihen nach Zylinderfunktionen. 11

auf der Riemannschen Flache der wegen der Mehrdeutigkeit der Hankel- Funktionen mehrdeutigen Funktinn f (u) gleichmiiBig ist, wenn 6, eine beliebig kleine positive Zahl bedeutet. f (u) ist also als Sumnie von in uo + 6, < IuI < 6,' regularen Funktionen wieder eine solche.

Dem Beweis des obigen Satzes schicken wir den folgenden Hilfssatz voraus.

Hilfssatz: Sei 6 eine beliebig kleine positive Zahl. Dann gilt in -z + 26 5 argz 2n - 28, falls p + *> lrrtvl ist,

1 IS^ % v = ++, f i , f :-, . . . , so ist in (11) an Stelk w o n cosf ivn Y) zu setzen

1

P. r ( p + % v - - j ) ! ( p - W v - i ) ! . (13)

Wegen H!!, (u) = eivn H"' ( u ) und wegen ( v , m ) = ( - v , n ) genugt es, den Hilfssatz fur 'illv 2 0 zu beweisen. Zum Beweis von (11) gehen wir von der folgenden bekannten Darstellung des Restgliedes lit,'p (u) awl) :

Hierin ist j3 irgendeine Zahl, welche den Ungleichungen

genugt; es laBt sich also fur jedes u in -n + 28 5 argu 5 2z - 26 ein finden, welches diesen beide3 Bedingungen geniigt. Ferner ist fur (14) W ( v - p - 9) < 0 und $R(v + 4) > 0 vorauszusetzen. Die letzte Bedingung fur v ist wegen unserer Annahme W Y 2 0 von selbst erfullt. Das Integral in (14) 1aOt sich durch

e-~3v(casj3)-~v-p-~r(WY + p + +)

majorisieren. Dn cosg 2 sin6 (vgl. (15)), da ferner

I) H. HANKEL, Math. Ann. 1 (1869), 487-501. Vg1. auch Q. N. WATSOX, Theory of Beasel Functions. Cambridge 1922, S. 196.

] 2

iind

ist, so ergibt sioh &US (14) schliedlich (l l) , sofern % v i + y + y { , . , . ,

iind p -/- 4 > v . 1st dagegen W v =

Meixner, m e r daa aaymptotiache Verhalten von Reihen nach Zylinderfunktionen.

I n 4 - 9 4- P) J 5 r(t - 8 v + P) 1st Y = , ," , {-, . . . , so verschwindet das Restglied wegen (4 - Y ) ~ = 0

-:, -:, . . . . aber 9 v + 0 , so wird

woraiis die in (13) tlusgesprochene Behauptung folgt.

game %ah1 > ! % + 1 - $ und Wir wenden uns nun dem Beweis des Hauptsatzets zii. Sei 13 die kleinste

- P + Irl + q > ( 1.6) p - , =. p , =:

wo q eine feste positive ganze Zahl ist. Dann folgt &us (6), indem wir den Hilfs. stLtz mit Y 4- r an Stelle / ' r 4- 9 > ] % ( y + r ) ] ) ,

von v und p, an Stelle von anwenden ( d a m ist ja

I 17)

\Vir betrachten hierin zuerst die I~oppelsunime. Sie ist eine unendliche Reihe, 1

cteren Glieder Polynome in - sind. Sie konvergiert im Index r fiir IqI 2; uo U

iibsolut und gleichmiiRig; dies folgt a.us (17) und tliix den Abschatzungen

Wir diirfen also die Summationen uber m und uber r vertauschen. Dann ergibt sich

2' bedeutet, da13 in diedr Suninie mit wachsendem m immer grodere Liicken tuftreten. Beide Summen naah m in (18) sind fur !uI > uo absolut iind gleich- niiiJ3ig konvergent.

Da die Reihe nach r in (17) fiir 'uo + 8, < IuI < 8;' absolut und gleich- miil3ig konvergiert und da wir dasselbe fur den ersten Teil dieser Summe fest- gestellt haben, so gilt das gleiche auch fur die Summe der Restglieder. Es bleibt

Meixner, Oher das asymptotische Verhalten von Reihen nach Zylinderfunktionen. 1.3

nur zu zeigen, da8 sie auch nwh fur 1.1 -+oo absolut und gleichmiiBig kon- vergiert. Dies folgt aber aus

imd dieser Ausdruck ist kleiner als 1 fur I uI > - wo I& % V T & i , f 20, f ,.... sina d . so bleibt diese Abschiitzung bestehen. Es gilt also fur uo 4- 6, < IuI 5 00 und ---?I -k 28 5 arpu 5 2 n - 2 6 dip

absolut und gleichmiiBip konvergente Entwiclilung

wb die @A in diesent Bereich beschrankte Funktionen sind. Damit ist aber der Sat.z bewiesen.

Der entsprechende Satz gilt, wenn in (6) die zweite Hankelsche Funktion statt der ersten steht: in (8) ist dann uberall - i statt i zu schreiben, und fur den Winkelbereich gilt -2n $- 26 5 argu x - 28. Durch Kornbination dieser beiden FLlle ergibt sich die entsprechende Aussage, wenn in (6) statt der Hankelsohen Funktion die Besselsohe oder Xeumannsche steht ; doch gilt sie nur im Winkelhereich --x + 26 5 argu 5 n + 28.

Das eingsiigs erwahnte Problem, das asymptotische Verhalten fur groBe cosz der durch Reihen nach Zylinderfunktionen vom Typ ( 2 ) definierten Mathieuschen Funktionen zu bostimmen, ist nun mit Hilfe des bewiesenen Satzes einfach zu erledigen. Durch Reihen iihnlicher Art lassen sich die Sphiiroid- funktionen darstellen’) ; auoh auf dime l&Bt sich daher der bewiesene Satz ohne weiteres anwenden.

Hiingen die Koeffizienten a, in (6) von der Veranderlichen u ab, sind sit. aber fur q, 5 ]a] S co beschrblnkt und gilt die Beziehung (7) fur ihre oberen Schranken, so bleibt der angegebene Satz ebbenfalls gultig. I n dieser Form l&St er sich dann beispielsweise anwenden, um das asymptotische Verhalten der durch Siegersche Reihen -) nach Produkten von Zylinderfunktionen dar- gestellten Mathieuschen Funktionen oder der durch ahnliche Reihen3) dar- gesbllten Spharoidfunktionen zu gewinnen.

l) C. NIVEN, Philos. Trans. R. SOC. London 171 (1880). 117-151. *) B. SEEQER, Ann. Physik, IV. 8. Z7 (1908), 626-664. *) J. MWXNER, loo. cit. FuRnote 2 S. 9.