ZEITSCHRIFT FUR ANGEWANDTE MATHEMATIK UND MECHANIK INGENIEURW IS S EN S CH AFTLICHE FORSCHUNGSARBEITEN Band 19 Februar 1939 Heft 1

I n h a l t : Seite I

H a u p t a u f si i tze . A. H u b e r : Uber das Fortschreiten

W. B o l l a y : A Non-linear Wing Theory and its Application to Rectangular Wings of Small Aspect R a t i o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

H. M iil le r : Uber die zahlenmiiDige Beherrschung und Anwendung einiger den Besselschen verwandten Funktionen nebst Bemerkungen zum Gebiet der Besselfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 36

der Schmelzgrenze in einem linearen Leiter . . . 1

K l e i ne M i t t e i I nngcn . H. He i n r i c h: Allgemeines

G. R u d o l p h : Resonaneschwingungen von quadratisch

R. I g l i s c h : Zur niiherungsweisen Losung zweier

iiber Leitkurven in Richtungsfeldern . . . . . . 55

gediimpften Systemen . . . . . . . . . . . . 5G

GHeichungen mit zwei Unbekannten. . . . . . . 57

Seite B u c h b e s p r e c h u n g e n . D i n g l e r : Die Methode der

Physik. - M a y e r : EinfluB der Querschnittsver- formurig auf die Entwicklung der Geschwindigkeits- und Druckverteilung bei turbulenten Stromungen in Rohren. - HuBman 11: Rerbneriscbe Verfahren zur harmonischen Analyse und Synthese. - R i e m a n n : Partielle Differentialgleichungen und ihre Anwen- dungrn auf physikalische Fragen. - T r i c o m i : Funzioni Analitiche und Funzioni Ellittiche. - H o h e i s e l : Gewohnliche Differentialgleichungen. - L a n k e s und B a u r n g a r t n e r : Wirklichkeit und Formel, ein mathematisches Lesebuch fur die Jngend und das Volk. - K o w a l e w s k i : Magische Quadrate und magische Parkette. - K e l l e r e r : Mathematik und Verkehr, eine lebensnabe Einfuhrung in die Methoden der Statistik. - P e s o n e n : Messung der Basis Belasebov in RuSland. - Weiter eingegangene H i i c h e r . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

N a c h r i c h t e n . . . . . . . . . . . . . . . . 59

63

HAUPTAUF s ATZE Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem linearen

Leiter. Ton A. Hzcber in Freiburg (Schweiz), jetzt in Wien.

enn sich ein h e a r e r liomogener Leiter teils im festen, teils iin flussigen Aggregat- w zustande befindet, dann werden die Trennungsstellen der beiden Zustande, an denen also gerade die Schmelztemperatur herrscht, ini allgemeinen ihre Lage mit der Zeit andern. In einem x, t-Diagrainm werden daher jene Stellen eine aus einem oder mehreren getrennten Stiicken brstehende Kurve beschreiben, die wir als Schmelzkurve l) bezeichnen wollen. Die besondere Scliwierigkeit der zur Ermittlung dieser Kurve zu losenden Randwertaufgabe besteht bekanntlich darin2), dab ein Teil des Randes selber zu den Unbekannten des Problemes geh8rt. Da mir abgesehen von den in der Enzyklopadie d. niathem. Wissensch., 5. Bd., 1. H., S. 204f. angefiihrten alteren Losungsversuchen eines besonderen Falles dieser Aufgabe aus neuerer Zeit nur eine Arbeit des Herrn K. L a c h m a n n 3 ) und ein Referat uber einen Aufsatz des Herrn S. K O w n e r ') bekannt geworden sind, so mochte ich im folgenderi eine allgemein an- wendbare neue Methode zur nalierungsweisen Bestimmung der Schnielzkurve initteileii und durch ein vollstandig durchgerechnetes Beispiel illustrieren. I'hre praktische Anwendung er- fordert allerdings, wenn man auf eine bei Warmeleitungsproblemen ungewohnlicli grofie Genauigkeit Wert legt, einen erheblichen Aufwand an rechnerischer Arbeit, aber auch die von Herrn L a c h m a n 11 angegebene Ldsung des von ihm betrachteten technisch interessanten Sonderfalles, der sich durch besondere Symmetrieverhtiltnisse auszeichnet, stellt in dieser Hinsicht ziemlich hohe Anspruche. Weiters liegt dem von Herrn L a c h m a n n mittels der Methode der Quellpunkte durchgefuhrten Ansatze, der. sich tiberliaupt nur in dem von ihm betrachteten besonderen Fall machen lafit, die wesentliche Annahme xugrunde, dab Temperatur- und Warmeleitzalil vom Aggregatzustande unabhangig seien, so da6 man fiir die ganze Aus- dehnung des Leiters nur eine einzige Differentialgleichung zu integrieren hat. Diese Annahme hat natrirlich eine bedeutende Vereinfachung der Rechnung zur Folge, indessen dtirften wohl niclit unbegrtindete Bedenken am Platze sein, ob sie in der Regel wenigstens einigermafien den Beobachtungstatsachen entspricht. Nun zeigt aber schon eine fliiclitige Betrachtung der wenigen Ftille, in denen uberhaupt Beobachtungen der Wiirmeleitzalil x ails einem Temperatur- ____

1) Obwohl diese Bezeichniing in der Thermodynamik bekanntlich in einem ganz anderen Sinne bereits ver- wendet wird. wollen wir sie der Kiirze wegen doch beibehalten, da ja hier wohl keine Verwechslung zu befiirchten ist.

2, Vgl. z. B. R i e n i a u n - W e b e r : Die Diff.-u.Int.4l.d. Mech. u. Phys., 7. Aufl., hgg. v. P . F r a n k u.R.v. Mises (1927), 2. Rd , S. 22Uff.

3) ZAMM 15 (193:1), S. 345 bis 3%: Zum Problem des Erstarrens f . d. durch zwei parallele Ebenen begrenzten Korper.

4 ) Journ. Gpophgs. Moskow 3 (1933). S. 3% bis 41 [Jahrb. d. Fortschr. d. Math. 59111 (1933), S. 14771. 1

Z . aiigew. Moth. Mech. 2 EIube r , Uber das Fortschreiten der Schmclzgrenze in einem linearen Leiter ~ d . 19 N ~ . I Fehr. 1939

interval1 vorliegen, das riuch den Schniclzpunkt der betreffcnden Substanz enthalt 'J, dab sicli x in1 allgerneinen zwar wenig tindcrt, solange die Temperatur entwcder standig ober- oder stgndig unterhalb des Schmelzpuuktes bleibt, darj dageb.cn beim Chersclireiten desselben eine oft bis uber den halben Betrag anwaqlisende pliitzliche Abnahnie von x stattfindet. Nur W i s m u t zeigt eine st,nrke Zunalime, indeni x (200') = 0,017 und x (300") = 0,037 werden. Bei dieser Sachlage durfte daher eine Naheningsmethode ziir Restimmung der Sclinielzkurve, die der rasclien Veriinderliclikeit von x i n der Unigebuiig des Schnielzpunktcs wenigstens dadurch Rechnung triigt, dnfj den heideri Aggregatzustanden entsprecliend zwei verschiedentt konstante Mittelwerte fur x gcsetzt wcrden, nicht ohne Intcresse sein, wenn auch ihre Durcli - fuhrung in einem konkreten Fall ziemlich vie1 Arbeit erfordert.

1. Ansatz zur strengen Losung flir den unbegrenzten Leiter. Um die grofien Schwierig- keiten, die einer evakten Lbsung des in Frage stehenden Problemes im Wege stehen, deutlicl~ hervortreten z u lassen, wollen wir fiir den Fall des bciderseits unbegrenzten Leiters zeigen, wie sie sich bei Reriutzung der bctkaniiten Ansatze gestalten wiirde. Durch die Indizes 1 und 2 unterscheiden wir deri festen und den fliissigen Zustand und nehmen an, dab der Leiter zur Zeit t = O fur x<0 fest und fiir z > 0 flussig sei. Daon handelt es sidi um die Re- stimmung je cines Integrales der beiden Glcichungen

die den folgenden Bedingungen genugen:

a)61(z,0)=v,(z)I0 fur x l 0 und t 9 , (x ,0 )=(p2(x . )20 fur $ 2 0 , wobei ql(0)=cp,(0)=O die Schmelztcmperatiw betlenten und yl (x), q2 (z) stetig differenzierbar sein sollen, und es m6ge sich ein eventuell ursprijnglich an der l'rerrnungsstelle vorlianden gewesener Temperatur- sprung bereits niisgegl iclicn liabcn.

b) Fiir t 2 0 seien init s = s ( t ) die noch unbekannte Gleichung der Sclimelzkurve bezeichnet, rr i i t xi die als konstant aiigenommenen Wiirmeleitzahlen, mit die Dichte und mit 1 die Schmelzwarme, dnnn soll:

a) t9, [s ( t ) , t j = O? [s ( t ) , 21 = 0 ,

Es seien nun Bi' (x , t ) zwei den Anfangsbedingiingen a) geniigende Integrale und cyi' 1,s ( t ) , 1) r - - y'i ( t ) ,

dann liaben wir je ein weiteres Integral "3'' [x , t ; s ( t ) ] so zu bestirnmen, dafi 19~' ' (x, 0; s ( t ) ] = 0 und IF,'' [s ( t ) , t , s ( t ) ] Y J ~ ( f ) .

DRZU setzt man hekanntlich

woraus sich zur Bestimmung der beiden Funktionen trji ( 7 ) die folgenden Integralgleichungen ergeben, dercn Kerne aher von der jn. noch unbekannten Funktion s ( t ) abhgngen:

Fiir die Teniperaturverteilung in den beiden Teilen des Leiters erhalt man somit 19i [x, t ; s ( f ) ] = ?Yi ' (32, t ) + Oi" [x, t ; s (t)] ;

wobei identisch fur jedes ~ ( t ) : t9i [z, 0; fi ( t ) ] = Q I ~ (x) uncl Hi [s (I), t ; s ( t ) ] - 0 ,

6) L n i i d o l t - n i i r i i r t e i r i : Phys.-chem. Tahcllen. 5. Anfl., 2. Bd. (1923). 5. 1289. 6 ) Ob man hier fiir e die Dictite deu fe.iten oder des fliisgigen Zustandes zu wiihlen hat, hiingt, strenge genommen,

VOII der Riclttnng nh, nnch der die Scliinelzgreuze fortschreitet. Man rniil3te ober dann, wenn man diesen Umstand beriirksichtigen wolltr, folgerichtig auch schon bei der Bildurlg der Warmeleitun~gleichung. dio Wiirmeausdehnnng des Leiters beachtell. EY sol1 also (J einen Nittelwert der iru allgemeinen ohnehin nicht stark nrit der Temperatur variierenden Dichte I)cdeiiteii.

Z. sngew. Math. Mech. Bd.19 N ~ . 1 Febr. 1989 Huber, Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem linearen 1,eiter 3

wiihrend sich zur Bestimmung der Schmelzkurve x = s ( t ) die gewiihnliche Differentialgleichung erster Ordnung (1) ergibt. Um mit diesem Ansatze s (1) naherungsweise best,immen zu konnen, ware es wohl das Nachstliegende, s ( t ) durch ein Polygon zu approxiniieren, aber die dann nicht zu vernieidende LBsung der beiden Tntegralgleichungen wurde dabei erhebliche Schwierig- keiten verursachen, die sich fur einen beiderseits begrenzten Leiter noch bedeutend steigern wiirden. Deshalb war es unser Ziel, die nun zu schildernde Ngherungsmethode zur Bestimmung der Schmelzkurve von vorneherein schon so einzurichten, dab dabei - wenigstens explizite - die Aufldsung von Integralgleichungen umgangen wird.

2. Ansatz zur naherungsweisen Bestimmung der Schmelzkurve. Um unndtige Weitlaufig. keiten zu ersparen, wollen wir nun unsere Naherungsmethode an einem besonderen Fall Bus- einandersetzen, der aber doch wieder so allgemein ist, dab ihre wesentlichen Zuge deutlich hervortreten. Wir betrachten dazu einen linearen Leiter, dessen Enden die Abszissen x = 0 urid 2 = 1 haben niogen und der zur Zeit t = 0 im Interval1 (0, gl) fest, in (ql , q2) fliissig und in (y2, 1 ) wieder fest sein soll. Naturlich setzen wir dabei voraus, dafi sich auch im fliissigen Teil die Warme nur durch Leitung und nicht auch durch Konvektion fortpflanzeii soll und dab die Warme. und die Temperaturleitzahlen fur jeden der beiden Aggregatzustande konstant bleibende Werte haberi mogen. Bezeichnen wir also die Schmelztemperatur wieder mit 6 = 0 , dann soll:

(21, 8 (r, 0) = y?, (4 2 0 fur q , 5 z 5 qz . . * . . . . * . i po(z)SO fur O l z 5 g l I p?,(x)SO fur q z 5 z 5 1

wobei die Funktionen vj (x) als stetig differenzierbar vorausgesetzt werden und an den Inter- vallgrenzen stetig ineinander ubergehen sollen, also q0 (yl) = yl (gl) = q, (ql) = p), (y,) = 0. An den Enden x = O und x = 1 sollen die Temperaturen etwa als Funktionen der Zeit vor- geschrieben sein :

t9(0, t )=f( t ) und. S(Z, t )=g( t ) . . . .- . . . . , . (31, wobei noch po (0) = f(0) , y2 ( I ) = g (0) und der Einfachheit halber stets f ( t ) < 0 und g ( 8 ) < 0 bleiberi sollen, damit wir uns bei der Bestimmung der Schmelzkurve vodlufig auf einen die Punkte x = qi und x = q2 verbindenden Bogen beschrihken kijnnen. Man wird spater leicht bemerken, dab diese Einschrankungen keineswegs wesentlich sind, sowie auch, dafi man die Randbedingungen (3), oline die Anwendbarkeit der Methode zu beeintrgchtigen, durch andere ersetzen kdnnte.

Die Sclimelzkurve geht also jedenfalls durch die Punkte x = g, und x = g , hindurch, und die Richtungen ihrer Tangenten in diesen Punkten ergeben sich sofort aus (I), die ja auch fur t = 0 gelten muti:

Bei unseren Annahmen iiber die Funktionen vj(x) werden die (g) sicherlich endliche Grbben sein, die eventuell auch verschwinden kbnnen, so dab also die Sclimelzkurve die x-Achse im allgemeinen unter einem von Null verschiedenen Winkel schneiden wird. Der Fall, dab die Schmelzkurve die xAclise beriihrt, was dann eintreten wurde, wenn die eine oder die andere der auf den linken Seiten von (4) stehenden Ableitungen unendlich werden wiirde, bedarf einer besonderen Erdrterung, weil ja dann die Konstruktion der Schmelzkurve gleich zu Beginn versagen wurde. Dies wird sich praktisch sogar sehr haufig einstellen, nlmlich immer dann, wenn der feste Teil des Leiters mit dem iiber dem Schnielzpunkt erwllrmten fliissigen Teil pldtzlich zusammenstokt, so dab im Augenblicke der Bertihrung eine Unstetigkeit der Temperatur selber an der Berfihrungsstelle auftritt, doch soll vorlhfig dieser Fall bei den folgenden ober- legungen ausdrucklich ausgeschlossen sein, was ja auch schon in den Annahmen uber die Funktionen q j (x) zum Ausdruck gebracht worden ist.

Wir denken UIIS nun in den Punkten x = q l und x = q z die Tangenten der Schmelz- kurve konstruiert, deren Richtungen ja durch (4) gegeben sind, und schneiden sie mit eiiier Parallelen zur x-Achse im Abstande A t > 0 in den Punkten Ql' bzw. Q2'. Wenn wir sodarin unter der Annahme, dati die Schmelzkurve fur ein hinreichend kleines A t durch die soeben konstruierten Tangenten geniigend genau approximiert wird, die Temperaturverteilung irn

Cli

1.

Z. angew. Math. Mech. 4 Bd. 19 N,.. 1 ~ ~ b ~ . 1939

ganzen Leiter, also von x = O bis x=1 , fur t = A t den gegebenen Anfangs- und Rand- bedingungen gemab berechnen kbnnen, dann lassen sicli wieder mittels der jetzt aber fur

x = y1 + (g) . d t bzw. fur 2 = q2 + - . A t analog wie (4) zu bildenden Relationen die Tangenten in den Punkten Q,' und Q2' konstruieren. Man kann also durch wiederholte An- wendung dieses Verfahrens die gesuchte Schmelzkurve durch ein Polygon um so genauer approximieren, je kleiner man die Zeit intervalle A t wahlt.

H u b e r , Uber das Fortschreiten rler Schmelzgrenze in einem linearen Leiter

Q1 (1IL a2 79i a 3 if.. a x a t a 2t

[ x 1 ' (t-2 * a + mi) -- X 2 62 . 2-t + Z$)lx= s ( t )

Wegen --=ai2 kann man mittels der aus (1) folgenden Relation:

d2 s d t2

=i .Q*- 8, d s 328 ' 2 9 cls d 2 6

aucli leicht eine parabolische Approximation der Schmelzkurve erreichen. Wir werden in der Tat spater sehen, dab die Bildung der Werte der Ableitungen hoherer Ordnung von 6 nach x allein, auf die es ja letzten Endes ankommt, auch praktisch leicht durchgefuhrt werden kann, so dab man fur die Funktionen s q i ( t ) , oder besser noch fur ihre Umkehrungen auch in einem grbheren Interval1 brauchbare Darstellungen finden kbnnte. Diese Uberlegungen lieben sic11 ubrigens ohne erhebliche Schwierigkeiten zu einem ,,Existenzbeweis" fur die Furrktionen sq ( t ) ausbauen, docli ist liier nicht der passende Ort hierzu. Wir werden aber spater, sobald wir die hierzu notigen Fornieln aufgestellt haben werden, leicht zeigen konnen, dab unser Verfahren das sehr vorteilhafte Bestreben besitzt, die infolge der Approximation der Schmelzkurve durch ihre Tangenten entstehenden Fehler von selber auszugleichen, so dak man praktisch wohl in den nieisten Fallen rnit einer Polygonapproximation der Schmelzkurve auskommen wird, zumal da es ja angesichts der groben Unsicherheit, rnit der die Angaben der hier in Frage kommenden tlierrnischen Konstanten naturgeniab behaftet sind, uberhaupt nicht vie1 Sinn hat, an die Genauigkeit der Rechnung hohe Anspruche zu stellen.

Unser Problem erscheint soniit auf die wiederholte Lbsung der folgenden Randwert- aufgabe zuruckgefuhrt : es ist der raumlich-zeitliche Temperaturverlauf in einem Leiter zu bestimmen, dessen Anfangstemperatm als differenzierbare Funktion seiner Abszisse gegeben ist und von dem beide Enden auf der Temperatur ~ 9 = 0 gehalten werden und sich rnit bekannten konstanten Geschwindigkeiten bcwegen. Es sei hierzu noch bemerkt, daP man die fiir die beweglichen Enden geniscliten Annahmen 6 = 0 auch durch allgemeinere ersetzen kann, ohne die Anwendbarkeit der nun zu entwickelnden Methode zu beeintrachtigen, so daP sie auch zur naherungsweisen Losung von Randwertaufgaben fur ein Gebiet dienen kann, das unten von einer zur z-Aclise parallelen Strecke und seitwarts von zwei Kurven begrenzt wird, die von einer Parallelen zur x.Aclise in je einem Punkte blob getroffen werden'). Unsere Methode versagt naturlich niclit nur in dem bereits erwalinten Falle eines Temperatursprunges an der Schmelzgrenze, sondern auch dam, wenn der Schmelz- bzw. Erstarrungsvorgang an einem Ende des Leiters beginnt, da ja dann die Relation (4) nicht verwendet werden kann. Wir werden spater noch ausfuhrlich darauf zuruckkommen und wenden uns jetzt zur

3. Losung der Randwertaufgabe fiir eineti Leiter, dessen Lange eine lineare Funktion der Wir bezeichnen jetzt rnit X die Abszisse eines beliebigen Punktes unseres Leiters, Zeit ist.

mit T die Zeit und rnit Qi "pi T+ qi (i = 1,2) . . . . . . . . . . . . (5)

die Abszissen der beweglichen Enden. Dann sol1 dasjenige Integral der Gleichung

a 9 - a=@ r r - a 2 7 ax

gesucht werden, das den folgenden Bedingungen genilgt:

(6). . . . . . i a) 0 ( X , 0) = @ ( X ) fur Y 1 5 x 5 Y 2

b) 0 (p i 5!'+ qi, T ) = 0 , wobei Q, (qJ = Qj (q,) = 0

Um das Ergebnis gleich in einer fur die numerische Auswertung bequemen Form zu erhalten, fuhren wir dimensionslose Variable ein, indem wir set,zen:

0 (S, T ) =.6 (2, t ) ; @ ( X ) = @ (y, + (a2 -

') Vortrag bei der Tagung der Deutschen Mathematiker-Vereinigung in Bad Kreuznach am 21. Sept. 1937.

2. angew. Math. Mech. Bd. 19 N ~ . 1 Febr. 1939

Es ist also nun jenes Integral der Gleicliung

H u b e r , Uber das Fortaclireiteii der Schnielzgrenze in einem linearen biter 5 -

zu suchen, fur welches: a) 8(x,O)=pl(z) fiir 0 4 x 1 1 ; b ) 6 ( p i ' t , t ) = 6 ( p Z ' t + 1 , t ) = 0 . , (6'1,

wobei noch pi' = Ll+ ' p i gesetzt wurde. Wir zerlegen die gesuchte Lbsung in der iiblichen Weise, indetn wir durch den Ansatz

6=6'+8", wo

die Anfangstemperatur zunichst auf Null reduzieren. Wegen pl (0) = pl (1) = 0 ist fur t = 0

zwar noch 6' selber, aber im allgemeinen nicht mehr ~ aucli bei x = 0 und x = 1 stetig,

doch ist dieser Nachteil, der sich iibrigens leicht beheben liehe, fur unsere Zwecke belanglos. Nun ist 6'' so zu bestimmen, dab 6" (x, 0) = O und

(6"), und diese Aufgabe lafit sich, wie wir gleich sehen werden, durch eine einfache Transformation auf eine analoge fur einen Leiter mit festen Enden zuriickfuhren.

Schon vor langerer Zeit hat namlich A p p e l l s ) gezeigt, dab durch die folgende Trans- formation die Warmeleitungsgleichung in sicli iibergeluhrt wird :

3 79)

3 X

8" (pi' t , t) = - 6' (pi' t , t ) = yll ( t ) und 79" ( pZ' t + 1, t ) = ~~ 6' (p2' 1 + 1, t ) = yip ( t )

Die Transformation der beiden unabhlngig Veranderlichen bedeutet eine Kollineation, bei der die Gerade t = a der (2, t)-Ebene in die unendlicli ferne Gerade der (2' t')-Ebene ubergeht. Nun sieht man aber leicht, dah man iiber die Parameter a, a', p1, p' und y so verftigen kann, dab diese Kollineation eine zentrische wird mit der x-Achse als Kollineationsachse, wobei noch die beiden Geraden x = y I f . t und x = p 2 ' . t + 1 bzw. in die Geraden x' = O und x' = 1 iibergehen. Datnit nlmlicli zunachst die x-Achse zur Kollineationsachse wird, muB t' = 0 aus t = O folgen, also mufi gemafi der zweiten GI. (7)

. . . . . . . . . . . . . y z = - a . a' (811 und die erste G1. (7) ftir x' = x identiscli in x erfullt sein:

x ( y + a ) - y j3 - ,b' a' r 0 ,

woraus wegen (8) folgt:

y = - a = a' . . . . . . . . . . . . . (8'1,

so dah aitcli = ,8' . . . . . . . . . . . . . . . (8").

Damit nun noch x = p i t in x' = 0 und x =p2' t + 1 in x'= 1 iibergehen, niiissen die BUS der ersten G1. (7) sich ergebenden Identitaten in t bestehen:

p . ( t -a ) -a. (pl'. t - f ) = O und (16-1). ( 1 -0 ) - 0 . (p2" i + l - - P ) f O .

Dazu muB offenbar ,8= a p I f und f - 1 = a . p2', womit nncli (S') und (8") folgt, dak:

1 a=-a'=- y = 7 - - - - i

P;-PZ" P1 -P2 p=y=-'-. P' . . . . .

Man rechnet leicht nach, daE a und ,8 Ordinate und Abszisse des Sctinittpunktes der beiden Geraden x =pl'. t und x =pa' t + 1 bedeuten, in dessen senkrechte Projektion auf die xAchse das Kollineationszentrum fallt, weil j a aus der zweiten G1. (7) folgt, dab t' = a'= - a fiir

8) Jouro. de math. ( 4 ) , 8 (1892). S. 187 bis 216, Sur 1'6quation fi - et la Thkorie de la chaleur. b X I - b2/

Z. angew. Math. Mech. 6 Bd. 19 N,.. I Feb,.. In:in

t = m . Mit den in (9) angegebenen Werten fur a und p Iassen sich nun die ersten zwei G1. (7) so schreiben:

Llu b e r , Uber aas Fortschreiten'rler Schmelsgrenze in einem linearen 1,eiter

oder

. . . . . . . (10").

Die fur 8" vorgescllriebenen Anfangs- und Randwerte erhalten schliefilich gemah der dritten GI. (7) fur 8 (x', t ' ) die folgcnde Form, wenn wir nodl das ohnehin herausfallende C == 1 setzen :

17 ( x ' , 0) -- O fi ir O 5 c' < 1

Damit ergibt sich 8 (x', t') als Summe der beiden ,,Faltungsintegraleil n): . - 6 (x', t') = x, (t') * G (x', 2') 4- y 2 ( t ' ) * G (1 .d, t') . . . . . . . . (la),

wobei (z'+ 2 n)2

4 t' m (XI+ '? 1 0 2 m

- ~- G (z', 1 ' ) = - - (x' +2w) - e 4 t'

- m - m

Fur die Anwendung unserer Methode ist es nun von groher Wichtigkeit, dafi man die in (12) vorkonimenden Doppelintegrale auf einfache reduzieren kann, indem sich namlich die Integration nach der Zeit elementar ausfuhren 1Rht. Es wird nanilich zun&cl~st nach (6"),

also nach (9), (lo") und (11):

In entsprechender Weise ergibt sich, wenn man des Argumentes von q?:

+ (1 -/I) und t + (1 - 6) niit Ausnahme

Zur Bildung des ersten Faltungsintegrales in (12) setzen wir noch der Kurze wegen yn = x' + 2 $2

und finden t' I

3 2 -~ 13;' a + t ' - 7 * ; * m P . d E , G (.r') = -- -- v z --- . e -z.zC 3 n . e 4 2 Y ' ( & e ~ " 4 a t t ' - - z )

4 n 23'2 . v t r z ~ = - m 0 II

da ja die zur Vertauschung von Summation und Integration niitigen Voraussetzringen erfullt sind. Daraus entsteht nach fur y, =/= 0 offenbar erlaubter Vertauschung der Integrationsfolge

I t'

U. D o c t s c h : Problerue aus der Theorie der Warmeleitung. M. 2. 22 (19%). S.'265 bis 306.

2. augew. Math. Mech. Ed. 19 N ~ . 1 Febr. 1 ~ 3 ~ Hu b e r , Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem linearen Leiter 7

Fiihren wir im zweiten Integral statt z die neue IntegratioIisvariable o =

nach einfacher Rechnung I")

ein, t'--t

u u

wobei sgn (n)= k 1, je nachdem 'fi ZO und sgn (0) = 1. Es wird soinit

und entsprecliend, wenn i& = 1 - x' + 2 gesetzt wird :

so wird

. (13')

. (13").

a t - a Damit erhalt man fur 6 = 6' t 0'' wegen (71 und (12) und weil - -T = -~ t t 1 "

8 (x', t') = -- p (t) 2 J n l I t u

wo die rechts vorkommenden x und t noch nach (10") durch x' urid t' auszudrucken sind. Fuhrt man dies aus, indem man besonders die folgenden Relationen

beachtet, so erhalt man nach einigen Umformungen die fur die numerische Auswertung wold bequemste Darstellung, wenn man noch setzt

C P - 4 2 -___ q ( 8 . e 4 a = Y ( E ) : *

( X ' - P ) Z

Wenn man Sber Tabellen der elliptischen Thetafunktion

verfiigt, die fur geniigend kleine Schritte des Argumentes t berechnet sind, kann man davon zur Auswertung von (14) vorteilhaft Gebrauch machen, doch kommt man auch mit einer um- fangreicheren Tafel fur e-" aus, da man nur wenige Glieder der in (14) vorkommendcm Summe benotigt, indem ja das t' in der Regel selir klein sein wird. Bei Beachtung der Formeln (10") sieht man sofort, dati fur a +a und endliches B die Darstelltng (14) ubergeht in die fur die Temperaturverteilung eines Leiters mit festen Enden. Die L6sung (14) ist naturlich nicht nur fur den mittleren flussigen Teil unseres Leiters brauchbar, sondern nach entsprechender Berlicksichtigung der' Rmdwerte auch fur die beiden autieren festen. Fur den linken Teil wird namlich p1 = q1 = 0, also auch pi' = 0 und daher nach (9) : f i = 0 und a = - T . Ebenso

wird fiir den recliten Teil p 2 = 0 und q, = I , also auch p2' = 0 und daher @= 1 und a =I.

1 9 2 I

PZ

1") Vgl. z. B. M e y e r - I l i r i c h l e t : Beatinimte Iutegrale, Leipzig (1871), $ 99.

Z. angew. Math. Meoh. Huber, Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem linearen Leiter Bd. 19 N ~ . I ~ ~ b , . . 1939

Diese Uberlegungen bedurfen jedocli noch einer Erganzung in dem bisher stillscliweigend ausgeschlossenen Fall, dab p , = p 2 , wo ja die oben betrachtete Kollineation in eine Affinitat iibergeht. Da wir die dann sich ergebenden Formeln fur den unendlichen Leiter spater be- notigeri werden, wollen wir kurz die Grenzubergange andeuten, durcli die man aus (9) die den Formeln (7) entsprechenden erlialt. Es wifd zunachst:

8

wobei p , = p , = p . Damit vird (10'):

. . (15').

Uin schlieQlich die der dritten G1. (7) in unsereni Falle entsprechende zu bekommen, setzen wir zunachst

$2 _ _ C=r / l ,+e 4n.

Wird nun la\ sehr grob, dltnn ergibt sich fur den Esponenten der e-Potenz in (7):

B und somit wegen lini =p' a

-.

8'' (2, t ) = e I,'

( ? X - ) J ' f J * 9 ( x 1'' t , f ) . . . . . . .

was man naturlich auch durch einen iiaheliegenden Ansatz direkt hatte finden kbnnen. Die durch (15') dargestellte perspektive Affinitat bedeutet offenbar eine Scherung parallel zur x-Achse, die selher punktweise festbleibt.

4. Der Beginn der Schmelzkurve bei stetiger Randbedingung. Die soeben auseinander- gesetzte Metliode zur Bestimmung der Schnielzkurve ist natiirlicli nur dann anwendbar, wenn der Erstarrungsvorgang schon ins Innere des Leiters fortgeschritten ist. Wenn nber etwa ein fltissiger Leiter an einem seiner freien Enden zu erstarren beginnt, dann kann man die GI. (1) zur Berechnung der Tangentenrichtung der Schnielzkurve an diesem Ende des Leiters offenbar nicht mehr verwenden und mub daher zu dieseni Zwecke andere oberlegungen an- stellen, die, je nachdem die for das betreffende Leiterencle vorgescliriebene Randbedingung stetig oder unstetig ist, wesentlich verschieden ausfallen.

Wir beschtiftigen uns zunachst mit dem ersten Fall und betracliten einen fltissigen Leiter, dessen Enden stetig abgekuhlt werden sollen. Da es sich fur uns nur darum handelt, die Richtung der Tangente an die Schmelzkurve in iliren Endpunkten zu bestimmen, so genugt es, wenn wir uns auf den mit geringerem Reclienaufwand zu behandelnden Fall eines blob einseitig begrenzten Leiters beschrtinkkn, da ja trotz der theoretisch unendlicli groQen Aus- breitungsgescliwindigkeit der Wtirme praktisch die Temperaturverteilung in einer hinreichend kleinen Umgebung eines Endpunktes wahrend einer kurzen Zeitspanne A t nur von der fur diesen Endpunkt vorgeschriebenen Randbedingung und den fur seine Nachbarschaft an- gegebenen Anfangswerten abliangen wird. Die GrisPe von A t bleibt dabei naturlich bis zu einem gewissen Grade willkiirlich, fur seine Wahl wird jedoch besonders die fur die Rechnung geforderte Genauigkeit makgebend sein.

Es sei also 6, (q0) = cp (x) fur x 2 0 und 6, (0, t ) =f ( t ) , wobei noch p (0) = f ( 0 ) = 0, indem wir wieder mit B = 0 die Schmelztemperatur bezeichnen. Ferner seien q~' (0) und f' (0) vorlianden, wobci unseren Annalimen entsprechend cp' (0) > 0 und f' (0) < 0 sein sollen. 1st nun x = p - t - mit noch unbekanntem y - die Tangentengleichung der Schinelzkurve z = s ( t ) ini Punkte x= t=O, dann handelt es sich doch darum, fur liinreichend kleines t je ein Integral der Gleichungen

zu finden, die den folgenden Bedingungen geniigen :

Z. angew. Math.Mech. Ed. 19 N ~ . 1 Febr. 1939 H u b e r , Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem linearen 1,eiter 9

wobei noch p so bestimmt werden muti, dab

Das den Bedingungen b) von (16) genugende Integral IaBt sich sofort angeben, wenn

man in (15') und (15") q1 = 0, yz = 1, a: t an Stelle von t und qi (x) L- q? (x) . e2a02 setzt, namlich : P X -

m

Fur dep Gradienten finden wir zunachst W

und daraus durch partielle Integration wegen q1 (0) = 0 :

Wegen 6, ( p t , t ) = 0 folgt daraus ftir x + p . t :

. . . . (19"),

woraus, wie es ja sein muB, wegen vl' (0) = v' (0) folgt

= q?' (0).

Zur Bestimmung von 6, (a, t ) denken wir uns zunlchst den Leiter im festen Aggregat- zustand nach links ins Unendliche fortgesetzt und bezeichnen niit @ (x) 5 0 seine Anfanga- temperatur, wobei P, (0) = 0 und p1' (0) vorlianden sein sollen. Dann ergibt sich entsprechend

wie vorher, wenn noch p2 (x) = P, (x) . e 2 a12 gesetzt wird : P X

0

woraus wieder wie vorher folgt:

lim 2 I =TI (O), t + o a x x = p t

und dieses ?j'(O) wollen wir nun bestimmen. Dazu bedienen wir uns am zweckmahigsten einer geometrischen Ausdrucksweise, indem wir die gesuchte Integralflache 6 = 6, (x, t ) in dem von der (-x)-Achse und der Geraden x = p t fur t20 gebildeten Winkel als reguliir voraussetzen, so dah ihre durch x = t = 0 gehende Tangentialebene die Tangenten an die Kurven 6 = @ (x) und 6 = f ( t ) und auch die Gerade x = p t enthalten muti. 1st also

x * p1' (0) + t . f' (0) - 6=0

die Gleichung dieser Tangentialebene, so mufi (p' (0) = - f'o sein, wenn sie auch die Gerade x =p t enthalten soll. Damit wird aber (17)

P

-xi * - (O) - x , q' (0) = R e p , P

2. angew. Math. Mect. 10 Bd. 19 Nr. 1 Febr. I:I:$~

und diese quadratische Gleichung hat wegen f' (0) < 0 und rp' (0) > 0 nur eine positive Wurzel

H u b e 1' , Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem linearen Leiter

1 p=- 2 1 e (- x , * (0) + 1/ ( x , * ( O F - 3 h? f' (011,

womit wir die zur Ausfuhrung des ersten Schrittes erforderliche Richtung der Tangerite der Schmelzkurve kennen.

In ahnlicher Weise lieben sich die Falle behandeln, wo eine der anderen iiblichen Rand- bedingungen vorgeschrieben ist, doch wollen wir darauf nicht eingehen, sondern untersuchen den

5. Beginn der Schmelzkurve bei unstetiger Randbedingung. Wir haben sclion friiher be- merkt, daQ in diesem Fall, den wir gleich nalier prazisieren werden und der in der Wirk. lichkeit sogar meistcns die Regel bilden wird, unser Naherungsverfahren zur Konstruktion der Schmelzkurve beim ersten Scliritt versagen muP. Da hier nicht der 014 ist, um auf alle mit diesem Fall verknupften Schwierigkeiten einzugehen und Existenz- sowie Eindeu$gkeits- fragen zu eriirtern"), sol1 dermalen nur versucht werden, die klassischen Ansltze zu ver- allgemeinern. Es sei also etwa ein flussiger Leiter mit bekannter Anfangstemperatur gegeben , dessen Enden platzlich unter den Schmelzpunkt abgekuhlt werden, so dab also dolt, ,,momen- tane" Erstarrung eintreten mu&, wobei wir an der auch sonst ubliclien Annahme festhalten, dafi eine anf&~iglich vorhandene Unstetigkeit der Temperatur nicht bestelienbleiben kann. Offenbar kiinrien wir uns aus denselben Grunden wie im vorhergelienden Absclinitt auf die Betrachtung eines einseitig begrenzten Leiters beschranken, dessen Ende sicli bei x = 0 be. finden und der sich in der Richtung der (+ x), bzw. (- a)-Achse erstrecken m6ge.

Betrachten wir zunsehst den folgenden einfachen Fall, der sieli mittels des von H. Weber ''1 gemacliten Ansatzes fur das schon -von J. S t 9 f a n I7 in Angriff genommene erledigen lgkt. Es sei

I 6, ( a , ~ ) = C, < o fur 2 < 0 ; 6, (x, 0) = C , > o fiir iz > o 6, (s (t), t ) = 8, (6 ( t ) , t ) = 0

und wir setzen

(i = 1,2) . .

,,Eisproblem I'

. . . (20h

. . . . . X

wobei @(a) = ~ e 6'. d f . Die ersten zwei Bedingungeri (20) liefern d a m -

0

und die dritte, wenn s ( t ) = 6 . v-5 angenommen wird:

woraus folgt

Schlieklich ergibt die letzte G1. (20) nach Multiplikation mit @ die folgende transzendente Gleichung fur d:

von der man leicht zeigen kann, dab sie nur eine eiiizige reelle Wurzel lint, wenn, wie an- genonimen, G , < 0 und C, >O. Wtlhrend nilrnlich die rechte Seite rnit 6 waciist, nimmt die linke fur - 00 < d < 03 von + co nach -a monoton ab, da man sic11 olirie Miihe iiherzeugen

11) Vgl. z. B. das RePerat VOII G . n o e l s o h : Ides Pquations aux d6rivPes partielles du type parabolique,

I t ) R i c m a n n - W e b e r : Dio part. Diff.-Gl d. math. Physik, 5. Aufl., Braunschweig (191f), 2. Ed., 8. 118 ff. 19 Uber die Theorie der Eisbildung, Motiatsli. f . M. U. Ph.. 1 (1890), S. 1 bis 6.

L'enseigo. math. 35 (1936). 8. 42 bis 8 i , hes. S. 48 ff.

Z. augew. Math. Mech. Bd. 1y N,., I Febr, 1 9 3 ~ I 1

kann, dab ihre Ableitung nach 6 nie positiv werden kann. Man braucht hierzu nur bemerken, dab fur x 2 stets

H u b e r , Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem linearen Leiter

Wenn, wie z. B. beim Wasser, ein erheblicher Unterschied in der Dichte der beiden Aggregatzustande besteht, dann hat man aus (22) zunachst das Vorzeichen von 6 zu errnitteln und zur Berechnung von 6 sodann el oder el far Q zu nehmen, je nachdem 6 5 0 . Dazu ge.

nugt offenbar die Bestimmung des Vorzeichens von - ~ '' - ~ x 2 c2 . Verschwindet dieser Aus-

druck, dann ist 6 = 0, also x EZ 0 und die Schmelzgrenze bleibt festi6). Bei der nun folgenden Betrachtung des allgemeinen Falles, bei dem also die Anfangs-

temperaturen des festen und des flussigen Leiterteiles nicht konstant sein sollen, machen wir die durch das soeben erl'edigte Beispiel nahegelegte Annahme, daf3 man naherungsweise fur die Schmelzkurve x = s ( t ) = 6 setzen darf, solange t hinlanglich klein bleibt. Es wird dabei insbesonders auch die Frage zu prufen sein, ob dann 6 etwa auch von den an der Schmelz- grenze gebildeten Gradienten der Anfangstemperaturen abhangen wird oder nicht. Wir setzen also :

a, a2

6, (r, 0) = p7, (2) fur 5 < 0 und 6, (a, 0) = p2 (x) fur x > 0,

wo aber nun p, (0) =I=rpz (0) und ppi (0) vorhanden sein sollen, und bestimmen zunachst j e ein Integral der Gleichungen

so dafj

Si(x,O)=pi(x) fur (-l) ix>O und 6 3 ( 6 f T , t ) = O

Daftir machen wir den ublichen Ansatz

wobei

p (x) =

und die xi (z) die zum Bestehen der bekannten Diskontinuitatsformel I") notwendigen Be- dingungen erfullen mogen.

je nachdem (- l) i x S 0

Setzen wir der Kurze wegen noch

so erhalten die zur Bestimmung der xi (7 ) dienenden Integralgleichungen die folgende Form: t

crz ( V t - VZ)

(25). xi ( 7 ) -- -. e = - y,i ( t ) . . . . . 1/ 1- - v y - 4ai' ( V t + v-1. j ( t - 7 ) " ' Z

l

i P ) Die beim Eisproblem sich ergebende transzendente Qleichung fur 6 uuterscheidet sich nicht wesentlich von (22). aber da W e b e r von einer komplizierteren Rechliung spricht, die Bum Nachweis der Unitat der Wnrzel n6tig sei, und Herr F ii I' t h an der in FuSnote2) angefiihrten Stelle darauf auch nicht eingeht. 80 hielt ich diese Andeutung nicht fur unangebracbt.

15) Vgl . das ant' 5. 192fP. dcs in FuBnote?) .a. 0. ausgefiihrte Beispiel, insbesonders die 01: (18) auf S. 194. la) Vgl. z. B. G o u r s a t: Oours d'analyse, Slerne6d., T. TI1 (19'23). S. 308. Die dort geforderten Voraussetzungen

konnen fur uuseren Fall etwas gemildert werden.

12 H u b e r , Uber das Fortsclireiten deer Sohmelzgrenze in einem linearen Leiter ",ba:~$:,";'~$$!&

Fiihrt man hier statt t die neue Integrationsvariable

ein, so wird

womit (25) ubergeht in d

. (25').

Da weiter nach (24)

y'i(0)- ( - l ) i ' y i ( o ) ' @ (24'1, . . . . . . . . . . . so folgt, wenn lim ~ i ( t ) = ~ i ( O ) , aus (25')

t + O d

B 2 ai Um das auf der linken Seite stehende Integral auszuwerten, setzen wir - =h und finden

zunachst

Setzen wir ferner 1 (?-x[:'

G ( x ) = \ l + t d t l

G' (2) -- G (x) = - 3 v z . Q, (1/ s ).

( I

so wird 1 -

Derselben Differentialgleichung genugt aber auch - G (5) = e x . [I - (Q (l/'~=))21,

n und da G ( O ) = G ( O ) = - , so ist 4

?I G ( x ) = -. e x . 11 - ((I, (v 'x ) )2 ] '') . . . . , . . . . . (27). 4

Differenziert man nun (25') nach t und ist

so folgt aus (24) fur t + O : rl

17) Dieses Integral G (x), fiir welches schon R a a h e eine lteihenentwioklung angegeben hat (Journ. f . Math. 48 (1654) S. 141). llBt sich also durch .,bekanntc" Funktionen darstellen.

2. angew. Math. Meeh. Bd. 19 N ~ . ~ ~ b ~ , 1g39 13

woraus man ersehen kann, dab man fur kleines t niiherungsweise xi ( t ) - xi (0) + ~i r/T setzen darf, wenn lini pi) (5) = qi' (0) $= 0. Ware dagegen erst liin [( T x)" vi' (x)] += 0 und endlicli fur

? p i > 0, so wurde dies die folgenden uberlegungen erheblich erschweren, doch wollen wir von diesem praktisch ja olinehin bedeutungslosem Falle absehen.

Nach dieser knappen Rechtfertigung des fiir die Schmelzkurve gemachten Ansatzes x= 6 . r / T haben wir nun die zur Bestimmung von 6 erforderliche Gleichung nach (1) her- zustellen, die trotz ilirer sehr komplizierten Forni sich mit der G1. (22) identisch erweisen

H u b e r , Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem linearen Leiter

%+TO X + T O

a 6( x b i l d e n wir zu- wird, indem die xi(0) lierausfallen werden. Zur Berechnung von lim x+sVt To a

wo man wieder leicht zeigen kann, dah fur t > 0, wenn x + 6 fl- T 0, fur das zweite Integral rechts die Diskontinuitatsformel angewendet werden darf. Setzt man die so gefundenen Aus-

drucke fur lim ' 5 uncl lini !% in (1) ein, SO erhiilt man nach Multiplikation

mit r/T fur i + O : x+av t - 0 ax x + a v T + "ax

r

Da hier jedoch die vi' (0) gar nicht vorkommen, so muB diese Gleichung fur 6 mit (22) identisch sein, wovon man sich auf Grund der Gleichungen (26) und (27) sofort uberzeugen kann, wenn man noch q, (0) = C, und q2 (0) = C, setzt, so dab also bei stetigen q( (z) der Faktor 6 nur von den qi (0) allein abhangt und nicht auch von den qi) (0).

Hat man also aus (28) bzw. (22) den Faktor 6 berechnet, dann kann man nach (26) und (26') die ~ ( ( 0 ) bzw. ~i bestimmen und damit nach (23) die nach einem hinreichend kleinen t vorhandenen Temperaturverteilungen im festen und fluissigen Teile des Leiters, worauf man den folgenden Schritt nach der allgemeinen Naherungsmethode ausfiihren kann. Es sei noch besonders darauf hingewiesen, dah die q nur dann verschwinden wiirden, also in (23) die xi(.) nur dann in erster Naherung durch die Konstanten xi(0) ersetzt werden durfen, wenn die pi' (0) = 0.

Auf Grund dieser Ergebnisse kann man nun auch die Verallgemeinerung des S t e f a n . schen Eisproblemes erledigen, bei dem die Anfangstemperatur 6, (x, 0) = q2 (x) mit qr, (0) > 0 eines einseitig begrenzten fliissigen Leiters gegeben ist, dessen linkes bei x =0 befindliches Ende plotzlich abgekuhlt wird, so daP 6, (0, t ) = f ( t ) , wobei f (0) < 0 und lim [I/T.f'(t)] vor-

handen sein sollen. Wir fuhren diese Aufgabe auf den fruher betrachteten Fall zuruck, indem wir an das Ende unseres Leiters einen nacli links unbegrenzten im festen Aggregatzustande befindliclien Leiter aus demselben Material anlegen, dessen uns unhekannte Anfangstemperatur 6, ( x , 0 ) = q l ( x ) sein soll. Setzen wir fur geniigeqd kleines t fur die Schmelzkurve wjeder x = 6 . ~/t-, so konnen wir aber jetzt nach (22) den Faktor 6 nicht sofort berechnen, da wir p1 (0) noch nicht kennen, denn es wird im allgemeinen ja q1 (0) +.l=f(O) ausfallen. Es folgt

namlich aus (23), wenn wir h=- setzen, fur t > 0:

t + O

r f 2 a,

t

18) Vgl. M. G e v r e y : Sur les Bqoatioos aux derivees partielles du type parabolique, Journ. de math. (VI), 9 (1913). 5. 320.

Z. angew. Math. Mech. 3d . 19 N ~ . F&r. Inan 14 Huber , Uber das Fortsehreiten der SchmeIzgrenze in einem finearen Leiter

oder, wenn wir die neue Integrationsvariable CJ = 5 einfiihren : t 1

. . , (29).

Daraus folgt aber, wenn lim xl ( t - 0) = x1 (0) : t + O

1

und wenn man die neue Integrationsvariable E = ~~ einfiihrt, erhalt nian daraus nach

kurzer Rechnung V1:o

x, (0) . {l - h elh2. [I - @ ( h ) ] } = f (0) . . . . . . . . . (29').

Anderseits ergibt sich aus (26) mit Beriicksichtigung von (27) nach einigen einfachen U m formungen

xl(0).[l+~(~~)].[l--k.I/n . e " ' . ( l - ' D ( h ) ) ] = 9 , ( 0 ) . ' D ( h ) ,

so dak man nach (29') fiir pi (0) den folgenden Ausdruck erhiilt:

Setzt man dies ftir q1 (0) an Stelle von C, in (22) ein, so bekommt man zur Best,immung von 6 die folgende transzendente Gleichung :

61

die genau mit der fiir das S t e f a n sche Eisproblem sich ergebenden Gleichung ubereinstimmt 9. Hat man b aus (22') berechnet, so findet man ~ ~ ( 0 ) aus (as'), aber wie wir schon oben be- merkt hatten, geniigt es im allgemeinen nicht, in (23) die xl(z) einfach durch xi(0) zu er- setzen, wir miissen also auch noch die ~i berechnen. Da uns pZ' (0) und auch b bekannt sind, ist E , durch (26') bestimmt; um aber E, zu finden, miifiten wir zuerst q l ( 0 ) kennen. Deshalb bilden wir zunachst aus (29) :

. . (30),

Nimmt man nun wieder wie oben an, daD lim [ft xi' ( t ) ] = F,, so folgt aus (30), wenn man

mit p ' t multipliziert, fiir t + 0 : t + O

1

1st also lim [r/T. f' (t)] = 0, dann ist auch c1 = 0 und man kann fur kleines t in (23) naherungs- t d n . _ -

weise xI (z) = x1 (0) setzen, wahrend man sonst fur x1 (7 ) = ,yl (0) + e, . v t nehmen mu&. Hat man nun el aus (30') bestimmt, so ergibt sich ql' (0) aus (26'), und dainit konnen

wir fur 9, ( E ) - vi (0) + [ . y1' (0) nach (23) fur hinreichend kleines t und 0 5 5 5 6 . p ' t die in dem wahrend dieser kurzen Zeitspanne erstarrten Teile vorhandene Temperaturverteilung berechnen und dann den nachsten Scliritt nach der im Abschnitte 3 angegebenen Metliode ausfiihren.

10) GI. (52) auf S. 222 des in FuDnoteg) a. 0. Z o ) Fur daa in (30) stehende Integral lieDe sich sowie fur das in (215') einc Darstellung durch bekannte Funktionen

leicht finden, aber da sich unbequeme Ausdriicke ergeben. 80 sehen wir davon ab.

2. angew. Math, SIech. Bd. 19 N ~ . 1 Febr. 1 ~ ~ 9 H u be r , Uber das Fortschreiten der 'Schmelzgrenze in einem linearen 1,eiter 15

Der Fall, wo ein fllissiger Leiter pldtzlich an einen festen stofit, laPt sicli noch dahin verallgemeinern, dab die beiden Leiter nicht aus dem gleichen Material bestehen und ins. besonders verschiedene Schmelzpunkte besitzen, doch wollen wir trotz des praktischen Inter- esses, das dieser Fall besitzt, derrnalen uns nicht mit ihm bescliiiftigen.

6. Ausgleich der durch die Tangentenapproximation der Schmelzkurve entstehenden Fehler. Es wurde bereits bemerkt, da6 unser Naherungsverfahren das Bestreben besitzt, die infolge des Ersatzes der Schmelzkurve durch ihre Tangenten entstehenden Fehler von selber teilweise auszugleichen, und dies wollen wir nun nachweisen, wobei wir uns aus denselben Griinden wie in den beiden vorangehenden Abschnitten auf einen unendlichen Leiter bescliranken kdnnen. Es befinde sich die Sclimelzgrenze zur Zeit t = O bei x = O und es . sei 6, (x, 0) = yi (3) < 0 fur x < 0 und 6, (x, 0) = p2 (x) > 0 ffir x > 0, wobei die qi (x) zweimal differenzierbar sein sollen. Die ,,wahre" Schmelzkurve x = s ( t ) (Bild 1) schneide die Parallele zur xAchse im Abstande A t > 0 im Punkte el ihre Tangente in 0 dagegen dieselbe Parallele in einem weiter rechts liegenden Punkt Q, den also unser Naherungs. verftahren als einen Punkt der angenaherten Schmelzkurve statt 0 liefern wurde. Hatten wir die Schmelzkurve anstatt durch ihre Tangente 0 Q durch ihre Sehne 0 approximiert, so ware die Lage der Schmelzgrenze zur Zeit A t natiirlich richtig bestimmt, aber die nach der in Abschnitt 3 entwickelten Methode berechnete Temperaturverteilung wurde von der ,,wahren" doch ein wenig abweichen, wenn statt des Bogens 0 0 die Sehne 0 0 genommen wiirde. Es seien durch die Kurven gl und 8, die Temperatur. verteilungen dargestellt, die man etwa nach (18") und (18') ge- funden hatte, wenn man das dort stehende p durch das in der Gleichung x =j t der Sehne 0 0 ersetzt hiltte. Da uns aber ji unbekannt ist, so setzen wir fur das p in (18") und (18') das in der Gleichung x = p . t der Tangente 0 Q vorkommende p und er- halten so die Temperaturverteilungen, die durch die Kurven 6, und 8, dargestellt sind. Wtihrend wir aus a1 und nach (1) mit sehr groBer Genauigkeit die Tangente der ,,wahren" Schmelzkurve bestimmen kdnnten zl), erhalten wir aus 6, und 6, nach (1) iiattirlich uberhaupt keine Tangente der ,,wahren" Schmelzkurve x = s (t) , sondern eine Gerade : x = p A t +p". ( t - A t ) , wobei p" aus

a a

Bild 1.

= R e p "

zu berechnen ist. Aber diese Gerade ist steiler als die Tangente der ,,wahren" Schmelzkurve, so dab wir beini folgenden Schritte doch wieder naher an die ,,wahre" Schmelzkurve heran- rhcken, ja sie uriter Umstanden sogar kreuzen ktinnen, worauf beim folgenden Schritte der Felilerausgleich natiirlich im entgegengesetzten Sinne stattfinden wurde. Um dies einzusehen, genfigt es offenbar, wenn wir zeigen, dab fhr ein hinreichend kleines t mit wachsendem p - wenn also die Gerade x = p t einen spitzeren Winkel mit der x-Achse bildet! - der

Gradient 2 abnimmt, + dagegen zunimnit. a6 a 0 a a

P X _ _ Setzt man niimlich in Obereinstimrnung mit Bild 1 Fi (x) = e' u i z . pi (x) fur (- l+. 2 > 0,

so wird zunachst nach (18")

und ' man findet nacli einfacher Rechnung

*I) Der nur geringfugige Umterschied riihrt davon her. daB an Stelle des Bogens UQ die Sehne 00 als rechter bzw. linker Bereichrand bei der Berechnung von $1 bzw. 32 beniitzt wiirde.

X. fingew. Math. Mecli. Bd. 19 N ~ . 1 ~ ~ b , . , ,989 16

Damit wird nun

H u b e r , Uber dss Fortschreiten der Sclimelzgrenze in eineni linearen Leiter

woraus durcli partielle Integration wegen q1 (0) = 0 folgt n

Setzt man im ersten Integral der rechten Seite t = p t+ 2 u f F . q , so sieht man, &ti es fur t + 0 ebenfalls wie I/T verschwindet. Zieht man also den Faktor v t aus allen Gliedern der rechten Seite heraus, dann werden die fur t + 0 endlich bleibenden Terme negativ, also niinmt

fur genugend kleines t mit wachsendeni y ab. I n ganz entsprechender Weise zeigt man,

dab "' fiir kleines t mit wachsendeni p zunimnit, womit aber das Bestehen der erwahnten vorteilhaften Eigenschaft unseres Naherungsverfahrens nachgewiesen ist. Ubrigens ist der soeben bewiesene Sachverhalt ja aueli anschaulich sofort einleuchtend, indem ein zu schnelles

Fortschreiten der Schmelzgrenze nach rechts offenbar eine Verkleinerung von - und eine

VergroPernng von

a x

a x

nach sich zielien mu& ;':Is 7. Ein Beispiel. Da sich das von Herrn L a c h m a n n durchgerechnete Beispiel fur Kupfer

infolge eines dabei unterlaufenen Versehens*') zu einem Vergleich der von ihm entwickelten Methode mit der unsrigen leider nicht heranziehen lafit und ich mir auch die Warme- und Temperaturleitzahl fur Kupfersclimelze niclit verschaffen konnte, so wollen wir unsere Methode auf einen I = 10 em langen aus geschmolzenem Zink bestehendcn Leiter anwenden. Seine Anfangstemperatur sei 520° C und seine Enden iriiigen pllitzlich auf 20° C abgekuhlt werden Setzen wir die Schmelztemperatur des Zinkes gleicll 420° C, so wird niit der in (22) benutzten Bezeichnung ci= 400; c, = loo.

cal D

Ferner sind die Schmelzwarme 1 = 26,6 ~, die Dichten el = 7,l und = 6,9, wofiir wir im Mittel Q = 7 , O w&hlen, so daB 1 e = 186 genommen werden kann. Fur die spezifischen Warmen setzen wir

cal cal D D

C, =0,096-,, , c, =0,121 0

und fur die Warmeleitzahlen cal cal

X , = 0,245 X , = 0 , 1 3 7 ~ - cm sec" ' cm sec' ' womit sich fur die Temperaturleitzahlen die folgenden Werte ergeben:

Die Endstticke der in unserem zwar fur die Rechnung aber nicht im Wesen durch Symmetrie sehr vereinfachten Problem auftretenden Schmelzkurve wollen wir durch die Parabeln X = 6 a 0 bzw. X== 10 - 6 - 1/ ayproximieren. Wir nehmen d d x i an, dafi sich der Leiter nach der jeweils von dem betreffenden Ende ins Innere weisenden Richtung ins Unendliche erstreckt, so dab wir den folgenden AnsatzaS) fur die iin festen und flfissigen Teile sich einstellenden Temperaturverteilungen am linken Ende niachen konnen :

22) Val. mcine Zusohrift an den IIerausgeber der ZAMM 17 (1337), S. 379 f . 9 3 ) Vgl. G1. (19). (51) uod (52) auf S. 221 des in FuOnotez) a. 0.

2. angew. Math. Meoh. Bd. 19 N ~ . 1 Febr , 1939 H u b e r , Ober das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einern linearen Leiter 17

Dabei bedeutet 6 die einzige positive Wurzel der Gleichung

fur die man liinreichend genau S = 0,7144 findet. vorhandenen Temperaturverteilungen die folgenden Ausdriieke:

Damit erhalt man fur die fur kleines 1'

. .. . . . . . (3'2). 1 ( X s S - 1 J ) 79,(X, 7')=-400+666,56.@ __- (&T)

( X 2 6 * 1/) 6, ( X , T ) = - 370,81+ 470,81* @ ~,w= i " ) Urn zu prufen, bis zu welchem Werte von 1' wir (32) beniitzen durfen, wenn der Fehler

von 6, bei X = 5 c m kleiner als 0 , l"C sein soll, berechnen wir die Temperaturverteilung in einem Leiter rnit a2 = 0,30, fur den 8 ( X , 0) == 0 " C , dessen Lange I = 10 cm und dessen Enden pllitzlicli auf - 50O0 C abgekuhlt werden, aber ohne da6 sich sein Aggregatzustand dabei andert. Da also hier keine SchmelzwLrme frei wird und obendrein a' > a**, so mub

6 (k, F) < 6, (+, 2") - 100. Nun ist aber bekanntlich m

Darnit also B - T 20 , l wircl, muti 1' aus der folgenden Gleichung bestimmt werden: 1 ( 1 7 ) I

Daraus folgt, da6 bis To = 3,25 sec die G1. (32) siclier noch beriutzbar sind, da

(D <---- =@ (2,78) = 0,9999156. (2,:.'1,5)

Wir liaben soinit insbesonders fur To = 2.26 sec und qz = 6 . vz = 1,0716 cin die folgenden Temperaturverteilungen :

} . (32').

Z u r Ausfiihrung des folgenden Schrittes setzen wir zunachst fur den erstarrten Teil - g, =0, q2= S VT; - nach (5') die dimensionslosen GrliSen x und t au Stelle von X und T :

(0 5 X 5 1,0716; 8,9284 5 X 5 10,O) (1,0716 5 X g 8,9284)

8, ( X ) = - 400 + 666,56. @ (0,55556 + X ) 6, ( X ) = - 370,81+ 470,81. @ (0,8'B04 . X )

X=q, . z=1 ,0716 .3~ und T = -t=3,1898.t, (:*Y so dab

Mit dieser Funktion V ( X ) haben wir nun die folgende Randwertaufgabe nacll (6') zu'losen:

6, (x) = cp (x) == - 400 + 666,56 * @ (0,59533. S) (0 5 x I: 1).

a) ~ ( x , ~ ) = Q ) ( x ) fur O S x S 1 ; b) 9(0,t)=-400, 8(1+p2) t f t )=O, wobei

1 8 H u b e r , Uber das Foitsclireite~l der Schmelzgrenze in einem linearen Leiter ",hn~~$;,";'","~~~$!!

Feriier wird hier nach (9) a =- -- i = - 1,4107 und ,Li = 0. Wegen 6 (0, t ) =I= 0 ist aber nun die Forinel (14) noch zu ergtinzcn, indem hier xum Faltungsintegral x, * G (5') in (13') auf der rechten Seite nocli die Suinine

1 Pa

I' m

Iiinzuxufiigen ist. Setzt man in

statt t die neue Iiitegratioiisvariable

so erlldlt 111311

und soinit an Stelle von (14)

' . . . , (14'1

f u r die Temperaturverteilung im erstanten Teile des Leiters, also fur 0 5 X 5 yz + p 2 . d t ,

bzw. 0 5 T' 5 1, wo die Werte von t und t' gegeben sind durch: A T=

Fiir die Tempcrttturverteiluag in der Sclirnelze - q1 = B v2;, y, = 10- qI - findct man 1 i d i Ein fiihrung der dimensionslosen Variablen x, t vernioge

io- -e Q 1 2 X = (10 - 2 q , ) x + yl =- 7,8568 * x + 1,0716; T= ( (4T j . t -- :376,41 . t

zuii5clist m r Zcit To = 2,2R see:

19, ( x ) =T- ( J ) = - 370,81 + 470,81 @ (6,4665 x + 0,88196) (0 4 .C 5 1).

Ilaniit ist nun die folgciiclc Randwertaufgathc zu liisen :

a) A (x, 0)= p (J ) (0 5 x 5 1); b) 6 (pl' f , f ) =6 (1 +p,' . f , f ) = 0 ,

CE 10-q wobei wegen pi = - p 2 = F,,,~, uiid pi' = ?pi zunachst folgt pl' = -pa' = 11,408 untl

nach (9) n =- -0,04383 und p=- ; - , und damit kann nach (14) sofort fur dasselbe A T wie vorher 19, (d, 1.') bcrwhnet werden, wobei r/, + p , . ,I T S X 5 10 - q, - p , . A T, bzw.

0 5 X' 5 1 iind t und t' bestimmt sind durch : A Wegen

1 tlcr Symrnetrie unseres Problenies brauclit man 8, (x', t') wirklich nur far 0 5 x' 5 - aus- 2 zuwcrten.

a? 1 1

2Pl' - 2

Z. angew. Math. Mec,h. Bd, li) N ~ . 1 F ~ J , ~ . 1y3'J I lube r , Ober das Fortschreiton der Schmelzgrenze in einem linearen Leiter 1 Y

d s Nun hat nian nach (1) den fur den nRchsten Schritt erforderlichen Wert von z-Ffur

Dam beachten wir, dab a 6 a 6 und ax ax T = T, + A 1' zu bestimmen, wozu man kennen muB.

a 8,

wodurch einfach die Verliiiigerung iles festen bzw. die Verkurzung des flussigen Leitersttickes a 6. zum Ausdruck kommt. Die Berechnung der -: aus den Formeln, die sich aus (14') bzw. (14) 3 X

(lurch Differentiation nach x' bilden lassen, fur x ' = l bzw. x'=O wurde zwar in1 Vergleich zu der ohnehin zu leistenden Rechenarbeit keine bedeutende Muhe erfordern, docli findet man sie mit der hier angeniessenen Genauigkeit bequenier durch numerische Differentiation der 6i (x', t') selber, wobei die relativen Fehler nie ' 1 2 vH erreiclien, wenn man die 6i auf Zehntel genau berechnet hat.

Ri ld 2. Bild 3.

I n der angedeuteten Weise kann ein einigennaBen geiibter Recliner einen Schritt an einem Tage ausfuhren, wenn man es nicht auf eine besonders groPe Genauigkeit abgesehen hat. 'In Bild 2 ist ein Teil der von mir berechneten Temperaturverteilungen eingezeichnet.

Nach etwa 33 sec ist die Temperatur der Schmelze der Schmelztemperatur schon so nahe, dafi ilire ortliclie Anderung graphisch nicht mehr dargestellt werden kann. Da sich zeigt,

dafi -3 von dort an nahezu in geornetrischer Progression abnimmt, so braucht man zur a x r'=O dS d r Bildung von das @,(a?) iiberhaupt nicht mehr berechnen, indem man sich bloB mit einer

entsprechenden Korrektur begnugt, die unter einem '/I vH des von 4 gelieferten Beitrages liegt. Die nacli dem gescliilderten Verfahren punktweise berechnete ,,angenaherte" Sclimelz-

kurve ist in Bild 3 (ausgezogen) dargestellt. Sie weicht erst gegen Ende des Erstarrungs- vorganges voii der strichliert eingetragenen Parabel X = 0,7144 4 1/T merklicli ab, und es ist sogar zu erkennen, dafi sie die zwei Wendepunkte aufweist, die ihr nach der genaueren

1 3.9. d X

2'

2. angew. Math. Mech. 20 Bd. 19 N ~ . 1 Felrr, 1939

Berechnung des Herrn L a c h m a n n zukommen sollten, da ja unser Beispiel einem der von ihm behandelten ziemlich nahe kommtz4). Man kann aus ihr entnehmen, daS nach 41,4 sec. der ganze Leiter erstarrt ist, und dieser Wert durfte urn hochstens eine Sekunde zu klein sein, wie eine grobe Aufsummierung der bei den einzelnen Schritten xu erwartenden Fehler ergibt, wenn man annimmt, daS die ,,wahre" Schmelzkurve etwas links von der eingezeidineten verlauft. als ,,Schmelzkurve" genommen, so ergabe sich

fur die Erstarrungsdauer die Zeit T=--49 sec. also um rund 20 vH zii grob, so daG nian also, wenn man etwa fur technische Zwecke nur eine obere Schranke fur die Uauer des Er- starrungsvorganges zu kennen wunscht, blok die G1. (22') aufzuldsen hat.

Wir wollen nocli feststellen, wie sich in unserem Beispiel das 6 andert, wenn man x , = x , = 0,245 und cbenso a,' = a: = 0,36 annelimen wurde. Die G1. (22') bekommt dam eine etwas einfachere Gestalt und ihre Wurzel wird 6 =0,7169, womit sicli fur die Erstarrungs- dauer T= 45,6 sec ergibt. DaS sich hicr 6 nur um 0,3 vH Bndert, komnit davon, dak wir C, = - 4 C, hathen. Es ergibt sich auch tatsaclilicli eine bedeutend grobere Anderung von 6, weon C, > - C,, wie man sieht, wenn man C, = - 100 und C,= 400 in unsereni Heispiel setzen wurde. Man erhblt dann fur x l S = x z bzw. x , = l t , die folgenden Wurzeln von (22'): 6 =0,204 bzw. 6=0,190, also eine Anderung von 7 vH, so dak man also besonders dann die thermischen Konstanten der Schmelze nicht durch die fur den festen Zustand ersetzen darf, wenn C, ein grokes Vielfaches von (- C,) ist, wie ja auch aus (22') sofort ersichtlicli ist. In diesem Falle sind also dit: in der Einleitung diesbeziiglich geauherten Bedenken wohl begrundet.

H u b e r , Uber das Fortschreiten der Schmelzgrenze in einem h e a r e n Leiter

Hatte man die Parabel X = 6 26 6 2 -

8. SchluBbemerkungen. Es ist einleuchtend, dak sich unsere Methode mit geringfugigen Abanderungen dcr Fornieln auch auf die .homogene Kugel ubertragen laht, wie icli hoffentlich bald an der Berechnung der Dicke der festeii Erdkruste zeigeii werde. Auf dirses Problem, das sclion die Aufnierksamkeit von C l a p e y r o n und Lambzs) erregt hatte, weist auch Herr M. B r i l l o u i n im zweiten seiner im Jahre 1929 im Institut I-Ienri P o i n c a r d gehalteriert Vortrzge hin '0)). Nach Erbrterung der bislierigen Ldsungsversdche in speziellen Fallen, wobei insbesonders der .fehlende Existenz- und Unitatsbeweis fur die Wurzel der unserer GI. (22) entsprechenden transzendenten Gleichung beanstandet cind ein grapliisches Verfahren zur Auf- findung eines Naherungswertes derselben angegeben wird, fuhrt Herr R r i 11 o u i n unser Pro- blem auf die Auflosung eines Systemes von Iritegralgleichungen zuruck, aber ,,la complication des noyeaux . . . nous laissent complktement d6sarm&'L. Die von ilim dazu benutzte Griind- losung der Warmeleitungsgleichung ist allerdings eine andere, als wir sie im Abschnitt 1 benutzt Iiaben, aber die dabei sich ergebenden Integralgleichungen sind einer numerischen Behandlung geriau so unzuganglich, wie die von uns angegebenen fur den Fall des unbegrenzten Leiters. Bei der Ausdeliniiiig seiner zunacht fiir die ebene Platte erhaltenen Ergebnisse anf die Kugel ist aber Herrn B r i l l o u i n ein Fehler unterlaufen, auf den ich hier hinweisen mochte. Die von ihm mit MI in seiner G1. (XXIII) bezeichnete Funktion genugt namlich gar nicht der Warmeleitungsgleichung fur den linearen Leiter, und dalier sind die in XXIV und XXV darqestellten Ausdriicke keine Iritegrale der niit XIX bezeichneten Differential- gleichung.

SchlieQlich m6cht.e ich nocli einige Ergebnisse der noch unverOflentlichten Wiener L)issertation des Herrn Robert R i e c k aus dem Jahre 1934 erwiihnen, auf die mich Herr Hofrat W i r t i 11 g e r aufmerksam gemacht, hat 9. Es werden dort zuntlclist solche Integrale der Gleichung

die fiir m =0 , 1,2 die Ausbreitung der Warme in einem Stab, einem Zylirider und in einer

Kugel beherrscht, gesuclit, die bloh von B = - abhangen, wobei r = Q, (t) die Gleichung der ,,Schinelzkiirve" sein Soll. Aus der arr der veranderlichen Sclimelzgrenze vorgeschriebenen

r Q, (t)

2') Rurvc .YS = 0.8; Y =0,1 der Abh. 7 auf El. 852 des in FuBilotc 9) n. 0. 26) M h o i r c stir la solidificatiou par refroidissement d'un globe liqtiide. Ann. d. Ch. et de Phys. 47 (1831),

20) Si i r qiieliliies proh1i:men non rdsoliies dc In Physique MathCmat.ique classique. Propagation de la fusion.

27) ,,Die Wiirmelcitungsgleichung bei Htideriuig des Angregatzlistandes. (Schiiielzen u. Erstarren.) Liisungen

S . 250 bis 256.

Atiii. de 1'Tiiutitiit H. PoincarO 1 (1931). 5. 385 hiB 308.

fiir Kugel wid Zylitider." Ein Teil dieser Arbeit soll dctiiniichst in den Monatsh. 1. Math. u. Phys. erscheinen.

B o 11 a y , Application to Rectangular Wings of Small Aspect Ratio 21

Bedingung folgt dann zunaichst, dafi pl = I/C, . t -/- C , sein mub, wobei C, rind C, willkurliche Konstanten bedeuten. Dann mufi aber u. (2) der folgenden gewbhnlichen Differentialgleichung geniigen :

Z. angew. Math. Mech. Ed. 19 Nr. 1 Febr. I939

_ _ _ - ~

) 2

\ xnz'

r n C d z a d'zc i z Ba -+ - + L 2 . 2 .--=o,

woraus sich fur C, = 1 und C, = a ergibt r

~

' ~ a Vt + a d z e r x 2 - -~ ~ ( r , t ) = B, + B, -

Von den noch verfugbaren Konstanten B,, B, und a ist B, durch die Temperatur an der Sclinielzgrenze bestimmt, wallrerid B, und a willkiirlich bleiben. Die auf diese Weise g e wonnenen neuen partikularen Integrale lassen sich fur m = 1,2 durch den Integrallogarithmus bzw. das G a u k sche Fehlerintegral darste!len. Natiirlich sind sowohl bei diesen sowie auch bei einigen anderen noch aufgestellten neuen partikularen Integralell die Rand- uud Anfangs- bedingungen beinahe schori vollstlndig von vornherein festgelegt. 864

A Non-linear Wing Theory and its Application to Rectangular Wings of Small Aspect Ratio

by William BolZay'), Cambridge, Mass. U. S. A. Zusammenfassung. Die vorliegende Arbeit befakt sich mit der Berechnung der Krafte,

die auf einen rechteckigen Tragflugel mit kleinem Seitenverhaltnis wirken. Erforderlich dafiir ist eine nichtlineare Tragflugeltheorie, die nicht die ubliche Annahme macht, dah z. B. der Anstellwinkel klein ist und dab die abgehende Wirbelbahn in der Tragflugelebene liegt. Der wesentliche Unterschied der folgenden Entwicklung gegeniiber den von P r a n d t 1 und B1 e n k gegebenen Theorien der tragenden Linie, bzw. der tragenden Flache, besteht in der Annahme, dak die abgehenden Wirbel die Tragflache unter einem gewissen Winkel zu ihr dort verlassen, wo sie gebildet werden. Deshalb erzeugen die abgehenden Wirbel eine Geschwindigkeit tangentiell zur Tragflache und dies andert die resultierende Kraft an der Tragflache. Da eine gleichfiirmige Auftriebsverteilung angenommen ist, liegen die Wirbel in den Endflilchen des Flugels. Die Resultate zeigen gute ubereinstimmung mit den Versuchen von W i n t e r. Im Grenzfalle des verscliwindenden Seitenverhaltnisses gibt die Theorie einen Normalkraftbeiwert CN = 2 sin2 a , wahrend im Falle eines unendlich groPen Seitenteiles sich das bekannte Resultat C N = 2 n sin a . cos a ergibt.

Introduction. The theory for flow about a wing of large aspect ratio has been worked out quite completely along the lines suggested by P r a n d t l . This is the flow which is of principal interest for the main lifting surfaces of present day airplanes. .However, for some unconventional airplane wings and especially for the control surfaces of dirigibles, the lifting surfaces have generally a very small aspect ratio and the existing theories have so far been inadequate to give either the magnitude or the distribution of the forces correctly.

The P r a n d t 1 theory which replaces the wing by a lifting vortex line holds very closely for large aspect ratios k of the order k > 4. For smaller aspect ratios, B i r n b a um [I] and Blenk[ZJ carried out an extension of the P r a n d t l theory by replacing the wing by a distribution of vortex lines, thus giving the so-called lifting surface theory. This theory holds approximately down to aspect ratios of the order 1. However, here the experimental lift curves indicate a curvature concavely upward, and B l e n k stated already in 1925 that some additional effect causing this curvature becomes important a t small aspect ratios. He realized that this effect could not be obtained by means of the existing wing theory, because this latter is essentially a linear theory. Since this time no theoretical work has been done on the wing of small aspect ratio2). In 1935, however, W i n t e r [3] reported on a very extensive

1) This paper in essentially an abstract from the author's thesis-work carried out at the Califoruia Institute of Technology, under the supervision of Prof. Dr. v. KarmBn. Iacknowledge gratefully on this occasion Dr. v. K h r m a n ' s suggestion of the subject of my thesis and the very effective help diiring the Work.

2) Sioae the writing of this paper W. K i n n e r has treated the case of the circular wing in the Jngenieur- Archiv, 1937 (p. 47). aud F. W c i n i g has discussed the application of the lattice theory to small aspcct ratio wings in Luftfahrtforschung, 1936 (p. 405).