ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. Band 208. Nr. 4981. 13.

ober das GauDsche Fehlergesetz. Von G. Pbl'ya. I . Eine Funktion y ( x ) hei5t das zu einer Messung

gehorige Fehlergesetz, wenn mit der Wahrscheinlichkeit B

y ( x ) dx erwartet werden kann, dat3 das Ergebnis der a Einzelmessung zwischen a und b f2llt. Von vornherein, d. h. bevor eine experimentelle oder theoretische Unter- suchung die Frage entschieden oder eingeengt hat, konnte jede Funktion y ( x ) als Fehlergesetz zulksig sein, die den beiden Bedingungen +'x,

y(x) 2 o J y ( x ) d r = I -W

geniigt. So wiirde also z. B. zugleich mit y ( x ) auch die Funktion p (XI.) (I/.) ein Fehlergesetz sein, a > o voraus- gesetzt. Man konnte sagen, daD y ( x ) und y (x/u) (I/u) das- selbe Fehlergesetz darstellen, blot3 mit verschiedenen Pra- zisionskonstanten. Ich werde vorziehen y ( x ) und y (XI.) (I/.)

einander ~ a h n l i c h e ~ Fehlergesetze zu nennen. Gaufisches heiDt das Fehlergesetz

y ( x ) = ( I / Vn) c-*' und jedes ihm Ihnliche.

Wurde eine GrijDe A m-ma1 gemessen und eine GroDe B n-mal, so kann man die m+n Messungsergebnisse zii mn an- geniiherten Bestimmungen der Grot3e A + B kombinieren. Wenn die Fehler ber einzelnen Bestimmungen von A a1, as, * - - am, und die der Bestimmungen von B B1, b2, - - 1 18, sind, so sind die n m Bestimmungen von A+B mit den Fehlern ccl +bl, al +A, * * am+@" behaftet. Die beiden unmittelbaren Messungen, die von A und die von B, sollen ahnlichen Fehler- gesetzen folgen, dem Gesetze y (x/u) (I/u) bezw. y (x/b) (L/b) . W i e m u 0 y ( x ) b e s c h a f f e n s e i n , d a m i t d a n n a u c h d i e k o m b i n i e r t e B e s t i m m u n g v o n A+B e i n e m i h n l i c h e n Feh le rgese t ze y ( x / c ) (I/c) fo lgen s o l l ?

Ich werde diese Frage im folgenden losen und zeigen, daO y ( x ) das Gaufische Fehlergesetz sein mu& So wird das Gauhche Fehlergesetz durch diejenige Eigenschaft charak- terisiert, auf der auch hauptsichlich die Bequemlichkeit seiner Anwendung beruht.

Die Wahrscheinlichkeit dafur, dai3 der bei der Messung von A begangene Fehler zwischen u und u+du und zu gleicher Zeit der Fehler der Bestimmung von B zwischen ir und o+do enthalten sein soll, ist

das Produkt zweier unabhiingiger Wahrscheinlichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit dafiir, dal3 der Fehler der Bestimmung von A + B zwischen a und liegen soll, IaiOt sich auf zwei Arten ausdriicken, wenn das Fehlergesetz der Bestirnmung von A + B y (zfc) ( ~ f c ) ist. Sie ist

9 (./a) (dula) * Tp (ol4 (dub)

B J 9 ( d c ) (dxlc) = JJ Y (.I.) Y (44 (du dv/ab) a

das Doppelintegral rechts iiber das Gebiet a S u + v S , 8

xstreckt. Denn jede Kombination von u und o innerhalb dieses Gebietes la& einen Fehler u+v entstehen, der zwischen a und b liegt. Durch die Substitution

v = x - u d v = d x erhiilt man

B B -to=

(I/l)Jyb/c) d x = ( ' /ab)SdxSrg [./a1 y[(x--)/bI dv

woraus, unter Voraussetzung der Stetigkeit von y ( x ) , weiter folgt a a --m

+W

(I/t)SP(x/c) = (I/ab)Jy[u/aI TP[(~--u)lbl d- . (1) --oo

2. Ich werde von der Gleichung ( I ) ausgehen. Ich

( x ) ist in jedem endlichen Intervalle beschrankt und mache iiber y ( x ) folgende Voraussetzungen :

im Riemannschen Sinne integrabel. Es existieren alle uneigentlichen Integrale +m

J x " Y ( x ) d x = K n ( n = o , 1 , 2 , 3 , * * . ) . (2)

-W

Unter diesen Voraussetzungen hat die Aufgabe, drei positive Konstanten a, 6, c und eine nichtnegative Funktion y ( x ) zu finden, die der Funktionalgleichung ( I ) geniigen, die einzige Losung

y ( x ) = (h/Vn) c-*'* wo h > 0. (Abgesehen natiirlich von der trivialen Losung y ( x ) 0 . ) Ich hebe hervor, dat3 ich die Stetigkeit von sp ( x ) nicht vorausgesetzt habe, sondern sie wird sich auch als eine Folge der Funktionalgleichung ( I ) und der ubrigen Voraus- setzungen ergeben. Aus ( I ) folgt

+OD

(Il4 Jf ( 4 6 ) dx = +m +Do --m

= ( I / = b ) J J ( u + x - * ) " ( ~ [ * / o ] y[(x-u)/b]dudx -W --oo +oo +W

= w.4 J J (u+4" y ( u l 4 y ( o l 4 du do -W --oo

oder, rnit der Bezeichnung (z),

P K n =a"KnKo+ d- ' bKn -, Kl+...+b"KoKn . (3) (3 Fiir n = o ergibt sich aus (3)

und daraus, die Positivitiit von y ' (x ) beriicksichtigt,

Fur n = I und z ergibt. sioh aus (3), (4) mitberiicksichtigt,

KO = KO2

& = I . (4)

CK, = (u+b) Kl ( 5 ) c2K2 = aPK2+2abKl'-+b2K2. (6)

'3

787 498 I I88

Man beachte, da5 die quadratische Form der Variablen u und v

f (ui-vx).)" 'p (x ) dx = u2+ zK1 u v+K, v2

+W

- W 9

definit positiv und folglich

ist. (6) und ( 7 ) eigeben K1, < K2 ( 7 )

cz < (a+b)2 woraus nach ( 5 ) Kl = 0 (8) und wieder nach (6) c2 = aa+b2 ( 9 ) folgt. Aus ( 9 ) ergibt sich

I = (a/c)2+(b/c)2 > (a/c)"+(b/c)" fh n = 3, 4, 5, . . . . Aus (3) laint sich aber die GroDe (P-un-bn) Kn und folglich fur n 1 3 K, selber durch KO, Kl, K2, . * 4 ausdriicken. So sind alle *Momentea Kn durch die ersten drei

kraft der Gleichung (3) auf rekursive Weise eindeutig bestimmt. KO = I , Ki = 0, KZ

Nun ist fur beliebiges h > 0, mit Beachtung von (9 ) , +W

( ~ / a b ) s (h/Vn) e-h'a'/d (/z/Vn) e-h'(x-n)'/p du -oo +W

= h2Iabn. e -h9918 e-(hca/ob-haxlbe)' du s . -W

+oo .

= (h /m) E-* dv = ( I/c) (it Vm) .

Die Funktion (A/ F'n) e-k'xz erfiillt also die Gleich. ( I ) , was auch h sei, und demzufolge genugen ihre Momente der Gleichung (3). Wird

gesetzt, so besteht die Gleichung

-a3

h = V ( I/2K2) (10)

+co +W

~ F ( R / V n ) c - h * f d x = sxn 'p (x )dx ( I I ) -W -W

fiir n = 0, I , 2, 3, - . . Dies folgt aus (4) fur n = 0, aus (8) fur n = I , aus ( 1 0 ) fur n = z und aus der eben besprochenen Eindeutigkeit der Rekursionsformel (3) fur n 2 3.

Aus ( 1 1 ) ergibt sich Tp (5) = (h/ Vm) c-h'* (12)

auf Grund allgemeiner funktionentheoretischer SBtze, die sich auf das Stiel$cssche Momentenproblem beziehen I). Ich lasse eine Herleitung hier folgen, Vollstnndigkeit halber, und auch darum, weil sie mir besonders einfach zu sein scheint.

3. Ich zerlege den Gedankengang in mehrere kleinere Schritte.

I. Es sei das Integral +oo s f (t) tzt dt

in den beiden Punkten z = a t i a' und z = b+iI absolut konvergent, wo a < ,8. Dann konvergiert es absolut in dern

und stellt daselbst eine analytische Funktion von z dar.

-W

Streifen a S R ( 2 ) < b

Aus der Voraussetzung folgt die Konvergenz des Integrals 00 s ]f(t)l etR(') d t 0

fiir R (2) S b und die des Integrals .O s If(t)l e f R ( I ) dt

- W

ftir R ( z ) 2 a. 11. Es sei x reel1 und es sei das Integral

s f ( t ) 8f dt = F(z) +W

-m

fiir z = @ > o absolut konvergent. Dam ist das geradlinige

( 1 f 2 m i ) ~ F ( z ) ( c ~ ~ ~ / z ~ ) dz = sf( t ) ( t -x)dt . (13)

[ntegral fl+ioo 00

8- iM I

Dies folgt aus der bekannten Integralformel

Die Vertauschung der Integrationsfolgen fl+i= +oo +W p+ioo s ( s f ( t ) eZf dt) d2 = s f ( t ) (s (CZ(*--x)/z2) dz) dt

B-iW -W -W b-joo

ist wegen absoluter Konvergenz ohne weiteres erlaubt.

daO die beiden Integrale III. Es existiere eine positive Konstante c, so beschaffen,

+OO +W s I 'p (x) / eclxl dx , s I ap(x)/ cclxl dx (14) -W -W

konvergieren. Dann folgt aus den unendlich vielen Gleichungen

J x " c p ( x ) d x = J P q ( x ) d x (n=o, I , Z ; . - ) ( I S ) +W +W

-W -W

da5 'p(4 = q(4 in jedem Punkte x, der fur beide Funktionen y ( r ) und q ( x ) Stetigkeitspunkt ist.

'p ( x ) - t,b ( x ) = f ( x ) . Die Konvergenz der beiden Integrale (14) zieht nach sich, da5 das Integral +w

s f ( t ) 8 ' d t = P(z)

Ich setze

-00

im Streifen absolut konvergiert und daselbst eine analytische Funktion darstellt. Nach den Gleichungen (15) ist aber

--c < R(2) < +c

+?o

[d" i i (~) /de~]z=~ = s P f ( t ) dt = o ( n = o , I , z , 3 ; * - )

also verschwindet P ( z ) identisch. Wendet man Formel ( I 3) mit o < +9 c c an, so wird also fir jedes reelle s

-W

W

s f ( t ) (t - x ) dt = o X

') Vergl. Bod , Skies divergeantes (Gauthier-Villars, 1901) p. 74. Hardy, On Stieltjes aprobleme des moments., Messenger of Mathematics, Bd. 46 (1917), p. 175-182.

woraus durch Derivation 00

J f ( t ) dt = o x

folgt. Folglich ist f ( x ) = o an jeder Stetigkeitsstelle, w.2.b.w. IV. Die reelle Zahlenfolge KO, K1, K,, - 6 - sei den Be-

dingungen K a n >.o n'

VKnn limn=^^ > o (16)

unterworfen. Dann kann es, abgesehen von unwesentlichen Unterschieden, nicht mehr als cine nichtnegative Funktion p(x) geben, die den unendlich vielen Gleichungen

+00

J * p ( x ) d i = ~ R ( n = = o , i , z , 3 , * - . ) (17) -00

geniigt.

Nehmen wir an, es gtibe eine nichtnegative Funktion p (x), die ( I 7) erftillt. Wie leicht ersichtlich, die Bedingung

(16) kann auch so gefdt werden, daO limn=w V(K=Jzn!) endlich ist, oder noch anders so, daO die Potenzreihe

an

00 00 +W

n-o n-o -00

einen von o verschiedeaen Konvergenzradius hat. Letzteres gilt auch ftir die Potenzreihe

m +m

n=o -00

Denn die quadratische Form von u und v

+W +oo J (U+V Irl)*Pn Y ( X ) dx = K*n U'+ZU V J IsI"+' P ( X ) dx+Kan+a a*

-W -00

ist definit positiv, und folglich ist -.

+W

[ I/(z~+ I !)I J I j.lan+' 9 (5) dx < V [ K a m / z * I] * [Km+a /( ~ n + 2 !)] * [( z=+ z ) / ( z=+ I ) J -00

Konvergieren beide Reihen (18), (19) fur s = c, wo c > o ist, so ist m +m +m m +m

n=o -00 -00

Aus der Existenz letzteren Integrales folgt nach 111, daO die stetige Funktion

00

x eindeutig bestimmt ist. Diesen Umstand habe ich so um- geschrieben, daO s'p ( x ) bis auf unwesentliche Unterschiede eindeutig bestimmt ista .

Urn den Kontakt mit den erwiihnten Untersuchungen von Stickjcs, Bord und Hardy herzustellen, will ich aus I11 noch folgendes Korollar folgern :

V. Konvergiert das Integral m

0

Nr einen Wert c > 0, so ist die Funktion f ( x ) durch die Angabe ihrer Momente

W 00 m

Jica dx, J x m h, - . - Js"f(x) dx, * - - 0 0 0

eindeutig bestimmt.

Wert y definierte Funktion

anzuwenden. 4. Die Bedingung des Hilfssatzes IV unter 3. wird

durch die Funktion (A/ vx) c - ~ * erfullt. Es ist bekanntlich

In der Tat, es gentigt I11 auf die Nr jeden reellen

A Y ) =f(u') lYl

+oo

( h / V m ) J 1 " c - ~ " ' d # = [I.3.5. * +n-x)]/(2nPn) -00

und die Potenzreihe (18) wird in diesem Falle

also ftir jedes x konvergent. So folgt aus den unter 2. be- wiesenen Gleichungen ( I I), daO

W 00

J p (t) d t = J (A/ Vm) c-hsp dt

uhd daO p(x) und (A/Vx) c-~'" an jeder Stetigkeitsstelle der ersteren Funktion tibereinstimmen.

x x

Es folgt daraus u, a. fiir beliebige a, fi B B J p'(x) d# = J (AZ/m) c-"' d# .

J 9' (4 dx

Ax) = J cp [+I 'p [ ( x - 4 / 4 du

a a Es ist aber unschwer einzusehen: existiert das Integral

+W

-00

80 ist die Funktion +00

-00

stetig. Man hat ntlmlich

€€ilk man x fest, und nimmt man etwa Ihl I I an, so wird die rechte Seite, unabhilngig von h, bloU durch die Wahl von A, beliebig klein. So kann man die Untersuchung der

auf die des Integrals Di5crenz f(x+-A) -m

+A

J cp [./.I I cp "x+h - 4 4 - 9 [b - 4l4 1 du - A

zuruckfuhren. DaO aber dies Integral durch geeignete Wahl von h beliebig klein wird, ist eine Folge der Riemannschen. integrabiliatsbedingung, wie man leicht sieht, wenn man das Interval1 -A, + A in Teile von der Lange h teilt.

Somit ist die der Funktionalgleichung (I) genugende Funktion y ( x ) fir jedes x stetig, und fur jedes x ist

w. z. b. w. y ( x ) = (-A/ l h ) c-h8='

Ich will hinzufiigen, daU die Funktionalgleichung (I) noch auf eine ganz andere Weise behandelt werden kann, wie hier geschehen ist. Die wahrscheinlichkeitstheoretische Bedeutung der Gleichung ( I ) ist die: der Fehler y ( z ) ist in zwei ilhnliche Partialfehler auflosbar. Daher kann y(r) nacheinander in 4, 8, 16, - * , kurz in beliebig viele und folglich [vgl. ( 9 ) ] beliebig kleine Partialfehler aufgelost werden. Aus beliebig vielen und beliebig kleinen Partialfehlern re- sultiert aber notwendigerweise das GauOsche Fehlergesetz. Die genaue Verfolgung dieses Weges gestattet sogar, den Beweis unter weniger einschrilnkenden Vorausetzungen als die ohen gemachten [Existenz der Integrale (z)] zu erbringen, wie ich es bei anderer Gelegenheit in Zusammenhang mit all- gemeinen Untersuchungen iiber Wahrscheinlichkeitsrechnung darlegen will.

Zurich, 19 18 August. G. Pdlya.

Bestimmung der effektiven Temperatur der Nova Aquilae 3. Von 7. Wilsinf. Die Helligkeitsmessungen im Spektrum der Nova

Aquilae 3, uber welche im folgenden berichtet werden soll, sind an 9 Tagen zwischen 1918 Juni 10 und 1918 Juli 4 angestellt worden. Weitere Messungen wurden durch die zunehmende Lichtschwilche des kontinuierlichen Spektrums und durch ungiinstiges Wetter verhindert. Die Beobachtungen sind am 80 cm-Refraktor rnit demselben Photometer vom Crova- schen Typus angestellt worden, welches bereits r. Schcinrr und dem Verfasser zur Bestimmung von Energiekurven im optischen Teil von Sternspektren I ) gedient hat. Doch ist das fruher be- nutzte Flintglasprisma durch ein stiirker zerstreuendes Ruther- furdsches Prisma ersetzt worden, sodaO die Lange des Spektrums zwischen Ha und H,. jetzt 18.5 mm betragt. Das Okular ist auf einem Schlitten parallel der Ungsrichtung des Spektrums verschiebbar. Auf dem Schlitten ist eine Platte befestigt, in welche I I Furchen eingerissen sind, die das Spektrum senkrecht schneiden. In diese Furchen springt bei der Bewegung des Okulars ein spitzer rnit der festen Fuhrung verbundener Dorn durch Federdruck ein und legt die Stellung des Schlittens fest, bei welcher ein bestimmtes Spektralgebiet in dem 0. I 5 mm breiten Spalt der in der Okularebene befindlichen Blende er- scheint. Die Wellenlilngen der Stellen, an welchen Messungen gemacht worden sind, sind die folgenden

1 0.45 1 p 10.514,~ 10.576,~ 1 0 . 6 4 2 ~ 0.47 2 0.535 0.593 0 .655 0.494 0.556 0.6 I 5 Die Bnite des im Okularspalt sichtbaren Spektralge-

biets betrilgt bei 1 . 0 . 4 5 ~ 0 . 5 0 ~ 0 . 5 5 ~ 0 . 6 0 ~ 0 . 6 5 , ~

= . o w '.5P,U 2.5PP 3.0PP 3 . 5 P P . Die Wirkung der Emissionslinien der Nova machte sich

besonders bei 2 0.494~ und bei 10.451 ,U bemerkbar. So- lange indessen der Beitrag der hellen Linien zur Gesamtlicht- tnenge, welche durch den Okularspalt geht, die Unsicherheit der Messungen nicht uberschreitet, wird die Bestimmung der Energiekurve nicht beeinfluat.

Als Vergleichslichtquelle diente eine rnit der konstantcn Stromstilrke 0.7 2 5 Amp. belastete Kohlenfadengliihlampe, die unmittel bar neben dem Sternspektrum ein Vergleichsspektruiii von gleicher Breite erzeugte. Verglichen wurden in den schmalen Spektren die Lichtmengen, nicht die Flkhenhellig- keiten. Die Wirkung des nach Einschaltung der Korrektions- linse noch verbleibenden sekundaren Spektrums des 80 cm- Objektivs wurde durch besondere Fokussierung an den ver- schiedenen Stellen des Spektrums beseitigt, und entsprechend wurden die Farbenabweichungen des Auges durch Anderung der Okulareinstellung beriicksichtigt. Die Genauigkeit der Messungen blieb an einzelnen Abenden unter dem durch- schnittlich erreichbaren Man, da bei dem tiefen Stand des Sterns von der oberen Plattform des Beobachtungsstuhls in unbequemer Korper6tellung beobachtet werden muUte. Be- sonders aber dilrften wechselnde Schleier- und Streifenbildung die Resultate mehrfach beeintrilchtigt haben.

Bei der Reduktion ist die Lampenstrahlung fur die ganze Beobachtungsreihe als konstant angenommen worden. Wenn die Justierung des Photometers unverandert bleibt und die Stromsttlrke sorgfilltig kontrolliert wird, ist diese Annahme zulilssig. Durch Reduktion auf das an den meisten Abenden beobachtete Spektrum von a Aquilae wsje bei der wechselnden Durchsichtigkeit eine bessere Berucksichtigung der atmosphh- schen Extinktion, als bei Benutzung mittlerer Transmissions- koeffizienten erreichbar ist, nicht zu erwarten gewesen. Dabei ist noch zu beachten, daB der Beobachtungsfehler des log- arithmischen Intensitatsverhilltnjsses in den beiden Stem- spektren im Verhiiltnis Vn: I groI3er wird, als der Fehler des Verhilltnisses Stern- zu Lampenstrahlung. Der Berechnung der mittleren Extinktionen sind die von G. MiMer?) fur Potsdam bestimmten Werte zugrunde gelegt.

Bezeichnet man rnit El. die fur Extinktion verbesserte auf den leeren Raum reduzierte Intensitiit im Sternspektrum - die Verbesserung fur selektive Absorption im Objektiv wird nur am brechbareren Ende des Spektrums bei 1 0.45 I p merklich

') Temperaturbestimmung von tog hellenn Sternen aw spektralphotometrischen Beobachtungen. Publikationen des Astrophys. Obser- vatonurns zu Potsdam. 19, Nr. 56. 9 Publ. d. Astroph. Obscrv. zu Potsdam 3, Nr. 12. A. N. 103, Nr. 2464.